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Logaritmos

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Material utilizado en la conferencia sobre la historia y aplicaciones de los logaritmos a los alumnos del IES ORÓSPEDA

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Logaritmos

  1. 1. DEL ORIGEN DE LOS LOGARITMOS HASTA NUESTROS DÍAS 27 MARZO DE 2015 - BIBLIOTECA IES ORÓSPEDA MIGUEL A. JORQUERA
  2. 2. Arquímedes 287 a.C - 212 a.C. JOHN NAPIER 1550-1617 HENRRY BRIGGS 1561-1630 Stifel 1487-1567 1614 el primer libro 1617 y 1624 tablas de logaritmos
  3. 3. Algunas aplicaciones de los logaritmos Métodos eficientes para calcular fenómenos astronómicos (eclipses, órbitas planetarias, etc.) Métodos rápidos de realizar cálculos científicos Potencias de exponente que no es entero positivo Escalas para medir intensidad de sonido, intensidad de terremotos (escala de Richter), etc. El pH Medir el brillo de las estrellas o magnitud aparente Desintegración radiactiva. Datación por carbono-14 Enfriamiento de cuerpos
  4. 4. El origen de los números Contar Registro de la propiedad (animales y tierras) y transacciones financieras Primera notación numérica conocida, aparte de contar, data del año 8000 a. C. en arcillas de Mesopotamia Origen de los símbolos numéricos y quizá de la escritura
  5. 5. Sigue la aritmética Métodos para sumar, restar, etc. Ábaco Algoritmos con lápiz y papel Los científicos necesitaban hacer cálculos cada vez más elaborados. Tardaban meses e incluso años Los algoritmos e instrumentos mecánicos ayudaban poco
  6. 6. Primera aproximación de Arquímedes Comparación de sucesiones aritméticas y geométricas Arriba progresión aritmética (Logaritmos) Abajo progresión geométrica (Antilogaritmos) Para multiplicar dos números de abajo sumamos sus correspondientes de arriba y cogemos el de abajo
  7. 7. Arriba progresión aritmética de diferencia 1(Logaritmos) Abajo progresión geométrica de razón 2 (Antilogaritmos) 4 x 16 = 64 porque 2 + 4 = 6 que corresponde con 64
  8. 8. Siguiente aproximación de Stifel En 1544 vuelve a aparecer otra comparación de sucesiones en la obra “Arithmetica integra” del matemático alemán Michael Stifel En esta obra se encuentra por primera vez el cálculo con potencias de exponente racional y la regla La suma/resta/multiplicación/división arriba corresponde con la multiplicación/división/potenciación/raíz de abajo
  9. 9. John Napier John Napier, barón de Merchiston, llamado también Neper o Nepair Edimburgo (Escocia), 1550 - 4 de abril de 1617 El primero en definir los logaritmos y el punto decimal No fue a la escuela hasta cumplir los 13 años Su preocupación fundamental era el Apocalipsis y predijo el fin del mundo Pillar a los sirvientes que robaban tras acariciar a un gallito con hollín En 1614 publicó su obra “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio” (Descripción del maravilloso canon de logaritmos)
  10. 10. Puesto que nada es más aburrido, compañeros matemáticos, en la práctica de las artes matemáticas, que el gran retraso sufrido en el tedio de las multiplicaciones y divisiones largas y pesadas, el hallazgo de proporciones y en la extracción de raíces cuadradas y cúbicas, y … los muchos errores escurridizos que pueden surgir; yo he estado dándole vueltas a mi cabeza de cómo podría ser capaz de solventar las dificultades mencionadas para que sea un arte segura y rápida. Al final, después de pensar mucho, finalmente he encontrado un modo asombroso de acortar los procedimientos… es una tarea agradable exponer el método para el uso público de los matemáticos.
