PNFI Matemática Inicial IN0114 Moises Mendoza 31.099.415

1. NUMEROS REALES
Unidad Matricular: Matemática Inicial
Moisés Mendoza – 31.099.415
Trayecto Inicial – Sección “IN0114”
Desarrollo:
Definición y Operaciones de Conjuntos
Números Reales
Desigualdades y Valor absoluto

2. Definición de Conjuntos
En matemáticas, un conjunto es una
colección de elementos considerada en sí
misma como un objeto Normalmente están
caracterizados por compartir alguna
propiedad. Para que un conjunto esté bien
definido debe ser posible discernir si un
elemento arbitrario está o no en él.
Por otra parte, tenemos a los conjuntos
numéricos: Son las categorías en las que se
clasifican los números, en función de sus
diferentes características. Por ejemplo, si
tienen o no una parte decimal, o si poseen un signo negativo delante.
Operaciones Con Conjunto – Unión o Reunión de Conjuntos:
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto
que contendrá a todos los elementos que queremos unir, pero sin que se repitan. Es
decir, dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro
conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin
repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es
el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de
conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se
escribe por fuera la operación de unión.
Ejercicio 1
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la
unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente.
Ejercicio 2
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos
conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

3. Intersección de Conjuntos:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes
involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección
de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B
que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que
se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩
Ejemplo 1: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Diferencia de Conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto,
en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos
que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B,
la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos
de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo
que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo 1: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Diferencia Simétrica de Conjuntos:
Es la operación que nos permite
formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el
que tendrá todos los elementos que no
sean comunes a ambos conjuntos. Es
decir, dados dos conjuntos A y B, la
diferencia simétrica estará formado
por todos los elementos no comunes a
los conjuntos A y B. El símbolo que se
usa para indicar la operación de
diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo 1
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica
de estos conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas
de Venn se tendría lo siguiente:

4. Números Reales
Un número real es aquel número que tenga o no expansión periódica.
(3 es real porque 3 = 3,0000) al igual que (0,17645298 también es un número real.)
Los números que tienen expansión decimal periódica se llaman números
Racionales (denotados por Q) y los números que tienen expansión decimal no
periódica se llaman Irracionales (denotados por I). Esto indica que los número I y
Q son totalmente distintos a excepción de ser Reales ambos, por ende un número
real es Q o I, pero nunca ambas. Teniendo en cuenta estos conceptos podemos
clasificar los números Reales Racionales
Números Naturales (N): Los positivos
que usamos para contar
Números Enteros (Z): Son los
naturales, sus negativos y el 0
Números Fraccionarios: Es todo
numero que se pueda expresar
como el cociente de 2 números
enteros a/b siendo b≠0
Números Algebraicos: Son aquellos
que provienen de una ecuación
algebraica y se presentan por un
número de radicales libres.
Ejemplo. √3

5. Desigualdades
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre
dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o
bien menor o igual. Cada una de las distintas
tipologías de desigualdad debe ser expresada con
diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción
a operaciones matemáticas diferente según su
naturaleza. Es mostrar que dos sujetos matemáticos
expresan valores diferentes.
Inecuación: Una inecuación se basa en una
desigualdad, pero su resultado puede ser incongruente
o, simplemente, denotar que no existe solución posible
al enunciado. Por lo tanto, una inecuación puede ser
una desigualdad, pero, por otro lado, una desigualdad
no tiene por qué ser una inecuación. Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se
cumple, pero no será nunca una inecuación porque no contiene ninguna incógnita.
Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real (x) es la distancia que x tiene respecto al cero
en la recta numérica. Como las distancias no son negativas, el valor absoluto
tampoco lo es. Por ejemplo: |8| = 8 (el valor absoluto de 8 es 8) y |-8| = 8 (el valor
absoluto de -8 es 8).

6. Desigualdades Con Valor Absoluto
(<) Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro. La desigualdad significa que la
distancia entre y es menor que
Así, y El conjunto solución
es
Cuando se resuelven desigualdades de valor
absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1:
La expresión dentro de los símbolos de valor
absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de
valor absoluto es negativa. La solución es la
intersección de las soluciones de estos dos
casos.
En otras palabras, para cualesquiera números
reales y si entonces y
(>) La desigualdad significa que
la distancia entre y es mayor que
Así, o El conjunto solución
es Cuando se
resuelven desigualdades de valor
absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los
símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los
símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera
números reales y si entonces o