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Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica,donde sedestaquen los puntos en el ...
El símbolo ∇ se lee “para cada”, “para toda” o “para cualquier”El símbolo ∃ se lee “existe” o “para alguna”El símbolo ∴ se...
EJEMPLOTipos de correspondencia1. Correspondencia en o inyectiva: Una correspondencia ƒ es inyectiva cuando cadaelemento d...
3. Correspondencia unívoca: Una correspondencia ƒ es unívoca cuando cada elemento delconjunto original tiene como máximo u...
La tabla anterior muestra cuáles estudiantes están asistiendo a cuáles cursos. Por ejemplo,Guillermo está cursando Ciencia...
Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a está relacionadocon bmediante la relación binar...
2. Anterreflexiva. Ningún elemento tiene un bucle.Ejemplo:Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor que”, se tiene...
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b) Las clases de equivalencias son disjuntas de dos a dos. Lo demostraremos por reducciónal absurdo. Supongamos dos clases...
Luego el cociente es:A / R = {clase1, clase2, clase3} = {{a}, {b, c}, {d, e, f}} = {[ a ], [ b ], [ d ]}Relaciones de orde...
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Relaciones entre conjuntos

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Algebra SAIA Secc 1.

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Relaciones entre conjuntos

  1. 1. Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre” Extensión BarquisimetoRelaciones entre conjuntos Integrante: Néstor Betancourt CI: 23835940. AlgebraRelaciones entre conjuntosParejas ordenadasEl orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo:{3, 5} = {5, 3}Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de los cuales uno designa elprimer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja ordenada se escribe (a, b), en donde a eselprimer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si ysolamente si a = c y b = d.Producto cartesianoConsidere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b)endonde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B.La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dosconjuntos.Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto depares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y elsegundoelemento al segundo conjunto. Es decir:A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.EJEMPLOSi A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra acontinuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de números reales yviceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en a, y la línea horizontal a travésde Pencuentra el eje y en b. A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.
  2. 2. Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica,donde sedestaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecen a B. Setrazanflechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y sucorrespondiente en el conjunto B. A esta representación gráfica se le conoce como undiagramade flechas.Correspondencias y aplicaciones entre conjuntosA partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones másimportantesque se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos dados.CorrespondenciasDados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒ entre A y B a un subconjuntodelproducto cartesiano de A por B.Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se representapor G.Se definen también los siguientes conjuntos:• El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de partida, que es del que salen lasflechas.• El conjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan lasflechas.• El conjunto original es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial delos que parte alguna flecha. Por tanto, el conjunto original está incluido en el conjuntoinicial.• El conjunto imagen es el conjunto formado por los elementos del conjunto final a losque llega alguna flecha. Por tanto, el conjunto imagen está incluido en el conjuntofinal.
  3. 3. El símbolo ∇ se lee “para cada”, “para toda” o “para cualquier”El símbolo ∃ se lee “existe” o “para alguna”El símbolo ∴ se lee “por lo tanto” igualmente que el símbolo ├El símbolo ≡ se lee “lógicamente equivalente” o “sencillamente iguales”EJEMPLOSi A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos queG es un subconjunto de A x B, es decir, G ⊂ (A x B).La correspondencia está representada gráficamente en:b) Un diagrama de flechas.• El conjunto inicial es el conjunto A.• El conjunto final es el conjunto B.• El conjunto original es: Orig (ƒ) = {a, b, c}.• El conjunto imagen es: Im (ƒ) = {2, 3, 4}.Dados dos conjuntos A y B, y una correspondencia ƒ entre ellos, se denominacorrespondenciainversa o recíproca de ƒ, y se representa por ƒ-1, a la correspondencia que asocia a loselementosdel conjunto final con los del conjunto inicial de ƒ; es decir, tiene como conjunto original elconjunto imagen de ƒ, y como conjunto imagen el conjunto original de ƒ.
