1.  Ligjërata 3
 Statistika përshkruese
 Treguesit e lokalizimit dhe të
variacionit

2. Në këtë kaptinë ju do të mësoni:
 Të përshkruani karakteristikat e madhësive
mesatare, variacionit dhe formën e
shpërndarjes së të dhënave numerike.
 Të llogaritni treguesit deskriptiv për mostër
dhe populacion dhe të bëni dallimet në mes të
tyre.
 Të llogaritni treguesit relativ të variacionit
 Të kuptoni se si përdoret Excel për llogaritjen e
statistikave përshkruese.

3.  Matësit e tendencës qendrore, variacionit
dhe forma e shpërndarjes
◦ Mesatarja aritmetike, mediana, moda, mesatarja
gjeometrike
◦ Rangu, Rangu i interkuartilit, varianca dhe devijimi
standard, koeficienti i variacionit
 Përmbledhje e matësve të popullimit
◦ Mesatarja, varianca, dhe devijimi standard
◦ , etj

4. Përshkrimi i të dhënave numerike
Tendenca qendrore Kuartilet Variacioni Forma e
shpërndarjes
Mesatarja aritmetike Rangu Asimetria
Mediana Interkuartili i rangut
Moda Varianca
Mesatarja gjeometrike Devijimi standard
Koeficienti i variacionit

5. Vështrim
Tendenca qendrore
Mes. aritmetike Mediana Moda Mes. gjeometrike
n
G  n ( X 1  X 2   X n )
 Xi
X i1
n Vlera e mesit Vlera e
e të dhënave shfaqur më
të renditura së shpeshti

6.  Mesatarja aritmetike është treguesi më i
shpeshtë që mat tendencën qendrore të
dhënave
◦ Për mostër me madhësi n:
n
X i
X1  X2    Xn
X i1

n n
Madhësia e Vlerat e vrojtuara
mostrës

7. (vazhdim)
 Matësi më i shpeshtë i tendencës qendrore
 Mesataja = shuma e vlerava e ndarë për numrin e
vlerave
 E ndikuar nga vlerat ekstreme (outliers)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mesatarja = 3 Mesatarja = 4
1  2  3  4  5 15 1  2  3  4  10 20
 3  4
5 5 5 5

8.  Në një renditje të dhënave mediana është
vlera e “mesit” ( 50% mbi dhe 50% nën)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Median = 3 Median = 3
 Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme

9.  Vendi i medianës/Rangu i medianës/Pozita e
medianës
n 1
Pozita e medianes  pozicioni ne te dhenat e renditura
2
◦ Nëse numri i të dhënave është tek, medianë është numri i
mesit.
◦ Nëse numri i të dhënave është qift, mediana është
mesatare aritmetike e dy numrave të mesit
 Veni re n  1 nuk është vlera e medianës, por
2
 vetëm pozita e medianës në të dhënat e rregullura.

10.  Matës i tendencës qendrore;
 Vlera që paraqitet më së shpeshti;
 Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme;
 Përdoret për të dhënat numerike dhe
nominale;
 Mund të mos ketë modë;
 Mund të ketë disa moda.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2 3 4 5 6
Ska Mode
Moda = 9

11.  Pesë shtëpi afër plazhit
$2,000 K
Çmimet e shëpive:
$2,000,000
500,000 $500 K
300,000 $300 K
100,000
100,000
$100 K
$100 K

12. Çmimet e shtëpive:
 Mes. aritmetike: ($3,000,000/5)
$2,000,000 = $600,000
500,000
300,000
100,000  Mediana: Vlera e mesit e të
100,000 dhënave të rregulluara
Sum $3,000,000 = $300,000
 Moda: Vlera e shfaqur më së
shpeshti
= $100,000

13.  Mes. Aritmetike në përgjithësi përdoret, edhe
pse ekzistojnë vlerat ekstreme
 Mediana shpesh përdoret, meqë mediana nuk
është e ndieshme ndaj vlerave ekstreme.
◦ Shembull: Çmimi medial i shtëpive do të mund të
raportohej për regjionin- sepse është më pak e
ndieshme ndaj vlerave ekstreme

