Fisica III (santillana)

58,900 views

Published on

4 Comments
20 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
58,900
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
37
Actions
Shares
0
Downloads
3,454
Comments
4
Likes
20
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Fisica III (santillana)

  1. 1. SANTIAGO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRIDMÉXICO • NUEVA YORK • SAN JUAN •SANTA FE DE BOGOTÁ • SÂO PAULOAUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHISAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TORONTOTEXTO PARA EL ESTUDIANTEañomedioAutoresL.A. Pavez F.Profesor de FísicaUniversidad Metropolitana de Ciencias de la EducaciónJ. E. Jiménez C.Licenciado en FísicaPontificia Universidad Católica de ChileE. Ramos M.Doctor en FísicaPontificia Universidad Católica de ChilePreliminares Fisica 3M_OK.indd 1 21/7/10 16:59:46
  2. 2. Física 3° año medioTEXTO PARA EL ESTUDIANTEAutoresLuis A. Pavez F.Javier E. Jiménez C.Esteban Ramos M.EditoraPaola GonzálezDiseño y diagramaciónPamela MadridCorrección de pruebaPatricia RomeroIlustracionesFaviel FerradaJacob BustamanteArchivo gráficoBanco imágenes McGraw-HillNo está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisiónde ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otrométodo sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.DERECHOS RESERVADOS © 2009McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE CHILE LTDA.Carmencita 25, oficina 51, Las CondesTeléfono 56-2-6613000Santiago de ChileLa materialidad y fabricación de este texto está certificada por el IDIEM – Universidad de Chile.ISBN: 978-956-278-220-3N˚ de Inscripción: 186.064Impreso en Chile por: RR Donnelley Chile.Se terminó de imprimir esta primera edición de 137.162 ejemplares, en el mes de diciembre de 2009.Preliminares Fisica 3M_OK.indd 2 21/7/10 16:59:47
  3. 3. PresentaciónLa Física va más allá de las ecuaciones y los números. Muchas cosasque suceden en nuestro alrededor tienen relación con ella: los coloresdel arco iris, el brillo, la dureza del diamante son temas de la Física,asimismo, acciones como caminar, correr o andar en bicicleta invo-lucran los principios de esta ciencia. Por ello, se ha tenido especialcuidado en establecer la relación entre los contenidos y aspectos de lavida diaria, como la tecnología de uso común, la salud, etc.Este libro pretende ser una herramienta útil para todos los estudiantesque cursan el tercer año medio. El objetivo es que, leyendo con aten-ción cada una de las secciones, puedas obtener en forma paulatina,progresiva y ordenada los conceptos básicos necesarios para su forma-ción científica.Los contenidos se han estructurado en dos grandes unidades didácti-cas: Mecánica y Fluidos, las que a su vez se han separado en capítulosy secciones para entregarte una estructura más dinámica y didáctica.Todas las secciones te presentarán actividades de indagación, ejemplos,contexto histórico, actividades de profundización, síntesis, preguntas yejercicios propuestos y evaluaciones.La Física es una actividad humana, una aventura excitante y en estecurso conocerás el fruto de muchos hombres y mujeres que dedicaronsu vida a la investigación para comprender nuestro mundo.3Preliminares Fisica 3M_OK.indd 3 21/7/10 16:59:47
  4. 4. Física 3° Año Medio4Estructura gráficaEl texto para el estudiante está ordenado siguiendo el siguiente esquema:Unidad 1. MecánicaCapítulo 1: Movimiento circular Sección 1: Movimiento circular uniformeSección 2: Momento angular y su conservaciónCapítulo 2: Energía mecánica Sección 3: Energía y movimientoSección 4: Conservación de la energía mecánicaUnidad 2. FluidosCapítulo 3: Hidrostática Sección 5: Presión y principio de PascalSección 6: El principio de ArquímedesCapítulo 4: Hidrodinámica Sección 7: Fluidos en movimientoEntrada de Unidad presenta los aprendizajesesperados y las primeras interrogantesmotivadoras respecto a los temas a trabajar.Entrada de capítulo con preguntasmotivadoras iniciales. Estas preguntastienen un sentido diagnóstico, ya que,por una parte, aluden a conocimientosque se espera sean de dominio delestudiante y, por otra parte, aluden aconceptos relacionados con el contenidodel capítulo.Preliminares Fisica 3M_OK.indd 4 21/7/10 16:59:49
  5. 5. 5Preguntas y ejercicios:batería de ejerciciospropuestos que tienenpor objetivo que elestudiante aplique loscontenidos desarrolladosen la sección.Indagación, actividades que permitena los estudiantes incentivar lacuriosidad y desarrollar habilidades deinvestigación científica.Contexto histórico de la físicada referencias de las personasque contribuyeron al desarrollodel conocimiento en el áreade la física relacionada con lasección.Actividad de profundización sirvepara consolidar el aprendizaje de laprimera parte de la sección y desafía alos estudiantes a enfrentar un problemaen base al método científico.Evaluaciónintermedia permiteevaluar el gradode avance en lacomprensión de loscontenidos.Síntesis, muestra unmapa conceptual quelleva a los estudiantesa ordenar y jerarquizarlos contenidos de lasección.Evaluación final,pone a prueba losaprendizajes logradosen la sección.Preliminares Fisica 3M_OK.indd 5 21/7/10 16:59:52
  6. 6. Física 3° Año Medio6ÍndiceUnidad 1. MecánicaCAPÍTULO 1: MOVIMIENTO CIRCULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 CAPÍTULO 2: ENERGÍA MECÁNICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Indagación 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Indagación 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Indagación 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Indagación 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Sección 1: Movimiento circular uniforme. . . . . . . . . . . 15 Sección 3: Energía y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Trayectoria circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Sistema y entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59El período.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Trabajo mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61La frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Indagación 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Indagación 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71La aceleración centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Energía cinética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71La fuerza centrípeta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Energía potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Algunos casos de la fuerza centrípeta. . . . . . . . . . . . . 25 Energía mecánica total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Contexto histórico de la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Contexto histórico de la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . 32 Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . 81Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Indagación 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Indagación 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Indagación 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Indagación 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Sección 2: Momento angular y su conservación . . . . . . 37 Sección 4: Conservación de la energía mecánica . . . . . 86El momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Fuerzas conservativas y fuerzas disipativas . . . . . . . . 86La inercia rotacional o momento de inercia . . . . . . . . 40 El principio de conservación de la energía mecánica. 88Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Indagación 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Indagación 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Conservación de la energía y roce . . . . . . . . . . . . . . 101Inercia y conservación del momento angular. . . . . . . 48 Contexto histórico de la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . 53 Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 109Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Preliminares Fisica 3M_OK.indd 6 21/7/10 16:59:53
  7. 7. 7Unidad 2. FluidosCAPÍTULO 3: HIDROSTÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 CAPÍTULO 4: HIDRODINÁMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Indagación 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Indagación 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Indagación 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Indagación 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Sección 5: Presión y principio de Pascal . . . . . . . . . . . 117 Sección 7: Fluidos en movimento . . . . . . . . . . . . . . . . 161Líquidos y gases en el Universo . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Conceptos preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Líneas de flujo y ecuación de continuidad . . . . . . . . 162Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 La ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Indagación 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Presión hidrostática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Indagación 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. . . . . . . . . 176Presión atmosférica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Viscosidad y velocidad límite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 El flujo sanguíneo en el cuerpo humano. . . . . . . . . . 182Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 136 Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 185Indagación 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Sección 6: El principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . 140¿Por qué un objeto se hunde o flota? . . . . . . . . . . . . 142 Solucionario 188Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Indagación 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Tensión superficial y capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . 147Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 155Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Preliminares Fisica 3M_OK.indd 7 21/7/10 16:59:53
