COMPLEMENTO DE CÁLCULOD E P A R T A M E N T O   D E   C I E N C I A S   B Á S I C A S
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Calculo II

  1. 1. COMPLEMENTO DE CÁLCULOD E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S
  2. 2. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas INTRODUCCION VIRGINIO GOMEZ Ante las exigencias tales como innovación, calidad, normalización de productos, uso eficiente derecursos energéticos y el consiguiente tratamiento medioambiental, modernas metodologías en lafabricación de productos, gestión de la producción y control de procesos; debidas todas ellas al elevadonivel de competencia determinadapor la globalización de las economías, se requiere que Ud. posea unaformación de alto nivel en competencia técnica, evaluativa y de gestión, organizativa y mucho más. Es por ello que debe poseer las herramientas necesarias para desempeñarse en actividadesproductivas y de servicios de ingeniería. Algunas de ellas pueden ser generadoras de energía eléctrica, enlos sectores exportadores (minero-metalúrgico, celulosa y papel , agroindustrial, entre otros),transformación de materiales (siderurgia), consultoría, evaluación de proyectos, montajes industriales ymantención en sectores productivos. Es por tanto necesario un dominio a nivel de aplicación de conceptos involucrados para modelarfenoménos físicos o geométricos, tales como equilibrio y movimiento de los cuerpos (aplicados enmecánica -sólidos-, neumática -gases-, hidraúlica -líquidois- ) cuya representación corresponda a funcionesescalares o vectoriales de una o varias variables.
  3. 3. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas INDICE VIRGINIO GOMEZ Pág. I SUCESIONES Y SERIES Sucesiones ........................................................................................................... 3 Límite de una sucesión ......................................................................................... 4 Serie .................................................................................................................... 7 Serie geométrica .................................................................................................. 8 Serie p o hipergeométrica ................................................................................... 9 Teoremas sobre series ........................................................................................ 11 Criterio para establecer la convergencia de serie: criterio de comparación .................................................................. 13 criterio de la integral ..................................................................... 16 criterio de la serie alterna ............................................................... 19 criterio de la razón ....................................................................... 23 Serie de potencias ................................................................................................ 26 Serie de Taylor ................................................................................................... 30 II FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Funciones de más de una variable ...................................................................... 35 Dominio de funciones de dos variables ............................................................... 36 III DERIVADAS PARCIALES Derivadas parciales .................................................................................. 40 Derivación implícita ........................................................................................... 45 Regla de la cadena ........................................................................................... 