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A new approximation of the Height process of a CSBP

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CARI-2020 - DRAMÉ Ibrahima

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A new approximation of the Height process of a CSBP

  1. 1. Une nouvelle approximation du processus de hauteur d’un Processus de Branchement à Espace d’état Continu (CSBP). Docteur Ibrahima DRAMÉ LMA-FST-Université Cheikh Anta DIOP CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020, Thies, Sénégal Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 1 / 33
  2. 2. Plan 1 Introduction : Rappel 2 CSBP & Processus de hauteur 3 Limite d’échelle vers un CSBP & vers Processus de Hauteur 4 Bibliographie Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 2 / 33
  3. 3. Introduction : Rappel Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 3 / 33
  4. 4. Processus de branchement Les processus de branchement sont des processus stochastiques décrivant la dynamique d’une population d’individus qui se reproduisent et meurent indépendamment, selon certaines distributions de probabilité. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 4 / 33
  5. 5. Type de Processus de branchement Il existe de nombreux types de processus de branchement : En temps discret : Processus de Galton Watson (le prototype) En temps continu : avec des distributions de durée de vie exponentielles (processus de branchement markovien) ou avec des distributions de durée de vie plus générales (âge-dépendant, processus de branchement de Bellman-Harris) Processus de branchement avec immigration Processus de branchement multitype (avec un nombre fini de types) etc... Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 5 / 33
  6. 6. Processus de branchement en temps discret Le temps est discret et représente les générations successives. Chaque individu qui nait à une date entière n : meurt au temps n + 1 et produit un nombre aléatoire (éventuellement nul) de descendants à l’instant n + 1, qui vont vivre, mourir et se reproduire selon les mêmes mécanismes, de façon indépendante. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 6 / 33
  7. 7. Processus de branchement en temps discret Une réalisation d’un processus de Galton Watson à travers 3 générations commençant avec un seul individu à la génération 0 : Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 7 / 33
  8. 8. Processus de branchement en temps continu Considérons un processus (Zt)t≥0 décrivant la dynamique de la population suivante : Interprétation Au temps t = 0, on a un nombre aléatoire Z0 d’individus. Chaque individu, indépendamment des autres, vit un temps exponentiel de paramètre d. Les évènements de naissances arrivent suivant un processus de Poisson d’intensité b. Et à chaque évènement de naissance, il y’a un nombre aléatoire de descendants de loi p (loi sur N∗). Définition On appelle processus de branchement en temps continu le processus (Zt)t≥0 ainsi défini. Zt représente le nombre d’individus présents au temps t. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 8 / 33
  9. 9. Processus de branchement en temps continu FIGURE – Evolution d’une population dans le temps : Cas binaire à gauche et Cas général à droite. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 9 / 33
  10. 10. Propriété de branchement Si la population initiale est composée de K individus, alors dans ce cas nous pouvons écrire Zt comme Zt (d) = Z1 t + · · · + ZK t , où les ((Zk t , t ≥ 0), k = 1, · · · , K), sont des processus i.i.d, celle d’un processus de branchement issu d’un seul individu. Nous dirons que le processus Z satisfait la propriété de branchement. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 10 / 33
  11. 11. Processus de hauteur L’intérêt réside dans les faits que : Ce processus a d’intéressante propriétés probabilistes; Et qu’il existe de nombreuses stratégies disponibles permettant de prouver une convergence fonctionnelle. lI existe une correspondance entre la loi du processus de hauteur et la loi de l’arbre généalogique associé. Il est impossible de dessiner l’arbre généalogique d’un CSBP, mais nous pouvons étudier le processus de hauteur associé. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 11 / 33
  12. 12. Domaines d’applications des processus de branchements Les processus de branchement ont de nombreuses applications : En biologie Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 12 / 33
  13. 13. Domaines d’applications des processus de branchements En épidémiologie En physique Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 13 / 33
  14. 14. Plan 1 Introduction : Rappel 2 CSBP & Processus de hauteur 3 Limite d’échelle vers un CSBP & vers Processus de Hauteur 4 Bibliographie Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 14 / 33
  15. 15. CSBP & Processus de hauteur Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 15 / 33
  16. 16. CSBP & Processus de hauteur Soient b ∈ R, c ≥ 0 et µ une mesure σ−finie sur (0, ∞) telle que ∞ 0 (r ∧ r2 )µ(dr) < ∞. Définition Un CSBP est défini comme l’unique solution forte de l’équation différentielle stochastique : Xx t = x − b t 0 Xx s ds + √ 2c t 0 Xx s dWs + t 0 ∞ 0 Xx s− 0 rM(ds, dr, du), (1) où W est un mouvement brownien standard, M(dr, dz, du) est une mesure aléatoire Poisson sur R3 + d’intensité dsµ(dz)du, indépendant de W, et M est la mesure compensée de M. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 16 / 33
  17. 17. CSBP & Processus de hauteur Remarque Un CSBP est caractérisé par la fonction ψ, appelée mécanisme de branchement du processus, et est de la forme ψ(λ) = bλ + cλ2 + ∞ 0 (e−λr − 1 + λr)µ(dr). (2) Changement de temps de Lamperti Lamperti a observé que les CSBP sont liés aux processus de Lévy spectralement positifs par un simple changement de temps. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 17 / 33
  18. 18. Changement de temps de Lamperti Plus précisément, définissons Ax s = s 0 Xx t dt, τs = inf{t > 0, Ax t > s} et Ys = Xx τs . alors Ys est un processus Lévy de la forme Ys = −bs + √ 2cB(s) + s 0 ∞ 0 zΠ(dr, dz), (3) où B est un mouvement brownien standard et Π(dr, dz) est une mesure aléatoire Poisson sur R2 + d’intensité drµ(dz), indépendant de B, et Π est la mesure compensée de Π. Remarque La fonction ψ définie dans l’équation (2) est l’exposant de Laplace de Y . Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 18 / 33
  19. 19. Processus de Hauteur Définition (Duquesne et Le Gall, 2002) Si le processus de Lévy Y a la forme (3), alors le processus hauteur associé (H(s), s ≥ 0) est défini par cH(s) = |{Y s (r); 0 ≤ r ≤ s}|, où Y s (r) := infr≤u≤s Y (u) et |A| désigne la mesure de Lebesgue de l’ensemble A. Définition (Li, Pardoux et Wakolbinger, 2019) Si le processus de Lévy Y a la forme (3), alors le processus hauteur associé (H(s), s ≥ 0) est défini par cH(s) = Y (s)− inf 0 r s Y (r)− s 0 ∞ 0 z + inf r u s Y (u) − Y (r) + Π(dr, dz). (4) Nb : Les deux définitions sont les mêmes. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 19 / 33
  20. 20. Plan 1 Introduction : Rappel 2 CSBP & Processus de hauteur 3 Limite d’échelle vers un CSBP & vers Processus de Hauteur 4 Bibliographie Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 20 / 33
  21. 21. Limite d’échelle vers un CSBP & vers un Processus de Hauteur Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 21 / 33
  22. 22. Limite d’échelle vers un CSBP & vers un Processus de Hauteur Soit N un entier non nul qu’on tendra à l’infini. Dans la suite, nous choisissons une suite δN ↓ 0 telle que, quand N → ∞, 1 N +∞ δN µ(dz) → 0. (5) Du fait de l’hypothèse ∞ 0 (r ∧ r2)µ(dr) < ∞, cela implique en particulier que 1 N +∞ δN zµ(dz) → 0. De plus, nous aurons besoin de considérer le mécanisme de branchement tronqué ψδN (λ) = cλ2 + ∞ δN (e−λz − 1 + λz)µ(dz). (6) Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 22 / 33
  23. 23. Limite d’échelle vers un CSBP Fonction génératrice de reproduction (Duquesne et Le Gall) Posons hN (s) = s + ψδN ((1 − s)N) NψδN (N) , |s| 1. Il est facile de vérifier que hN est une fonction génératrice et par conséquent hN s’écrit sous la forme : hN (s) = ≥0 νN ( )s , où νN est une mesure de probabilité sur Z+. Processus de population On considère une population partant de [Nx] ancêtres. Chaque individu vit un temps exponentiel de paramètre ψδN (N), et est remplacé par un nombre aléatoire d’enfants selon la fonction génératrice de reproduction hN . Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 23 / 33
  24. 24. Limite d’échelle vers un CSBP Processus de population Soit ZN,x t la taille cette population à l’instant t. Nous allons renormaliser par N étudier le comportement asymptotique du processus XN,x t = N−1ZN,x t . Alors le processus {XN,x t , t ≥ 0} est un processus de Markov, partant de [Nx]/N à t = 0 et si à un instant t, XN,x t = k/N alors XN,x saute à    k+ −1 N au taux ψδN (N)νN ( )k, pour tout ≥ 2; k−1 N au taux ψδN (N)νN (0)k. Théorème {XN,x t , t ≥ 0} D(R+) =====⇒ N→+∞ {Xx t , t ≥ 0} où Xx est l’unique solution de (1). Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 24 / 33
