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Probabilidad y estadistica 2

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Probabilidad y estadistica 2

  1. 1. 2 PRELIMINARESEsta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2011.Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de SonoraBlvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, MéxicoLa edición consta de 6,598 ejemplares.COLEGIO DE BACHILLERESDEL ESTADO DE SONORADirector GeneralMtro. Julio Alfonso Martínez RomeroDirector AcadémicoIng. Arturo Sandoval MariscalDirector de Administración y FinanzasC.P. Jesús Urbano Limón TapiaDirector de PlaneaciónIng. Raúl Leonel Durazo AmayaPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2Módulo de Aprendizaje.Copyright ©, 2011 por Colegio de Bachilleresdel Estado de Sonoratodos los derechos reservados.Primera edición 2011. Impreso en México.DIRECCIÓN ACADÉMICADepartamento de Desarrollo CurricularBlvd. Agustín de Vildósola, Sector SurHermosillo, Sonora. México. C.P. 83280COMISIÓN ELABORADORA:Elaborador:María Elena Conde HernándezRevisión Disciplinaria:Alma Lorenia Valenzuela ChávezCorrección de Estilo:Alejandro Ernesto Rivas SantoyoApoyo Metodológico:Alma Lorenia Valenzuela ChávezSupervisión Académica:Luz María Grijalva DíazDiseño:Joaquín Rivas SamaniegoEdición:Bernardino Huerta ValdezCoordinación Técnica:Claudia Yolanda Lugo PeñúñuriDiana Irene Valenzuela LópezCoordinación General:Ing. Arturo Sandoval Mariscal
  2. 2. 3PRELIMINARESUbicación CurricularCOMPONENTE:FORMACIÓN PROPEDÉUTICAGRUPO: 3 y 4ECONÓMICO ADMINISTRATIVO /HUMANIDADES Y CIENCIASSOCIALESHORAS SEMANALES:03CRÉDITOS:06DATOS DEL ALUMNONombre: _______________________________________________________________Plantel: __________________________________________________________________Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________E-mail: _________________________________________________________________Domicilio: _____________________________________________________________________________________________________________________________________
  3. 3. 4 PRELIMINARES
  4. 4. 5PRELIMINARESPresentación .........................................................................................................................................................7Mapa de asignatura..............................................................................................................................................8BLOQUE 1: DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDINATE DIFERENTES TÉCNICASDE CONTEO ...........................................................................................................................................9Secuencia Didáctica 1: Cálculo de probabilidades de eventos simples y compuestos ..................................10• Métodos para asignar probabilidades .......................................................................................................12• Propiedades de la probabilidad.................................................................................................................15• Regla del complemento de la probabilidad...............................................................................................16• Eventos compuestos que incluyen el conectivo “o”..................................................................................17Secuencia Didáctica 2: Principio fundamental de conteo .................................................................................27• Conteo mediante una lista sistemática ......................................................................................................30• Principio fundamental de conteo................................................................................................................35• Factoriales...................................................................................................................................................38Secuencia Didáctica 3: Teoría combinatoria......................................................................................................45• Permutaciones ............................................................................................................................................48• Combinaciones...........................................................................................................................................54BLOQUE 2: EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL .................................................................63Secuencia Didáctica 1: Probabilidad condicional .............................................................................................64• Probabilidad condicional ............................................................................................................................66• Regla general de la multiplicación de probabilidades...............................................................................69• Eventos independientes .............................................................................................................................70• Regla especial de la multiplicación de probabilidades .............................................................................71Secuencia Didáctica 2: Teorema de Bayes .......................................................................................................79• Teorema de Bayes......................................................................................................................................81BLOQUE 3: RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DEPROBABILIDADES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS................................87Secuencia Didáctica 1: Distribución de probabilidad para variables discretas................................................88• Distribución de probabilidad ......................................................................................................................90• Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas..........................................................91• Valor esperado y varianza de una distribución de probabilidad discreta .................................................92• Distribución binomial ..................................................................................................................................98Secuencia Didáctica 2: Distribución de probabilidad para variables continuas.............................................109• Distribución de probabilidad para variables continuas ...........................................................................111• Modelos de distribuciones de probabilidad de variables continuas.......................................................118• La distribución normal ..............................................................................................................................118Secuencia Didáctica 3: Aproximación de la distribución binomial a la normal...............................................131• Aproximación de la distribución binomial a la normal .............................................................................133• Teorema central del límite .......................................................................................................................135• Regla práctica para calcular probabilidades mediante el paso de una binomial a una normal ............136Bibliografía ........................................................................................................................................................143Índice
  5. 5. 6 PRELIMINARES
  6. 6. 7PRELIMINARES“Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”.El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante, sino el usoque se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. De este modo, lascompetencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para unmismo propósito en un determinado contexto.El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Probabilidad y Estadística 2, es una herramienta de sumaimportancia, que propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que seestablecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se estáimplementando a nivel nacional.El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención deestar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarioslocal, nacional e internacional; el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuenciasdidácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo ycierre. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, laspreconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán aabordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevosconocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de quetu aprendizaje sea significativo.Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes querealizaste en las actividades de inicio y desarrollo.En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales yactitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de formaindividual, binas o equipos.Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación decampo, etc.La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa,de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este momento, el docente podrá tener unavisión general del logro de los aprendizajes del grupo.Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias através de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con elpropósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, esteejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios paramejorar tu aprendizaje.Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con lafinalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo lasactitudes de responsabilidad e integración del grupo.Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, queles permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo social, profesional y laboral. Para quecontribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de serreceptor de contenidos, ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y contextualizaciónde los mismos, situación que te permitirá: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y aprender a vivirjuntos.Presentación
  7. 7. 8 PRELIMINARESProbabilidadyestadística2Bloque 1.Determina la probabilidad de eventosmedinate diferentes décnicas de conteo.Secuencia Didáctica 1.Cálculo de probabilidades de eventossimples y compuestos.Secuencia Didáctica 2.Principio fundamental de conteo.Secuencia Didáctica 3.Teoría combinatoria.Bloque 2.Emplea la proabilidad condicional.Secuencia Didáctica 1.Probabilidad condicional.Secuencia Didáctica 2.Teorema de Bayes.Bloque 3.Resuelve problemas de aplicaciónmediante la distribución de probabilidadesde variables discretas y continuas.Secuencia Didáctica 1.Distribución de probabilidad para variablesdiscretas.Secuencia Didáctica 2.Distribución de probabilidad para variablescontinuas.Secuencia Didáctica 3.Aproximación de la distribución binomial ala normal.
  8. 8. Tiempo asignado: 18 horasDetermina la probabilidad de eventosmediante diferentes técnicas de conteo.Competencias profesionales: Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelosestablecidos o situaciones reales. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales,mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar sucomportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedadesfísicas de los objetos que lo rodean. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.Unidad de competencia: Estructura ideas y argumenta de manera clara y coherente, los resultados de la probabilidad conjunta, mediante eluso de técnicas de conteo. Identifica los tipos de eventos y las reglas de probabilidad, para resolver problemas en situaciones de la vidacotidiana. Utiliza el principio fundamental de conteo en la solución de problemas cotidianos. Identifica las diferentes formas de contar agrupaciones de objetos, para resolver problemas relacionados con suentorno.Atributos a desarrollar en el bloque:4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuyeal alcance de un objetivo.5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.6.1. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a surelevancia y confiabilidad.7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción conpasos específicos.8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro dedistintos equipos de trabajo.