  4. 4. EJEMPLOTipos de correspondencia1. Correspondencia en o inyectiva: Una correspondencia ƒ es inyectiva cuando cadaelemento del conjunto imagen es imagen de un solo elemento del conjunto original; esdecir,a cada elemento del conjunto final puede llegarle una o ninguna flecha.ƒ inyectiva ⇔∇ y1, y2 ∈ B, donde y1 = ƒ(x1), y2 = ƒ(x2), si y1 = y2 ⇒ x1 = x2, ∇ x1, x2∈ AEjemplo:2. Correspondencia sobre o suprayectiva o exhaustiva: Una correspondencia ƒ es sobrecuando el conjunto imagen coincide con el conjunto final; es decir, cuando todo elementodel conjunto final es imagen de al menos uno del inicial.
  5. 5. 3. Correspondencia unívoca: Una correspondencia ƒ es unívoca cuando cada elemento delconjunto original tiene como máximo una imagen; es decir, de cada elemento del conjuntoinicial puede partir una o ninguna flecha al conjunto final.4. Correspondencia multívoca: Una correspondencia ƒ es multívoca cuando existe algúnelemento del conjunto inicial con dos o más imágenes.5. Correspondencia biunívoca: Una correspondencia unívoca ƒ entre dos conjunto A y B esbiunívoca cuando su correspondencia inversa ƒ-1 también es unívoca.RelacionesUna relación puede pensarse como una tabla que enumera la relación de algunos elementosconotros.
  6. 6. La tabla anterior muestra cuáles estudiantes están asistiendo a cuáles cursos. Por ejemplo,Guillermo está cursando Ciencias de la computación e Historia del arte, y Mary estácursandoMatemáticas. En la terminología de las relaciones, podríamos decir que Guillermo estárelacionado con Ciencias de la computación e Historia del arte, y que Mary está relacionadaconMatemáticas.Por supuesto, la tabla nos muestra tan sólo un conjunto de pares ordenados. De maneraabstracta,definimos una relación como un conjunto de pares ordenados. En este contexto,consideramosque el primer elemento del par ordenado se relaciona con el segundo elemento del parordenado.Si una relación se indica mediante una tabla, el dominio está formado por los miembros delaprimera columna y el rango consta de los miembros de la segunda columna.Una relación R de un conjunto X en un conjunto Y es un subconjunto del productocartesiano X x Y. Si (x, y) ∈ R, escribimos x R y y decimos que x está relacionado cony.Si X = Y, decimos que R es una relación binaria sobre X.Relación binariaLa relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano Ax A.EJEMPLOSea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación binariadefinida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A xA.
  7. 7. Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a está relacionadocon bmediante la relación binaria R”, cuando el par ordenado (a, b) pertenece al subconjunto delproducto cartesiano que define la relación.Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algún sentido, escribiremos a Rbob R a o ambas cosas.Propiedades de una relación binariaLas principales propiedades que puede presentar una relación binaria R definida en unconjunto Ase indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.En un diagrama de flechas las propiedades anteriores pueden observarse fácilmenteatendiendo alos siguientes criterios:1. Reflexiva. Cada elemento tiene un bucle.Ejemplo:Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser igual que”, se tiene:R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
  8. 8. 2. Anterreflexiva. Ningún elemento tiene un bucle.Ejemplo:Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor que”, se tiene:R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}3. Simétrica. Cada flecha de ida tiene otra de vuelta.Ejemplo:Si A = {-1, 2, -3, 4} y R es tal que ∇ a, b ∈ A, a R b ⇔a ⋅ b > 0, se tiene:R = {(-1, -1), (-1, -3), (2, 2), (2, 4), (-3, -1), (-3, -3), (4, 2), (4, 4)}4. Antisimétrica en sentido amplio. Ninguna flecha de ida tiene otra de vuelta, salvo en elcaso de los bucles, que están permitidos.Ejemplo:Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser menor o igual que”, se tiene:R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}5. Antisimétrica en sentido estricto. Ninguna flecha de ida tiene otra de vuelta, y no estánpermitidos los bucles.
