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Sistemas bifásicos y trifásicos LEIV

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Apuntes sobre circuitos trifásicos y bifásicos.

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Sistemas bifásicos y trifásicos LEIV

  1. 1. ANÁLISIS DE CIRCUITOS BIFÁSICOS Y TRIFÁSICOS Luis E. Iparraguirre Vásquez R Estator N s t Rotor r T S S r ˆ E ˆ ER ˆ ES ˆ ET ωt ˆ E 2008
  2. 2. Luis E. Iparraguirre Vásquez Profesor Asociado de la Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Privada Antenor Orrego Trujillo - Perú ANÁLISIS DE CIRCUITOS BIFÁSICOS Y TRIFÁSICOS Reservados todos los derechos Esta obra es propiedad intelectual del autor Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio, sin permiso por escrito del autor Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 1 LEIV.
  3. 3. INTRODUCCIÓN Para el consumo de grandes cantidades de energía eléctrica demanda generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica, que se logra mediante los circuitos eléctricos trifásicos. El estudio de los circuitos polifásicos constituye un análisis exhaustivo de los sistemas bifásicos y trifásicos, balanceados o desbalanceados, que se estudian en el presente texto. La generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica es el gran negocio de las grandes compañías eléctricas, utilizando diversos combustibles como el carbón, el gas natural, petróleo para generar energía eléctrica en centrales térmicas; o utilizar la energía potencial gravitatoria de grandes masas de agua y que por medio de turbinas acopladas con los ejes de los generadores conforman las centrales hidráulicas. El voltaje del generador en las centrales, se eleva mediante una transformador para la transmisión a grandes distancias, debido a que las centrales, generalmente no están ubicadas ceca de los centros de consumo, y también para tener un mínimo de pérdidas en las líneas de transmisión. La energía eléctrica se genera, transmite y distribuye en sistema trifásico, y sólo cuando esta cerca de los centros de consumo se reduce su tensión a los valores de consumo ( baja tensión), y también se cambia de trifásico a monofásico de acuerdo a lo solicitado por los usuarios. Las líneas de transmisión generalmente están conformadas por ternas, siendo soportadas por torres de madera o metálicos, debidamente aisladas, y en baja tensión puede estar conformada por tres hilos o cuatro hilos; uno de los cuales está conectado a tierra y es el de menor calibre. El caso ideal es que los sistemas polifásicos son diseñados para operar en estado balanceado o equilibrado, pero en condiciones normales de operación de los circuitos polifásicos, operan cerca del equilibrio, es decir que las corrientes de cada fase deben tener los mismos valores eficaces, para que todas las fases del sistema polifásico distribuyan su potencia aproximadamente iguales. La estructura básica de un sistema polifásico consiste en fuentes de voltaje conectadas a cargas a través de transformadores y líneas de transmisión. La omisión del transformador en el sistema polifásico, simplifica el análisis sin afectar la comprensión básica de los cálculos implicados. En el texto se describe el análisis de los circuitos bifásicos y trifásicos de corriente alterna, los que son conformados por dos y tres fases respectivamente, con tensiones de la misma frecuencia. Las corrientes alternas fueron adoptadas notablemente por Nikola Tesla (1856 – 1943), quien obtuvo diez patentes para motores de inducción de corriente alterna en 1895 Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 2 LEIV.
  4. 4. 1 Hz, frecuencia muy alta 3 para el funcionamiento de los motores eléctricos. Gradualmente se estandarizó en Estados Unidos la frecuencia de 60 Hz, por el cual el ojo humano no puede detectar el parpadeo que efectúa la corriente alterna senoidal en una lámpara de incandescencia, pero si es notorio a frecuencias menores. Las frecuencias mayores tienen como efecto aumento de pérdida de energía en el circuito magnético de las máquinas eléctricas Los primeros alternadores de Westinghouse fueron de 133 Fundamentalmente la ventaja que presentan los circuitos trifásicos frente a los monofásicos es que a igualdad de potencia a transmitir y pérdidas en las líneas o conductores, las líneas trifásicas son mas económicas que los monofásicos, permitiendo un ahorro del 25 % en el peso de los conductores (líneas). Otra ventaja es que la potencia instantánea de un sistema trifásico balanceado es constante, independiente del tiempo, permitiendo que los motores trifásicos tengan un par uniforme, evitando vibraciones y esfuerzos en el rotor del motor. Los motores trifásicos pueden arrancar por sí mismos, sin embargo los motores monofásicos necesitan un dispositivo para conseguir el arranque. Luis E. Iparraguirre Vásquez Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 3 LEIV.
  5. 5. CONTENIDO Sistemas Polifásicos Generador Bifásico Tensiones de fase Tensiones de líneas Generador trifásico Conexiones de los arrollamientos de fuerza en un generador trifásico Conexión estrella ( Y ) • Secuencia de fases directa o positiva • Secuencia de fases inversa o negativa Conexión en delta ( ∆ ) • Secuencia de fases directa o positiva • Secuencia de fases inversa o negativa Cargas trifásicas Cargas trifásicas balanceadas Cargas trifásicas desbalanceadas Circuitos trifásicos balanceados Generador trifásico en Y, con carga trifásica balanceada en Y en secuencia directa Tensiones de fase del generador Corrientes de líneas Potencias aparentes de fases Potencia aparente total trifásica Potencia activa total Potencia reactiva total Generador trifásico en ∆, con carga trifásica balanceada en ∆ en secuencia directa Tensiones de fase del generador Corrientes de fases Corrientes de líneas Potencias aparentes de fases Potencia aparente total Potencia activa total Potencia reactiva total Medida de la potencia activa total absorbida por una carga trifásica balanceada o desbalanceada Método de los dos vatímetros Medida de la potencia trifásica total por medio del método de los Dos vatímetros monofásicos para el sistema Y balanceado en secuencia directa Medida de la potencia trifásica total por medio del método de los dos vatímetros monofásicos para el sistema ∆ balanceado en secuencia directa Determinación del ángulo de la impedancia de la carga trifásica Balanceada en Y o ∆ Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 4 Pag. 6 6 10 10 11 13 13 16 17 18 19 19 19 19 20 20 20 20 21 22 23 23 23 25 26 26 27 28 28 29 29 31 32 33 36 39 LEIV.
  6. 6. Pag. Sistema trifásico tetrafilar balanceado en Y en secuencia inversa o negativa 40 Corrientes de líneas 41 Potencias aparentes de fases 42 Potencia aparente total trifásica 43 Potencia activa total 43 Potencia reactiva total 44 Medida de la potencia trifásica total por medio del método de los dos vatímetros monofásicos para el sistema Y balanceado en secuencia inversa o negativa 46 Sistema trifásico en ∆ en secuencia inversa o negativa 48 Tensiones de fase del generador 48 Corrientes de fases 49 Corrientes de líneas 50 Potencias aparentes de fases 51 Potencia aparente total 52 Potencia activa total 53 Potencia reactiva total 53 Medida de la potencia activa mediante el método de dos vatímetros monofásicos 54 Medida de la potencia reactiva en un sistema Y o ∆ balanceado en secuencia directa 57 Vatímetro en cuadratura en el sistema Y o ∆ balanceado en Secuencia directa 57 Lectura del vatímetro monofásico en cuadratura para un sistema trifásico en Y en secuencia directa 58 Lectura del vatímetro monofásico en cuadratura para un sistema 59 trifásico en ∆ en secuencia directa Problemas resueltos de circuitos trifásicos balanceados 62 - 92 Problemas propuestos trifásicos balanceados 92 - 98 Circuitos trifásicos desbalanceados 99 Circuito trifásico trifilar en Y desbalanceado 99 Corrientes de mallas 99 Corrientes de líneas 99 Potencias aparentes de fases 100 Potencia aparente total 100 Circuito trifásico tetrafilar en Y desbalanceado 101 Corrientes de líneas 101 Corriente en el conductor neutro 101 Potencias aparentes de fases 101 Potencia aparente total 101 Circuito trifásico trifilar en ∆ desbalanceado 102 Corrientes de fases 102 Corrientes de líneas 102 Potencias aparentes de fases 103 Potencia aparente total 103 Problemas de circuitos trifásicos desbalanceados 104 - 137 Problemas propuestos desbalanceados 137 -140 Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 5 LEIV.
  7. 7. SISTEMAS POLIFASICOS Un sistema polifásico es aquel que tiene dos o más sistemas monofásicos semejantes, en que los valores máximos de las ondas alternas senoidales no se producen al mismo tiempo. El sistema bifásico es aquel que tiene dos sistemas monofásicos sinusoidales con semejantes valores de amplitud y frecuencia, pero desfasadas entre si en 90 grados eléctricos El sistema trifásico es aquel que tiene tres sistemas monofásicos senoidales cuyas tensiones con los mismos valores de amplitud y frecuencia, se encuentran desfasadas entre si en 120 grados eléctricos En instalaciones especiales como los convertidores rotativos, servicios electrolíticos y otras es conveniente el uso de sistemas de seis, doce o más fases, que emplean tensiones desfasadas de 60, 30 etc., grados eléctricos Los equipos que se utilizan en los sistemas polifásicos presentan muchas ventajas con respecto a los monofásicos. Los generadores polifásicos son de mayores potencias y mas económicos, presentando mayores eficiencias. Los motores polifásicos y equipos asociados como los conmutadores, transformadores y elementos de control, son generalmente de altas potencias para ser usados industrialmente. En el sistema monofásico, los motores presentan un par electromagnético no uniforme, debido a que el flujo de potencia es pulsante, en donde la potencia se anula cuatro veces por ciclo y se hace negativa en dos intervalos de tiempo de cada ciclo, teniendo el motor así la velocidad variable en cada instante. Sin embargo los motores polifásicos operan con un par o torque electromagnético uniforme, absorbiendo potencia a un ritmo constante y sin inversiones. Estos motores polifásicos son más eficientes y económicos. GENERADOR BIFASICO En un generador bifásico se encuentran dos arrollamientos iguales e independientes o interconectados en el estator, de forma tal que quedan desplazadas en el espacio en 90º eléctricos, tal como se muestra en la Fig. 1. En el rotor para este caso de dos polos se encuentra el arrollamiento de excitación que es alimentado por una fuente de tensión continua, a través de un reóstato de campo, y que al girar el rotor a una velocidad angular ω, se inducen en las bobinas de fuerza ( bobinas del estator) tensiones con desfases de 90 grados eléctricos, tal como se muestra en la Fig.3 En la Fig. 2 se muestra un rotor de cuatro polos Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 6 LEIV.
  8. 8. Fig. 2 Rotor de cuatro polos salientes Fig. 1 Generador Bifásico de dos polos ˆ E ˆ EA ˆ EB ωt α ˆ −E Fig. 3 Tensiones inducidas de un generador bifásico en secuencia AB Así: ˆ ˆ ˆ EA = EB = E …( 1 ) En la fase A se induce: ˆ e Aa ( t ) = E Sen ωt V …( 2 ) En la fase B se induce: ˆ e Bb ( t ) = E Sen ( ωt − 90 º ) V …( 3 ) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 7 LEIV.
  9. 9. El correspondiente diagrama fasorial de la Fig. 3 se muestra en la Fig. 4a y Fig. 4b a A b E Aa E Aa E Bb B E Bb Fig. 4a Fig. 4b Estas tensiones tienen una secuencia AB, es decir que e Aa ( t ) ocurre primero y después de 90º eléctricos ocurre e Bb ( t ) a esta secuencia de fases se le denomina secuencia positiva o secuencia directa. También puede darse la secuencia inversa BA o negativa, cuando ocurre primero e Bb ( t ) , y después de 90º eléctricos ocurre e Aa ( t ) , tal como se muestra en la Fig. 5 ˆ E ˆ EA ˆ EB ωt α ˆ −E Fig. 5 Tensiones inducidas de un generador bifásico en secuencia BA Siendo estas tensiones: ˆ e Bb ( t ) = E Sen ωt V ˆ e Aa ( t ) = E Sen (ωt − 90 º ) V (4) (5) El correspondiente diagrama fasorial de la Fig. 5 se grafica en las Fig. 6a y Fig. 6b Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 8 LEIV.
  10. 10. E Bb E Bb E Aa E Aa Fig. 6a Fig. 6b Los primeros sistemas polifásicos eran bifásicos o tetrafásicos, siendo completamente desalojados por los sistemas trifásicos; pero en servicio subsisten cierta cantidad de sistemas bifásicos, especialmente en los casos de equipos originales de alta calidad o en los sistemas servomecánicos, donde las máquinas bifásicas tienen gran ventaja. Un sistema bifásico se caracteriza por un desfase de 90 grados eléctricos entre las tensiones; las que son generadas en un alternador de dos devanados independientes, separados en el espacio por el mismo desplazamiento angular que el desplazamiento de las tensiones en el tiempo En la Fig. 7(a) , (b), y (c) se muestra un sistema bifásico en secuencia AB o secuencia directa Las tensiones de fases son E AN , E BN En la tensión E AN , significa que el borne “A” es más positivo que el borne “N” Las tensiones de líneas son E AB , E BA En la tensión E AB , significa que el borne “A” es más positivo que el borne “B” En la tensión E BA , significa que el borne “B” es más positivo que el borne “A” N a A b E Aa E Aa = E AN N EA E AB E Bb = E BN E Bb B Fig. 7 EB B (a) (b) E BA (c) Siendo el valor eficaz de las tensiones de fase E f y el valor eficaz de las tensiones de línea E l , se tiene: Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 9 LEIV.
