Ringkasan materi matematika

2,689 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
2,689
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
306
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Ringkasan materi matematika

  1. 1. Ringkasan Materi Matematika 28ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 28 11/07/2012 11:17:03
  2. 2. Bab Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 1 n 5)  a an Kelas X Semester 1   = n  b b Standar Kompetensi Kompetensi Dasar 6) a0 = 1  Menggunakan 1 Memecahkan masalah yang aturan pangkat, akar, 8) a − n = an berkaitan dengan bentuk dan logaritma. pangkat, akar, dan logaritma.  Melakukan Bentuk Akar B. manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan Pada bentuk akar berlaku sifat-sifat: m pangkat, akar, dan 1) a = an n m logaritma. 2) m a × n b = m × n a × b 3) m a m a A. Bentuk Pangkat = n b n b Bentuk pangkat meliputi: pangkat bulat positif, 4) m a × n a = mn a n × a m pangkat bulat negatif, dan pangkat nol. 5) m a mn a n Secara umum perpangkatan bulat positif suatu = n b am bilangan real didefinisikan sebagai C. Logaritma a = a × a × a × ... × a n Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari sebanyak n faktor perpangkatan, sehingga dapat didefinisikan sebagai berikut. Sifat-sifat bilangan berpangkat bilangan bulat untuk a, b ∈ R; m, n ∈ B ; a ≠ 0, b ≠ 0 (dengan R adalah x = an ⇔ alog x = n himpunan bilangan real dan B adalah himpunan bilangan bulat) adalah sebagai berikut, untuk a > 0, a ≠ 1 dan x > 0. 1) am × an = am +n am Keterangan: 2) n = a m−n a =bilangan pokok atau basis logaritma a x = numerus, bilangan yang dicari logaritmanya, x > 0 3) (am)n = am × n n = hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif 4) (ab)n = an × bn 29ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 29 11/07/2012 11:17:06
  3. 3. an m a Sifat-sifat logaritma: 9) log x m = . log x n 1) a log a = 1 1 10) alog = − a log x x 2) a log 1 = 0 1 11) a log x = − a log x 3) a log x + alog y = alog (x . y) 12) alog x . xlog y = alog y x 4) a log x – alog y = alog y 13) alog an = n 5) a log xn = n . alog x 14) log2x = log x . log x c log x 6) a log x = 1 log a c 15) log-1 x = 1 log x 7) a log x = x log a a log x 8) a =x 30ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 30 11/07/2012 11:17:07
  4. 4. Bab Persamaan dan Fungsi 2 Kelas X Semester 1 B. Persamaan Kuadrat Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Bentuk umum persamaan kuadrat dalah:  Memahami konsep fungsi ax2 + bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R, a ≠ 0 Memecahkan masalah  Menggambar yang berkaitan dengan Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan grafik fungsi aljabar fungsi, persamaan dan sederhana dan dengan: fungsi kuadrat serta fungsi kuadrat 1) memfaktorkan; pertidaksamaan kuadrat 2) melengkapkan bentuk kuadrat sempurna; 3) menggunakan rumus abc: Pengertian Relasi dan Fungsi −b ± b2 − 4ac A. x1,2 = 2a Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kadrat:. pemasangan ang­ ota-anggota himpunan A dengan g 1) jumlah akar-akar persamaan kadrat: anggota-anggota himpunan B. Sedangkan suatu b fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu x1 + x2 = − a relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan 3) hasil kali akar-akar persamaan kadrat: tepat satu anggota B. x1 . x2 = c Fungsi f dari himpunan A ke B ditulis a C. Fungsi Kuadrat f:A→B (dibaca: fungsi f memetakan A ke B) Bentuk umum fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, a, b, c ∈R Pada fungsi f : A → B berlaku Cara-cara menentukan fungsi kadrat: 1) Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari a. jika diketahui titik potong dengan sumbu x di f, ditulis Df. x1 dan x2, diganakan maka 2) Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) y = f(x) = a (x – x1) (x – x2); dari f. b. jika diketahui koordinat titik puncak (titik balik) 3) Himpunan dari semua peta f di B disebut daerah nya P(p,q), digunakan y = f(x) = a(x – p)2 + q; hasil (range) dari fungsi tersebut, ditulis Rf.. c. jika melalui tiga titik yang diketahui, digunakan = ax2 + bx + c. y 31ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 31 11/07/2012 11:17:13
  5. 5. Bab Sistem Persamaan 3 Kelas X Semester 1 2) Sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Bentuk umumnya adalah  Menyelesaikan  ax + by + cz = d Memecahkan masalah sistem persamaan  ; kx + ly + mz = n yang berkaitan dengan linear dan sistem  px + qy + rz = s sistem persamaan linear persamaan  dan pertidaksamaan satu campuran linear dan variabel kuadrat dalam dua a, b, c, d, k, l, m, n, p, q, r, s bilangan real. variabel  Merancang model 3) Sistem persamaan linear dengan persamaan matematika dari kuadrat. Bentuk umumnya adalah masalah yang  y = ax + b berkaitan dengan  ;  y = px + qx + r 2 sistem persamaan linear a, b, p, q, r bilangan real.  Menyelesaikan model matematika 4) Sistem persamaan kuadrat dengan dua variabel. dari masalah yang Bentuk umumnya adalah berkaitan dengan sistem persamaan  y = ax 2 + bx + c  linear dan  ;  y = px + qx + r 2  penafsirannya a, b, c, p, q, r bilangan real. A. Sistem Persamaan Linear B. Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Sistem persamaan linear terdiri atas dua atau lebih persamaan linear. Sistem persamaan linear terbagi Untuk mencari himpunan penyelesaian sistem per­ atas: samaan linear dengan dua variabel dan persamaan 1) Sistem persamaan linear dengan dua variabel. kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu: Bentuk umumnya adalah 1) substitusi, ax + by = c 2) eliminasi, dan  ;  px + qy = r 3) gabungan substitusi dan eliminasi. a, b, c, p, q, r bilangan real. 32ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 32 11/07/2012 11:17:14
  6. 6. 2) Sistem persamaan linear dengan tiga variabel. 4) Sistem persamaan kuadrat dengan dua variabel. Bentuk umumnya adalah Bentuk umumnya adalah  y = ax 2 + bx + c   ax + by + cz = d  ;  ;  y = px + qx + r  2 kx + ly + mz = n  px + qy + rz = s  a, b, c, p, q, r bilangan real. a, b, c, d, k, l, m, n, p, q, r, s bilangan real. Untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua variabel dan persamaan 3) Sistem persamaan linear dengan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu: kuadrat. Bentuk umumnya adalah 1) substitusi,  y = ax + b 2) eliminasi, dan  ;  y = px + qx + r 2 3) gabungan substitusi dan eliminasi. a, b, p, q, r bilangan real. 33ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 33 11/07/2012 11:17:16
  7. 7. Bab Pertidaksamaan 4 Kelas X Semester 1 1) Pertidaksamaan linear, yaitu suatu pertidak­­ Standar Kompetensi Kompetensi Dasar samaan yang mempunyai variabel pangkat  Menyelesaikan satu. pertidaksamaan Contoh: x + 4 < 2x + 7 Memecahkan masalah satu variabel yang yang berkaitan dengan melibatkan bentuk 2) Pertidaksamaan kuadrat, yaitu suatu pertidak­ fungsi, persamaan dan pecahan aljabar samaan yang mempunyai variabel pangkat fungsi kuadrat serta  Merancang model dua. pertidaksamaan kuadrat matematika dari Contoh: x2 – 2x + 4 < 7 masalah yang berkaitan dengan 3) Pertidaksamaan pecahan, yaitu suatu pertidak­ pertidaksamaan satu samaan yang mempunyai bentuk pecahan dan variabel  Menyelesaikan mengandung variabel