Representación gráfica de funciones

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Representación gráfica de funciones

  1. 1. Representación gráfica de funciones Ecuación de grado 3 Las funciones polinómicas de grado 3 son del tipo , con . Hay cuatro posibles representaciones gráfica de este tipo de funciones que dependen del signo de y de la relación entre y . Por tanto, para poder representarlas debemos tener en cuenta sus coeficientes. Os dejo una tabla con las cuatro gráficas posibles: Este tipo de funciones tienen un punto de inflexión, es decir, un punto donde la curvatura de la función cambia, esto es, la función antes del punto se curva de una forma y pasa acurvarse de otra. El punto donde ocurre ese hecho se calcula de la siguiente forma:  Coordenada del punto de inflexión:  Coordenada del punto de inflexión: Para obtener más información sobre el la representación de la función también es útil calcular los puntos de corte con el eje X resolviendo la ecuación . Una función de este tipo puede tener uno, dos o tres cortes con el eje X. Las funciones que cumplen que cortan al eje X en sólo un punto. En este caso habrá que tener muy en cuenta el punto de inflexión para poder representarlas de forma correcta. Las funciones que cumplen que pueden tener uno, dos o tres puntos de corte pero su representación es la misma. En el caso de que obtengamos dos soluciones reales (dos puntos de corte por tanto) obliga a que una de ellas aparezca dos veces (por ejemplo, para ocurre eso). En ese punto la función toca al eje X y cambia de monotonía, es decir, si antes crecía en ese punto pasa a decrecer y
  2. 2. viceversa. El punto de inflexión no será tan relevante para éstas aunque siempre puede calcularse para asegurar más la representación. Por todo esto la representación gráfica de las funciones polinómicas de grado tres comenzará viendo la relación entre y (con lo que sabremos la forma de la gráfica) y seguirá calculando las soluciones reales de la ecuación (con lo que conoceremos cuántos puntos de corte tiene la función con ele eje X ). En ese momento elegimos la representación correspondiente a la función que tengamos y hacemos que la función pase por esos puntos dándole la forma que nos indica la tabla, teniendo en cuenta el detalle del punto de inflexión en el caso en el que sea necesario. Sin olvidar, claro está, que si con todo esto no nos vemos capaces de realizar todavía la representación siempre podemos hacer una tabla de valores tomando valores a cada lado de los puntos de corte consiguiendo así más puntos que completen la información anterior. Ecuación de cuarto grado (Redirigido desde Función cuartica) Gráfico de una ecuación de cuarto grado. Una ecuación de cuarto grado o ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica: donde a, b, c, d y e (siendo ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales o los complejos . Caso general Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas). En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es válida: . En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra. El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. Este método es llamado "método de Descartes", pues fue dado por el matemático francés René Descartes(1596-1650) en el año de 1637 en su célebre libro "La Geometría". Aunque existan diferentes métodos para resolver las ecuaciones cuarticas, algunos son: método de Ferrari, método deDescartes, método de Euler, método de Lagrange, método de Alcalá, etcétera.
  3. 3. Método de Descartes Los pasos de la resolución para el método de Descartes (1637) son:  Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a. Se obtiene: , donde , , y  Proceder al cambio de incógnita , para suprimir el término cúbico. En efecto, al desarrollar con la identidad precedente, vemos aparecer el término , compensado exactamente por que aparece en . Tras sustituir x y operando con las identidades notables, se obtiene: , con p, q y r números del cuerpo.  Y ahora, la idea genial: factorizar lo anterior en , lo que es posible porque no hay z³ en el polinomio. Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las condiciones: (coeficiente de x²) (coeficiente en x) (término constante) Después de algunos cálculos, hallamos: es una ecuación de sexto grado, pero si miramos bien, α sólo aparece con potencias pares. Pongamos . Entonces: , que resulta ser una ecuación de tercer grado en la variable y que se puede resolver usando el método de Cardano.
  4. 4. Luego se encuentra α, β y γ, y se resuelven y , y para terminar, no olvide que .
  5. 5. Michelle Ceseña Rodríguez Grupo: 404 / Análisis clínicos Matemáticas IV Profesor: Alberto Maldonado Duran Tarea para entregar: Representación gráfica de funciones polinómicas Mayo del 2012

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