  11. 11. Tensiones de fases Si: E AN = E f / 0 º V (referencia) en secuencia directa, entonces E BN = E f / − 90 º V Tensiones de líneas E AB = E AN − E BN = E f / 0 º − E f / − 90 º , E AB = 2 E f / 45º V y E BA = E BN − E AN = E f / − 90 º − E f / 0 º , E BA = 2 E f / − 135º V En un sistema bifásico El = 2 Ef E Aa E Aa El circuito de la Fig. 7(a) pertenece a un generador bifásico trifilar ( tres hilos). E Bb El circuito de la Fig. 8 pertenece a un generador E Bb bifásico tetrafilar (cuatro hilos) donde cada fase es utilizada independientemente como dos sistemas monofásicos. La Fig. 9 muestra un circuito eléctrico que constituye un generador tetrafásico pentafilar (4 fases - 5 hilos) del que se tiene: E Aa = E f / 0 º V E Bb 2 E Aa 2 Ef E / 0 º + f / − 90 º = 2 2 Ef = / − 45º V 2 E Ab = E Ab E Aa 2 E Bb 2 Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos E BN = 10 E Bb = E f / − 90 º V 2 Ef / − 45º 2 Ef / − 90 º V 2 LEIV.
  12. 12. La Fig. 10 que constituye un sistema tetrafásico tetrafilar ( 4 fases - 4 hilos ), del que se tiene: E Aa E QS = E Aa − E Bb − E Bb E QS = E f / 0 º − E f / − 90 º E Bb E QS = 2 E f / 45º V − E Aa GENERADOR TRIFASICO Un generador trifásico es aquel que tiene tres arrollamientos independientes, distribuidos en la periferia interna del estator, para los generadores de polos salientes; o los tres arrollamientos independientes distribuidos en la periferia externa del rotor, para los generadores de rotor cilíndrico. En la Fig. 11 se muestra un generador trifásico bipolar, de rotor de polos salientes. Fig. 11 Generador trifásico de dos polos salientes Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 11 LEIV.
  13. 13. En estos tres arrollamientos independientes e iguales, se inducen tensiones alternas senoidales desfasadas entre si en 120 grados eléctricos, debido a que la distribución de los arrollamientos en la máquina rotativa, también están a 120 grados eléctricos Cada arrollamiento independiente tiene un par de bornes denotados con las letras R-r, S-s, y T-t, tal como se muestra en la Fig. 11. El estator y rotor está formado por chapas laminadas de acero u otras aleaciones siliciosas. Las tensiones inducidas en los arrollamientos de fuerza según Faraday, es debida a la acción de una estructura de excitación en corriente continua, la que genera un campo electromagnético y que al girar concéntricamente a una velocidad angular ωr , y las espiras de los arrollamientos de fuerza cortan líneas de flujo, generando las tensiones de las fases R, S, y T, tal como se muestra en la Fig. 12 ˆ E ˆ ER ˆ ES ˆ ET ωt ˆ E Fig. 12 Tensiones inducidas en secuencia RST, de un generador trifásico ˆ ˆ ˆ ˆ E R = ES = E T = E (6) ˆ e Rr ( t ) = E Sen ωt (7) ˆ e Ss ( t ) = E Sen (ωt − 120 º ) (8) ˆ e Tt ( t ) = E Sen ( ωt + 120 º ) Así (9) La secuencia de fases RST, STR, TRS, es denominada secuencia directa o positiva, y es la que hace girar a los motores trifásicos de inducción en el sentido horario. La secuencia de fases RTS, TSR, SRT, es denominada secuencia inversa o negativa, y hace girar a los motores de inducción en el sentido antihorario. Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 12 LEIV.
  14. 14. En la Fig. 13 se muestra el diagrama fasorial de las tensiones inducidas en los arrollamientos de fuerza, tal que al girar a la velocidad angular ωr rad/s, se generan las tensiones de la Fig. 12 E Tt 12 0º 120º E Rr 0º 12 E Ss Fig 13 Una vez establecida la secuencias de fases, debe determinarse el orden en que deben conectarse los conductores de línea a la carga. Un motor de inducción trifásico alimentado en secuencia directa o positiva, gira en un sentido. Si se intercambian dos de los conductores cualesquiera, entonces se invierte la secuencia de fases a la secuencia inversa o negativa, y el motor de inducción invierte el sentido de giro. CONEXIONES DE LOS ARROLLAMIENTOS DE FUERZA EN UN GENERADOR TRIFÁSICO Si cada una de las tres fases independientes del generador trifásico de la Fig. 14, pueden actuar independientemente, se tendría un sistema trifásico exafilar T E Tt t s r R E Rr E Ss En la práctica los generadores trifásicos se pueden conectar en estrella (Y); o en triángulo o delta (∆) Conexión del generador en Estrella (Y). S Para realizar este tipo de conexión los tres bornes r, s, y t, se unen entre sí, formando un borne común denominado neutro, denotado con la letra mayúscula N, tal como se muestra en la Fig. 15 conformando un sistema trifásico trifilar ( 3 fases - 3 hilos ); y Fig. 16 conformando un sistema trifásico tetrafilar ( 3 fases - 4 hilos ); ambas en secuencia de fases directa o positiva Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 13 LEIV.
  15. 15. T T T T E TN E TN t t N r s N r s R E RN E SN E SN R E RN N S S S S Al invertir la secuencia de fases a inversa o negativa, se tendría las Fig. 17 y Fig. 18 S S S S E SN E SN s t N N R r R E TN E RN E TN E RN N T T T Fig. 18.- Generador trifásico tetrafilar en secuencia inversa o negativa T T E TR E TN E RN N R E RS E SN E ST E TR o E RT S Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos Del circuito de la Fig. 15 que corresponde a un generador trifásico trifilar en secuencia directa, y que por no tener el conductor neutro, sólo se puede obtener tensiones de líneas, que corresponden a las tensiones entre las líneas R y S, obteniendo la tensión E RS o E SR ; entre las líneas S y T, para obtener la tensión E ST o E TS ; y entre las líneas T y R, para obtener la tensión 14 LEIV.
  16. 16. Del circuito de la Fig. 16 que corresponde a un generador trifásico tetrafilar en secuencia directa, se pueden obtener tanto las tensiones de líneas como las tensiones de fases. Una tensión de línea se obtiene entre dos líneas cualesquiera, y una tensión de fase se obtiene entre una línea y el conductor neutro. Las tensiones de fase tienen el mismo valor eficaz E RN = E SN = E TN = E f … (10) y se encuentran desfasadas entre ellas en 120 grados eléctricos También se determina que fasorialmente: E RN = − E NR …(11) E SN = − E NS …(12) E TN = − E NT …(13) De la Fig. 19, las tensiones de líneas son. E RS = E RN − E SN …(14) E ST = E SN − E TN …(15) E TR = E TN − E RN …(16) De la Fig. 19, se ha obtenido el triángulo SNR que es isósceles y que se muestra en la Fig. 20 y Fig. 21 E RN Ef N N R E RS R Ef E SN El S S Aplicando ley de senos en el triángulo SNR de la Fig. 21 se tiene: El sen 120 º = Ef E E , que al dar valores se tiene l = f ; relación de la que se 1 sen 30 º 3 2 2 determina que El = 3 Ef …(17). La ecuación (17) indica que el valor eficaz de la tensión de línea es igual a raíz de tres veces el valor eficaz de la tensión de fase Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 15 LEIV.
  17. 17. Si la secuencia de fases es directa o positiva, según circuito de la Fig. 16, con tensiones de fases: …(18) E RN = E f / 0 º V E SN = E f / − 120 º V …(19) E TN = E f / 120 º V …(20) Reemplazando las ecuaciones del (18) al (20) en las ecuaciones del (14) al (16), se tiene las ecuaciones: E RS = E f / 0 º − E f / − 120 º = 3 E f / 30 º V …(21) E ST = E f / − 120 º − E f / 120 º = 3 E f / − 90 º V …(22) E TR = E f / 120 º − E f / 0 º = 3 E f / 150 º V …(23) En la Fig. 22 se muestra el diagrama fasorial de tensiones de fases y tensiones de líneas obtenidas de un generador trifásico tetrafilar en secuencia directa. Indicando también que los valores eficaces de tensiones de líneas son iguales a raíz de tres veces el valor eficaz de tensiones de fases − E RN 30º 120 º E TN E RS 30º E TR 30º 90º 90º 90º 30º − E SN 0º 12 E RN 30º E SN S 120º 30º E ST − E TN Fig. 22.- Diagrama fasorial de tensiones de fase y tensiones de líneas en secuencia directa de un generador en Y NOTA.- El ángulo formado entre una tensión de línea y una tensión de fase es de 30º eléctricos (ver Fig. 19 y Fig. 22) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 16 LEIV.
  18. 18. Si la secuencia de fases es inversa o negativa, según Fig. 18, con tensiones de fases: …(24) E RN = E f / 0 º V E TN = E f / − 120 º V …(25) E SN = E f / 120 º V Las tensiones de líneas son: …(26) E RT = E RN − E TN …(27) E TS = E TN − E SN …(28) E SR = E SN − E RN …(29) S E SR E SN S S N E SN N R E TN E TS N T 0º 12 E RN 30º E RT R E TN E RN T 120 º º 30 T Fig. 23.- Tensiones de fase y de línea de un generador trifásico tetrafilar en secuencia inversa o negativa Reemplazando las ecuaciones del (24) al (26) en las ecuaciones del (27) al (29), se tiene las ecuaciones: E RT = E f / 0 º − E f / − 120 º = 3 E f / 30 º V …(30) E TS = E f / − 120 º − E f / 120 º = 3 E f / − 90 º V …(31) E SR = E f / 120 º − E f / 0 º = 3 E f / 150 º V …(32) También se obtiene las tensiones de líneas E RS , E ST y E TR , desfasando las ecuaciones (32), (31) y (30) en 180 º eléctricos E RS = − E SR = 3 E f / − 30 º V …(33) E ST = − E TS = 3 E f / 90 º V …(34) E TR = − E RT = 3 E f / − 150 º V …(35) NOTA.- El desfase en 180º eléctricos de un fasor se obtiene permutando los subíndices correspondientes del fasor en referencia. Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 17 LEIV.
  19. 19. E ST − E RN E RT E SN − E TN E SR E RN E TN E TR E RS E TS − E SN Conexión del generador en Delta (∆). Los tres arrollamientos del generador trifásico se conectan en configuración ∆, como se muestra en la Fig. 25. para secuencia positiva T T E Tt = E TR R 120º E Tt t s r R E Rr E Ss S E Rr = E RS 0º 12 E Ss = E ST S Fig. 25.- Generador en delta en secuencia de fases directa Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 12 0º Fig. 26.- Tensiones de fase y de línea de un generador trifásico trifilar en , en secuencia directa o positiva 18 LEIV.
  20. 20. El borne “r” se conecta en cortocircuito con el borne “S”. De la misma forma el borne “s” se conecta en cortocircuito con el borne “T”; y el borne “t” se conecta con el borne “R” . El la Fig. 26 se muestra las tensiones de fase en secuencia positiva, y que según en la conexión ∆, las tensiones de fase son iguales a las tensiones de líneas. Ef = El …(36) En las Fig. 27 y Fig. 28 se muestra la conexión ∆, y las tensiones de fase iguales a las tensiones de líneas de un generador con tensiones en secuencia inversa o negativa E Ss = E SR S S E Ss 12 0º s t r R E Rr = E RT 0º 12 R E Rr E Tt E Tt = E TS T T Fig. 27.- Generador en delta en secuencia de fases inversa CARGAS TRIFÁSICAS Las cargas trifásicas son conectadas en estrella (Y), o en delta o triángulo (∆), y pueden ser balanceadas (equilibradas) o desbalanceadas (desequilibradas) Cargas trifásicas balanceadas.- Son Aquellas cargas constituidas por las tres impedancias de fases: Z f = Z / ϕº Ω …(37) exactamente iguales, como se muestran en las Fig. 29 y Fig. 30 R R Zf Zf Zf Zf Zf T T S Fig. 29. Carga trifásica balanceada en estrella Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos Zf S Fig. 30. Carga trifásica balanceada en triángulo 19 LEIV.
  21. 21. Cargas trifásicas desbalanceadas.- Son Aquellas cargas constituidas por las tres impedancias de fase desiguales, según se muestran en la Fig.31 y Fig. 32 R Z1 Z1 Z2 Z2 Z3 T S Z3 Fig. 32. Carga trifásica desbalanceada en triángulo Z1 ≠ Z 2 ≠ Z3 Z1 ≠ Z 2 ≠ Z 3 CIRCUITOS TRIFÁSICOS BALANCEADOS El sistema trifásico balanceado está conformado por un generador trifásico que generalmente tiene las tensiones de fases balanceadas, el cual alimenta cargas trifásicas balanceadas por medio de tres líneas (3 hilos) o cuatro líneas (4 hilos) GENERADOR TRIFÁSICO EN Y, CON CARGA BALANCEADA EN Y, EN SECUENCIA DIRECTA IT T TRIFÁSICA PT T E TN t N E SN s r Zf PR IR Zf R E RN Zf N S I R + IS + I T IS S Tensiones de fase del generador. Para la Fig. 33 mostrada, sea: E RN = E f / 0 º V ( referencia ) secuencia (+) E SN = E f / − 120 º V …(39) E TN = E f / 120 º V …(38) …(40) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 20 LEIV.