x pada penyebutnya. model matematika 2x + 3 Contoh: >0 dari masalah yang 1− 2 x berkaitan dengan 4) Pertidaksamaan nilai mutlak (harga mutlak), pertidaksamaan yaitu suatu pertidaksamaan yang mempunyai satu variabel dan penafsirannya tanda mutlak. Pada pertidaksamaan nilai mutlak berlaku • x > 0 sama artinya –a < x < a. A. Pengertian Pertidaksamaan • x < 0 sama artinya x < –a atau x > a. Pertidaksamaan adalah suatu kalimat terbuka yang 6) Pertidaksamaan bentuk akar, yaitu pertidak­ memuat satu variabel (peubah) atau lebih dan tanda- samaan yang variabelnya terletak di bawah tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, atau ≥). tanda akar. Cara penyelesaiannya diawali dengan menguadratkan kedua ruas. Jenis-Jenis Pertidaksamaan Contoh: x −1 < 0 B. dan Penyelesaiannya Berdasarkan pangkat dari variabelnya (bentuk pertidaksamaan), pertidaksamaan dapat dibagi atas: 34ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 34 11/07/2012 11:17:17
  8. 8. Bab Logika Matematika 5 Kelas X Semester 1 A. Kalimat Terbuka, Pernyataan, dan Negasinya Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang memuat  Memahami variabel, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan, pernyataan dalam Menggunakan logika matematika dan apakah bernilai benar atau salah. matematika dalam ingkaran atau Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat pemecahan masalah negasinya ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau yang berkaitan dengan  Menentukan salah, tetapi tidak dapat terjadi benar dan salah pernyataan majemuk dan nilai kebenaran pernyataan berkuantor bersamaan. dari suatu per- nyataan majemuk Ingkaran pernyataan (negasi penyataan) adalah dan pernyataan kebalikan dari penyataan. Jika pernyataan benar, berkuantor ingkarannya salah, dan sebaliknya.  Merumuskan pernyataan yang setara dengan Ingkaran dari p dinotasikan dengan ~p, dibaca: pernyataan majemuk tidak p atau bukan p atau tidak benar bahwa p atau pernyataan atau non-p. berkuantor yang diberikan Contoh:  Menggunakan p = Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat. prinsip logika matematika yang (benar/B) berkaitan dengan Ingkarannya: pernyataan majemuk ∼ p = Bandung bukan ibu kota Provinsi Jawa Barat. dan pernyataan (salah/S) berkuantor dalam penarikan ∼ p = Tidak benar bahwa Bandung adalah ibu kota kesimpulan dan Provinsi Jawa Barat. (salah/S) pemecahan masalah B. Penyataan Majemuk Perrnyataan majemuk adalah penyataan yang terdiri dari dua pernyataan atau lebih dapat dihubungkan 35ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 35 11/07/2012 11:17:18
  9. 9. dengan kata hubung, yaitu: ... dan ... , ... atau ... , jika 4) Biimplikasi, dibentuk dari (p → q) ∧ (q → p), ... maka ..., dan ... jika dan hanya jika ... . dinotasikan dengan Contoh: Hari ini mendung atau langit berwarna biru. p⇔q Jenis-Jenis Kalimat Majemuk dibaca: p jika dan hanya jika q, Ada empat pernyataan majemuk, yaitu: p syarat cukup dan perlu untuk q, 1) Konjungsi, yaitu gabungan antara dua per­ p ekuivalen dengan q nyataan dengan memakai kata hubung ”dan”, Tabel kebenaran biimplikas: dinotasikan dengan p q p→q q→p p⇔q p ∧ q dibaca: p dan q B B B B B B S S B S Tabel kebenaran konjungsi S B B S S p q p∧q S S B B B B B B B S S S B S C. Ingkaran Pernyataan Majemuk S S S Ingkaran pernyataan majemuk terbagi atas 2) Disjungsi, yaitu gabungan antara dua pernyataan 1) Ingkaran dari konjungsi, berlaku dengan memakai kata hubung ”atau”, dinotasi­ kan dengan ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q p ∨ q dibaca: p atau q. 2) Ingkaran dari disjungsi, berlaku Tabel