Estadistica ii

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Estadistica ii

  1. 1. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 1 CONTENIDO IDENTIFICACIÓN.................................................................................................................................2 PLANIFICACIÓN DE LOS ENCUENTROS.........................................................................................1 PROGRAMA ANALITICO ....................................................................................................................1 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS...............................................................................................8 1. Introducción .............................................................................................................................8 1.1.- Objetivos Generales............................................................................................................9 2.- Desarrollo....................................................................................................................................9 2.1 Núcleos temáticos.................................................................................................................9 2.2.- Bibliografía Comentada. ...................................................................................................13 2.3.- Material Explicativo ...........................................................................................................14 2.4.-Ejemplificación....................................................................................................................14 2.5.- Métodos a utilizar..............................................................................................................14 3. Conclusiones ........................................................................................................................14 4. Glosario de términos técnicos..............................................................................................15 TEXTO GUÍA ......................................................................................................................................17 UNIDAD Nº 1. TEORIA ELEMENTAL DE PROBABILIDADES...................................................17 FENÓMENO ALEATORIO........................................................................................................17 ESPACIO MUESTRAL S ........................................................................................................17 EVENTO O SUCESO E ......................................................................................................17 PROBABILIDAD EP , P .................................................................................................18 COMPLEMENTO DE PROBABILIDAD qPEP ;; ____ .........................................................20 EVENTOS INDEPENDIENTES ................................................................................................22 EVENTO DEPENDENDIENTE.................................................................................................22 PROBABILIDAD CONDICIONAL .............................................................................................24 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES ..........................................................................24 PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 2 EVENTOS BAP .............................24 PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS BAP ........................................25 TEOREMA DE BAYES..............................................................................................................27 MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ............................................................30 MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES DISCRETAS .....30 MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE CONTINUA .........30 MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL..............................................................................31 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD................................................................................................31 MODELO DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA ............................................................34 MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON .........................................................................37 MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL..............................................................38 MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD ...........................................................39 UNIDAD Nº 2 DISTRIBUCIONES MUESTRALES......................................................................47 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE..........................................................................................47 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA ...........................................................................47 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES..............................................................51 UNIDAD Nº 3 ESTIMACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES......................................57
  2. 2. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 2 DISTRIBUCIÓN T-STUDENT...................................................................................................57 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS...........................................................................................59 NIVEL DE CONFIANZA 1 ..............................................................................................59 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL.........................................60 DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA ............................................................63 MUESTREO y TIPOS DE MUESTREO ...................................................................................66 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE..........................................................................................66 MUESTREO SISTEMÁTICO ....................................................................................................67 MUESTREO ESTRATIFICADO................................................................................................67 MUESTREO CONGLOMERADO.............................................................................................67 UNIDAD Nº 4 VERIFICACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES.................................68 HIPÓTESIS ESTADÍSTICA ......................................................................................................68 HIPOTESIS NULA H0................................................................................................................68 HIPOTESIS ALTERNA H1.........................................................................................................68 ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER..............................................................................69 ERROR TIPO I...........................................................................................................................69 ERROR TIPO II..........................................................................................................................69 GLOSARIO DE TÉRMINOS TÉCNICOS.............................................................................77 Práctico nº 1. Teoría elemental de probabilidades..............................................................83 Práctico nº 2. Distribución discreta de probabilidades ........................................................86 Práctico nº 3. Distribución Normal Standard y distribuciones muestrales .........................91 Práctico nº 4. Estimación de parámetros poblacionales.....................................................94 Laboratorio # 1 . Aplicaciones de EXCEL en estadística Inferencial .................................99 IDENTIFICACIÓN Modalidad de Estudios Cursos por Encuentros Gestión Académica Módulo Carreras Área Empresarial Docente Ing. Rubén Toyama U. Día de Encuentro (Presencial) Sábados Hora Aula Día de Tutoría (Distancia) Hora
  3. 3. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 3
  4. 4. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 1 PLANIFICACIÓN DE LOS ENCUENTROS PRIMER ENCUENTRO SEGUNDO ENCUENTRO TERCER ENCUENTRO CUARTO ENCUENTRO UNIDAD - TEMAS DE AVANCE Unidad 1 1.1 al 1.11 Unidad 1 1.12 al 1.19 Unidad 2 2.4 al 2.8 Unidad 3 3.14 Unidad 2 2.1 al 2.3 Unidad 3 3.1. al 3.13 Unidad 4 Evaluación Evaluación ESTADISTICA II PROGRAMA ANALITICO I. JUSTIFICACION La asignatura de estadística II contribuye a las mallas curriculares de las diferentes carreras en las que se imparte por constituirse en un pilar fundamental desarrollando en su ejecución los conocimientos necesarios y suficientes para encarar con solvencia disciplinas muy importantes, como la investigación de mercados, la investigación de operaciones y la econometría, entre otras. II. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Aplicar correctamente las herramientas y técnicas sobre muestras representativas que conlleven a realizar una eficaz inferencia estadística sobre una población que permitan la racional toma de IDENTIFICACION Carrera : Ingeniería de Sistemas. Auditoria. Ingeniería Comercial. Sigla : MAT - 222 Materia : Estadística II Carga Horaria : 4 H Encuentros 4 H Tutorías Virtuales Nivel : Quinto Semestre. Requisitos : Estadística I (MAT – 215) En Vigencia : Año 2005
  5. 5. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 2 decisiones OBJETIVOS ESPECIFICOS  Identificar el modelo de probabilidad adecuado a aplicar a una distribución muestral para un determinado parámetro  Estimar el valor de un parámetro a partir de una muestra representativa mediante una estimación puntual o intervalar  Plantear adecuadamente las hipótesis estadísticas reconociendo los tipos de errores y tomar una decisión respecto a la hipótesis adecuada.  Identificar y desarrollar los mecanismos adecuados para determinar el tamaño de una muestra representativa en función a la naturaleza del problema  Construir e interpretar intervalos de confianza para los diferentes parámetros poblacionales. III. CONTENIDOS Unidad 1. Teoría elemental de probabilidades. Distribución de probabilidades. Objetivos de la Unidad - Definir los términos referente a la teoría de probabilidades. - Desarrollar el cálculo de probabilidades básicas y distribución de probabilidades. - Adquirir las competencias en el manejo de las tablas de distribución de probabilidades de las distribuciones. Contenidos 1.1Análisis Combinatorio. 1.2Introducción a la teoría de probabilidades. 1.3Axiomas fundamentales. 1.4Cálculo de probabilidades. 1.5Probabilidad condicional. Teorema de Bayes. 1.6Esperanza y varianza matemática. 1.7Distribución de Probabilidades. 1.8Distribución de probabilidades en variables aleatorias discretas. 1.9Distribución Binomial.
  6. 6. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 3 1.10 Distribución de Poisson. 1.11 Distribución de Hipergeométrica. 1.12 Distribución de probabilidades en variables aleatorias contínuas. 1.13 Distribución. Normal. 1.14 Distribución Exponencial. 1.15 Estandarización de la distribución normal. 1.16 Aproximaciones de la distribución binomial a la normal 1.17 Distribución t-student 1.18 Distribución Chi – Cuadrada 1.19 Distribución F de Fisher Unidad 2. Distribuciones muéstrales. Objetivos de la Unidad - Aplicar los mecanismos adecuados para el cálculo de probabilidades en las distribuciones muestrales. - Definir adecuadamente los diferentes tipos de muestreo y los casos de aplicabilidad. Contenidos 2.1 Teorema central del límite 2.2 Distribución muestral de medias. 2.3 Distribución muestral de la proporción. 2.4 Distribución de la diferencia de dos medias muestrales. 2.5 Distribución de la diferencia de dos proporciones. 2.6 Distribución muestral de la varianza. 2.7 Muestreo aleatorio Simple. Error de muestreo 2.8 Muestreo sistemático. Muestreo por conglomerados. Muestreo estratificado. Unidad 3. Estimación de parámetros poblaciones Objetivos de la Unidad - Desarrollar los procedimientos adecuados en la determinación de los intervalos de confianza para los diferentes parámetros poblacionales. - Calcular el tamaño de la muestra en diferentes casos.
  7. 7. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 4 Contenidos 3.1 Introducción 3.2 Estimación de parámetros 3.3 Características de un buen estimador 3.4 Estimación puntual. 3.5 Estimación de parámetros por intervalos de confianza. 3.6 Intervalo de confianza para la media poblacional. 3.7 Intervalo de confianza para la proporción poblacional. 3.8 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales. 3.9 Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones poblacionales. 3.10 Intervalo para la varianza poblacional. 3.11 Intervalo para la razón entre dos varianza poblacionales. 3.12 Tamaño de la muestra para estimar la media poblacional. 3.13 Tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional. Unidad 4. Verificación de parámetros poblacionales. Objetivos de la Unidad - Conceptuar los términos inherentes a la teoría de hipótesis. - Desarrollar adecuadamente la décima de hipótesis. - Interpretar los resultados con distintos niveles de confianza. Contenidos 4.1 Introducción y conceptos. 4.2 Hipótesis estadísticas. 4.3 Hipótesis nula y alternativa. 4.4 Error tipo I y Error tipo II. 4.5 Procedimiento general para la verificación de hipótesis. 4.6 Prueba de hipótesis para una media poblacional única. 4.7 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias poblacionales. 4.8 Prueba de hipótesis para una proporción poblacional única. 4.9 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones poblacionales. 4.10 Prueba de hipótesis para la varianza poblacional y para la razón de dos varianzas poblacionales.
  8. 8. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 5 4.11 Prueba de independencia. Prueba de homogeneidad. Unidad 5. Análisis de Varianza. Objetivos de la Unidad - Probar la significancia de las diferencias entre varias medias muestrales. - Realizar inferencias acerca de si las muestras fueron tomadas de poblaciones que tienen la misma media. Contenidos 5.1Objetivo de análisis de Varianza. Experimentos de factor único. 5.2Métodos abreviados para calcular variaciones. Modelos matemáticos para el análisis de varianza. 5.3Valores esperados de las variaciones. Distribuciones de las variaciones. 5.4El contraste F para la hipótesis nula de igualdad de medias. 5.5Tablas de análisis de varianza. 5.6Experimentos de dos factores. 5.7Análisis de varianza para experimentos de dos factores. 5.8Experimentos de dos factores con repetición. Diseño experimental. IV. METODOLOGIA DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE El presente curso se desarrollará bajo la guía directa del docente, mediante la conceptuación de las variadas terminologías aplicadas en el lenguaje de la estadística, el mismo que será llevado a cabo mediante la participación activa de los estudiantes a través de lluvia de ideas, durante el desarrollo de la asignatura se realizarán diversos ejercicios prácticos que ilustren de manera efectiva la aplicación para lograr un aprendizaje significativo en la asignatura. Para cada tema el alumnado resolverá prácticos en los cuales desarrollará sus habilidades y competencias a objeto de asimilar de la mejor manera los contenidos procedimentales de la asignatura. Se realizarán prácticas en el laboratorio de cómputos para la aplicación de software a las unidades desarrolladas.