  22. 22. Los potenciales de los bornes “r”, “s” y “t” son los mismos, denotados por “N” (neutro). Los potenciales de los bornes “R” , “S” y “T” de las líneas y el potencial del neutro son los mismos tanto en el generador como en la carga. Por lo tanto las tensiones de fase del generador son también tensiones de fase de la carga. Corrientes de líneas Las corrientes de líneas I R , I S , I T , son denotadas con un subíndice, que corresponde al borne o índice de la línea por donde circula. Estas corrientes de líneas, son también corrientes de fase, tanto para el generador, como para la carga, debido a que circulan por las línea, por las fases del generador en “Y” y las fases de la carga en “Y”. Il = If …(41) IR = IS = IT = E RN Zf E SN Zf E TN Zf = E f / 0º E f = / − ϕº A Z / ϕº Zf …(42) = E f / − 120 º E f = / − 120 º − ϕº A Z / ϕº Zf …(43) = E f / 120 º E f = / 120 º − ϕº A Z / ϕº Zf …(44) De las ecuaciones (42), (43) y (44), se observa que para el sistema trifásico balanceado, los valores eficaces de las corrientes de líneas son de igual magnitud, es E decir: I R = I S = I T = I l = f …(45) Zf También se observa que el desfase entre estas corrientes de líneas es de 120º eléctricos Al sumar las tres corrientes de líneas, para determinar la corriente en el neutro se tiene …(46) es decir que por conductor neutro no circula que I R + IS + I T = 0 corriente (circuito abierto), por lo tanto se puede prescindir del conductor neutro. Pero el conductor neutro, une el neutro del generador con el neutro de la carga, lo que constituye un corto circuito. De lo estudiado se concluye: En el sistema trifásico balanceado, con generador en “Y” y carga en “Y”, las tres corrientes de líneas son corrientes de fases, con igual magnitud eficaz es decir E I R = IS = IT = Il = If = f …(47), y se encuentran desfasadas entre ellas en 120º Zf eléctricos; y cuya suma fasorial es cero Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 21 LEIV.
  23. 23. En la Fig. 34 se observa el diagrama fasorial de tensiones de fases, tensiones de líneas y de corrientes de líneas del sistema trifásico tetrafilar balanceado en estudio, cuando la carga tiene factor de potencia en atraso E TS − E RN 30º E TR E TN E RS 30º IT 30º º 30 − E SN ϕº 30º ϕº 90º ϕº 30º IS E SN E RN IR ϕº > 0 30º E ST − E TN Fig. 34.- Diagrama fasorial de tensiones de fase, tensiones de línea y de corrientes de línea, de un sistema trifásico tetrafilar balanceado en secuencia (+), con factor de potencia en atraso Potencias aparentes de fases De la Fig. 33 se determina las potencias aparentes absorbidas por cada impedancia de fase: E2 Ef / ϕº = f / ϕº VA Zf Zf Fase R-N SRN = E RN I * = E f / 0 º R Fase S-N * SSN = E SN IS = E f / − 120 º E2 Ef / 120 º + ϕº = f / ϕº VA Zf Zf …(49) Fase T-N STN = E TN I * = E f / 120 º T E2 Ef / − 120 º + ϕº = f / ϕº VA Zf Zf …(50) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 22 …(48) LEIV.
  24. 24. De las ecuaciones (48), (49) y (50), se observa que las potencias absorbidas por cada E2 impedancia de fase, son exactamente iguales: SRN = SSN = STN = f / ϕº VA …(50) Zf Potencia aparente total trifásica La potencia aparente total entregada por la fuente es la suma de las tres potencias aparentes absorbidas por cada impedancia de fase. Luego: E2 Stot = SRN + SSN + STN = 3 x f / ϕº VA …(51) Zf La ecuación (50) puede escribirse: Stot = 3 E f De la ecuación (17), E f = El 3 Ef / ϕ º VA Zf …(52) …(53) Ef = Il …(54) Zf Reemplazando las ecuaciones (53) y (54) en la ecuación (52) se tiene: De la ecuación (45) Stot = 3 x El x I l / ϕº VA …(55) 3 Efectuando operaciones en el segundo miembro de la ecuación (55) tenemos: Stot = 3 E l I l / ϕ º VA …(56) El módulo de la potencia aparente total es: S tot = 3 E l I l VA …(57) Pero Stot = Ptot + J Q tot VA …(58) Potencia activa total De la ecuación (56) la potencia activa total trifásica es: Ptot = 3 E l I l cos ϕº vatios …(59) Potencia reactiva total De la ecuación (56) la potencia reactiva total trifásica es: Q tot = 3 E l I l senϕº var es …(60) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 23 LEIV.
  25. 25. La potencia aparente total absorbida por una carga trifásica balanceada en “Y” son funciones de los valores eficaces de la tensión y corriente de línea, como se analiza de la ecuación (57) La potencia activa total absorbida por una carga trifásica balanceada en “Y” son funciones de los valores eficaces de tensión y corriente de línea y del factor de potencia total (el factor de potencia total es igual al factor de potencia de cada impedancia de fase) como indica la ecuación (59) La potencia reactiva total absorbida por una carga trifásica balanceada en “Y” son funciones de los valores eficaces de tensión y corriente de línea y del seno del ángulo de la impedancia de fase, como indica la ecuación (60) Los valores eficaces de tensión de línea y corriente de línea no determinan como está conectado el generador ni la carga trifásica balanceada E TS − E RN 30º E TR 30º E RS E TN º 30 − E SN IT 30º 30º IR IS E RN 30º ϕº = 0 E SN 30º E ST − E TN Fig. 35.- Diagrama fasorial de tensiones de fase, tensiones de línea y de corrientes de línea, de un sistema trifásico tetrafilar balanceado en secuencia (+), con factor de potencia igual a uno Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 24 LEIV.
  26. 26. E TS − E RN E RS E TN 30º E TR º 30 − E SN 30º IT ϕº 30º ϕº IR 30º E RN ϕº IS E SN ϕº < 0 30º 30º − E TN E ST Fig. 36.- Diagrama fasorial de tensiones de fase, tensiones de línea y de corrientes de línea, de un sistema trifásico tetrafilar balanceado en secuencia (+), con factor de potencia en adelanto GENERADOR TRIFÁSICO EN ∆, CON CARGA BALANCEADA EN ∆, EN SECUENCIA DIRECTA T T IT TRIFÁSICA PT I TR E Tt t s r Zf I ST IR R Zf PR R E Rr Zf E Ss S S Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos I RS IS 25 LEIV.
  27. 27. Tensiones de fase del generador. E RS = E f / 0 º V ( referencia ) secuencia (+) E ST = E f / − 120 º V …(62) E TR = E f / 120 º V …(61) …(63) El potencial de borne “r” es mismo que del borne “S”; el potencial del borne “s” es el mismo que del borne “T”; y el potencial del borne “t” es el mismo que el potencial del borne “R”, tal como se observa en la Fig.37, quedando el generador conectado en ∆, Los potenciales “R”, “S” y “T” son los mismos que de la carga en conexión ∆, luego a cada fase de la carga se a aplicado la tensión de línea, es decir que en conexión del generador en ∆, las tensiones de fase son también tensiones de líneas E f = E l , como indica la ecuación (36) Corrientes de fases Son aquellas corrientes que circulan por las fases del generador o fases de la carga. Las corrientes de fases se especifican con doble subíndice como por ejemplo de la Fig. 38 se dice: I RS : que circula por la fase de la carga, del borne “R” al borne “S” IST : que circula por la fase de la carga, del borne “S” al borne “T” I TR : que circula por la fase de la carga, del borne “T” al borne “R” Así también se puede determinar la corriente ISR que circula por la fase de la carga, del borne “S” al borne “R”. Es decir I RS = − I SR …(64) Cuando se evalúa las corrientes de fase del generador, generalmente es para determinar las corrientes permisibles que circulan por las bobinas de fuerza del generador, con el propósito de no deteriorar dichas fases generadoras de energía eléctrica. I RS = IST = I TR = E RS Zf E ST Zf E TR Zf = E f / 0º E f = / − ϕº A Z f / ϕº Z f = E f / − 120 º E f = / − 120 º − ϕº A Z f / ϕº Zf = E f / 120 º E f = / 120 º − ϕº A Z f / ϕº Zf I RS + IST + I TR = 0 Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos …(65) …(66) …(67) …(68) 26 LEIV.
  28. 28. Se observa que en el sistema balanceado en ∆ en secuencia positiva, las tres corrientes E de fases tienen el mismo valor eficaz, es decir: I RS = I ST = I TR = I f = f A …(69), Zf y se encuentran desfasadas entre ellas en 120’ eléctricos, cuya suma fasorial es cero. Corrientes de líneas Son las corrientes que circulan por las líneas que unen el generador con la carga. Estas corrientes circulan del generador hacia la carga, y se denotan con un solo subíndice correspondiente al borne de la línea en referencia. Así el circuito de la Fig. 37, las corrientes de líneas son: I R , I S e I T Aplicando 1ra Ley de Kirchhoff a los bornes “R”, “S” y “T” de la carga en ∆, se tiene: En el borne “R” I R = I RS − I TR …(70) En el borne “S” IS = I ST − I RS …(71) En el borne “T” I T = I TR − IST …(72) Reemplazando las corrientes de fases, en los segundos miembros en las ecuaciones (70), (71) y (72) se tiene: IR = Ef E E / − ϕº − f / 120 º − ϕº = 3 f / − 30 º − ϕº A Zf Zf Zf …(73) IS = Ef E E / − 120 º − ϕº − f / − ϕº = 3 f / − 150 º − ϕº A Zf Zf Zf …(74) IT = Ef E E / 120 º − ϕº − f / − 120 º − ϕº = 3 f / 90 º − ϕº A …(75) Zf Zf Zf Sumando los primeros y segundos miembros de las ecuaciones (70), (71) y (72) se tiene: I R + IS + I T = 0 A Según la expresión (69) y las magnitudes eficaces de las corrientes de líneas determinadas por los segundos miembros de las ecuaciones del (73) al (75), se concluye: I R = I S = I T = I l = 3 I f A …(76), y se encuentran desfasadas entre ellas en 120° eléctricos, siendo la suma fasorial igual a cero Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 27 LEIV.
  29. 29. Para este circuito el diagrama fasorial de tensiones y corrientes, con factor de potencia en atraso se muestra en la Fig. 38. E TR E TS − IST I T (30 º − ϕº ) I TR ϕº 30 º 60 º IS 30º ϕº − I RS IST ϕº 30 º 90 º − ϕº E RS I RS − I TR IR ϕº > 0 E ST Fig. 38.- Diagrama fasorial de tensiones y corrientes de un sistema trifásico trifilar en , balanceado en secuencia (+), con factor de potencia en atraso Potencias aparentes de fases Determinando las potencias aparentes absorbidas por cada fase de la carga, se tiene: En la fase R-S SRS = E RS I * = E f / 0 º RS E2 Ef / ϕº = f / ϕº VA Zf Zf …(77) * En la fase S-T SST = E ST I ST = E f / − 120 º E2 Ef / 120 º + ϕº = f / ϕº VA Zf Zf En la fase T-R STR = E TR I * = E f / 120 º TR E2 Ef / − 120 º + ϕº = f / ϕº VA Zf Zf …(78) …(79) Se observa que en el sistema balanceado en ∆, las potencias aparentes por fase son E2 iguales, es decir SRS = SST = STR = Sf = f / ϕº VA …(80) Zf Potencia aparente total La potencia aparente total absorbida por la carga es igual a la suma fasorial de las tres potencias aparentes de cada fase Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 28 LEIV.
  30. 30. Stot = SRS + SST + STR = 3 2 Ef Zf La ecuación (81) puede escribirse: Stot = 3 E f De la ecuación (36), E f = E l / ϕ º VA Ef / ϕ º VA Zf …(81) …(82) …(83) Ef = If …(84) Zf Reemplazando las ecuaciones (83) y (84) en la ecuación (82) se tiene: De la ecuación (69) Stot = 3 x E l x I f / ϕº VA …(85) Según la ecuación (76) se deduce: I f = Il A …(86) 3 Reemplazando (86) en (85) y efectuando operaciones en el segundo miembro de la ecuación (85) tenemos: Stot = 3 E l I l / ϕ º VA …(87) El módulo de la potencia aparente total es: S tot = 3 E l I l VA …(88) Pero Stot = Ptot + J Q tot VA …(89) Potencia activa total De la ecuación (56) la potencia activa total trifásica es: Ptot = 3 E l I l cos ϕº vatios …(90) Potencia reactiva total De la ecuación (56) la potencia reactiva total trifásica es: Q tot = 3 E l I l senϕº var es …(91) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 29 LEIV.
