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Power point números complejos

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Material de matemática para estudiantes del C.T.G. de los grupos 11° A, B, C.

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Power point números complejos

  1. 1. Ejemplo: 2ix + 3y = 4i -9 luego esto es así:2x = 4 3y = -9 en donde x = 2 y= -3
  2. 2. Dos números complejos son conjugados, si y solamente si son igualessus partes reales y los coeficientes de sus partes imaginarias difiere delsigno algebraico . Ejemplo: (5 -2i) el conjugado es (5 +2i) Ejemplo: (-3 + 7i) el conjugado es (-3-7i) En los números complejos la parte real es el eje horizontal y la parte imaginaria en el eje vertical.
  3. 3. Su representación gráfica: se utiliza el de coordenadas cartesianas. bi Grafique (-2 + 4i) a
  4. 4. El valor absoluto de un número complejo:Valor absoluto r = a 2 b 2Argumento θ = arc tan (b/a) ver folleto EJEMPLOS: grafíquense los puntos y encuéntrese el valor absoluto y el argumento de los números complejos. 2√3 – 2i 2 2 r= 2 3 2 4 x3 4 r= 12 4 16 4 2 θ = arc tan ( 2 3 ) 1 θ = arc tan 3 θ = -30° Θ = 330° Θ = 11π/6
  5. 5. DETERMINE X e Y PARA QUE SE CUMPLA LAS IGUALDADES SIGUIENTES:al terminar esta página realice la tarea N° 2EJEMPLO:1. X – 2i = 2 + Yi recordemos que la teoría dice que dos números complejos son iguales si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias.En base a esta teoría tenemos que: x=2 -2i = Yi luego se cancelan las (i) quedando Y = -2EJEMPLO:5. 2x – y + (x – 2y) i = 6 – 3i recuerden igualar la parte real ( la que no tiene (i)) de la izquierda con la parte real de la derecha, lo mismo para la parte imaginaria. 2x – y = 6 esta era la realX – 2y = -3 esta es la imaginaria, eliminamos las (i)El sistema que quedo es dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se puede usar el método de reducción, sustitución, igualación. En lo personal me gusta reducción2 (2x – y = 6) entonces 4x – 2y = 12 remplazando 2 (5) – y = 6-1(x – 2y = -3) entonces -x +2y = 3 10 - y = 6 3x ---- = 15 -y = 6 -10 x=5 -y = -4 y=4
  6. 6. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMAALGEBRAICA Adición se suma la parte real con real e imaginario con imaginario Ejemplo: (2 – 5i) + (-6 – 7i) = ( 2- 6) + (-5i -7i) = -4 – 12i Sustracción cambia de signo el segundo término. Ejemplo: (3 + 6i) – (7 – 9i) = 3 + 6i -7 + 9i = -4 + 15i
  7. 7. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÍMEROS COMPLEJOS EN FORMA ALGEBRAICAal terminar con las cuatro operaciones fundamentales, realice la tarea N° 3  MULTIPLICACIÓN: se hace en la misma manera que algebraicamente, término a término.  Ejemplo : ( 5 – 4i) x ( 1+ 2i) = 5 + 10i – 4i – 8i2  = 5 + 6i + 8 porque i2 es igual a (-1)  = 13 + 6i  DIVISIÓN: en la división se multiplica en el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, es decir, si el denominador es 2 + 3i el conjugado es 2- 3i .  Ejemplo: 1 18i  3 4i  1 18i 3 4i x 3 4i 3 4i 3 4i 54i 72i 2 2 2 3 4 3 72 50i 9 16
  8. 8. 75 50i 3 2i 25 3 2i 1Como todos los números son divisibles entre 25, se simplificó. Haga la tarea N° 3 Representación trigonométrica de un número complejoEn esta parte vamos a ver cuatro operaciones matemáticas, que son: la multiplicación, la división, potenciación y radicación.Si tienen alguna pregunta me la mandan a mi mail.a. Producto de dos números complejos:Dado C1 y C2 dos números complejos su representación trigonométricaserá:C1 = r1 (cos 1 + i sen 1) y C2 = r2 (cos 2 + i sen 2)La fórmula es C1 * C2 = r1* r2 cos ( 1 + 2) + i sen ( 1 + 2)Para poder usar la fórmula deben buscar primero los módulos y losargumentos, o sea r1 y r2 ; 1 y 2
  9. 9. Cuando se tiene dos números complejos es necesariobuscar las (r, )para poder aplicar la fórmula.C1 C2 = (1- i 3 )(-1 + i) r2 ( 1) 2 (1) 2 r1 (1) 2 ( 3)2 r2 1 1 2 r1 1 3 r1 4 r1 2 b b arc tan arc tan a a 1 3 arc tan arc tan 1 1 45 60 135 300
  10. 10. Apliquemos la fórmula, continuemos con elproblema, ahora conociendo todos los datos. C1 * C2 = r1* r2 cos ( + 2) + i sen ( 1 + 2) 1 C1 * C2 = 2 2 cos(300° + 135°) + i sen (300° + 135°) C1 * C2 = 2 2 cos435° + i sen 435° C1 * C2 = 2 2 CiS 75° Ahora ustedes se preguntaran por que dio 75°, recordemos que 435° pasa de los 360° o sea que da una vuelta por lo tanto restamos y obtenemos 75°. Y CiS significa coseno (i) seno. Es una abreviatura.
  11. 11. c1 r1 cos 1 2 isen 1 2 Ejemplo : c2 r2C1 1 iC2 1 i 3 2 2 2 2 r2 1 3r1 1 1r1 1 1 r2 1 3r1 2 r2 4 r2 2
  12. 12. Continuamos buscando losargumentos argumentos 1 1 arctan arctan 3 1 2 1 1 arctan( 1) arctan 3 2 1 45 2 60 1 135 2 240Cuando se busca el ángulo se tiene que ver en que cuadrante esta,para saber cual es el real.En este ejemplo, el primero estaba en el cuadrante dos, por lo tanto elángulo de -45° en ese cuadrante es 135° y lo mismo ocurre con elángulo de 60° que esta en el tercer cuadrante, recuerden que la tan espositiva aquí, pero eso no cambia que el ángulo es de 240°.
  13. 13. c1 2 cos 135 240 isen 135 240c2 2c1 2 cos( 105) isen( 105 )c2 2c1 2 cis75c2 2 EJEMPLO DE POTENCIA TEOREMA DE MOIVRE Desarrollo de la fórmula 1 6c 3 i 6 arctan c6 2 CiS 6 x30 2 3 c6 2r 3 1 30 64CiS180r 3 1r 4r 2
  14. 14. Cualquiera pregunta llamen a mi teléfono66879921 ustedes tienen que tener todas esas tareas hechasPara el lunes 6 el A y B, para el martes 7 de agosto del 2012, alC.Este tema no esta difícil, hagan como explique ó busquen ayuda,las profesoras de la escuela los van ha ayudar.

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