kebenaran disjungsi p q p∨q ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q B B B B S B 3) Ingkaran dari implikasi, berlaku S B B S S S ~(p → q) ≡ p ∧ ~q 3) Implikasi, yaitu gabungan antara dua pernyataan dengan memakai kata hubung ”jika … maka …”, 4) Ingkaran dari biimplikasi, berlaku dinotasikan dengan p→q ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p) dibaca: jika p maka q, p hanya jika q,p syarat cukup untuk q, q syarat perlu untuk p, atau q D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi jika p Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi baru, Tabel kebenaran implikasi: yaitu: p q p→q • Konvers: q → p B B B • Invers: ~p → ~q dan B S S S B B • Kontraposisi: ~q → ~p S S B 36ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 36 11/07/2012 11:17:20
  10. 10. Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya b) Aturan Tollens, berlaku E. Pernyataan berkuantor terdiri atas: Jika p→q benar dan ~q benar 1) Pernyataan berkuantor universal, dinotasikan maka pernyataan ~p bernilai benar. dengan ∀p(x) p→q (dibaca: “Untuk semua x, berlakulah p(x)”) ~p ∴ ~q Ingkarannya adalah c) Silogisme, berlaku: ~(“∀ p(x)) ≡ ∃x ~p(x) (dibaca: “ingkaran untuk semua x yang berlaku p(x) adalah Jika p → q dan q → r keduanya benar ada x yang bukan p(x)”). maka p → r juga benar. 3) Pernyataan berkuantor eksistensial, dinotasikan p→q dengan q→r ∃(x) p(x) ∴ p→r (dibaca: “Ada x sehingga berlaku p(x)”) 3) Penarikan kesimpulan dari pernyataan ber­ Ingkarannya adalah kuantor Contoh: ~(∃x p(x)) ≡ ∀x ~p(x) p(x) : Jika suatu segitiga merupakan segitiga (dibaca: “ingkaran beberapa x berlaku p(x) sama kaki maka mempunyai dua sudut adalah semua x bukan p(x)”). sama besar. ≡ Setiap segitiga sama kaki mempunyai dua F. Penarikan Kesimpulan sudut sama besar. Penarikan kesimpulan terbagi atas: 1) Penarikan kesimpulan dari pernyataan majemuk, dengan aturan a) Modus Ponens, berlaku Jika p → q benar dan p benar maka pernyataan q bernilai benar. p→q p ∴ q merupakan argumentasi yang sah. 37ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 37 11/07/2012 11:17:21
  11. 11. Bab Trigonometri 6 Kelas X Semester 1 A. Perbandingan Trigonometri Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Rumus-rumus perbandingan trigonometri Menggunakan  Melakukan perbandingan, manipulasi aljabar fungsi, persamaan, dalam perhitungan 1) sin α = panjang sisi depan = y panjang sisi miring r dan identitas teknis yang trigonometri dalam berkaitan dengan cos α = panjang sisi apit = x pemecahan masalah perbandingan, panjang sisi miring r fungsi, persamaan dan identitas tan α = panjang sisi depan = y panjang sisi apit x trigonometri  Merancang model matematika dari 1 2) sin α = ; masalah yang cos α berkaitan dengan 1 cosec α = ; perbandingan, sin α fungsi, persamaan 1 cos α dan identitas cotan α = = tan α sin α trigonometri  Menyelesaikan 3) sin (90° – α) = cos α model matematika cos (90° – α) = sin α dari masalah yang tan (90° – α) = cotan α berkaitan dengan perbandingan, cotan (90° – α) = tan α fungsi, persamaan 4) sin (180° – α) = sin α dan identitas trigonometri, dan cos (180° – α) = –cos α penafsirannya tan (180° – α) = –tan α cotan (180° – α) = –cotan α 5) sin (180° + α) = –sin α cos (180° + α) = –cos α tan (180° + α) = tan α cotan (180° + α) = cotan α 38ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 38 11/07/2012 11:17:23
