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Esercizi di Algebra lineare su autovalori e autovettori

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Nel documento sono riportati degli esercizi svolti sul calcolo di autovalori e autovettori di matrici.

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Esercizi di Algebra lineare su autovalori e autovettori

  1. 1. Esercizio Calcolare autovalori e autovettori dellamatrice A A= 6 2 4 4 Verificare i risultatiottenutiutilizzandoladefinizione di autovaloree relativoautovettore Risoluzione Calcoloautovalori Percalcolare gli autovalori occorre 1) calcolare il determinantedellamatrice (A –k I) 2) porre questodeterminanteuguale a0 inmododa ottenere un’equazionenell’incognita k 3) trovare le soluzioni di questaequazione Det ( A – k I ) = Det 6 2 - k* 1 0 = 4 4 0 1 Det 6 2 - k 0 = 4 4 0 k Det 6 -k 2 = 4 4 - k = (6 – k ) * (4 – k ) – 2 * 4 = = 24 -6k -4k + k2 - 8 = = k2 – 10k + 16 Abbiamoottenutol’equazionenell’incognita k k2 – 10k + 16 = 0 Perrisolverlacalcoliamoil Delta=b2 – 4 a c = (-10)2 –4 * 1 * 16 = 100 – 64 = 36
  2. 2. Poiché il Deltaè positivo,l’equazione hadue soluzioni realidistinte;dunque lamatrice hadue autovalori reali distinti che sono [ -b+/- sqrt (Delta) ] / [ 2a ] = [ - ( -10 ) +/- sqrt( 36 ) ] / [ 2* 1 ] = [ 10 +/- 6 ] / 2 = [10 + 6] / 2 = 16 /2 = 8 oppure [10 - 6] / 2 = 4 /2 = 2 Gli autovalori dellamatrice sonodunque 2e 8. Calcoloautovettori relativi a 2 Gli autovettori sonole soluzioni del sistema ( A– k I ) x = 0 dove: - A è la matrice di partenza - I è la matrice Identità - k è l’autovalore relativo. In questocasok = 2 Devodunque risolvere il sistema( A – 0 * I ) x = 0 6 2 - 2 * 1 0 x1 = 0 4 4 0 1 x2 0 6 2 - 2 0 x1 = 0 4 4 0 2 x2 0 4 2 x1 = 0 4 2 x2 0 Otteniamodunque il sistema 4 x1 + 2 x2 = 0 4 x1 + 2 x2 = 0 Ricavox2 dallaprimaequazione 4 x1 + 2 x2 = 0 2 x2 = - 4 x1 x2 = - 2 x1
  3. 3. Sostituiscoquestauguaglianzanellaseconda equazione 4 x1 + 2 x2 = 0 4 x1 + 2 ( -2x1) = 0 4 x1 - 4 x1 = 0 0 = 0 Otteniamodunque il sistema x2 = - 2 x1 0 = 0 che ha infinitesoluzioni (tuttequelle conx2 = -2 x1 ) Queste soluzioni sonotutte autovettori relativia2, scegliendoadesempiox1 =1 otteniamol’autovettore 1 -2 Verifica Devocontrollare che siaverificatalarelazioneA*v= k * v Dove k è l’autovalore (inquestocaso2) e v unrelativoautovettore (inquestocaso 1 ) -2 6 2 * 1 = 2 * 1 4 4 -2 -2 6 * 1 + 2 * ( -2 ) = 2 * 1 4 * 1 + 4 * ( -2 ) 2 * ( - 2 ) 2 = 2 -4 -4 Ok!
  4. 4. Calcoloautovettori relativi a 8 Gli autovettori sonole soluzioni del sistema ( A– k I ) x = 0 dove: - A è la matrice di partenza - I è la matrice Identità - k è l’autovalore relativo. In questocasok = 8 Devodunque risolvere il sistema( A – 0 * I ) x = 0 6 2 - 8 * 1 0 x1 = 0 4 4 0 1 x2 0 6 2 - 8 0 x1 = 0 4 4 0 8 x2 0 -2 2 x1 = 0 4 -4 x2 0 Otteniamodunque il sistema -2 x1 + 2 x2 = 0 4 x1 - 4 x2 = 0 Ricavox1 dallasecondaequazione 4 x1 - 4 x2 = 0 4 x1 = 4 x2 x1 = x2 Sostituisco questauguaglianzanellaprimaequazionee ottengo -2 x1 + 2 x2 = 0 -2 (x2) +2 x2 = 0 -2 x2 + 2 x2 = 0 0 = 0 Otteniamodunque il sistema