  9. 9. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 6 En el desarrollo del curso los estudiantes realizarán un proyecto en el cual trabajarán sobre una problemática en la cual tengan que realizar una investigación determinando el tamaño de la muestra, realizando inferencias sobre la población a partir de esta muestra significativa El presente curso se desarrollará bajo la guía directa del docente, mediante la definición de las terminologías aplicadas en el lenguaje de la estadística, lo cual se desarrollará mediante la participación activa de los estudiantes a través de lluvias de ideas. Durante el desarrollo de la materia se desarrollarán variados ejercicios prácticos que ilustren de manera efectiva la aplicación de los distintos estadígrafos en la variedad de casos aplicables a la realidad a objeto de lograr un aprendizaje significativo para los diferentes tipos de contenidos contemplados en la asignatura. Se realizarán prácticas de ejercicios en clases donde los estudiantes de manera cooperativa logren un aprendizaje significativo apuntalando así sus conocimientos conceptuales y habilidades procedimentales Se desarrollará un trabajo final de aplicación donde los estudiantes muestren los conocimientos y habilidades adquiridas V. ACTIVIDADES ACADEMICAS 1. Presentación y defensa del práctico de teoría elemental de probabilidades y distribuciones de probabilidades 2. Presentación y defensa del práctico de teoría elemental de distribuciones maestrales 3. Presentación y defensa del práctico de estimación de parámetros poblacionales 4. Presentación y defensa del práctico de verificación de parámetros poblacionales. Teoría de hipótesis 5. Presentación y defensa del práctico de análisis de varianza VI. MATERIALES Y MEDIOS DIDACTICOS - Marcadores y pizarra - Texto guía - Equipos de multimedia
  10. 10. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 7 - Laboratorio de Software VII. TIPOS DE EVALUACION Para la asignatura se emplearán los tres tipos de evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa. VIII. FORMAS DE EVALUACIÓN Materia tipo B. Cursos por Encuentros Exámenes 60 Pts. Actividades Académicas 20 Pts. Investigación 20 Pts. TOTAL 100 Pts. IX. BIBLIOGRAFIA BÁSICA Toyama Rubén. Estadística II. Cursos por Encuentros. UPDS. Mayo 2007. COMPLEMENTARIA 1. Walpole Myers. Probabilidad y estadística. Mc Graw Hill. México. 2000. 2. Spiegel – Murray. Probabilidad y estadística Ed. Mc Graw Hill. Colombia. 2001. 3. John E. Freund – Ronald E. Walpole. Estadística matemática con aplicaciones. Ed. Prentice may hispanoamericana S. A. Mexico. 1990. 4. Paul Neubold. Estadísticas para negocios y la economia. Ed. Prentice Hall. España. 1997. 5. Rufino Moya Calderon – Gregorio Saravia. Probabilidad e inferencia estadística. Ed. San Marcos. Perú. 2000. 6. Richard Levin – David Rubin. Estadística para administradores. Ed. Prentice may. Mexico. 1996. 7. Manuel Córdoba Zamora. Estadística descriptiva e inferencial. Ed. Moshera SRL. 2000. 8. Leonard J. Kazmier. Estadística aplicada a la administración y la economía. Ed. Mc Graw Hill. México. 1990.
  11. 11. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 8 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Introducción La estadística es una disciplina que como instrumento de investigación se constituye en pilar fundamental en la formación de los profesionales de las diferentes áreas del conocimiento, el aporte a la investigación de la estadística inferencial (Estadística 2) se basa fundamentalmente en que a través de la estadística inferencial el proceso investigativo se centra en como lograr que los resultados obtenidos a través de la muestra logre tener mayor significación y pueda ser proyectado para determinar el verdadero valor del parámetro poblacional. El aporte de la presente asignatura a las demás asignaturas de las diferentes mallas curriculares es importante puesto que las competencias adquiridas durante el estudio de la estadística, constituye la base fundamental para materias como investigación de mercado, investigación en ciencias sociales, e investigación operativa, así como la parte operativa en el desarrollo de las tesis de grado que implica una investigación con información primaria la cual en muchos casos es obtenida a partir de la muestra y debe ser extrapolada a toda la población de interés en la investigación. Cabe resaltar que el presente texto guía ha sido redactado como producto de 5 años de experiencia en la enseñanza de la Estadística en la UPDS en el sistema modular presencial, en el texto guía se ha utilizado un lenguaje claro y sencillo sin perder el sentido técnico propio de la estadística cuyo lenguaje es imposible de eludir. Dentro del estudio de la estadística inferencial es de vital importancia el aprendizaje de los siguientes aspectos: a) El dominio de palabras técnicas propias de la estadística. b) Es conocimiento de los conceptos desarrollados en Estadística descriptiva c) El cálculo eficaz de las probabilidades d) El cálculo de probabilidades en distribuciones para variables discretas. e) El cálculo de probabilidades para variable aleatoria continua f) El cálculo de probabilidades para distribuciones muestrales g) La determinación de intervalos de confianza h) El desarrollo de la décima de hipótesis
  12. 12. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 9 1.1.- Objetivos Generales Aplicar los criterios pertinentes para la inferencia estadística en la estimación de los parámetros poblacionales a partir de estadígrafos muestrales. El objetivo general busca que el estudiante adquiera las competencias necesarias y suficientes para realizar acertadamente las inferencias estadísticas en la determinación de los diferentes parámetros poblacionales. 2.- Desarrollo 2.1 Núcleos temáticos La distribución de los temas en los cuatro núcleos temáticos a lo largo del presente curso obedece a un sentido de co-linealidad de los contenidos para el aprendizaje adecuado de los mismos y a aspectos de tiempo para lograr el alcance de los objetivos y adquisición de las competencias necesarias de parte del estudiante en el estudio de la estadística inferencial en el presente curso. Primer encuentro Unidad 1. Teoría elemental de probabilidades. Distribución de probabilidades. Objetivos de la Unidad - Definir los términos referente a la teoría de probabilidades. - Desarrollar el cálculo de probabilidades básicas y distribución de probabilidades. - Adquirir las competencias en el manejo de las tablas de distribución de probabilidades de las distribuciones. Contenidos 1.1Análisis Combinatorio. 1.2Introducción a la teoría de probabilidades. 1.3Axiomas fundamentales. 1.4Cálculo de probabilidades. 1.5Probabilidad condicional. Teorema de Bayes. 1.6Esperanza y varianza matemática. 1.7Distribución de Probabilidades.
  13. 13. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 10 1.8Distribución de probabilidades en variables aleatorias discretas. 1.9Distribución Binomial. 1.10 Distribución de Poisson. 1.11 Distribución de Hipergeométrica. Síntesis La unidad 1, es una unidad amplia, por lo que en el primer encuentro nos abocaremos netamente al cálculo elemental de probabilidades, además que realizaremos el cálculo de probabilidades para las distribución de probabilidades para variable aleatoria discreta, concretamente las distribuciones: Binomial, Hipergeométrica y de Poisson. En el 1º encentro el estudiante debe llegar con una lectura comprensiva de los conceptos referentes a la teoría elemental de probabilidades, en este 1º encuentro se realizaran las prácticas para el cálculo de probabilidades, así como también se practicará el cálculo de las probabilidades para las distribuciones para variable aleatoria discreta como los son la binomial, Hipergeométrica y Poisson. Segundo encuentro 1.12 Distribución de probabilidades en variables aleatorias contínuas. 1.13 Distribución. Normal. 1.14 Distribución Exponencial. 1.15 Estandarización de la distribución normal. 1.16 Aproximaciones de la distribución binomial a la normal 1.17 Distribución t-student 1.18 Distribución Chi – Cuadrada 1.19 Distribución F de Fisher Unidad 2. Distribuciones muéstrales 2.1.Teorema central del límite 2.2 Distribución muestral de medias. 2.3 Distribución muestral de la proporción.
  14. 14. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 11 Síntesis. En el 2º encuentro se introducirá a lo que es el cálculo de probabilidades para variable aleatoria continua y en este encuentro se realizará la práctica del cálculo de probabilidades utilizando la tabla de la distribución normal Standard, seguidamente, ingresando a lo que es la 2º unidad se realizará el cálculo de probabilidades para las distribución de probabilidades, concretamente nos abocaremos a las distribución muestral de medias y de proporciones. Tercer encuentro 2.4Distribución de la diferencia de dos medias muestrales. 2.5 Distribución de la diferencia de dos proporciones. 2.6 Distribución muestral de la varianza. 2.7 Muestreo aleatorio Simple. Error de muestreo 2.8 Muestreo sistemático. Muestreo por conglomerados. Muestreo estratificado. Unidad 3. Estimación de parámetros poblaciones 3.1 Introducción 3.2 Estimación de parámetros 3.3 Características de un buen estimador 3.4 Estimación puntual. 3.5 Estimación de parámetros por intervalos de confianza. 3.6 Intervalo de confianza para la media poblacional. 3.7 Intervalo de confianza para la proporción poblacional. 3.8 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales. 3.9 Intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones poblacionales. 3.10 Intervalo para la varianza poblacional. 3.11 Intervalo para la razón entre dos varianza poblacionales. 3.12 Tamaño de la muestra para estimar la media poblacional. 3.13 Tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional Síntesis En el 3º encuentro, el contenido a desarrollar será el estudio de los diferentes tipos de muestreo y su aplicación recomendada en cada caso particular, luego pasaremso al estudio de la
  15. 15. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 12 construcción de los intervalos de confianza para los diferentes parámetros como ser: Intervalos de confianza para la media poblacional, intervalo de confianza para una proporción poblacional e intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales Cuarto encuentro 3.14 Determinación del tamaño de la muestra Unidad 4. Verificación de parámetros poblacionales. Objetivos de la Unidad - Conceptuar los términos inherentes a la teoría de hipótesis. - Desarrollar adecuadamente la dócima de hipótesis. - Interpretar los resultados con distintos niveles de confianza. Contenidos 4.1 Introducción y conceptos. 4.2 Hipótesis estadísticas. 4.3 Hipótesis nula y alternativa. 4.4 Error tipo I y Error tipo II. 4.5 Procedimiento general para la verificación de hipótesis. 4.6 Prueba de hipótesis para una media poblacional única. 4.7 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias poblacionales. 4.8 Prueba de hipótesis para una proporción poblacional única. 4.9 Prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones poblacionales. 4.10 Prueba de hipótesis para la varianza poblacional y para la razón de dos varianzas poblacionales. 4.11 Prueba de independencia. Prueba de homogeneidad. Unidad 5. Análisis de Varianza Contenidos Objetivo de análisis de Varianza. Experimentos de factor único.