48 Aplicaciones de las regla de cadena: problemas con enunciado ................................................................ 55 demostraciones .............................................................................. 59 Derivada direccional ......................................................................................... 62 Gradientes ......................................................................................................... 66 Derivadas parciales de orden superior ................................................................. 70 Máximos y mínimos para funciones de varias variables .................................... 73 Hessiano de una función de dos variables .......................................................... 73 Criterio de la segunda derivada .......................................................................... 73 Multiplicadores de Lagrange .............................................................................. 77 1
  4. 4. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas IV INTEGRACION MULTIPLE Gráfico en ‘ 3 : .................................................................................................... 82 VIRGINIO GOMEZ planos ...................................................................................... .... 82 esfera ........................................................................................... 86 cilindro ........................................................................................... 87 cono .............................................................................................. 89 paraboloide .................................................................................... 91 Integrales dobles .................................................................................................... 92 Propiedades de la integral dobles ....................................................................... 95 Aplicaciones de la integral doble: cálculo de áreas en el plano ........................................................... 98 determinar el valor de la región ‘ ................................................. 103 cálculo de volúmenes ..................................................................... 108 Cálculo de volúmenes ......................................................................................... 116 123 Coordenadas cilíndricas ..................................................................................... Coordenadas esféricas ........................................................................................ 128 V CAMPOS VECTORIALES Campos vectoriales ............................................................................................ 136 campo vectorial conservativo ............................................................ 137 campo vectorial conservativo en el plano ......................................... 137 Rotacional .......................................................................................................... 141 Campo vectorial conservativo en el espacio ...................................................... 141 Plano tangente y recta normal a una superficie .................................................. 146 VI ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones diferenciales .................................................................................. 150 Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separables ............................... 151 Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas ....................................................... 154 Ecuaciones diferenciales ordinarias .................................................................... 158 VII AUTOEVALUACIONES ................................................................................. 162 VIII BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................. 178 2