  31. 31. A continuación se muestran en la Fig. 39 y Fig. 40, los diagramas fasoriales de tensiones y corrientes de un sistema trifásico trifilar en ∆, con factor de potencia unitario y factor de potencia en adelanto respectivamente E TR E TS IT − IST I TR 30 º I RS 60 º IS E RS 30 º 30º − I TR IST IR − I RS ϕº = 0 E ST Fig. 39.- Diagrama fasorial de tensiones y corrientes de un sistema trifásico trifilar en , balanceado en secuencia (+), con factor de potencia unitario E TR E TS 60 º − IST IT ϕº 30 º − ϕº I TR 30 º I RS 30 º ϕº − I TR E RS IR IST IS − I RS ϕº ϕº < 0 E ST Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 30 LEIV.
  32. 32. La potencia aparente total depende únicamente de los valores de tensión y corriente de línea, según se observa de la ecuación (88) La potencia activa total absorbida por una carga trifásica balanceada en “∆” en secuencia directa, son funciones de los valores eficaces de tensión y corriente de línea y del factor de potencia total (el factor de potencia total es igual al factor de potencia de cada impedancia de fase), como se observa de la ecuación (90) La potencia reactiva total absorbida por una carga trifásica balanceada en “∆” en secuencia directa, son funciones de los valores eficaces de tensión y corriente de línea y del seno del ángulo de la impedancia de fase, deducido de la ecuación (91) Los valores eficaces de tensión de línea y corriente de línea no determinan como está conectado el generador ni la carga trifásica balanceada MEDIDA DE LA POTENCIA ACTIVA TOTAL ABSORBIDA POR UNA CARGA TRIFÁSICA BALANCEADA, O DESBALANCEADA La medición de la potencia activa total trifásica en un sistema polifásico es posible, instalando tantos vatímetros monofásicos como fases tiene el sistema Para en sistema trifásico se utilizarían tres vatímetros monofásicos conectados en cada fase; de manera tal que cada vatímetro monofásico mida la potencia activa de fase, esto es que por cada bobina amperimétrica ingrese la corriente de fase y a la bobina voltimétrica de cada vatímetro monofásico aplicar la tensión de fase (es decir entre línea y neutro para la carga en estrella; o entre línea y línea para la carga en delta), tal como se muestra en la Fig. 41 y Fig. 42, para una carga en Y o en ∆ respectivamente R PZ 3 PT Z1 ≠ Z 2 ≠ Z3 IT Z3 T Z1 PZ Z2 IS PS IR Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos Z1 Z3 2 Z2 PZ 1 S Z1 ≠ Z 2 ≠ Z3 PR Fig. 42. Medida de la potencia trifásica de una carga trifásica en triángulo, mediante tres vatímetros monofásicos 31 LEIV.
  33. 33. El método de los tres vatímetros es adecuado para la medición de la potencia activa de un sistema trifásico desbalanceado, generalmente si las tensiones entregadas por el generador y el factor de potencia de la carga, varían constantemente, y la potencia total es la suma algebraica de las tres lecturas indicadas de cada vatímetro Así para la Fig. 41 la potencia total es: Ptot = PR + PS + PT Y para la Fig. 42 la potencia total es: Ptot = PZ + PZ + PZ 1 2 …(92) …(93) 3 Método de los dos vatímetros Para la medición de la potencia trifásica, el método de los dos vatímetros es el que comúnmente se utiliza. Para medir la potencia trifásica total por este método, la carga puede estar conectado en estrella ( Y ) o delta ( ∆ ), y puede ser balanceada o desbalanceada Los dos vatímetros se deben conectar adecuadamente dos líneas, tal como se muestra en la Fig. 43. Cada vatímetro se conecta en dos líneas cualesquiera, de manera tal que en cada bobina amperimétrica ingrese la corriente de línea; y a cada bobina voltimétrica se conecte la tensión de línea determinada por la línea donde se ha conectado el vatímetro y la otra línea donde no se ha conectado un vatímetro. Si bien los vatímetros individuales ya no registran la potencia absorbida por cualquier fase particular de la carga, la suma algebraica de las lecturas de los dos vatímetros es igual a la potencia activa total tomada por las carga trifásica, sin que importe las conexiones, tanto de generador como de la carga (estrella o delta). T R S IT IR PT C arg a trifásica en Y o ∆ PR balanceada o desbalanceada IS Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 32 LEIV.
  34. 34. Medida de potencia trifásica total por medio del método de los dos vatímetros monofásicos para el sistema Y balanceado en secuencia directa Analizaremos el circuito eléctrico ya estudiado de la Fig. 33, con Generador en “Y” y carga en “Y”con su diagrama fasorial de tensiones y corrientes es el mostrado en la Fig. 34 IT T PT T E TN N s r Zf PR IR t Zf R E RN E SN Zf N S I R + IS + I T IS S E TS − E RN 30º E TR S 30º E TN E RS º 30 − E SN IT 30º ϕº 30º ϕº IS 90º ϕº 30º E RN IR E SN 30º − E TN E ST Fig. 34.- Diagrama fasorial de tensiones de fase, tensiones de línea y de corrientes de línea, de un sistema trifásico tetrafilar balanceado en secuencia (+), con factor de potencia en atraso Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 33 LEIV.
  35. 35. Si : Si : Si : 0 º < ϕº < 90 º , el factor de potencia es en atraso 0 º = ϕº , el factor de potencia es unitario (máximo) − 90 º < ϕº < 0 º , el factor de potencia es en adelanto Para el circuito de la Fig. 33, las lecturas son: E RS IR …(94) E TS IT …(95) PR = E RS I R cos 〈 PT = E TS I T cos 〈 Siendo E RS = E TS = E l IR = IT = Il …(96) …(97) De la Fig. 34 el ángulo formado entre E RS e I R es: 〈 y el ángulo formado entre E TS e I T es: E TS IT 〈 E RS IR = 30 º + ϕ º = 30 º − ϕº …(98) …(99) Reemplazando las ecuaciones (96), (97) y (98) en la ecuación (94) se obtiene en valores de líneas PR = E l I l cos (30 º + ϕº ) vatios …(100) Reemplazando las ecuaciones (96), (97) y (99) en la ecuación (95) se obtiene en valores de líneas PT = E l I l cos (30 º − ϕº ) vatios …(101) Sumando los primeros miembros de las ecuaciones (100) y (101) se tiene: PR + PT = E l I l (cos (30 º + ϕ º ) + cos(30 º −ϕ º ) ) vatios …(102) Efectuando operaciones en el segundo miembro de la ecuación (102) se tiene: PR + PT = E l I l 2 cos 30 º cos ϕ º vatios siendo cos 30 º = …(103) 3 …(104), que reemplazado en (103) se tiene: 2 PR + PT = 3 E l I l cos ϕº vatios Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos …(104) 34 LEIV.
  36. 36. El segundo miembro de la expresión de la ecuación (104), es idéntica a la expresión del segundo miembro de la ecuación (59), e indica que los dos vatímetros monofásicos dan valores de lecturas, cuya suma es igual a la potencia activa total absorbida por la carga trifásica balanceada en Y La potencia total activa es función de los valores eficaces de tensión de línea, corriente de línea y del factor de potencia total (igual al factor de potencia de cada impedancia de fase) En secuencia (+), los vatímetros se han colocado en las líneas “R” y “T” obteniendo las lecturas: PR = E l I l cos (30 º + ϕº ) vatios …(100) PT = E l I l cos (30 º − ϕº ) vatios …(101) PR + PT = 3 E l I l cos ϕº vatios …(104) Graficando las ecuaciones (100) y (101) y (104) se obtiene la Fig. 44, de la que se deduce: P El Il Ptot El Il 3 PT El Il 3/2 75º − 75º − ϕº − 90 º − 60 º − 45º − 30 º − 15º 15º 30 º 45º 60º ϕº 90 º PR El Il Fig. 44.- Gráfica de PR , PT , Ptot en secuencia directa, de un sistema trifásico balanceado en Y 1º. Para factor de potencia total en atraso, en secuencia directa R S T R S T, se ha conectado dos vatímetros: * * a. Un vatímetro conectado en la línea R y el otro en la línea T R S T R S T , quedando la línea “S” centrada entre las dos líneas donde se han conectado los vatímetros Así: PT ( vatímetro que se encuentra a la derecha ) tiene mayor lectura que PR (vatímetro que se encuentra a la izquierda) es decir PT > PR Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 35 LEIV.
  37. 37. b. Si se hubiera conectado los vatímetros en las líneas “S” y “T”, para factor de * * potencia en atraso y en secuencia directa R S T R S T , la lectura PS > PT c. Si se hubiera conectado los vatímetros en las líneas “R” y “S”, para factor de * * potencia en atraso y en secuencia directa R S T R S T , la lectura PR > PS 2º. Si el factor de potencia total es unitario, las lecturas son iguales. PR = PT 3º. Para factor de potencia total en adelanto, en secuencia (+), se conecta dos vatímetros: * * a. Con los vatímetros en las líneas “R” y “T” R S T R S T , vatímetro conectado en la línea “R” ( vatímetro que se encuentra a la izquierda) tiene mayor lectura que PT (vatímetro que se encuentra a la derecha) es decir PR > PT b. Si se hubiera conectado los vatímetros en las líneas “S” y “T”, para factor de * * potencia en adelanto y en secuencia directa R S T R S T , la lectura PT > PS c. Si se hubiera conectado los vatímetros en las líneas “R” y “S”, para factor de * * potencia en adelanto y en secuencia directa R S T R S T , la lectura PS > PR 4º. En las ecuaciones (100) y (101), al cambiar ϕº por − ϕ º , se permutan las lecturas Medida de potencia trifásica total por medio del método de los dos vatímetros monofásicos para el sistema ∆ balanceado en secuencia directa Analizaremos el circuito eléctrico ya estudiado de la Fig. 37, con Generador en “∆” y carga en “∆”cuyo diagrama fasorial de tensiones y corrientes es el mostrado en la Fig. 38 T T IT PT I TR E Tt t s r E Rr Zf E Ss S Zf I ST IR R Zf PR R S Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos I RS IS 36 LEIV.
  38. 38. E TS E TR − IST I T (30 º − ϕº ) I TR ϕº 30 º 60 º IS 30º ϕº − I RS IST ϕº 30 º 90 º − ϕº E RS I RS − I TR IR ϕº > 0 E ST Fig. 38.- Diagrama fasorial de tensiones y corrientes de un sistema trifásico trifilar en , balanceado en secuencia (+), con factor de potencia en atraso Si : Si : Si : 0 º < ϕº < 90 º , el factor de potencia es en atraso 0 º = ϕº , el factor de potencia es unitario (máximo) − 90 º < ϕº < 0 º , el factor de potencia es en adelanto Para el circuito eléctrico de la Fig. 33, las lecturas son: E RS IR …(105) E TS IT …(106) PR = E RS I R cos 〈 PT = E TS I T cos 〈 Siendo E RS = E TS = E l IR = IT = Il …(107) …(108) De la Fig. 38 el ángulo formado entre E RS e I R es: 〈 y el ángulo formado entre E TS e I T es: E TS IT 〈 E RS IR = 30 º − ϕº = 30 º + ϕ º …(109) …(110) Reemplazando las ecuaciones (107), (108) y (109) en la ecuación (105) se obtiene en valores de líneas PR = E l I l cos (30 º + ϕº ) vatios Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 37 …(111) LEIV.
  39. 39. Reemplazando las ecuaciones (107), (108) y (110) en la ecuación (106) se obtiene en valores de líneas PT = E l I l cos (30 º − ϕº ) vatios …(112) Sumando los primeros miembros de las ecuaciones (111) y (112) se tiene: PR + PT = E l I l (cos (30 º + ϕ º ) + cos(30 º −ϕ º ) ) vatios …(113) Efectuando operaciones en el segundo miembro de la ecuación (113) se tiene: PR + PT = E l I l 2 cos 30 º cos ϕ º vatios siendo cos 30 º = …(114) 3 …(115), que reemplazado en (114) se tiene: 2 PR + PT = 3 E l I l cos ϕº vatios …(116) El segundo miembro de la ecuación (116), es idéntica al segundo miembro de la ecuación (90), e indica que los dos vatímetros monofásicos dan valores de lecturas, cuya suma es igual a la potencia activa total absorbida por la carga trifásica balanceada en ∆. La potencia total activa es función de los valores eficaces de tensión de línea, corriente de línea y del factor de potencia total (igual al factor de potencia de cada impedancia de fase) En secuencia (+), los vatímetros se han colocado en las líneas “R” y “T” obteniendo las lecturas: PR = E l I l cos (30 º + ϕº ) vatios …(111) PT = E l I l cos (30 º − ϕº ) vatios …(112) PR + PT = 3 E l I l cos ϕº vatios …(116) Los valores de potencia indicados por las ecuaciones (111) , (112) , y (116), son observados en la Fig. 45 (Exactamente igual a la Fig. 44) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 38 LEIV.