  16. 16. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 13 Métodos abreviados para calcular variaciones. Modelos matemáticos para el análisis de varianza. Valores esperados de las variaciones. Distribuciones de las variaciones. Síntesis En el 4º encuentro se iniciará con la determinación de l tamaño de la muestra para la estimación de la media poblacional, así como para la proporción poblacional, seguidamente se introducirá en la unidad de la teoría de hipótesis donde se desarrollarán los pasos para la verificación de las hipótesis estadísticas, y finalmente se realizará una introducción en los que es el análisis de varianza. Nota Para lograr alcanzar con éxito los objetivos planteados en la asignatura, así como la adquisición de las competencias planteadas, es importante tomar en cuenta lo siguiente: Traer a todos los encuentros una calculadora (de preferencia que sea calculadora científica). Leer con anticipación al encuentro todos los conceptos desarrollados en el texto guía, para aclarar dudas durante la clase presencial. Desarrollar en lo posible (reproducir por cuenta propia) los mismos ejemplos resueltos en el texto guía. Estar presente en el aula puntualmente. 2.2.- Bibliografía Comentada El libro de texto de Estadística Inferencial, elaborado en su totalidad por el Ing. Rubén Toyama, se constituye en una guía práctica para el aprendizaje de la estadística y surge como resultado del conjunto de experiencias acumuladas durante 5 años de ejercicio docente en nuestra universidad. Se recomienda la realización de cada uno de los ejemplos mostrados en el texto; puesto que, de esta manera el participante podrá ir adquiriendo las competencias necesarias en lo referente al cálculo de los estadígrafos que en esta asignatura se desarrollan. Es también importante en la medida de las posibilidades de tiempo y de recursos, la lecturas de apoyo de los libros: “Estadística” de Spiegel & Murray para acompañar el aprendizaje y del libro:
  17. 17. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 14 “Estadística y Muestreo” de Ciro Martinez Bencardino para apoyar en la comprensión de los cálculos, puesto que en dicho libro se muestran problemas reales y de mayor comprensión. 2.3.- Material Explicativo El texto guía contiene suficiente material explicativo, puesto que, la redacción de los conceptos está en un lenguaje claro y de uso cotidiano para mayor comprensión pero sin perder el sentido técnico del mismo; además, en cada una de los temas existen los ejemplos que en su integridad desarrollados paso a paso para su mayor comprensión. 2.4.-Ejemplificación El texto guía ofrece al lector suficiente ejemplificación; puesto que, luego de los conceptos existen los ejercicios de aplicación en los que se detallan paso a paso la forma en que se debe proceder para la solución de los diferentes problemas planteados. 2.5.- Métodos a utilizar En el primer periodo del encuentro físico el docente desarrollará los conceptos necesarios con la participación activa de los participantes; puesto que, se sobreentiende que ellos han procedido a la lectura comprensiva de los conceptos, luego se desarrollará un ejemplo práctico con la participación activa del docente y de los estudiantes. Para proceder en el segundo periodo a la solución de ejemplos similares en grupos ó células, con la guía permanente del docente. En los encuentros virtuales se presentarán las tareas planteadas con anterioridad en las clases presenciales, y se aclararán las dudas que surjan durante la solución de las tareas por parte de los estudiantes. 3. Conclusiones Para concretar el aprendizaje de los temas el estudiante debe desarrollar en su domicilio los prácticos planteados en el texto guía, pudiendo hacer uso de los encuentros virtuales para la aclaración de las dudas en la resolución de los mismos. 3.1.- Preguntas y ejercicios para realizar en forma individual o colectiva – con respuestas. Los prácticos se encuentran al final del Texto Guía, los mismos se encuentran elaborados de acuerdo a la secuencia de avance de la asignatura.
  18. 18. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 15 4. Glosario de términos técnicos El texto guía contiene la conceptuación de todos los términos propios de la estadística utilizados en el presente curso, por lo que se recomienda la lectura comprensiva de cada uno de los títulos y subtítulos desarrollados en el mismo para interconectar la comprensión de los conceptos con la aplicación práctica en el desarrollo de los problemas de aplicación.
  19. 19. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 16
  20. 20. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 17 TEXTO GUÍA UNIDAD Nº 1. TEORIA ELEMENTAL DE PROBABILIDADES OBJETIVOS 1.- Conceptuar correctamente los siguientes términos: fenómeno aleatorio, posibilidad, probabilidad, evento o suceso, espacio muestral, eventos mutuamente excluyentes, eventos independientes, eventos dependientes, complemento de probabilidad , unión de probabilidades, intersección de probabilidades. 2.- Calcular adecuadamente la probabilidad de diferentes sucesos o eventos. 3.- Realizar operaciones con probabilidades. FENÓMENO ALEATORIO Es aquel acontecimiento cuyo resultado final no se puede predecir con exactitud, porque presenta dos o más opciones. ESPACIO MUESTRAL S Es el conjunto de todas las posibilidades que presenta un fenómeno aleatorio. Ejemplo 1 Al lanzar un dado, el espacio muestral será: 61,2,3,4,5,S1 Ejemplo 2 Al lanzar una moneda dos veces seguidas, el espacio muestral será: PPSS,PS,SP,S2 Ejemplo 3 Al lanzar una moneda tres veces seguidas, el espacio muestral será: PPPPPS,PSP,PSS,SPP,SPS,SSP,SSS,S3 EVENTO O SUCESO E Un evento es un subconjunto del espacio muestral y se lo plantea como: lo que se espera que suceda. Para los ejemplos anteriores los eventos podrían ser: 1E : Que al lanzar un dado el número obtenido sea par: 2,4,6E1 2E : Que al lanzar una moneda dos veces seguidas el resultado sea diferente: PSSP,E2 3E : Que al lanzar una moneda tres veces seguidas el resultado sea diferente a las otras dos:
  21. 21. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 18 PPSPSP,PSS,SPP,SPS,SSP,E3 POSIBILIDAD Una posibilidad es una de varias pociones que presenta un fenómeno aleatorio. NÚMERO DE POSIBILIDADES n S ; n E Es la cantidad de elementos que presenta el espacio muestral o el evento. Para los ejemplos anteriores tenemos: n 61S n 83S n 31E n 23E COMPLEMENTO DEL EVENTO ( __ E ) Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al espacio muestral y no pertenecen al evento. Para los ejemplos anteriores: 5,3,1:1 __ E PPSSE ,:2 __ PPPSSSE ,:3 __ PROBABILIDAD EP , P La probabilidad de un evento es el grado de certeza de que dicho evento ocurra y se puede calcular dividiendo el número de posibilidades del evento entre el número de posibilidades del espacio muestral. Sn En EP )( totalesdesposibilidadenº ciertasdesposibilidadenº EP Nota Los valores de la probabilidad se dan entre 0 y 1. Generalmente se expresa en porcentaje al multiplicar el resultado por 100.
  22. 22. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 19 Ejemplo Para los ejemplos anteriores determinar la probabilidad de los eventos 1,2 y 3. %50;5,0 6 3 1 1 1 Sn En EP %50;5,0 4 2 2EP %75;75,0 8 6 3EP %50;5,0 4 2 2 __ EP La baraja Una baraja tiene 52 cartas. 26 cartas de cada color. 13 cartas de cada palo. 4 cartas de cada número. Eventos A: Que la carta extraída al azar de la baraja sea diamante. B: Que la carta extraída al azar de la baraja sea 10 rojo. C: Que la carta extraída al azar de la baraja sea 6. D: Que la carta extraída al azar de la baraja sea 7 rojo. E: Que la carta extraída al azar de la baraja sea negra. Hallar la probabilidad de cada evento %25;25,0 52 13 AP %8,3;038,0 52 2 BP %7,7;077,0 52 4 CP %8,3;038,0 52 2 DP
  23. 23. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 20 %50;5,0 52 26 EP Hallar %75;75,0 52 39__ AP %2,96;962,0 52 50__ BP %3,92;923,0 52 48__ CP COMPLEMENTO DE PROBABILIDAD qPEP ;; ____ El complemento de la probabilidad de un evento es la probabilidad de que dicho evento no ocurra y se calcula con la expresión: EPEPq 1 __ Ejemplo En una sala de reuniones hay 8 abogados de los cuales 3 son mujeres además hay 7 arquitectos de los cuales 2 son hombres hallar la probabilidad de que la primera persona que salga aleatoriamente de la sala sea: a) Arquitecta b) Hombre c) De profesión arquitectura a) %33;33,0 15 5 AP b) %6,46;466,0 15 7 BP c) %6,46;466,0 15 7 CP
  24. 24. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 21 Hallar AP __ %7,66;667,0 333,01 1 __ __ __ AP AP APAP Ejemplo Graficar las diferentes posibilidades que presenta el fenómeno aleatorio de lanzar dos dados a la vez, este gráfico debe mostrar los diferentes resultados al sumar los números de los dados. Construir además un cuadro que muestre los posibles resultados de la suma y las probabilidades de cada uno de los posibles resultados. Gráfico Dado 1 Dado 2 2 3 3 4 4 4 8 5 5 5 5 76 6 6 6 6 8 8 8 8 9 7 7 7 7 7 9 9 9 10 10 10 11 11 12 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 Posibles Resultados 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nº de Posibilidades 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Probabilidad Hallar la probabilidad de que la suma sea: 36 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 1 36 2 36 3 36 4 36 5
  25. 25. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 22 a) %7,16;167,0 36 6 7SP b) %7,16;167,0 36 6 10SP c) %7,16;167,0 36 6 4SP d) %7,66;667,0 36 24 95 SP e) %50;5,0 36 18 ºimparnSP EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de la ocurrencia o no del otro evento. Ejemplo E1: Que al lanzar una moneda salga sol. E2: Que al lanzar un dado salga 3. E3: Que al extraer una carta de la baraja sea de trébol. E1 y E2 son independientes. 6 1 2EP 2 1 1EP E2 y E3 son independientes. EVENTO DEPENDENDIENTE Un evento es dependiente cuando su probabilidad depende de la ocurrencia de un acontecimiento previo.. Ejemplo En un cesto hay 5 bolas blancas y 3 bolas verdes de las cuales se extraen una por una y sin reemplazo. 5 B 3 V
  26. 26. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 23 Sean los eventos: E1: Que la primera bola extraída sea verde. E2: Que la segunda bola extraída sea verde. El E2 es dependiente Si la 1ª es V: 286,0 7 2 2EP Si la 1ª es B: 429,0 7 3 2EP Un evento es dependiente cuando es consecutivo de otro y sin reemplazo. CALCULO DE LA PROBABILIDAD EN UN EVENTO DEPENDIENTE Para calcular la probabilidad de un evento dependiente se lo hace a través de la suma de las probabilidades de los diferentes caminos en que se cumple este evento. Para el ejemplo anterior calcular 2EP . 212122 ** VPBPVPVPVPEP %5,37;375,0 2678,0107,0 56 15 28 3 7 3 * 8 5 7 2 * 8 3 Ejemplo En un aula hay 3 arquitectos, 5 médicos y 6 abogados de la cual van a salir las personas una por una y sin reemplazo. Hallar la probabilidad de que la segunda persona sea médico. %7,35;357,0 2473,01099,0 13 5 * 14 9 13 4 * 14 5 ** 21212 MPMPMPMPMP
  27. 27. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 24 PROBABILIDAD CONDIONAL La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro haya ocurrido. ABP Se lee: Probabilidad de que ocurra el evento B dado que el evento A ha ocurrido. Ejemplo En un aula hay 7 mujeres y 9 hombres, de esta aula saldrán las personas una por una y sin reemplazo. Sean los eventos: E1: Que la primera persona que salga sea mujer. E2: Que la primera persona que salga sea hombre. E3: Que la segunda persona que salga sea mujer Hallar a) 4,0 15 6 13 EEP b) 467,0 15 7 23 EEP c) 212123 ** MPMPMPMPMPEP 4375,0 15 7 * 16 9 15 6 * 16 7 2MP EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos elimina de posibilidad que el otro evento ocurra, como en el caso anterior los eventos E1 y E2. Ejemplo Sean los eventos D: Que Juan Pérez pase todo el sábado en Aqualand. F: Que Juan Pérez pase ayudantía todo el sábado en la UPDS. Nota Cuando dos eventos son mutuamente excluyentes la probabilidad de que la intersección es cero. PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 2 EVENTOS BAP La probabilidad de la intersección, es la probabilidad de que ocurran los eventos A y B y se calcula con la siguiente expresión.
  28. 28. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 25 BPAPBAP * Independientes ABPAPBAP * Dependientes 0BAP Mutuamente excluyentes Para el ejemplo anterior calcular la probabilidad: a) %5,17;175,0 15 6 * 16 7 * 13131 EEPEPEEP b) sexcluyentemutuamentesonporqueEEP 021 Sea: E4: Al lanzar una moneda salga sol. c) %12,28;2812,0 32 9 2 1 * 16 9 * 4242 EPEPEEP PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS BAP La probabilidad de la unión de dos eventos es la probabilidad de que ocurra un evento o el otro y se calcula con las expresiones. BAPBPAPBAP BPAPBAP si son mutuamente Excluyentes Ejemplo En una jaula hay 10 loros y 12 tordos de la cual saldrán una por un y sin reemplazo aleatoriamente. Sean los eventos: E1: Que el primero que salga sea loro. E2: Que la primera ave que salga sea tordo. E3: Que el segundo que salga sea loro. E4: Que al extraer una carta de la baraja sea de trébol E5: Que al lanzar dos dados la suma sea mayor a 9.