  8. 8. Física 3° Año Medio8Seguridad en el laboratorioEl laboratorio de ciencias es un lugar seguro para trabajar si eres cuidadoso y estás atento a las normas de seguridad.Debes ser responsable de tu seguridad y de la de los demás. Las reglas que aquí se proporcionan te protegerán a ti ya los otros de sufrir daños. Mientras realices procedimientos en cualquiera de las actividades, presta atención en losenunciados de precaución.1 Siempre obtén el permiso de tu profesor o profesorapara comenzar la práctica.2 Estudia el procedimiento. Si tienes preguntas, plan-téaselas a tu profesor(a). Asegúrate de entender todaslas normas de seguridad sugeridas.3 Usaelequipodeseguridadqueseteproporcione.Cuandocualquier práctica requiera usar sustancias químicas,debes usar lentes, delantal y guantes de seguridad.4 Cuando calientes un tubo de ensayo, siempre ladéalo demodo que la boca apunte lejos de ti y de los demás.5 Nunca comas o bebas en el laboratorio. Nunca inhalesquímicos. No pruebes sustancias o introduzcas algúnmaterial en tu boca.6 Si derramas algún químico, reporta el derrame a tuprofesor(a) sin pérdida de tiempo.7 Aprende la ubicación y el uso adecuado del extintor deincendios, el botiquín de primeros auxilios y cualquierequipo de seguridad complementario.8 Mantén todos los materiales lejos de flamas abiertas.Amárrate el cabello si lo tienes largo.Primeros auxilios en el laboratorioLesión Respuesta seguraQuemaduras Aplicar agua fría. Llamar de inmediato al profesor o profesora.Cortaduras y rasponesDetener cualquier sangrado mediante la aplicación de presión directa. Cubrir los cortes con unpaño limpio. Aplicar compresas frías a los raspones. Llamar de inmediato al profesor(a).DesmayoDejar que la persona se recueste. Aflojar cualquier ropa apretada y alejar a las personas. Llamarde inmediato al profesor(a).Materia extraña en el ojo Lavar con mucha agua. Usar lavado ocular con botella o directamente bajo la llave.Envenenamiento Anotar el agente venenoso sospechoso y llamar de inmediato al profesor(a).Cualquier derrame en la piel Lavar con mucha agua. Llamar de inmediato al profesor(a).9 Si en el salón de clase se inicia un fuego o si tu ropase incendia, sofócalo con un abrigo o ponte bajo lallave del agua. NUNCA CORRAS.10 Reporta a tu profesor o profesora cualquier accidenteo lesión, sin importar lo pequeño que éste sea.Sigue estos procedimientos mientras limpias tu área detrabajo.1 Cierra el agua y el gas. Desconecta los dispositivoseléctricos.2 Regresa los materiales a sus lugares.3 Desecha las sustancias químicas y otros materialesde acuerdo con las indicaciones de tu profesor(a).Coloca los vidrios rotos y las sustancias sólidas en loscontenedores adecuados. Nunca deseches materialesen la cañería.4 Limpia tu área de trabajo.5 Lávate las manos a conciencia después de trabajar enel laboratorio.Preliminares Fisica 3M_OK.indd 8 21/7/10 16:59:54
  9. 9. 9Símbolos de las medidas de seguridadSÍMBOLOSPELIGROBIOLÓGICOPRECAUCIÓN,SUSTANCIAINFLAMABLEPELIGRODE INCENDIORIESGO DEQUEMADURASPRECAUCIÓN,OBJETOSPUNZOCORTANTESPRECAUCIÓN,VAPORESPELIGROSOSPRECAUCIÓN,ELECTRICIDADSUSTANCIASIRRITANTESPRECAUCIÓN,VENENOPRODUCTOSQUÍMICOSPELIGROSOSDESECHAR CONPRECAUCIÓNEJEMPLOS PRECAUCIÓN REMEDIOSe debe seguir unprocedimiento especial paradesechar los materiales.Algunos productos químicos yorganismos vivos.No deseches estos materiales en eldrenaje o basurero.Desecha los residuos como loindique tu profesor(a).Organismos o materialbiológico que puede causardaño a los humanos.Bacterias, hongos, sangre,tejidos no conservados,materiales vegetales.Evita el contacto de estos materialescon tu piel. Utiliza una mascarilla yguantes.Avisa a tu profesor(a) sientras en contacto conmaterial biológico. Lávate lasmanos minuciosamente.Objetos que pueden quemarla piel por estar muy fríos omuy calientes.Líquidos hirviendo, parrillasde calentamiento, hielo seco,nitrógeno líquido.Utiliza protección indicada cuandotrabajes con estos objetos.Pide a tu profesor(a) ayudade primeros auxilios.Uso de herramientas omaterial de vidrio quefácilmente pueden perforar ocortar la piel.Cuchillos cartoneros,herramientas con punta,agujas de disección, vidrioroto.Utiliza tu sentido común cuandotrabajes con objetos punzocortantesy sigue las indicaciones pertinentescuando utilices herramientas.Pide a tu profesor(a) ayudade primeros auxilios.Posible daño al tractorespiratorio por exposicióndirecta a los vapores.Amoniaco, acetona,quitaesmalte, azufre caliente,pastillas contra las polillas.Asegúrate de que haya una buenaventilación. Nunca aspires losvapores directamente. Utiliza unamascarilla.Aléjate del área y avisa a tuprofesor(A) inmediatamente.Posible daño por choqueeléctrico o quemadura.Conexiones mal hechas,derrame de líquidos,cortocircuitos, cablesexpuestos.Revisa dos veces el circuito con tuprofesor(a). Revisa las condiciones delos cables y los aparatos.No intentes arreglar losproblemas eléctricos.Avisa a tu profesor(a)inmediatamente.Sustancias que pueden irritarla piel o las membranasmucosas del tractorespiratorio.Polen, pastillas contra laspolillas, lima de acero, fibrade vidrio, permanganato depotasio.Utiliza una mascarilla para polvoy guantes. Toma precaucionesextras cuando trabajes con estosmateriales.Pide a tu profesor(a) ayudade primeros auxilios.Productos químicos quepueden reaccionar y destruirtejido y otros materiales.Blanqueadores, como elperóxido de hidrógeno; ácidoscomo el ácido clorhídrico;bases como el amoniaco y elhidróxido de sodio.Utiliza lentes de protección, guantesy un delantal.Enjuaga inmediatamente elárea con agua y avisa a tuprofesor(a).Sustancias que resultanvenenosas cuando se tocan,se inhalan o se ingieren.Mercurio, muchoscompuestos metálicos, yodo,algunas partes de la flor denochebuena.Sigue las instrucciones que te indiquetu profesor(a).Lava bien tus manos despuésde utilizar estas sustancias.Pide a tu profesor(a) ayudade primeros auxilios.Productos químicos inflama-bles que pueden encendersedebido a la presencia defuego, chispas o calor.Alcohol, queroseno,permanganato de potasio.Cuando trabajes con sustanciasquímicas inflamables, evita utilizarmecheros y fuentes de calor.Avisa a tu profesor(a)inmediatamente. Si esposible, usa equipo deseguridad contra fuego.Los mecheros en uso puedenocasionar incendios.Cabello, ropa, papel,materiales sintéticos.Amarra tu cabello y ropa holgada.Sigue las instrucciones que teindique tu profesor sobre incendiosy extintores.Avisa a tu profesor(a)inmediatamente. Si esposible, usa equipo deseguridad contra fuego.PELIGROPreliminares Fisica 3M_OK.indd 9 21/7/10 16:59:55
  10. 10. Aprendizajes esperadosAl completar la Unidad, alumnos y alumnas:• reconocen la utilidad del lenguaje vectorial en la descripción del movimiento;• deducen y aplican con soltura las relaciones del movimiento circular uniformea una variada gama de situaciones (por ejemplo, la de un planeta que orbita entorno al Sol);• reconocen experimentalmente la existencia de la fuerza centrípeta y explican suorigen en diferentes y variadas situaciones en que objetos se mueven en trayec-torias circulares y con rapidez constante;• aplican la definición de momento angular a objetos de formas simples que rotanen relación a un eje y reconocen la conservación de esta magnitud física tantoen valor como en dirección y las condiciones bajo las cuales ella se conserva;• aprecian la utilidad predictiva de las leyes de conservación del momento angulary de la energía mecánica;• construyen y analizan gráficos de las distintas energías mecánicas;• reconocen en el roce cinético una forma en que habitualmente se disipa la energíamecánica;• conocen las situaciones en que es adecuado emplear la ley de conservación dela energía mecánica y usan procedimientos adecuados en su aplicación;• reconocen en los fenómenos con movimiento circular y aquellos debidos a la acciónde la fuerza de gravedad que suelen ocurrir en el entorno cotidiano, los conceptosmás relevantes con los que se les describe y las leyes físicas que los rigen;• son capaces de argumentar en base a los conceptos básicos de la física la expli-cación de algún fenómeno físico;• pueden comunicar las ideas y principios físicos que explican un determinadofenómeno de la naturaleza.FISICA_2010_OK.indd 10 21/7/10 17:02:14
  11. 11. 11En la competición de atletismo conocida como lanzamiento del martillo, “el martillo”es en realidad una bola de metal (una masa de 4 kg para las mujeres o de 7,26 kg paralos hombres) unida a un cable que tiene un asa en el otro extremo. El atleta gira variasveces para impulsar la bola, cuidando de no salir de un círculo de 2,1 m de diámetro, ydespués la suelta. El ganador es el atleta que lanza la bola a mayor distancia. ¿Cuántafuerza debe ejercer el atleta sobre el asa para hacer que el martillo gire en trayectoriacircular? ¿Qué tipo de trayectoria sigue el martillo después de ser lanzado?FISICA_2010_OK.indd 11 21/7/10 17:02:18
  12. 12. Física 3° Año Medio12MecánicaAntes de empezar...1 ¿Dónde puedes apreciar movi-mientos circulares en tu vidacotidiana?2 ¿Cómo se calcula el área y elperímetro de un círculo cuyoradio es R?3 ¿En qué unidad se miden losángulos?4 Suponiendo que la Tierra orbitaal Sol en una órbita circular deradio R, ¿cuál es la relación entrela rapidez angular (ω) y la rapideztangencial (v) de la Tierra?5 Si un automóvil realiza un mo-vimiento circular uniforme aldoblar en una curva, ¿cambia suvelocidad?6 ¿Cuál crees que es la diferenciaentre el momento lineal y el mo-mento angular?7 ¿Por qué una gimnasta de patinajeartístico gira más rápido cuandojunta sus brazos al cuerpo?8 ¿Cómo dos personas de distintopeso pueden mantener en equi-librio un balancín?9 ¿Por qué crees que la mayoría delas puertas tienen la manilla enel extremo y no en el medio?10 ¿Qué duración tendría el año solarsi la distancia Tierra-Sol fuera lamitad de lo que es?11 Imagina dos cilindros de igualforma y masa, pero uno huecoy el otro macizo. ¿Cuál de loscilindros rueda más rápido porun plano inclinado? ¿Por qué?“Con ninguna disposición he encontrado simetría tan maravillosa,conexión tan armónica de los astros, como colocando la antorchadel mundo, el Sol, que gobierna las revoluciones circulares detoda la familia de los astros, sobre el trono en el magnífico templode la naturaleza”.Nicolás Copérnico (1473 – 1543), sacerdote y astrónomo polaco.Capítulo 1FISICA_2010_OK.indd 12 21/7/10 17:02:26
  13. 13. 13Capítulo 1: Movimiento CircularIndagación N°1¿Cómosehaceunacurva?PARTE I: Trabajo personalSeguramente te has dado cuenta que muchos de los movimientos queobservamos a diario no son siempre rectilíneos. Por ejemplo, el movi-miento de un automóvil en una curva o el movimiento del té al revolverlocon una cuchara. Reflexiona sobre las siguientes preguntas y respondeen tu cuaderno.a) ¿Qué características tiene el movimiento circular uniforme? ¿Quémagnitudes cambian en el tiempo y qué magnitudes se mantienenconstantes?b) ¿Cómo es que los automóviles pueden doblar en las curvas sin seguirde largo por el camino?PARTE II: Trabajo en equipoJunto a un compañero o una compañera, contrasten las respuestas dadasa las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas.A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto que dé respuesta ala segunda pregunta.a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles son lasvariables observables que pueden medir y/o controlar.b) Una vez planteada su hipótesis, diseñen un procedimiento experimentalque les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicaciónaceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimentaly describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento quesugieren.Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible derealizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materialesde fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la obser-vación y el análisis de sus resultados.c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indica-ciones que les dé su profesor(a).Recuerden que una hipótesises una explicación posibleque se supone cierta hastaque pueda ser contrastadaempíricamente. Por estarazón, es fundamental quela hipótesis se refiera a unnúmero reducido de variablesobservables y de algún modomedibles, que eventualmentepueden ser controladas en unexperimento.FISICA_2010_OK.indd 13 21/7/10 17:02:31
