Universidad Mariano GálvezSección CIntroducción a SistemasIng. Nancy MolinaSemestre ISede Villa Nueva     Sistema Binario,...
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2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones,     sume todas y el número resultante será el equivalente al     ...
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En sistemas electrónicos, donde suelen usarse númerosmayores, se utiliza el método llamado algoritmo de Booth.            ...
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Sistema hexadecimalEl   sistema    Hexadecimal    (no   confundir   con   sistemasexagesimal), a veces abreviado como Hex,...
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito dela computación por primera vez por IBM en 1963. Unarepresenta...
5hex     =5dec     =5oct      0       1   0   16hex     =6dec     =6oct      0       1   1   07hex     =7dec     =7oct    ...
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F             15Suma      9 + 7 = 16 (16 – 16 = 0 y nos llevamos 1)En este caso la respuesta obtenida, 16, no está entre ...
     Ahora haremos una operación más complicada:       A + 2 = 12 (12 corresponde a C)Ten en cuenta que puedes comprobar...
La resta se hace siguiendo las normas generales de la restacomún. La diferencia obtenida se denomina el complemento a15. R...
Para ello, añadiremos ceros al    sustraendo hasta que seansuficientes.     A4FC9   - 00DE8   —————————    ¿?¿?¿?¿?Después...
imposible en una resta (que la diferencia sea mayor que elminuendo y el sustraendo). Por eso, y estando en complementoa 16...
Sistema octalEl sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza losdígitos 0 a 7.Por ejemplo, el número 74 (en decimal...
1/2     1/2    0,4 1/3     1/3    0,25252525 periódico 1/4     1/4    0,2 1/5     1/5    0,14631463 periódico 1/6     1/6 ...
3    00011   3    34    00100   4    45    00101   5    56    00110   6    67    00111   7    78    01000   8    109    01...
17    10001    11    2118    10010    12    22...   ...      ...   ...30    11110    1E    3631    11111    1F    3732    ...
CONCLUSIONCada uno de los sistemas que se crearon para      el   uso   de   lainformática y/o matematicas tiene un propósi...
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Sistema numericos

  1. 1. Universidad Mariano GálvezSección CIntroducción a SistemasIng. Nancy MolinaSemestre ISede Villa Nueva Sistema Binario, Hexadecimal y Octal Miguel Ernesto García Bolaños Carne #5190-11-8951
  2. 2. INTRODUCCIONDentro de la matemática y la informática existen varios sistemasnuméricos que son utilizados para diferentes operaciones.El sistema binario, con su sistema de numeración de base 2; dentrode la informática se utiliza para dar órdenes directas a lacomputadora, a base de tonos de encendido (1) y apagado (0).El sistema hexadecimal, con su sistema de numeración de base 16;es utilizado para la representación del byte, como unidadbásica de memoria. Este utiliza la numeración del 0 al 9, ypara sustituir la numeración del 10 al 15 se utilizan laprimeras seis letras del alfabeto latino.El sistema octal, con su sistema de numeración de base 8 queutiliza la numeración de 0 al 7; en ocasiones dentro de lainformática el sistema octal se puede utilizar para sustituiral hexadecimal, y a diferencia de que el sistema hexadecimal,este no utiliza signos diferentes a los dígitos; este sistemasuele ser mas cómodo que el hexadecimal.
  3. 3. Sistema binarioEl sistema binario, en matemáticas e informática, es unsistema de numeración en el que los números se representanutilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el quese utiliza en las computadoras, debido a que trabajaninternamente con dos niveles de voltaje, por lo que susistema de numeración natural es el sistema binario(encendido 1, apagado 0).Historia del sistema binarioEl antiguo matemático indio Pingala presentó la primeradescripción que se conoce de un sistema de numeración binarioen el siglo III a. C.Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a3 bit) y números binarios de 6 bit eran conocidos en laantigua China en el texto clásico del I Ching. Seriessimilares de combinaciones binarias también han sidoutilizadas en sistemas de adivinación tradicionalesafricanos, como el Ifá, así como en la geomancia medievaloccidental.Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching,representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un métodopara generar el mismo fue desarrollado por el erudito yfilósofo Chino Shao Yong en el siglo XI.