  5. 5. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Sucesiones VIRGINIO GOMEZnaturales a œ ™  b Concepto: Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los números Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por +8 œ 0 a8b, entonces una sucesión es elconjunto de parejas ordenadas de la forma a8 , 0 a8bb donde 8 −  Ejemplo: n 1) Si , f (n) = entonces: n+2 n 1 2 3 4 5 ... n f (n) 1 1 3 2 5 ... n 3 2 5 3 7 n+2 Los pares ordenados serán:  1  1  1  2  5  n  1 ,  ;  2 ,  ;  3 ,  ;  4 ,  ;  5 ,  ... n ,  ; ...  3  2  3  3  7   n+ 2 Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la notación { f (n)} = {a n } para representarla. En el ejemplo { f (n)} = {a n } = {a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 ,..., a n ,...} { f (n)} =   n  = 1 1 3 2 5  , , , , , ..., n  , ... n + 2  3 2 5 3 7 n+2  2) 0 a8b œ œ " si 8 es impar $ si 8 es par œ0 a8b œ œ"ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ 3
  6. 6. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas VIRGINIO GOMEZConcepto de Límite de una SucesiónSi para ε > 0 existe M > 0 talque a n − L < ε siempre que n > M , entonces { }se dice que el límite de la sucesión a n es L y se denota por : lim a n = Ln→∞Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CVy si no existe se dice que la sucesión es divergente DV.Límite de una Sucesión +Sea y = f (x ) una función real definida ∀ x ∈ ™ con lim f ( x) = L , x→∞entonces si { a n } es una sucesión tal que f (n) = a n ∀ x ∈ se tiene quelim an = Ln→∞ Ejemplos À Determinar si la sucesión es CV o DV 1) œ  8 8# 0 aB b œ H970 aBb œ ‘  Ö  # × B B# ™ © ‘  Ö  #× B B B " lim œ lim œ lim œ" BÄ_ B# BÄ_ B # BÄ_ #  " B B B 8 Por lo tanto, lim œ ", luego la sucesión es CV. 8Ä_ 8# 2) œ  "  &8$ #8$  %8 0 aB b œ H970 aBb œ ‘  Ö! × "  &B$ #B$  %B ™  © ‘  Ö!× 4
  7. 7. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas " &B$ " "  &B $  $ & & lim œ lim B$ B œ lim B$ VIRGINIO GOMEZ œ B Ä _ #B$  %B B Ä _ #B$ %B BÄ_ % #  $ # # B $ B B "  &8$ & Por lo tanto, lim œ , luego la sucesión es CV. 8 Ä _ #8$  %8 # 3) œ8 † =/8Š ‹ 1 8 0 aBb œ B † =/8Š ‹ H970 aBb œ ‘  Ö! × 1 B ™  © ‘  Ö!× B † =/8Š ‹ 1 lim œ_†! BÄ_ B =/8Š ‹ 1 œ lim B BÄ_ " B ! œ ! -9=Š ‹ 1 1  # œ Pw L lim B B BÄ_ "  # B 1 -9=Š ‹ 1 œ lim B BÄ_ " œ1 lim 8 † =/8Š ‹ œ 1 , luego la sucesión CV. 1 Por lo tanto, 8Ä_ 8 5
  8. 8. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas VIRGINIO GOMEZTeorema: Si {a n } y {bn } y son sucesiones CV y es c un número, entonces: a) La sucesión {c} tiene como límite c b) lim c ⋅ a n = c ⋅ lim an n→∞ n→∞ c) lim (a n ± bn ) = lim a n ± lim bn n→∞ n→∞ n→∞ d) lim a n ⋅ bn = lim an ⋅ lim bn n→∞ n→∞ n→∞ an lim a n lim n →∞ e) = si lim bn ≠ 0 n → ∞ bn lim bn n →∞ n →∞ Ejercicios Determine si la sucesión CV o DV a) œ  b) œ  c) œ  8" #8#  " 8#  " #8  " $8#  " 8 d) œ  e) œ  f) œ È8#  "  8  $8$ /8 " #8#  8 8 Solución a) CV b) CV c) DV d) DV e) DV f) DV 6
  9. 9. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Series VIRGINIO GOMEZ Concepto de Series Infinitas Si {a n } es una sucesión infinita, entonces : ∞ ∑ an = a1 + a2 + a3 + ... + a n + ... n =1 se llama serie infinita o simplemente serie. Los números a1 , a 2 , a3 ,..., a n,... se llaman términos de la serie infinita. Sea la siguiente sucesión de sumas parciales S1 = a1 S 2 = a1 + a 2 S 3 = a1 + a 2 + a3 M S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n ∞ Si {S n } = {S1 , S 2 , S 3 , L , S n } converge, entonces la serie ∑ an converge. n =1 Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas Sea " +8 una serie infinita dada y sea œW8  la sucesión de sumas parciales. _ 8œ"Si lim W existe y es igual a W , entonces la serie dada es convergente aCVb y S es la suma de la serie 8Ä_ 8y si lim W no existe, entonces la serie dada es divergente aDVb y la serie no tiene suma. 8Ä_ 8 ∞ Teorema : Si la serie ∑ an es CV, entonces lim a n = 0 n →∞ n =1 ∞ Teorema : Si lim a n ≠ 0 n →∞ , entonces la serie dada ∑ an es DV. n =1 Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como asímismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecenbajo que condiciones una serie dada CV o DV. 7
  10. 10. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Serie Geométrica VIRGINIO GOMEZ La serie Primer término ∞ ∑ a ⋅ r n = a + a ⋅ r + a ⋅ r 2 + a ⋅ r 3 + L + a ⋅ r n + L con a≠0 n =0 razón Se denomina serie geométrica donde a es el primer término y r es la razónTeorema À La serie geométrica " + † <8 de razón < converge a W œ _ + si, y sólo si, "< ¸ < ¸  " y diverge si, y sólo si, ¸ < ¸   " 8œ! Ejemplos Determine si las series son CV o DV +Ñ " 8 œ " Œ  _ " _ " 8 " <œ " # # # 8œ! 8œ! " Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ# " " # ,Ñ " Œ  _ & 8 & <œ " % % 8œ! Por lo tanto, la serie DV. -Ñ " Œ   _ " 8 " <œ  " # # 8œ! " # Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ " $ " # .Ñ " # † Œ   _ # 8 # <œ  " $ $ 8œ! # Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ # & " $ /Ñ " $ † Œ  _ 8 <œ " Por lo tanto, la serie DV. & & 8œ! 8
  11. 11. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas Serie p o serie Hiperarmónica VIRGINIO GOMEZ ∞ 1 1 1 1 La serie ∑ n p = 1+ 2 p + 3 p +L+ np +L n =1 se llama serie p con p>0 ∞ 1 1 1 1 Si p = 1 , entonces la serie ∑ n = 1+ + +L+ +L 2 3 n n =1 se denomina serie armónica. Teorema À La serie : " _ " es convergente si, y sólo si, :  " y es divergente si, y 8: 8œ" sólo si, !  : Ÿ " Ejemplos Determine si las series son CV o DV +Ñ " _ " :œ" Por lo tanto, la serie DV 8 8œ" ,Ñ " _ " :œ$ Por lo tanto, la serie CV 8$ 8œ" -Ñ " _ " " "Î$ :œ Por lo tanto, la serie DV 8 $ 8œ" .Ñ " _ " :œ1 Por lo tanto, la serie CV 81 8œ" /Ñ " $ _ È8% " % :œ Por lo tanto, la serie CV $ 8œ" 9
  12. 12. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas Ejercicios VIRGINIO GOMEZ I Decida si las siguientes series geométricas CV. o DV. "Ñ " 8 #Ñ " Œ   $Ñ " #Œ  _ % _ ( 8 _ ) 8 # $ & 8œ! 8œ! 8œ! _ a&b8 %Ñ " &Ñ " Ð  #&Ñ8 Ñ " _ $ _ Ð  ""Ñ8 $ 8œ! 8œ! 8œ! II Decida si las siguientes series : CV. o DV. "Ñ " #Ñ " $Ñ " _ " _ $ _ # "&8 "& %Î* 8œ" 8 œ "8 8 œ "8 %Ñ " &Ñ " Ñ " _ # _ % _ ( & &Î) "#Î& 8 œ "8 8 œ "8 8 œ "8 Solución I " ( 1) < œ ß la serie CV 2) < œ  , la serie DV # $ ) " 3) < œ ß la serie DV 4) < œ  ß la serie CV & "" 5) < œ  #&ß la serie DV 6) < œ & ß la serie DV II 1) : œ " ß la serie DV 2) : œ "& ß la serie CV % 3) : œ ß la serie DV 4) : œ &ß la serie CV * & "# 5) : œ ß la serie DV 6) : œ ß la serie CV ) & 10
  13. 13. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Teoremas sobre Series VIRGINIO GOMEZ Teorema 1: Si " +8 y " ,8 son dos series infinitas que difieren solamente en un número _ _ 8œ" 8œ"finito de términos, entonces ambas series CV o ambas series DV. Ejemplo: Determine si la serie " _ " es CV o DV 8" 8œ" " _ " " " " " " œ     ÞÞÞ   ÞÞÞ y 8" # $ % & 8" 8œ" " _ " " " " " " œ "      ÞÞÞ   ÞÞÞ 8 # $ % & 8 8œ" La serie " _ " equivale a la serie armónica, pero con un término menos. Como 8" 8œ" ! " es DV, entonces " _ _ " es también DV. 8œ" 8 8" 8œ" Teorema 2: Sea - una constante no nula: a) Si " +8 es CV y su suma es W , entonces " - † +8 œ - † " +8 es CV y su _ _ _ 8œ" 8œ" 8œ" suma es -WÞ b) Si " ,8 es DV, entonces " - † ,8 DV. _ _ 8œ" 8œ" Ejemplo: 1) " 8 œ " # † 8 œ # † " 8 _ # _ " _ " $ $ $ 8œ" 8œ" 8œ" " 8 es serie geométrica con < œ y por lo tanto CV. _ " " $ $ 8œ" " 8 es CV. _ # Así, $ 8œ" 11