  14. 14. Física 3° Año Medio14MecánicaPARTE I: Trabajo personalCuando un objeto se deja caer libremente sobre la superficie terrestre, sigue una trayectoriarectilínea dirigida hacia el centro de la Tierra. En cambio, un objeto que es lanzado comoun proyectil con cierta velocidad inicial, realiza una trayectoria curva, pero igualmentecae al suelo.Sinembargo,laLunanocaeverticalmente.¿Porquénosecomportacomoelrestodelosobjetosque se mueven sobre la superficie de la Tierra? ¿Cómo puedes explicar esta diferencia?Plantea una hipótesis que dé respuesta a estas preguntas y regístrala en tu cuaderno.PARTE II: Observación compartidaReúnete con un compañero o compañera para compartir sus hipótesis obtenidas en la parte I.Comenten y argumenten a favor o en contra de ellas. Luego, sigan con atención la demos-tración que dirigirá su profesor(a) y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas.a) ¿Cómo es la trayectoria de la silla cuando se le da un tirón con el cordel?b) ¿Cómo es la trayectoria de la silla cuando se le da un empujón y el cordel se tensa?c) ¿Cuál es la diferencia que define las trayectorias que observaron?PARTE III: Trabajo en equipoEn esta parte de la actividad, junto a tu compañero(a) realizarán un sencillo experimento,para el cual solo necesitan una goma de borrar.Primero, uno(a) de ustedes deja caer libremente la goma de borrar desde la altura de su ca-beza, aproximadamente. El compañero o la compañera observa la trayectoria del objeto y ladibuja de manera aproximada en la imagen 1.1 (la del lanzador parado sobre la Tierra).A continuación, realizan un nuevo lanzamiento, pero dando a la goma de borrar un pe-queño impulso horizontal. En el mismo esquema, dibujen la trayectoria del objeto.Repitan el experimento varias veces, pero con un impulso horizontal cada vez mayor,hasta que no puedan lanzar la goma más lejos. En cada lanzamiento, dibujen aproxima-damente la trayectoria que sigue el objeto en el mismo esquema. Para finalizar, analicensus observaciones y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas:a) ¿Cómo cambia la trayectoria de la goma de borrar cuando se lanza con más impulsohorizontal?b) ¿Cómo se relacionan los movimientos de la silla en la segunda parte de la actividad,y de la goma de borrar en la tercera parte?c) De acuerdo a su análisis anterior, ¿cómo se relacionan los movimientos de la gomade borrar y de la Luna alrededor de la Tierra? Comparen su respuesta con la hipótesisinicial que cada uno planteó.Indagación N°2¿PorquélaLunanocaedirectamentealaTierra?TierraTúproyectilImagen 1.1FISICA_2010_OK.indd 14 21/7/10 17:02:40
  15. 15. 15Capítulo 1: Movimiento CircularMovimiento circular uniforme (M.C.U.)La trayectoria circularUn móvil puede moverse describiendo cualquier tipo de trayectoria.Por ejemplo, en una carretera un automóvil puede moverse descri-biendo una línea recta, pero cuando llega a una curva pronunciada,generalmente su trayectoria es un arco de circunferencia.Para describir la distancia, la posición o el desplazamiento enun movimiento rectilíneo, utilizamos como unidad de medida elmetro [m]; en cambio, en la descripción del movimiento circularusamos el metro como unidad de distancia o arco recorrido, ypara determinar la posición y el desplazamiento utilizamos tambiénuna unidad angular, conocida como radián [rad].Lo anterior se debe a que en el movimiento circular es fundamentalla relación entre los tres elementos que se muestran en la Figura 1.1:el arco recorrido (∆s), el radio de curvatura (r) y el ángulo des-crito (∆θ).Figura 1.2. La trayectoria de un planetaen torno al Sol puede ser consideradacomo una trayectoria circular.Figura 1.3. Representación geométricade 1 rad.Un radián (1 rad) es la unidad para medirángulos o desplazamiento angular en elSistema Internacional de Unidades (S.I.).Corresponde al cuociente entre un arcode circunferencia (∆s), cuya longitudes igual al radio (∆s = r), y el valor delradio r:∆θ = ∆ = =srrrrad1 (1.1)1 radián mide, aproximadamente, 57,3°y una vuelta o revolución mide360° = 6,28 rad = 2π rad.El radián, al no tener dimensión, operacomo neutro multiplicativo, es decir:1rad · 1m = 1m (1.2)1 radrlongitud = rr∆θs∆móvileje de referenciaFigura 1.1. Movimiento circular de un automóvil en una pista de carre-ras, r es el radio de curvatura, ∆s es el arco recorrido y ∆θ es el ángulodescrito.La posición de un móvil en movimiento circular queda definidapor el ángulo descrito respecto a un eje de referencia. Este ángulose mide en radianes.1Sección 1: Movimiento circular uniformeSección∆ es la letra griega “delta” que utiliza-mos en física para indicar diferenciao cambio. θ es la letra griega “theta”que utilizamos para indicar una medidaangular. Por lo tanto, ∆θ indica unadiferencia angular.FISICA_2010_OK.indd 15 21/7/10 17:02:51
  16. 16. Física 3° Año MedioMecánica16Cuando cambia la posición del móvil, decimos que realiza undesplazamiento angular ∆θ, desde un ángulo inicial θi hasta unángulo final θf:∆θ = θf − θi (1.3)Como se muestra en la Figura 1.4, si el objeto en movimientodescribe un desplazamiento angular ∆θ, expresado en radianes,hay un arco de circunferencia ∆s asociado a este desplazamiento.Estos elementos se relacionan a través del radio de curvatura, dela siguiente manera:∆ = ∆θ sr (1.4)De la ecuación (1.4) se puede despejar el arco de circunferencia,quedando la relación como sigue:∆ ⋅ = ∆θ r s (1.5)La ecuación (1.5) muestra que la distancia recorrida es direc-tamente proporcional al ángulo descrito por el móvil. Si ahorarelacionamos el cambio de posición con el intervalo de tiempo(∆t) en que este cambio ocurre, obtenemos la siguiente relaciónfundamental:∆∆⋅ = ∆∆⋅ =θωtr str vm m (1.6)En la ecuación (1.6), ω θm t= ∆∆es la rapidez angular media yv stm = ∆∆es la rapidez tangencial media. Es decir, la rapideztangencial media es directamente proporcional a la rapidezangular media.Cuando el movimiento del móvil es uniforme, entonces su rapidezangular y su rapidez tangencial permanecen constantes durante todoel proceso de movimiento. En este caso, se trata de un movimientocircular uniforme (M.C.U.).¿Cuál es el desplazamiento angular del minutero de unreloj analógico cuando se mueve desde los 15 a los 45minutos?Figura 1.4. Cambio de posición de unmóvil en movimiento circular. La posicióninicial del móvil es θi y su posición finales θf, de modo que el desplazamientoangular es ∆θ = θf – θi.Los conceptos de rapidez angular mediay rapidez tangencial media se puedenexpresar, en el límite, como medidasinstantáneas de la rapidez angular y larapidez tangencial.Lo anterior se puede hacer considerandoque el intervalo de tiempo que transcurreentre dos posiciones sucesivas es muycercano a cero. Esta condición se expresaa través del concepto de límite, de lasiguiente forma:ω θ= ∆∆∆ →limt t0(1.7)v stt= ∆∆∆ →lim0(1.8)Las ecuaciones (1.7) y (1.8) definen larapidez angular instantánea y la rapideztangencial instantánea, respectivamente.Con esta definición, la ecuación (1.6) sepuede expresar como:ω ⋅ =r v (1.9)rΔθθiθfΔsω es la letra griega “omega”.FISICA_2010_OK.indd 16 21/7/10 17:03:08
  17. 17. 17Capítulo 1: Movimiento CircularEjemplo 1Elsegunderodeunrelojanalógicotieneunalongitudradialde20cmy describe un ángulo de 90° en un tiempo de 15 s.a) ¿Cuál es la medida del ángulo expresada en radianes?b) ¿Cuál es el valor de la rapidez angular media?c) ¿Cuál es el valor de la rapidez tangencial media?a: Una vuelta o revolución corresponde a un ángulo de 360°.Expresado en radianes, este ángulo corresponde a 2π rad,entonces podemos establecer la siguiente proporción:3609022°°=∆∆ =πθθ πradradb: La rapidez angular media es, entonces:ω θωπω π= ∆∆== =tradsradsrads215300 1,c: De acuerdo al resultado anterior, y sabiendo que el radiodel segundero es 20 cm, la rapidez tangencial media es:v rv radsmv ms= ⋅= ⋅=ω0 1 0 20 02, ,,Donde hemos expresado el radio en metros.¿Cuánto tiempo, expresado en segundos, se demorael puntero del horario de un reloj analógico en daruna vuelta?En la cinemática del movimiento recti-líneo, aprendimos que la rapidez es elmódulo del vector velocidad.En el movimiento circular, también po-demos hablar de velocidad tangencial yvelocidad angular, que definen el sentidoy el plano de giro, respectivamente.De acuerdo a lo anterior, la rapideztangencial y la rapidez angular son losmódulos de los correspondientes vectoresvelocidad:v v==ω ω(1.10)De acuerdo a esto, la ecuación (1.9) sepuede expresar vectorialmente comoun producto vectorial de la siguienteforma:v r  = ×ω (1.11)En esta expresión, res el vector posi-ción del móvil.Figura 1.5. ωes perpendicular alplano del movimiento. ves siempretangencial a la trayectoria. La direcciónde ambos vectores se relaciona a travésde la regla de la mano derecha: cuandoel pulgar se apunta en la dirección deω, la mano, extendida tangencial-mente a la trayectoria, apunta en ladirección de v.rωvtrayectoriaSección 1: Movimiento circular uniformeFISICA_2010_OK.indd 17 21/7/10 17:03:24
  18. 18. Física 3° Año MedioMecánica18El períodoCuando un movimiento es repetitivo, emplea un tiempo determi-nado para completar una vuelta o ciclo. Este tiempo se denominaperíodo (T) y su unidad de medida es el segundo [s], en el S.I.Así, cualquier objeto que se mueva en trayectoria circular realizauna vuelta o una revolución en un tiempo T. Desde el punto devista de las unidades angulares, se puede decir también que en unperíodo, el móvil describe un ángulo de 360° ó 2π rad.Por otra parte, si un objeto realiza un movimiento circular uniforme,entonces su período de revolución es constante, es decir, demoralo mismo en dar cada vuelta.Ejemplo 2Supongamos que nuestro planeta describe una órbita circularen torno al Sol, con movimiento circular uniforme.a) ¿Cuánto demora nuestro planeta en realizar una vuelta entorno al Sol? Expresa el resultado en segundos.a: Tenemos que calcular el período de revolución de la Tierraen torno al Sol. Como sabemos, nuestro planeta demora unaño en completar una traslación, lo cual equivale a 365,25días. De esta manera:T = 365,25 díasT = 365,25 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60sT = 3,16 ⋅ 107sLa frecuenciaEl concepto de frecuencia es una idea muy intuitiva y de sentidocomún. Por ejemplo, cuando preguntamos: “¿Con qué frecuenciapasan los trenes?”, una posible respuesta sería: “Pasan 3 trenescada diez minutos”. Otro ejemplo se da cuando preguntamos:“¿Cuántas veces has ido al estadio este año?”. En este caso, larespuesta puede ser: “4 veces en el año”.En los ejemplos anteriores, se indica una cierta cantidad respectoa un intervalo de tiempo. En casos como estos usamos el conceptode frecuencia.Figura 1.6. El reloj analógico indica10 h: 15 min: 37 s. Cuando el mi-nutero avance hasta 45 min, ha-brá efectuado un desplazamien-to angular ∆θ = −180°=−πrad.El valor negativo del desplazamientoaparece por la convención de medir losángulos positivos en sentido antihorarioa partir de un eje de referencia. Estaconvención permite distinguir haciadónde apunta el vector velocidad an-gular. En el caso del reloj analógico,el giro se realiza en sentido horario,por lo que ωapunta hacia dentro(entrando a la página). Esto lo pode-mos corroborar aplicando la regla dela mano derecha.La característica más importante delmovimiento circular uniforme es que elvector velocidad angular ωes constante.Esto quiere decir que tanto su magnitudo módulo, como su dirección y sentidopermanecen invariantes. En consecuencia,el plano de giro es siempre el mismo.En particular, en un movimiento cir-cular uniforme, como definimos enlas ecuaciones (1.10), el módulo de lavelocidad angular, es siempre positivoy constante:ω θω π= ∆∆=tradT2(1.12)hmsFISICA_2010_OK.indd 18 21/7/10 17:03:41
