1.
ネットワークの中心性に基づく個人スポーツの動的なラン キング 増田 直紀 東京大学大学院 情報理工学系研究科 With 茂木 隼 (M2)

2.
FIFA RankingJapan (ranked 19th) Bhutan (198th) VSSweden (18th) Spain (1st) VS

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FIFA RankingJapan (19th) Bhutan (198th) VS WIN LOSESweden (18th) Spain (1st) VS

4.
Introduction : FIFA RankingJapan (19th) Bhutan (198th) VS WIN LOSESweden (18th) Spain (1st) VS 1勝の重みが全く違う !!

5.
スポーツランキング• サッカーに限らず，総当たり戦でないスポーツでは 対戦相手の強弱による不公平性が生じやすい. （e.g. 自国の大陸との対戦が多くなる） → 単純に勝敗数でランキングを決めるのは不適 切• 実際のランキングには不公平性を是正するためのルー ルが設けられているが… （e.g. 「強い」大陸の国ほど得られるスコアが大きい） ・ 複雑でわかりにくい場合が多い ・ 新たな不公平性を生むことも• → ネットワークを用いたランキング手法

6.
ネットワークを用いたランキング手法• 頂点 = 選手 (or team)• 1試合の勝者と敗者を有向辺で結ぶ.• 各頂点の中心性 = 選手のランキング• 計算方法 : 1. prestige score [Radicchi, 2011] 2. win-lose score [Park & Newman, 2005] → static ranking systems

7.
Static and dynamic rankingStatic ranking• 時間構造を無視．つまり，「選手の実力は不変」 と想定 – 実際には，選手の実力は時間に依存するはず.Dynamic ranking 本研究の目的: 時間構造を導入し, 実力の変動を考慮し た ランキング手法を提案する.

8.
Prestige score• player i が player j に勝った回数： win lose i• : j が負けた総数 j 0<q<1• 多くの相手に勝つほどスコアが上がる.• 勝った相手のスコアが大きいほどスコアが上がる.• 勝った相手の負け数 が小さいほどスコアが上がる.• 負けの影響は直接は考慮されていない.• PageRank と同じ

9.
win-lose score （１）• １ は ２ に勝利 （距離 1） ２ は ３ に勝利 （距離 1） → 1 は ３ に間接的に勝利 （距離 2 ） １ 間接勝利• ２ は １ に敗北 （距離 1） ３ は ２ に敗北 （距離 1） ２ ３ → ３ は １ に間接的に敗北 （距離 2 ）

10.
win-lose score （２）A = j が i に勝った回数を (i , j) 成分にもつ勝敗行列 i の距離 1 の勝利数 = i の距離 2 の勝利数 = i の距離 3 の勝利数 =距離 k の勝利の価値 = 距離 1 の勝利の 倍 (0 ≦ α < 1)．k = 1, 2, … で和をとる → i の win score wi

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win-lose score （３）• 負けの影響も同様に考える. lose score:Player i’s score:

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例1Note 0 ≦ α < 1 １ ２ ３

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例2 １ = A の最大固有値．収束条件は ２ ３実際には全試合終了まで は不明なので, 上の条件を満たすように を十分小さくする必要がある.

14.
Static ranking の問題点• Static ranking では対戦が行われた時刻に関する 情報がないため, 過去の対戦を たった今行われた かのように扱う （実力を不変と想定）• しかし，プレイヤーの実力が変化するスポーツは多い．• デビュー当時の Federer に勝つことと10年後の Federer に勝つことが同じ評価となる． １ year year 2000 2010 ２ ３

15.
Dynamic win-lose score （１）• win-lose score を以下のように拡張した dynamic win-lose score を提案する. 1. 間接的な勝ち負けは，過去に遡るものしか 考 えない. 2. player のスコアは時間について指数関数的に 減衰する.

