Presentación realizada con Impress sobre fractales, atractores, teoría del caos y sistemas dinámicos.

1. El mundo de los fractales Juan Luis Ródenas Pedregosa

2. ¿Qué es un fractal? De forma intuitiva, podríamos decir que es un objeto geométrico que se repite a diferentes escalas. Existen muchos ejemplos en la naturaleza, como el brocoli:

4. d(x,y)=0 ↔ x=y

5. d(x,y)=d(y,x)

6. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)

7. Definiciones previas Definición 3: Sea (X,d) un espacio métrico. Un subconjunto A de X se dirá que es compacto si al recubrirlo con una red de conjuntos abiertos, es posible encontrar una cantidad finita que lo cubra. Definición 4: Se denota por H(X) al conjunto de los subconjuntos compactos no vacíos de X. Definición 5: Se define la distancia de Hausdorff, h, en H(X) de la siguiente forma: Dados A,B subconjuntos compactos no vacíos de X: h(A,B)=máx{d(A,B), d(B,A)}, donde d(P,Q) = max{ min {d(a,b) : b en Q} : a en P}

8. Definición de fractal Definición 4: Sea (X,d) un espacio métrico completo. Llamaremos espacio de los fractales al espacio métrico (H(X),h) y a sus elementos, fractales . Por tanto, un fractal es un subconjunto compacto no vacío de un espacio métrico completo con la distancia de Hausdorff. Es por esto que en su representación geométrica, se repite a diferentes escalas. Es posible probar que el espacio de los fractales siempre es completo, aunque dada la complejidad de la prueba, se omitirá. Veamos algunos ejemplos en distintos espacios métricos:

9. Ejemplos: Fractal de Mandelbrot: Es uno de los más importantes dentro de la familia de los conjuntos de Julia, en el espacio métrico de los números complejos:

10. Ejemplos: Fractal de baum (árbol en alemán): Este es otro fractal de los conjuntos de Julia. Se representa cada iteración del fractal con un color distinto:

11. Ejemplos clásicos: Fractal de Koch :

12. Ejemplos clásicos: Triángulo de Sierpinski:

13. Atractores Definición 5: Dados dos espacios métricos (X,d X ), (Y,d y ), decimos que una aplicación contractiva es una función f de X a Y tal que: d y (x 1 ,x 2 ) ≤k· d x (x 1 ,x 2 ), con 0<k<1. Definición 6: Llamamos a p punto fijo de una función f si f(p)=p. Definición 7: Dado (X,d) un espacio métrico, un sistema hiperbólico de funciones iteradas (IFS) es un conjunto de aplicaciones contractivas que van de X a sí mismo. Teorema: Dado un IFS en un espacio métrico (X,d), es posible encontrar una transformación de H(X) a H(X) tal que es contractiva con la distancia de Hausdorff. Además, tendrá un único punto fijo al que llamaremos atractor .

15. Lorentz modelizó matemáticamente, junto con Minkowski, el espacio donde se construye la Teoría de la Relatividad Especial de Einstein).

17. Este atractor es usado en Teoría del Caos, así como el atractor de Lorentz.

18. Se llama Teoría del Caos a la rama de matemáticas, física y otras ciencias que estudia los sistemas dinámicos que presentan hipersensibilidad a la modificación de sus condiciones iniciales. Es aquí donde juega un papel importante los fractales y, dentro de ellos, el grupo de los atractores. Teoría del Caos

20. Gracias a los atractores se ha podido modelar de forma matemática.