  14. 14. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas 2) " œ " _ _ # $È 8 $ È8 # " † VIRGINIO GOMEZ 8œ" 8œ" " _ È8 " " es serie : con : œ y por lo tanto DV. # 8œ" Así, " _ È8 # es DV. $ 8œ" Teorema3: Si " +8 y " ,8 son series CV cuyas sumas, respectivamente, son A y B, _ _ 8œ" 8œ"entonces: a) " a+8  ,8 b es CV y su suma es A  B _ 8œ" b) " a+8  ,8 b es CV y su resta es A  B _ 8œ" Ejemplo: " Œ 8  8 œ " 8 " 8 _ " $ _ " _ $ # & # & 8œ" 8œ" 8œ" " 8 es CV y su suma es " _ " # 8œ" " 8 es CV y su suma es _ $ $ & % 8œ" Luego, " Œ 8  8  es CV y su suma es _ " $ ( # & % 8œ" Teorema 4: Si " +8 es una serie CV y " ,8 es una serie DV, entonces _ _ 8œ" 8œ" " a+8 „ ,8 b es DV. _ 8œ" 12
  15. 15. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias BásicasEjemplo: VIRGINIO GOMEZ " Œ 8  œ " 8  " _ & # _ & _ # ) *8 ) *8 8œ" 8œ" 8œ" " 8 es una serie geométrica con < œ y por lo tanto CV _ & " ) ) 8œ" " † es una serie : con : œ " y por lo tanto DV _ # " * 8 8œ" Luego, " Œ 8   es DV. _ & # ) *8 8œ" Criterios para establecer la convergencia de series infinitas A.- Criterio de comparación ∞ Sea ∑ an una serie de términos positivos: n =1 ∞ a) Si ∑ bn es una serie de términos positivos que es CV y a n ≤ bn ∀ n ∈ , entonces n =1 ∞ ∑ an es CV. n =1 ∞ b) Si ∑ bn es una serie de términos positivos que es DV y a n ≥ bn ∀ n ∈ , entonces n =1 ∞ ∑ an es DV n =1 Ejemplos: Determine si la serie CV o DV. "Ñ " _ " &8  " 8œ" &8  " Ÿ 8 a8 −  " "   &8  " 8 13
  16. 16. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas " œ " † serie armónica y por lo tanto DV _ " _ " " 8 8 VIRGINIO GOMEZ 8œ" 8œ" Luego, " _ " es DV &8  " 8œ" #Ñ " _ " 8#  % 8œ" 8#  %   8# a8 −  " " Ÿ # 8#  % 8 " # serie : con : œ # y por lo tanto CV _ " 8 8œ" Luego, " _ " #% es CV. 8 8œ" $Ñ " # _ 8 8 " 8œ" 8 " 8 8# " #8 " " " # # # " # & % $ " $ "! % " % "( ) & " & # "! 8 "   8#  " #8 " œ " † serie armónica y por lo tanto DV _ " _ " " #8 # 8 8œ" 8œ" Luego, " # _ 8 es DV. 8 " 8œ" 14
  17. 17. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas Ejercicios VIRGINIO GOMEZ Decida si la serie CV. o DV. "Ñ " #Ñ " 8 _ " _ " $( % $ 8œ" 8 8œ" $Ñ " %Ñ " _ " _ " 8œ" 8# 8œ" $8#  " &Ñ " _ È8  % " 8œ" Solución 1) CV 2) CV 3) DV 4) CV 5) DV 15
  18. 18. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas B) Criterio de la Integral de Cauchy VIRGINIO GOMEZ Sea y = f (x) una función continua, positiva, decreciente y definida ∀ x ≥ 1 , entonces la ∞ +∞ serie ∑ an es CV si la integral impropia ∫ f ( x)dx es CV y la n=1 1 ∞ +∞ serie ∑ an es DV si la integral impropia ∫ f ( x)dx es DV . n=1 1 Ejemplos: Determinar si la serie CV o DV. "Ñ " 8 † /8 _ 8œ" 0 aB b œ B † /  B 0 aBb es decreciente, positiva y definida a B   " ( ( _ , B † /B .B œ lim B † /B .B " ,Ä_ " ( B † / .B B ?œB Ê .? œ .B .@ œ /B .B Ê @ œ  / B ( B † / .B œ  B/  (  / .B B B B œ  B/B  /B  G B" œ G /B ( º , B" , lim B † /B .B œ lim ,Ä_ " ,Ä_ /B " ," "" œ lim  ,Ä_ /, / ," # œ lim  ,Ä_ /, / œ Pw L Œ lim ,  " #  ,Ä_ / / # œ /Por lo tanto, ( Þ Luego la serie " 8 † /8 es CV. _ # _ B † /B .B CV a " / 8œ" 16
  19. 19. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas#Ñ " _ E<->1 8 8#  " VIRGINIO GOMEZ 8œ" 0 aB b œ 0 aBb es decreciente, positiva y definida a B   " E<->1 B B#  " ( .B œ lim ( _ E<->1 B , E<->1 B #" .B " B ,Ä_ " B#  " ( E<->1 B " .B ? œ E<->1 B Ê .? œ .B B#  " "  B# ( .B œ ( ? .? E<->1 B B#  " ?# œ G # aE<->1 Bb# œ G # aE<->1 Bb# , ( º , E<->1 B lim .B œ lim ,Ä_ " B#  " ,Ä_ # " aE<->1 , b# aE<->1 "b# œ lim  ,Ä_ # # 1# 1# œ  ) $# $1 # œ $# Por lo tanto, ( Þ Luego la serie " # _ E<->1 B $1 # _ E<->1 8 .B CV a es CV. " B#  " $# 8 " 8œ" $Ñ " _ È " 8 œ " a8  "b 68a8  "b 0 aB b œ 0 aBb es decreciente, positiva y definida a B   " aB  "bÈ68aB  "b " ( .B œ lim ( _ , aB  "bÈ68aB  "b " aB  "bÈ68aB  "b " " .B " ,Ä_ ( ? œ 68aB  "b È68aB  "b " " aB  " b .B Ê .? œ .B B" 17