14.  E dobishme për gjetjen e ndryshimeve mesatare të
përqindjeve, normave , indekseve dhe normës së rritjes
përgjatë kohës.
 Ka aplikim shumë të gjerë në biznes dhe ekonomi sepse ne
jemi të interesuar në gjetjen e ndryshimeve në përqindje,
ndryshimeve në shitje, paga ose në tregues të tjerë ekonomik
si GDP të cilat ndërtohen prej një vit në një vit tjetër.
 Mesatarja gjeometrike gjithmonë do të jetë më e vogël ose e
barabartë me mesataren aritmetike.
 Mesatarja gjeometrike e një grumbulli të dhënash definohet
si rrënja e n të prodhimit të n vlerave.
 Formula për mesataren gejometrike është :
G  ( X 1  X 2   X n )
n

15.  Shembull:
Supozojmë se individi “X” ka rritje të pages 5% në këtë vit dhe
15% në vitin e ardhshëm. Rritja mesatare është 9.886% e jo
10%.
G  1.05 1.15  1.2075  1.09886  1  0.09886 x100  9.886%
ose1.09886 100  109.886  100  9.886%
 Vertetim:
 Rritja e pare: 3000x0.05 = 150
 Rritja e dytë: 3150x0.15 = 472
 Gjithsej rritja= 150+472=622.50, kjo është ekuivalente me:
 3000x0.9886=296.58
 3296.58x 0.9886= 325.90
 Gjithsej rritja: 296.58+ 325.90=622.48 =622.50

16. Një përdorim tjetër i mesatares gjeometrike
është gjetja e normës mesatare të rritjes së
shitjeve , prodhimit, apo ndonjë kategorie
tjetër ekonomike prej një periudhe në një
periudhë tjetër.
Formula për kësi lloj problemesh është:
Nn Të dhënat e periudhës së fundit
G  n 1
N1 Të dhënat e periudhës së
Numri i viteve fillimit

17. Në vitin 1950 në Organizatën e Kombeve të
Bashkuara kanë qenë të anëtarësuara 50
shtete. Në vitin 1996 ky numër është
rritur në 185 shtete. Sa është norma
mesatare vjetore e rritjes së anëtarësimit
për këtë periudhë.
185
G  46  1  0,02885
50
Norma mesatare e shtimit është 2,885%
0,02885x100=2.885%

18. Mesatarja aritmetike e ponderuar
 Mesatarja aritmetike e ponderuar është rast
i veçantë i mesatares aritmetike dhe
llogaritet në rastet kur ka disa vrojtime në
të njejtën modalitet, gjegjësisht kur të
dhënat grupohen në distribucionin e
frekuencave.
 Mesatarja aritmetike e ponderuar llogaritet
në rastet ku përveç vlerave të X janë edhe të
dhënat për denduritë, gjegjësisht kur
frekuencat nuk janë të barabarta , ashtu që
njëri modalitet peshon me shumë e tjetri
më pak.
 Mesatarja aritmetike e ponderuar quhet
edhe mesatare aritmetike e “peshuar”

19.  Formula për llogaritjen e mesatares
aritmetike të ponderuar është: n
 fi X i
X  i n
1
 Simbolet:  fi
i1

 X (iks bar)-prezanton simbolin për mesataren
aritmetike të mostrës
 f- frekuencat në çdo klasë
 fx - është prodhimi i frekuencave me vlerat e x
 X - prezanton vlerat individuale të çdo modaliteti
 fx - prezanton shumën e përgjithshme të këtyre
produkteve.

20.  Kompania ndërtimore paguan në orë punëtorët e
vet: $16.50, $19.00, ose $25.00 në orë. Gjithësej
janë të punësuar 26 punëtorë, 14 prej tyre
paguhen me $16.50 në orë, 10 prej tyre me
$19.00 në orë, dhe 2 prej tyre $25.00 ne orë.
Mesatarisht sa paguhen punëtorët e kësja firme?
n
 fi X i
14 x16,5$ 10 x19$  2 x26$
X  i n
1  
471
 18.1154$
 fi 14 10  2 26
i 1

21. Pagat ($) Nr.i punëtorëve (X)x(f)
(X) (f)
16.5 14 231
19.0 10 190
25.0 2 50
Σ 26 471
n
X i fi
471
X  i 1
n
  18,1154$  18$

26
fi
i 1

22. Pagat ($) (X) Nr.i Frekuencat
punëtorëve (f) .kumulative
16.5 14 14
19.0 10 24
25.0 2 26
Σ 26
Moda është vlera që Për gjetjen e Medianës duhet
përsëritet më së shpeshti. të gjejme frekuencat
Ne rastin konkret kumulative dhe pozitën e
Moda=16.5,$ sepse numri medianës
më i madh i punëtorëve Rme=Σf/2+1= 26/2+1=14
merr ketë pagë Me = 16.5& $