  40. 40. P El Il Ptot 3 El Il PT El Il 3/2 75º − 75º − ϕº − 90 º − 60 º − 45º − 30 º − 15º 15º 30 º 45º 60 º ϕº 90 º PR El Il Para el sistema Y o ∆ trifásico balanceado en secuencia directa: La ecuación (100) es idéntica a la ecuación (111) La ecuación (101) es idéntica a la ecuación (112) La ecuación (104) es idéntica a la ecuación (116) De lo que se concluye que la potencia indicada por cada vatímetro monofásico es independiente de la conexión del generador y de la conexión de la carga, y que la suma algebraica de las lecturas de cada vatímetro monofásico es la potencia activa total absorbida por la carga trifásica. La potencia activa total siempre positivo, sin embargo las lecturas de los vatímetros peden tomar valores positivos y negativos, dependiendo de la secuencia de fases y del factor de potencia de la carga trifásica balanceada. Determinación del ángulo de impedancia de la carga trifásica balanceada en Y o ∆ Las lecturas de cada vatímetro monofásico de un circuito trifásico balanceado dependen del factor de potencia, tal como las ecuaciones: PR = E l I l cos (30 º + ϕº ) vatios …(100) ó …(111) PT = E l I l cos (30 º − ϕº ) vatios …(101) ó …(112) es lógico que estas ecuaciones nos permitan determinar una fórmula que determine el ángulo de la impedancia de la carga trifásica balanceada. Obteniendo la diferencia de lecturas de los vatímetros monofásicos PT − PR = E l I l  cos(30 º − ϕ º ) − cos(30 º + ϕº )      Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 39 …(117) LEIV.
  41. 41. Efectuando operaciones en el segundo miembro de la ecuación (117) se tiene: PT − PR = E l I l  2 sen 30 º senϕº      PT − PR = E l I l senϕº Pero siendo sen 30º = 1 / 2 …(118) PR + PT = 3 E l I l cos ϕº vatios …(104) ó …(116) Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (118) y (104) se tiene: PT − PR = PR + PT 3 E l I l senϕº 3 E l I l cos ϕ º  P − PR  de donde tgϕº = 3  T   PT + PR    …(119) …(120) En la aplicación de la ecuación (120) para evaluar tg ϕº es necesario aplicar los signos correctos a los valores de PT y PR SISTEMA TRIFASICO TETRAFILAR BALANCEADO EN Y, EN SECUENCIA INVERSA O NEGATIVA IS S S E SN s N t r Zf PR IR Zf R E RN Zf E TN N T T I R + IS + I T IT PT En la Fig. 46 se muestra el circuito eléctrico a estudiar, con los dos vatímetros monofásicos conectados en las líneas “R” y “T” Las tensiones de fase del generador en secuencia inversa son: Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 40 LEIV.
  42. 42. E RN = E f / 0 º V …( 121 ) E SN = E f / 120 º V …(122) E TN = E f / − 120 º V …(123) ( referencia a 0º ) secuencia (-) Corrientes de líneas Las corrientes de líneas I R , IS , I T e son denotadas con un subíndice, que corresponde al borne o índice de la línea por donde circula. Estas corrientes de líneas, son también corrientes de fase, tanto para el generador, como para la carga, debido a que circulan por las línea, por las fases del generador en “Y” y las fases de la carga en “Y”. Il = If …(41) IR = IS = IT = E RN Zf E SN Zf E TN Zf = E f / 0º E f = / − ϕº A Z / ϕº Zf …(124) = E f / 120 º E f = / 120 º − ϕº A Z / ϕº Zf …(125) = E f / − 120 º E f = / − 120 º − ϕº A Z / ϕº Zf …(126) De las ecuaciones (124), (125) y (126), se observa que para el sistema trifásico balanceado, los valores eficaces de las corrientes de líneas son de igual magnitud, es E …(127) decir: I R = I S = I T = I l = I f = f Zf También se observa que el desfase entre las corrientes de líneas es de 120º eléctricos Al sumar las tres corrientes de líneas, para determinar la corriente en el neutro se tiene que I R + IS + I T = 0 …(128) es decir que por conductor neutro no circula corriente ( característica de un circuito abierto), por lo tanto se puede prescindir del conductor neutro. El conductor neutro, une el neutro del generador con el neutro de la carga, lo que constituye un corto circuito. De lo estudiado se concluye: En el sistema trifásico balanceado, con generador en “Y” y carga en “Y”, las tres corrientes de líneas son corrientes de fases, con igual magnitud eficaz es decir E I R = IS = IT = Il = I f = f …(127), y se encuentran desfasadas entre ellas en Zf 120º eléctricos; y cuya suma fasorial es cero Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 41 LEIV.
  43. 43. En la Fig. 47 se observa el diagrama fasorial de tensiones de fases, tensiones de líneas y de corrientes de líneas del sistema trifásico tetrafilar balanceado en secuencia negativa o inversa, cuando la carga tiene factor de potencia en atraso − E TN E ST 30º E RT E SR E SN ϕº I S 30º ϕº > 0 IT ϕº 30º 90 ϕº E TR E RN 30º 30º º −ϕ º IR 30 − E SN º 30º 30º − E RN E RS E TN E TS Fig. 47.- Diagrama fasorial de tensiones de fase, tensiones de línea y de corrientes de línea de un sistema trifásico tetrafilar en secuencia (-), con factor de potencia en atraso Potencias aparentes de fases De la Fig. 47 se determina las potencias aparentes absorbidas por cada impedancia de fase: E2 Ef / ϕº = f / ϕº VA Zf Zf Fase R-N SRN = E RN I * = E f / 0 º R Fase S-N * SSN = E SN IS = E f / 120 º Fase T-N STN = E TN I * = E f / − 120 º T Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos …(129) E2 Ef / − 120 º + ϕº = f / ϕº VA …(130) Zf Zf E2 Ef / 120 º + ϕº = f / ϕº VA …(131) Zf Zf 42 LEIV.
  44. 44. De las ecuaciones (129), (130) y (131), se observa que las potencias absorbidas por cada impedancia de fase, son exactamente iguales: SRN = SSN = STN = 2 Ef Zf / ϕº VA …(132) Potencia aparente total trifásica La potencia aparente total entregada por la fuente es la suma de las tres potencias aparentes absorbidas por cada impedancia de fase. Luego: Stot = SRN + SSN + STN = 3 x 2 Ef / ϕº VA …(133) La ecuación (133) puede escribirse: Stot = 3 E f Ef / ϕ º VA Zf Para el sistema estrella, E f = El 3 Zf …(134) …(135) Ef = Il …(136) Zf Reemplazando las ecuaciones (135) y (136) en la ecuación (134) se tiene: De la ecuación (127) Stot = 3 x El x I l / ϕº VA …(137) 3 Efectuando operaciones en el segundo miembro de la ecuación (137) tenemos: Stot = 3 E l I l / ϕ º VA …(138) El módulo de la potencia aparente total es: S tot = 3 E l I l VA …(139) Pero Stot = Ptot + J Q tot VA …(140) Potencia activa total De la ecuación (140) la potencia activa total trifásica es: Ptot = 3 E l I l cos ϕº vatios …(141) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 43 LEIV.
  45. 45. Potencia reactiva total De la ecuación (138) la potencia reactiva total trifásica es: Q tot = 3 E l I l senϕº var es …(142) − E TN E ST E RT E SR E SN E RN E TR 30 − E SN º E TN ϕº = 0º E RS − E RN E TS La potencia aparente total absorbida por una carga trifásica balanceada en “Y” son funciones de los valores eficaces de la tensión y corriente de línea, como se analiza de la ecuación (139) La potencia activa total absorbida por una carga trifásica balanceada en “Y” son funciones de los valores eficaces de tensión y corriente de línea y del factor de potencia total (el factor de potencia total es igual al factor de potencia de cada impedancia de fase) como indica la ecuación (141) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 44 LEIV.
  46. 46. La potencia reactiva total absorbida por una carga trifásica balanceada en “Y” son funciones de los valores eficaces de tensión y corriente de línea y del seno del ángulo de la impedancia de fase, como indica la ecuación (142) Los valores eficaces de tensión de línea y corriente de línea no determinan como está conectado el generador ni la carga trifásica balanceada En las Fig. 48 y Fig. 49 se muestran los diagramas fasoriales de tensiones y corrientes en secuencia inversa, de los sistemas trifásicos tetrafilares en Y, con factor de potencia unitario y factor de potencia en adelanto respectivamente − E TN E ST E RT E SR E SN ϕº ϕº E RN ϕº E TR 30 − E SN º E TN ϕº < 0 º E RS − E RN E TS Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 45 LEIV.
  47. 47. Medida de potencia trifásica total por medio del método de los dos vatímetros monofásicos para el sistema Y balanceado en secuencia inversa o negativa Según el circuito eléctrico de la Fig. 46, los vatímetros están conectados en las líneas R y T, luego las lecturas de los vatímetros serán: E RS IR …(143) E TS IT …(144) PR = E RS I R cos〈 PT = E TS I T cos〈 La tensiones E RS = E TS = E l Las corrientes I R = I T = I l …(145) …(146) − E TN 30º E ST E RT E SR E SN ϕº I S 30º ϕº > 0 IT 9 − E RN ϕ 0º − º IR 30 − E SN º 30º 30º ϕº 30º ϕº E TR E RN 30º 30º E RS E TN E TS Fig. 47.- Diagrama fasorial de tensiones de fase, tensiones de línea y de corrientes de línea de un sistema trifásico tetrafilar en secuencia (-), con factor de potencia en atraso Del diagrama de la Fig. 47 se obtienen los ángulos entre tensiones y corrientes, así Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 46 LEIV.
  48. 48. 〈 E RS IR = 30 º − ϕº 〈 …(147) E TS IT = 30 º + ϕº …(148) Reemplazando las ecuaciones (145), (146) y (147) en la ecuación (143) se tiene: PR = E l I l cos(30 º − ϕº ) vatios …(149) Reemplazando las ecuaciones (145), (146) y (148) en la ecuación (144) se tiene PT = E l I l cos(30 º + ϕº ) vatios …(150) Sumando miembro a miembro las ecuaciones (149) y (150) se tiene: …(151) PR + PT = E l I l  cos(30º − ϕ º ) + cos(30 º + ϕº )  vatios     Efectuando operaciones en el segundo miembro de la ecuación (151) se tiene: PR + PT = 3 E l I l cos ϕ º vatios …(152) El segundo miembro de la expresión de la ecuación (152), es idéntica a la expresión del segundo miembro de la ecuación (141), e indica que los dos vatímetros monofásicos dan valores de lecturas, cuya suma es igual a la potencia activa total absorbida por la carga trifásica balanceada en Y La potencia total activa es función de los valores eficaces de tensión de línea, corriente de línea y del factor de potencia total (igual al factor de potencia de cada impedancia de fase) Graficando las potencias de las ecuaciones (149), (150) y (152) se obtiene la Fig. 50, de la que se deduce: Ptot El Il Ptot El Il 3 PR El Il 3/2 75º − 75º − ϕº − 90º − 60º − 45º − 30 º − 15º Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 15º 30 º 47 45º 60 º ϕº 90 º PT El Il LEIV.
  49. 49. 1º. Para factor de potencia total en atraso, en secuencia inversa R T S R T S, se han conectado dos vatímetros: * * a. Un vatímetro conectado en la línea R y el otro en la línea T R T S R T S , quedando la línea “S” centrada entre las dos líneas donde se han conectado los vatímetros Así: para factor de potencia en atraso y en secuencia inversa, PR ( vatímetro que se encuentra a la derecha ) tiene mayor lectura que PT (vatímetro que se encuentra a la izquierda) es decir PR > PT b. Si se hubiera conectado los vatímetros en las líneas “S” y “T”, para factor de * * potencia en atraso y en secuencia inversa R T S R T S , la lectura PT > PS c. Si se hubiera conectado los vatímetros en las líneas “R” y “S”, para factor de * * potencia en atraso y en secuencia inversa R T S R T S , la lectura PS > PR 2º. Si el factor de potencia total es unitario, las lecturas son iguales. PR = PT 3º. Para factor de potencia total en adelanto, en secuencia (-), se conecta dos vatímetros: * * a. Con los vatímetros en las líneas “R” y “T” R T S R T S , vatímetro conectado en la línea “T” ( vatímetro que se encuentra a la izquierda) tiene mayor lectura que el vatímetro conectado en la línea R (vatímetro que se encuentra a la derecha) es decir PT > PR b. Si se hubiera conectado los vatímetros en las líneas “S” y “T”, para factor de * * potencia en adelanto y en secuencia inversa R T S R T S , la lectura PS > PT c. Si se hubiera conectado los vatímetros en las líneas “R” y “S”, para factor de * * potencia en adelanto y en secuencia inversa R T S R T S , la lectura PR > PS 4º. En las ecuaciones (149) y (150), al cambiar ϕº por − ϕ º , se permutan las lecturas SISTEMA TRIFÁSICO EN ∆ EN SECUENCIA INVERSA O NEGATIVA Tensiones de fase del generador. E RT = E f / 0 º V ( referencia ) secuencia (-) E TS = E f / − 120 º V …(154) E SR = E f / 120 º V …(153) …(155) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 48 LEIV.