  20. 20. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas ( .B œ ( aB  "bÈ68aB  "b È? " " .? VIRGINIO GOMEZ œ ( ? # .? " œ # È?  G œ # È68aB  "b  G ( .B œ lim # È68aB  "b º , , aB  "bÈ68aB  "b " lim ,Ä_ " ,Ä_ " œ lim #È68a,  "b  #È68# ,Ä_ œ _  #È68# œ_ Por lo tanto, ( _ aB  "bÈ68aB  "b " .B DV Þ Luego la serie " " _ È68a8  "b " a8  " b es DV. 8œ" Ejercicios Determine si la serie CV o DV. "Ñ " #Ñ " _ " _ 8# #8  " $ 8œ" 8œ" 8 # $Ñ " %Ñ " _ " _ /"Î8 8 œ # 8 a688b # 8# 8œ" &Ñ " _ È8#  " " 8œ" Solución 1) DV 2) DV 3) CV 4) CV 5) DV 18
  21. 21. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas Series infinitas de términos positivos y negativos VIRGINIO GOMEZ Concepto: Si a n > 0 ∀ n ∈ , entonces: ∞ ∑ (−1) n ⋅ an = −a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + L + (−1) n ⋅ an n =1 y ∞ ∑ (−1) n+1 ⋅ an = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − L − (−1) n+1 ⋅ an n =1 Se denominan series alternas o series alternantes. Ejemplos: "Ñ " a  "b8 † œ      ÞÞÞ  a  "b8 † _ " " " " " " 8" # $ % & 8" 8œ" #Ñ " a  "b8  " † œ "      ÞÞÞ  a  "b8  " † _ " " " " " " 8 # $ % & 8 8œ"C.- Criterio de la serie alterna ∞ Si a n > 0 ∀ n ∈  , entonces las series alternas ∑ (−1) n ⋅ an y n =1 ∞ ∑ (−1) n+1 ⋅ an convergen si, y sólo si: n =1 a) 0 < a n +1 < a n ∀ n ∈  b) lim a n = 0 n→∞ 19
  22. 22. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas Ejemplos: VIRGINIO GOMEZ Determine si la serie CV o DV. "Ñ " a  "b8 † _ " $8 8œ" " " $ a8  " b +8  " œ +8 œ $8 " " +Ñ  a8 −  $8  $ $8 " ,Ñ lim œ! 8Ä_ $8 Por lo tanto, la serie CV. #Ñ " a  "b8  " † # _ " 8 " 8œ" " " a8  " b  " +8  " œ # +8 œ 8# " " " +Ñ  # a8 −  8#  #8  # 8 " " ,Ñ lim œ! Por lo tanto, la serie CV. 8Ä_8#  " Teorema: a) Una serie " a  "b8 † +8 " a  "b8  " † +8 se dice que es _ _ o 8œ" 8œ" Absolutamente Convergente aCVAb si la serie " +8 es CV. _ 8œ" b) Una serie " a  "b8 † +8 " a  "b8  " † +8 se dice que es _ _ o 8œ" 8œ" Condicionalmente Convergente aCVCb si la serie " +8 es DV. _ 8œ" 20
  23. 23. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas Ejemplos: VIRGINIO GOMEZ "Ñ " a  "b8 † 8 _ & % 8œ" & & +8  " œ +8 œ 8 % 8" % & & +Ñ  8 a8 −  % 8" % & ,Ñ lim œ! 8Ä_ %8 La serie " a  "b8 † 8 es CV. _ & % 8œ" " 8 œ " & † Œ  es una serie geométrica con < œ y por lo tanto, CV _ & _ " 8 " % % % 8œ" 8œ" Luego la serie " a  "b8 † 8 CVA _ & % 8œ" #Ñ " a  "b8  " † _ È8 " 8œ" È8  " È8 " " +8  " œ +8 œ È8  " È8 " " +Ñ  a8 −  È8 " ,Ñ lim œ! 8Ä_ La serie " a  "b8  " † _ È8 " es CV. 8œ" " œ " " es una serie : con : œ y por lo tanto, DV _ " _ " È8 " # 8œ"8 # 8œ" Luego la serie " a  "b8  " † _ È8 " CVC 8œ" 21
  24. 24. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Ejercicios VIRGINIO GOMEZ Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida,además, si es CVA. o CVC. "Ñ " Ð  "Ñ8  " † #Ñ " Ð  "Ñ8 † _ 1 _ 1 8" 8 #" 8œ" 8œ" $Ñ " Ð  "Ñ8 † %Ñ " Ð  "Ñ8  " † _ 1 _ 1 8œ" Ð8  "Ñ# 8œ# 8$  " &Ñ " Ð  "Ñ8  " † Ñ " Ð  "Ñ8  " † _ 1 _ 1 8 È8 $8  " 8œ" 8œ" Solución 1) CVC 2) CVA 3) CVA 4) CVA 5) CVA 6) CVC 22
  25. 25. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas D.- Criterio de la Razón o Criterio de DAlambert VIRGINIO GOMEZ ∞ Sea ∑ an una serie infinita donde : an ≠ 0 n =1 a n +1 y lim =ρ n→∞ a n entonces: a) cuando ρ < 1 , la serie CVA. b) cuando ρ > 1 , la serie DV. c) cuando ρ = 1 el criterio no da información.Ejemplos: Determine si la serie CV o DV. "Ñ " _ $8  " â 8# â 8! â $ â 8œ" â â â a8  " b ! â º ºœâ â œ º $ † $ † $ † 8! º œ $ 8 â 8" â +8  " â $ â a8  " b † 8 ! $ † $ â â +8 8 8" â 8! â $ lim œ!" 8Ä_ 8" Por lo tanto, " _ $8  " CV 8! 8œ" a#8b! #Ñ " a  "b8 † _ â â 8 â a#8  #b! â 8œ" â â â â a#8  #b † a#8  "b † a#8b! º œâ 8" º â ✺ º +8  " 8 a#8b! â a#8b! â â † â â +8 8" 8 %8$  8#  #8 œ 8" 8$ 8# 8 $ # %8  8  #8 %  # lim œ lim 8 8 8 8Ä_ 8" 8Ä_ 8 "  8 8 23