23.  Mesatarja aritmetike
Eksporti ne Mesi i
Xf
n
(000€) Nr. i firmave intervalit (X) X i fi
0 deri4 25 X  i 1
n
2 50
4 deri 8 35  fi
6 210 i 1
8 deri 12 42 10 420 X 
1620
 10$
162
12 deri16 35 14 490
16 deri 20 25 18 450
162 1620
Frekuencat Se pari gjejme mesin e Shumëzojmë
intervalit frekuencat me mesin
e intervalit

24.  Mediana, shembull
Formula për gjetjen
Eksporti ne Frekuencat
(000€) Nr. i firmave kumulative e medianës
0 deri4 25 25 f / 2  w1
4 deri 8 35 (w1) 60 Me  X 1  d
8 deri 12 (fme ) 42 102
f me
12 deri16 35 137 81  60
16 deri 20 25 162
Me  8   4  10$
42
162
Se pari ,gjejme Frekuencat kumulative
Frekuencat
Se dyti, gjejmë pozitën e medianës:
Rme=Σf/2+1=162/2+1=82
Elementi i 82 gjindet në grupin 8 deri 12; X1 = 8; d= 4

25. Pse duhet të studjohet variacioni?
◦ Madhësitë mesatare si mesatarja aritmetike ose
mediana , përshkruajnë vetëm qendrën e të dhënave.
Kjo është e vlefshme nga ky këndvështrim, mirëpo
neve nuk na tregon asgjë rreth shpërndarjes së të
dhënave.
◦ Per shembull , nëse të dhënat ju thonë se thellësia
mesatare e lumit është 3 këmbë thellë, a do të
vendosni që të kaloni lumin këmbë. Sipas të gjitha
gjasave jo. Ju doni të dini edhe informata shtesë rreth
variacionit të thesllësisë së lumit.
◦ Arsye e dytë për të studjuar dispersionin në një
grumbull të dhënave është që të bëhet krahasimi i
shpërndarjes në dy apo më shumë distribucione.

26. Variacioni
Rangu Rangu i Varianca Devijimi Koeficienti i
interkuartilit standard variacionit
 Treguesit e variacionit
japin informata për
shpërndarjen e
variabilitetit të vlerave të
dhënave .
Qendra e njejtë,
Variacione te
ndryshme

28.  Treguesi më i thjeshtë i variacionit
 Diferenca në mes të vlerës më të madhe dhe
vlerës më të vogël në një grumbull të
dhënash:
Rangu = Xmax – Xmin
Shembull:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Rangu = 14 - 1 = 13

29.  Nuk e përfill rregullin e renditjes së të
dhënave
7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12
Range = 12 - 7 = 5 Range = 12 - 7 = 5
 I ndieshëm ndaj vlerave ekstreme
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5
Range = 5 - 1 = 4
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120
Range = 120 - 1 = 119

30.  Mund të eliminohen disa probleme me vlera
ekstreme përmes rangut të interkuartilit
 Eliminon disa vlera të vrojtuara të larta dhe
të ulta dhe mund të llogarit rangun nga
vlerat e mbetura.
 Rangu i interkuartilit= Kuartili i 3të – Kuartili
i 1rë = Q3 – Q1

31. Shembull:
Mediana X
X Q1 Q3 maximum
minimum (Q2)
25% 25% 25% 25%
12 30 45 57 70
Rangu i interkuartilit
= 57 – 30 = 27

32.  Mesatare (e përafërt ) e devijimeve të ngritura
në katror të vlerave nga mesatarja e tyre.
◦ Varianca e mostrës:
n
 (X  X)
i
2
S 2 i1
n -1
Ku
X = mesatarja aritmetike
n = madhësia e mostrës
Xi = ith vlerat e variablës X
S2 – simboli për variancë

33.  Treguesi më i shpeshtë i matjes së variacionit;
 Tregon variacionet rreth mesatares;
 Është rrënja katrore e variancës;
 Shprehet në njësi të njejta të matjes sikurse
edhe të dhënat.
n
◦ Devijimi standard i mostrës:  (X  X)
i
2
S i1
n -1

34. Te dhënat e
Mostrës (Xi) : 10 12 14 15 17 18 18 24
n=8 Mesatarja = X = 16
Matës i devijimeve “mesatare”
rreth mest. aritmetike.

