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ネットワークの中心性に基づく個人スポーツの動的なラン     キング       増田 直紀 東京大学大学院 情報理工学系研究科     With 茂木 隼 (M2)
FIFA RankingJapan (ranked 19th)            Bhutan (198th)                   VSSweden (18th)                   Spain (1st) ...
FIFA RankingJapan (19th)                   Bhutan (198th)                   VS  WIN                          LOSESweden (1...
Introduction : FIFA RankingJapan (19th)              Bhutan (198th)                  VS  WIN                      LOSESwed...
スポーツランキング• サッカーに限らず,総当たり戦でないスポーツでは  対戦相手の強弱による不公平性が生じやすい.  (e.g. 自国の大陸との対戦が多くなる) → 単純に勝敗数でランキングを決めるのは不適 切• 実際のランキングには不公平性を...
ネットワークを用いたランキング手法• 頂点 = 選手 (or team)• 1試合の勝者と敗者を有向辺で結ぶ.• 各頂点の中心性 = 選手のランキング• 計算方法 :  1. prestige score [Radicchi, 2011]  2...
Static and dynamic rankingStatic ranking• 時間構造を無視.つまり,「選手の実力は不変」 と想定 – 実際には,選手の実力は時間に依存するはず.Dynamic ranking     本研究の目的:   ...
Prestige score• player i が player j に勝った回数:          win   lose                                   i•     : j が負けた総数       ...
win-lose score   (1)•   1 は 2 に勝利 (距離 1)     2 は 3 に勝利 (距離 1)    → 1 は 3 に間接的に勝利 (距離 2 )                                  ...
win-lose score    (2)A = j が i に勝った回数を (i , j) 成分にもつ勝敗行列  i の距離 1 の勝利数 =  i の距離 2 の勝利数 =  i の距離 3 の勝利数 =距離 k の勝利の価値 = 距離 1...
win-lose score   (3)• 負けの影響も同様に考える. lose score:Player i’s score:
例1Note 0 ≦ α < 1                          1                      2       3
例2                         1  = A の最大固有値.収束条件は                     2       3実際には全試合終了まで    は不明なので, 上の条件を満たすように  を十分小さくする必要...
Static ranking の問題点• Static ranking では対戦が行われた時刻に関する  情報がないため, 過去の対戦を たった今行われた  かのように扱う (実力を不変と想定)• しかし,プレイヤーの実力が変化するスポーツは多...
Dynamic win-lose score (1)• win-lose score を以下のように拡張した dynamic win-lose  score を提案する.   1. 間接的な勝ち負けは,過去に遡るものしか      考 えない....
Example    1                 12       2         3       3        (α,βは正の定数)
Example    1                 12       2         3       3        (α,βは正の定数)
Example    1                 12       2         3       3        (α,βは正の定数)
Example    1                 12       2         3       3        (α,βは正の定数)
Dynamic win-lose score   (2)    1                                  12               2         3                3          ...
Dynamic win-lose score   (2)    1                                  12               2         3                3          ...
Dynamic win-lose score   (2)    1                                  12               2         3                3          ...
Dynamic win-lose score   (2)    1                                  12               2         3                3          ...
win-lose score       1             1           1 2               2       3   2       3                 (αは正の定数)
Dynamic win-lose score   (3)   勝敗行列:   n 番目の試合でプレイヤー i と j が対戦し, j が勝ったとき    j が i に勝つことで得られる win score を (i, j) 成分にもつ行列  ...
Update equationsWin score at time tn:                        ( はすべての要素が1の列ベクトル)lose score:Score の更新式:
テニスのデータの解析• 1972年12月から 2010年 5月までの ATP World Tour  (男子プロテニス協会) のシングルス 381570 試  合, 14554人の対戦結果を使用する.• 試合の内容や大会の大きさは考慮しない.•...
β の決め方• 公式ランキングでの 1 勝のスコアは 1 年間持続する• Dynamic win-lose score では 1 勝のスコアは指数関数的に  減衰しながら永久に持続する• 1 勝の寄与の合計が両者で一致 ⇔ β=1/365   ...
ランキングの予測性能• A game between players i and j at time tn• 直前の両プレイヤーのスコアの大小から,試合結果を予  測      スコアが大きいプレイヤーの勝利 → 予測成功      スコアが小...
Dynamic win-lose score
win-lose score                 Note: λmax = 0.00438
Prestige score
Prediction accuracy at the end of the data• Dynamic win-lose score with α = 0.1~0.2 outperforms the  other two ranking sys...
パラメータの感度分析• パラメータの決め方によってランキングが大きく変動  してしまうことは望ましくない.• Dynamic win-lose score におけるパラメータの感度  を,            順位相関を用いて調べる.• 全試...
Rank correlation with two α values given β = 1/365                                 ・ Rank correlation of the              ...
Rank correlation with two β values                (one β value = 1/365)・ Insensitive for small β ≦ 3/365 or so. (note: β =...
Sum of the scores・ From the top, α = 0.15, 0.1, 0.08, 10 -5. We set β = 1/365.・ Exponential increases.
相対スコアと公式ランクの比較
結論• win-lose score に時間構造を導入   – 設計指針,公平性の意味でより適切かも   – Tennis の data で良好なパフォーマンス   – ランキング結果はパラメータの変動に対して安     定.• 計算コストとも...
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Sports ranking