  9. 9. 10DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOSecuencia didáctica1.Cálculo de probabilidades de eventos simplesy eventos compuestos.InicioResponde a los siguientes cuestionamientos.1. En un estudio se hace una encuesta a 800 alumnos de una universidad sobre el grado desatisfacción con la carrera y el grado de satisfacción con el progreso en la misma. Losresultados de la encuesta se muestran en la siguiente tabla.Satisfecho conla carreraSatisfecho con su progreso TOTALSi NoSi 362 350 712No 18 70 88Total 380 420 800Si se elige una encuesta al azar, determina la probabilidad de que:a) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera.b) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera y con su progreso en la misma.c) El alumno no se encuentre satisfecho ni con la carrera ni con su progreso.d) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera, pero no con su progreso.2. Normalmente en una moneda mexicana, el águila es el sello (s) emblema de nuestra bandera, y cara (c) esla imagen del rostro del personaje que aparece en cada moneda. Si se lanzan dos monedas normales alaire, determina la probabilidad de que una de ellas sea cara y otra sello.3. Se arroja un dado sin truco y se observa el número de puntos que muestra la cara superior, ¿cuál es laprobabilidad de que el número observado sea par?Actividad: 1
  10. 10. 11BLOQUE 1 EvaluaciónActividad: 1 Producto: Problemas aplicados. Puntaje:SaberesConceptual Procedimental ActitudinalDistingue los distintos métodosde asignar probabilidades.Calcula probabilidades empleandolas propiedades de la misma.Muestra interés siguiendoinstrucciones de manera reflexivaAutoevaluaciónC MC NC Calificación otorgada por eldocente4. Una escuela de idiomas necesita delimitar espacios para aquellas personas que estudiansólo un idioma. Distribuye en el diagrama de Venn la siguiente información y responde a lossiguientes cuestionamientos. 25 personas estudian francés (conjunto 𝐹); 45 estudian inglés(conjunto 𝐼); 10 estudian alemán (conjunto 𝐴); 12 estudian francés e inglés; 5 estudian lostres idiomas; y 8 estudian francés y alemán. Si se elige una persona al azar, determina laprobabilidad de que:a) Estudie los tres idiomas.b) Estudie francés o alemán.c) Estudie solamente inglés.d) Estudie francés e inglés, pero no alemán.e) Estudie alemán e inglés.f) Estudie francés, pero no inglés.Actividad: 1 (continuación)
  11. 11. 12DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEODesarrolloMétodos para asignar Probabilidades.En el curso pasado de Probabilidad y Estadística 1, viste que la probabilidad de un evento, siendo ésta una medidanumérica de la verosimilitud del evento, se determina de dos formas: empíricamente (de manera experimental) oteóricamente. Los siguientes ejemplos con eventos simples te harán recordar y aclarar la diferencia entre estas dosinterpretaciones de la probabilidad.Ejemplo 1. Si se lanza una moneda al aire, determina la probabilidad de que caiga con la cara hacia arriba.No hay razón aparente para que uno de los lados de la moneda, a la larga, caiga hacia arriba con mayor frecuenciaque el otro, de modo que normalmente se supone que cara y sello son igualmente probables de salir. Esta suposiciónpuede remarcarse si la moneda está no defectuosa o alterada. Ahora el experimento aquí es el lanzamiento de unamoneda con estas características. El espacio muestral es:{ }y el evento de que caiga cara, cuya probabilidad se busca, se llama { }. Como uno de los dos resultadosposibles es cara, la probabilidad es el cociente de 1 y 2:) .De manera simbólica, esto se expresa como:) .Ejemplo 2. Si se lanza al aire una taza de plástico, determina la probabilidad de quecaiga hacia abajo.Intuitivamente, es probable que una taza caiga de lado, mucho más a menudo quehacia arriba o hacia abajo. Pero no queda claro exactamente qué tan a menudo.Para tener una idea, se realiza el experimento de lanzar la taza 50 veces, y observarla frecuencia de los resultados. Supóngase que cayó de lado 44 veces, boca abajo5 veces y hacia arriba sólo una vez. Por la frecuencia de “éxitos” en esteexperimento, se concluye que:) .Observa en el ejemplo 1, que implica el lanzamiento de una moneda nodefectuosa, el número de resultados posibles es obviamente dos, ambosigualmente probables, y uno de los resultados es una cara. No se requirió unexperimento real. La probabilidad deseada se obtuvo teóricamente. Lasprobabilidades teóricas se aplican a toda clase de juegos de azar (lanzamiento dedados, juegos de cartas, ruletas, lotería, etc.), y aparentemente también a muchosfenómenos de la naturaleza. Laplace, en su famosa Teoría Analítica de laProbabilidad, publicada en 1812, dio una fórmula que se aplica a cualquiera detales probabilidades teóricas, siempre y cuando el espacio muestral sea finito ylos resultados sean igualmente probables, es decir, sean equiprobables.Pierre Simon Maqués de Laplace(1749 -1827).Astrónomo, físico y matemáticofrancés, conocido por el Teoremade Laplace, Transformada deLaplace y Determinismo científico
  12. 12. 13BLOQUE 1Fórmula de la probabilidad teóricaSi todos los resultados en un espacio muestral son igualmente probables, y es un evento en , entonces laprobabilidad teórica del evento está dada por:)Por otra parte, en el ejemplo 2 implicó tener que lazar una taza al aire, donde las probabilidades de los diferentesresultados no estaban claras intuitivamente. Se efectuó un experimento real para llegar a un valor de probabilidad deun décimo. Este valor se encontró de acuerdo con la fórmula de la probabilidad experimental o empírica.Fórmula de la probabilidad empíricaSi es un evento que puede suceder cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del eventoestá dada por:)En la cual la asignación de las probabilidades de los sucesos o eventos de interés se basan en la informaciónobservada y no en el conocimiento previo del proceso.Por lo general, en las aplicaciones queda claro cuál de las dos fórmulas de probabilidad debe usarse. Más ejemplosal respecto:Ejemplo 3. Claudia quiere tener exactamente dos niñas. Suponiendo que niño y niña son igualmente probables,determina la probabilidad de éxito en cada uno de los casos siguientes:a) En total tiene dos hijos.Aquí, la suposición de igual probabilidad permite el uso de probabilidad teórica. Observa que el espacio muestrallo forman las parejas:{ ) ) ) )}El único resultado favorable para el evento , que sean exactamente dos mujeres: es la pareja { )}.Por medio de la fórmula de probabilidad teórica:) .b) En total ella tiene tres hijos.Ahora el espacio muestral para este caso es:{ ) ) ) ) ) ) ) )}De modo que son tres los casos favorables al evento exactamente dos niñas, indicadas en el espacio muestral connegritas. Luego la probabilidad de es:) .
  13. 13. 14DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOAunque en este ejemplo se supuso que tanto niños como niñas tienen la misma probabilidad de ocurrir, por lo común,los nacimientos de niños ocurren con un frecuencia un poco mayor. A la vez, por lo regular hay siempre más mujeresen cualquier momento dado, debido al mayor índice de mortalidad entre hombres y a la esperanza de vida más largaen las mujeres, en general. Para cerciorarte de este comentario consulta los censos poblacionales del INEGI en lapágina:http://cuentame.inegi.gob.mx/poblacion/mujeresyhombres.aspx?temaEjemplo 4. En un año reciente, los nacimientos en México incluían 1, 613 millones de hombres y 1, 531 millones demujeres. Si una persona fue seleccionada aleatoriamente de los registros de nacimientos de ese año. ¿Cuál es laprobabilidad de que la persona fuese hombre?Ya que los nacimientos de hombres y mujeres no son igualmente probables, y se tiene información específicaexperimental que respalda este hecho, se calcula la probabilidad empírica.))Ahora piensa nuevamente en la taza del ejemplo 2. Si se lanza 100 veces en lugar de 50, el nuevo valor seríaprobablemente diferente (al menos un poco) del que se obtuvo. Aún sería una probabilidad empírica, pero sería mejoren el sentido de que se basa en un conjunto mayor de resultados. Conforme el número de lanzamientos se hace cadavez más grande, los valores de la probabilidad empírica resultante pueden aproximarse a algún valor particular. Si esasí, ese número puede definirse como la probabilidad teórica de que esa taza caiga boca abajo. Este valor “limite”sólo puede ocurrir cuando el número real de lanzamientos observados se aproxime al número total de lanzamientosde la taza. Como potencialmente existe un número infinito de posibles lanzamientos, en realidad nunca se encontraríala probabilidad teórica que se pretende. Pero aún se puede suponer que tal número existe, y cuando el número realde lanzamientos observados aumente, la probabilidad empírica resultante debe tender a estar más cerca del valorteórico. Este importante principio se conoce como ley de los grandes números o en algunas ocasiones como ley delos promedios.Ley de los grandes númerosCuando un experimento se repite más y más veces, la proporción de resultados favorables a cualquier evento tenderáa estar cada vez más próxima a la probabilidad teórica de ese evento.Ejemplo 5. ¿Una moneda no defectuosa se lanzó 35 veces, produciendo la siguiente secuencia de resultados.Calcular la razón del número de caras al número total de lanzamientos, después del primer lanzamiento, el segundolanzamiento, el tercer lanzamiento y así, sucesivamente, hasta completar los 35 lanzamientos, y con ayuda del Excelmostrar estas razones en una gráfica.Para obtener las razones se toma en cuenta que los dos primeros resultados son sellos, de ahí que los dos primeroslugares sean 0.00. Luego el tercer resultado es cara, es decir, ⁄ , el cuarto lanzamiento vuelve a ser cara, porlo que ⁄ . El quinto lanzamiento nuevamente es cara, así que la razón es ⁄ , el sexto lanzamiento essello, de ahí que la razón sea ⁄ , y así sucesivamente.Las primeras razones a dos lugares decimales, son 0.00, 0.00, 0.33, 0.50, 0.60, 0.50,…resultado de dividirrespectivamente , , , , , , etc. La gráfica muestra cómo las fluctuaciones alrededor del 0.50 son más pequeñas,
  14. 14. 15BLOQUE 1conforme el número de lanzamientos aumenta, y la razón parece que se aproxima a 0.50 en la parte derecha de lagráfica, de acuerdo con la ley de los grandes números.Observa que la ley de los grandes números proporciona una conexión importante entre las probabilidades empírica yteórica. Conocer la probabilidad empírica para un evento permite estimar su probabilidad teórica. Entre más grandesea el número en que se basa la estimación, más confiable será esta. De manera similar, conocer la probabilidadteórica de un evento permite predecir la fracción de veces que ocurrirá en una serie de experimentos repetidos,simplemente por deducción. La predicción será más precisa, claro está, para un número grande de repeticiones.Propiedades de la probabilidad.De la fórmula de probabilidad teórica se deducirán algunas propiedades de la probabilidad.Para el experimento de lanzar dos monedas al aire no defectuosas se tiene el espacio muestral:{ ) ) ) )}La probabilidad del evento que salgan dos caras es:) ,en tanto que si se considera el espacio muestral con resultados no igualmente probables, se tiene que:{ }La probabilidad de que salgan dos caras: ) , lo cual es incorrecto, ya que la expresión que calcula laprobabilidad, aplica para espacios con igual probabilidad (equiprobables).Para que te convenzas de que ⁄ es mejor que ⁄ , realiza el experimento de lanzar dos monedas no defectuosas100 veces y calcula esta probabilidad de forma empírica.Como cualquier evento es subconjunto de , se sabe que el número de elementos del conjunto es mayor quecero, pero menor que el número de elementos de . Esto se puede expresar mediante la cardinalidad de un conjuntocomo sigue ) ), donde ) es el número de elementos del conjunto en este caso. Al dividir todoentre el número de elementos del espacio muestral queda:)))))o ) .