  26. 26. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas œ lim %8#  8  # 8Ä_ " " VIRGINIO GOMEZ 8 _ œ " œ_" a#8b! Por lo tanto, " a  "b8 † _ DV. 8 8œ" $Ñ " a  "b8 † $ _ #8 8 8œ" â â â #8  " â â â â â a8  " b $ º ºœâ ✺ # †# † 8 º 8 â â +8  " $ â â â â #8 #8 Š8  "‹ +8 â â $ 8$ #8$ œ $ 8  $8#  $8  " 8$ #8$ # lim œ lim 8$ 8Ä_ 8$  $8#  $8  " 8Ä_ 8$ 8# 8 " $ $ $ $ $  $ 8 8 8 8 œ lim # 8Ä_ $ $ " "  #  $ 8 8 8 œ#" Por lo tanto, " a  "b8 † $ DV. _ #8 8 8œ" %Ñ " a  "b8 † 8 _ 8# & 8œ" â â â â â â â â 8$ º ºœâ ✺ 8 ºœ +8  " 8$ &8 8$ â â &8  " â â † â â +8 8# & †& 8# &8  "! &8 8$ " " lim œ Pw L lim œ " 8Ä_ &8  "! 8Ä_ & & Por lo tanto, " a  "b8 † 8 CVA. _ 8# & 8œ" 24
  27. 27. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas Ejercicios VIRGINIO GOMEZ Determine si la serie CV o DV. _ a8  " bx "Ñ " #Ñ " Ð  "Ñ8 _ &8 #8 a#8b x 8œ! 8œ" a8bx $Ñ " Ð  "Ñ8 %Ñ " 8 _ _ 8# 8 $8 $ a8  " b 8œ" 8œ" &Ñ " Ð  "Ñ8 _ " Ð#8  "Ñx 8œ" Solución 1) DV 2) CVA 3) DV 4) CV 5) CVA 25
  28. 28. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Serie de Potencias VIRGINIO GOMEZ Concepto: Una serie de potencias en x − a es una serie de la forma : ∞ b0 + b1 ( x − a ) + b2 ( x − a ) 2 + b3 ( x − a ) 3 + L + bn ( x − a ) n = ∑ bn ( x − a ) n n =0 bi y a son números , x es variable. Si x es un número particular, entonces x − a se transforma en un número ∞ y ∑ bn ( x − a ) n es una serie infinita de términos constantes. n =0 Si a = 0 , entonces se obtiene la siguiente serie ∞ n 2 3 n ∑ bn x = b0 + b1 x + b2 x + b3 x + L + bn x n =0 Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias.Como aparece la variable B, entonces una serie de potencias es una función 0 aBb œ " ,8 aB  +b8 _ 8œ!donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio dela Razón y se resuelve la inecuación 3  ", además se debe hacer el análisis de los extremos. Ejemplos: Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias # 8 † aB  " b 8 "Ñ " a  "b8  " † _ 8 † $8 8œ" â â â # 8  " † aB  " b 8  " â â â â â â a8  " b † $ 8  " â º º â â +8  " â # 8 † aB  " b 8 â â â œ â â +8 â 8 † $8 â #8 † # † aB  "b8 † aB  "b º º 8 † $8 a8  " b † $ # † aB  " b 8 œ 8†$ † 8 † ¸ B  "¸ # 8 œ† $ 8" † ¸ B  "¸ œ † ¸ B  "¸ lim # 8 # 8 lim † 8Ä_ $ 8  " $ 8Ä_ 8  " † ¸ B  "¸ lim # " œ Pw L $ 8Ä_ " † ¸ B  "¸ # œ $ 26
  29. 29. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas † ¸ B  "¸  " Í  "  ÐB  "Ñ  " # # $ $ VIRGINIO GOMEZ $ $ Í  B" # # & " Í  B # # Análisis de los extremos & Para B œ  # #8 † Œ   $ 8 a  " b8 a$ 8 b #8 † " a  " b8  " † œ " a  " b8  " † _ _ # #8 8†$ 8 8 † $8 8œ" 8œ" œ " a  " b# 8  " † _ " 8 8œ" œ " _ " 8 8œ" Pero, " _ " es la serie armónica y por lo tanto DV. 8 8œ" " Para B œ # #8 † Œ  $ 8 $8 #8 † 8 " a  " b8  " † œ " a  " b8  " † _ # _ # 8 † $8 8 † $8 8œ" 8œ" œ " a  " b8  " † _ " 8 8œ" Pero, " a  "b8  " † es una serie alterna que es CVC. _ " 8 8œ" Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie # 8 † aB  " b 8 " a  " b8  " † _ & " 8 es   B Ÿ 8†$ # # 8œ" 27
  30. 30. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas aB  $ b 8 #Ñ " a  "b8 † _ 8! VIRGINIO GOMEZ 8œ" â â â aB  $ b 8  " â â â â a8  " b ! â º º â â â â +8  " â aB  $ b 8 â œ â â +8 â 8! â a B  $ b 8 † aB  $ b º º 8! a 8  " b † 8! aB  $ b 8 œ † † ¸ B  $¸ " œ 8" † ¸ B  $¸ ¸ B  $¸ lim " " lim œ 8Ä_ 8" 8Ä_ 8" œ ¸ B  $¸ † ! œ !" aB  $ b 8 Por lo tanto, la serie " a  "b8 † _ es CVA a B − ‘ 8! 8œ" $Ñ " a  "b8 † 8 8 _ 8! "! † B 8œ" â a8  " b ! â â â â â â â º º â â +8  " 8  " † B8  " â â "! â â œ 8! â â +8 "!8 † B8 a 8  " b † 8! º º "!8 † B8 œ † "!8 † "! † B8 † B 8! a8  " b † "!¸B¸ " œ lim a8  "b † "!¸B¸ "!¸B¸ 8Ä_ " " œ lim Ð8  "Ñ 8Ä_ "!¸B¸ " œ †_ œ _" aB  $ b 8 Por lo tanto, la serie " a  "b8 † _ es DV a B − ‘ 8! 8œ" 28