35. Devijim standard i vogël
Devijim standard i madh

36. Të dhënat A
Mes. = 15.5
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 S = 3.338
Të dhënat B
Mest. = 15.5
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 S = 0.926
Të dhënat C
Mest. = 15.5
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 S = 4.567

37.  Mat shumë mirë variabilitetin e të dhënave.
► Ka lidhje të ngusht me mesataren aritmetike.
► Është shumë i rëndësishëm për zhvillimin e
teorisë statistikore.
► Gjindet lehtë përmes softverëve!

38.  Matës i variacionit relativ
 Gjithmonë shprehet në përqindje (%)
 Tregon variacionin relativ në raport me
mesataren.
 Mund të përdoret për krahasimin e dy apo
më shumë variabiliteve të shprehura në njësi
të ndryshme të matjes.

39.  Fletëaksioni A:
◦ Çmimi mesatar vitin e kaluar= $50
◦ Devijimi standard= $5
Të dy
 Fletëaksioni B: fletëaksionet
◦ Çmimi mesatar vitin e fundit = $100 kanë devijim
standard të
◦ Devijimi standard = $5 njejtë, mirëpo
fletëaksioni B
është më pak
variabil rreth
çmimit të tij.

40.  Statistikat deskriptive mund të
gjinden përmes Microsoft® Excel
◦ Përdorni zgjedhjet e menysë:
Data / data analysis / descriptive statistics
◦ Shkruani detajet në kutinë e dialogut

41. Nëse në menynë Data
nuk gjindet data
analysis, atëherë duhet
të instaloni këtë meny
sipas procedurave të
prezantuara në fotot
vijuese sipas hapave 1,
2, 3,4, 5, 6, 7, 8)

44. Pasi keni përfunduar me
proceduren e instalimit (1 deri 8)
në menynë “Data” do të paraqitet
menyja e re “Data Analysis”, e cila
ka shumë zgjedhje rreth metodave
statistikore, per qëllime të
statistikave përshkruese do të
zgjedhim “Descriptive statistics”

45. Përdorni menynë

kryesore:
Data / data analysis /
Descriptive statistics

46. (vazhdim)
 Shkruani detajet
ne kutine e
dialogut
 Kontrolloni
kutinë për
“Sumary
Statistics”
 Klikoni OK

47. Rezultati i statistikave
deskriptive
përmes Excel-it,
Shfrytëzimi i të dhënave për
çmimet e shtëpive:
Çmimet e shtëpive:
$2,000,000
500,000
300,000
100,000
100,000

48.  Treguesit përmbledhës të populacionit quhen
parametera
 Mesatarja e populimit është shuma e vlerave në
populacion e ndarë me madhësinë e populacionit
N
N
X i
X1  X2    XN
 i1

N N
Ku μ = mesatarja e popullimit
N = Madhësia e popullimit
Xi = ith vlerat e variablës X

49.  Mesatare e devijimeve të ngritura në katror
të vlerave nga mesatarja e tyre.
N
◦ Varianca e populacionit:  (X  μ)
i
2
σ2  i1
N
Ku σ2= Varianca e populimit
N = Madhësia e populimit
Xi = ith vlerat e variablës X

50.  Matësi më i shpeshtë i variacionit
 Tregon variacionet rreth mesatares
 Është rrënja katrore e variancës së popullimit
 Ka njësi të njejtë të matjes sikurse të dhënat
origjinale
N
◦ Devijimi standard i populimit:  (Xi  μ)2
σ i1
N

51. Populacioni Mostra
Madhësia N n
Mesatarja
Varianca
Devijimi
standard

52. Populacioni Mostra
Madhësia N n
N n
Mesatarja X i X i
  i 1
X i 1
N n
n

N
Varianca  (Xi  μ)2 (Xi  X)2
σ2  i 1 S2  i1
N n -1
N n
Devijimi  (X i  μ) 2
 (X i  X )2
standard σ i 1 S i1
N n -1

53.  Përshkrimi i treguesve të tendencës qendrore
◦ Mesatarja aritmetike, mediana, moda, mesatarja
gjeometrike.
 Përshkrimi i treguesve të variacionit
◦ Rangu, Rangu i interkuartilit, varianca dhe devijimi
standard, koeficienti i variacionit,
◦ Përdorimi i Excel-it për statistika përshkruese