  29. 29. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 26 Hallar a) 2EP b) 21 EEP c) 31 EEP d) 42 EEP e) 51 EEP Solución a) %45,454545,0 21 10 * 22 12 21 9 * 22 10 ** 21213 LPLPLPLPEP b) 021 EEP Porque son mutuamente excluyentes c) = 26,07402,01 ; %26 313131 EEPEPEPEEP = 7403,02597,05454,0 22 10 13131 / EPPEPEEP = 2597,0 21 12 22 10 212123 TPTPTPTPTPEP Aquí 021 EEP d) 42 EEP 3 __ 13 __ 1 1 EEPEEP 
  30. 30. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 27 1364,0 52 13 * 22 12 * 6590,01364,0 52 13 22 12 %1,34;341,06590,01 1 4242 424242 4242 __ EPEPEEP EEPEPEPEEP EEPEEP    e) 3787,08333,0* 22 10 * 8333,01667,01 1 %91,90;9091,0 3787,08333,0 22 10 5 __ 15 __ 1 55 __ 5 __ 15 __ 15 __ 1 EPEPEEP EPEP EEPEPEPEEP   TEOREMA DE BAYES Si se tiene dos o más fuentes Ai, fuente (entiéndase como fuente el lugar de donde proviene) además se conoce la proporción de cada uno de las fuentes. Se conoce además la proporción de los elementos de cierta clase (D) en cada una de las fuentes Ai . Si aleatoriamente se encuentra un elemento (D), entonces la probabilidad de que éste elemento (D), provenga de la fuente Ai viene dado por la expresión: AiDPAiP AiDPAiP DAiP /* /* / Donde: (D) son los de cierto tipo
  31. 31. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 28 Ejemplo 1. En una investigación precia o una elección se determino que la proporción entre votantes de clase baja que votarían por un cierto candidato D es de 40%; la proporción entre votantes de clase media que votarían por ese candidato D es de 30% y la proporción de votantes de clase alta que votarían por el candidato D es de 20%. El día de las elecciones se le pregunta a un votante elegido aleatoriamente por quien votaría y el respondió por el candidato D. Sabiendo que el 15% de los votantes son de clase alta, el 45% son de clase media y el resto son de clase baja. Hallar: a) La probabilidad de que el mencionado votante provenga de clase alta. b) La probabilidad de que el mencionado votante provenga de clase media. c) La probabilidad de que el mencionado votante provenga de clase baja. Datos 40,0 45,0 15,0 BP MP AP 40,0 30,0 20,0 BDP MDP ADP BDBPMDPMPADPAP ADPAP ADP *** * a) %23,90923,0 40,0*40,030,0*45,020,0*15,0 20,0*15,0 ADP
  32. 32. Elaborado por: Ing. Rubén Toyama 29 b) %53,414153,0 325,0 30,0*45,0 BDP c) %23,494923,0 325,0 4,0*4,0 CDP 2. Una fábrica produce cierto tipo de productos con tres máquinas. Los respectivos cálculos de producción diaria son: uMuMuM 5000;2800;3200 321 La experiencia nos muestra que el 1% de la producción de la máquina 1 son defectuosas, la correspondiente proporción de defectuosas para las otras máquinas son respectivamente: 2%; 3%. Si se extrae una unidad de la mezcla homogénea de productos y se descubre que es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que dicha unidad provenga? a) De la máquina 1. b) De la máquina 2. c) De la máquina 3. 1 2 3 3200 29,10% 2800 25,45% 5000 45,45% P M P M P M 03,0 02,0 01,0 3 2 1 MDP MDP MDP 013635,009,5909,2 909,2 03,0*7545,002,0*2545,001,0*2909,0 01,0*2909,0 33 3 1MDP %05,222205,0 06184,0 013635,0 %26,121226,0 06187,0 09,5 %69,656569,0 3 3 2 1 MDP MDP MDP EL FACTORIAL X! El factorial de un número x se define como el producto de todos los números naturales desde 1 hasta x. Se define también 0!=1
  33. 33. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 30 COMBINATORIA nCr Se define la combinatoria nCr con n y r N y rn como el número de formas en que n elementos se pueden agrupar en grupos de r sin importar el orden. !! ! rnr n nCr Ejemplo Un campeonato de baloncesto cuenta con 9 equipos que en su fase clasificatoria tienen que jugar todos contra todos, en partidos de ida y de vuelta. ¿Cuántos partidos se tiene que jugar? 2 9 r n 3629 C 722*36 Se tienen que jugar 72 partidos. MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Los modelos de distribución de probabilidad son expresiones que nos permiten calcular la probabilidad de que una variable x tome los diferentes valores de su dominio: Los modelos de distribución de probabilidad se clasifican en modelos para variables discretas y modelos para variable continua. MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES DISCRETAS Entre los principales modelos de distribución para variables discretas tenemos: - Modelo binomial - Modelo hipergeométrico - Modelo poisson MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLE CONTINUA Entre los principales modelos de distribución para variables continuas tenemos: - Normal - t-student
  34. 34. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 31 - F-fisher MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Sea x una variable aleatoriamente discreta, ésta seguirá un desarrollo binomial si cumple cuatro condiciones. 1) El fenómeno aleatorio se repite n veces. 2) El fenómeno aleatorio sólo tiene dos posibles resultados, el éxito y el fracaso. 3) Las sucesivas veces en que se realiza el fenómeno son independientes (con reemplazo). 4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es constante. Si una variable aleatoria discreta cumple estas cuatro condiciones, decimos que se distribuye como una binomial y se define como una secuencia de pruebas independientes con probabilidad de éxito constante y a dicha variable x la definimos como “x” número de éxitos en n pruebas. Rango o recorrido: 0,1,2,…n Para determinar la probabilidad en una distribución binomial se debe conocer n y p. Donde: n: nº de pruebas. p: probabilidad de éxito. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Es la expresión que nos dará la probabilidad de tener x éxitos en n pruebas. Para el caso de la distribución binomial la función de probabilidad es: xnx qpnCxxXPxf * Donde: pq 1 Nota: La p y q se expresa en tanto por uno en las formulas. Ejemplo 1 Se sabe que un determinado vendedor de libros en particular tiene la probabilidad de éxito de 20%. a) Hallar la probabilidad de que en 10 visitas logre 4 ventas. b) Hallar la probabilidad de que en 11 visitas logre 3 o menos ventas.
  35. 35. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 32 c) Hallar la probabilidad de que en 9 visitas logre entre 3 y 5 ventas. d) Hallar la probabilidad de que en 13 visitas logre por lo menos 3 ventas. Solución a) Datos %81,8 0881,0 8,0*2,0*4104 4104 CXP I La probabilidad de que el vendedor en 10 visitas logre 4 ventas es aproximadamente 8,81%. b) Datos ?3 8,0 2,0 11 XP q p n 8387,0 2214,0 8,0*2,0*3113 2953,08,0*2,0*2112 2362,08,0*2,0*1111 0858,08,0*2,0*0110 32103 83 92 101 110 CXP CXP CXP CXP XPXPXPXPXP I La probabilidad de que en 11 visitas logre 3 o menos ventas es aproximadamente 83,9%. c) Datos ?53 8,0 2,0 9 XP q p n 8,02,01 2,0 4 10 q p x n
  36. 36. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 33 852,0 016,0 8,0*2,0*595 066,08,0*2,0*494 176,08,0*2,0*393 45 54 63 CXP CXP CXP I La probabilidad de que en 9 visitas logre entre 3 y 5 ventas es aproximadamente d) Datos ?3 8,0 2,0 13 XP q p n 4983,0 2680,0 8,0*2,0*2132 1786,08,0*2,0*1131 0549,08,0*2,0*0130 %51;51,04983,01 21013 112 121 130 CXP CXP CXP XPXPXPXP I La probabilidad de que en 13 visitas logre por lo menos 3 ventas es aproximadamente 51% Ejemplo 1 Se conoce que el 25% de los estudiantes de un curso han reprobado la materia: a) Si se le pregunta aleatoriamente a 10 estudiantes uno por uno y con reemplazo, cual es la probabilidad de que dos o más hayan reprobado la materia. b) Si se le pregunta aleatoriamente a 12 estudiantes uno por uno y con reemplazo, cual es la probabilidad de que por lo menos 3 hayan aprobado la materia. Solución a) Datos 75,025,01 25,0 10 q p n
  37. 37. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 34 ?2XP 112 XPXP 1012 XPXPXP %,;,, 6757560244012XP 056307502500 0100 010 ,,*,*CXP 187707502501 1101 110 ,,*,*CXP = 0,244 I La probabilidad de que 2 o menos hayan reprobado la materia es aproximadamente el 75,6%. b) Datos ?3 25,0 75,0 12 XP reprobadoq aprobadop n 0 0 25,0*75,0*2122 025,0*75,0*1121 025,0*75,0*0120 %100;101 21013 022 111 120 CXP CXP CXP XPXPXPXP I La probabilidad de que por lo menos 3 hayan aprobado la materia es del 100%. MODELO DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Sea “x” una variable aleatoria ésta seguirá un desarrollo hipergeométrico si cumple las siguientes condiciones: 1) El fenómeno aleatorio se repite n veces. 2) El fenómeno aleatorio tiene únicamente 2 posibles resultados: el éxito y el fracaso. 3) Las sucesivas pruebas en que se repite el fenómeno aleatorio tiene probabilidad de éxito variable (sin reemplazo).