  50. 50. S S IS ISR E Ss = E SR s t r E Tt = E TS Zf PR R I TS IR R Zf E Rr = E RT Zf I RT T PT IT T El potencial de borne “r” es mismo que del borne “T”; el potencial del borne “s” es el mismo que del borne “R”; y el potencial del borne “t” es el mismo que el potencial del borne “S”, tal como se observa en la Fig.51, quedando el generador conectado en ∆, en secuencia inversa Los potenciales “R”, “S” y “T” son los mismos que de la carga en conexión ∆, luego a cada fase de la carga se a aplicado la tensión de línea, es decir que en conexión del generador en ∆, las tensiones de fase son también tensiones de líneas E RS = E ST = E TR = E f = E l …(156) E RS = E f / − 60 º V …(157) E ST = E f / 60 º V …(158) E TR = E f / 180 º V …(159) Corrientes de fase Son aquellas corrientes que circulan por las fases del generador o fases de la carga. Las corrientes de fases se especifican con doble subíndice como por ejemplo de la Fig. 51 se dice: ISR : Corriente que circula por la fase de la carga, del borne “S” al borne “R” I TS : Corriente que circula por la fase de la carga, del borne “T” al borne “S” I RT : Corriente que circula por la fase de la carga, del borne “R” al borne “T” Así también se puede determinar la corriente I RS que circula por la fase de la carga, del borne “R” al borne “S”. Es decir I RS = − ISR …(160) Cuando se evalúa las corrientes de fase del generador, es generalmente para determinar las corrientes permisibles que circulan por las bobinas de fuerza del generador, con el propósito de no deteriorar dichas fases generadoras de energía eléctrica. Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 49 LEIV.
  51. 51. ISR = E SR Zf E TS I TS = Zf I RT = E RT Zf = E f / 120 º E f = / 120 − ϕº A …(161) Z f / ϕº Zf = E f / − 120 º E f = / − 120 º − ϕº A Z f / ϕº Zf = E f / 0º E f = / − ϕº A Z f / ϕº Z f I RS + IST + I TR = 0 …(162) …(163) …(164) Se observa que en el sistema balanceado en ∆ en secuencia inversa, las tres corrientes de E fases tienen el mismo valor eficaz, es decir: I SR = I TS = I RT = I f = f A …(165), Zf y se encuentran desfasadas entre ellas en 120º eléctricos, cuya suma fasorial es cero. Corrientes de líneas Son las corrientes que circulan por las líneas que unen el generador con la carga. Estas corrientes circulan del generador hacia la carga, y se denotan con un solo subíndice correspondiente al borne de la línea en referencia. Así el circuito de la Fig. 51, las corrientes de líneas son: I R , IS e I T Aplicando 1ra Ley de Kirchhoff a los bornes “R”, “S” y “T” de la carga en ∆, se tiene: En el borne “R” I R = I RT − ISR …(166) En el borne “S” IS = ISR − I TS …(167) En el borne “T” I T = I TS − I RT …(168) Reemplazando las corrientes de fases, en los segundos miembros en las ecuaciones (166), (167) y (168) se tiene: IR = Ef E E / − ϕº − f / 120 º − ϕº = 3 f / − 30 º − ϕº A Zf Zf Zf IS = Ef E E / 120 º − ϕº − f / − 120 º − ϕº = 3 f / 90 º − ϕº A …(170) Zf Zf Zf Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 50 …(169) LEIV.
  52. 52. IT = Ef E E / − 120 º −ϕ º − f / − ϕº = 3 f / − 150 º − ϕº A …(171) Zf Zf Zf Sumando miembro a miembro las ecuaciones (169), (170) I R + IS + I T = 0 A …(172) y (171) se tiene: Las magnitudes eficaces de las corrientes de líneas determinadas por los segundos miembros de las ecuaciones (169). (170) y (171), se concluye: I R = I S = I T = I l = 3 I f A …(173), y se encuentran desfasadas entre ellas en 120° eléctricos, siendo la suma fasorial igual a cero El diagrama fasorial de tensiones y corrientes con factor de potencia en atraso en secuencia inversa, se muestra en la Fig. 52. E ST E SR − I TS IS (30 º − ϕº ) ISR E RT ϕº 30 º 60 º IT − I RT I TS E RT ϕº 30 º ϕº 90 º − ϕº I RT − ISR IR ϕº > 0 E TS Potencias aparentes de fases Determinando las potencias aparentes absorbidas por cada fase de la carga, se tiene: * En la fase S-R SSR = E SR ISR = E f / 120 º E2 Ef / − 120 º + ϕº = f / ϕ º VA …(174) Zf Zf En la fase T-S STS = E TS I * = E f / − 120 º TS Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos E2 Ef / 120 º + ϕº = f / ϕ º VA Zf Zf 51 …(175) LEIV.
  53. 53. En la fase R-T SRT = E RT I * = E f / 0 º RT E2 Ef / ϕ º = f / ϕº VA Zf Zf …(176) Se observa que en el sistema balanceado en ∆ en secuencia inversa, las potencias aparentes por fase son iguales, es decir: E2 SSR = STS = SRT = Sf = f / ϕº VA …(177) Zf Se deja como ejercicio al lector para que demuestre: SSR = SRS = STS = SST = SRT = STR …(178) Potencia aparente total La potencia aparente total absorbida por la carga es igual a la suma fasorial de las tres potencias aparentes de cada fase Stot = SSR + STS + SRT = 3 2 Ef Zf / ϕ º VA La ecuación (179) puede escribirse: Stot = 3 E f …(179) Ef / ϕ º VA Zf En delta la tensión de fase es tensión de línea E f = E l …(180) …(181) Ef = I f …(182) Zf Reemplazando las ecuaciones (181) y (182) en la ecuación (180) se tiene: En delta la corriente de fase es Stot = 3 x E l x I f / ϕº VA …(183) Por estar la carga en ∆ según la ecuación (173) se deduce: I f = Il A …(184) 3 Reemplazando (184) en (183) y efectuando operaciones en el segundo miembro de la se obtiene: Stot = 3 E l I l / ϕ º VA …(185) El módulo de la potencia aparente total es: S tot = 3 E l I l VA …(186) Pero Stot = Ptot + J Q tot VA Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos …(187) 52 LEIV.
  54. 54. Potencia activa total De la ecuación (185) la potencia activa total trifásica es: Ptot = 3 E l I l cos ϕº vatios …(188) Potencia reactiva total De la ecuación (185) la potencia reactiva total trifásica es: Q tot = 3 E l I l senϕº var es …(189) E SR E ST − I TS ISR IS 30 º 30 º 60 º I RT E RT 30 º IT − ISR I TS IR − I RT ϕº = 0 E TS Ejercicio Dibujar el diagrama fasorial de tensiones y corrientes de un sistema trifásico trifilar en ∆, balanceado en secuencia inversa con factor de potencia en adelanto Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 53 LEIV.
  55. 55. Medida de la potencia activa mediante el método de dos vatímetros monofásicos S S IS ISR E Ss = E SR s r t Zf PR R I TS IR R E Rr = E RT E Tt = E TS Zf Zf I RT T PT IT T Los vatímetros se han instalado en las líneas “R” y “T” según la Fig. 51 para la carga trifásica balanceada en delta, en secuencia inversa, luego las lecturas de los vatímetros serán: E RS IR …(190) E TS IT …(191) PR = E RS I R cos〈 PT = E TS I T cos〈 La tensiones de líneas: E RS = E TS = E l …(192) Las corrientes de líneas: I R = I T = I l …(193) Del diagrama de la Fig. 52 se obtienen los ángulos entre tensiones y corrientes, así 〈 E RS IR = 30 º − ϕº …(194) 〈 E TS IT = 30 º + ϕ º …(195) Reemplazando las ecuaciones (192), (193) y (194) en la ecuación (190) se tiene: PR = E l I l cos(30 º − ϕº ) vatios …(196) Reemplazando las ecuaciones (192), (193) y (195) en la ecuación (191) se tiene PT = E l I l cos(30 º + ϕº ) vatios Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos …(197) 54 LEIV.
  56. 56. E SR E ST − I TS IS (30 º − ϕº ) ISR E RT ϕº 30 º 60 º IT − I RT I TS E RT ϕº I RT 30 º ϕº 90 º − ϕº ϕº > 0 − ISR 30 º − ϕº IR E RS E TS Sumando miembro a miembro las ecuaciones (196) y (197) se tiene: PR + PT = E l I l  cos(30º − ϕ º ) + cos(30 º + ϕº )  vatios     …(198) Efectuando operaciones en el segundo miembro de la ecuación (198) se tiene: PR + PT = 3 E l I l cos ϕ º vatios …(199) El segundo miembro de la expresión de la ecuación (199), es idéntica a la expresión del segundo miembro de la ecuación (188), e indica que los dos vatímetros monofásicos dan valores de lecturas, cuya suma es igual a la potencia activa total absorbida por la carga trifásica balanceada en ∆ La potencia total activa es función de los valores eficaces de tensión de línea, corriente de línea y del factor de potencia total (igual al factor de potencia de cada impedancia de fase) Graficando las potencias de las ecuaciones (196), (197) y (199) se obtiene la Fig. 54, de la que se deduce: Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 55 LEIV.
  57. 57. Ptot El Il Ptot El Il 3 PR El Il 3/2 75º − 75º − ϕº − 90 º − 60 º − 45º − 30 º − 15º 15º 30 º 45º ϕº 60 º 90 º PT El Il Fig. 54.- Gráfica de PR , PT , Ptot en secuencia inversa de un sistema trifásico balanceado en 1º. Para factor de potencia total en atraso, en secuencia inversa R T S R T S, se han conectado dos vatímetros: * * a. Un vatímetro conectado en la línea R y el otro en la línea T R T S R T S , quedando la línea “S” centrada entre las dos líneas donde se han conectado los vatímetros Así: para factor de potencia en atraso y en secuencia inversa, PR ( vatímetro que se encuentra a la derecha ) tiene mayor lectura que PT (vatímetro que se encuentra a la izquierda) es decir PR > PT b. Si se hubiera conectado los vatímetros en las líneas “S” y “T”, para factor de * * potencia en atraso y en secuencia inversa R T S R T S , la lectura PT > PS c. Si se hubiera conectado los vatímetros en las líneas “R” y “S”, para factor de * * potencia en atraso y en secuencia inversa R T S R T S , la lectura PS > PR 2º. Si el factor de potencia total es unitario, las lecturas son iguales. PR = PT 3º. Para factor de potencia total en adelanto, en secuencia (-), se conecta dos vatímetros: * * a. Con los vatímetros en las líneas “R” y “T” R T S R T S , vatímetro conectado en la línea “T” ( vatímetro que se encuentra a la izquierda) tiene mayor lectura que el vatímetro conectado en la línea R (vatímetro que se encuentra a la derecha) es decir PT > PR b. Si se hubiera conectado los vatímetros en las líneas “S” y “T”, para factor de * * potencia en adelanto y en secuencia inversa R T S R T S , la lectura PS > PT c. Si se hubiera conectado los vatímetros en las líneas “R” y “S”, para factor de * * potencia en adelanto y en secuencia inversa R T S R T S , la lectura PR > PS Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 56 LEIV.
  58. 58. 4º. En las ecuaciones (196) y (197), al cambiar ϕº por − ϕ º , se permutan las lecturas NOTA.- La Fig. 50 que corresponde al circuito trifásico balanceado en Y en secuencia negativa, y Fig. 53 que corresponde al circuito trifásico balanceado en ∆ en secuencia negativa, ambas figuras son exactamente iguales. Las ecuaciones de potencia indicada por cada vatímetro PR y PT y la potencia total Ptot son las mismas; por lo que se deduce que el método de los dos vatímetros es válido para cualquier circuito trifásico, balanceado y desbalanceado, y en cualquier secuencia; debido que las lecturas de cada vatímetro dependen únicamente de los valores de líneas, y del cos(30º ± ϕº ). MEDIDA DE LA POTENCIA REACTIVA EN UN SISTEMA Y o ∆ BALANCEADO EN SECUENCIA DIRECTA En todo sistema triásico balanceado en ∆ o Y, la potencia reactiva total es medida mediante el método del vatímetro monofásico en cuadratura. Vatímetro en cuadratura en el sistema Y o ∆ en secuencia directa Es la conexión de un vatímetro monofásico en una línea en un sistema trifásico balanceado, mediante el cual se demostrará que su lectura es directamente proporcional a la potencia reactiva total, absorbida por una carga trifásica balanceada. Para la secuencia de fases (+) I Si el vatímetro monofásico se conectara en la línea R, E ←− * * , conectando el RSTRST vatímetro monofásico en la línea R, La corriente de línea I R ingresa por la marca de polaridad de la bobina de corriente; y a la bobina de tensión se aplica el voltaje E ST I E Si el vatímetro monofásico se conectara en la línea S, la corriente de * *←− RSTRST línea IS ingresa por la marca de polaridad de la bobina de corriente; y a la bobina de tensión se le aplica el voltaje E TR I E Si el vatímetro monofásico se conectara en la línea T, de línea I T la corriente * *←− RST RST ingresa por la marca de polaridad de la bobina de corriente; y a la bobina de tensión se le aplica el voltaje E RS Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 57 LEIV.
  59. 59. Lectura del vatímetro monofásico en cuadratura para un sistema trifásico en “Y” en secuencia directa Conectando el vatímetro monofásico en la línea “R” cuyo circuito se muestra en la Fig. 55. IT T T E TN t N s r Zf ´ PR IR Zf R E RN E SN Zf N S I R + IS + I T IS S ´ la lectura del vatímetro monofásico es: PR = E ST I R cos〈 E ST IR …(200) Del diagrama fasorial correspondiente (Fig. 34) mostrado en la siguiente página, se tiene: …(201) (tensión de línea) E ST = E l …(202) (corriente de línea) I R = Il 〈 E ST IR = 90 º − ϕ º …(203) (ángulo entre E ST e I R ) Reemplazando las ecuaciones (201), (202) y (203) en la ecuación (200) tenemos: ´ PR = E l I l cos( 90 º − ϕº ) siendo cos(90 º − ϕº ) = senϕº …(204) …(205) ´ Reemplazando la ecuación (205) en la (204) se tiene: PR = E l I l senϕº Pero la potencia reactiva total es: …(206) Q tot = 3 E l I l senϕº var es …(207) Reemplazando la ecuación (206) en (207) se tiene: ´ Q tot = 3 PR var es …(208) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 58 LEIV.