  15. 15. 16DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOEn palabras esto significa que la probabilidad de cualquier evento es un número entre 0 y 1, inclusive.Si el evento es imposible (no puede suceder), entonces el número de elementos de ese conjunto debe ser 0 ( es elconjunto nulo o vacío), por lo tanto ) Por otro lado, si un evento es seguro (es inevitable que ocurra),entonces el número de elementos de es igual al número de elementos del espacio muestral, por lo que:)))).Estas propiedades se resumen a continuación:Sea un evento en el espacio muestral , esto es, es un subconjunto de . Entonces:1. ) . La probabilidad de cualquier evento es un número entre 0 y 1, inclusive.2. ) . La probabilidad de un evento imposible es cero.3. ) . La probabilidad de un evento seguro es uno.Ejemplo 6. En el lanzamiento de un dado regular (sin truco) determina la probabilidad de cada uno de los siguienteseventos:Para cada caso se obtiene primeramente el espacio muestral, para luego marcar dentro de este los casos favorablesdel evento simple en cuestión:a) Obtener el número 2.{ }) .b) Obtener un número distinto de 2.{ }) .c) Obtener el número 7.{ }) .d) Obtener un número menor que 7.{ }) .Observa que los incisos c) y d) del ejemplo anterior ilustran las propiedades 2 y 3 respectivamente. Observa tambiénque los eventos en los incisos a) y b) son complemento uno del otro y que sus probabilidades suman 1, lo cual escierto para cualesquiera dos eventos complementarios; esto es, ) ) . Reagrupando términos, se puedeescribir esta ecuación de dos formas equivalentes, de las cuales, la más útil se indica en la siguiente regla.Regla del complemento de la probabilidad.La probabilidad de que un evento ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra.) )
  16. 16. 17BLOQUE 1El siguiente ejemplo ilustra la forma en que la regla del complemento permite calcular probabilidades de formaindirecta, cuando ello resulta más sencillo.Ejemplo 7. Cuando se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que lacarta seleccionada sea distinta a un rey?Una baraja inglesa de 52 cartas tiene 4 palos:espadas negras,corazones rojos,diamantes rojos,tréboles negro.El As es el uno, la sota (J), la reina (Q) y el rey (K) son “cartas con figura”. Cada palo tiene 13 denominaciones As, 2,3,…,9, 10, J, Q, K. Dependiendo del juego el As también es considerado como la última carta.Es más fácil contar las cartas que son reyes, que las que no son reyes. Sea el evento de no tomar un rey. Por lotanto:) ) .Donde es el evento tomar un rey.Ahora se considerarán ejemplos de eventos compuestos, recuerda que estos eventos se caracterizan por combinareventos simples mediante conectivos lógicos como “o”, “y”, por mencionar algunos.En tu curso de probabilidad pasado se desarrolló la teoría de conjuntos, donde se vieron ejemplos de operacionescon conjuntos (unión, intersección) que en teoría de probabilidad equivale a eventos compuestos. En esta secuencia,el objetivo es calcular la probabilidad de estos eventos compuestos, por ejemplo: para los eventos simples y , sedesea calcular ) o ), recuerda que es el evento en el que ocurre por lo menos uno de los doseventos simples.Eventos compuestos que incluyen el conectivo “o”Ejemplo 8. Se escoge un número de manera aleatoria del conjunto:{ }Determina la probabilidad de que sea un número impar o múltiplo de 3.Primeramente se dará nombre a los eventos simples de la siguiente manera:que el número sea impar y que el número sea múltiplo de 3. Se tienen entonces de cada evento los siguienteselementos:{ } { }Distribuyendo los elementos de estos conjuntos en un diagrama de Venn quedan.
  17. 17. 18DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOEl diagrama muestra la posición de los 10 elementos dentro del espacio muestral y se ve que { }. Elevento compuesto corresponde al conjumto . Por lo tanto, mediante la fórmula de la probabilidad teórica,) )En general, no se puede tan sólo sumar probabilidades individuales de cada uno de los eventos simples queintervienen en el evento compuesto de la forma . Si se hubiera hecho así, en este ejemplo el resultado que sehubiera obtenido sería.Lo cual es incorrecto ya que se estarían contando los resultados que están dentro de la intersección dos veces. Losenteros 3 y 9 son tanto números impares como múltiplos de 3. La regla correcta se establece de la siguiente forma.(Ya que los conectivos lógicos “o” e “y” corresponden a las operaciones de conjuntos (unión) e (intersección)respectivamente, se puede establecer dos versiones de esta regla).Regla general para la suma de probabilidadesSi y son dos eventos cualesquiera, entonces:) ) ) )) ) ) )Enseguida se muestra un ejemplo del uso de esta regla.Ejemplo 9. De los 20 programas de televisión que se presentarán esta noche, Paco planea ver uno que elegirá deforma aleatoria cerrando los ojos y seleccionando con el dedo el desplegado impreso de la programación televisiva.Si 8 de los programas son educativos, 9 son interesantes y 5 son educativos e interesantes, determina la probabilidadde que el programa que vea tenga por lo menos uno de estos atributos.Si que el programa sea educativo, que el programa sea interesante, que un programa tenga por lo menos unode estos atributos significa: o que el programa es educativo o que es interesante. Así que se pide calcular laprobabilidad de . Utilizando la regla general de la suma de probabilidades se tiene:) ) ) )Por otra parte ) , ) y ) . Por lo que:) .Ejemplo 10. Supóngase que se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas. Determina laprobabilidad de que sea espada o roja.
  18. 18. 19BLOQUE 1Recuerda, la baraja inglesa consta de 26 cartas rojas (diamantes y corazones) y 26 negras (espadas y tréboles), y hay13 cartas por palo como se muestra en la figura.Sea que la carta sea espada y que la carta sea roja, pero el evento de que la carta seleccionada sea espada yroja, no es posible que pueda suceder, ya que no existen cartas de espadas rojas (todas las espadas son negras).Por lo tanto, el tercer término de la fórmula para la suma será 0 (por la propiedad 2 de la probabilidad) por lo quepuede omitirse. De ahí que:) .En este ejemplo se vio que el evento sea “espada y roja” tiene probabilidad cero porque, al tomar sólo una carta no esposible que la espada y el color rojo salgan al mismo tiempo. De forma general, cuando dos eventos no pueden darseal mismo tiempo se dice que son mutuamente excluyentes. (En teoría de conjuntos recuerda que a dichos eventos seles denomina “ajenos” o “disjuntos”).Para cualesquiera dos eventos mutuamente excluyentes, la regla de la suma de probabilidades adquiere unaforma más sencilla.Regla especial para la suma de probabilidadesSi y son dos eventos mutuamente excluyentes en un experimento dado, entonces:) ) )) ) )A menudo es posible encontrarse con casos en los que necesitan considerarse composiciones de más de doseventos. Cuando cada evento asociado es mutuamente excluyente de todos los demás, puede aplicarse unaextensión de la regla especial de la suma.Ejemplo 11. Ana cree que existe una pequeña probabilidad de que pueda terminar su tarea en tan sólo una hora estanoche. De hecho, si representa el número de horas dedicadas a la tarea, entonces ella asigna probabilidades a losdiferentes valores de , como se muestra en la siguiente tabla:)1 0.052 0.103 0.204 0.405 0.106 0.15
  19. 19. 20DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO(Se está suponiendo que el tiempo real necesario se redondeará a la hora más cercana y que no tomará menos deuna hora ni más de 6. Los 6 períodos determinados son mutuamente excluyentes entre sí, ya que si Ana requiere de 3horas para hacer su tarea, entonces no necesitará ni 2 horas, ni 4 horas, ni cualquiera de las otras opciones, paraterminar su tarea).Determina la probabilidad de que Ana termine su tarea en cada uno de los siguientes períodos:a) Menos de 3 horas.“Menos de 3 horas” significa 1 o 2, esto se puede expresar con la siguiente desigualdad ) Por lo tanto) .b) Más de 2 horas.Utilizando una desigualdad como el caso anterior “más de 2 horas” se expresa )significando esto quesean 3 o 4 o 5 o 6 horas, por lo que:) ) ) ) )) .c) Más de una hora, pero no más de 5.Es decir estudiar 2 o 3 o 4 o 5, esto es ), por lo que)Eventos compuestos que incluyen el conectivo “y”En el párrafo anterior se desarrollaron reglas para determinar la probabilidad de eventos de la forma .Básicamente se sumaron las probabilidades del evento y del evento , cuando los eventos son mutuamenteexcluyentes o ajenos, debiendo ajustar la fórmula restando la probabilidad del evento en aquellos casos dondelos eventos no son mutuamente excluyentes.Ahora se considera, de manera general, cómo determinar la probabilidad de cualquier evento de la forma .Ejemplo 12. En una clase universitaria de ciencias hay 30 alumnos, de los cuales 5 estudian física, 15 matemáticas y10 biología. De estos mismos, 22 son mujeres y el resto hombres. Si se escoge un estudiante al azar para pasar alpizarrón, ¿cuál sería la probabilidad de que este sea hombre y estudiante de matemáticas?De acuerdo al diagrama de árbol, la tarea consta de dos etapas. Primero se calculará la probabilidad del eventoque sea hombre. Para esto se sabe que son 30 alumnos (casos posibles) y que de ellos 22 son mujeres, por lo que 8son hombres (casos favorables). Por medio de la fórmula de probabilidad teórica se tiene:)22 mujeres8 hombres51510FísicaMatemáticasBiología51510FísicaMatemáticasBiología
  20. 20. 21BLOQUE 1Ahora se calculará la probabilidad del evento ser estudiante de matemáticas. Recuerda que 30 son los casosposibles, y que de estos, 15 estudian matemáticas (casos favorables). Así se tiene que:)La probabilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente, será el producto de las probabilidades de cadasuceso. Es decir:) ( ) ( )Ejemplo 13. Si se elige un número de manera aleatoria del conjunto { } determine la probabilidadde que el número seleccionado sea par y múltiplo de 3.El espacio muestral para este caso es todo el conjunto proporcionado{ },Sea que el número sea par y que el número sea múltiplo de 3, entonces:{ } { }El evento compuesto corresponde al conjunto ( ) { }. Por lo tanto por medio de la fórmula deprobabilidad teórica,) .La fórmula general de probabilidad del evento , que se verá más adelante, exigirá que se multipliquen lasprobabilidades individuales del evento . Pero, como se muestra en el ejemplo 13, eso debe hacerse conprecaución. Aunque ) y ) , al multiplicar simplemente estos dos números se hubiera obtenido.Lo cual es incorrecto; el procedimiento correcto es calcular la probabilidad del segundo evento bajo la suposición deque ha ocurrido el primer evento (o está ocurriendo u ocurrirá, pues el tiempo carece aquí de importancia). Este tipode probabilidad, calculada bajo alguna suposición especial, se conoce como probabilidad condicional, que seestudiará en el siguiente bloque.