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Slides written in Japanese for the following paper:

Shun Motegi and Naoki Masuda.
A network-based dynamical ranking system.
Preprint: arXiv:1203.2228

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Sports ranking

  1. 1. ネットワークの中心性に基づく個人スポーツの動的なラン キング 増田 直紀 東京大学大学院 情報理工学系研究科 With 茂木 隼 (M2)
  2. 2. FIFA RankingJapan (ranked 19th) Bhutan (198th) VSSweden (18th) Spain (1st) VS
  3. 3. FIFA RankingJapan (19th) Bhutan (198th) VS WIN LOSESweden (18th) Spain (1st) VS
  4. 4. Introduction : FIFA RankingJapan (19th) Bhutan (198th) VS WIN LOSESweden (18th) Spain (1st) VS 1勝の重みが全く違う !!
  5. 5. スポーツランキング• サッカーに限らず,総当たり戦でないスポーツでは 対戦相手の強弱による不公平性が生じやすい. (e.g. 自国の大陸との対戦が多くなる) → 単純に勝敗数でランキングを決めるのは不適 切• 実際のランキングには不公平性を是正するためのルー ルが設けられているが… (e.g. 「強い」大陸の国ほど得られるスコアが大きい) ・ 複雑でわかりにくい場合が多い ・ 新たな不公平性を生むことも• → ネットワークを用いたランキング手法
  6. 6. ネットワークを用いたランキング手法• 頂点 = 選手 (or team)• 1試合の勝者と敗者を有向辺で結ぶ.• 各頂点の中心性 = 選手のランキング• 計算方法 : 1. prestige score [Radicchi, 2011] 2. win-lose score [Park & Newman, 2005] → static ranking systems
  7. 7. Static and dynamic rankingStatic ranking• 時間構造を無視.つまり,「選手の実力は不変」 と想定 – 実際には,選手の実力は時間に依存するはず.Dynamic ranking 本研究の目的: 時間構造を導入し, 実力の変動を考慮し た ランキング手法を提案する.
  8. 8. Prestige score• player i が player j に勝った回数: win lose i• : j が負けた総数 j 0<q<1• 多くの相手に勝つほどスコアが上がる.• 勝った相手のスコアが大きいほどスコアが上がる.• 勝った相手の負け数 が小さいほどスコアが上がる.• 負けの影響は直接は考慮されていない.• PageRank と同じ
  9. 9. win-lose score (1)• 1 は 2 に勝利 (距離 1) 2 は 3 に勝利 (距離 1) → 1 は 3 に間接的に勝利 (距離 2 ) 1 間接勝利• 2 は 1 に敗北 (距離 1) 3 は 2 に敗北 (距離 1) 2 3 → 3 は 1 に間接的に敗北 (距離 2 )
  10. 10. win-lose score (2)A = j が i に勝った回数を (i , j) 成分にもつ勝敗行列 i の距離 1 の勝利数 = i の距離 2 の勝利数 = i の距離 3 の勝利数 =距離 k の勝利の価値 = 距離 1 の勝利の 倍 (0 ≦ α < 1).k = 1, 2, … で和をとる → i の win score wi
  11. 11. win-lose score (3)• 負けの影響も同様に考える. lose score:Player i’s score:
  12. 12. 例1Note 0 ≦ α < 1 1 2 3
  13. 13. 例2 1 = A の最大固有値.収束条件は 2 3実際には全試合終了まで は不明なので, 上の条件を満たすように を十分小さくする必要がある.
  14. 14. Static ranking の問題点• Static ranking では対戦が行われた時刻に関する 情報がないため, 過去の対戦を たった今行われた かのように扱う (実力を不変と想定)• しかし,プレイヤーの実力が変化するスポーツは多い.• デビュー当時の Federer に勝つことと10年後の Federer に勝つことが同じ評価となる. 1 year year 2000 2010 2 3
  15. 15. Dynamic win-lose score (1)• win-lose score を以下のように拡張した dynamic win-lose score を提案する. 1. 間接的な勝ち負けは,過去に遡るものしか 考 えない. 2. player のスコアは時間について指数関数的に 減衰する.
  16. 16. Example 1 12 2 3 3 (α,βは正の定数)
  17. 17. Example 1 12 2 3 3 (α,βは正の定数)
  18. 18. Example 1 12 2 3 3 (α,βは正の定数)
  19. 19. Example 1 12 2 3 3 (α,βは正の定数)
  20. 20. Dynamic win-lose score (2) 1 12 2 3 3 (α,βは正の定数)
  21. 21. Dynamic win-lose score (2) 1 12 2 3 3 (α,βは正の定数)