  60. 60. ´ Luego PR = Q tot 3 …(209) E TS − E RN 30º E TR S 30º E TN E RS º 30 − E SN IT 30º ϕº 30º ϕº IS 90º ϕº 30º E RN IR E SN 30º E ST − E TN Fig. 34.- Diagrama fasorial de tensiones de fase, tensiones de línea y de corrientes de línea, de un sistema trifásico tetrafilar balanceado en secuencia (+), con factor de potencia en atraso Enunciado 1. La ecuación (209) indica que en un circuito trifásico balanceado en Y en secuencia directa, cualquiera sea su factor de potencia, un vatímetro monofásico en cuadratura indica que su lectura igual a la potencia reactiva total trifásica, entre raíz de tres. Lectura del vatímetro monofásico en cuadratura para un sistema trifásico en “∆” en secuencia directa Conectando el vatímetro monofásico en la línea “R” cuyo circuito se muestra en la Fig. 56 . Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 59 LEIV.
  61. 61. T T IT I TR E Tt t ´ PR R r s Zf I ST IR R Zf E Rr Zf E Ss S S I RS IS ´ La lectura del vatímetros es PR = E ST I R cos〈 E ST IR …(210) Del diagrama fasorial correspondiente (Fig. 38) se tiene: E ST = E l …(211) (tensión de línea) I R = Il …(212) (corriente de línea) …(213) (ángulo entre E ST e I R ) 〈 E ST IR = 90 º − ϕ º Reemplazando las ecuaciones (211), (212) y (213) en la ecuación (210) tenemos: ´ PR = E l I l cos( 90 º − ϕº ) siendo cos(90 º − ϕº ) = senϕº …(214) …(215) ´ Reemplazando la ecuación (215) en la (214) Se tiene: PR = E l I l senϕº …(216) Pero la potencia reactiva total es Q tot = 3 E l I l senϕº var es …(217) reemplazando la ecuación (216) en (217) se tiene: ´ Q tot = 3 PR var es …(218) ´ Luego PR = Q tot 3 …(219) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 60 LEIV.
  62. 62. E TR E TS − IST I T (30 º − ϕº ) I TR ϕº 30 º 60 º IS 30º ϕº − I RS IST ϕº 30 º 90 º − ϕº E RS I RS − I TR IR E ST Fig. 38.- Diagrama fasorial de tensiones y corrientes de un sistema trifásico trifilar en , balanceado en secuencia (+), con factor de potencia en atraso Enunciado 2. La ecuación (219) muestra que en un circuito trifásico balanceado en ∆ en secuencia directa, cualquiera sea su factor de potencia, un vatímetro monofásico en cuadratura indica que su lectura igual a la potencia reactiva total trifásica, entre raíz de tres. De los enunciados 1 y 2 correspondientes a las ecuaciones (209) y (219) se deduce: En todo circuito trifásico balanceado en secuencia directa, en Y o ∆, un vatímetro conectado en cuadratura, indicará una lectura igual a la potencia reactiva trifásica total absorbida, entre raíz de tres. Las expresiones de las ecuaciones (206) y (216) es válida para todo circuito trifásico balanceado en secuencia directa, cualquiera sea el factor de potencia de la carga trifásica, debido a que la lectura depende de los valores de tensión de línea y corriente de línea y del seno del ángulo ϕº Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 61 LEIV.
  63. 63. PROBLEMAS RESUELTOS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS BALANCEADOS Problema 1 Una carga trifásica balanceada conectada en estrella, tiene 16 Ω de resistencia y 12 Ω de reactancia inductiva en serie en cada fase, y es alimentada por una línea trifásica de 230 V. Determinar: a. El valor eficaz de la corriente de línea. b. La potencia activa total. Solución La carga equilibrada está conectada en estrella, luego las corrientes de fase y de línea son las mismas, y están desfasadas en 120 grados eléctricos. La impedancia de fase es: Z f ,Y = 16 + J 12 Ω Z f ,Y = 20 / 36.87 º Ω El valor eficaz de la tensión de línea es: Vℓ = 230 voltios El valor eficaz de la tensión de fase es: V 230 Vf = l = = 132.79 V 3 3 El valor eficaz de la corriente fase If = Il = Vf 132.79 = = 6.64 A Rpta. a. Z f ,Y 20 La potencia activa total trifásica es: 2 Ptot = 3I f R f R f = 16 Ω Ptot = 3 x 6.64 2 x 16 = 2116.30 vatios Rpta. b. Otra forma de calcular la potencia activa total es mediante la fórmula: Ptot = 3 E l I l Cos ϕ Ptot = 3 x 230 x 6.64 x 0.8 = 2116.15 vatios Rpta. b. Problema 2 Para el problema 1; si las tres impedancias se conectan en triángulo y si se colocan a través de los mismos voltajes de línea, determinar: a. El valor eficaz de las corrientes de líneas. b. El valor eficaz de las corrientes de fase. Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 62 LEIV.
  64. 64. c. La potencia activa total. Solución La carga está conectada en delta, luego la impedancia por fase en delta es: Z f ,∆ = 16 + J12 Ω Z f ,∆ = 20 / 36.87º Ω Con la carga conectada en triángulo o delta, la tensión de línea es también la tensión de fase. Luego: E l = Ef El valor eficaz de la corriente de fase de la carga en delta es: If = Ef 230 = = 11.50 A. Rpta. b. Z f ,∆ 20 El valor eficaz de la corriente de línea es: Il = 3 If I l = 3 x 11.50 = 19.92 A Rpta. a. 2 La potencia activa total Ptot = 3Pf = 3I f R f Ptot = 3 x 11.50 2 x 16 = 6348 vatios Rpta. c. Otra forma de calcular la potencia es a través de la fórmula: Ptot = 3 E l I l Cos ϕ Cos ϕ = Cos 36.87 º = 0.8 Ptot = 3 x 230 x 19.92 x 0.8 = 6348.45 vatios Rpta. c. Problema 3 Dos cargas en paralelo están alimentadas por una línea trifásica a una tensión de 240 voltios, 60 Hz. Una de las impedancias de fase de la carga en delta es 12 / – 60º Ω. Y la otra impedancia de fase de la carga en estrella es 10 / 25º Ω. Determinar: a. La corriente de línea. b. El factor de potencia total. Solución Sea: Vl : Tensión de línea: Vl = 240 voltios f = 60 Hz. Z f ,∆ : Impedancia de fase de la carga trifásica equilibrada conectada en triángulo. Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 63 LEIV.
  65. 65. Z f ,Y : Impedancia de fase de la carga trifásica equilibrada en estrella. Z f ,∆ = 12 / –60º Ω , Z f ,Y = 10 / 25º Ω Como Z f ,∆ y Z f .Y son cargas trifásicas equilibradas, el sistema trifásico total es equilibrado. Luego para la solución es conveniente desarrollar mediante el equivalente monofásico; para lo cual, se pasa la carga delta a estrella. ' Sea Z f ,Y = Z f ,∆ / 3 la impedancia por fase equivalente en estrella, de la carga delta ' I1 : Corriente en Z f ,Y E RN I 2 : Corriente en Z f ,Y I1 ' Zf , Y I2 Zf ,Y E RN : Tensión de fase a 0º (referencia) E RN = I1 = I2 = 240 / 0º V 3 E RN ' Z f ,Y E RN Z f ,Y = = E RN = 138.564 / 0º V 138.56 / 0º 4 / − 60º = 34.64 / 60º A 138.56 / 0º = 13.85 / − 25º A 1 0 / 25º a. La corriente de línea I R = I1 + I 2 I R = 34.64 / 60º + 13.85 / − 25º A I R = 29.87 + J 24.15 = 38.41 / 38.94º A Rpta. a. Otro método es determinar la impedancia por fase total en estrella Z f ,Y ,tot = ' Z f ,Y Z f ,Y ' Z f ,Y + Z f ,Y = 4 / − 60º x 10 / 25º = 3.607 / − 38.941º Ω 4 / − 60º + 10 / 25º La corriente de línea es: I R = 138.56 / 0º E RN = = 38.413/ 38.941º A OK. Z f ,Y ,tot 3.607 / − 38.941 b. El factor de potencia total es Cos -38.94º = 0.7777 Rpta.b. Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 64 LEIV.
  66. 66. Problema 4 Un motor de inducción de 50 HP trifásico, conectado en estrella a una línea trifásica de 440 voltios y 60 Hz está trabajando al 80% de su potencia nominal. El motor tiene el factor de potencia de 0.76 y eficiencia de 72%. Determinar la capacidad por fase en una conexión en triángulo requerida a través de la línea para corregir el factor de potencia a 0.92 en atraso. Solución Motor: 50HP conectado en estrella. Eℓ = 440 voltios f = 60 Hz. η = 72% = 0.72 Cos ϕ m = 0.76 %PC = 0.8 La potencia aparente total del motor trifásico es: Sm = 50 x 746 x 0.8 / Cos −1 0.76 VA 0.76 x 0.72 S m = 54532.16 / 40.54º VA La potencia aparente del motor por fase es la tercera parte de la potencia aparente total Sf ,m = 18177.39 / 40.54º VA ϕ1 = ϕ m = 40.54º Sf ,m = 13813.95 + J 11814.92 VA = Pf ,m + J Q f ,m El circuito equivalente monofásico es: C f ,Y : Capacidad por fase en conexión en estrella, del banco 3φ de condensadores. Sf ,m ϕ 2 = Cos −1 0.92 Como Eℓ = 440 V, se tiene que E f = 440 V. 3 → ϕ 2 = 23.07 º Ef = 254.03 V. Así la capacidad por fase en conexión estrella C f ,Y para mejorar el factor de potencia es: C f ,Y = Pf ,m E RN 2 ω (Tg ϕ1 − tg ϕ 2 ) F , y que al reemplazar datos se tiene: Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 65 LEIV.
  67. 67. C f ,Y = 13813.95 254.03 2 x 377 (Tg 40.54º − tg 23.07 º ) C f ,Y = 243.8 uF Siendo X Cf , ∆ la reactancia capacitiva por fase en conexión delta como: X Cf ,Y = X Cf ,∆ entonces 3 C f ,Y 3 de donde: C f ,∆ = 1 1 = 2 π f C f , y 2 π f C f ,∆ (3) → C f ,∆ = 243.8 = 81.27 uF 3 Rpta. Problema 5 Un generador trifásico de 200 voltios de tensión de línea, alimenta a una carga inductiva conectada en estrella, que absorbe 10 amperios a través de una línea aérea trifásica de 1 Ω de resistencia y 5 Ω de reactancia inductiva por conductor. Determinar la tensión de fase en bornes de la carga si: a. El factor de potencia en los terminales de la carga es 0.6 (-) b. El factor de potencia en terminales del generador es 0.6 (-) Solución Eℓ= 200 voltios a. Z f ,Y = Z f ,Y Z f ,Y : impedancia por fase de la carga en estrella / Cos −1 0.6 = / 53.13º Ω Z f ,Y Z f , Y = 0. 6 Z f , Y + J 0. 8 Z f , Y Ω R 2 Zl = 1 + J 5 2 IR Z f ,tot = (1 + 0.6 Z f ,Y ) + (5 + 0.8Z f ,Y ) Ω VZf ,Y Zf , Y Il = E RN = Ef Z f ,tot , Ef = El 200 = V 3 3 N 200 / 0º V (referencia a 0º ) 3 Luego: 200 / 3 10 = 2 (1 + 0.6 Z f ,Y ) + (5 + 0.8Z f ,Y ) Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 66 2 … (1) LEIV.
  68. 68. Simplificando la ecuación (1) se tiene: 2 Z f ,Y + 9.2 Z f ,Y − 107.33 = 0 …(2) Resolviendo la ecuación (2) se tiene: Z f ,Y = 6.74 Ω así Z f ,Y = 6.74 / 53.13º Ω Tomando E RN = 115.47 / 0º V (referencia) Por divisor de tensión tenemos que la caída de tensión en la impedancia Z f ,Y es VZf ,Y = E RN Z f ,Y Z f ,Y + (1 + J5) Z f ,Y = R + J X L Reemplazando valores y efectuando operaciones se tiene: V Zf ,Y = 67.4 / − 11º V Rpta. a b. Factor de potencia 0.6 en bornes del generador. IR Zl = 1 + J 5 Tg 53.13º = E RN 5 + XL 1+ R luego: 1 + R = 3.75 + 0.75 XL Z f ,tot = (1 + R ) 2 + (5 + X L ) 2 Ω Z f ,tot = (3.75 + 0.75X L ) 2 + (5 + X L ) 2 Pero: I R = I f = I l = Por lo tanto: 10 = E RN , Z f ,tot ….(A) Ω E RN = 115.47 / 0º 115.47 (3.75 + 0.75 X L ) 2 + (5 + X L ) 2 V …. (B) Resolviendo la ecuación (B), se tiene: XL = 4.237 Ω Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 67 LEIV.