  21. 21. 22DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOEn equipo resuelvan los siguientes problemas.1. Se considera el tipo de secadora de ropa (de gas o eléctrica) comprada por cinco clientes deuna tienda. Si la probabilidad de que a lo más uno compre secadora eléctrica es de 0.087.¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 compren secadora eléctrica?2. El evento 𝐴 es que el próximo préstamo de una biblioteca sea un libro que no es de ficción y 𝐵 que sea deficción. Supongamos que 𝑃 𝐴) y 𝑃 𝐵) .a) Calcula 𝑃 𝐴 𝑐)b) Calcula 𝑃 𝐴 𝑜 𝐵)3. Las tres opciones preferidas en cierto automóvil nuevo son: Transmisión automática 𝐴) Dirección hidráulica 𝐵) Seis cilindros 𝐶)Se sabe que: el 70% de los compradores piden 𝐴; el 80% pide el tipo 𝐵, 75% piden 𝐶; 85% piden 𝐴 𝑜 𝐵; 90%𝐵 𝑜 𝐶; 98% piden 𝐴 𝑜 𝐵 𝑜 𝐶.a) Elabora un diagrama de Venn Euler para representar los tres eventos.Actividad: 2
  22. 22. 23BLOQUE 1EvaluaciónActividad: 2 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:SaberesConceptual Procedimental ActitudinalReconoce las propiedades yreglas de la probabilidad.Calcula la probabilidad de eventossimples y compuestos mediantelas propiedades y reglas de laprobabilidad.Aporta ideas y respeta lasaportaciones de suscompañeros.AutoevaluaciónC MC NC Calificación otorgada por eldocenteSitios Web recomendados:Ingresa a los siguientes sitios para que consultes y dispongas de información deinterés:http://www.wiris.net/planetamatematico.com/whiteboard/es/index-sta.htmhttp://www.youtube.com/watch?v=_vSG858zfNIhttp://www.youtube.com/watch?v=Wq-MeZLKi2khttp://www.youtube.com/watch?v=wPmi1pcoDq8http://www.youtube.com/watch?v=Wq-MeZLKi2k&playnext=1&list=PL03A6D9A990D7F560http://www.youtube.com/watch?v=-5EG28z2E08http://www.youtube.com/watch?v=_vSG858zfNI&feature=fvsrb) Determina la probabilidad de que un comprador elija al menos una de las tres opciones.c) Determina la probabilidad de que un comprador no seleccione ninguna de las tres opciones.4. La madrina de recuerdos de una boda ha comprado dos tipos de arreglos: 50 velas y 50 centros de mesapara los invitados, ¿cuál es la probabilidad de que a un invitado le toque recuerdo de vela o centro de mesa,si es que llegaron 150 invitados y a cada uno sólo le obsequian un recuerdo?5. Si se lanzan 2 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos?Actividad: 2 (continuación)
  23. 23. 24DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOCierre Resuelve los siguientes problemas.1. En el último año las compañías de teléfonos han hecho grandes esfuerzos para atraer nuevosclientes. Supón que en una muestra de 400 familias una compañía telefónica obtuvoinformación sobre el interés de planes de larga distancia y sobre las necesidades semanalesde realizar llamadas de larga distancia internacional. Los datos de esta encuesta se presentanen la siguiente tabla.Necesidad de llamar semanalmente al exteriorAdherido a algún plan de larga distanciaTotalSi NoSi 120 120 240No 30 130 160TOTAL 150 250 400A partir de la información de la tabla:a) Proporciona un ejemplo de evento simple y determina su probabilidadb) ¿Cuál es el evento complemento de tener necesidad de llamar semanalmente al exterior?, ¿qué probabilidadtiene?Si se selecciona una familia de las encuestadas al azar:c) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga necesidad de llamar al exterior y esté adherida a un plan delarga distancia?Actividad: 3
  24. 24. 25BLOQUE 1d) ¿Cuál es la probabilidad que la familia seleccionada no se haya adherido a ningún plan delarga distancia?e) Di si los eventos 𝐴 ∶ Está adherido a un plan de larga distancia y 𝐵 Tiene necesidad de llamar al exteriorsemanalmente, son mutuamente excluyentes. Justifica tu respuesta.2. De 46 alumnos de un grupo, 18 juegan futbol, 16 juegan beisbol y 14 volibol.2 alumnos juegas los 3 deportes3 alumnos juegan futbol y beisbol2 alumnos juegan futbol y voleibol3 alumnos juegan beisbol y voleibolElabora un diagrama de Venn Euler. Si escogemos al azar un alumno: ¿Cuál es la probabilidad de que…:a) juegue futbol o beisbol?b) juegue volibol?c) no juegue volibol?d) practique los tres deportes?e) juegue futbol o volibol?f) no juegue volibol o beisbol?3. Simultáneamente se arrojan un dado y una moneda. Escribe el espacio muestral y contesta a las siguientespreguntas.a) Las parejas resultantes son:b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un 4?Actividad: 3 (continuación)
  25. 25. 26DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOEvaluaciónActividad: 3 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:SaberesConceptual Procedimental ActitudinalComprende las propiedades yreglas de la probabilidad, tantoen eventos simples como encompuestos.Aplica propiedades y reglas deprobabilidad para calcular laprobabilidad de eventos.Realiza la actividad mostrandointerés en la misma, externandosus ideas.AutoevaluaciónC MC NC Calificación otorgada por eldocentec) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un sello?d) ¿Cuál es la probabilidad de que caigan 4 y un sello?e) ¿Cuál es la probabilidad de que caigan una cara y un 5?4. Un cubo de madera se pinta de blanco y lego se separa en cubitos (como indica la figura) Si se escoge unode estos cubitos al azar, ¿qué probabilidad hay de que…:a) tenga 6 caras blancas?b) tenga 3 caras blancas?c) tenga una cara blanca?d) no tenga caras blancas?e) no tenga ninguna cara blanca?Actividad: 3 (continuación)
  26. 26. 27BLOQUE 1Secuencia didáctica 2.Principio fundamental de conteo.InicioDesarrolla lo que se solicita.1. Considera un club con cinco miembros: Andrea, Beto, Carla, Daniel y Eva, para abreviarusaremos las letras 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 (suponiendo que todos los miembros son elegibles).a) Elabora una lista de las diferentes formas de elegir estos tres puestos.Presidente, secretario, tesorero_________,________,________________,________,________________,________,________________,________,________________,________,________________,________,_______b) Si se eligen dos personas como representantes del Club, en la presentación de una conferencia, ¿de cuántasy cuáles formas se pueden elegir? Utiliza la siguiente tabla como apoyo para la selección.A:Andrea B:Beto C:Carla D:Daniel E:EvaA:AndreaB:BetoC:CarlaD:DanielE:Eva2. Escribe en la tabla todos los números de dos dígitos que se pueden escribir con los números { }.2do. dígito1er.dígito1 2 3123Actividad: 1
  27. 27. 28DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO3. En una tabla escribe todos los posibles resultados que se obtienen cuando se lanzan dosdados comunes.4. A: Andy, B: Betty, C: Clau y D: Dany, tienen boletos para cuatro asientos reservados en primera fila para unconcierto de rock. Escribe 3 maneras diferentes en las que pueden sentarse, de modo que Andy y Bettyestén juntos._________,________,_______,___________________,________,_______,___________________,________,_______,__________5. ¿Cuántos triángulos comprende la figura? Comenta con tus compañeros la forma de conteo que utilizastepara obtener la respuesta.________ triángulos.Actividad: 1 (continuación)
  28. 28. 29BLOQUE 1EvaluaciónActividad: 1 Producto: Esquemas. Puntaje:SaberesConceptual Procedimental ActitudinalIdentifica diferentes formas deconteo.Construye los posibles resultadosde un proceso de conteo.Muestra interés y apertura en eldesarrollo de la actividad.AutoevaluaciónC MC NC Calificación otorgada por eldocente6. En un restaurante se prepara un menú que consta de 3 sopas (tortillas, verduras y fideos), 2guisados (estofado y pescado) y 3 sabores de helado como postre (nuez, chocolate yqueso). Apoyándote del esquema, escribe 5 formas diferentes en las que puedes combinarlos platillos del menú._________,________,________________,________,________________,________,________________,________,________________,________,_______Actividad: 1 (continuación)
  29. 29. 30DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEODesarrolloConteo mediante una lista sistemática.En esta secuencia se tratarán las cuestiones elementales de teoría combinatoria, que puede definirse como la partede la Matemática que se dedica al estudio de los problemas relativos al cálculo del número de formas diferentes enque pueden agruparse una cantidad dada de objetos que poseen características determinadas cuando se tomantodos o algunos de los elementos de un conjunto finito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquiernaturaleza: números, personas, objetos, empresas, artículos producidos por una fábrica, entre otros.La teoría combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que se pueden obtener bajo algún modo decomposición de los elementos, teniendo en cuenta las relaciones que deben existir entre ellos. Para ello, distinguebásicamente tres diferentes formas que hay para llevar a cabo estos agrupamientos: Permutaciones yCombinaciones.Para calcular probabilidades, es necesario determinar la cantidad de elementos de un conjunto dado, o la cantidad deelementos del conjunto integrado por las agrupaciones que se pueden formar tomando algunos de los elementos. Amenudo, la tarea de contarlos uno a uno resulta tediosa, sin embargo, para poder contar resulta de mucha utilidad elllamado Principio fundamental de conteo y los aportes realizados por la teoría combinatoria.Todos los métodos de conteo que se estudiarán en esta secuencia implican proponer una lista real de los posiblesresultados para una determinada tarea. Este enfoque sólo es práctico para listas pequeñas. Hay otros métodosdesarrollados que permitirán determinar “cuántas” son las posibilidades sin realmente listarlas todas.Cuando se listan todos los posibles resultados, es muy importante emplear un método sistemático. Si sólo enlistas lasposibilidades conforme se te van ocurriendo, es muy probable que se te olvide nombrar algunas.Ejemplo 1. Determina cuáles y cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los números{ }.Esta tarea consta de dos etapas: seleccionar un primer dígito, luego elegir el segundo. Los resultados puedenrepresentarse en una tabla de la siguiente manera:2do. dígito1er.dígito1 3 5 71 11 13 15 173 31 33 35 375 51 53 55 577 71 73 75 77Observa que la lista de posibles resultados de la tabla son: 11,13, 15, 17, 31, 33, 35,37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.Existen 16 posibilidades. Como ves, sistemáticamente se han considerado todos los posibles resultados sin olvidarninguno de ellos.Cuando una tarea consta de más de dos etapas, no es fácil analizarla mediante una tabla, ya que necesitarías unatabla de más de dos dimensiones, que es difícil de construir en una hoja del cuaderno. Otra herramienta útil es eldiagrama de árbol, como se muestra en los siguientes ejemplos.Ejemplo 2. La impresora de la computadora de una oficina permite configuraciones especiales con un panel de cuatroconmutadores en hilera. ¿Cuántas configuraciones diferentes pueden seleccionarse, si ningún par de conmutadoresadyacentes puede estar apagado al mismo tiempo?