  22. 22. Dynamic win-lose score (2) 1 12 2 3 3 (α,βは正の定数)
  23. 23. Dynamic win-lose score (2) 1 12 2 3 3 (α,βは正の定数)
  24. 24. win-lose score 1 1 1 2 2 3 2 3 (αは正の定数)
  25. 25. Dynamic win-lose score (3) 勝敗行列: n 番目の試合でプレイヤー i と j が対戦し, j が勝ったとき j が i に勝つことで得られる win score を (i, j) 成分にもつ行列 を とすると 時刻 tn-1 まで遡って得られる win score 時刻 tnで得られる win score時刻 tn-2 まで遡って得られる win score 時刻 t1 まで遡って 得られる win score
  26. 26. Update equationsWin score at time tn: ( はすべての要素が1の列ベクトル)lose score:Score の更新式:
  27. 27. テニスのデータの解析• 1972年12月から 2010年 5月までの ATP World Tour (男子プロテニス協会) のシングルス 381570 試 合, 14554人の対戦結果を使用する.• 試合の内容や大会の大きさは考慮しない.• 1 試合毎に各プレイヤーのスコアを更新
  28. 28. β の決め方• 公式ランキングでの 1 勝のスコアは 1 年間持続する• Dynamic win-lose score では 1 勝のスコアは指数関数的に 減衰しながら永久に持続する• 1 勝の寄与の合計が両者で一致 ⇔ β=1/365 y=1 (0≦t≦365) 1勝したときのスコア 1 y=exp(-βt) (t≧0) 0 0 365 730 経過時間 t [day]28
  29. 29. ランキングの予測性能• A game between players i and j at time tn• 直前の両プレイヤーのスコアの大小から,試合結果を予 測 スコアが大きいプレイヤーの勝利 → 予測成功 スコアが小さいプレイヤーの勝利 → 予測失敗 同点 → 予測対象から外す• Prediction accuracy = (予測成功試合数) / (予測対象試合 数)• win-lose score および prestige score では, 時刻 tn 以前の試合 結果も全て含めたネットワークを用いてスコアを算出す
  30. 30. Dynamic win-lose score
  31. 31. win-lose score Note: λmax = 0.00438
  32. 32. Prestige score
  33. 33. Prediction accuracy at the end of the data• Dynamic win-lose score with α = 0.1~0.2 outperforms the other two ranking systems. Ranking 手法 Prediction accuracy Dynamic win-lose score 0.650 (α = 0.1, β = 1/365) Dynamic win-lose score 0.655 (α = 0.15, β = 1/365) Dynamic win-lose score 0.653 (α = 0.2, β = 1/365) win-lose score (α = 0) 0.602 Prestige score (q = 0.05) 0.630
  34. 34. パラメータの感度分析• パラメータの決め方によってランキングが大きく変動 してしまうことは望ましくない.• Dynamic win-lose score におけるパラメータの感度 を, 順位相関を用いて調べる.• 全試合終了時点でランキング上位300人の順位相関を計算す る. (Fagin et al. (2003) の方法)
  35. 35. Rank correlation with two α values given β = 1/365 ・ Rank correlation of the top 300 players ・ @ end of the data (i.e., May 2010). ・ A modified Kendall rank corr (Fagin et al., 2003) ・ corr ≧ 0.9 when α ≧ 0.15 ・ Not robust only for small α
  36. 36. Rank correlation with two β values (one β value = 1/365)・ Insensitive for small β ≦ 3/365 or so. (note: β = 1/365 included)
  37. 37. Sum of the scores・ From the top, α = 0.15, 0.1, 0.08, 10 -5. We set β = 1/365.・ Exponential increases.
  38. 38. 相対スコアと公式ランクの比較
  39. 39. 結論• win-lose score に時間構造を導入 – 設計指針,公平性の意味でより適切かも – Tennis の data で良好なパフォーマンス – ランキング結果はパラメータの変動に対して安 定.• 計算コストとも小さい – 様々な統計学習的手法は存在する• Ref: Motegi & Masuda, arXIv:1203.2228

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