  69. 69. Luego por la ecuación (A) se tiene que: R = 5.928 Ω La impedancia equivalente total por fase en bornes del generador es: Z f ,tot = 6.928 + J 9.237 = 11.547 / 53.13º Ω La corriente de línea I R es: IR = 115.47 / 0º E RN = = 10 / − 53.13º A Z f ,tot 11.547 / 53.13º Siendo la impedancia por fase Z f ,Y = R + J X L Ω , entonces: Z f ,Y = 5.928 + J 4.237 Ω La caída de tensión por fase en la impedancia es: V Zf ,Y = I Z = 10 / − 53.13º x 7.287 / 35.55º V Zf ,Y = 72.87 / − 17.57º V Rpta.b. Problema 6 Una carga trifásica balanceada inductiva absorbe 5 KW y 17.32 KVAR. Determinar las lecturas de los dos vatímetros conectados para medir la potencia total. Solución Sea la secuencia de fases positiva, con los vatímetros conectados en las líneas R y T, luego las lecturas de los vatímetros será: PR = E I Cos (30º + ϕ) ... (1) PT = E I Cos (30º - ϕ) ... (2) (1)/(2) da: PR Cos (30º + ϕ) = PT Cos (30º − ϕ) Empleando propiedades de las proporciones: Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 68 LEIV.
  70. 70. PR + PT Cos (30º + ϕ) + Cos (30º − ϕ) = PR Cos (30º + ϕ) PR + PT 3 Cos ϕ = PR Cos (30º + ϕ) De (3) : PR = Ptot ϕ = Tg −1 ...(3) Cos (30º + ϕ) 3 Cosϕ ...(4) Q tot 17.32 = tg −1 = 73.9º Ptot 5 Reemplazando el valor de ϕ en (4) se tiene: PR = -2.5 KW Rpta. Rpta. Así PT = Ptot – PR = 5 – (-2.5) = 7.5KW Problema 7 Una carga balanceada conectada en delta, tiene como impedancia de fase un circuito serie de 12 Ω. de resistencia y 16 Ω. de reactancia capacitiva. Las tensiones de línea sonde 115 voltios, determinar las corrientes de línea y de fase. Solución La carga está conectada en delta. La impedancia de fase es: Z f ,∆ = 12 − J 16 ohms. = 20 / − 53.13º Ω La tensión de línea es: Eℓ = 115 voltios Luego la corriente de fase es: If = Eℓ / Zf,∆ If = 115 = 5.75 A 20 Rpta. la corriente de línea es: I l = 3 I f I l = 3 x 5.75 = 9.96 amp. Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos Rpta. 69 LEIV.
  71. 71. Problema 8 Una carga balanceada en delta tiene 18 Ω. de resistencia y 24 Ω de reactancia capacitiva en serie en cada fase, siendo alimentada por líneas con impedancia cada una de 1 Ω de reactancia y 2 Ω. de reactancia inductiva por conductor. El generador que alimenta al circuito total tiene tensión entre líneas de 250 voltios. determinar. Solución Carga trifásica conectada en delta, con impedancia por fase: Z f ,∆ = 18 − J 24 = 30 / − 53.13º Ω La impedancia de línea Z l = 1 + J 2 Ω. Tensión de línea proporcionada por el generador es: Eℓ = 250 voltios. Como el circuito total es balanceado, se resuelve con un equivalente monofásico. E f = E RN = Sea: 250 = 144.34 V 3 E RN = 144.34 / 0º Zl = 1 + J 2 V (referencia a 0º) E RN Zf , Y La impedancia por fase en conexión estrella: Z f ,Y = Z f ,∆ = 10 / − 53.13º 3 Ω la impedancia equivalente total por fase es: Z f ,tot ,Y = 1 + J 2 + 10 / − 53.13º Ω Z f ,tot ,Y = 1 + J 2 + 6 − J 8 Ω Z f ,tot ,Y = 7 − J 6 = 9.22 / − 40.6º Ω La corriente de línea I R es: IR = E RN Z f ,tot = 144.34 / 0º A 9.22 / − 40.6º I R = 15.66 / 40.6º A Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 70 LEIV.
  72. 72. La caída de tensión por fase en la carga en conexión estrella es: V f ,Y = I Z f ,Y = 15.66 / 40.6º x 10 / − 53.13º V V f ,Y = 156.6 / − 12.53º V a. El voltaje entre líneas en los terminales de carga es: Vl = 3 Vf ,Y = 3 x 156.6 = 271.24 V Rpta. a b. La potencia total consumida por la carga es: Ptot = 3 I 2 R f = 3 x 15.66 2 x 6 = 4414.24 vatios Rpta. b Problema 9 Una carga inductiva balanceada conectada en estrella toma 5.4KW a 0.6 de factor de potencia, a 200 voltios de tensión de líneas. Esta carga se encuentra conectada en paralelo con otra carga en estrella balanceada, puramente resistiva, la que toma 5 KW. Determinar la corriente total de línea suministrada a las dos cargas. Solución La primera carga trifásica en estrella, que toma una potencia de 5.4KW a Cos ϕ1 = 0.6 Luego ϕ1 = Cos −1 0.6 = 53.13º , así: P1 = 5.4 KW Q1 = P1 tg ϕ1 = 5.4 tg 53.13 = 7.2 KVAR La potencia aparente total que toma la primera carga trifásica En estrella es: S1 = 5.4 + J 7.2 = 9 / 53.13º KVA La segunda carga trifásica en estrella toma una potencia aparente S 2 = 5 / 0º KVA Así las dos cargas trifásicas en conjunto (ambas conectadas en paralelo) absorben una potencia aparente total: S tot = S1 + S 2 KVA Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 71 LEIV.
  73. 73. S tot = 5.4 + J 7.2 + 5 = 10.4 + J 7.2 KVA S tot = 12.65 / 34.7 º KVA Pero S tot = 3 E l I l . Luego: Il = S tot Il = 3 El , siendo E l = 200 V 12,650 = 36.52 A Rpta. 3 x 200 Problema 10 Una conexión delta balanceada tiene una impedancia de fase de 12 / 70º Ω y es alimentada por una línea trifásica de 240 voltios, 60 Hz. Se mide la potencia del circuito por el método de dos vatímetros. Determinar la lectura indicada por cada vatímetro y la potencia trifásica total Solución: Carga balanceada en delta con impedancia de fase: Z ∆ ,f = 12 / 70º Ω , ϕ = 70º (factor de potencia en atraso) Tensión de línea: Ef = Eℓ = 240 voltios, 60 Hz (Por tener la carga en delta) Sea la secuencia de fase positiva, con los vatímetros conectados en las líneas S y T, R S T R S T, teniendo la carga factor de potencia en atraso, se tiene: PS > PT La corriente de fase es: If = E Ef 240 = l = = 20 A Z ∆ ,f Z ∆ ,f 12 La corriente de línea es: I l = 3 I f = 3 x 20 = 34.64 A La potencia indicada por cada vatímetro es: PS = E l I l Cos (30º − ϕ) vatios, y que al reemplazar valores se tiene : PS = 240 x 34.64 x Cos (30º − 70º ) = 6368.59 vatios Rpta. PT = E l I l Cos (30º + ϕ) vatios, y que al reemplazar valores se tiene : PS = 240 x 34.64 x Cos (30º + 70º ) = − 1443.60 vatios Rpta. Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 72 LEIV.
  74. 74. La potencia total es: Ptot = PS + PT Ptot = 6368.59 + (-1443.68) = 4924.91 vatios Rpta Problema 11 Una delta balanceada toma 14.5 / 30º KVA de una línea trifásica, con tensión E RS = 440 / 0º V a 60 Hz y en secuencia negativa. Determinar: a. La impedancia de fase de la carga en delta Z ∆ ,f b. Las corrientes de fase en forma polar. c. Las corrientes de líneas en forma rectangular. d. La bancada trifásica de condensadores conectados en estrella, para corregir el factor de potencia total a 0.93 en atraso. Solución Graficando la delta en secuencia negativa de forma tal que la tensión ERS se esté a cero grados. S R N Así en el triángulo graficado, las tensiones de fase y de líneas indican sus ángulos de fases. Del diagrama fasorial de tensiones de fase y de líneas quedan definidas en módulo y ángulo, tal como se muestra en la figura. T EST El = 440 voltios f = 60 Hz. La potencia aparente total absorbida por la carga trifásica en delta es S tot = 14500 / 30º KVA ESN E RN 30 º 30º E RS 30 º Resolviendo mediante el equivalente 1 φ en bornes R-N, se tiene: E TN E RN E = = 254.03 / 30º V 3 E TR Sea Z Y ,f la impedancia por fase de la carga en conexión estrella. Para el equivalente monofásico, la potencia aparente por fase tomada de la línea es la tercera parte de la potencia aparente total, así: Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 73 LEIV.
  75. 75. S Y ,f = Pero: S tot 14500 = = 4833.33 / 30º VA 3 3 IR S Y ,f = E RN I R E RN * Luego: I R = S Y ,f / E RN IR = Zf ,Y 4833.33 / 30º = 19.03 / 0º A 254.03 / 30º Z Y ,f = E RN IR = 254.03 / 30º = 13.35 / 30º Ω 19.03 / 0º La impedancia por fase en conexión en estrella es: 254.03 / 30º E RN Z Y ,f = = = 13.35 / 30º Ω. 19.03 / 0º IR a. La impedancia por fase en conexión delta será: Z ∆ ,f = 3 Z Y ,f = 3 x 13.35 / 30º = 40.05 / 30º Ω Rpta. b. Corrientes de fase en módulo y ángulo E RS = 440 / 0º V E ST = 440 / 120º V E TR = 440 / − 120º V I RS = I ST = I TR = E RS Z ∆ ,f E ST Z ∆ ,f E TR Z ∆ ,f = 440 / 0º = 10.99 / − 30º = 9.52 − J 5.50 A Rpta. 40.05 / 30º = 440 / 120º = 10.99 / − 90º = J 10.99 A Rpta. 40.05 / 30º = 440 / − 12 0º 40.05 / 30º Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos = 10.99 / − 150º = − 9.52 − J 5.50 A Rpta. 74 LEIV.
  76. 76. c. Las corrientes de línea en forma rectangular: I R = I RS − I TR I R = 10.99 / − 30º −10.99 / − 150º IR I R = 19.03 A Rpta. IS I S = I ST − I RS I S = − 9.52 + J 16.49 Rpta. A IST Z ∆, I S = J 10.99 − (9.52 − J 5.50) = IRS Z ∆ ,f f IT Z∆ ,f ITR I T = I TR − I ST I T = − 9.52 − J 5.50 − J 10.99 I T = − 9.52 − J 16.49 A Rpta d. Bancada trifásica de condensadores en estrella para obtener el factor de potencia total a 0.93 en atraso. Del circuito equivalente monofásico, la potencia aparente por fase es: S Y ,f = 4833.33 / 30º = 4185.79 + J 2416.64 VA La potencia activa que toma cada fase es: PY,f = 4185.79 vatios. En condiciones iniciales ϕ1 = 30º En condiciones finales ϕ2 = Cos −1 0.93 = 21.57 º Luego: C Y ,f = PY ,f 2 Ef V C Y ,f = ( tg ϕ1 − tg ϕ 2 ) F. 4185.79 254.03 2 x 377 C Y ,f = 31.32uF ( tg 30º − tg 21.57 º ) Rpta. Problema 12 Una delta balanceada absorbe 14.4 /-68º KVA de una línea trifásica de 600 voltios a 60 Hz. Determinar los vatios y vares, cuando las impedancias de fase se conectan en estrella a una línea de 440 voltios y 25 Hz. Solución: Inicialmente la carga está conectada en delta, la cual absorbe en total 14400 /-68º VA; a la tensión de línea de 600 voltios, 60 Hz. Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 75 LEIV.
  77. 77. E RN = Sea 600 / 0º = 346.41 / 0º V 3 Así el primer equivalente monofásico es: I R1 E RN Z Y ,f : Es la impedancia equivalente por fase en conexión estrella, de la carga balanceada en delta. ZY ,f Sea S Y ,f : potencia aparente que absorbe Z Y ,f S Y ,f = 14400 / − 68º VA = 4800 / − 68º VA 3 Pero: S Y ,f = E RN I * 1 R * I R1 = * de donde I R1 = S Y ,f E RN 4800 / − 68º = 13.86 / − 68º A 346.41 / 0º Así: I R1 = 13.86 / 68º A Por lo tanto: Z Y ,f = E RN 346.41 / 0º = = 25 / − 68º Ω I R1 13.86 / 68º Luego, la impedancia de fase de la carga en conexión en delta es: Z ∆ ,f = 3 Z Y,f = 75 / − 68º = 28.1 − J 69.54 Ω a 60 Hz La disminución de frecuencia de 60 Hz a 25 Hz, tiene el efecto de aumentar la reactancia capacitiva, por ser inversamente proporcional a la frecuencia. Luego la impedancia de fase a 25 Hz en conexión delta es: 60 Ω a 25 Hz 25 ' Z ∆ ,f = 28.1 − J 69.54 x ' Z ∆,f = 28.1 − J 166.89 = 169.24 / − 80.44º Ω a 25 Hz ' Las impedancias de fase Z ∆,f se conectan en estrella, a la tensión de línea de 440 voltios a 25 Hz. El segundo equivalente monofásico es: Análisis de circuitos bifásicos y trifásicos 76 LEIV.

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