  4. 4. En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual lasletras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitosbinarios, las cuales podrían ser codificadas como variacionesapenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.El sistema binario moderno fue documentado en su totalidadpor Leibniz, en el siglo XVII, en su artículo "Explication delArithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolosbinarios usados por matemáticos chinos. Leibniz utilizó el 0y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual.En 1854, el matemático británico George Boole publicó unartículo que marcó un antes y un después, detallando unsistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra deBoole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en eldesarrollo del sistema binario actual, particularmente en eldesarrollo de circuitos electrónicos.AplicacionesEn 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT,en la cual implementaba el Álgebra de Boole y aritméticabinaria utilizando relés y conmutadores por primera vez en lahistoria. Titulada Un Análisis Simbólico de CircuitosConmutadores y Relés, la tesis de Shannon básicamente fundóel diseño práctico de circuitos digitales.En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquelentonces en los Laboratorios Bell, construyó una computadorabasada en relés —a la cual apodó "Modelo K" (porque laconstruyó en una cocina, en inglés "kitchen")— que utilizabala suma binaria para realizar los cálculos. Los LaboratoriosBell autorizaron un completo programa de investigación afinales de 1938, con Stibitz al mando. El 8 de enero de 1940terminaron el diseño de una "Calculadora de NúmerosComplejos", la cual era capaz de realizar cálculos connúmeros complejos. En una demostración en la conferencia dela Sociedad Americana de Matemáticas, el 11 de septiembre de1940, Stibitz logró enviar comandos de manera remota a laCalculadora de Números Complejos a través de la líneatelefónica mediante un teletipo. Fue la primera máquinacomputadora utilizada de manera remota a través de la líneade teléfono. Algunos participantes de la conferencia quepresenciaron la demostración fueron John Von Neumann, JohnMauchly y Norbert Wiener, quien escribió acerca de dichosuceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzódiferentes logros.
  5. 5. RepresentaciónUn número binario puede ser representado por cualquiersecuencia de bits (dígitos binarios), que suelen representarcualquier mecanismo capaz de estar en dos estados mutuamenteexcluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podríanser interpretadas como el mismo valor numérico binario:1 0 1 0 0 1 1 0 1 0| - | - - | | - | -x o x o o x x o x oy n y n n y y n y nEl valor numérico representado en cada caso depende del valorasignado a cada símbolo. En una computadora, los valoresnuméricos pueden representar dos voltajes diferentes; tambiénpueden indicar polaridades magnéticas sobre un discomagnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no esnecesariamente el equivalente al valor numérico de uno; estodepende de la nomenclatura usada.De acuerdo con la representación más habitual, que es usandonúmeros árabes, los números binarios comúnmente son escritosusando los símbolos 0 y 1. Los números binarios se escriben amenudo con subíndices, prefijos o sufijos para indicar subase. Las notaciones siguientes son equivalentes:  100101 binario (declaración explícita de formato)  100101b (un sufijo que indica formato binario)  100101B (un sufijo que indica formato binario)  bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)  1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)  %100101 (un prefijo que indica formato binario)  0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación)Conversión entre binario y decimalDecimal a binarioSe divide el número del sistema decimal entre 2, cuyoresultado entero se vuelve a dividir entre 2, y asísucesivamente. Ordenados los restos, del último al primero,éste será el número binario que buscamos.Ejemplo
  6. 6. Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1 65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1 32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0 16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0 8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0 4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0 2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0 1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1 -> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011En sistema binario, 131 se escribe 10000011Ejemplo Transformar el número decimal 100 en binario.Otra forma de conversión consiste en un método parecido a lafactorización en números primos. Es relativamente fácildividir cualquier número entre 2. Este método consistetambién en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el númeroes par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna dela derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremosdividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nosqueda tomar el último resultado de la columna izquierda (quesiempre será 1) y todos los de la columna de la derecha yordenar los dígitos de abajo a arriba.Ejemplo100|0 50|0 25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2 12|0 6|0 3|1 1|1 --> (100)10 = (1100100)2