  30. 30. 31BLOQUE 1Esta situación es característica de opciones seleccionadas por el usuario de diferentes dispositivos, como son losequipos de computación, los mecanismos para abrir una puerta de cochera y otros equipos. En el diagrama de árbolse representa el “encendido” con el número 1, y “apagado” con el 0 (una práctica común).Observa que cada vez que un conmutador indica que está apagado (0) en el diagrama de árbol, el siguienteconmutador sólo puede estar encendido (1). Esto es para satisfacer la restricción de que ningún par de conmutadoresadyacentes puede estar al mismo tiempo apagado. Por tanto, son 8 las configuraciones diferentes que puedenseleccionarse.Ejemplo 3: Una familia desea adquirir una vivienda en cierta zona de la ciudad, y se le presentan las siguientesposibilidades: casa o apartamento. A su vez, cada una puede ser de 1, 2 o 3 dormitorios. ¿Cuántos tipos posibles devivienda tiene a disposición?El diagrama de árbol facilitará el listado de los posibles resultados.Existen dos etapas para esta tarea; se tienen 2 opciones para la primer etapa (casa o apartamento) y 3 opciones parala segunda (número de dormitorios). Por lo que son 6 los posibles tipos de vivienda que la familia tiene a disposición.Ejemplo 4. ¿Cuántos triángulos comprende la figura?1er.Conmutador2do.Conmutador0 1101013er.Conmutador1014to.Conmutador10011011Configuraciónde losconmutadores01010110011110101011110111101111G FDCBAEHI1 DormitorioCasaApartamento2 Dormitorios3 Dormitorios1 Dormitorio2 Dormitorios3 Dormitorios
  31. 31. 32DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOUn método sistemático es marcar los puntos, como se muestra en la figura, iniciando con A, luego proceder en ordenalfabético para escribir todas las combinaciones de tres letras y, finalmente, tachar las que no son triángulos en lafigura.Por último en la figura hay 16 triángulos diferentes ¿Por qué no están incluidas las ternas y (y muchas otras)en la lista?Otro método podría ser identificar primero los triángulos que constan cada uno de una sola región:. Luego, listar los que constan de dos regiones cada uno: ; ylos de cuatro regiones cada uno: . No hay triángulos de tres regiones. El total es nuevamente 16triángulos.Observa en todos estos ejemplos que utilizar un sistema definido asegurará una lista completa de todos los posiblesresultados para varias tareas. Sin embargo, si el número total de posibles resultados es todo lo que necesitas saber,entonces no es necesario elaborar una lista, ya que con frecuencia es muy tedioso y díficil obtenerla, en especialcuando la lista es larga, como es el caso del ejemplo 3. Enseguida, verás formas de calcular “cuántos” por medio delprincipio fundamental de conteo.En equipos de cuatro, desarrollen lo que se solicita.1. De todos los posibles resultados del lanzamiento de dos dados, escriban las parejas denúmeros para los que la suma (de los puntos de la cara de ambos dados) sea la siguiente:Suma Resultados28ParEntre 6 y 10De 6 a 8Menor que 5Impar72. Elaboren una tabla donde escriban todos los posibles números de 2 dígitos que se pueden formar con elconjunto de números { } suponiendo que:a) Se permite repetir los dígitos.Actividad: 2
  32. 32. 33BLOQUE 1b) No se permite repetir los dígitos.3. De los treinta y seis números de la tabla del problema 2, listen los que pertenecen a cada una de lassiguientes categorías.a) Números impares.b) Números primos.c) Números con dígitos repetidos.d) Potencias de dos.e) Múltiplos de 6.f) Números cuadrados.4. Elaboren un diagrama de árbol donde se muestren todos los resultados posibles cuando se lanzan tresmonedas. Luego listen los resultados:a) Al menos dos caras.b) Menos de dos caras.c) Más de dos caras.d) No más de dos caras.Actividad: 2 (continuación)
  33. 33. 34DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOEvaluaciónActividad: 2Producto: Listas sistemáticas deconteoPuntaje:SaberesConceptual Procedimental ActitudinalIdentifica diferentes formas deconteo.Representa sistemáticamente losposibles resultados de un procesode conteo.Aprecia la facilidad de lasistematización en el conteo.Es respetuoso con suscompañeros y aporta ideas en laresolución de la actividad.AutoevaluaciónC MC NC Calificación otorgada por eldocente5. En el patrón que se observa abajo, los puntos están a una unidad de distancia, tanto horizontalcomo vertical. Si un segmento puede unir dos puntos cualesquiera, ¿cuántos segmentospueden dibujarse con cada una de las longitudes siguientes?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙________, _________, __________, ____________, _________6. Un panel que contiene seguidos tres interruptores de encendido y apagado está por activarse. Suponiendoque no hay restricciones para los interruptores elaboren un diagrama de árbol para listar todas las posiblesactivaciones del panel.7. Cuando se lanzan dos dados se tienen 36 resultados diferentes, ¿cuántos habrá si se tiran tres dados?Actividad: 2 (continuación)
  34. 34. 35BLOQUE 1Principio fundamental de conteo.El principio fundamental de conteo también conocido como regla de la multiplicación se puede utilizar paradeterminar los posibles resultados cuando una tarea consta de varias etapas, esto es, que hay dos o máscaracterísticas que pueden variar. Este principio establece que todos los posibles resultados en una situación dada sepueden encontrar multiplicando el número de formas en la que puede suceder cada evento.Ejemplo 1. ¿Cuántos números de dos dígitos hay en nuestro sistema (base diez) de números naturales? La “tarea” esseleccionar, o diseñar, un número de dos dígitos. Esta labor consta de dos partes o etapas.Primera etapa:Seleccionar el primer dígito. Aunque 80 es un número de dos dígitos, 08 no lo es; por lo que hay nueve formas deseleccionar el primer dígito (de 1 a 9).Segunda etapa:Seleccionar el segundo dígito. Como ya se mencionó, el cero es posible para esta etapa; de aquí que haya 10 formasde seleccionar el segundo dígito (de 0 a 9).Por lo tanto, el número total de posibilidades es .En este ejemplo, el segundo dígito podría haberse elegido primero, con diez opciones posibles. Luego, hay nueveopciones para el primer dígito. Nuevamente, el total es .Ejemplo 2. ¿Cuántos números de dos dígitos no contienen dígitos repetidos? (por ejemplo 66 no se permite).La tarea básica, de nuevo, es seleccionar un número de dos dígitos y hay dos etapas o partes para hacerlo.Primera etapa:Elegir el primer dígito. Como el número debe estar formado por dos dígitos, no se considera el cero para esta etapa,ya que, 01, 02, 03, en realidad son números de un dígito. Por lo tanto hay nueve opciones posibles para el primerdígito (de 1 a 9).Segunda etapa:Elegir el segundo dígito. La restricción del número de dos dígitos es que estos no se repitan, por lo tanto, se debe dedescartar el dígito seleccionado en la primera etapa, esto daría como resultado 8 opciones, pero se debe considerarel 0 como una opción para el segundo dígito, ya que si tiene sentido hablar de 20, 30, 40 como números de dosdígitos por ejemplo. Luego quedan nueve opciones para el segundo dígito.Por lo que el número total de posibilidades de elegir un números de dos cifras de las cuales estas no se repitanes .𝑛 𝑛 𝑛 ⋯ 𝑛 𝑘Principio fundamental de conteoCuando una tarea consiste en 𝑘 etapas separadas, si la primera puede realizarseen 𝑛 formas, la segunda en 𝑛 formas, etc., hasta la 𝑘 é𝑠𝑖𝑚𝑎 etapa, que puedehacerse de 𝑛 𝑘 formas, entonces el número total de resultados posibles paracompletar la tarea está dado por el producto
  35. 35. 36DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOSi se hubiera empezado por el segundo dígito en el ejemplo 2, como en el caso anterior, se habrían tenido problemas,porque después de observar que existen 10 opciones para el segundo dígito, no sería posible decidir el número deopciones para el primer dígito, ya que no hay manera de saber si el segundo dígito fue cero u otro distinto de cero.Para evitar esta clase de ambigüedades, es mejor empezar por cualquier parte de la tarea que tenga algunarestricción especial. En ambos ejemplos el primer dígito está restringido a que no puede ser cero, así que considéraloprimero.Ejemplo 3. ¿De cuántas maneras puede un grupo escolar elegir de entre 5 candidatos, 3 mujeres y 2 hombres, a supresidente, secretario y tesorero, si el secretario debe ser hombre?Como la restricción especial se aplica al secretario, considera primero ese cargo. Hay dos opciones, luego quedancuatro opciones para presidente (las tres mujeres junto con el hombre que no quedó como secretario). Por último haytres opciones para tesorero (las tres personas que hasta el momento no han sido elegidas para un cargo). El númerototal de formas es .Ejemplo 4. ¿Cuántos números de cuatro dígitos hay en nuestro sistema de números de conteo (naturales)?La tarea de seleccionar un número de cuatro dígitos se compone de cuatro etapas. No hay restricción asociada, salvoque el primer dígito debe ser distinto de cero. Por lo que hay posibles números de cuatrodígitos.Ejemplo 5. La numeración de las placas de matrícula para carros particulares en México, secompone de 3 letras seguidas de 4 dígitos. ¿Cuántas placas diferentes son posibles, antesque sea necesario un nuevo esquema?La tarea básica es diseñar una numeración que conste de tres letras seguidas por tresdígitos. Hay seis partes o etapas que componen esta tarea. Como no hay restricciones sobre las letras o los dígitosque se utilizarán, considerando que el alfabeto tiene 26 letras, el principio fundamental de conteo muestra que existen.placas.Mediante el principio fundamental de conteo resuelve lo siguiente:1. Explica con tus propias palabras el principio fundamental de conteo.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. Un panel que contiene seguidos tres interruptores de encendido y apagado está por activarse. Suponiendoque no hay limitaciones para los interruptores, utiliza el principio fundamental de conteo para determinar elnúmero total de posibles activaciones.Actividad: 3
  36. 36. 37BLOQUE 13. Suponiendo que no hay restricciones, elabora un diagrama de árbol para listar todas lasposibles activaciones del panel del problema 2.4. Del problema 2, considera que ningún par de conmutadores adyacentes puede estar apagado. Puedes usarel principio fundamental de conteo para determinar el número total de posibles activaciones. Argumenta turespuesta.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5. Construye un diagrama de árbol para listar todas las posibles activaciones del panel con la restricción delproblema 4.6. El club de porristas formado por los siguientes elementos {𝐴𝑛𝑑𝑟é𝑠 𝐵𝑒𝑡𝑜 𝐶𝑎𝑡 𝑦 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑 𝐸𝑚𝑚𝑎}, se estápreparando para una presentación en su escuela.a) ¿De cuántas maneras pueden alinearse en una fila los cinco miembros para una fotografía?b) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse dos miembros uno para iniciar la presentación y otro paraclausurarla, dado que Beto no estará presente?c) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse un hombre y una mujer para que hagan la decoración delescenario?Actividad: 3 (continuación)
  37. 37. 38DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOFactoriales.La cantidad de números de cuatro dígitos diferentes que se pueden formar puedes calcularla como sigue. Como este tipo de producto aparece con mucha frecuencia en las aplicaciones, se le conoce con un nombrey un símbolo.Por ejemplo evalúa el factorial de las siguientes cantidades:a) ) ) ) 1.b) )c) ( )d) .e)⋯Observa las diferencias entre los incisos c) y e) y entre los incisos b) y d) anteriores.Con el fin de que el factorial sea definido para todos los números naturales, incluido el cero, se define el cero factorialde la siguiente manera.Más adelante te darás cuenta que esta definición especial hace que otros resultados sean más fáciles de expresar.Siempre que necesites conocer el número total de formas de ordenar o acomodar un número de objetos distintos,puedes utilizar un factorial, el principio fundamental de conteo lo hace, como ya lo vimos con anterioridad, pero losfactoriales proporcionan una forma más corta.EvaluaciónActividad: 3 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:SaberesConceptual Procedimental ActitudinalComprende el principiofundamental de conteo en lasolución de problemascotidianos.Utiliza el principio fundamental deconteo para solucionar problemascotidianos.Se interesa en el análisis de losproblemas.AutoevaluaciónC MC NC Calificación otorgada por eldocenteFórmula de factorialPara cualquier número natural (número de conteo) 𝑛, el producto de todos losnúmeros naturales de 𝑛 a 1, se denomina 𝒏 factorial, se denota con 𝑛 y está dadapor:𝑛 𝑛 𝑛 ) 𝑛 ) 𝑛 ) .