  12. 12. D. Persamaan Trigonometri Untuk k ∈ B (B = himpunan bilangan bulat), diperoleh persamaan sebagai berikut, 1) Jika sin x = sin a, penyelesaiannya adalah x1 = a + k . 360° x2 = (180° – a) + k . 360° 2) Jika cos x = cos a, penyelesaiannya adalah x1 = a + k . 360° x2 = –a + k . 360° 3) Jika tan x = tan a, penyelesaiannya adalah x = a + k . 180° 4) Jika cotan x = cotan a, penyelesaiannya adalah x = a + k . 180° B. Fungsi Trigonometri Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Rumus E. Segitiga Fungsi trigonometri dapat berbentuk sebagai berikut, 1) f(x) = a sin (kx + b) Aturan sinus: 360° 2π periode = = a b c k k = = sin α sinβ sin γ nilai maksimum = a nilai minimum = – a Aturan kosinus: 2) f(x) = a cos (kx + b) 360° 2π 1) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α periode = = k k 2) b2 = a2 + c2 – 2ac cos β nilai maksimum = a nilai minimum = – a 3) c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ 3) f(x) = a tan (kx + b) Luas segitiga: 180° π 1 periode = = L∆ABC = b . c sin α k k 2 Tidak ada nilai maksimum dan minimum. 1 L∆ABC = ac sin β 2 1 C. Identitas Trigonometri L∆ABC = a . b sin γ 2 Contoh identitas trigonometri 1) sin2 a + cos2 a = 1 2) 1 + tan2 a = sec2 a 39ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 39 11/07/2012 11:17:25
  13. 13. Bab Ruang Dimensi Tiga 7 Kelas X Semester 2 Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Menentukan  Menentukan kedudukan, jarak, kedudukan titik, dan besar sudut garis, dan bidang yang melibatkan dalam ruang dimensi titik, garis, dan tiga bidang dalam ruang  Menentukan jarak Kedudukan suatu garis terhadap garis lain (dua garis) dimensi tiga dari titik ke garis dan dibedakan atas: dari titik ke bidang 1) Berimpit 3) Berpotongan dalam ruang dimensi tiga 3) Sejajar 4) Bersilangan  Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga Kedudukan suatu bidang terhadap bidang lain (dua bidang) dibedakan atas: Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang 1) Berimpit pada Bangun Ruang 2) Sejajar A. 3) Berpotongan Kedudukan titik dibedakan atas: 1) Titik terletak pada garis 2) Titik terletak di luar garis 3) Titik terletak pada bidang 4) Titik terletak di luar bidang 40ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 40 11/07/2012 11:17:26
  14. 14. B. Proyeksi Ruang Proyeksi ruang meliputi: 1) Proyeksi titik pada garis. 2) Proyeksi titik pada bidang. 3) Proyeksi garis pada bidang. 41ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 41 11/07/2012 11:17:28
  15. 15. Bab Statistika dan Peluang 8 Kelas XI Semester 2 Statistika A. Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Menggunakan  Membaca data Perbedaan Pengertian Statistik dengan Statistika aturan statistika, dalam bentuk tabel Statistik merupakan kumpulan angka-angka dari kaidah pencacahan, dan diagram batang, dan sifat-sifat garis, lingkaran, dan suatu permasalahan, sehingga dapat memberikan peluang dalam ogive gambaran mengenai masalah tersebut. Sedangkan pemecahan masalah  Menyajikan data statistika adalah cara ilmiah yang mem­ elajari p dalam bentuk tabel pengumpulan, pengaturan, perhitungan, peng­ dan diagram batang, gambaran, dan penganalisisan data, serta penarikan garis, lingkaran, dan ogive serta kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisisan penafsirannya yang dilakukan, dan pembuatan kesimpulan yang  Menghitung ukuran rasional. pemusatan, ukuran letak, dan ukuran Penyajian Data Tunggal penyebaran data, serta penafsirannya Penyajian data dapat berupa:  Menggunakan 1) Diagram batang, yaitu penyajian data dengan aturan perkalian, menggunakan batang-batang berbentuk permutasi, dan persegi panjang dengan lebar batang yang kombinasi dalam sama dan dilengkapi dengan skala tertentu pemecahan masalah  Menentukan ruang untuk menyatakan banyaknya tiap jenis data. sampel suatu 2) Diagram lingkaran, yaitu penyajian data statistik percobaan dengan menggunakan gambar yang berbentuk  Menentukan lingkaran, yang dibagi atas juring-juring. peluang suatu kejadian dan 3) Diagram garis, yaitu penyajian data pada penafsirannya bidang Cartesius dengan menghubungkan titik-titik data pada bidang Cartesius (sumbu x dan sumbu y), sehingga diperoleh suatu grafik berupa garis. 42ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 42 11/07/2012 11:17:29
