Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

03 ukstatst

2,425 views

Published on

Published in: Education

03 ukstatst

  1. 1. Ukuran Statistik1. PendahuluanUkuran Statistik: 1. Ukuran Pemusatan Bagaimana, di mana data berpusat? ♦ Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean ♦ Median ♦ Modus ♦ Kuartil, Desil, Persentil 2. Ukuran Penyebaran Bagaimana penyebaran data? ♦ Ragam, Varians ♦ Simpangan BakuUkuran Statistik nantinya akan mencakup data:1. Ungrouped Data : Data yang belum dikelompokkan2. Grouped Data : Data yang telah dikelompokkan Tabel Distribusi Frekuensi2. Ukuran Pemusatan2.1. Rata-Rata Hitung = Arithmetic MeanNotasi : µ : rata-rata hitung populasi x : rata-rata hitung populasiA. Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data N n ∑x i ∑x i µ= i =1 dan x= i =1 N nµ : rata-rata hitung populasi x : rata-rata hitung sampelN : ukuran Populasi n : ukuran Sampelxi : data ke-iContoh 1:Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyaibanyak mahasiswa sebagai berikut : 850, 1100, 1150, 1250, 750, 900Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A?Rata-Rata Populasi atau Sampel ? 6000Jawab: µ= = 1000 6 1
  2. 2. Contoh 2 :Setiap 12 jam sekali bagian QC pabrik minuman ringan memeriksa 6 kaleng contoh untukdiperiksa kadar gula sintetisnya (%). Berikut adalah data 6 kaleng minuman contoh yangdiperiksa :13.5 12.5 13 12 11.5 12.5 75Jawab: x = = 12.5 % 6B. Rata-Rata untuk Grouped DataNilainya merupakan pendekatan, biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung sampel k k ∑ f i xi ∑fx i i x= i =1 k sehingga : x= i =1 n ∑f i =1 ix : rata-rata hitung sampel k : banyak kelasn : ukuran Sampel fi : frekuensi di kelas ke-ixi : Titik Tengah Kelas ke-iContoh 3:Kelas Titik Tengah Kelas (xi) Frekuensi (fi) fi xi16-23 19.5 10 19524-31 27.5 17 467.532-39 35.5 7 248.540-47 43.5 10 43548-55 51.5 3 154.556-63 59.5 3 178.5Jumlah (Σ) 50 1679 1679 Jawab : x = = 33.58 50 2
  3. 3. 2.2 Modus Nilai yang paling sering muncul Nilai yang frekuensinya paling tinggi A. Modus untuk Ungrouped Data Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus) Bisa terjadi data tanpa modus Contoh 4: a. Sumbangan PMI warga Depok: Rp.7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000 Modus : Rp. 8000 b. Berat 5 unit kendaraan (ton): 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 (Tidak Ada Modus) c. Umur Mahasiswa (tahun) : 19 18 19 18 23 21 19 21 18 20 22 17 Modus : 18 dan 19 B. Modus untuk Grouped Data Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada Kelas dengan frekuensi tertinggi Tepi Batas Bawah kelas ke-i = Batas Bawah kelas ke-i + Batas Atas kelas ke (i-1) 2 Tepi Batas Atas kelas ke-i = Batas Atas kelas ke-i + Batas Bawah kelas ke (i+1) 2  d1  Modus = TBB Kelas Modus + i    d1 + d 2 di mana : TBB : Tepi Batas Bawah d1 : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sebelumnya d2 : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sesudahnya i : interval kelas 3