  11. 11. Se cree que Naiper fue el inventor de los logaritmos naturales, cuya base es el número e pero esto es FALSO Realmente utilizó la base 0.9991
  12. 12. Jobst Bürgi 1552-1632 Relojero suizo que tenía la idea de logaritmo antes que Naiper pero que no le dio tiempo de publicarlo Cuando Jobst Bürgi publicó sus tablas en Praga en el año 1620 resulta que esta ciudad fue tomada y las tablas permanecieron desconocidas
  13. 13. Henry Briggs 1561-1630 Las tablas de Napier causaron un gran impacto en toda Europa pero especialmente en Henry Briggs profesor de geometría de Oxford Viajó a Edimburgo a visitar a Napier y estuvieron 15’ sin hablar y contemplándose con admiración Briggs modificó algunas cosas y entre los dos llegaron a unos acuerdos
  14. 14. Ejemplo de la invención de los logaritmos Sumar 2 números de 10 cifras => 10 pasos Multiplicar 2 números de 10 cifras => 200 pasos 10.000 x 1.000 = (10x10x10x10)x(10x10x10)= 10.000.000 4 ceros + 3 ceros = 7 ceros Se intenta buscar la misma idea para cualquier número
  15. 15. ¡¡Esto es todavía más complicado!! Sí y No
  16. 16. Imaginemos que tenemos una tabla de potencias de 1,001 La tabla aunque es costosa sólo hay que hacerla una vez y después todos pueden utilizarla 983 es el logaritmo de 2,67 1256 es el logaritmo de 3,51 Naiper utilizó la base 0,9991 y las tablas no eran buenas. Briggs propuso 1,0000000001 y salen mejores tablas y después la base 10
  17. 17. Otro error que observó Briggs en los logaritmos de Napier fue que no había relación entre log 12,3456 y log 1,23456 Es un número muy difícil para luego operar Hay que buscar una base tal que para que log 10 = 1 La base es a=10 Es lo que acordaron Napier y Briggs Las tablas de logaritmos sólo necesitarían ir del 1 al 10
  18. 18. Primeras tablas de logaritmos Briggs publicó en 1617 “Logaritmos del primer millón” tablas de logaritmos enteros del 1 al 1000 aproximando a 14 cifras decimales En 1624 publicó tablas de logaritmos del 1 al 20.000 y del 90.000 al 100.000 con la misma precisión Otros siguieron publicando tablas de logaritmos de funciones trigonométricas…
  19. 19. Tablas de logaritmos
  20. 20. El nacimiento de potencias de exponente no entero positivo ¿Qué quiere decir ? Nuestras definiciones tienen que ser consistentes con la ecuación: Entonces ¿Qué pasa con ? De igual forma:
  21. 21. ¿Qué pasa con ? De modo que multiplicado por sí mismo es x. El único número con esta propiedad es la raíz cuadrada de x. Entonces De igual forma se deduce que También se deduce que Podemos calcular raíces cuadradas y cúbicas fácilmente usando una tabla de logaritmos
  22. 22. El uso de los logaritmos desde su invención hasta la década de los 80 Las tablas se hicieron indispensables para científicos, ingenieros, topógrafos y navegantes Cada vez eran más indispensables porque la ciencia progresaba Los logaritmos fueron una parte fuerte del currículum escolar de matemáticas Calculadora analógica de bolsillo para logaritmos
  23. 23. Regla de cálculo En 1632 William Oughtred construlló la primera regla de cálculo Dos varillas móviles marcadas según lo que se quiera calcular
  24. 24. Multiplicación de 2 por 3 en una regla de cálculo Las reglas están marcadas usando una escala logarítmica log(2)+log(3)=log(2x3) según la fórmula log(2x3)=log(6) según la regla de abajo 2x3=6 Para multiplicar 2,67 pro 3,51 colocamos el 1 de la regla de arriba en el 2,67 de abajo y miramos el valor bajo 3,51 que será 9,37
  25. 25. Euler en el siglo XVIII descubriría las relaciones entre la exponencial y el logaritmo
  26. 26. Aplicaciones actuales de los logaritmos Datación por el método del carbono-14 La sábana santa de Turín La mesa redonda del rey Arturo Determinar la hora de un fallecimiento
  27. 27. Datación por carbono-14
