Metodos abiertos

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Metodos abiertos

  1. 1. METODOS ABIERTOS
  2. 2. Un punto fijo de una función g , es un número p tal que g(p)= p . El problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x) = 0 y el de encontrar los puntos fijos de una función h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x) = 0, podemos definir una función g con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo, f(x) = x-g(x) En forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en P , entonces la función definida por f(x) = x-g(x) posee un cero en P . El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial X 0 y X i +1 genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x) = 0 . A la función g se le conoce como función iteradora . Se puede demostrar que dicha sucesión [X n ]converge siempre y cuando | g´(x)| < 1. METODO DEL PUNTO FIJO
  3. 3. <ul><li>Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación dentro del intervalo [1,2] </li></ul><ul><li>Lo primero es buscar una función adecuada </li></ul><ul><li>    </li></ul><ul><li>Y claramente elegimos como función iteradora a </li></ul>EJEMPLO
  4. 4. EJEMPLO además observe que para toda [1,2], lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.
  5. 5. APLICACIÓN EN EXCEL La implementación de este método en Excel es realmente simple, como veremos. <ul><li>En la celda A5 escribimos nuestra aproximación inicial, en este caso 2. </li></ul><ul><li>En la celda A6 escribimos la fórmula que calculará las aproximaciones: </li></ul><ul><li>3. Por último arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones. </li></ul>
  6. 6. APLICACIÓN EN EXCEL Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradora g(x) no siempre es fácil.
  7. 7. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier ) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.
  8. 8. EJEMPLO consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos( x ) = x 3 . Podríamos tratar de encontrar el cero de f ( x ) = cos( x ) - x 3 . Sabemos que f  '( x ) = -sin( x ) - 3 x 2 . Ya que cos( x ) ≤ 1 para todo x y x 3 > 1 para x >1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x 0 = 0,5
  9. 9. EJEMPLO Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x 6 es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x 3 ) a 5 y 10, ilustrando la convergencia cuadrática.
  10. 10. MÉTODO DE SECANTE Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la  derivada usando la siguiente aproximación:                               2.10.1 Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson:        2.10.2                            2.10.3
  11. 11. <ul><li>Que es la fórmula del método de la secante. Para poder calcular el valor de , necesitamos conocer  los dos valores anteriores    y  . </li></ul><ul><li>Obsérvese , el gran parecido con la fórmula del método de la regla falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el método de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados, el método de la secante es un proceso abierto y por lo mismo,  encuentra la aproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz, mientras que el método de la regla falsa lo hace de manera segura.  </li></ul>MÉTODO DE SECANTE
  12. 12. <ul><li>Usar el método de la secante para aproximar la raíz de  , comenzando con   ,     y hasta que   .  </li></ul><ul><li>Solución </li></ul><ul><li>Con     y , se sustituyen en la fórmula de la secante (ecuación 2.10.3) para calcular la aproximación  : </li></ul><ul><li>     </li></ul><ul><li>                                    </li></ul><ul><li>Con un error aproximado de: </li></ul>EJEMPLO
  13. 13. <ul><li>                                        </li></ul><ul><li>Como todavía no se cumple la condición dada por el error , es necesario continuar con el proceso. El resumen de los resultados se muestran en la siguiente tabla (tabla 2.10.1):  </li></ul><ul><li>                       </li></ul><ul><li>       </li></ul><ul><li>Con lo que la aproximación a la raíz es: </li></ul>EJEMPLO
  14. 14. <ul><li>http://www.virtualum.edu.co/antiguo/metnum/secante/secante.htm </li></ul><ul><li>http://www.scribd.com/doc/394159/BLOGGER </li></ul><ul><li>http://www.pe.utexas.edu/~waleed/eclipse.jpg </li></ul>REFERENCIAS

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