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Example １ １２ ２ ３ ３ （α,βは正の定数）

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Example １ １２ ２ ３ ３ （α,βは正の定数）

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Example １ １２ ２ ３ ３ （α,βは正の定数）

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Example １ １２ ２ ３ ３ （α,βは正の定数）

20.
Dynamic win-lose score （２） １ １２ ２ ３ ３ （α,βは正の定数）

21.
Dynamic win-lose score （２） １ １２ ２ ３ ３ （α,βは正の定数）

22.
Dynamic win-lose score （２） １ １２ ２ ３ ３ （α,βは正の定数）

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Dynamic win-lose score （２） １ １２ ２ ３ ３ （α,βは正の定数）

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win-lose score １ １ １ ２ ２ ３ ２ ３ （αは正の定数）

25.
Dynamic win-lose score （３） 勝敗行列: n 番目の試合でプレイヤー i と j が対戦し, j が勝ったとき j が i に勝つことで得られる win score を (i, j) 成分にもつ行列 を とすると 時刻 tn-1 まで遡って得られる win score 時刻 tnで得られる win score時刻 tn-2 まで遡って得られる win score 時刻 t1 まで遡って 得られる win score

26.
Update equationsWin score at time tn: ( はすべての要素が1の列ベクトル)lose score:Score の更新式：

27.
テニスのデータの解析• 1972年12月から 2010年 5月までの ATP World Tour （男子プロテニス協会） のシングルス 381570 試 合, 14554人の対戦結果を使用する.• 試合の内容や大会の大きさは考慮しない.• 1 試合毎に各プレイヤーのスコアを更新

28.
β の決め方• 公式ランキングでの 1 勝のスコアは 1 年間持続する• Dynamic win-lose score では 1 勝のスコアは指数関数的に 減衰しながら永久に持続する• 1 勝の寄与の合計が両者で一致 ⇔ β=1/365 y=1 (0≦t≦365) １勝したときのスコア 1 y=exp(-βt) (t≧0) 0 0 365 730 経過時間 t [day]28

29.
ランキングの予測性能• A game between players i and j at time tn• 直前の両プレイヤーのスコアの大小から，試合結果を予 測 スコアが大きいプレイヤーの勝利 → 予測成功 スコアが小さいプレイヤーの勝利 → 予測失敗 同点 → 予測対象から外す• Prediction accuracy = （予測成功試合数） / （予測対象試合 数）• win-lose score および prestige score では, 時刻 tn 以前の試合 結果も全て含めたネットワークを用いてスコアを算出す

30.
Dynamic win-lose score

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win-lose score Note: λmax = 0.00438

32.
Prestige score

33.
Prediction accuracy at the end of the data• Dynamic win-lose score with α = 0.1～0.2 outperforms the other two ranking systems. Ranking 手法 Prediction accuracy Dynamic win-lose score 0.650 (α = 0.1, β = 1/365) Dynamic win-lose score 0.655 (α = 0.15, β = 1/365) Dynamic win-lose score 0.653 (α = 0.2, β = 1/365) win-lose score (α = 0) 0.602 Prestige score (q = 0.05) 0.630

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パラメータの感度分析• パラメータの決め方によってランキングが大きく変動 してしまうことは望ましくない.• Dynamic win-lose score におけるパラメータの感度 を, 順位相関を用いて調べる.• 全試合終了時点でランキング上位300人の順位相関を計算す る. （Fagin et al. (2003) の方法）

35.
Rank correlation with two α values given β = 1/365 ・ Rank correlation of the top 300 players ・ @ end of the data (i.e., May 2010). ・ A modified Kendall rank corr (Fagin et al., 2003) ・ corr ≧ 0.9 when α ≧ 0.15 ・ Not robust only for small α

36.
Rank correlation with two β values (one β value = 1/365）・ Insensitive for small β ≦ 3/365 or so. (note: β = 1/365 included)

37.
Sum of the scores・ From the top, α = 0.15, 0.1, 0.08, 10 -5. We set β = 1/365.・ Exponential increases.

38.
相対スコアと公式ランクの比較

39.
結論• win-lose score に時間構造を導入 – 設計指針，公平性の意味でより適切かも – Tennis の data で良好なパフォーマンス – ランキング結果はパラメータの変動に対して安 定.• 計算コストとも小さい – 様々な統計学習的手法は存在する• Ref: Motegi & Masuda, arXIv:1203.2228