  16. 16. 4) Diagram Batang daun, yaitu penyajian data yang dibagi atas dua bagian, yaitu bagian batang dan Frekuensi relatif kelas ke-k daun. Bagian batang memuat angka puluhan, frekuensi kelas ke-k = × 100% sedangkan bagian daun memuat angka banyak data satuan. 5) Diagram kotak garis, yaitu penyajian data dalam 2) Tabel distribusi frekuensi kumulatif, bentuk kotak garis. merupakan tabel frekuensi yang berisikan frekuensi kumulatif (frekuensi hasil Penyajian Data Berkelompok­­ akumulasi). Frekuensi kumulatif adalah Apabila data cukup banyak maka data frekuensi yang dijumlahkan, yaitu frekuensi dikelompokkan dalam beberapa kelompok, suatu kelas dijumlahkan dengan frekuensi kemudian data tersebut disajikan dalam bentuk kelas sebelumnya. tabel distribusi frekuensi. Langkah-langkah membuat tabel distribusi Ukuran Data Statistik frekuensi adalah sebagai beriku,. a. Ukuran Pemusatan Data (Ukuran Tendensi 1) Urutkan data dari data terkecil ke data terbesar. Sentral) 2) Tentukan banyak kelas pada tabel distribusi Ada tiga macam ukuran tendensi sentral, frekuensi, dengan menggunakan metode yaitu: Sturgs: a) Rata-rata atau mean ( x ), yaitu jumlah seluruh nilai-nilai data dibagi dengan k = 1 + 3,3 log n banyaknya data. 1) Rata-rata untuk data tunggal (tidak Keterangan: k = banyak kelas n = banyak data berkelompok) , rumusnya adlah: 3) Tentukan interval kelas dengan rums: n x + x + x + .... + x n ∑x i x= 1 2 3 = i =1 R n n I= k 3) Rata-rata untuk data berkelompok, Keterangan: rumusnya adlah: I = interval kelas R = range = jangkauan = data tertinggi – data terendah n f x + f x + f x + .... + fn x n ∑ i i k = banyak kelas fx x= 1 1 2 2 3 3 = i =1 n f1 + f2 + f3 + .... + fn 4) Tentukan batas atas kelas (Ba) dan batas bawah ∑ fi i =1 kelas (Bb). Tabel distribusi frekuensi dapat dibedakan 5) Rata-rata sesungguhnya, rumusnya atas: adalah: 1) Tabel distribusi frekuensi relatif: mempunyai n frekuensi relatif dalam bentuk persentase ∑f d i i x = x0 + i =1 (%). Besarnya frekuensi relatif dapat n ditentukan dengan rums: ∑f i =1 i 43ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 43 11/07/2012 11:17:30
  17. 17. 7) Rata-rata sesungguhnya dengan mem­ b. Ukuran Letak faktorkan interval kelasnya, rumusnya Ukuran letak suatu data dapat dinyatakan adalah: dalam bentuk fraktil. Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi  n   ∑ fi ui  seperangkat data yang telah berurutan menjadi x = x 0 +  i =1 n I beberapa bagian yang sama, yaitu:  ∑ fi  a) Kuartil, yaitu ukuran letak yang membagi  i =1   sekumpulan data tersebut menjadi Keterangan: 4 bagian yang sama. Kuartil terbagi atas: x (eksbar) = rata-rata data n = jumlah semua bobot data • Kuartil bawah (Q1), terletak pada data x0 = rata-rata sementara uruta ke- 1 ¼ (n + 1) 4 fi = bobot untuk nilai-nilai xi • Kuartil tengah (Q2), terletak pada data xi = nilai data ke-I uruta ke- 1 ½ (n + 1) I = interval kelas 2 d • Kuartil atas (Q3), terletak pada data u= = faktor interval I uruta ke- 3 ¾ (n + 1) 4 Rumus kuartil untuk data berkeompok: b) Median (Md), yaitu nilai yang terletak di tengah deretan data setelah diurutkan dari  j  yang terkecil. n − fkQ j 4  Q j = TbQ j +  I Rumus median untuk data berkelopok: fQ j     1  n − fk Keterangan:   Md = Tb +  2 I Qj = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3)  f   TbQi = tepi bawah kelas yang memuat Qj n = jumlah seluruh frekuensi fkQi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas yang memuat Qj Keterangan: fQi = frekuensi kelas yang memuat Qj Md = median I = lebar atau panjang kelas (interval kelas) Tb = tepi bawah kelas fk = frekuensi kumulatif c) Modus (Mo), yaitu data yang paling sering b) Desil, yaitu ukuran letak yang membagi muncul atau yang mempunyai frekuensi sekumpulan data menjadi 10 bagian. terbanyak. Rumus desil untuk data berklompok: Rumus modus data kelompok adalah  j  n − fkD j  10   d1  D j = TbD j +  I Mo = Tb +  I fD j  d1 + d2       Keterangan: Keterangan: Mo = modus Dj = desil ke-j (j = 1, 2, 3, …, 9) d = selisih antara frekuensi kelas modus dengan TbDi = tepi bawah kelas yang memuat Dj 1 frekuensi kelas sebelumnya n = jumlah seluruh frekuensi d2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan fkDi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas frekuensi kelas sesudahnya yang memuat Dj fDi = frekuensi kelas yang memuat Dj I = lebar atau panjang kelas (interval kelas) 44ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 44 11/07/2012 11:17:32
  18. 18. d) Persentil, yaitu ukuran letak yang membagi Peluang B. sekumpulan data menjadi 100 bagian. Rumus kuartil untuk data berelompok: Permutasi Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah  j  unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan. n − fkPj 4  Pj = TbPj +  I Rumusny adalah: fPj     Di mana: k ≤ n Keterangan: Pj = kuartil ke-j (j = 1, 2, 3, …, 99) TbPi = tepi bawah kelas yang memuat Pj Permutasi terbagi atas: n = jumlah seluruh frekuensi 1) Permutasi dengan beberapa objek sama, fkPi = frekuensi kumulatif kurang dari di bawah kelas yang memuat Pj berlaku: fPi = frekuensi kelas yang memuat Pj I = lebar atau panjang kelas (interval kelas) a) Banyaknya permutasi dari n objek dengan r objek sama (r < n) adalah c. Ukuran Penyebaran Data (Dispersi) Ukuran penyebaran data terbagi atas: n! P = n r r! a) jangkauan atau range (R),berlaku: b) Banyaknya permutasi dari n objek, di mana R = Xmaks – Xmin ada beberapa objek sama, misalnya ada m1 c) simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata objek yang sama, ada m2 objek yang sama (SR), rumusny adalah: serta m3 objek yang sama, dan seterusnya n n adalah ∑x i −x ∑f i xi − x SR = i =1 atau SR = i =1 n! = n n P ∑f i =1 i n m1 , m2 , m3 ,.... m1 ! m2 ! m3 ! .... e) simpangan baku/standar deviasi / deviasi 3) Permutasi siklis,berlaku: standar (SD), rumusnya Banyaknya permutasi siklis dari n objek = (n – n 1)! ∑ (x − x) 2 i SD = i =1 jika n > 30 n Kombinasi n Banyaknya kombinasi r objek dari n objek ditulis ∑ (x − x) 2 i dengan nCr atau Crn adalah SD = i =1 jika n ≤ 30 n −1 n! Cr = f ) simpangan kuartil atau jangkauan semi r ! (n − r )! n interkuartil (Qd), rumusny adalah: 1 Peluang Suatu Kejadian Qd = 2 (Q3 − Q1 ) Peluang (P) merupakan ukuran mengenai Keterangan: kemungkinan suatu kejadian tertentu akan Qd = simpangan kuartil terjadi dalam suatu percobaanabilaJika hasil suatu Q3 = simpangan atas Q1 = simpangan bawah percobaan yang mungkin itu dihimpun dalam suatu 45ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 45 11/07/2012 11:17:33