  28. 28. Willard Libby (1908-1980) El Carbono-14 ó radiocarbono es un isótopo del carbono que está presente en los materiales orgánicos La técnica fue inventada por Willard Libby en la década de los cuarenta con la que ganó un premio Nobel de Química en 1960 Las plantas ajustan el carbono atmosférico durante la fotosíntesis y el nivel de radiocarbono en plantas y animales cuando mueren es similar al de la atmósfera en ese momento. A partir de la muerte el nivel decrece permitiendo estimar la fecha de muerte hasta 60000 años La ley de desintegración atómica determina el ritmo al que se desintegran los elementos radiactivos ya que se puede predecir la velocidad
  29. 29. Hay otros métodos de datación como el de URANIO-PLOMO que puede datar materiales hasta 4000 millones de años Estos tipos de datación se utilizan mucho en ATAUERCA Ver programa Lab24 en TV a la carta del día 24/03/2015 http://www.rtve.es/television/lab24/
  30. 30. Si x(t) es la cantidad de cierta sustancia radiactiva en el instante t. Se ha comprobado que x’(t)=-k x(t) Por lo tanto Un parámetro importante que debe considerarse es la vida media que es el tiempo que transcurre desde que se tienen x0 gramos hasta que quedan x0/2 gramos La vida media depende exclusivamente de la constante k, que puede determinarse y que para el carbono-14 k=0,0001245
  31. 31. Sabiendo la diferencia entre la proporción de 14C que debería de contener un fósil si aún estuviese vivo (semejante a la de la atmósfera en el momento en el que murió) y la que realmente contiene, se puede conocer la fecha de su muerte
  32. 32. La sábana santa de Turín
  33. 33. Es una tela de lino de 4.4 x 1.1 metros en la que aparecen la imagen anterior y la posterior de un hombre con barba que parece haber sido crucificado y, después envuelto en una tela En 1350 las primeras referencias históricas Al principio fue propiedad de Godofredo de Charney, pero no se sabe cómo llegó hasta él A su muerte se depositó en la iglesia de Lirey (Francia) y empezó a recibir visitas pensando que era de Jesús
  34. 34. En 1532 un incendio dañó parcialmente la sábana En 1578 se llevó a Turín y permaneció en el olvido hasta que en 1898 un fotógrafo descubrió detalles no observados hasta la fecha En 1983, la Casa de Saboya legó la sábana al Vaticano quedando bajo la custodia del arzobispo de Turín Actualmente se exhibe tras el altar mayor de la catedral de Turín
  35. 35. ¿Será la sábana santa de Turín una copia más de las que existen o será la original? Fechar la tela sería un buen análisis y unos resultados de unos 2000 años de edad apoyaría la idea de que el sudario es verdadero Durante mucho tiempo la Iglesia se opuso a un análisis por carbono-14, principalmente porque la cantidad de tela necesaria era grande
  36. 36. A finales de 1970 aparece la espectrometría de masas por acelerador (AMS) que ya no necesitaba tanta tela para la prueba En 1986 siete laboratorios elaboraron un protocolo experimental En 1987 el arzobispo de Turín seleccionó a tres laboratorios (Arizona, Oxford y Zurich) El 21 de abril de 1988 se obtuvieron las muestras bajo testigos y con grabación
  37. 37. Se cortó del sudario un único pedazo de 1x7 cm y se dividió en tres muestras de 50 miligramos Esta medición calcularía cuándo se cosecha el lino con el que se confeccionó la tela. El resultado de las pruebas sería la fecha en que las últimas partículas de carbono-14 se fijaron en las plantas antes de la siega Los resultados se publicaron en 1989 Arizona: 646 más/menos 31 a.p. (referencia a 1950) Oxford 750 más/menos 30 a.p. Zurich 676 más/menos 24 a.p.
  38. 38. En conclusión la sábana está fechada entre 1275 y 1381 No pudo ser el sudario de la sepultura de Jesús Se solapa de forma sospechosa con la época en que apareció por primera vez Es una falsificación medieval
  39. 39. SÁBANA SANTA Carbono 14 ¿Prueba Definitiva? https://www.youtube.com/watch?v=ledjYkyUaG0
  40. 40. No todo el mundo admite los resultados Otros científicos dijeron que las muestras no eran correctas y que los resultados estaban trucados Para una certeza absoluta hay que recurrir a la fe
  41. 41. ESPERO QUE DESPUÉS DE ESTA PEQUEÑA CHARLA VEÁIS LOS LOGARITMOS CON OTROS OJOS GRACIAS POR VUESTRA ATENCIÓN

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