  9. 9. Ejemplo:Si A = {5, 7, 10} y R es la relación “ser menor que”, se tiene:R = {(5, 7), (5, 10), (7, 10)}6. Transitiva. Siempre que haya dosflechas consecutivas, debe haberotra que una el primer elemento con el tercero.Ejemplo:Si A = {1, 2, 3, 4} y R es la relación “ser mayor que”,se tiene:R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}Relación de equivalenciaUna relación binaria R es una relación de equivalencia definida en un conjunto A, sicumple laspropiedades reflexiva, simétrica y transitiva.Así, en el plano euclídeo considerando el conjunto de todas las rectas, la relación R “serparalela a” es una relación de equivalencia. Comprobémoslo:a) Reflexiva: a || a, puesto que cualquier recta es paralela a sí misma.b) Simétrica: si a || b, entonces b || a.c) Transitiva: si a || b y b || c, entonces a || c.Luego por cumplir las tres propiedades anteriores es una relación de equivalencia.Clases de equivalencia, conjunto cocienteDada una relación de equivalencia R definida en un conjunto A, si a ∈ A se llama clase deequivalencia de a y se denota por [ a ], al subconjunto formado por todos los elementos deArelacionados con a por la relación de equivalencia R.[ a ] = {x / x ∈ A y x R a}♦Propiedades de las clases de equivalenciaa) Ninguna clase equivalencia es vacía. Porque a cualquier clase [ a ] pertenece al menos elelemento a. Simbólicamente:∇ [ a ] ⊂ A, a ∈ A ⇒ a ∈ [ a ]
  10. 10. b) Las clases de equivalencias son disjuntas de dos a dos. Lo demostraremos por reducciónal absurdo. Supongamos dos clases no disjuntas y diferentes [ a ] y [ b ], con lo que:Donde en (1) hemos aplicado la propiedad simétrica y en (2) la propiedad transitiva, yaque es una relación de equivalencia.Y hemos llegado a que ambas clases son iguales, en contra de la hipótesis. Luego han deser [ a ] y [ b ] disjuntas, con [ a ] ≠ [ b ].c) Todo elemento de A pertenece a alguna clase de equivalencia. Esto es porque todoelemento de x de A pertenece al menos a su propia clase. Simbólicamente:∇ x ∈ A ⇒x ∈ [ a ]d) La unión de todas las clases de equivalencia en un conjunto A es el propio conjunto A:clase1 ∪ clase2 ∪ … ∪ clasen = AUna relación de equivalencia clasifica al conjunto en el que está definida, en clases deequivalencia.Se llama conjunto cociente de A respecto a la relación R, y se representa por A / R, alconjunto formado por todas sus clases de equivalencia.EjemploSea el conjunto A = {a, b, c, d, e, f} conla relación de equivalencia R, dada en elgrafo:Hallamos la clase de equivalencia de cada elemento:[ a ] = {a} [ d ] = {d, e, f}[ b ] = {b, c} [ e ] = {d, e, f}[ c ] = {b, c} [ f ] = {d, e, f}Y las clases de equivalencia resultan:clase1 = {a}, clase2 = {b, c} y clase3 = {d, e, f}Obsérvese que cualquier elemento de la clase puede ser elegido como representante de lamisma,lo que gráficamente se puede comprobar en la figura a continuación.
  11. 11. Luego el cociente es:A / R = {clase1, clase2, clase3} = {{a}, {b, c}, {d, e, f}} = {[ a ], [ b ], [ d ]}Relaciones de ordenUna relación binaria R es una relación de orden amplio si cumple las propiedades reflexiva,antisimétrica en sentido amplio y transitiva.Una relación binaria R es una relación de orden estricto si cumple las propiedadesantirreflexiva, antisimétrica en sentido estricto y transitiva.Una relación binaria R es una relación de orden total si dos elementos cualesquiera estánrelacionados en cualquier sentido.Es decir:∇ a, b ∈ A, a R b o b R aSi una relación no es de orden total, se dice que es de orden parcial.

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