  4. 4. Kelas Frekuensi (fi) 16-23 10 24-31 17 32-39 7 40-47 10 48-55 3 56-63 3 Jumlah (Σ) 50Kelas Modus = 24 - 31TBB Kelas Modus = 23.5i=8frek. kelas Modus = 17frek, kelas sebelum kelas Modus = 10frek. kelas sesudah kelas Modus = 7d1 = 17 - 10 = 7d2 = 17 - 7 = 10  7   7Modus = 23.5 + 8   = 23.5 + 8   = 23.5 + 8 (0.41176...) = 23.5 + 3.2941...  7 + 10   17  = 26.7941... ≈ 272.3 Median, Kuartil, Desil dan PersentilMedian → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besarKuartil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 4 bagian yang sama besarDesil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 10 bagian yang sama besarPersentil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 100 bagian yang sama besar 4
  5. 5. A. Median untuk Ungrouped DataLetak Median → Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir n +1Letak Median = n : banyak data 2Contoh 1:Tinggi Badan 5 mahasiswa : 1.75 1.78 1.60 1.73 1.78 meterSorted :1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 meter 5+1 6n=5 Letak Median = = =3 2 2Median = Data ke 3 = 1.75Contoh 2:Tinggi 6 mahasiswa : 1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 1.80 meter (Sorted)n= 6 6+1 7Letak Median → = = 3.5 2 2Median = 1 (Data ke 3 + Data ke 4) = 1 (1.75 + 1.78) = 1 × 3.53 = 1.765 2 2 2B. Median untuk Grouped Data nLetak Median = n : banyak data 2Kelas Median : Kelas di mana Median beradaKelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan FrekuensiKumulatif  s  Median = TBB Kelas Median + i    fM  5
  6. 6. atau  s  Median = TBA Kelas Median - i    fM di mana : TBB : Tepi Batas Bawah s : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Median TBA : Tepi Batas Atas s’ : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif sampai kelas Median i : interval kelas fM : Frekuensi kelas MedianContoh 4 : Kelas Frekuensi Frek. Kumulatif 16 - 23 10 10 24 - 31 17 27 32 - 39 7 34 40 - 47 10 44 48 - 55 3 47 56 - 63 3 50 Σ 50 ---- Kelas Median = 24 - 31 n 50Letak Median = = = 25 2 2Median = Data ke-25 terletak di kelas 24-31 Kelas Median = 24 - 31TBB Kelas Median = 23.5 dan TBA Kelas Median = 31.5f M = 17Frek. Kumulatif sebelum Kelas Median = 10→ s = 25 - 10 = 15Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27 → s’ = 27 - 25 = 2interval = i = 8 6
  7. 7.  s Median = TBB Kelas Median + i    fM   15  = 23.5 + 8   = 23.5 + 8 (0.8823...)  17  = 23.5 + 7.0588... = 30.5588... ≈ 30.6  s Median = TBA Kelas Median - i    fM   2 = 31.5 - 8   = 31.5 - 8 (0.1176...)  17  = 31.5 - 0.9411.. = 30.5588... ≈ 30.62.4. Ukuran Kemencengan & Keruncingan Kurva Distribusi FrekuensiUkuran Kemencengan (Skewness) Kurva Distribusi Frekuensi diketahui dari posisiModus, Rata-Rata dan MedianJika Rata-Rata = Median = Modus maka Kurva SimetrisJika Rata-Rata < Median < Modus maka Kurva Menceng ke KiriJika Rata-Rata > Median > Modus maka Kurva Menceng ke KananBerdasarkan tingkat keruncingan (Kurtosis), kurva distribusi frekuensi dibagi menjadi tiga,yaitu: a. Leptokurtis: Kurva sangat runcing b. Mesokurtis: Kurva dengan tingkat keruncingan sedang c. Platykurtis: Kurva datar3. Ukuran Penyebaran3.1 Ragam = Varians (Variance) dan Simpangan Baku = Standar Deviasi (Standard Deviation)A. Ragam dan Simpangan Baku untuk Ungrouped DataPOPULASI : N N N ∑ (x i − µ) 2 N ∑ xi − ( ∑ xi ) 2 2 σ2 = i =1 atau σ2 = i =1 i =1 Ν N 2dan σ = σ2 7