  38. 38. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 35 4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es variable. Si la variable aleatoria cumple estas cuatro condiciones, se dice que se distribuye, como una hipergeométrica que la definimos como una secuencia de pruebas dependientes, con probabilidad de éxito variable. Para que en la practica se presente una distribución hipergeométrica deben existir N objetos en total llamado población de los cuales m son los de cierta clase en los que estamos interesados, además existe N-m=objetos de otra clase, si del total de objetos N se selecciona al azar una muestra de tamaño n uno por uno y sin reemplazo se tiene una distribución hipergeométrica y cuya variable x la definimos como número de objetos de cierta clase en una muestra n. nmsin nmsim recorridooRango 1,0 1,0 Para poder encontrara la probabilidad en una distribución hipergeométrica es necesario conocer N, m, n. nN xnmNxm C CC xXPxf * Donde: N: población n: muestra m: los de cierta clase N-m: los de otra clase Ejemplo De 24 estudiantes que rindieron el 1er. Parcial 10 reprobaron el examen, si se selecciona una muestra aleatoria de 6 estudiantes 1 por 1 y sin reemplazo cual es la probabilidad de que: a) Exactamente cuatro hayan reprobado el examen. b) Por lo menos 5 hayan reprobado el examen. c) Menos de tres hayan aprobado el examen. Solución a)
  39. 39. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 36 Datos ?4 14 10 6 24 XP aprobadosmN reprobadosm n N %,;, * 21414204 624 4614410 C CC XP I La probabilidad de que en una muestra de 6 estudiantes, 4 sean reprobados es 14,2%. b) Datos ?5 14 10 6 24 XP mN m n N %,;, ** 782027805 65 5 624 66146105614510 C CCCC XP C XPXP XP nN I La probabilidad de que en una muestra de 6 estudiantes por los menos 5 hayan reprobado es 2,78%. c) Datos ?3 10 14 6 24 XP reprobadosmN aprobadosm n N 2103 XPXPXPXP
  40. 40. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 37 %;, *** 171703 624 410214510114610014 C CCCCCC XP MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON Sea x una variable aleatoria discreta esta seguirá un modelo de distribución de poisson si en ellas no se presentan una repetición de un fenómeno aleatorio y no existe probabilidad de éxito o fracaso, por el contrario existe un fenómeno aleatorio dentro de un tiempo dado, superficie dada o volumen dado, entonces la variable poisson se define como: x: nº de veces que ocurre un cierto evento en un tiempo dado, superficie dada o volumen dado. Rango ó recorrido: ...3,2,1,0 Para que la distribución de poisson que de totalmente definida tiene que conocerse el promedio , en que el fenómeno se repite por unidad de tiempo, superficie o volumen. Función de probabilidad ! * x e xXPxf x Ejemplo Sea observado que en una estación de servicio en promedio ingresaran 3 vehículos cada 30 minutos, Cual es la probabilidad de que: a) En 30 minutos ingresen exactamente 5 vehículos. b) En 20 minutos como máximo ingrese 1 vehículo. Solución a) min30/3vehix %;, ! * 10100 5 3 5 53 e XP La probabilidad de que en 30 minutos ingresen 5 vehículos es 10%. b) 101 XPXPXP
  41. 41. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 38 2 min20/2 min20 min303 x vehix x vehi %6,40;406,0271,0135,01 !1 2* !0 2* 1 1202 XP ee XP DISTRIBUCIÓN NORMAL MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL Sea x una variable aleatoria continua ésta se distribuirá normalmente si su recorrido es toda recta real, es decir ésta distribuida en el intervalo ; La normal general tiene como parámetros la media y la varianza y se la conoce con el nombre de distribución simétrica, campana de Gauss-Jordan ó curva normal. Función de probabilidad P(x). Para la distribución normal general la función de normal general viene dada por: 2 2 1 2 1 x exf PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL 1.- El área bajo la curva representa la probabilidad. 2.- La curva normal es simétrica con respecto al valor de la media. m p=1 3.- La curva normal tiene un punto máximo para el valor x . 4.- La curva normal tiene dos puntos de inflexión (puntos donde cambia la concavidad) en: x y x
  42. 42. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 39 Asíntota es una línea cualquiera recta que se acerca a la función sin tocarla. 5.- La curva normal es asintótica en sus extremos. Para realizar el cálculo de probabilidades, es decir el área bajo la curva se debe integrar la función de probabilidad, cosa que es muy difícil y en su lugar integramos las tablas estadísticas. MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD Es una distribución derivada de la normal general que obtenemos realizando un cambio de variable a la función inicial, para esto realizaremos el proceso de la estandarización o tipificación que consiste en restar a cada valor de la variable la media poblacional y dividir este resultado entre la desviación standard poblacional x z La función de probabilidad quedaría: 2 2 1 2 1 z exf Gráfico simétrico )(z )(z0z x z Ambos lados son iguales porque el gráfico es simétrico CARACTERÍSTICAS DE LA NORMAL STANDARD Los valores de z siguen las siguientes condiciones: En el centro 0z (cero); desde el centro hacia la derecha los valores de z son positivos y hacia la izquierda son negativos. RELACIÓN ENTRE DESVIACIÓN STANDARD POBLACIONAL Y LA CURVA NORMAL
  43. 43. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 40 El valor de la desviación standard poblacional influye sobre la probabilidad que es el área bajo la curva de la siguiente manera: El área bajo la curva normal entre los puntos de la variable y es igual a 68%. 68% El área bajo la curva entre los puntos de la variable 2 y 2 es 95%. 22 95% El área bajo la curva entre las áreas de la variable 3 y 3 es 99,7%. 33 99,7% x z 2 2 1 2 1 z exf El uso de la tabla estadística para la distribución normal standard (apéndice II). Nota Cuando los dos signos son diferentes se suman, cuando los signos de z son iguales se restan Cuando z es mayor a 3,9 se asume que 5,0p . EJEMPLOS Dado el valor z hallar P 1.- Hallar P entre 0z y 12,1z
  44. 44. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 41 0z 12,1 Con 3686,012,1 Pz tabla 2.- Hallar P entre -1,28z y 0z 0z28,1 Con 3997,028,1 Pz tabla 3.- Hallar P entre 1,2z y 08,1z 8420,0 3599,008,1Con 4821,01,2Con * 22 11 P Pz Pz tabla tabla 4.- Hallar P entre 81,01z y 1,22z 2z1zz 4826,011,2Con 2910,081,0Con 22 11 Pz Pz tabla tabla 1916,02910,04826,0 ** PP 5.- Hallar P entre 13,2z y 17,1z 1044,03790,04834,0 ** PP 6.- Hallar P a la izquierda de 13,1z 3708,015,1Con 1Pz 1292,03708,05,0* P 7.- Hallar P a la derecha de 88,01z 3106,01P 5,02P 8106,0* 21 PPP
  45. 45. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 42 8.- Hallar P a la derecha de 1z 3413,01P 1587,03413,05,0 ** PP Dado el valor P (área) determinar el valor de z 1.- Hallar el valor de z si 3531,0P Sea 05,13531,0 zP 2.- Hallar z si el área a su derecha es 0,0582 57,14418,00582,05,0 ZP 3.- Hallar z si el área a su derecha es 0,8461 02,13461,05,08461,0 z 4.- Hallar z si el área entre 2 valores de z es 28472,0* P 8472,0 4236,0 4236,0 * 2 1 P P P 43,1 43,1 2 1 z z INTERPOLAR Es realizar una operación para encontrar un valor que no aparece en la tabla. Ejemplos Si 4874,0P .Hallar z 24,24875,0 4874,0 23,24871,0 z c a d b 2475,2 0075,024,2 23,2 0075,0 01,023,224,2 0003,04871,04874,0 0004,04871,04875,0 z z dz d c b a 0075,0 0004,0 0003,0*01,0* ________ ________ d a bc d dc ba Hallar z para 3,0P
  46. 46. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 43 85,03023,0 3,0 23,22996,0 z z z c a d b 8414815,0 0014815,084,0 0014815,0 0004,0 01,0 0027,0 z z d c b a 0014815,0 0027,0 0004,0*01,0 ________ ________ d dc ba Ejemplos 1.- Suponga que la demanda mensual de un bien de consumo se distribuye normalmente con una media de 650 Kg. y una desviación standard de 100 Kg. Hallar la probabilidad de que la demanda mensual sea superior a 500 Kg. Datos 650 Kg. 100Kg. ?500xP 50,1 100 650500 z 500 650 x z * P 05,1 4332,05,1 1Pz tabla %7,60668,0 4332,05,0 * * P P 2.- Suponga que el ingreso mensual por familia en una comunidad tiene una distribución normal con una media de 600 $ y una varianza de 10000 $. a) Calcular la probabilidad de que al interrogar sobre el ingreso mensual a una familia elegida aleatoriamente esta responda que es menor a 450 $us. Datos 600$us 10000$us
  47. 47. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 44 450xP 50,1 100 150 10000 600450 z 450 600 x z * P 05,1 %7,60668,04332,05,0 4332,05,1 * 1 P Pz b) Determinar la proporción de familias cuyo ingreso mensual este entre 500 $us y 680 $us. Datos 600$us 100$us ?680500 xP 6294,0 2881,08,0 100 600680 3413,01 100 600500 2 1 z z %94,62* P x z 000,1 600 6294,0* P 680500 80,0 I La proporción de familias con ingreso mensual entre 500 y 680 $us es 62,94%. 3.- Los pesos de los conscriptos en un cuartel se distribuyen normalmente con una media de 69 Kg. y una varianza de 52 kg2. A partir de esta información determinar:
  48. 48. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 45 a) Cual es la proporción de conscriptos que pesan 65 ó más Kg. b) Si se escoge aleatoriamente a un conscripto cual es la probabilidad de que su peso este comprendido entre 60y 75 Kg. c) Que peso deja por encima de 100 al 60% del total de los pesos. d) Entre que pesos se encuentra el 68% del total de pesos, los pesos centrales Solución a) Datos 69Kg. 52Kg2. ?65xP 5547,0 211,7 6965 65xP %88,70;7088,0* 2088,05,0* 2088,05547,0 P P Pz z 055,0 6952 x I La proporción de los conscriptos que pesan más de 52 Kg. es de 70,88%. b) Datos 69Kg. 52Kg2. ?.75.60 KgxKgP 83,0 211,7 6975 75 25,1 211,7 6960 60 xP xP 6911,0 2967,083,0 3944,025,1 * 22 11 P Pz Pz
  49. 49. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 46 z 025,1 69 75 x 60 83,0 I La probabilidad de que pesen 60 y 75 Kg. es de 69,11%.
  50. 50. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 47 UNIDAD Nº 2 DISTRIBUCIONES MUESTRALES INTRODUCCIÓN Las distribuciones muestrales son distribuciones de probabilidades de los indicadores estadísticos muestrales, es decir de los estimadores para muestras del tamaño n seleccionados de una población determinada N . De las distribuciones muestrales lo que nos interesa conocer es su media y su varianza es decir como se distribuye cada estimador estadístico, cual es su forma para luego realizar inferencia respecto a los parámetros poblacionales, es decir que en base a indicadores estadísticos muestrales podamos averiguar el comportamiento de los parámetros de la población. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE El teorema central del límite sostiene que en la mayoría de los estimadores estadísticos a medida que aumenta el tamaño de la muestra el estimador se distribuye aproximadamente como una normal y el estimador tiende a ser el verdadero valor del parámetro. El teorema constituye la base de toda la teoría del muestreo. Ejemplo Si deseamos estimar y tenemos de una muestra el valor _ x . Si n es grande entonces _ x se acerca al valor de . DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA Si la distribución es normal y el tamaño de la muestra es grande 30n entonces la media muestral se distribuye como una normal stándard y en este caso el valor de z se calcula con la expresión: x x Z Donde: medialadetípicoError x :
  51. 51. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 48 nx Reemplazando _ x z n 0z x z Si el tamaño de la población “N” es finito (se conoce población) y además se cumple que: 050, N n Entonces: _ 1 x z N n Nn Ejemplo Se conoce que los pesos en Kg. de los estudiantes de una determinada universidad se distribuye normalmente con una media de 72 Kg. Y con una varianza de 58 Kg2. a) Si se selecciona una muestra aleatoria de 35 estudiantes, ¿cual es la probabilidad de que esta media sea inferior a 75 Kg.? Datos 2 _ 72 58 35 75 ? Kg Kg n P x
  52. 52. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 49 _ 75 72 2,33 58 35 x z n 1 1 2,33 0,4901 * 0,5 * 0,9901;99,09% z p p p p 0z x z 72 75 *p b) Hallar la probabilidad de que la media muestral este entre 70 y 77 Kg. Datos (70 77) ?P x 0z x z 72 77 1z 2z 70 _ 1 1 2 2 70 72 1,55 0,4394 58 35 77 72 3,88 0,4999 58 35 * 0,9393;93,93% x z p n z tabla p p 
  53. 53. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 50 La probabilidad de que la media muestral este entre 70 y 77 es de 93,93%. c) Cual es la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre 68 y 70 Kg. 0z x z 727068 1 1 2 2 68 72 35 3,99 0,4991 58 70 72 35 1,55 0,4394 58 0,0597 z p z p La probabilidad de que la media muestral este entre 68 y 70 es 5,97%. Ejemplo 2 1200 postulantes darán examen de ingreso para una facultad de la U pública, estas notas se distribuyen normalmente con una media de 54,5 pts. Y una desviación estándar de 5,5 pts. a) Halla la probabilidad de que una nota elegida al azar este entre 49 y 53 pts. b) Si se toma una muestra aleatoria de 80 calificaciones cual es la probabilidad de que la media se la muestra sea mayor a 56 pts. Solución a) Datos 54,5 5,5 (9 53) ?P x 1 1 2 2 49 54,5 1 0,3413 5,5 53 54,5 0,27 0,1064 5,5 0,2349 x z p z p 0z x z 54,55349 La probabilidad de que una nota elegida al azar este entre 49 y 53 pts. es de 23,49% b) Datos
  54. 54. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 51 ( 56) ? 80 P x n 0,05 * 1 56 54,5 1,5 2,52 0,4941 0,61 0,9665,5 1200 80 * 1200 180 * 0,5 0,4941 0,0059;0,59% x n z si NN n Nn z p p 0z x z 54,5 56 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES PROPORCIÓN POBLACIONAL Una proporción poblacional es un parámetro de la población definido como el cociente (división) entre el número de unidades que cumple una cierta característica iA y el tamaño de la población N . iA P N Una proporción muestral “p” es un estimador de la proporción poblacional y esta definida como el cociente entre el número de unidades que tiene cierta característica en la muestra ia y el tamaño de la muestra n ia p n Las proporciones pueden expresarse en tanto por uno o en tanto por ciento al multiplicarlo por 100. Si en una población que se distribuye como una normal se extrae una muestra de tamaño n y en ella se identifican un cierto número de elementos que tiene una característica específica y a partir de ella se estima la proporción poblacional, entonces para realizar el calculo de probabilidad con respecto a una proporción muestral se utiliza como estadístico la normal stándard.