  19. 19. 19Capítulo 1: Movimiento CircularPara el caso del movimiento circular, no utilizaremos las expre-siones comunes como “veces de ida al estadio” o “trenes quepasan por la estación”, sino que prestaremos nuestra atenciónal número de vueltas o revoluciones que realizan los objetos enmovimiento.La frecuencia se puede obtener de dos maneras: 1) contando elnúmero de vueltas en un determinado tiempo, ó 2) calculando el re-cíproco del periodo, ya que en un periodo se efectúa una vuelta:fT= 1 (1.13)La unidad de medida de la frecuencia en el sistema internacionales el hertz [Hz], cuyo significado operacional es el siguiente:Hz vueltassrevolucioness s[ ]= = = 1(1.14)Ejemplo 3Nuevamente, supongamos que la Tierra describe una órbitacircular en torno al Sol, con movimiento uniforme.a) ¿Cuál es la frecuencia de revolución de nuestro planeta entorno al Sol?a: De acuerdo a nuestra respuesta en el Ejemplo 2, el periodode traslación de la Tierra alrededor del Sol es T = 3,16 ·107s.Entonces:fTfsf vueltass==⋅= ⋅ = ⋅−113 16 103 16 10 3 16 1078,, , −−8HzEn conclusión, cuando preguntamos por la frecuencia, esta-mos preguntando por el número de vueltas en una unidad detiempo.Una unidad de uso común en máquinas eléctricas y mo-tores de todo tipo es rpm, que significa revoluciones porminuto. ¿Qué concepto de los que has aprendido mideesta unidad? ¿Por qué?Otra característica del M.C.U. es que elmódulo de la velocidad tangencial vesconstante. Es decir, la rapidez instantáneaes constante.De acuerdo a esto, no tiene sentido hablarde la rapidez tangencial media, ya quela rapidez es la misma en todo instantede tiempo.Por lo tanto, en el M.C.U. el módulo dela velocidad instantánea coincide con larapidez tangencial media y no hacemosdistinción entre ellas. Por esta razón, enel ejemplo 1 usamos los símbolos ω y v,en vez de escribir ωm y vm.Figura 1.7. Obsérvese que si bien lavelocidad tangencial tiene siempre elmismo módulo o magnitud, su sentido ydirección cambian en todos los puntosde la trayectoria.Frecuencia y rapidez angular son con-ceptos totalmente distintos. De acuerdoa las ecuaciones (1.12), se relacionanentre sí de la siguiente manera:ω π= 2 f (1.15)vʼʼvʼvSección 1: Movimiento circular uniformeFISICA_2010_OK.indd 19 21/7/10 17:03:54
  20. 20. Física 3° Año Medio20MecánicaActividad de profundización¿Cómoserelacionalafrecuenciadepedaleodeunciclistaconlarapidezmediadesumovimiento?Para realizar esta actividad, se necesita lo siguiente: una bicicleta,una huincha de medir de al menos 1 metro y un reloj.Según la disponibilidad de bicicletas en el curso, reúnete con algu-nos compañeros y compañeras (entre 2 y 5, idealmente) y formenun equipo de trabajo.a) Reflexionen sobre esta pregunta: ¿Cómo se relaciona la fre-cuencia de pedaleo de un ciclista con la rapidez media desu movimiento? Como equipo, planteen una hipótesis pararesponder.A continuación, realicen el siguiente experimento: un estudiante re-corre en bicicleta una trayectoria rectilínea de largo conocido. Puedenmarcar dos puntos en el patio del colegio y medir la distancia entreellos. Es muy importante que el ciclista no pase cambios, que realiceun pedaleo constante y que cuente el número de veces que pedaleó.El resto del equipo mide el tiempo que su compañero demora en irde un punto a otro y se asegura de que siga una trayectoria rectilíneacon rapidez aproximadamente constante.Analicen el funcionamiento del sistema de transmisión de la bicicleta,que se puede observar en la imagen 1.2, y respondan:b) ¿Cómo se relaciona la rapidez tangencial del plato (vplato) con larapidez tangencial del piñón (vpiñón)? Expresen esta relación mate-máticamente.c) ¿Cómo se relaciona la rapidez angular del plato (ωplato) con la rapidezangular del pedaleo (ωpedaleo)? Expresen esta relación matemática-mente.d) ¿Cómo se relaciona la rapidez angular del piñón (ωpiñón) con larapidez angular de la rueda (ωrueda)? Expresen esta relación mate-máticamente.e) Considerando estas relaciones y a partir de las medidas de los radiosdel piñón (Rpiñón), del plato (Rplato) y de la rueda (Rrueda), usen la fre-cuencia de pedaleo medida para calcular la rapidez tangencial de larueda trasera de la bicicleta.f) ¿Cómo se relaciona la rapidez tangencial de la rueda con la ra-pidez del ciclista? A partir de su respuesta, evalúen la validez desu hipótesis.RplatoRpiñónImagen 1.2FISICA_2010_OK.indd 20 21/7/10 17:04:07
  21. 21. 21Capítulo 1: Movimiento CircularEvaluación intermediaPARTE I: Problema de planteamiento1 Apartir de la imagen de la actividad de profundización, determina la relación matemática entre la rapidezangular del pedaleo y la rapidez angular de las ruedas, en función de los radios del piñón (Rpiñón) y delplato (Rplato).PARTE II: Análisis2 A partir del problema anterior:a) Expresa la distancia recorrida en función del número de vueltas, Rplato, Rrueda y Rpiñón.b) Si el radio Rrueda = 6 Rplato y Rplato = 3 Rpiñón ¿Qué distancia medida en unidades Rrueda recorre la bici-cleta en 20 pedaleos?Indagación N°3¿CómoseríalatrayectoriadelaTierrasielSoldesapa-recierarepentinamente?Para responder la pregunta planteada en el título de esta actividad,se propone la siguiente hipótesis:La trayectoria de la Tierra no cambia, sino que mantiene sumovimiento, aproximadamente, circular y uniforme.¿Cómo podemos poner a prueba esta hipótesis?a) Junto a un compañero o una compañera, diseñen un procedi-miento experimental que les permita, a través de un modelo,poner a prueba la hipótesis para evaluar si es una explicaciónaceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimentaly describan brevemente, pero con precisión, el procedimientoque sugieren.Procuren que el procedimiento experimental propuesto seafactible de realizar en una hora de clases; es decir, que inclu-ya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción ytiempos razonables para la observación y el análisis de susresultados.b) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según lasindicaciones que les dé su profesor(a).Sección 1: Movimiento circular uniformeImagen 1.3Recuerda que un modelo es una representaciónsimplificadadelfenómenoqueseintentaexplicar,que incorpora sus principales características y,en especial, las variables medibles.FISICA_2010_OK.indd 21 21/7/10 17:04:24
  22. 22. Física 3° Año MedioMecánica22La aceleración centrípetaEn un movimiento circular cualquiera, la aceleración puede teneruna componente en dirección tangencial a la circunferencia y otracomponente en dirección radial y dirigida hacia el centro de latrayectoria. A la primera se le llama aceleración tangencial y ala segunda, aceleración centrípeta.La aceleración tangencial se manifiesta como un cambio en elmódulo de la velocidad tangencial, mientras que la aceleracióncentrípeta aparece como un cambio en la dirección y sentido dela velocidad.En un movimiento circular uniforme, debido a que el módulo dela velocidad tangencial es constante, solo existe una aceleraciónque cambia la dirección y el sentido de la velocidad, es decir, laaceleración centrípeta.El cambio del vector velocidad tangencial apunta hacia el centrode curvatura, al igual que la aceleración centrípeta ac( ).El vector aceleración centrípeta y elcambio del vector velocidad tangencialse relacionan de la siguiente forma:a vtc = ∆∆(1.16)La ecuación (1.16) implica que el vectoraceleración centrípeta tiene la mismadirección y el mismo sentido que elcambio de velocidad.Figura 1.9. ∆res el cambio de po-sición de un móvil en M.C.U. en unintervalo de tiempo muy pequeño. ∆vcorresponde al cambio de velocidaden el mismo intervalo.De acuerdo a la Figura 1.9, en el M.C.U.se cumplen las siguientes condiciones:r r rv v vi fi f  = == =(1.17)Además, r v ⊥ en todo momento, por lotanto:  ∼AOB A O B′ ′ ′ (son triángulossemejantes).(Continúa en la página 23)Figura 1.8. Si se considera el cambio de velocidad, ∆ = −v v vf i  , queexperimenta un móvil en un pequeño intervalo de tiempo ∆( )t , se ve que∆ves radial y está dirigido hacia el centro curvatura. La aceleración, porlo tanto, también tiene esa dirección y sentido, y por eso se denominaaceleración centrípeta.rfrivivf-vivfΔvfviv��������fviv�v�ir���r����frFISICA_2010_OK.indd 22 21/7/10 17:04:45
  23. 23. 23Capítulo 1: Movimiento CircularDe acuerdo a la ecuación (1.26), para determinar la aceleracióncentrípeta se puede utilizar la siguiente relación:a vrc =2(1.18)Ahora, si recordamos que (1.9), podemos deducir que la aceleracióncentrípeta también puede ser determinada como:a rc = ⋅ω2 (1.19)La fuerza centrípetaEn la mecánica de Newton, los cambios en el movimiento sonexplicados por medio de fuerzas de interacción. En particular,la segunda ley establece que la fuerza neta, es decir, la suma detodas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es proporcional a laaceleración del cuerpo:F F maneta  = =∑ (1.20)Considerando solo el módulo de los vectores, también podemosescribir la ecuación (1.20) como:F maneta = (1.21)En un movimiento circular, la fuerza que permite este tipo detrayectoria es la fuerza que apunta hacia el centro de curvatura yla denominamos fuerza centrípeta.De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza centrípetaprovoca una aceleración centrípeta y, por lo tanto, en términos desus módulos, la ley se puede expresar de la siguiente forma:F mac c= (1.22)Ejemplo 4En el contenido de física de 2º medio, aprendimos que el radioorbital medio de la Tierra alrededor del Sol es de 1,49 · 1011 my su masa es de 5,98 · 1024 Kg.a) ¿Cuál es la aceleración centrípeta y la fuerza centrípetaque ejerce el Sol sobre la Tierra?b) De acuerdo a este resultado, ¿nuestro planeta puede serconsiderado como un sistema inercial?(Continuación)Dadas las condiciones geométricas delas ecuaciones (1.17) en la Figura 1.9y la relación de semejanza entre lostriángulos AOB y  ′ ′ ′A O B , pode-mos ver que:∆=∆vvrr (1.23)Al sustituir a vtc = ∆∆, en la ecuación(1.23), se obtiene:a tvrra r vr ta rtvra v vrvrcccc⋅ ∆= ∆= ∆ ⋅⋅ ∆= ∆∆⋅= ⋅ =2(1.24)Donde hemos simplificado la notación,ya que:a ar rc c=∆ = ∆(1.25)Es decir, en términos de magnitudespodemos escribir el módulo de la ace-leración centrípeta como:a vrc=2(1.26)Por lo tanto, la magnitud o módulo dela aceleración centrípeta es constanteen un M.C.U.Sección 1: Movimiento circular uniforme∑ es la letra griega “sigma” y se usapara representar una sumatoria.FISICA_2010_OK.indd 23 21/7/10 17:05:02