  38. 38. 39BLOQUE 1Ejemplo 1. Emilia tiene nueve trabajos que incluir en su portafolio de evidencia en la asignatura de química. ¿Decuántas formas diferentes puede acomodarlos?Si el portafolio tuviera secciones como folders, para acomodar el primer trabajo, Emilia tendría nueve posibles lugaresdonde acomodarlo; para el segundo trabajo tendría ocho posibles lugares, puesto que el primero ya ocupa un lugar,para el tercero tendría siete posibles lugares, y así sucesivamente hasta acomodar el último trabajo que sólo tendríauna opción de acomodo. Por lo que el número de formas de acomodar nueve objetos distintos es..Ejemplo 2. Cada vez que Ana, bibliotecaria de una escuela, tiene que acomodar las nuevas adquisiciones de libros, lohace de tal manera que todos los libros de la misma asignatura queden juntos. Si le llegaron 12 libros de Álgebra dedistintas editoriales, ¿de cuántas maneras diferentes puede acomodarlos?Doce libros de Álgebra pueden acomodarse entonces de:.maneras diferentes.Si compruebas este resultado con el principio fundamental de conteo, te darás cuenta que, para acomodar el primerlibro tiene 12 maneras distintas de hacerlo, luego para acomodar el segundo libro tiene 11 maneras de hacerlo puestoque el primer libro ya ocupó un lugar, para el tercer libro entonces, tiene 10 maneras de colocarlo, siguiendo esteproceso, al colocar el último libro, éste tendrá sólo una manera de ser colocado, por lo que las manerasdiferentes de acomodar los 12 libros de álgebra puede ser expresada por el producto:.Para facilitar la tarea de cálculo del factorial de un número, las máquinas calculadoras cuentan con una tecla que teproporciona el resultado directo. La función o , dependiendo del modelo, se activa presionando la tecla desegunda función (que en algunas máquinas es la tecla SHIFT, 2nd F o INV). Así, para calcular tienes que presionarprimero el número, después la tecla de factorial previamente activada con SHIFT.𝑛Ordenamiento de 𝒏 objetosEl número total de formas diferentes para acomodar 𝑛 objetos es :
  39. 39. 40DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOContesta a los siguientes cuestionamientos.1. Describe de qué manera conviene usar el factorial en problemas de conteo._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. Explica si los siguientes resultados son o no verdaderos, en general, y justifica tu respuesta con ejemplosespecíficos.a) 𝑚 𝑛) 𝑚 𝑛b) 𝑚 ∙ 𝑛) 𝑚 ∙ 𝑛3. Sin utilizar calculadora evalúa las siguientes expresiones.a)b)− )c)d)− )e)− )Actividad: 4
  40. 40. 41BLOQUE 1EvaluaciónActividad: 4 Producto: Ejercicios. Puntaje:SaberesConceptual Procedimental ActitudinalReconoce y describe la utilidaddel factorial.Aplica la definición de factorial paraobtenerlo.Realiza el ejercicio con limpieza yclaridad.AutoevaluaciónC MC NC Calificación otorgada por eldocente4. Emma tiene siete ensayos que incluir en su carpeta de Inglés ¿De cuántas formas diferentespuede acomodarlos?5. Cada vez que Laura lleva al parque a los nueve niños que tiene a su cuidado, todos ellos quieren estarsiempre al frente de la fila. ¿De cuántas maneras diferentes puede acomodarlos?Actividad: 4 (continuación)Sitios Web recomendados:Ingresa a los siguientes sitios para que consultes e interactúes,calculando el número de formas en las que se pueden agrupar unnúmero de objetos.http://www.amolasmates.es/flash/combinatoria/mod_4publish/http://www.aaamatematicas.com/sta-basic-cntg.htm
  41. 41. 42DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOCierreResuelve los siguientes problemas.1. El código postal de Nicasio Mendoza es 83120. ¿Cuántos códigos postales de cinco dígitosen total pueden formarse utilizando todos los dígitos del código postal de Nicasio?2. El restaurante La Casa Loma ofrece cuatro opciones en la categoría de sopa y ensalada (dos sopas y dosensaladas), dos opciones en la categoría de pan, y tres opciones en la categoría de platillo fuerte. Determinael número de comidas disponibles en cada uno de los siguientes casos:a) Se debe incluir un elemento de cada una de las tres categorías.b) Sólo se incluirá una sopa y un platillo fuerte.c) Sólo se incluirá una sopa, un pan y una ensalada.3. Un distribuidor de equipo musical tiene diez guitarras diferentes, cuatro estuches para guitarra, seisamplificadores y tres procesadores de efectos, con todos los artículos compatibles y todos adecuados paraprincipiantes. ¿Cuántos equipos completos puede Leo seleccionar para iniciar su carrera musical?4. Jorge guarda cuatro libros de texto y tres novelas en su escritorio. ¿De cuántas maneras diferentes lospuede acomodar en una hilera? si:a) Los libros de texto deben estar a la izquierda de las novelas.b) Las novelas deben ir juntas.c) Ningún par de novelas debe estar junto.5. Andy (A), Betty (B), Claudia (C), David (D), Emma (E) y Fernando (F) tenían reservados seis lugares en la filade un teatro, iniciando en un asiento de pasillo.a) Si A se sentó primero, ¿cuántos asientos están disponibles para él?b) Ahora, ¿cuántos asientos están disponibles para B?c) Ahora, ¿cuántos para C?Actividad: 5
  42. 42. 43BLOQUE 1d) Ahora, ¿cuántos para D?e) Ahora, ¿cuántos para E?f) Ahora, ¿cuántos para F?g) Ahora multiplica las seis respuestas anteriores.6. ¿De cuántas formas pueden sentarse de modo que Andy y Betty estén juntos? Apóyate de siguienteesquema, primero da respuesta a la siguiente serie de preguntas.1 2 3 4 5 6X X — — — —— X X — — —— — X X — —— — — X X —— — — — X Xa) ¿Cuántos pares de asientos pueden ocupar A y B?b) Ahora, dados los dos asientos para A y B, ¿en cuántos órdenes pueden sentarse ellos?c) Ahora, ¿cuántos asientos están disponibles para C?d) ¿Cuántos para C?e) ¿Cuántos para D?f) ¿Cuántos para E?g) ¿Cuántos para F?Actividad: 5 (continuación)
  43. 43. 44DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOEvaluaciónActividad: 5 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:SaberesConceptual Procedimental ActitudinalDistingue el uso del principiofundamental de conteo yfactoriales en problemas deaplicación.Aplica el principio fundamental deconteo en la resolución deproblemas cotidianos.Expresa sus dudas y corrige suserrores.AutoevaluaciónC MC NC Calificación otorgada por eldocente7. Rodrigo es estudiante de Ciencias en Computación, está preparando su calendario de clasesdel próximo semestre, que debe incluir una clase de cada una de las cuatro categorías que semuestran aquí.Inscripción en universidades locales, 2005.Categoría Opciones Número de opcionesInglés Literatura contemporánea 3RedacciónPoesía modernaMatemáticas Álgebra 2TrigonometríaCiencias de la computaciónIntroducción a las hojas de cálculoProcesadores avanzados de textoProgramación en CProgramación en R4SociologíaProblemas socialesSociología de Latinoamérica4La mujer en la cultura hispanaMinorías étnicasTotal 13Origen: Datos ficticios, solamente a modo de ilustración.Utiliza la tabla para que determines el número de formas que tiene Rodrigo de elegir su horario, si:a) Todas las clases mostradas están disponibles.b) No puede tomar Álgebra ni Programación en R.c) Todas las secciones de Minorías étnicas y la mujer en la cultura hispana ya están llenas.d) No cumple con los requisitos previos para la literatura contemporánea y programación en C.e) Se retiraron los fondos para tres de los cursos de computación y para dos de los cursos de sociología.Actividad: 5 (continuación)
  44. 44. 45BLOQUE 1Secuencia didáctica 3.Teoría combinatoria.Inicio∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙Desarrolla lo que se solicita.1. Simplifica las siguientes expresiones:2. Evalúa cada expresión con ayuda de una calculadora.a)b)− )c)d)∙Actividad: 1
  45. 45. 46DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO3. Melvin quiere comprar cuatro libros diferentes, supongamos A, B, C, y D, pero sólo se puedecostear 2. Escribe en una lista las opciones de compra que Melvin puede hacer, y determinacuántas son.4. El club de porristas formado por Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa, quiere elegir a un presidente y a unsecretario, ¿de cuántas maneras pueden ser elegidos si nadie puede ocupar más de un cargo?5. ¿Cuántos comités diferentes de tres miembros pueden elegirse del club de porristas del problema 4 de modoque haya sólo una mujer en el comité?6. Del conjunto formado por las letras {𝑎 𝑏 𝑐 𝑑}, elabora una lista de todas las permutaciones de tres elementosque se puedan formar. Anótalos en la siguiente tabla.7. Del mismo conjunto del problema 1, lista ahora los subconjuntos de tres elementos que se pueden formar.Considerando que los subconjuntos 𝑎 𝑏 𝑐) 𝑎 𝑐 𝑏) 𝑏 𝑎 𝑐) por ejemplo, son el mismo.Actividad: 1 (continuación)
  46. 46. 47BLOQUE 1EvaluaciónActividad: 1Producto: Ejercicios y problemasaplicados.Puntaje:SaberesConceptual Procedimental ActitudinalIdentifica diferentes formas deconteo.Determina el número de posiblesresultados mediante principiofundamental de conteo yfactoriales.Muestra interés y apertura en eldesarrollo de la actividad.AutoevaluaciónC MC NC Calificación otorgada por eldocente8. Cuando se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas, ¿cuál es laprobabilidad de que la carta seleccionada sea distinta a un rey?Una baraja inglesa de 52 cartas tiene 4 palos:Espadas negras.Corazones rojos.Diamantes rojos.Tréboles negros.El As es el uno, la sota (J), la reina (Q) y el rey (K) son “cartas con figura”. Cada palo tiene 13 denominacionesAs, 2, 3,…,9, 10, J, Q, K.9. Lupita toma tres bolas, sin reemplazo, de la urna mostrada abajo. Determina la probabilidad de que las bolasque obtenga sean negra, blanca y gris, en ese orden (sabiendo que la urna contiene 3 bolas grises, 10negras y 7 blancas).10. Si se sacan cinco cartas, sin reemplazo, determina la probabilidad de que todas sean de corazones.11. Elabora una lista de los comités diferentes de tres miembros que podrían designar el club formado porAndrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa, de modo que haya sólo un hombre._________,________,________________,________,________________,________,________________,________,_______Actividad: 1