  55. 55. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 52 El estadístico ""z para la distribución muestral de proporción se calcula con la expresión: p Pp z donde: n QP p * Donde: p proporción muestral P proporción poblacional lpoblacionaproporciónladeocomplementQ Reemplazando n QP Pp z * Si el tamaño de la población “ N ” es finito y el cociente 0,05 n N entonces la formula anterior debe ser dividida entre el factor de finitud: 1N nN Y la expresión de z se convierte en: 1N nN n QP Pp z * * Ejemplo De una población 1200 estudiantes de cierta carrera de la U pública, se han seleccionado una muestra aleatoria de 200 estudiantes y en ellos se investiga los que están de acuerdo con las propuestas de un candidato a Rector para las elecciones. A partir de investigaciones previas se conoce que la proporción de los que están de acuerdo con la propuesta de dicho candidato es 15%. a) Calcular la probabilidad de que la proporción muestral sea inferior al 18%.
  56. 56. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 53 Datos ?,180pP 200n 150,P 85015011 ,.PQ 1200N 1N nN n QP Pp z * * 301 11200 2001200 200 850150 150850 , * ,*, ,, z En la tabla encontramos que para 301,z por tabla 4032,01p Como 4032,05,0* p 9032,0* p ; 90,3 % b) Hallar la probabilidad de que la proporción muestral este entre 12% y el 17%. 0,12 17P p 0z x z 0,15 0,170,12 1 2 1 2 0,12 0,15 1,30 0,4032 0,15 0,85 1200 200 * 200 1200 1 0,17 0,15 0,87 0,3078 0,15 0,85 1200 200 * 200 1200 1 0,711;71,1% z p z p p p c) Hallar la probabilidad de que la proporción muestral este comprendida entre 18% y 22%.
  57. 57. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 54 0,18 0,22P p 0z x z 0,15 0,220,18 40320301 11200 2001200 200 850150 150180 1 ,, * ,*, ,, pz 49880033 11200 2001200 200 850150 150220 2 ,, * ,*, ,, pz %,;,,,* 56909560403204988012 ppp d) Entre que valores de proporción se encuentran el 50% de las proporciones muestrales más cercanas a la proporción poblacional. 2 0,25nP p p p x z 0,15 1z 2z 1 0,25p 2 0,25p * 0,5P 0,0032 0,01 0,0014 a b c 00430 00320 00140010 , , ,*,* a cb d
  58. 58. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 55 1 2 0,67 0,0043 0,6744 0,6744 z z z Despejando p del expresión: 1N nN n QP Pp z * * Tenemos P N nN n QP zp 1 * * Calculando p1 y p2: 150 11200 2001200 200 850150 674401 ,* ,*, ,p 150015501 ,,p %,;, 41313401p De la misma manera se calcula el valor de 2p con la diferencia de que al estar 2z a la derecha este valor es positivo 67440,z y así 2p será: 150 11200 2001200 200 850150 674402 ,* ,*, ,p 150015502 ,,p %,;, 51616502p Rta. El 50% de las proporciones muestrales, las más cercanas a la proporción poblacional se encuentran entre 13,4% y 16,5%.
  59. 59. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 56
  60. 60. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 57 UNIDAD Nº 3 ESTIMACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES INTRODUCCIÓN En esta unidad analizaremos de qué manera se puede estimar el valor de un parámetro poblacional a partir de datos muestrales, los parámetros que analizaremos en la presente unidad serán la media, la proporción y la diferencia de medias. Para esto es importante en ciertos casos la utilización de la distribución t-student. DISTRIBUCIÓN T-STUDENT La distribución t-student es una distribución derivada de la normal Standard y se utiliza para muestras pequeñas es decir 30n . El área bajo la curva representa a la proporción ó probabilidad por lo tanto el área bajo la curva de la distribución t-student es igual a 1; la gráfica de la distribución t-student tiene una forma similar a la gráfica de la distribución normal Standard; el valor del estadístico “t” en el centro del gráfico es igual a 0; los valores de “t” en el lado derecho son de signo positivo (+) y los valores de “t” en la izquierda son de signo negativo (-). t 0t t t 1 P CARACTERÍSTICAS DE LA TABLA T-STUDENT La tabla t-student (apéndice III), nos muestra los valores de la variable t en el cuerpo de la tabla (adentro), en la parte superior se encuentran las probabilidades o proporciones para ciertos valores los cuales son 99,5%, 99%, 97,5%... Los grados de libertad en una estimación se definen como la diferencia entre el tamaño de la muestra y la cantidad de parámetros que se está estimando k entonces kn generalmente 1k por lo tanto 1n En la parte izquierda de la tabla aparecen los grados de libertad , 1n Para valores menores a 50% se trabaja por el complemento para entrar a la tabla.
  61. 61. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 58 0,1 0,10 0,9t t USO DE LA TABLA Ejemplo 1 Hallar 0,95t para 9222 ,t Ejemplo 2 Hallar 0,75t para 687020 ,t El ejemplo anterior se expresa 20750 contP t , 0t 0,687t 0,75 t Ejemplo 3 Hallar “t” si: 0,1 19P t t y n 0,1 0,9 0,9 1,33t t t 1 19 1 18 n t 0t 0,1 Ejemplo 4 Hallar “t” si: 1530 nytP t , 0,7 0,3 0,7 15 1 14 0,537t t t t 0t 0,537t Ejemplo 5 Hallar “t” si: 0,95 7P t t t y n
  62. 62. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 59 0,975 6 0,975 2,45 t t 1t 2t0t 0,95 0,025 ESTIMACIÓN Es el proceso mediante el cual se enuncia el probable valor de un parámetro poblacional a partir de el valor de un estadígrafo muestral ESTIMACIÓN PUNTUAL Consiste en utilizar cierta magnitud muestral y a partir de ella estimar el verdadero valor del parámetro poblacional, en esta estimación no se especifica el grado de certeza con que se realiza la estimación. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Consiste en construir un intervalo con cierto nivel de confianza 1 , también llamado nivel de certeza y se afirma que dentro de los límites del intervalo se encuentra el verdadero valor del parámetro poblacional, es decir que con cierto nivel de confianza se espera que dentro de este intervalo se encuentre el verdadero valor del parámetro poblacional. NIVEL DE CONFIANZA 1 Es el grado de confianza expresado en probabilidad con que se afirma, que el verdadero valor del parámetro poblacional se encuentra dentro de los límites del intervalo. x 1x 2x 1 z z0z z NIVEL DE SIGNIFICANCIA Este valor representa el grado o nivel de desconfianza o no certeza de que el verdadero valor del parámetro se encuentre dentro del límite del intervalo.
  63. 63. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 60 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL Si de una población que se distribuye normalmente se selecciona una muestra aleatoria grande mayor a 30 30n y se tiene una varianza poblacional conocida entonces el intervalo de confianza se construye a partir del estadístico normal estándar x 1 z 2 z0z z 1 1 2 1 1 2 cola cola cola cola 1 0,9 1 0,9 0,1 0,05/ 2 2 2 Para hallar el intervalo de confianza se debe llevar a un extremo y al otro extremo del valor de la media poblacional al valor de la media muestral _ x sumando y restando el estadístico 2 z multiplicado por el error estándar de la media muestral nx Reemplazando 1 22 n zx n zxP Si el tamaño de la muestra es pequeño 30n y la población es normalmente distribuida se utiliza el estadístico 2 t y la construcción del intervalo de confianza para el verdadero valor de la media poblacional, se realiza mediante la expresión: 1 22 n S tx n S txP Ejemplo 1 Las calificaciones de los estudiantes de un curso se distribuyen normalmente con una varianza de 149 pts2. Si se selecciona una muestra aleatoria de 40 estudiantes y en ella se calcula la
  64. 64. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 61 media de 65 pts. Construya un intervalo de confianza al 90% para el verdadero valor de la nota promedio poblacional. Datos 22 149 pts entonces pts149 40n ptsx 65 901 , x 1 z 2 z0z z 190, 901 , 10, dividiendo ambos miembros entre 2 tenemos: 2 10 2 , 050 2 , Con 050 2 , tenemos que según la tabla de z 1 0,4500P Interpolando 0,4495 1,64 0,4500 1,645 0,4505 1,65 z 6451 2 ,z Reemplazando en 1 22 n zx n zxP
  65. 65. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 62 149 149 65 1,645 65 1,645 0,9 40 40 65 3,17 65 3,17 0,9 61,82 68,17 0,9 P P P Con un nivel de confianza del 90% se puede afinar que el verdadero valor del promedio de notas está entre 61,82 pts. Y 68,17 pts. Calcular el intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% 1 0,95 1 0,95 0,05 0,025 2 Con 02504501 ,,P 47501 ,P Con 47501 ,P en la tabla encontramos que: 961 2 ,z x 0z z 0,025 0,95 Reemplazando 149 149 65 1,96 65 1,96 0,9 40 40 65 3,78 65 3,78 0,9 61,2 68,78 0,9 P P P I. Con un nivel de confianza de 95% se puede afirmar que el verdadero valor del promedio de notas esta entre 61,22 pts. Y 68,78 pts. Ejemplo 2
  66. 66. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 63 Se han tomado los pesos de 11 estudiantes de un curso muy numeroso el cual se construye de una muestra aleatoria, estos pesos son los siguientes: 58, 61, 64, 69, 66, 62, 62, 60, 62, 63, 65 Kg. Construya un intervalo de confianza a un nivel de confianza del 95 % Datos 11 1 0,95 n x 0z z 0,025 0,95 1 0,95 0,05 2 0,025 2 0,95 0,025 0,975 3,015 3,015 62,91 2,23 62,91 2,23 0,95 11 11 62,91 2,027 62,91 2,027 0,95 60,88 64,94 0,95 P P P Con un nivel de confianza del 95%. Se puede afirmar que el verdadero valor del promedio poblacional se encuentra entre 60,88 y 64,94 Kg. DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA Tamaño de la muestra para la estimación de una media poblacional. El tamaño mínimo de la muestra para estimar una media se realiza o calcula en 2 pasos: 1º Paso 2 2 2 2 * º e z n 2º Paso
  67. 67. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 64 N n n n º 1 º Donde: nº: (casi muestra) e : error que podemos cometer (absoluto) Si e está en % entonces % _ exe Si no tenemos N o es muy grande no se puede calcular el paso 2. Tamaño de la muestra para estimar una proporción poblacional. 1º Paso 2 2 2 ** º e qpz n 2º Paso N n n n º 1 º Nota: Si 2 no es conocido se hace una prueba piloto y se reemplaza E2con S2. Si no se puede determinar qp, se asume 5,0;5,0 qp , porque esta combinación nos produce un mayor producto qp* . El error en la formula para estimar proporciones siempre esta en unidades relativas, al reemplazar en la fórmula se expresa en tanto por uno. Ejemplo1 Un sindicato tiene 1000 afiliados los cuales deben renovar su directorio se desea determinar el tamaño de la muestra para estimar la proporción que apoyará al candidato A, esta estimación se desea determinar con una confianza del 90%. Para esto se realiza una prueba piloto con 20 afiliados elegidos aleatoriamente y se encuentra en esta muestra que 8 apoyaran al candidato A. suponer que se va a cometer un error del 5%. Datos
  68. 68. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 65 ? 9,01 1000 n N Prueba piloto De 20 personas entrevistadas 8 apoyarán al candidato A, entonces: 20 8 p 4,0p y 6,0q 05,0%5e 1 0,9 1 0,9 0,1 0,1 0,05 2 2 z 0,9 xz 0,4495 1,64 0,4500 1,645 0,4505 1,65 z 0,05 2 ^ ^ 2 2 2 2 / 2 * * º 1,645 *0,4*0,6 º 259,78 0,05 259,78 º 206,2 207 259,78 1 1000 z p q n E n n lo redondeo a un número mayor Ejemplo2 Se desea saber el tamaño de la muestra para estimar la edad promedio en una Universidad Privada que tiene 7000 alumnos, si se sabe que la desviación standard es de 3 años. Asumir que el error que se puede cometer es de 5% y la estimación deseamos hacerla a un nivel de confianza del 95%. Mediante una prueba piloto se determino que el promedio de edad era de 21 años.
