Serie trigonometrica de fourier

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Serie trigonometrica de fourier

  1. 1. SERIE TRIGONOMETRICA DE FOURIER<br />Mónica Montoya C<br />Alexander Cortés Ll.<br />Armando Mateus R.<br />
  2. 2. CONTENIDOS<br />Introducción<br />Funciones Periódicas<br />Ortogonalidad de las funciones seno y coseno.<br />Serie trigonométrica de Fourier.<br />Ejemplo de reconstrucción de una señal cuadrada <br />
  3. 3. INTRODUCCION<br />El nombre se debe al matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico.<br />
  4. 4. Es usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. <br />Tratamiento de imagen (JPEG) y audio (MP3)<br />Reducción de ruido en señales, como el ruido blanco.<br />Análisis de materiales y estadística.<br />Análisis vibratorio.<br /> Acústica<br /> Óptica.<br />
  5. 5. FUNCIONES PERIODICAS<br />Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t.<br />f(t)=f(t+T)<br />A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función<br />Repitiendo la propiedad se puede obtener:<br />f(t)=f(t+nT), donde n=0,1,  2, 3,...<br />
  6. 6. FUNCIONES PERIODICAS<br /> Ejemplo: ¿Cuál es el período de la<br /> función:<br />Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir: f(t)=f(t+T)<br />Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que<br />T/3=2k1p, T/4=2k2p<br />Es decir,<br />T = 6k1p = 8k2p<br />Donde k1 y k2 son enteros,<br />El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir,T=24p<br />
  7. 7. FUNCIONES PERIODICAS<br />3<br />f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)<br />2<br />1<br />f(t)<br />0<br />-1<br />-2<br />24p<br />-3<br />0<br />50<br />100<br />150<br />200<br />t<br />
  8. 8. FUNCIONES PERIODICAS<br />f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)<br />2<br />1<br />f(t)<br />0<br />-1<br />-2<br />0<br />5<br />10<br />15<br />20<br />25<br />30<br />t<br /> Ejemplo: la función cos(3t)+cos(p+3)t<br /> no es periódica, ya que no<br />es un número racional.<br />
  9. 9. ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES PERIODICAS<br />Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son ortogonales en el intervalo a<t<b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:<br />
  10. 10. ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES PERIODICAS<br />Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2<t< T/2.<br />1,cosw0t, cos2w0t, cos3w0t,...,senw0t,sen2w0t,sen3w0t,...<br />(para cualquier valor de w0=2p/T).<br />Para verificar lo anterior podemos probar por pares:<br />1.- f(t)=1 Vs. cos(mw0t):<br />Ya que m es un entero.<br />
  11. 11. ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES PERIODICAS<br />2.- f(t)=1 Vs. sen(mw0t):<br />3.- cos(mw0t) Vs. cos(nw0t):<br />
  12. 12. ORTOGONALIDAD DE LAS FUNCIONES PERIODICAS<br />4.- sen(mw0t) Vs. sen(nw0t):<br />5.- sen(mw0t) Vs. cos(nw0t):<br />
  13. 13. SERIE TRIGONOMETRICA DE FOURIER<br />Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier<br />n= 1, 2, 3…..<br />
  14. 14. SERIE TRIGONOMETRICA DE FOURIER<br />Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?<br />Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...<br />Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.<br />
  15. 15. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE<br />Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:<br />Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:<br />
  16. 16. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE<br />Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:<br />El intervalo de integración no necesita ser simétrico respecto al origen.<br />Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:<br /> (de t0 a t0+T, con t0 arbitrario)<br />las fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquier intervalo que cumpla este requisito.<br />
  17. 17. f(t)<br />1<br />t<br />. . . -1 01 2 . . .<br />-1<br />EJEMPLO DE LA RECONSTRUCCIÓN DE UNA SEÑAL CUADRADA<br />Partiendo de la serie de Fourier de la función: <br />Reconstruir la señal usando el principio de superposición tomado por la serie de Fourier para la función de periodo 2:<br />
  18. 18. A partir de:<br />Primer Término, N=1<br />
  19. 19. A partir de:<br />Segundo Término, N=3<br />
  20. 20. A partir de:<br />Tercer Término, N=5<br />
  21. 21. A partir de:<br />Cuarto Término, N=7<br />
  22. 22. A partir de:<br />Quinto Término, N=9<br />
  23. 23. A partir de:<br />Décimo Término, N=19<br />
  24. 24. A partir de:<br />Quincuagésimo Término, N=99<br />
  25. 25. GRACIAS POR SU ATENCION<br />

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