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Ejemplos de distribuciones

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Ejemplos de distribuciones

  1. 1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN PROCESOS INDUSTRIALESEJEMPLOS:Distribución BinomialDistribución de BernoulliDistribución GammaDistribución PoissonDistribución NormalDistribución T de Student Monserrat Pantoja Castellanos 2 “A”
  2. 2. DISTRIBUCION BINOMIAL
  3. 3. En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se respondedeclarando “verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el75% de los casos la respuesta correcta es “verdadero” y decide responder alexamen tirando dos monedas, pone “falso” si ambas monedas muestran una caray “verdadero” si al menos hay una cruz.Se desea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos.Hay que proporcionarle a 3.1 los parámetros de la distribución y el punto k apartir del cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y elpunto k=14.Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretasBinomial (n,p)n: Número de pruebas 20p: Probabilidad de éxito 0,7500Punto K 14Probabilidad Pr [X=k] 0,1686Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,3828Cola Derecha Pr [X>k] 0,6172Media 15,0000Varianza 3,7500La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos se sitúa en 0,61.
  4. 4. DISTRIBUCION BERNOULLI1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad desacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.8882) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles unpremio, pero la maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es laprobabilidad de que salga el alumno numero 16?° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 =0.0625° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 =0.93753) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de sacaralguno de ellos ¿que probabilidad hay para que pueda salir premiado el boletonúmero 342?° La probabilidad de que saque el boleto número 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342= 0.00292
  5. 5. ° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342. P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342= 0.997074) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) seconsiderará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 -p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento",y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos losrequisitos. ° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
  6. 6. DISTRIBUCION GAMMA 1) El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de quetranscurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hastala llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (ap)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue elsegundo paciente es 0,98. 2) Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que0,1.Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a, p)
  7. 7. a: Escala 0,8100p: Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años. DISTRIBUCION POISSON 1) Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes n= 100 P=0.03 =100*0.03=3 x=5 2) La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos. n=85 P=0.02 P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746
  8. 8. X=4 =1.73) Una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso n=20 P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418 X=3 =34) El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas? n=40 P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793 =3.2 X=55) Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas? n=40 P=0.08 =10
  9. 9. DISTRIBUCION NORMAL1) Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0 µ = 80 σ = 14 za) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90) Probabilidad acumulada. 75 80 90 0.7611 μ z = 0.3594 z = p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ≤ 75) Probabilidad acumulada. 0.3594 z p(x ≤ 75) = 0.3594 75 80 μc) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0
  10. 10. p (55 ≤ x ≤ 70) Probabilidad acumulada. 0.2389 z = 0.0367 z = 55 70 80 μ p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.20222) Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que: µ= $70,00 σ =$20,0 za) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x ≥ 80,000) Probabilidad acumulada. 0.6915 z =
  11. 11. p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085 70000 80000 μb) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) Probabilidad acumulada. 0.6915 z = 0.4013 z = 65000 70000 80000 μ p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x ≥ 65,000) Probabilidad acumulada. 0.4013 z = 65000 70000 p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987 μ
  12. 12. 3) Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos. µ = 38.3 min. σ = 7.5 min. z a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x ≤ 30) Probabilidad acumulada. 0.1335 z = p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3 μ b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad acumulada. 0.3300 z = 0.1335 z = 30 35 38.3 μ
  13. 13. p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65% c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? µ = 1,200 p(30 ≤ x ≤ 40) σ = 225 Probabilidad Probabilidad acumulada. acumulada. 0.5910 z 5% = .0500 z = 0.1335 z = 30 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%4) Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario?
  14. 14. 1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 5% ó 0.0500 z 1.65 X= 1,571.25 x = 1,571.255) En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad? z 95% ó 0.9500 z 1.64
  15. 15. x = 27,462. X= 27,46275 µ = 20,082 σ = 4,500 Probabilidad Valor acumulada. de z 95% = .9500 = DISTRIBUCION T-STUDENT1) Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t
  16. 16. 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: 520 521 511 513 510 µ=500 h 513 522 500 521 495 n=25 496 488 500 502 512 Nc=90% 510 510 475 505 521 X=505.36 506 503 487 493 500 S=12.07SOLUCIÓN. t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24t = 2.22 Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.
  17. 17. 2) El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar suprimera clase?Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio queestamos realizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida delprofesor Pérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertadorT ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos.A continuación traducimos en términos de probabilidad de los sucesosanteriores todos los datos que nos dan en el enunciado.
  18. 18. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tantonos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo desucesos, podemos aplicar la formulas de la probabilidad total, de dondetenemos que: P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos haproporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos directamente el valorde P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos queP(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior sepuede escribir como: P(T¯) = + =0.69 3) La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:P (μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados delibertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)P (T<2.5) = 0.9902P (μ<20.5)=0.9902
  19. 19. La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferiora 20.5 mm es del 99.02% 4) Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.Solución.1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica: S [W · w0=95] = 0=95Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso:0=95=- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hastacruzarnos en el punto w0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad seráel valor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta laprimera columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemosverticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidadacumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colasprobabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentilw0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]
  20. 20. Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s [W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con los datos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al casoanterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:w0=95 = 1=6973Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828 5) Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos detener en cuenta que:df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

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