  24. 24. Física 3° Año MedioMecánica24a: Para determinar la aceleración centrípeta, necesitamos saberla rapidez angular o la rapidez tangencial de la Tierra conrespecto al Sol.Usando el resultado del Ejemplo 2 para el periodo detraslación de nuestro planeta, se obtiene lo siguiente:ω θω πω π= ∆∆==⋅= ⋅ −tradTradsrad223 16 101 99 1077,,ssDe acuerdo a la ecuación (1.19), la aceleración centrípetaes:a ra radsmaccc= ⋅= ⋅( ) ⋅ ⋅=−ω272111 99 10 1 49 105 9, ,, ⋅⋅ −10 32msCon este resultado podemos determinar el módulo de lafuerza centrípeta:F maF kg msFc ccc== ⋅ ⋅ ⋅= ⋅−5 98 10 5 9 103 53 1024 322, ,, 22Nb: Observamos en el resultado anterior que la aceleracióncentrípeta tiene un valor muy bajo con respecto a la ace-leración de gravedad (9,8 m/s2) por ejemplo, de modo quela aceleración experimentada por la Tierra en su traslaciónes prácticamente cero. Esta es la razón por la que nuestroplaneta puede ser considerado un sistema aproximadamenteinercial.En cambio, la fuerza centrípeta alcanza un valor muygrande, ya que se necesita una gran fuerza para mantenerel planeta en órbita.Si la fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra es tan grande,¿por qué nuestro planeta se acelera tan poco?Figura 1.10. La fuerza de gravitaciónactúa sobre la Tierra como una fuerzacentrípeta y provoca su órbita alrededordel Sol. La intensidad de la fuerza esrelativamente grande, en cambio, laaceleración que experimenta el planetaes pequeña. La explicación de estadiferencia se relaciona con la granmagnitud de la masa de la Tierra.FcFcFacAunque comúnmente se menciona lafuerza centrífuga, en el contexto dela mecánica newtoniana esta fuerzano existe, ya que solo se trata de unefecto inercial.FISICA_2010_OK.indd 24 21/7/10 17:05:15
  25. 25. 25Capítulo 1: Movimiento CircularAlgunos casos de fuerza centrípetaUNA CURVA CON ROCECuando un automovilista se encuentra en la carretera con unacurva, señales reflectantes en la orilla del camino le adviertensobre el peligro que significa exceder la velocidad límite impuestapor las leyes del tránsito. Exceder la velocidad límite significaríasalir derrapando en la dirección tangente al camino, ya que hayuna velocidad sobre la cual se pierde el soporte físico que generael rozamiento entre los neumáticos y la carretera.Como se muestra en la Figura 1.12, en este tipo de curvas la fuer-za de roce actúa como fuerza centrípeta, es decir, F Fc r = , por loque de acuerdo a la 2a ley de Newton, la ecuación (1.22) se puedeescribir como:F maF m vrr cr==2 (1.27)Por otra parte, sabemos que el módulo de la fuerza de roce máximaes proporcional a la fuerza normal:F Nr = µ (1.28)Donde μ es el coeficiente de roce estático entre los neumáticos yel suelo. Relacionando las ecuaciones (1.27) y (1.28), tenemos:m vrNm vrmgv gr22===µµµ(1.29)Para obtener las ecuaciones (1.29), hemos usado N = mg, dado elequilibrio en la dirección vertical de las fuerzas que actúan sobreel automóvil, el peso y la fuerza normal.El resultado anterior corresponde a una velocidad límite a la cual elvehículo puede efectuar el movimiento circular, para un coeficientede roce dado, y que depende del radio de curvatura. Mientras máscerrada es la curva (menor radio) menor será la velocidad límitepermitida y mayor el riesgo.Figura 1.11. El peligro de superarla velocidad máxima permitida enuna curva se relaciona con la fuerzade roce necesaria para realizar latrayectoria.Figura 1.12. En la curva, la fuerza deroce actúa como fuerza centrípeta ymantiene al vehículo en movimientocircular. En la dirección vertical, actúansobre el automóvil el peso P( ) y lafuerza normal N( ). En la direcciónhorizontal, actúa la fuerza de roce Fr( )entre los neumáticos y el suelo.−vPNFrrvʼvʼʼ50Sección 1: Movimiento circular uniformeμ es la letra griega “mi” o “mu”.FrFISICA_2010_OK.indd 25 21/7/10 17:05:33
  26. 26. Física 3° Año MedioMecánica26Ejemplo 5Un automóvil tiene una masa de 1 600 kg y toma una curva enuna pista plana y sin pendiente de 40 m de radio. El coeficientede roce estático entre los neumáticos y la pista es μ = 0,5a) ¿Cuál es la velocidad máxima permitida que debería apa-recer en la señalización de advertencia?a: Para resolver, simplemente evaluamos la última de lasecuaciones (1.29)v grv msm ms== ⋅ ⋅ =µ0 5 10 40 14 142, ,Donde hemos usado g ms= 10 2 para simplificar el cálculo.El resultado indica que la velocidad máxima permitida debeser de 14 m/s (50,4 km/h), aproximadamente. Cualquiervelocidad superior a esta causaría un deslizamiento o de-rrapamiento del vehículo, por lo que saldría “patinando”en dirección tangente a la trayectoria.FUERZA CENTRÍPETA EN EL SISTEMA PLANETARIOUna manera interesante de relacionar la fuerza centrípeta con elSistema Solar es a partir de la ley de gravitación universal, en lacual se establece que el módulo de la fuerza con la que se atraendos objetos de masas m1 y m2 es directamente proporcional alproducto de las masas e inversamente proporcional al cuadradode la distancia que las separa, r. Es decir:F Gm mrG =⋅1 22(1.30)Donde G es la constante de gravitación universal cuyo valor esde G x NmKg= −6 67 10 1122,En el caso de los planetas, la fuerza de gravitación actúa sobreellos como una fuerza centrípeta y provoca su órbita alrededordel Sol. Por ahora, de manera aproximada podemos suponer queel movimiento planetario es circular y uniforme.FISICA_2010_OK.indd 26 21/7/10 17:05:47
  27. 27. 27Capítulo 1: Movimiento CircularFigura 1.13. Al igual que los planetas interactúan gravitacionalmentecon el Sol, la Luna también experimenta la atracción gravitacional de laTierra. Sin embargo, de acuerdo con la ley de acción y reacción, si laTierra atrae a la Luna con una fuerza FG , el satélite también atrae alplaneta con una fuerza igual, pero de sentido opuesto, −FG .En el caso del sistema Tierra-Luna, la fuerza de gravitación actúacomo fuerza centrípeta sobre la Luna debido a la acción a distanciade la Tierra.En el caso de un planeta cualquiera y el Sol, suponiendo una órbitacircular, podemos establecer la siguiente relación, de acuerdo alas ecuaciones (1.22) y (1.30)Gm mrm vrGmrvmsol planeta planetasolsol⋅=⋅==222vvGr2⋅(1.31)Este resultado implica que podemos conocer la masa del Sol co-nociendo la velocidad tangencial del planeta y su radio orbital.Por ejemplo, ya que sabemos la velocidad angular de la Tierra yel radio de su órbita, podemos obtener su velocidad tangencial deun modo muy sencillo, haciendo uso de la ecuación (1.9) y conese resultado, usar las ecuaciones (1.31) para calcular la masadel Sol.Si el radio medio de la órbita terrestre es de 1,49 · 1011 m,¿cuál es la masa del Sol?Figura 1.14. Masas y radios orbitalesmedios de los planetas del SistemaSolar, relativos a los valores de laTierra. La masa de la Tierra es de5,9736 · 1024 kg y una UnidadAstronó-mica (UA) corresponde aproximada-mente a su distancia media al Sol, esdecir, 1UA = 149 597 870 km.Figura 1.15. La atracción gravitacionaldel Sol sobre la Tierra actúa como unafuerza centrípeta y provoca la órbitacurvilínea del planeta.FGFcFcFSección 1: Movimiento circular uniformeMercurioVenusTierraMarteJúpiterSaturnoUranoNeptuno-FGvPlaneta MasaRadioorbital(UA)0,06 0,380,82 0,721,00 1,000,11 1,52318 5,2095 9,5414,6 19,2217,2 30,06FISICA_2010_OK.indd 27 21/7/10 17:06:00
  28. 28. Física 3° Año MedioMecánica28LAS BOLEADORASUna boleadora es un arma manual muy antigua que consiste en unproyectil sujeto en el extremo de una bolsa atada a una cuerda, laque se hace girar en torno a la cabeza con el fin de provocar unagran velocidad tangencial para el lanzamiento del proyectil.En este caso, la fuerza mecánica que opera sobre el proyectil esla fuerza de tensión de la cuerda y una de sus componentes actúacomo fuerza centrípeta.Figura 1.17. Ejemplo de boleadorausada por habitantes de pueblossudamericanos originarios.Figura 1.18. Un antiguo habitante dela Patagonia usa una boleadora paraatacar un puma.masatrayectoria circularFCPrTFigura 1.16. En la figura se muestra esquematizado el movimiento deuna boleadora y las fuerzas que actúan sobre la masa en el extremodel cordel. La imagen muestra que una parte de la tensión actúa comofuerza centrípeta.En la Figura 1.16, se puede observar que la componente de latensión que actúa como fuerza centrípeta es:F Tc = ⋅senθ (1.32)Por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (1.22), en términos delmódulo de la tensión, podemos escribir:T mvr⋅ =senθ2(1.33)Por otra parte, el equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la masaen la dirección vertical implica que:T mg⋅ =cosθ (1.34)θFISICA_2010_OK.indd 28 21/7/10 17:06:18
  29. 29. 29Capítulo 1: Movimiento CircularDividiendo entre sí las ecuaciones (1.33) y (1.34), se puede obtenerlo siguiente:tanθ =⋅vr g2(1.35)Este resultado indica que mientras más grande es el ángulo dela fuerza de tensión respecto a la vertical, mayor es la velocidadtangencial con la que puede ser liberado el proyectil.De manera inversa, se puede ver que la velocidad de lanzamien-to del proyectil depende de la fuerza de tensión que ejerza lapersona que hace girar la boleadora. Así, mientras mayor es lafuerza, mayor es el ángulo de elevación mencionado y mayor esla velocidad de disparo.Ejemplo 6Un estudiante hace girar una goma de borrar atada al extremode un hilo. La masa de la goma es de 0,03 kg. Mientras la gomagira con M.C.U., el estudiante mide un ángulo de 60° del hilocon respecto a la vertical, y un radio de giro de 0,5 m.a) Cuando el estudiante suelta el hilo, ¿cuál es la velocidadtangencial de salida del proyectil?b) ¿Cuál es la tensión ejercida sobre el proyectil a través dela cuerda?a: Para determinar la velocidad, utilizamos la ecuación(1.35):tantan, , tan º ,θθ=⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ =vr gv r gv mms220 5 9 8 60 2 991msb: Para obtener la fuerza de tensión, podemos reemplazar elresultado anterior en la ecuación (1.33) o usar la ecuación(1.35):T mgTmgkgms⋅ == =⋅=coscos, ,cos,θθ0 03 9 8600 5882NNSección 1: Movimiento circular uniformePara dividir las ecuaciones 1.33 y 1.34procedemos de la siguiente manera:T mvrT m g⋅ =⋅ = ⋅senθθ2cosDividiendo miembro a miembro estesistema de ecuaciones, tenemos:TTmvrm gvr g⋅⋅=⋅=⋅sensenθθθθcoscos22(1.36)La razónsenθθcoscorresponde a lafunción tangente del ángulo:tanθ =⋅vr g2FISICA_2010_OK.indd 29 21/7/10 17:06:44
  30. 30. Física 3° Año Medio30MecánicaContexto histórico de la físicaHasta Copérnico el movimiento de los cuerpos celestesse explicaba mediante el sistema de Ptolomeo. Se su-ponía que los cuerpos celestes se encontraban situadosen esferas huecas concéntricas a la Tierra, que girabancon distintas velocidades alrededor de la Tierra.Copérnico se planteó que, en vez de ser las esferaslas que giraban alrededor de la Tierra, podría ocurrirque la Tierra girara alrededor de su eje una vez al día.Sin embargo, el verdadero aporte de Copérnico fueel proponer que la Tierra no era el centro del mun-do, sino que la Tierra y todos los demás planetas semovían describiendo círculos alrededor del Sol. Estenuevo modelo permitía explicar fácilmente el aparentemovimiento de avance y retroceso que describen losplanetas en el firmamento.Aunque en nuestros días se acepta la tesis copernicana,ésta ha sido corregida. Las órbitas de los planetas no soncirculares, sino elípticas, como mostró Johannes Kepler(1571 – 1630), gracias al enorme y riguroso trabajo deobservación que había realizado Tycho Brahe (1546– 1601). Asimismo, el Sol, como los demás astros delfirmamento, también se mueve.Este hombre fue un revolu-cionario. Nació en Torun,Polonia, el 19 de febrero de1473 y murió el día 24 demayo de 1543. En el año1507, presentó su primeraexposición de un sistemaastronómico donde ubicabaal Sol en su centro y laTierra y los demás planetasgirando en torno a él.Fue criticado por filósofos y parte de la Iglesia, debidoa que negar que nuestro planeta fuera el centro delSistema Solar tenía consecuencias no solo científi-cas, sino también sociales y teológicas. Antes, el serhumano era el centro del Universo, de la creación.La teoría de Copérnico desechaba esta opinión, porlo menos desde un punto de vista astronómico.Muy pocos creyeron en sus teorías, pero quieneslo siguieron fueron los fundadores de la cienciamoderna: Johannes Kepler, Galileo Galilei e IsaacNewton, entre otros.La historia de las ideas es imbricada y compleja. El24 de febrero de 1616, una comisión de teólogosconsultores de la Inquisición censuró la teoría helio-céntrica de Copérnico, reafirmando la inmovilidadde la Tierra.El proceso empezó el 19 de febrero con la propuestade censura de una comisión de expertos, entre quienesno había ningún astrónomo. Luego, en una reuniónde la Congregación del Santo Oficio y por orden delpapa Paulo V, se inició la amonestación a Galileo(1564 – 1642), por la que se le exige que abandonela opinión de que la Tierra se mueve.En marzo del mismo año, la Congregación del Ín-dice prohíbe una serie de libros relacionados con elheliocentrismo y su validez desde un punto de vistateológico, y se suspende la obra copernicana Sobreel movimiento de las esferas celestiales hasta quesea “corregida”. Así, la obra maestra de Copérni-co permanecería en el índice de libros prohibidoshasta 1835.Años más tarde, el 22 de junio de 1633, a pesar de laprotección de la poderosa familia Medici, Galileo seráformalmente condenado por la Inquisición y forzadoa abjurar, de rodillas y bajo amenaza de torturas, dela teoría de Copérnico, calificada de herética.Así le decía Kepler a Galileo: “... Dadme las navesy adaptadme las velas al viento celeste; habrá genteque no tendrá miedo ni siquiera de cara a aquellainmensidad. Y para estos descendientes que ya den-tro de muy poco se aventurarán por estos caminospreparemos, oh Galileo, yo una astronomía lunar ytú una joviana”.FISICA_2010_OK.indd 30 21/7/10 17:06:51