  25. 25. Limite d’échelle vers un Processus de hauteur Soit {HN (s), s ≥ 0}, le processus de hauteur associé au processus de population {ZN,x t , t ≥ 0}. Dynamique de {HN (s), s ≥ 0} : 1er approche Soit {V N s , s ≥ 0} un processus càdlàg à valeurs dans {−1, 1} tel que dHN (s)/ds = 2NV N s . Soit {Θk, k ≥ 1} une suite de variable aléatoire i.i.d à valeurs dans Z+. Soient {PN,+ s , s ≥ 0} (resp. {PN,− s , s ≥ 0}) un processus de Poisson d’intensité λN (resp. µN ). Soit LN s (t) le temps local du processus d’exploration HN au niveau t à l’instant s. Le processus d’exploration HN est défini conjointement avec le processus V N par l’équation suivante Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 25 / 33
  26. 26. Limite d’échelle vers un Processus de hauteur Dynamique de {HN (s), s ≥ 0} : 1er approche HN s = 2N s 0 V N r dr, V N s = 1 + 2 s 0 1{V N r− =−1}dPN,+ r − 2 s 0 1{V N r− =+1}dPN,− r + 2N LN s (0) − LN 0+ (0) + 2N k>0,SN,+ k ≤s LN s (HN SN,+ k ) − LN SN,+ k (HN SN,+ k ) ∧ (Θk − 1) N . et où les SN,+ k sont les instants successifs de saut du processus PN s = s 0 1{V N r− =−1}dPN,+ r . Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 26 / 33
  27. 27. Limite d’échelle vers un Processus de hauteur Dynamique de {HN (s), s ≥ 0} : nouvelle approche Soit δ > 0. Considérons le processus limite (4) dans lequel on supprime les petits sauts plus que δ i.e cHδ(s) = Yδ(s)− inf 0≤r≤s Yδ(r)− s 0 ∞ δ z + inf r≤u≤s Yδ(u) − Yδ(r) + Π(dr, dz) où Yδ(s) = − b + ∞ δ zµ(dz) s + √ 2cB(s) + s 0 ∞ δ zΠ(dr, dz). Soit {PN s , s ≥ 0} un processus de Poisson d’intensité ψδN (N) indépendant à (Y (s), s ≥ 0). Soit {τN k , k ≥ 1} les instants de sauts du processus {PN s , s ≥ 0}. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 27 / 33
  28. 28. Limite d’échelle vers un Processus de hauteur Dynamique de {HN (s), s ≥ 0} : nouvelle approche Le processus de hauteur {HN (s), s ≥ 0} est tout simplement la fonction affine par morceaux de pentes ±2N passant par les valeurs 0,HδN (τN 1 ), min s∈[τN 1 ,τN 2 ] HδN (s), HδN (τN 2 ), min s∈[τN 2 ,τN 3 ] HδN (s), · · · · · · , HδN (τN n ), min s∈[τN n ,τN n+1] HδN (s), · · · Théorème (Résultat principal) Pour tout s > 0, HN (s) P −−−−−→ N→+∞ H(s) localement uniforme en s où H est l’unique solution de (4). Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 28 / 33
  29. 29. Limite d’échelle vers un Processus de hauteur Idée de la preuve La preuve se fait par plusieurs étapes. 1er étape : Pour tout N ≥ 1, s > 0, on définit : KN (s) = 1 2N HδN (τN 1 ) + 1 2N [ψδN (N)s] k=1 (HδN (τN k ) − min r∈[τN k ,τN k+1 ] HδN (r)) + (HδN (τN k+1) − min r∈[τN k ,τN k+1 ] HδN (r)) KN (s) : est le temps pris par le processus HN pour atteindre le point le point HδN τN [ψδN (N)s] . Ainsi HN (KN (s)) = HδN τN [ψδN (N)s] . Ce qui est la clé de la preuve. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 29 / 33
  30. 30. Limite d’échelle vers un Processus de hauteur 2ième étape : Ensuite on montre que : • Pour tout s > 0, KN (s) P −−−−−→ N→+∞ s. • Pour tout s > 0, τN [ψδN (N)s] p.s −−−−−→ N→+∞ s. 3ième étape : Enfin utiliser l’inégalité |HN (s) − H(s)| ≤|HN (s) − HN (KN (s))| + HδN τN [ψδN (N)s] − H τN [ψδN (N)s] + H τN [ψδN (N)s] − H(s) . et le fait que H est continue. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 30 / 33
  31. 31. Plan 1 Introduction : Rappel 2 CSBP & Processus de hauteur 3 Limite d’échelle vers un CSBP & vers Processus de Hauteur 4 Bibliographie Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 31 / 33
  32. 32. Bibliographie Dramé, I. Pardoux, E. and Sow, A.B. Non–binary branching process and non-markovian exploration process. ESAIM : Probability and Statistics 21, 1–33, 2017. Dramé, I. and Pardoux, E. Approximation of a generalized continuous-state branching process with interaction. Electronic Communications in Probability, 23, 2018. Duquesne, T. and Le Gall, J.-F. Random trees, Lévy processes and spatial branching processes, Asrérisque vol. 281. Société mathématique de France, 2002. Li, Z., Pardoux. E., and Wakolbinger, A. The Height process of a general CSBP with interaction. arXiv preprint arXiv :1904.04151, 2019. Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 32 / 33
  33. 33. Merci pour votre aimable attention! Docteur Ibrahima DRAMÉ (UCAD) CARI-2020 Du 14 au 17 Octobre 2020 33 / 33

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