  5. 5. 0 = 0 x1 = x2 che ha infinitesoluzioni (tuttequelle conx1 = x2 ) Queste soluzioni sonotutte autovettori relativia8, scegliendoadesempiox2 =1 (scelgox2 perché è a destradell’uguale)otteniamol’autovettore 1 1 Verifica Devocontrollare che siaverificatalarelazioneA*v= k * v Dove k è l’autovalore (inquestocaso8) e v unrelativoautovettore (inquestocaso 1 ) 1 6 2 * 1 = 8 * 1 4 4 1 1 6 * 1 + 2 * 1 = 8 * 1 4 * 1 + 4 * 1 8 * 1 8 = 8 8 8 Ok! Esercizio Verificare che lamatrice A nonha autovalori A = 5 2 -1 5 Risoluzione Percalcolare gli autovalori occorre
  6. 6. 1) calcolare il determinantedellamatrice (A –k I) 2) porre questodeterminanteuguale a0 inmododa ottenere un’equazionenell’incognitak 3) trovare le soluzioni di questaequazione Det ( A – k I ) = Det 5 2 - k* 1 0 = -1 5 0 1 Det 5 2 - k 0 = -1 5 0 k Det 5 -k 2 = -1 5 - k = (5 – k ) * (5 – k ) – 2 * ( -1 ) = = 25 -5k -5k + k2 +2 = = k2 – 10k + 27 Abbiamoottenutol’equazionenell’incognita k k2 – 10k + 27 = 0 Perrisolverlacalcoliamoil Delta=b2 – 4 a c = (-10)2 –4 * 1 * 27 = 100 – 108 = - 8 Poiché il Deltaè negativo,l’equazionenonhasoluzioni reali,e dunque lamatrice nonhaautovalori reali Esercizio Calcolare gli autovettori dellamatrice A = 4 -4 -2 2 relativi all’autovalore 0. Risoluzione Gli autovettori sonole soluzioni del sistema( A – k I ) x = 0 dove:
  7. 7. - A è la matrice di partenza - I è la matrice Identità - k è l’autovalore relativo. In questocasok = 0 Devodunque risolvere il sistema( A – 0 * I ) x = 0 4 -4 - 0 * 1 0 x1 = 0 -2 2 0 1 x2 0 4 -4 - 0 0 x1 = 0 -2 2 0 0 x2 0 4 -4 x1 = 0 -2 2 x2 0 Otteniamodunque il sistema 4 x1 - 4 x2 = 0 -2 x1 + 2 x2 = 0 Ricavox2 dallasecondaequazione -2 x1 + 2 x2 = 0 2 x2 = 2 x1 x2 = x1 Sostituisco questauguaglianzanellaprimaequazione 4 x1 - 4 x2 = 0 4 x1 - 4 x1 = 0 0 = 0 Otteniamodunque il sistema 0 = 0 x2 = x1 che ha infinitesoluzioni (tuttequelle conx2 = x1 )
  8. 8. Queste soluzioni sonotutte autovettori,scegliendoadesempiox1 =1otteniamol’autovettore 1 1 Esercizio Data la matrice A A = 4 -4 con autovalori 6e 0. -2 2 Sappiamoche l’autovalore 6ha autovettore - 2 1 e che l’autovalore 0ha autovettore 1 1 Se V è lamatrice che ha sullaprimacolonnaunautovettore relativoa6 e sullasecondacolonnaun autovettore relativoa0 V = -2 1 1 1 Mentre D è la matrice diagonale che hasulladiagonale gli autovalori (nellostessoordine sceltoperle colonne di V) D = 6 0 0 0 Verificare che vale larelazione V-1 A V = D dove A è la matrice di partenza. Risoluzione Calcoliamopreliminarmente V-1 Det ( V ) = -2 * 1 – 1* 1 = -2 -1 = -3 V-1 = [ 1 / ( -3 ) ] * 1 -1 T -1 -2
  9. 9. V-1 = [ - 1 / 3 ] * 1 -1 -1 -2 V-1 = -1/3 1/3 1/3 2/3 V-1 A V = D -1/3 1/3 * 4 - 4 * -2 1 = 6 0 1/3 2/3 -2 2 1 1 0 0 -4/3 - 2/3 4/3 + 2/3 * -2 1 = 6 0 4/3 – 4/3 -4/3 + 4/3 1 1 0 0 -2 2 * -2 1 = 6 0 0 0 1 1 0 0 4 +2 -2 + 2 = 6 0 0 +0 0 + 0 6 0 6 0 = 6 0 0 0 0 0 Ok!

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