  69. 69. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 66 Solución 2 2 _ ? 7000 3 9 5% 0,05 1 1 0,95 0,05 0,05 0,025 2 2 %* 0,05*21 1,25 n N años E E E x E z 0,95 xz 1 20,3 0,025 0,475 1,96p z 0,025 2 2 2 2 1,96 * 3 º 31,36 1,05 31,36 º 31,22 32 31,36 1 7000 n n lo redondeo a un número mayor MUESTREO y TIPOS DE MUESTREO Los muestreos son técnicas para recolectar datos a partir de una población al realizar un muestreo se debe aplicar diseños muestrales entre los que tenemos: Aleatorio Sistemático Estratificado Conglomerado MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Es una técnica de muestreo en la cual todas las unidades observadas tienen la misma
  70. 70. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 67 probabilidad de ser elegidos y tomados como parte de la muestra. MUESTREO SISTEMÁTICO Está técnica de muestreo tiene la característica de que los elementos seleccionados para la muestra son elegidos en base a una secuencia planificada. Generalmente se aplica en un muestreo llevado a cabo en líneas de producción (fábricas). MUESTREO ESTRATIFICADO Es una técnica de muestreo donde las unidades observadas son heterogéneas y se encuentran formando segmentos de la población entre los principales ejemplos podemos citar poblaciones agrupadas por segmentos sociales, segmentos académicos, segmentos políticos, económicos, etc. MUESTREO CONGLOMERADO Es una técnica de muestra en la que las unidades observadas se encuentran agrupadas en sindicatos, facultades dentro de una Universidad, sucursales bancarias departamentales en el país.
  71. 71. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 68 UNIDAD Nº 4 VERIFICACIÓN DE PARAMETROS POBLACIONALES INTRODUCCIÓN La verificación de hipótesis es un procedimiento mediante el cual se puede tomar decisiones acerca de la población este procedimiento también se llama prueba de hipótesis o décima de hipótesis. La verificación de hipótesis permite determinar cual es la región crítica de rechazo (Re) y cual es la región de aceptación (Ra). Las regiones se determinan mediante el estadístico adecuado. Si el estadístico calculado ó obtenidos mediante formulas cae en la zona de rechazo entonces se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna por el contrario si cae en la región de aceptación se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alterna. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Una hipótesis estadística es afirmación acerca de un parámetro poblacional sobre la cual hay inseguridad en el momento de formularla y es expresada de tal forma que puede ser aceptada ó rechazada. Es un supuesto acerca de un parámetro poblacional ya sea media aritmética, proporción y varianza,etc. Existen 2 clases de hipótesis estadísticas HIPOTESIS NULA H0 Es aquella que por medio de la cual se hace una afirmación sobre un parámetro, que se va a constatar con el resultado muestral. HIPOTESIS ALTERNA H1 Es aquella hipótesis que defiere de la hipótesis nula, es decir: ofrece una alternativa, afirmando que la hipótesis nula es falsa. H0 H1 TABLA 2 Colas 1cola 1cola
  72. 72. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 69 ERRORES QUE SE PUEDEN COMETER Al momento de tomar una decisión sobre las hipótesis planteadas hay la posibilidad de cometer dos tipos de errores. ERROR TIPO I Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera ERROR TIPO II Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. Gráficamente tenemos: VERDADERA FALSA ACEPTAR Decisión Correcta Error Tipo II RECHAZAR Error Tipo I Decisión Incorrecta PASOS PARA EL PLANTEAMIENTO DE HIPÓTESIS 1) Planteamiento de Hipótesis 2) Especificar el nivel de confianza 3) Recolección de datos 4) Selección del estadístico pertinente z ó t 5) Determinación de la zona de aceptación y rechazo (Ra) y (Rr). (Tabla). 6) Determinación o calculo de Zi ó ti (Formula). 7) Toma de decisión FORMULAS PARA ESTADÍSTICOS Muestra Grande P/u _ x Zc n Muestra Pequeña _ c x t S n
  73. 73. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 70 P/p ^ * p p Zc p q n Ejemplo 1 Según la información histórica de una fábrica se sabe que ésta produce el 50% de los productos en calidad superior. Se desea verificar esta situación y para esto se tomo una muestra aleatoria de 36 productos y se detectó que 27 estaban con calidad superior. Verificar a un nivel de confianza de 95% si la proporción de los productos de calidad superior actual es mayor a la proporción histórica. Solución 1) 0 0: 0,5 : 0,5H p H p 2) 1 0,95 0,05 3) ^ 36 27 27 0,75 36 n productos calidad p 4) ^ * p p Zc p q n 5) 1,64Z AR x 0,5 0,05 0,45 1,645p Z 0,05 RR 6)
  74. 74. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 71 0,75 0,5 3 0,5*0,5 36 Zc 7) Se rechaza la H0 de que 5p y se acepta la H1 de que 5p A un nivel de confianza del 95% se verifica que la proporción de productos de calidad superior es mayor a la histórica. Ejemplo 2 Un inspector de calidad investiga las acusaciones contra una embotelladora por un deficiente llenado que debe ser un promedio 32,5 oz para ello toma una muestra de 60 botellas encontrando que el contenido medio es 31,9 oz, se sabe que la máquina embotelladora debe producir un llenado con una desviación standard de 3,6 oz. A un nivel de significancia de 5% puede el inspector concluir que están llenando por debajo de su especificación de contenido. Solución 1) 0 0: 32,5 : 32,5H H 2) 0,05 3) _ 60 31,9 3,6 n x oz 4) _ x Zc n 5) 1,64Z AR x 1 0,45 1,645tp Z 0,05 RR
  75. 75. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 72 6) 31,9 32,5 1,29 3,6 60 Zc 7) Como cayó en la RA entonces es valida la H0 y el inspector no debe concluir que se está embotellando el producto por debajo de su especificación a un nivel de significancia del 5%. Ejemplo 3 Se sabe que la proporción de habitantes de una región que consume habitualmente un producto es de 50%, si se extrae una muestra de 100 habitantes y en ella 63 afirmaron que consumían dicho producto. Verificar a un nivel de confianza del 95% que la proporción de habitantes que consumen dicho producto sigue siendo 50%. Solución 1) 0 1: 0,5 : 0,5H p H p 2) 1 0,95 0,05 0,025 2 3) ^ 100 63 63 0,63 100 n consumian p 4) ^ * p p Zc p q n 5)
  76. 76. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 73 1,96tz AR x1,96z 1 10,5 0,025 0,475 0,475 1,96tp con p Z 0,025 2 RRRR 6) 0,63 0,5 2,6 0,5*0,5 100 Zc 7) Se rechaza la H0 y se acepta la H1. Se verifica que la proporción de la población que consume dicho producto no sigue siendo 50% a un nivel de confianza del 95%. Ejemplo 4 Un agrónomo mide el contenido de humedad en cierta variedad de trigo que fue secado, si tomo una muestra de 16 toneladas la cual la subdivida en 16 muestras midiéndose el contenido de la humedad que se presentan a continuación. 7,2 6,8 7,3 7,0 7,3 7,3 7,5 7,3 7,4 7,2 7,6 7,1 7,4 6,7 7,4 6,9 Si el contenido de humedad excede a 7,1 el proceso de secado debe continuar ¿Deberá continuar con el proceso de secado tomando un nivel de confianza del 95%? Solución 1) 0 1: 7,1 : 7,1H H 2) 1 0,95 0,05 3)
  77. 77. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 74 _ 7,21 0,25 16 x S n 4) _ c x t S n 5) 1,75ct x 0,05 0,95 1,75 1 16 1 15 ct n 0,05 RRAR 6) 7.21 7,1 0,11 1,76 0,25 0,0625 16 ct 7) Se rechaza la H0 y se acepta la H1. A un nivel de confianza del 95% se concluye que se debe continuar con el proceso secado por que 7,1. Ejemplo 5 Un fabricante de productos naturales afirma que su medicina puede reducir la fiebre en 90% de los casos de alergia. En una muestra de 200 personas con alergia su medicina redujo la fiebre en 160 personas. Determinar si la afirmación del fabricante es legitima a un nivel de significancia de 1%. Solución 1) 0 1: 0,9 : 0,9H p H p 2) 0,01
  78. 78. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 75 3) ^ 200 160 0,8 200 n p 4) ^ * p p Zc p q n 5) 2,3267tZ AR x 0,01 RR 0,4898 2,32 0,0002*0,01 0,4900 0,0003 0,00670,4901 2,33 z 6) 0,8 0,9 4,72 0,9*0,1 200 Zc 7) Se rechaza H0 y se acepta H1. La afirmación del fabricante no es cierta a un nivel de significancia de 1%. Ejemplo 6 Un trabajador social que cree que el peso promedio de los muchachos de 10 años que viven e un sector rural determinado es inferior a 34 Kg. Una muestra aleatoria de 25 muchachos tomada en esa población arrojo un peso promedio de 30 Kg. Y una desviación típica de 10 Kg. Verificar la aceleración del trabajador social a un nivel de significancia del 5%. Solución 1) 0 1: 34 : 34H H 2)
  79. 79. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 76 0,05 3) _ 25 30 10 n x S 4) _ c x t S n 5) 1,71ct AR x 0,05 0,95 1,71 1 25 1 24 ct n 0,05 RR 6) 30 34 4 2 10 2 25 ct 7) Se rechaza H0 y se acepta H1. La aceleración del trabajador social es legítima.