  7. 7. Existe un último método denominado de distribución. Consisteen distribuir los unos necesarios entre las potenciassucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el númerodecimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para elque se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que lasiguiente, 28=256, es superior al número a convertir. Secomienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23,151-128 = 23, para llegar al 151. Este valor se conseguirádistribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé elresultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemploresultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y1, respectivamente.Ejemplo 20= 1|1 21= 2|1 22= 4|1 23= 8|0 24= 16|1 25= 32|0 26= 64|0 27= 128|1 128 + 16 + 4 + 2 + 1 = (151)10 = (10010111)2Decimal (con decimales) a binarioPara transformar un número del sistema decimal al sistemabinario: 1. Se transforma la parte entera a binario. (Si la parte entera es 0 en binario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente). 2. Se sigue con la parte fraccionaria, multiplicando cada número por 2. Si el resultado obtenido es mayor o igual a 1 se anota como un uno (1) binario. Si es menor que 1 se anota como un 0 binario. (Por ejemplo, al multiplicar 0.6 por 2 obtenemos como resultado 1.2 lo cual indica que nuestro resultado es un uno (1) en binario, solo se toma la parte entera del resultado). 3. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención. 4. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0.1.Ejemplo0,3125 (decimal) => 0,0101 (binario).Proceso:
  8. 8. 0,3125 · 2 = 0,625 => 00,625 · 2 = 1,25 => 10,25 · 2 = 0,5 => 00,5 · 2 = 1 => 1En orden: 0101 -> 0,0101 (binario)Ejemplo0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario).Proceso:0,1 · 2 = 0,2 ==> 00,2 · 2 = 0,4 ==> 00,4 · 2 = 0,8 ==> 00,8 · 2 = 1,6 ==> 10,6 · 2 = 1,2 ==> 10,2 · 2 = 0,4 ==> 0 <--se repiten las cuatro cifras, periódicamente0,4 · 2 = 0,8 ==> 0 <-0,8 · 2 = 1,6 ==> 1 <-0,6 · 2 = 1,2 ==> 1 <- ...En orden: 0 0011 0011 ... => 0,0 0011 0011 ... (binario periódico)Ejemplo5.5 = 5,55,5 (decimal) => 101,1 (binario).Proceso:5 => 1010,5 · 2 = 1 => 1En orden: 1 (un sólo dígito fraccionario) -> 101,1 (binario)Ejemplo6,83 (decimal) => 110,110101000111 (binario).Proceso:6 => 1100,83 · 2 = 1,66 => 10,66 · 2 = 1,32 => 10,32 · 2 = 0,64 => 00,64 · 2 = 1,28 => 10,28 · 2 = 0,56 => 00,56 · 2 = 1,12 => 10,12 · 2 = 0,24 => 00,24 · 2 = 0,48 => 00,48 · 2 = 0,96 => 00,96 · 2 = 1,92 => 10,92 · 2 = 1,84 => 10,84 · 2 = 1,68 => 1En orden: 110101000111 (binario)Parte entera: 110 (binario)Encadenando parte entera y fraccionaria: 110,110101000111 (binario)Binario a decimalPara realizar la conversión de binario a decimal, realice losiguiente: 1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada cifra multiplíquela por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 20).
  9. 9. 2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.Ejemplos:  (Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2)También se puede optar por utilizar los valores que presentacada posición del número binario a ser transformado,comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores delas posiciones que tienen un 1.EjemploEl número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Sepuede representar de la siguiente manera:entonces se suman los números 64, 16 y 2:Para cambiar de binario con decimales a decimal se haceexactamente igual, salvo que la posición cero (en la que eldos es elevado a la cero) es la que está a la izquierda de lacoma y se cuenta hacia la derecha a partir de -1:Binario a decimal (con parte fraccionaria binaria)
  10. 10. 1. Inicie por el lado izquierdo (la primera cifra a laderecha de la coma), cada número multiplíquelo por 2 elevadoa la potencia consecutiva a la inversa (comenzando por lapotencia -1, 2-1).2.Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sumetodas y el número resultante será el equivalente al sistemadecimal.Ejemplos  0,101001 (binario) = 0,640625(decimal). Proceso:1 · 2 elevado a -1 = 0,50 · 2 elevado a -2 = 01 · 2 elevado a -3 = 0,1250 · 2 elevado a -4 = 00 · 2 elevado a -5 = 01 · 2 elevado a -6 = 0,015625La suma es: 0,640625  0.110111 (binario) = 0,859375(decimal). Proceso:1 · 2 elevado a -1 = 0,51 · 2 elevado a -2 = 0,250 · 2 elevado a -3 = 01 · 2 elevado a -4 = 0,06251 · 2 elevado a -5 = 0,031251 · 2 elevado a -6 = 0,015625La suma es: 0,859375Operaciones con números binariosSuma de números binariosLa tabla de sumar para números binarios es la siguiente: + 0 1