  31. 31. 31Capítulo 1: Movimiento CircularApartir de la lista de conceptos relevantes (CR) y frases conectoras (FC), completa en tu cuaderno el mapaconceptual de la figura.Conceptos Relevantes (CR) Frases Conectoras (FC)A Radio I Mantiene constante suB Círculo II Se realiza en una trayectoriaC Frecuencia III DefinenD Velocidad Tangencial IV Que corresponde al módulodel vectorE Fuerza Centrípeta V Y en cada punto de ella existeunaF Aceleración Centrípeta VI Que, junto a unSíntesisRapidez Tangencial Rapidez AngularPeriodo de revolución5El cual define unaÁngulo de 2π7Velocidad Angular8Que corresponde almódulo del vector3Cuya variación en eltiempo define11Que corresponde alefecto de la 4Circunferencial910TangenteQue esperpendicular al2La cual define un16Movimiento CircularUniformeDesafíoCuando hayas terminado estaactividad, vuelve a leer el textode la sección, con mucha aten-ción, y genera tu propio mapaconceptual.Sección 1: Movimiento circular uniforme12
  32. 32. Física 3° Año Medio32MecánicaPreguntas y ejercicios propuestos1 En tus palabras, ¿qué relación se puede hacer entreel movimiento circular, Copérnico y la posicióndel ser humano en el Universo?2 Desde un punto de vista físico, ¿cuál es la prin-cipal característica de un movimiento circular?3 ¿Existe más de un tipo de velocidad en el movi-miento circular uniforme? ¿Por qué?4 ¿Qué son período y frecuencia en el movimientocircular?5 ¿Por qué una piedra que gira atada a una cuerdasale disparada tangencialmente y no radialmenteal soltarse la cuerda?6 Si un automóvil realiza un movimiento circularuniforme al doblar en una curva, ¿cambia suvelocidad? Explica.7 El segundero de un reloj analógico tiene unalongitud radial de 10 cm y describe un ángulo de45° en un tiempo de 7,5 s. (a) ¿Cuál es la medidadel ángulo expresada en radianes? (b) ¿Cuál esla rapidez angular del segundero? (c) ¿Cuál esla rapidez lineal de su extremo?8 ¿Cuál es la frecuencia de rotación de la Tierrasobre su propio eje?9 El ventilador de un secador de pelo gira a3 000 rpm. (a) ¿Cuál es la frecuencia de rotación,expresada en Hz? (b) ¿Cuál es su rapidez angular?(c) ¿Cuál es el periodo de giro del ventilador?10 Un satélite gira en una órbita circular alrededorde la Tierra a una altitud de 600 km sobre el ni-vel del mar, completando una vuelta respecto alcentro de la tierra en 70 minutos. ¿Cuánto vale laaceleración del satélite? (considera que el radiode la Tierra es de 6 400 km).11 Un planeta orbita según la trayectoria punteadaen la Figura 1.19 y en el sentido de la velocidadangular indicado. Dibuja la dirección y el sentidode los siguientes vectores, suponiendo que elmovimiento es uniforme: (a) Velocidad tangen-cial y aceleración centrípeta en A. (b) Velocidadtangencial y aceleración centrípeta en B.ABω12 En un movimiento circular uniforme, ¿cómo serelaciona la frecuencia (f) con la rapidez angular(ω) del movimiento?13 El reloj de la Figura 1.20 muestra tres punterosque corresponden a la hora (H), los minutos (M)y los segundos (S). ¿Cuál es la rapidez angularde cada uno de estos elementos?������Figura 1.2014 Una matraca gira con un movimiento uniforme,alrededor de un eje que pasa por el punto O,como se muestra en la Figura 1.21. Efectúa dosrevoluciones por segundo. Para los puntosAy Bde la barra, situados a las distancias rA = 0,2 m yrB = 0,3 m del eje de rotación, calcula las siguientesmagnitudes (considera π = 3,14): (a) El períodode revolución. (b) La rapidez angular de cada unoFigura 1.19FISICA_2010_OK.indd 32 21/7/10 17:07:45
  33. 33. 33Capítulo 1: Movimiento Circular(ωA y ωB). (c) La rapidez tangencial de cada uno(vA y vB). (d) La aceleración centrípeta de cadauno (acAy acB).BA0 ωvAvB15 De acuerdo al esquema de la Figura 1.22, dondese muestra el sistema de transmisión de unabicicleta, Rpiñón < Rplato. ¿Es correcto decir quela velocidad angular del plato es igual a la delpiñón? ¿Por qué?Figura 1.2216 Si el sistema de transmisión de la bicicleta quese muestra en la Figura 1.22 es impulsado por unciclista que pedalea con rapidez angular constan-te y a una frecuencia de 3 vueltas por segundo.Considerando que Rplato = 10 cm y Rpiñón = 4 cm,(a) ¿cuál es la rapidez tangencial del piñón? (b)¿Cuál es la rapidez angular del piñón? (c) Si elradio de las ruedas es de 50 cm, ¿cuál es la rapidezdel ciclista?17 ¿Cuál es la velocidad tangencial de una personaparada sobre el ecuador de la Tierra a nivel delmar?18 Suponiendo que la trayectoria de la Tierra alrede-dor del Sol es circunferencial, demuestra que elmódulo de la velocidad tangencial de traslación delplaneta es: v GMRrs= . Donde G es la constantede gravitación universal, Ms es la masa del Sol yR es la distancia entre la Tierra y el Sol.19 Una bola de 0,5 kg. de masa unida al extremode una cuerda cuya longitud es de 1 m se hacegirar cada vez más rápido, como una boleadora.Si la cuerda puede soportar una tensión máximade 50 newton, ¿cuál es la máxima rápidez quepuede alcanzar la bola antes de que la cuerda serompa?20 Un automóvil de 1 000 kg, da vuelta en una es-quina circular, a 25 km/h. Si el radio de giro esde 10 m, (a) ¿cuál es el valor de la aceleracióncentrípeta? (b) ¿Qué fuerza horizontal debe ejercerel roce del pavimento con los neumáticos paramantener el vehículo en trayectoria circunferen-cial? (c) ¿Cuál es el coeficiente de roce mínimoentre las ruedas y el pavimento necesario paraque el auto no se deslice?21 Una camioneta cargada tiene una masa de 2 500 kgy toma una curva circular en una pista plana ysin pendiente de 50 m de radio. El coeficiente deroce entre los neumáticos y la pista es μ = 0,5.¿Cuál es la máxima rapidez a la que la camionetapodría dar el giro sin resbalar?22 Un estudiante hace girar una goma de borrar atadaal extremo de un hilo. La masa de la goma es de0,02 kg. Mientras la goma gira con movimientocircular uniforme, el estudiante mide un ángulode 60° del hilo con respecto a la vertical y unradio de giro de 0,4 m. (a) En estas condiciones,¿cuál es la tensión ejercida sobre la goma a travésde la cuerda? (b) Si el estudiante suelta el hilo,¿cuál es la velocidad tangencial con que la gomade borrar sale disparada?Figura 1.21RpiñónRplatoSección 1: Movimiento circular uniformeFISICA_2010_OK.indd 33 21/7/10 17:07:59
  34. 34. Física 3° Año Medio34MecánicaEvaluación final de la secciónPARTE I: Anota en el recuadro el número de la magnitud que corresponde a la descripción o definicióndada.Magnitud Descripción o definición1 Ángulo descrito Cambio angular en el transcurso del tiempo.2 Arco recorrido Se mide en radianes en el S.I.3 Período de revolución Tiempo empleado en realizar una vuelta.4 Frecuencia Se mide en m en el S.I.5 Rapidez angular Es el recíproco del período.PARTE II: Indica si el enunciado es verdadero o falso. Expresa en tu cuaderno la justificación de tusrespuestas.V o F1 Si un auto recorre una curva pronunciada de la carretera a una velocidad superior a la máximapermitida, entonces derrapará.2 Un movimiento circular es uniforme si su aceleración y fuerza centrípetas permanecen cons-tantes.3 El planeta Tierra puede ser considerado un sistema inercial debido a que no acelera.4 Si el Sol desapareciera la Tierra continuaría con movimiento circular y uniforme por siempre.5 La dirección de la aceleración en un movimiento circular uniforme es siempre paralela a lafuerza centrípeta.PARTE III: Responde las siguientes preguntas, marcando la alternativa correcta.1 Un aspa se mueve con M.C.U., una aceleracióncentrípeta a0 y un período T0. Si se cambia elmotor al ventilador, aumentando su período a 2T0,¿Cómo cambia su aceleración centrípeta?a) Aumenta al doble de su magnitud.b) Disminuye a un medio de su magnitud.c) Aumenta al cuádruple de su magnitud.d) Disminuye a un cuarto de su magnitud.2 ¿Cuál de los siguientes movimientos puede sermodelado como movimiento circular?a) Traslación de un planeta en torno al Sol.b) Una piedra que se lanzó horizontalmentedesde la cima de un cerro.c) Un atleta corriendo los 100 m planos.d) El aterrizaje de un avión.3 ¿En cuál de los siguientes movimientos laaceleración es constante?a) Movimiento circular uniforme (M.C.U.).b) Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.).c) Movimiento uniformemente acelerado(M.U.A.).d) Movimiento circular acelerado (M.C.A.).4 Un automóvil está diseñado para moverse auna rapidez fija v0. Si cambia de una curvacircular de radio R a una de radio 2R, ¿Cómose ha modificado su aceleración centrípeta alpasar de una curva a la otra?a) Aumenta al doble.b) Disminuye a la mitad.c) Aumenta al cuádruple.d) Disminuye a la cuarta parte.FISICA_2010_OK.indd 34 21/7/10 17:08:05
  35. 35. 35Capítulo 1: Movimiento CircularIndagación N°4¿Cómogirarmásrápido?PARTE I. Trabajo personalEn las fotografías del movimiento de la patinadora (imagen 2.1), se puedever una secuencia de varios giros en los cuales ella mueve continuamentepartes de su cuerpo y adopta diferentes formas. Seguramente has obser-vado secuencias como esta, y has notado que la bailarina puede alcanzaruna alta rapidez de rotación.a) ¿Qué magnitud física aumenta durante su movimiento y qué magnituddisminuye?b) ¿Qué hace la bailarina para girar más rápido?PARTE II. Trabajo en equipoJunto a un compañero o una compañera, contrasten las respuestas dadasa las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas.A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto que dé respuesta ala segunda pregunta.Recuerden que una hipótesis es una explicación posible que se suponecierta hasta que pueda ser contrastada empíricamente. Por esta razón, esfundamental que la hipótesis se refiera a un número reducido de variablesobservables y de algún modo medibles, que eventualmente pueden sercontroladas en un experimento.a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles son lasvariables observables que pueden medir y/o controlar.b) Una vez planteada su hipótesis, diseñen un procedimiento experimentalque les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicaciónaceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimentaly describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento quesugieren.Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible derealizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materialesde fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la obser-vación y el análisis de sus resultados.c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indica-ciones que les dé su profesor(a).Imagen 2.1FISICA_2010_OK.indd 35 21/7/10 17:08:15