  47. 47. 48DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEODesarrolloPermutaciones.En el bloque anterior viste el factorial como una manera de contar el número de ordenamientos o arreglos de undeterminado conjunto de objetos. Refrescando un poco la memoria, un ordenamiento es el número total de formasdiferentes para acomodar objetos, es decir, es el número total de arreglos o disposiciones diferentes que se puedenformar con objetos. Por ejemplo, el club integrado por Andrés, Beto Cathy, David y Emma puede acomodarse enuna fila para tomarse una fotografía, en formas diferentes. { } { } { }{ } son sólo 4 arreglos o disposiciones, escritos de manera abreviada, de los 120 que hay. Usar el factorial,por lo común es más eficaz que aplicar el principio fundamental de conteo. También has utilizado listas, diagramasde árbol, tablas y el principio fundamental de conteo para responder preguntas como: ¿de cuántas formas puedeelegir el club a un presidente, un secretario y un tesorero, sin que nadie pueda ocupar más de un cargo? Una vezmás, esto es cuestión de ordenamientos o arreglos. La diferencia es que sólo tres de los miembros, en lugar de loscinco, están incluidos en cada caso.Observa, el club tiene 5 maneras de elegir al presidente, cualquiera de ellos podría ser, una vez elegido al presidente,ya que nadie puede ocupar más de un cargo, el club tiene 4 formas para elegir al secretario y 3 maneras de elegir altesorero. Algunos arreglos o disposiciones de esta elección, considerando que la primera entrada corresponde alcargo de presidente, la segunda al secretario y la tercera al tesorero, son: { } { } { } { }{ } { }. La respuesta, según el principio fundamental de conteo, es formas o arreglosdiferentes de hacer la elección. Los factores empiezan con el 5 y continúan de manera decreciente, al igual que en unproducto factorial, pero sin llegar a 1. (En este ejemplo, el producto se detiene cuando hay tres factores.) Otra formade elaborar la misma pregunta es: ¿cuántos arreglos o disposiciones hay de cinco cosas tomadas de tres en tres?En el contexto de los problemas de conteo, con frecuencia los arreglos se conocen como permutaciones; el númerode permutaciones de objetos distintos tomados en grupos de a la vez, se denota por ). Comoel número de objetos que se acomodará no puede exceder el número total disponible, para este propósito se suponeque . Al aplicar el teorema fundamental de conteo para arreglos de este tipo, se obtiene:) ) ) [ )]Al simplificar el último factor se obtiene la fórmula siguiente.Los factores de este producto empiezan de y descienden hasta que el número total de factoresque son . Esto sedebe a que el primer lugar del grupo puede estar ocupado por uno cualquiera de los elementos, mientras elsegundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los elementos que no están en el primer lugar, es decir, por unode los ) elementos restantes, ya que los elementos deben ser diferentes. El tercer lugar puede estar ocupadopor cualquiera de los elementos que no están ni en el primer lugar ni en el segundo, es decir por uno cualquiera delos ) elementos restantes. Si se continúa el razonamiento, para ocupar el é lugar se tendrán )elementos posibles.𝑃𝑘𝑛𝑛) 𝑛 ) 𝑛 ) 𝑛 𝑘 )Fórmula para las permutacionesEl número de permutaciones o arreglos de 𝑛 objetos distintos tomados en gruposde 𝑘 a la vez, donde 𝑘 𝑛, está dada por:
  48. 48. 49BLOQUE 1Ahora, el número de formas en las que el club puede elegir a un presidente, un secretario y un tesorero puededenotarse por:) ) ) ) ) ) )Observa que en estos arreglos de objetos distintos tomados en grupos de a la vez, se cumple que: No entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos, es decir, que en cada grupo los elementos son distintos.Ejemplo 1. Evalúa cada permutación:a) ) ) ;Empieza en 4, disminuye hasta que haya dos factores.b) ) ) ;Empieza en 5, disminuye hasta que haya dos factores.c) ) ) ) ;Empieza en 7, disminuye hasta que haya tres factores.d) ) ) ) ) ) ;Empieza en 8, y utiliza cinco factores.e) ) ) ) ) ) ;Empieza en 5, y utiliza cinco factores.Observa que . Para todos los números enteros positivos se cumple que:.(Esto es el número de posibles resultados de objetos distintos tomados todos a la vez).En general las permutaciones también pueden relacionarse con los factoriales de la siguiente manera. Recuerda que:) ) ) )Al ampliar este producto hasta llegar a 1 se obtiene:) ) ) ) ) ) ) )Multiplicando la expresión de permutaciones , por un uno conveniente como se observa a continuación:) ) ) ) ⋯ )) ) ⋯ )) ) ⋯ )Tenemos en la parte del numerador de manera completa el factorial de , mientras que en la parte deldenominador se tiene el factorial de .) ) ) ) ⋯ ) ) ) ⋯ ) )) ) ⋯ ) )Este cociente es igual a− ), y como se obtuvo multiplicando y dividiendo por la misma cantidad la expresión de, por lo que debe ser igual aEsta fórmula siempre puede utilizarse para evaluar permutaciones.
  49. 49. 50DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOSi y son muy grandes, una calculadora con una tecla para factorial y ésta fórmula ahorrarán mucho trabajocuando se determinen permutaciones. O mejor aún, una calculadora con la tecla de cálculo directo parapermutaciones.La fórmula anterior también muestra que cuando ). El número de permutaciones de elementos tomados deen , (o todos a la vez) se calcula:)O también,)En otras palabras, el número de objetos tomados en grupos de 0 a la vez, es 1. Esto es razonable, puesto que,hay una sola forma en que no se puede acomodar ninguno de los objetos.Ejemplo 2. Calcular las permutaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.) )O bien,Ejemplo 3. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: { }?Observa que se cumple inmediatamente que:No entran todos los elementos. De los 5 dígitos entran sólo 3.Sí importa el orden. Es decir, los números 123, 231, 321 son distintos entre sí.No se repiten los elementos. El enunciado pide que las cifras sean diferentes. Utilizando la fórmula de factorialpara las permutaciones, se tiene que:Por lo que la cantidad de números de tres cifras diferentes que se pueden formar son:Ejemplo 4. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: { }?Del problema tienes que .Para dar respuesta al problema, se tratará la situación por partes. Se sabe que el número a formar se compone detres dígitos, cdu, el primero de ellos es el dígito de las centenas, el segundo las decenas y el tercero las unidades.Si notas en el conjunto de dígitos a seleccionar se encuentra el 0; el número que se quiere formar de tres cifrasdiferentes, no puede comenzar por cero (excepto los de las matrículas, los de la lotería y otros casosparticulares), lo que significa que el primer dígito de la cifra (las centenas) lo puede ocupar sólo uno de los 5números . Así que las formas en que se puede elegir el primer dígito con , es:.𝑃𝑘𝑛𝑛𝑛 𝑘)Fórmula factorial para las permutacionesEl número de permutaciones o arreglos, de 𝑛 objetos distintos tomados en gruposde 𝑘 a la vez, donde 𝑘 𝑛, puede calcularse como:
  50. 50. 51BLOQUE 1El segundo dígito del número de tres cifras, (las decenas) lo puede ocupar cualquier número del conjunto dedígitos, menos el que se ocupó en las centenas, ya que los dígitos no se pueden repetir. De esta manera, conlas formas en las que se puede seleccionar este segundo dígito son:.Si te fijas, en el cálculo de esta última permutación van incluidas las formas en las que se puede seleccionar eldígito de las unidades, que son 4, ya que el factor 5 representa el número de formas en las que se puedeseleccionar el dígito de las decenas. (Cabe mencionar que el 0 si puede ocupar el dígito de las decenas o el deunidades). En la expresión de las permutaciones , esta calcula la cantidad de números de dos dígitos, es decir,los números que se componen de decenas y unidades. Por lo que la cantidad de números de tres cifras que sepueden formar con los 6 dígitos, es:.Ejemplo 5. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas, entre ellas la obra de unnovelista mexicano. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit (mención honorífica).a) ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?b) ¿Cuál es la probabilidad de que en uno de los cuadros de honor, la novela mexicana resulte ganadora?a) De la información que proporciona el problema, 10 candidatos hacen que y 3 conforman el cuadro dehonor significa que .No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.No se repiten los elementos. Se supone que cada candidato presenta una sola obra.− )cuadros de honor.b) Recuerda que la probabilidad de un evento se calcula dividiendo los casos favorables entre los casos totales.Así que de los 720 cuadros de honor que se pueden formar, en sólo 72 de ellos aparece el novelista mexicanocomo ganador. Ya que si el mexicano es ganador, la posición de finalista la puede ocupar cualquiera de los 9candidatos que quedan, y la posición de accésit puede ser ocupada por cualquiera de los 8 candidatos queno han logrado una posición en el concurso. Por lo que la probabilidad de que en uno de los cuadros dehonor, la novela mexicana resulte ganadora es:)Ejemplo 6. De una caja que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4 se extraen sucesivamente 2 sin reposición, esdecir, sin devolverlas a la caja.a) ¿Cuántas extracciones diferentes pueden resultar si se supone que interesa el orden de extracción?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que en las extracciones diferentes, se extraiga primero la bola 4?c) ¿Cuál es la probabilidad de que en las extracciones, la suma de los números de las bolas sea un número par?a) Las diferentes posibilidades son todas las agrupaciones o arreglos de 2 bolas seleccionadas de las 4 que hay, esdecir, todos los pares ordenados posibles: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )extracciones diferentes.