  11. 11. 0 0 1 1 1 10Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:  0 + 0 = 0  0 + 1 = 1  1 + 0 = 1  1 + 1 = 10Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a lasiguiente posición de la izquierda (acarreo). Esto esequivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10:cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo ala siguiente posición.Ejemplo 1 10011000 + 00010101 ——————————— 10101101Se puede convertir la operación binaria en una operacióndecimal, resolver la decimal, y después transformar elresultado en un (número) binario. Operamos como en el sistemadecimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestroejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila delresultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo oarrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguientecolumna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas lacolumnas (exactamente como en decimal).Resta de números binariosEl algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo queen el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación derestar en decimal para comprender la operación binaria, quees más sencilla. Los términos que intervienen en la resta sellaman minuendo, sustraendo y diferencia.Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:
  12. 12.  0 - 0 = 0  1 - 0 = 1  1 - 1 = 0  0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal,tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 =1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistemadecimal, 2 - 1 = 1.Ejemplos 10001 11011001 -01010 -10101011 —————— ————————— 00111 00101110En sistema decimal sería: 17 - 10 = 7 y 217 - 171 = 46.Para simplificar las restas y reducir la posibilidad decometer errores hay varios métodos:  Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas: 100110011101 1001 1001 1101 -010101110010 -0101 -0111 -0010 ————————————— = ————— ————— ————— 010000101011 0100 0010 1011  Utilizando el complemento a dos (C2). La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el «complemento a dos» del sustraendo.EjemploLa siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario es: 1011011 1011011 -0101110 el C2 de 0101110 es 1010010 +1010010 ———————— ———————— 0101101 10101101En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por laizquierda. Pero, como el número resultante no puede ser máslargo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.
  13. 13. Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196,directamente y utilizando el complemento a dos: 11011011 11011011 -00010111 el C2 de 00010111 es 11101001 +11101001 ————————— ————————— 11000100 111000100Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda,llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 endecimal.  Utilizando el complemento a uno. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit que se desborda.Producto de números binariosLa tabla de multiplicar para números binarios es lasiguiente: · 0 1 0 0 0 1 0 1El algoritmo del producto en binario es igual que en númerosdecimales; aunque se lleva a cabo con más sencillez, ya queel 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es elelemento neutro del producto.Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001: 10110 1001 ————————— 10110 00000 00000 10110 ————————— 11000110
  14. 14. En sistemas electrónicos, donde suelen usarse númerosmayores, se utiliza el método llamado algoritmo de Booth. 11101111 111011 __________ 11101111 11101111 00000000 11101111 11101111 11101111 ______________ 11011100010101División de números binariosLa división en binario es similar al decimal; la únicadiferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de ladivisión, éstas deben ser realizadas en binario.EjemploDividir 100010010 (274) entre 1101 (13): 100010010 |1101 ——————-0000 010101——————— 10001 -1101——————— 01000 - 0000 ——————— 10000 - 1101 ——————— 00111 - 0000 ——————— 01110 - 1101 ——————— 00001Conversión entre sistema binario y octalSistema Binario a octal
  15. 15. Para realizar la conversión de binario a octal, realice losiguiente:1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciandopor el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo ala tabla: Número en binario 000 001 010 011 100 101 110 111 Número en octal 0 1 2 3 4 5 6 73) La cantidad correspondiente en octal se agrupa deizquierda a derecha.Ejemplos  110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:111 = 7110 = 6Agrupe de izquierda a derecha: 67  11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso:111 = 7001 = 111 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3Agrupe de izquierda a derecha: 317  1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso:011 = 3000 = 01 entonces agregue 001 = 1Agrupe de izquierda a derecha: 103Octal a binarioCada dígito octal se convierte en su binario equivalente de 3bits y se juntan en el mismo orden.Ejemplo