  36. 36. Física 3° Año Medio36MecánicaIndagación N°5¿Ruedahuecaoruedamaciza?¿Cuálganalacarrera?PARTE I. Trabajo personalImagina dos cilindros de igual forma y masa, pero uno es hueco y el otro es macizo (esdecir, relleno) como en la imagen 2.2. ¿Cuál de los cilindros rueda más rápido por unplano inclinado?a) Responde la pregunta anterior y plantea una hipótesis que explique el resultado deuna carrera entre los dos cilindros.PARTE II. Diálogo con argumentosa) Reúnete con un compañero o compañera para compartir sus hipótesis obtenidas en la parte I. Idealmente,procura que tu compañero(a) haya respondido a la pregunta al contrario que tú. Comenten sus hipótesis yargumenten a favor o en contra de ellas.A continuación, necesitan los siguientes materiales: un cilindro de cartón, como el tubo vacío de un rollo depapel higiénico; 6 barras de plasticina; un trozo rectangular de cartón rígido o de madera (1 m de largo y por 10cm de ancho, aproximadamente) que servirá como plano inclinado; una regla de 30 cm; 2,5 m de hilo y un relojcon cronómetro.PARTE III. Trabajo en equipoCorten el tubo de cartón en tres cilindros iguales. Luego, usen el hilo para confeccionar un “riel” por el cual sepuedan desplazar los cilindros por el plano inclinado. El hilo debe evitar que al rodar, los cilindros se desvíen.Para esto, ajusten dos líneas de hilo paralelas al plano inclinado a unos 2 cm de altura y separadas por unadistancia igual al ancho de los cilindros, de manera que estos rueden entre ellas.A continuación, distribuyan equitativamente las 6 barras de plasticina adhieriéndola en las dos bases de uno delos cilindros por el interior, como en el caso 1 de la imagen 2.2. No deben quedar restos sueltos de plasticina.Luego, dejen rodar el cilindro por el plano inclinado y midan la distancia que recorre. Realicen 5 lanzamientos,registrando el tiempo que demora en recorrer la distancia medida y contando el número de vueltas que ejecutadurante el movimiento. Para poder contar las vueltas del cilindro es imprescindible que la inclinación del planosea mínima (ajusten la pendiente hasta que puedan realizar la observación). Anoten estos datos en una tabla ycalculen un promedio para el tiempo y el número de vueltas.Repitan exactamente el mismo procedimiento anterior, pero cambiando la distribución de la plasticina en el interiordel cilindro de manera que ahora la plasticina se adhiera a la pared, es decir, a su manto como en el caso 2 de laimagen 2.2. En esta parte, es importante reutilizar la misma plasticina para no cambiar la masa del objeto.Para finalizar, analicen sus mediciones y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas:a) ¿Cuál es la diferencia de tiempo en el recorrido del cilindro entre los dos casos?b) ¿Cuál es la diferencia en el número de vueltas?c) ¿Cómo influye la distribución de masa del cilindro en su comportamiento rotacional?d) Comparen su respuesta anterior con sus hipótesis iniciales. ¿Con cuál de los dos casos se puede compararel movimiento de un cilindro macizo y el de un cilindro hueco? ¿Cuál rodaría más rápido?Caso 1 Caso 2plasticinaImagen 2.2FISICA_2010_OK.indd 36 21/7/10 17:08:21
  37. 37. 37Capítulo 1: Movimiento CircularMomento angular y su conservaciónEl momento angularEn cursos anteriores ya has estudiado el concepto de momentolineal ( p), expresión latina que en español significa cantidad demovimiento lineal.El momento lineal de un objeto es una medida de su “inercia demovimiento”, que es la propiedad que lo mantiene en movimientohasta que algo lo detiene o cambia su velocidad, y se puede calcularcomo el producto de la masa del objeto y su velocidad.Los objetos que giran también experimentan una “inercia derotación” que los mantiene girando hasta que algo los detieneo cambia su velocidad. Una medida de esta propiedad es lo quellamamos cantidad de movimiento angular o, simplemente, mo-mento angular ( L).Por ejemplo, una lata de bebida que rueda por una calle con pen-diente, la rueda de una bicicleta o una estrella alrededor del centrode la galaxia siguen girando hasta que algo las detenga. En estesentido, todos estos objetos tienen momento angular.El módulo del momento angular de un objeto en movimientocircular se relaciona con los módulos de su momento lineal y delradio de curvatura r de la trayectoria, de la siguiente forma:L r p= ⋅ (2.1)Sin embargo, considerando el módulo del momento lineal:p m v= ⋅ (2.2)De acuerdo a las ecuaciones (2.1) y (2.2), tenemos:L r m v= ⋅ ⋅ (2.3)La ecuación (2.3) también se puede escribir en términos de larapidez angular:L m r= ⋅ ⋅2ω (2.4)Es decir, el momento angular depende directamente de la masa delobjeto que gira, de su radio de giro y de su velocidad angular.Figura 2.1. Una lata de bebida querueda por una calle con pendiente, giray aumenta su momento angular.Figura 2.2. Las estrellas se mantienenen órbita alrededor del centro galácticoy tienen momento angular.2Sección 2: Momento angular y su conservaciónSecciónFISICA_2010_OK.indd 37 21/7/10 17:08:42
  38. 38. Física 3° Año MedioMecánica38Dos ventiladores idénticos se hacen girar simultáneamente.Si la rapidez angular que uno de ellos alcanza es el dobleque la del otro, ¿cuál tiene mayor momento angular?Es necesario destacar que las cantidadesinvolucradas en la definición del momentoangular tienen naturaleza vectorial.Es decir, el momento angular se puedeexpresar como un producto vectorial dela siguiente forma:L r p  = × (2.5)Como se muestra en la Figura 2.4, elmomento angular de un objeto es unvector perpendicular al plano de latrayectoria.Figura 2.3. Al girar, un CD tiene momento angular, al igual que las aspasque rotan en un ventilador. La dirección y sentido del vector momentoangular se puede determinar por medio de la regla de la mano derecha:el pulgar apunta en la dirección de L(ó de ω), cuando los dedos dela mano apuntan en el sentido de giro. Aquí se muestran los vectores ry pde un punto de masa en el borde del CD y de otro punto de masacasi en el extremo de las aspas del ventilador.Ejemplo 7Una piedra de 0,2 kg gira en una boleadora con un radio de50 cm y una velocidad angular de 2 rad/s.a) ¿Cuál es el módulo del momento angular de la piedra?a: Para resolver usamos la ecuación (2.4):L m rL kg mradsLkg ms= ⋅ ⋅= ⋅( ) ⋅=2220 2 0 5 20 1ω, ,,Apartir de este resultado, vemos que el momento angular se mideen unidades dekg ms2 en el Sistema Internacional de Unidades.Esta unidad de medida no recibe un nombre especial.LprtrayectoriaLvrωFigura 2.4. Les perpendicular alplano del movimiento, por lo tanto,mantiene la misma dirección que lavelocidad angular ω. La dirección deambos vectores se obtiene usando laregla de la mano derecha.LprrA Sentido del giropFISICA_2010_OK.indd 38 21/7/10 17:09:03
  39. 39. 39Capítulo 1: Movimiento CircularEjemplo 8En el ensayo de su baile, una bailarina hace girar dos boleadorassimultáneamente, como se muestra en la Figura 2.5. Ambasboleadoras giran con igual velocidad angular, cuyo módulo esω = 2rads, constante.a) ¿Cuál es el módulo del momento angular del sistema deboleadoras?Figura 2.5. La bailarina hace girar simultáneamente dos bole-doras. Las líneas punteadas representan las trayectorias de lasmasas. El plano del movimiento de ambas masas es el mismo yse ha pintado para evitar la ambigüedad debida a la perspectiva.En un sistema de varias masas en rotación, se puede calcularel momento angular total, sumando los momentos angularesindividuales.a: Como se trata de dos masas que rotan con igual velocidadangular, podemos calcular el módulo del momento angu-lar total del sistema compuesto por las dos masas, de lasiguiente forma:L L LL m r m rLtotaltotaltotal= += ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=1 21 122 22ω ω(( ), , ,m r m rL kg m ktotal1 122 2220 2 0 5 0 3⋅ + ⋅ ⋅= ⋅( ) +ωgg mradsLkg mstotal⋅( )( )⋅=0 6 20 315622,,Este desarrollo permite observar la aparición de una cantidadimportante en el estudio de las rotaciones, el producto de la masade un objeto en rotación y el cuadrado de su radio de giro. Estacantidad se denomina momento de inercia.El ejemplo 8 sirve para definir el momentoangular de un conjunto de partículas quegiran con igual velocidad angular.La generalización de L para n partículasque cumplen esa condición, se expresaasí:L m r m r m rn n= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅1 122 22 2ω ω ωEscrita con la simbología de sumatoria,esta expresión queda asíL m ri iin= ⋅( ) ⋅=∑ 21ω (2.6)L I= ⋅ω (2.7)El término I m ri iin= ⋅( )=∑ 21se denominainercia rotacional o momento de inerciade un sistema de n partículas.0,6 m0,3 kg0,5 m 0,2 kgSección 2: Momento angular y su conservaciónFISICA_2010_OK.indd 39 21/7/10 17:09:23
  40. 40. Física 3° Año MedioMecánica40Recuerda el modelo atómico de Bohr, en el que los electronesgiran en órbitas alrededor del núcleo. De acuerdo a estemodelo, ¿tienen momento angular los electrones en unátomo? ¿Por qué?La inercia rotacional o momentode inerciaCuando se analiza un movimiento traslacional y rectilíneo seconsidera a la masa del objeto como una medida de su inercia.Como ejemplo, si se aplica la misma fuerza a un camión y luegoa un auto, observamos que el auto acelera más que el camión. Eneste caso, decimos que el auto cambia su estado de movimientocon mayor facilidad ante la fuerza aplicada. En términos técnicos,el auto tiene menos inercia que el camión.Por lo tanto, la masa es una medida de la inercia de un cuerpo y es eneste sentido, una medida de su resistencia al cambio de velocidad.Análogamente, al hacer que un objeto sólido rote o se mueva entrayectoria curva, se observa una resistencia al cambio del movimientorotacional. Esta oposición del objeto al cambio de su rotación seconoce como inercia rotacional o momento de inercia. En otraspalabras, en el movimiento circular el momento de inercia cumpleel mismo rol que la masa juega en el movimiento rectilíneo.El momento de inercia lo encontramos en dos tipos posibles desistemas:SISTEMAS DE OBJETOSSe trata de objetos físicos que modelamos como si se tratara departículas que tienen toda su masa concentrada en un punto y quegiran con la misma velocidad angular a cierta distancia de un ejede giro. Este es el tipo de sistema que consideramos cuando el ejede giro no atraviesa el objeto.Por ejemplo, aunque para nosotros los planetas son enormes cuerposmasivos, su tamaño en relación al tamaño del Sistema Solar esen la práctica muy pequeño y por esta razón podemos modelar elmovimiento de los planetas como si se tratara de partículas cuyamasa se concentra en un punto.Modelar a los planetas como partículas es una simplificación físicaimportante, pero podemos lograr una muy buena aproximación asus movimientos de esta manera.Figura 2.6. Un equilibrista utiliza unavarilla de masa m para equilibrarse.Mientras más longitud tiene la varilla,mayor es su inercia rotacional y máscuesta hacerla rotar.Figura 2.7. En un móvil giratorio debebé podemos modelar el giro delos objetos alrededor del eje centralcomo si se tratara de partículas. Sinembargo, los objetos también giransobre sí mismos, alrededor de un ejeque los atraviesa. En esta rotación nopodemos considerarlos como partículas,sino como cuerpos extensos.FISICA_2010_OK.indd 40 21/7/10 17:09:36