  31. 31. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas Ejercicios VIRGINIO GOMEZ Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias "Ñ " Ð#8Ñx † Œ  #Ñ " Ð  "Ñ8  " † _ B 8 _ ÐB  &Ñ8 # 8 † &8 8œ! 8œ" $Ñ " %Ñ " Ð  "Ñ8  " † _ ÐB  #Ñ8  " _ ÐB  (Ñ8 8" 8 † (8 8 œ " Ð8  "Ñ † $ 8œ" &Ñ " Ð  "Ñ8  " † Ñ " Ð  "Ñ8 † _ B#8  " _ 8x ÐB  %Ñ8 Ð#8  "Ñ! $8 8œ" 8œ" (Ñ " )Ñ " Œ  † Ð  #BÑ _ 8x † B8 _ 8 8" Ð#8Ñx 8" 8œ" 8œ" *Ñ " "!Ñ " Ð  "Ñ8 † _ #8 † B8 _ ##8  " † B#8 8# Ð#8Ñx 8œ" 8œ" Solución "Ñ No existe intervalo de convergencia #Ñ !  B Ÿ "! $Ñ  " Ÿ B  & %Ñ !  B Ÿ "% &Ñ ‘ Ñ No existe intervalo de convergencia (Ñ ‘ " " )Ñ  B # # " " *Ñ  ŸBŸ # # "!Ñ ‘ 29
  32. 32. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas Serie de Taylor VIRGINIO GOMEZ ∞ f n (a) ⋅ ( x − a) n Concepto : La expresión f ( x ) = ∑ corresponde a la serie de Taylor de n=0 n! f alrededor de x = a o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de x = a . f n (a) es la n-ésima derivada de f evaluada en x = a . ∞ f n ( 0) ⋅ x n Si la serie de Taylor toma la forma f ( x ) = ∑ que se conoce con el nombre de n=0 n! serie de Maclaurin de f . Ejemplos 1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a B œ ", la función 0 aBb œ " B 0 ! aB b œ Ê 0 ! a"b œ " " B 0 w aB b œ  Ê 0 w a"b œ  " " œ  B# B# 0 w w aB b œ Ê 0 w a"b œ # # w œ #B$ B$ 0 w w aB b œ  Ê 0 w a"b œ  w ww œ  B% B% 0 3@ aBb œ Ê 0 3@ a"b œ #% #% œ #%B& B& " † aB  "b! a  "b † aB  "b # † aB  "b# a  b † aB  "b$ #% † aB  "b%0 aB b œ     !! "! #x $! %! aB  " b ! aB  "b # † aB  "b# † aB  "b$ #% † aB  "b% 0 aB b œ     " " # #% 0 aBb œ aB  "b!  aB  "b  aB  "b#  aB  "b$  aB  "b% Por lo tanto, 0 aBb œ œ " a  "b8 † aB  "b8 " _ B 8œ! 30
  33. 33. Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas 2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 aBb œ -9=B 0 ! aBb œ -9=B Ê 0 ! a!b œ " VIRGINIO GOMEZ 0 w aBb œ  =/8B Ê 0 w a!b œ ! 0 w w aBb œ  -9=B Ê 0 w a!b œ  " w 0 w w aBb œ =/8B Ê 0 w w a!b œ ! w w 0 3@ aBb œ -9=B Ê 0 3@ a!b œ " ! † B a  "b † B# 0 aB b œ " † B! ! † B$ " † B%     !! "! #x $! %! 0 aB b œ B! B# B% ! ! !! #! %! 0 aB b œ B! B# B%   !! #! %! Por lo tanto, 0 aBb œ -9=B œ " a  "b8 † _ B#8 a#8b! 8œ!3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À +Ñ 0 aBb œ 68a"  Bb 0 ! aBb œ 68a"  Bb Ê 0 ! a!b œ ! 0 w aB b œ œ a "  Bb" Ê 0 w a!b œ " " "B 0 w w aB b œ  œ  a"  Bb# Ê 0 w a!b œ  " " a "  Bb w # 0 w w aB b œ œ # a"  Bb$ Ê 0 w a!b œ # # a"  B b w ww $ 0 3@ aBb œ  œ  a"  Bb% Ê 0 3@ a!b œ  a"  B b % 0 aB b œ ! † B! " † B " † B# # † B$ † B%     " " # #% 0 aB b œ !  B  B# B$ B%   # $ % Por lo tanto, 0 aBb œ 68a"  Bb œ " a  "b8 † _ B8  " 8" 8œ! 31
  34. 34. Instituto Profesional Dr. Virginio GómezDepartamento de Ciencias Básicas Intervalo de convergencia â â â â VIRGINIO GOMEZ â â B8  # â â º º œâ ✺ º œ ¸B¸ † Œ  +8  " B8 † B # 8  " 8" â â 8# â â † B8  " 8  # B8 † B â â +8 8# 8" lim ¸B¸ † Œ  ¸B¸ † lim Œ  8" 8" œ 8Ä_ 8# 8Ä_ 8# œ Pw L ¸B¸ † lim " 8Ä_ " œ ¸B ¸ ¸B¸  " Í  "  B  " Análisis de los extremos Para B œ  " a  " b8  " _ a  "b#8  " " a  " b8 † œ" _ 8" 8" 8œ! 8œ! œ"  _ " 8" 8œ! œ"  _ " 8 8œ" Pero, "  es la serie armónica y por lo tanto DV _ " 8 8œ" Para B œ " a" b 8  " " a  " b8 † œ " a  " b8 † _ _ " 8" 8" 8œ! 8œ! Pero, " a  "b8 † _ " es una serie alterna que CVC 8" 8œ! Luego el intervalo de convergencia de la serie " a  "b8 † _ B8  " es  "  B Ÿ " 8" 8œ! 32

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