  16. 16.  247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario será 010100111.Conversión entre binario y hexadecimalBinario a hexadecimalPara realizar la conversión de binario a hexadecimal, realicelo siguiente:1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciandopor el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo ala tabla: Número 00 00 00 00 01 01 01 01 10 10 10 10 11 11 11 11 en 00 01 10 11 00 01 10 11 00 01 10 11 00 01 10 11 binario Número en 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F hexadec imal3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa dederecha a izquierda.Ejemplos  110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso:1010 = A1011 = B1 entonces agregue 0001 = 1Agrupe de derecha a izquierda: 1BA  11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso:0101 = 51111 = F
  17. 17. 110 entonces agregue 0110 = 6Agrupe de derecha a izquierda: 6F5Hexadecimal a binarioNote que para pasar de Hexadecimal a binario, sólo que seremplaza por el equivalente de 4 bits, de forma similar acomo se hace de octal a binario.Tabla de conversión entre decimal,binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso3 y Código Gray o Reflejado Exceso Gray o Decimal Binario Hexadecimal Octal BCD 3 Reflejado 0 0000 0 0 0000 0011 0000 1 0001 1 1 0001 0100 0001 2 0010 2 2 0010 0101 0011 3 0011 3 3 0011 0110 0010 4 0100 4 4 0100 0111 0110 5 0101 5 5 0101 1000 0111 6 0110 6 6 0110 1001 0101 7 0111 7 7 0111 1010 0100 8 1000 8 10 1000 1011 1100
  18. 18. 9 1001 9 11 1001 1100 1101 0001 10 1010 A 12 1111 0000 0001 11 1011 B 13 1110 0001 0001 12 1100 C 14 1010 0010 0001 13 1101 D 15 1011 0011 0001 14 1110 E 16 1001 0100 0001 15 1111 F 17 1000 0101Factorización  Tabla de conversión entre binario, factor binario, hexadecimal, octal y decimal Binario Factor binario Hexadecimal Octal Decimal 0000 0000 00 0 0 0 0000 0001 20 1 1 1
  19. 19. 0000 0010 21 2 2 20000 0100 22 4 4 40000 1000 23 8 10 80001 0000 24 10 20 160010 0000 25 20 40 320100 0000 26 40 100 641000 0000 27 80 200 128
  20. 20. Sistema hexadecimalEl sistema Hexadecimal (no confundir con sistemasexagesimal), a veces abreviado como Hex, es el sistema denumeración de base 16 —empleando por tanto 16 símbolos—. Suuso actual está muy vinculado a la informática y ciencias dela computación, pues los computadores suelen utilizar el byteu octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que unbyte representa 28 valores posibles, y esto puederepresentarse como, que, según el teorema general de la numeración posicional,equivale al número en base 16 10016, dos dígitos hexadecimalescorresponden exactamente —permiten representar la misma líneade enteros— a un byte.En principio dado que el sistema usual de numeración es debase decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, seadoptó la convención de usar las seis primeras letras delalfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. Elconjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente: S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F= 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar demayúsculas. Como en cualquier sistema de numeraciónposicional, el valor numérico de cada dígito es alteradodependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedandomultiplicado por una cierta potencia de la base del sistema,que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0A16 = 3×163 + E×162 +0×161 + A×160 = 3×4096 + 14×256 + 0×16 + 10×1 = 15882.
  21. 21. El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito dela computación por primera vez por IBM en 1963. Unarepresentación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 porla computadora Bendix G-15.Tabla de conversión entre decimal,binario, octal y hexadecimal0hex =0dec =0oct 0 0 0 01hex =1dec =1oct 0 0 0 12hex =2dec =2oct 0 0 1 03hex =3dec =3oct 0 0 1 14hex =4dec =4oct 0 1 0 0
  22. 22. 5hex =5dec =5oct 0 1 0 16hex =6dec =6oct 0 1 1 07hex =7dec =7oct 0 1 1 18hex =8dec =10oct 1 0 0 09hex =9dec =11oct 1 0 0 1Ahex =10dec =12oct 1 0 1 0Bhex =11dec =13oct 1 0 1 1Chex =12dec =14oct 1 1 0 0Dhex =13dec =15oct 1 1 0 1Ehex =14dec =16oct 1 1 1 0Fhex =15dec =17oct 1 1 1 1FraccionesComo el único factor primo de 16 es 2, todas las fraccionesque no tengan una potencia de 2 en el denominador, tendrán undesarrollo hexadecimal periódico. Fracción Hexadecimal Resultado en hexadecimal 1/2 1/2 0,8 1/3 1/3 0,5 periódico
  23. 23. 1/4 1/4 0,4 1/5 1/5 0,3 periódico 1/6 1/6 0,2A periódico 1/7 1/7 0,249 periódico 1/8 1/8 0,2 1/9 1/9 0,1C7 periódico 1/10 1/A 0,19 periódico 1/11 1/B 0,1745D periódico 1/12 1/C 0,15 periódico 1/13 1/D 0,13B periódico 1/14 1/E 0,1249 periódico 1/15 1/F 0,1 periódico 1/16 1/10 0,1Existe un sistema para convertir números fraccionarios ahexadecimal de una forma más mecánica. Se trata de convertirla parte entera con el procedimiento habitual y convertir laparte decimal aplicando sucesivas multiplicaciones por 16hasta convertir el resultado en un número entero.