  41. 41. 41Capítulo 1: Movimiento CircularPara este tipo de sistema usamos la ecuación (2.7), que define elmomento de inercia de un sistema de n partículas como:I m riin= ⋅=∑ 121(2.8)Donde mi son las masas de las diferentes partículas que forman elsistema y ri son sus radios de giro alrededor de un eje común. Estarelación indica que si varios objetos puntuales componen un sistema,el momento de inercia del sistema es la suma de los momentos deinercia de cada partícula respecto al mismo eje de rotación:I m r m r m r m r= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +1 122 223 324 42... (2.9)Si el sistema está compuesto de una única partícula que giraalrededor de un eje externo, entonces su momento de inercia sereduce a:I m r= ⋅ 2 (2.10)La ecuación (2.10) indica que el momento de inercia de un objetopuntual de masa m depende directamente del cuadrado de su radiode giro r. De esta manera, mientras más alejada del eje está lamasa, más esfuerzo se requiere para hacerla girar con la mismarapidez angular.En la Figura 2.8 se muestran dos sistemas de masasunidas a los extremos de fósforos de distinto largo. Silas cuatro pequeñas esferas de plasticina tienen igualmasa, ¿qué sistema tiene mayor inercia rotacional? ¿Porqué? ¿De qué depende esto?Figura 2.8. Las esferas de plasticina tienen la misma masa. Se usandos fósforos de distinto tamaño para confeccionar los sistemas con dosmasas. Los posibles ejes de rotación de cada sistema son infinitos.Figura 2.9. Las masas en este meca-nismo pueden ser modeladas comopartículas que giran alrededor deun eje común. ¿En cuál de las dossituaciones el momento de inercia delsistema compuesto por las dos masases mayor? ¿Por qué?Sección 2: Momento angular y su conservaciónFISICA_2010_OK.indd 41 21/7/10 17:10:02
  42. 42. Física 3° Año MedioMecánica42OBJETOS EXTENSOSSe trata de objetos sólidos y rígidos que giran sobre un eje queatraviesa sus contornos. Son objetos rígidos aquellos que no ex-perimentan deformaciones.Ejemplos de objetos extensos en rotación hay muchos a nuestroalrededor. El caso más directo, aunque tal vez no el más evidente,es la propia rotación de la Tierra alrededor del eje imaginario quela atraviesa de polo a polo. Si lanzas un martillo al aire o hacesgirar un trompo, verás también cuerpos rígidos en rotación.Para calcular el momento de inercia de un objeto rígido no esposible usar la ecuación (2.8) directamente, ya que este tipo decuerpo distribuye su masa en toda su extensión de distinta manera,de acuerdo a la geometría que posee.Así, por ejemplo, un cilindro sólido tiene mayor momento de inerciaque una esfera sólida del mismo radio y de igual masa.En general, cada cuerpo geométrico, regular o irregular, tiene supropia inercia rotacional. La técnica matemática para calcular lainercia de objetos sólidos y extensos pertenece al área del cálculodiferencial e integral. Para evitar este tipo cálculos, tenemos laFigura 2.11, que muestra algunos cuerpos geométricos comunesy sus respectivos momentos de inercia.Figura 2.10. Un gato es deformable,y por lo tanto, no es un cuerpo rígido.Cuando cae de espalda realiza con-torsiones en el aire modificando lainercia rotacional de su cuerpo hastaalcanzar una posición cómoda y segurade caída.EjeEjeEjeEjeEjeEjeEje EjeFigura 2.11. Momentos de inercia de algunos cuerpos geométricosrespecto a diferentes ejes de rotación.FISICA_2010_OK.indd 42 21/7/10 17:10:16
  43. 43. 43Capítulo 1: Movimiento CircularActividad de profundización¿Qué sucede con el momento angular si hay varioscuerposquerotanjuntos?Para realizar esta actividad, se necesita lo siguiente: una ruedade bicicleta y una silla que pueda rotar sobre su eje.Según la disponibilidad de sillas giratorias y ruedas de bicicletaen el curso, reúnete con algunos compañeros y compañeras (entre4 y 6, idealmente) y formen un equipo de trabajo.a) Reflexionen sobre esta pregunta: ¿Qué sucede con el mo-mento angular si hay varios cuerpos que rotan juntos? Comoequipo, planteen una hipótesis para responder.A continuación, realicen el siguiente experimento: el estudiantemás liviano se sienta en la silla y sostiene la rueda de la bicicletaverticalmente, con ambas manos puestas en el eje de la rueda(imagen 2.3). Dos compañeros(as) pueden sujetar la base de lasilla para que no se traslade, mientras otro estudiante da impulsoa la rueda para que gire. Luego, respondan:b) ¿En qué dirección y sentido está dirigido el momento angularde la rueda? Dibuja en tu cuaderno un esquema del movi-miento, indicando el vector momento angular de la rueda.A continuación, con la rueda en movimiento, el estudianteque está sentado debe inclinar el eje de rotación de la rueda,lentamente hasta que quede horizontal.c) Describe en tu cuaderno qué observas.d) ¿En qué dirección y sentido está dirigido el momento an-gular de la rueda? ¿En qué dirección y sentido está dirigidoel momento angular de la silla? Dibuja un esquema de lasituación.e) ¿Qué ocurre si la rueda se inclina hacia el otro lado? Dibujaun esquema de la situación.f) Exploren las posibilidades del experimento. ¿Qué ocurre sien vez de hacer girar la rueda, se empieza por hacer girar lasilla?g) Discutan sus respuestas y compárenlas con la hipótesis queplantearon.Para finalizar la actividad, preparen un informe sobre su trabajosegún las indicaciones de su profesor(a) y luego presenten a suscompañeros(as) cuáles fueron sus hallazgos.Sección 2: Momento angular y su conservaciónImagen 2.3FISICA_2010_OK.indd 43 21/7/10 17:10:37
  44. 44. Física 3° Año Medio44MecánicaEvaluación intermediaIndagación N°6¿Por qué las manillas de las puertas están ubicadas enelextremo?Para responder la pregunta planteada en el título de esta actividad, sepropone la siguiente hipótesis:Para abrir las puertas, se necesita menos fuerza cuando esta se aplicamás lejos del eje de rotación.¿Cómo podemos poner a prueba esta hipótesis?a) Junto a un compañero o una compañera, diseñen un procedimientoexperimental que les permita, a través de un modelo, poner a pruebala hipótesis para evaluar si es una explicación aceptable o debe serdescartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente,pero con precisión, el procedimiento que sugieren.Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factiblede realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso demateriales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonablespara la observación y el análisis de sus resultados.b) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indica-ciones que les dé su profesor(a).2 m 1,5 mNiño A: 30 kg Niño B: 40 kgRecuerda que un modelo es unarepresentación simplificada delfenómeno que se intenta explicar,que incorpora sus principalescaracterísticas y, en especial, lasvariables medibles.PARTE I. Problema de planteamiento1 Observa la siguiente imagen. Ella corresponde aun balancín giratorio.a) Encuentra los momentos de inercia de cadaniño y compáralos entre sí.b) Si el niño B gira con una rapidez tangencialde 4,5 m/s ¿Cuál es la rapidez angular delniño A?c) Considerando los valores obtenidos anterior-mente, ¿cuál es el módulo del momento an-gular total? (Sin considerar el travesaño)PARTE II. Análisis2 ¿De qué manera influye el largo distinto de cadabrazo del balancín en el equilibrio rotacional delos niños de distinta masa?FISICA_2010_OK.indd 44 21/7/10 17:10:56
  45. 45. 45Capítulo 1: Movimiento CircularTorqueEl torque mecánico (τ) es un concepto físico muy simple con el quenos encontramos frecuentemente en la vida diaria. Por ejemplo,al abrir una puerta, usar las pinzas, cortar con una tijera o usarun alicate, al mover los pedales de la bicicleta, y en cualquiermovimiento de nuestros brazos, ya que nuestro propio sistemalocomotor hace uso de variadas aplicaciones de torque.El concepto de torque se compone de las tres magnitudes que semuestran en la Figura 2.12: la fuerza aplicada ( F), el radio vector( r) y el ángulo entre estos vectores (φ ).Figura 2.13. Las aplicaciones deltorque en la vida cotidiana son muyfrecuentes.rLínea de acciónFigura 2.12. La fuerza Faplica un torque sobre la llave inglesa y provocala rotación que permite soltar la tuerca. Solo la componente perpendicularal radio (F F seny= ⋅ φ) hace que el sistema gire, la componente paralelano contribuye al torque.Cuando se ejerce fuerza sobre un cuerpo rígido que puede giraralrededor de un cierto eje gracias a un “pivote” o punto de rotación,y siempre que la línea de acción de la fuerza no pase por el pivote,entonces el cuerpo tiende a girar alrededor de ese eje. El torque es unamedida de la capacidad de una fuerza para provocar esta rotación.Si la fuerza y el radio vector son perpendiculares entre sí (φ = 90°),entonces se aplica un torque máximo. Este es el caso cuando seabre una puerta aplicando una fuerza perpendicular al plano de lapuerta.Además, este ejemplo es útil para comprender la influenciadel radio vector en el torque. ¿A qué distancia del eje de rotaciónde la puerta conviene aplicar la fuerza para realizar el menoresfuerzo al abrirla?Sección 2: Momento angular y su conservaciónFxFyFφτ es la letra griega “tau”.El ángulo φ entre ry Fse mide desdela dirección de rhasta F, en sentidopositivo según la convención matemática:los ángulos son positivos al medirlos ensentido anti-horario.rFISICA_2010_OK.indd 45 21/7/10 17:11:13
  46. 46. Física 3° Año MedioMecánica46De acuerdo a nuestra experiencia, mientras más lejos del eje derotación se aplica la fuerza, menor es el esfuerzo que implica abriruna puerta. Por eso, en general, las manillas se colocan en el ladoopuesto a las bisagras, para que el módulo del radio vector seamáximo y, de esta manera, aumentar el torque.El módulo del torque de una fuerza (F) se puede determinar porla siguiente relación:τ φ= ⋅ ⋅r F sen (2.11)De acuerdo a la ecuación (2.11) el torque se expresa en la uni-dad [N m].TORQUEY MOMENTO ANGULARComo aprendiste en segundo medio, la fuerza neta que actúa sobre uncuerpo es equivalente al cambio de momento lineal en un intervalode tiempo. En términos de los módulos de los vectores involucrados,podemos expresar esta relación del siguiente modo:Fpt=∆∆(2.12)Si reemplazamos esta definición en la ecuación (2.11), tenemos:τ φτ φτφ= ⋅ ⋅= ⋅−( )⋅=⋅ ⋅ −rptrp ptr pf if∆∆∆sensensen rr pti⋅ ⋅sen φ∆(2.13)Pero, al considerar la ecuación 2.5, el módulo del momento angularse puede expresar como:L r p= ⋅ ⋅sen φ (2.14)De modo que las ecuaciones (2.13) indican que:τ =−=L LtLtf i∆∆∆(2.15)Es decir, el torque produce un cambio o variación en el momentoangular del sistema mecánico, sea este un conjunto de partículaso un objeto rígido.Es necesario considerar que las cantidadesinvolucradas en la definición del torquetienen naturaleza vectorial. Es decir,en la ecuación (2.11) hemos usado losmódulos del radio vector ( r

×