  80. 80. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 77 GLOSARIO DE TÉRMINOS TÉCNICOS COMPLEMENTO DEL EVENTO ( __ E ) Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al espacio muestral y no pertenecen al evento. COMPLEMENTO DE PROBABILIDAD qPEP ;; ____ El complemento de la probabilidad de un evento es la probabilidad de que dicho evento no ocurra. ERROR TIPO I Rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadero. ERROR TIPO II Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falso. ESPACIO MUESTRAL S Es el conjunto de todas las posibilidades que presenta un fenómeno aleatorio. ESTIMACIÓN Es el proceso mediante el cual se enuncia el probable valor de un parámetro poblacional a partir del valor de un estadígrafo muestral. ESTIMACIÓN PUNTUAL Consiste en utilizar cierta magnitud muestral y a partir de ella estimar el verdadero valor del parámetro poblacional, en esta estimación no se especifica el grado de certeza con que se realiza la estimación. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Consiste en construir un intervalo con cierto nivel de confianza 1 , también llamado nivel de certeza y se afirma que dentro de los límites del intervalo se encuentra el verdadero valor del parámetro poblacional, es decir que con cierto nivel de confianza se espera que dentro de este intervalo se encuentre el verdadero valor del parámetro poblacional. EVENTO O SUCESO E
  81. 81. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 78 Un evento es un subconjunto del espacio muestral y se lo plantea como: lo que se espera que suceda. EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de la ocurrencia o no del otro evento. EVENTO DEPENDENDIENTE Un evento es dependiente cuando su probabilidad depende de la ocurrencia de un acontecimiento previo. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos elimina de posibilidad que el otro evento ocurra. FENÓMENO ALEATORIO Es aquel acontecimiento cuyo resultado final no se puede predecir con exactitud, porque presenta dos o más opciones. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Una hipótesis estadística es afirmación acerca de un parámetro poblacional sobre la cual hay inseguridad en el momento de formularla y es expresada de tal forma que puede ser aceptada ó rechazada. Es un supuesto acerca de un parámetro poblacional ya sea media aritmética, proporción y varianza, etc. Existen 2 clases de hipótesis estadísticas. HIPOTESIS NULA 0H Es aquella que por medio de la cual se hace una afirmación sobre un parámetro, que se va a constatar con el resultado muestral. HIPOTESIS ALTERNA 1H Es aquella hipótesis que defiere de la hipótesis nula, es decir: ofrece una alternativa, afirmando que la hipótesis nula es falsa.
  82. 82. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 79 MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Los modelos de distribución de probabilidad son expresiones que nos permiten calcular la probabilidad de que una variable x tome los diferentes valores de su dominio: MODELO DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Sea x una variable aleatoriamente discreta, ésta seguirá un desarrollo binomial si cumple cuatro condiciones. 1) El fenómeno aleatorio se repite n veces. 2) El fenómeno aleatorio sólo tiene dos posibles resultados, el éxito y el fracaso. 3) Las sucesivas veces en que se realiza el fenómeno son independientes (con reemplazo). 4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es constante. Si una variable aleatoria discreta cumple estas cuatro condiciones, decimos que se distribuye como una binomial y se define como una secuencia de pruebas independientes con probabilidad de éxito constante y a dicha variable x la definimos como “x” número de éxitos en n pruebas. Rango o recorrido: 0,1,2,…n Para determinar la probabilidad en una distribución binomial se debe conocer n y p. Donde: n: nº de pruebas. p: probabilidad de éxito. MODELO DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Sea “x” una variable aleatoria ésta seguirá un desarrollo hipergeométrico si cumple las siguientes condiciones: 1) El fenómeno aleatorio se repite n veces. 2) El fenómeno aleatorio tiene únicamente 2 posibles resultados: el éxito y el fracaso. 3) Las sucesivas pruebas en que se repite el fenómeno aleatorio tiene probabilidad de éxito variable (sin reemplazo). 4) La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es variable. Si la variable aleatoria cumple estas cuatro condiciones, se dice que se distribuye, como una hipergeométrica que la definimos como una secuencia de pruebas dependientes, con probabilidad de éxito variable. Para que en la practica se presente una distribución hipergeométrica deben existir N objetos en total llamado población de los cuales m son los de cierta clase en los que estamos interesados,
  83. 83. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 80 además existe N-m=objetos de otra clase, si del total de objetos N se selecciona al azar una muestra de tamaño n uno por uno y sin reemplazo se tiene una distribución hipergeométrica y cuya variable x la definimos como número de objetos de cierta clase en una muestra n. nmsin nmsim recorridooRango 1,0 1,0 Para poder encontrara la probabilidad en una distribución hipergeométrica es necesario conocer N, m, n. nN xnmNxm C CC xXPxf * MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON Sea x una variable aleatoria discreta esta seguirá un modelo de distribución de poisson si en ellas no se presentan una repetición de un fenómeno aleatorio y no existe probabilidad de éxito o fracaso, por el contrario existe un fenómeno aleatorio dentro de un tiempo dado, superficie dada o volumen dado, entonces la variable poisson se define como: x: nº de veces que ocurre un cierto evento en un tiempo dado, superficie dada o volumen dado. Rango ó recorrido: ...3,2,1,0 Para que la distribución de poisson que de totalmente definida tiene que conocerse el promedio , en que el fenómeno se repite por unidad de tiempo, superficie o volumen. Función de probabilidad ! * x e xXPxf x MODELO DE DISTRIBUCIÓN NORMAL STANDARD Es una distribución derivada de la normal general que obtenemos realizando un cambio de variable a la función inicial, para esto realizaremos el proceso de la estandarización o tipificación que consiste en restar a cada valor de la variable la media poblacional y dividir este resultado entre la desviación standard poblacional x z La función de probabilidad quedaría:
  84. 84. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 81 2 2 1 2 1 z exf MODELO DE DISTRIBUCIÓN T-STUDENT La distribución t-student es una distribución derivada de la normal Standard y se utiliza para muestras pequeñas es decir 30n . MUESTREO Los muestreos son técnicas para recolectar datos a partir de una población. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Es una técnica de muestreo en la cual todas las unidades observadas tienen la misma probabilidad de ser elegidos y tomados como parte de la muestra. MUESTREO SISTEMÁTICO Está técnica de muestreo tiene la característica de que los elementos seleccionados para la muestra son elegidos en base a una secuencia planificada. Generalmente se aplica en un muestreo llevado a cabo en líneas de producción (fábricas). MUESTREO ESTRATIFICADO Es una técnica de muestreo donde las unidades observadas son heterogéneas y se encuentran formando segmentos de la población entre los principales ejemplos podemos citar poblaciones agrupadas por segmentos sociales, segmentos académicos, segmentos políticos, económicos, etc. MUESTREO CONGLOMERADO Es una técnica de muestra en la que las unidades observadas se encuentran agrupadas en sindicatos, facultades dentro de una Universidad, sucursales bancarias departamentales en el país. NIVEL DE CONFIANZA 1 Es el grado de confianza expresado en probabilidad con que se afirma, que el verdadero valor del parámetro poblacional se encuentra dentro de los límites del intervalo.
  85. 85. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 82 NIVEL DE SIGNIFICANCIA Este valor representa el grado o nivel de desconfianza o no certeza de que el verdadero valor del parámetro se encuentre dentro del límite del intervalo. POSIBILIDAD Una posibilidad es una de varias pociones que presenta un fenómeno aleatorio. PROBABILIDAD PEP , La probabilidad de un evento es el grado de certeza de que dicho evento ocurra y se puede calcular dividiendo el número de posibilidades del evento entre el número de posibilidades del espacio muestral. PROBABILIDAD CONDIONAL La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro haya ocurrido. ABP Se lee: Probabilidad de que ocurra el evento B dado que el evento A ha ocurrido. PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE 2 EVENTOS BAP La probabilidad de la intersección, es la probabilidad de que ocurran los eventos A y B. PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS BAP La probabilidad de la unión de dos eventos es la probabilidad de que ocurra un evento o el otro PROPORCIÓN POBLACIONAL Una proporción poblacional es un parámetro de la población definido como el cociente (división) entre el número de unidades que cumple una cierta característica Ai y el tamaño de la población N. iA P N PROPORCIÓN MUESTRAL Una proporción muestral “p” es un estimador de la proporción poblacional y esta definida como el cociente entre el número de unidades que tiene cierta característica en la muestra ia y el tamaño de la muestra n
  86. 86. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 83 ia p n Las proporciones pueden expresarse en tanto por uno o en tanto por ciento al multiplicarlo por 100.. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE El teorema central del límite sostiene que en la mayoría de los estimadores estadísticos a medida que aumenta el tamaño de la muestra el estimador se distribuye aproximadamente como una normal y el estimador tiende a ser el verdadero valor del parámetro. El teorema constituye la base de toda la teoría del muestreo y poblacional. Práctico nº 1. Teoría elemental de probabilidades I. Cálculo de probabilidades 1. Hallar la probabilidad en porcentaje de que: a) Al lanzar 2 dados la suma sea menor que 5 b) Al lanzar 1 dado el Número sea mayor que 4 c) Al lanzar 2 dados el producto sea igual o mayor que 25 d) Al lanzar 2 dados la suma de los números sea mayor que 12 e) Al sacar una sola carta al azar de la baraja esta sea 10 de diamantes ó 2 de corazones. f) Al sacar una carta al azar de la baraja esta no sea trébol 2. Sean: E1= Sacar trébol de la baraja en la 1º extracción E2= Sacar 3 de corazones de la baraja en la 1º extracción Hallar )( 21 EEp 3. Sean: E1 = Sacar trébol de la baraja en la 1º extracción E2 = Sacar un 8 de la baraja en la 1º extracción Hallar: )( 21 EEP 4. Una caja contiene 6 bolas blancas, 4 bolas rojas y 5 bolas verdes. Hallar la probabilidad en porcentaje de que:
  87. 87. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 84 a) Sacar una bola roja en la 1º extracción b) Sea E1 = Sacar una bola verde en la 1º extracción y con reemplazamiento E2 = Sacar una bola verde en la 2º extracción Hallar: )( 21 EEP c) No sacar una bola blanca en la 1º extracción 5. Si se lanzan dos dados a la vez hallar la probabilidad de que: a) La suma sea por lo menos 8 b) Sean: E1 = Sacar 7 ó 8 en la suma E2 = Sacar 4 como máximo en la suma Hallar )( 21 EEp además hallar )( 21 EEP 6. En una sala de aulas hay 8 rubios de los cuales 3 son hombres y 5 mujeres. Además hay 7 morenos de los cuales 4 son hombres y 3 son mujeres. Sean los eventos E1 = Que la primer persona que salga al azar sea hombre y no retorne E2 = Que la segunda persona que salga sea mujer E3 = Que la primer persona que salga sea morena y con reemplazamiento E4 = Que la segunda persona que salga sea rubia E5 = Que la primer persona que salga sea mujer rubia y no retorne E6 = Que al lanzar dos dados la suma sea mayor que 9 Hallar: a) )( 21 EEP b) )( 43 EEP c) )( 25 EEP d) )( 65 EEP e) )( 65 EEP 7. En una canasta hay muy bien mezcladas 7 bolas verdes, 3 bolas blancas y 5 manzanas rojas. Sean los eventos: E1 = La primer bola en ser extraída sea blanca o roja y sin remplazamiento E2 = La segunda bola extraída sea verde E3 = La primer bola extraída sea roja y sin reemplazamiento E4 = La segunda bola extraída sea roja E5 = La suma al lanzar dos dados sea 5 ó menos
  88. 88. Ciencias Empresariales Estadística II Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 85 E6 = La primer bola extraída sea blanca Hallar: a) )( 21 EEP b) )( 43 EEP c) )( 23 EEP d) )( 51 EEP e) )( 53 EEP f) )( 63 EEP 8. Sean los eventos: A = Obtener 1 sola vez sol al lanzar la moneda 2 veces B = Que la suma sea 10 ó más al lanzar dos dados juntos C = Obtener sol 1 sola vez al lanzar una moneda 3 veces Calcular la probabilidad: a) )( BAP b) )( CAP c) )( ABP d) )( CBP e) )( CAP

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