  24. 24. Por ejemplo: 0,06640625 en base decimal.Multiplicado por 16: 1,0625, el primer decimal será 1.Volvemos a multiplicar por 16 la parte decimal del anteriorresultado: 1. Por lo tanto el siguiente decimal será un1.Resultado: 0,11 en base hexadecimal. Como el últimoresultado se trata de un entero, hemos acabado la conversión.Hay ocasiones en las que no llegamos nunca a obtener unnúmero entero, en ese caso tendremos un desarrollohexadecimal periódico.Operaciones en Sistema HexadecimalEn el sistema hexadecimal, al igual que en el sistemadecimal, binario y octal, se pueden hacer diversasoperaciones matemáticas. Entre ellas se encuentra la restaentre dos números en sistema hexadecimal, la que se puedehacer con el método de complemento a 15 o también utilizandoel complemento a 16. Además de éstas, deberemos manejaradecuadamente la suma en sistema hexadecimal, explicada acontinuación: Hexadecimal Decimal A 10 B 11 C 12 D 13 E 14
  25. 25. F 15Suma  9 + 7 = 16 (16 – 16 = 0 y nos llevamos 1)En este caso la respuesta obtenida, 16, no está entre el 0 yel 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, larespuesta obtenida será 10 (sistema hexadecimal).Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras,ya que operar a la vez con letras y números puede crearconfusiones.  A + 6 = 16 (16 - 16 = 0 y nos llevamos 1)Ocurre lo mismo que en el ejemplo anterior.  A + A = 20 ( 20 – 16 = 4 y nos llevamos 1)La respuesta es 20 y no está entre el 0 y el 15, por lo quetenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenidaserá 14 (sistema hexadecimal).Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras,ya que operar a la vez con letras y números puede crearconfusiones.  F + E = 29 ( 29 – 16 = D y nos llevamos 1)La respuesta es 29 y no está entre el 0 y el 15, por lo quetenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenidaserá 1D (sistema hexadecimal).Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras,ya que operar a la vez con letras y números puede crearconfusiones.
  26. 26.  Ahora haremos una operación más complicada:  A + 2 = 12 (12 corresponde a C)Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizandouna calculadora científica.Resta hexadecimalComplemento C15Podemos hacer la resta de dos números hexadecimalesutilizando el complemento a 15. Para ello tendremos que sumaral minuendo el complemento a quince del sustraendo, yfinalmente sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).Para entender la resta en complemento a 15 lo analizaremoscon un ejemplo. Ésta es la resta que tenemos que resolver: A4FC9 - DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿?Primero tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendotengan la misma cantidad de números. Para ello, añadiremosceros al sustraendo hasta que sean suficientes. A4FC9 - 00DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿?Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad denúmeros que el nuevo sustraendo. Como en el sistemahexadecimal el mayor número que tenemos es el 15, quecorresponde a la letra F, tendremos que escribir la F tantasveces como números tiene el sustraendo. FFFFF - 00DE8 ————————— FF217
  27. 27. La resta se hace siguiendo las normas generales de la restacomún. La diferencia obtenida se denomina el complemento a15. Recuerda el valor correspondiente a cada letra al operar.Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 15utilizando la suma en sistema hexadecimal, mencionadaanteriormente. A4FC9 + FF217 ————————— 1A41E0Con la suma obtenemos el resultado 1A41E0, pero no es larespuesta final. Te habrás dado cuenta que este nuevo númerotiene más cifras que los números iniciales que teníamos querestar. Tenemos que quitar el número de la izquierda (en estecaso, el 1) y sumarlo. A41E0 + 1 ————————— A41E1La respuesta es A41E1.Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizandouna calculadora científica.Complemento C16También podemos hacer la resta de dos números hexadecimalesutilizando el complemento a 16, siguiendo un proceso similarque en el caso del complemento a 15. Para resolver la resta,tendremos que sumar al minuendo el complemento a dieciséisdel sustraendo.Para entender la resta en complemento a 16 lo analizaremoscon el ejemplo anterior. Ésta es la resta que tenemos queresolver: A4FC9 - DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿?Primero tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendotengan la misma cantidad de números, al igual que ocurre enel proceso del complemento a 15.