  51. 51. 52DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOb) De los pares ordenados posibles que han sido listados anteriormente, observa que solo en tres de ellos,aparece la bola 4 en primer lugar de extracción, de modo que, la probabilidad de que de los paresordenados se extraiga primero la bola 4, es.)c) De la misma manera, de los pares ordenados, observa que cuatro son los pares que sumados sus númerosdan un número par, por lo que la probabilidad que de las extracciones la suma de un número par, es.)Mediante la fórmula de permutaciones resuelve lo siguiente:1. Determina el número de permutaciones (arreglos) en cada uno de los siguientes ejercicios.a) 7 objetos tomados en grupos de 4 a la vez.b) 12 objetos tomados en grupos de 3 a la vez.c) 41 objetos tomados en grupos de 2 a la vez.2. ¿Cuántas placas para carros de trabajo se pueden hacer, si cada placa consta de dos letras diferentesseguidas de 3 dígitos diferentes? Considera que el alfabeto tiene 26 letras.3. Del problema anterior, ¿cuántas placas pueden hacerse si el primer dígito no puede ser cero?4. Explica cómo están relacionados los factoriales con las permutaciones.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Actividad: 2
  52. 52. 53BLOQUE 1EvaluaciónActividad: 2 Producto: Problemas aplicados. Puntaje:SaberesConceptual Procedimental ActitudinalConoce las características delos arreglos a formar de unconjunto de objetos.Resuelve permutaciones medianteproblemas aplicados.Aprecia la facilidad de utilizarpermutaciones en el conteo dearreglos.AutoevaluaciónC MC NC Calificación otorgada por eldocente5. En una carrera intervienen 3 nadadores: A, B y C. ¿Cuáles son los resultados posibles de lacarrera y cuántos son?6. ¿Cuántos números distintos de 5 dígitos, se pueden formar con los dígitos del conjunto { }?5. ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de cada una de las palabras?a) Temab) Campanac) EstadísticaActividad: 2 (continuación)
  53. 53. 54DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOCombinaciones.Hasta aquí, has estudiado las permutaciones para evaluar el número de arreglos de objetos tomados en grupos dea la vez, en donde no se permiten las repeticiones. El orden de los elementos fue importante. Recuerda que el clubformado por Andrea, Beto, Carla, Daniel y Elsa, podía elegir a 3 directivos de:) ) formas diferentes.Por otro lado, con comités de tres miembros el orden no es importante. Los comités ) y) no son diferentes. El número posible de comités no es el número de arreglos de tamaño 3, sinoque es en realidad, el número de subconjuntos de tamaño 3 (ya que el orden de los elementos que se listan en unconjunto no tiene importancia).Los subconjuntos en este nuevo contexto se denominan combinaciones. El número de combinaciones de objetostomados en grupos de a la vez (esto es el número de subconjuntos de tamaño , dado un conjunto de tamaño )se escribe ).La lista de todos los comités de tamaño 3 (subconjuntos) del club (conjunto) formado por {Andrea, Beto, Carla, Daniely Elsa} es:{ } { } { } { } { }{ } { } { } { } { }.Hay 10 subconjuntos de 3 elementos, de modo que diez es el número posible de comités de 3 miembros. Lo mismoque con las permutaciones, las repeticiones no se permiten. Por ejemplo, { } no es un subconjunto válido de treselementos, al igual que { } no es un comité válido de tres miembros.Para ver cómo encontrar el número de tales subconjuntos sin listarlos todos, observa que cada subconjunto(combinación) de tamaño 3 da origen a seis arreglos (permutaciones) de tamaño 3. Por ejemplo, con la combinación{ } se obtienen las 6 permutaciones { } { } { } { } { } { }.Así, hay seis veces más permutaciones de tamaño 3, o desde otro punto de vista, hay un sexto más decombinaciones que de permutaciones. Por lo tanto,∙ ∙El 6 aparece en el denominador ya que existen seis formas diferentes de acomodar un conjunto de tres objetos(puesto que ∙ ∙ ). Generalizando de este ejemplo, objetos pueden acomodarse de formas diferentes,con lo que se obtiene la fórmula siguiente.Con anterioridad viste que las permutaciones se pueden expresar completamente en términos de factoriales:)Empleando esta fórmula, se obtiene:− ))𝐶 𝑘𝑛𝑃𝑘𝑛𝑘𝑛 𝑛 ) 𝑛 ) 𝑛 𝑘 )𝑘 𝑘 ) 𝑘 ) ) )Fórmula de las combinacionesEl número de combinaciones o subconjuntos, de 𝑛 objetos distintos tomados engrupos de 𝑘 a la vez, donde 𝑘 𝑛, está dada por:
  54. 54. 55BLOQUE 1Con este resultado, las combinaciones también pueden calcularse mediante factoriales. Empleando esta fórmula yconsiderando el hecho de que , para cualquier número entero positivo :− ) ∙.Esto significa que hay exactamente una combinación de objetos tomados en grupos de 0 a la vez. Lo que significaque un subconjunto de objetos tiene exactamente un subconjunto “vacío”.Observa que en estos subconjuntos de objetos distintos tomados en grupos de a la vez, se cumple que:No entran todos los elementos.No importa el orden.No se repiten los elementos, es decir, que en cada grupo los elementos son distintos.Ejemplo 1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.Utilizando factoriales queda:)Ejemplo 2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comitésdiferentes se pueden formar?Como en una combinación:No entran todos los elementos.No importa el orden: Juan, Ana o Ana, Juan forman el mismo comité.No se repiten los elementos. Una persona no puede ocupar dos puestos diferentes dentro del comité.)Ejemplo 3. ¿De cuántas maneras se pueden elegir los números del sorteo melate? ¿Cuál es la probabilidad deganar el sorteo?Para jugar en el sorteo melate se tienen que elegir 6 dígitos entre los números del 1 al 54. El orden de los dígitosque conforman el número elegido no importa, es decir, las posibilidades (2, 7, 18, 45, 34, 54), (34, 7, 54, 45, 2,18), (7, 2, 34, 45, 18, 54), (2, 7, 18, 45, 34, 54), (54, 45, 18, 7, 34, 2), por mencionar algunas, son cubiertas por lasexteta (2, 7, 18, 45, 34, 54).Para dar respuesta a la primera pregunta del problema, hay que tener en cuenta en los subconjuntos a formarque:No entran todos los elementos, sólo 6 de los 54 números.No importa el orden como ya vimos anteriormente.No se repiten los elementos, es decir, no se repiten los números dentro de cada sexteta, por lo que hay:)maneras de elegir los números en el sorteo melate.𝐶 𝑘𝑛𝑃𝑘𝑛𝑘𝑛𝑘 𝑛 𝑘)Fórmula factorial para las combinacionesEl número de combinaciones o subconjuntos, de 𝑛 objetos distintos tomados engrupos de𝑘 a la vez, donde 𝑘 𝑛, puede calcularse como:
  55. 55. 56DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEOEntonces la probabilidad de ganar el sorteo melate, es:)¿Conviene jugar al melate sabiendo que son tantas las opciones a elegir?Como has visto a lo largo de este bloque, muchos problemas de conteo comprenden la selección de algunoselementos de un conjunto dado. Las condiciones particulares del problema determinarán qué técnica específicautilizar. Como la selección de la técnica apropiada es fundamental, considera las siguientes sugerencias.1. Si los elementos seleccionados se pueden repetir, utiliza principio fundamental de conteo.Ejemplo: ¿Cuántos números de cinco dígitos existen?2. Si los elementos seleccionados no pueden repetirse, y el orden es importante, utiliza permutaciones.Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden formar en una fila de una taquilla tres de siete personas?3. Si los elementos seleccionados no pueden repetirse, y el orden no es importante, utiliza combinaciones.Ejemplo: ¿De cuántas formas se puede seleccionar un comité de cuatro de un grupo de 10 personas?Mediante la fórmula de combinaciones resuelvan lo siguiente:1. Explica en qué se diferencian las permutaciones y las combinaciones.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. ¿Cuántos comités diferentes de cinco miembros podrían formarse de los 100 senadores de Estados Unidos?3. Si dos puntos cualesquiera determinan una línea, ¿cuántas líneas están determinadas por siete puntos en unplano, en el que ningún conjunto de tres puntos es colineal?4. ¿De cuántas formas puede una muestra de cinco reproductores de CD seleccionarse de un cargamento deveinticuatro reproductores?5. Si el cargamento del ejercicio anterior contiene 6 reproductores defectuosos, ¿cuántas de las muestras detamaño cinco no incluirán reproductores defectuosos?Actividad: 3
  56. 56. 57BLOQUE 1CierreEvaluaciónActividad: 2 Producto: Problemas aplicados. Puntaje:SaberesConceptual Procedimental ActitudinalConoce las características delos subconjuntos a formar de unconjunto de objetos.Resuelve combinaciones medianteproblemas aplicados.Reconoce la facilidad de utilizarcombinaciones en el conteo desubconjuntos. Expone sus dudas.AutoevaluaciónC MC NC Calificación otorgada por eldocenteSitios Web recomendados:Ingresa a los siguientes sitios de internet para que experimentese interactúes los temas vistos aquí.http://www.amolasmates.es/flash/combinatoria/mod_4publish/http://miwikideaula.wikispaces.com/Appletshttp://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=118&Itemid=1586. ¿De cuántas formas puede una muestra de cinco reproductores de CD seleccionarse de uncargamento de veinticuatro reproductores?7. Si el cargamento del ejercicio anterior contiene 6 reproductores defectuosos, ¿cuántas de las muestras detamaño cinco no incluirán reproductores defectuosos?8. ¿Cuántos triángulos están determinados por veinte puntos en el plano, en donde ningún conjunto de trespuntos es colineal?9. En la lotería conocida como ⁄ , tú eliges siete números distintos del conjunto formado por los númerosdel 1 al 39, en donde el orden no tiene importancia. ¿De cuántas formas diferentes puedes hacer tuelección?Actividad: 3 (continuación)

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