  8. 8. SAMPEL : n n n ∑ (x i − x) 2 n∑ xi − ( ∑ xi )2 2 i =1 i =1s2 = i =1 atau s2 = n −1 n(n − 1)dan s = s2xi : data ke-iµ : rata-rata populasi x: rata-rata sampelσ²: ragam populasi s²: ragam sampelσ: simpangan baku populasi s: simpangan baku sampelN: ukuran populasi n: ukuran sampelContoh 3 :Data Usia 5 mahasiswa : 18 19 20 21 22 tahuna. Hitunglah µ, σ² dan σ (anggap data sebagai data populasi)b. Hitunglah x , s² dan s (data adalah data sampel)Jawab : xi µ atau x ( xi -µ) atau ( xi -µ)² atau xi 2 ( xi - x ) ( xi - x )² 18 20 -2 4 324 19 20 -1 1 361 20 20 0 0 400 21 20 1 1 441 22 20 2 4 484 Σ 100 ------ ------- 10 2010POPULASI : 100N=5 µ= = 20 5 n ∑ (x i =1 i − µ) 2 10σ2 = = =2 Ν 5 N N N ∑ xi 2 − ( ∑ xi ) 2 i =1 i =1 (5 × 2010) − 100 2 10050 − 10000 50σ2 = = = = =2 N2 52 25 25σ = σ 2 = 2 = 1.414...SAMPEL : 8
  9. 9. 100n=5 x= =2 5 n ∑ (x i − x )2 10s2 = i =1 = = 2.5 n −1 4 n n n∑ xi − ( ∑ xi )2 2 i =1 i =1 (5 × 2010) − 100 2 10050 − 10000 50s = 2 = = = = 2.5 n( n − 1) 5× 4 20 20s = s2 = 2.5 =1.581...B. Ragam dan Simpangan Baku untuk Grouped DataPOPULASI : k ∑f i × ( xi − µ ) 2σ2 = i =1 dan σ = σ2 ΝSAMPEL : k ∑f i =1 i × ( xi − x ) 2s2 = dan s = s2 n −1xi : Titik Tengah Kelas ke-i fi : frekuensi kelas ke-ik : banyak kelasµ : rata-rata populasi x: rata-rata sampelσ²: ragam populasi s²: ragam sampelσ: simpangan baku populasi s: simpangan baku sampelN: ukuran populasi n: ukuran sampel 9
  10. 10. Contoh 4 : 1679Rata -Rata (µ atau x ) = = 33.58 (dari catatan terdahulu) 50 Kelas TTK Frek f i xi µ atau ( xi -µ) atau ( xi -µ)² f i ( xi -µ)² xi . x ( xi - x ) atau ( xi - atau fi x )² f i ( xi - x )² 16 - 23 19.5 10 195 33.58 -14.08 198.2464 1982.4640 24 - 31 27.5 17 467.5 33.58 -6.08 36.9664 628.4288 32 - 39 35.5 7 248.5 33.58 1.92 3.6864 25.8048 40 - 47 43.5 10 435 33.58 9.92 98.4064 984.0640 48 - 55 51.5 3 154.5 33.58 17.92 321.1264 963.3792 56 - 63 59.5 3 178.5 33.58 25.92 671.8464 2015.5392 Σ ----- 50 1679 ---- ---------- ----------- 6599.68POPULASI : N = 50 k ∑f i × ( xi − µ ) 2 6599.68σ2 = i =1 = = 131.9936 Ν 50σ = σ = 131.9936 = 11.4888.... 2SAMPEL : k ∑f i =1 i × ( xi − x ) 2 6599.68s2 = = = 134.6873.... n −1 49s = s2 = 134.6873... = 11.6054....3.2 Koefisien Ragam = Koefisien VariansSemakin besar nilai Koefisien Ragam maka data semakin bervariasi, keragamannya datamakin tinggi. σUntuk Populasi → Koefisien Ragam = × 100% µ sUntuk Sampel → Koefisien Ragam = × 100% x 10
  11. 11. Contoh 5:x = 33.58 s = 11.6054 s 116054 .Koefisien Ragam = × 100% = × 100% = 34.56 % x 3358 .3.3 Angka Baku (z-score)• Angka baku adalah ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi .• z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau negatif (-)• z nol → data bernilai sama dengan rata-rata populasi• z positif → data bernilai di atas rata-rata populasi• z negatif → data bernilai di bawah rata-rata populasi x−µ z= σz : Angka baku x : nilai dataµ: rata-rata populasi σ : simpangan baku populasiContoh 6:Rata-rata kecepatan lari atlet nasional = 20 km/jam dengan simpangan baku = 2.5 kmHitung angka baku untuk kecepatan lari :a. Ali = 25 km/jam b. Didi = 18 km/jam x−µ 25 − 20 5Jawab : a. z = = = =2 σ 2.5 2.5 x−µ 18 − 20 − 2 b. z = = = = -0.8 σ 2.5 2.5 selesai 11

×