  28. 28. Para ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que seansuficientes. A4FC9 - 00DE8 ————————— ¿?¿?¿?¿?Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad denúmeros que el nuevo sustraendo.Como en el sistema hexadecimal el mayor número que tenemos esel 15, que corresponde a la letra F, tendremos que escribirla F tantas veces como números tiene el sustraendo. FFFFF - 00DE8 ————————— FF217La resta se hace siguiendo las normas generales de la restacomún.Ahora tenemos que sumarle 1 a la diferencia obtenida. Estepaso es muy importante, ya que es la diferencia entre hacerla resta en complemento a 15 ó 16, y se suele olvidarfácilmente. Además, recuerda que estás sumando en sistemahexadecimal, siguiendo el mismo proceso explicadoanteriormente. FF217 + 1 ————————— FF218A la diferencia obtenida y sumarle uno le denominaremos elcomplemento a 16.Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 16 A4FC9 + FF218 ————————— 1A41E1Con la suma obtenemos el resultado 1A41E1.Te habrás dado cuenta que este nuevo número tiene más cifrasque los números iniciales que teníamos que restas, cosa
  29. 29. imposible en una resta (que la diferencia sea mayor que elminuendo y el sustraendo). Por eso, y estando en complementoa 16, tendremos que despreciar (eliminar) el número de laizquierda. En este caso es el 1.La respuesta, por lo tanto, es A41E1.En ambos casos la respuesta obtenida deberá ser la misma, yaque hemos resuelto la misma resta en sistema hexadecimal. Porlo tanto, podremos comprobar que hemos operado biencomparando las respuestas obtenidas en complemento a 15 y encomplemento a 16 para una misma resta.Además, ten en cuenta que puedes comprobar los resultadosutilizando una calculadora científica.
  30. 30. Sistema octalEl sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza losdígitos 0 a 7.Por ejemplo, el número 74 (en decimal) es 1001010 (enbinario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, de tal formaque obtengamos una serie de números en binario de 3 dígitoscada uno (para fragmentar el número se comienza desde elprimero por la derecha y se parte de 3 en 3), despuésobtenemos el número en decimal de cada uno de los números enbinario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el númerodecimal 74 en octal es 112.Hay que hacer notar que antes de poder pasar un número aoctal es necesario pasar por el binario. Para llegar alresultado de 74 en octal se sigue esta serie: decimal ->binario -> octal.En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vezde la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiereutilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Sinembargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos,asumiendo que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser máscómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byte asídefinido es completamente representable por dos dígitoshexadecimales.Es posible que la numeración octal se usara en el pasado enlugar del decimal, por ejemplo, para contar los espaciosinterdigitales o los dedos distintos de los pulgares.FraccionesLa numeración octal es tan buena como la binaria y lahexadecimal para operar con fracciones, puesto que el únicofactor primo para sus bases es 2. Todas las fracciones quetengan un denominador distinto de una potencia de dos tendránun desarrollo octal periódico. Fracción Octal Resultado en octal
  31. 31. 1/2 1/2 0,4 1/3 1/3 0,25252525 periódico 1/4 1/4 0,2 1/5 1/5 0,14631463 periódico 1/6 1/6 0,125252525 periódico 1/7 1/7 0,111111 periódico 1/8 1/10 0,1 1/9 1/11 0,07070707 periódico 1/10 1/Tabla de conversión entre decimal,binario, hexadecimal y octal Decimal Binario Hexadecimal octal 0 00000 0 0 1 00001 1 1 2 00010 2 2
  32. 32. 3 00011 3 34 00100 4 45 00101 5 56 00110 6 67 00111 7 78 01000 8 109 01001 9 1110 01010 A 1211 01011 B 1312 01100 C 1413 01101 D 1514 01110 E 1615 01111 F 1716 10000 10 20
  33. 33. 17 10001 11 2118 10010 12 22... ... ... ...30 11110 1E 3631 11111 1F 3732 100000 20 4033 100001 21 41
  34. 34. CONCLUSIONCada uno de los sistemas que se crearon para el uso de lainformática y/o matematicas tiene un propósito…El sistema binario, dar órdenes directamente a la computadora; elsistema hexadecimal, para el manejo de los bytes; aunque tambiénse puede usar el sistema octal.

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