  19. 19. himpunan maka himpunan itu disebut ruang sampel Kejadian Majemuk yang dilambangkan dengan S. Pada kejadian majeuk berlaku: Peluang P untuk terjadinya suatu kejadian E 1) Peluang kejadian saling asing atau kejadian sling adalah lepas: n( E ) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(E ) = n( S ) 3) Untuk peluang kejadian sembarang A da B berlaku: Keterangan: P(E) = peluang kejadian yang diharapkan sukses n(E) = banyaknya anggota kejadian E P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) n(S) = banyaknya anggota ruang sampel (banyaknya kejadian yang mungkin terjadi) 5) Pada kejadian A dan B saling bebas, kejadian A Peluang komplemen suatu kejadin berlaku: tidak memengaruhi kejadian B atau kejadian B tidak memengaruhi kejadian A, sehinga P(E ) = 1 – P(E) C berlaku: Keterangan: P(EC) = peluang komplemen suatu kejadian P(A ∩ B) = P(A) × P(B) P(E) = peluang yang diharapkan sukses 7) Dua buah kejadian disebut kejadian tidak saling Frekuensi Harapan bbas berlaku: Jika suatu percobaan dilakukan n kali maka peluang kejadian yang diharapkan adalah P(E). Perkalian P(A ∩ B) = P(A) × P(B| A) antara berapa kali percobaan dilakukan dengan peluang kejadian itu dinamakan frekuensi harapan Peluang bersyarat P(B| A) artinya peluang (fh), ditlis dengan: terjadinya B setelah A terjadi. fh (E) = n × P(E) Keterangan: fh (E) = frekuensi harapan P(E) = peluang kejadian E n = banyak kejadian 46ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 46 11/07/2012 11:17:34
  20. 20. Bab Trigonometri 9 Kelas XI Semester 2 B. Sudut Ganda Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Rumus untuk sudut ganda Menurunkan rumus  Menggunakan trigonometri dan rumus sinus dan penggunaannya kosinus jumlah 1) sin 2α = 2 sinα cos α dua sudut, selisih 2) cos 2α = cos2 α– sin2 α dua sudut, dan 2tan α sudut ganda untuk 3) tan 2α = 1− tan2 α menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu Penjumlahan dan Pengurangan Sinus,  Menurunkan rumus C. Kosinus, dan Tangen jumlah dan selisih sinus dan kosinus 1 1  Menggunakan 1) sin P + sin Q = 2 sin (P + Q) cos (P – Q) 2 2 rumus jumlah dan 1 1 2) sin P – sin Q = 2 cos (P + Q) sin (P – Q) selisih sinus dan 2 2 kosinus 1 1 3) cos P + cos Q = 2 cos (P + Q) cos (P –Q) 2 2 1 1 Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut 4) cos P – cos Q= –2 sin (P + Q) sin (P – Q) A. 2 2 Rumus jumlah dan selisih dua sudut adalah D. Perkalian Sinus dan Kosinus 1) sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 2) sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β Rumus perkalian sinus dan kosinus 3) cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β 4) cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β 1) 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α – β) 2) 2 cos α sin β = sin (α + β) – sin (α – β) 5) tan (α + β) = tan α + tanβ 3) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β) 1− tan α tanβ 4) –2 sin α cos β = cos (α + β) – cos (α – β) 6) tan (α + β) = tanα + tanβ 1 + tan α tanβ 47ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 47 11/07/2012 11:17:36
  21. 21. Bab Lingkaran 10 Kelas XI Semester 1 Standar Kompetensi Kompetensi Dasar B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyusun  Menyusun Persamaan lingkaran dapat dibedakan atas: persamaan persamaan lingkaran lingkaran dan garis yang memenuhi 1) Persamaan garis singgung di titik P(x1,y1) pada singgungnya persyaratan yang lingkaran x2 + y2 = r2 adalah ditentukan  Menentukan x1 x + y1 y = r2 persamaan garis singgung pada 2) Persamaan garis singgung di titik P(x1,y1) pada lingkaran dalam lingkaran (x – a)2 + (y – b) 2 = r2 adalah berbagai situasi (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2 A. Persamaan Lingkaran 3) Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1) pada Persamaan lingkaran dapat dibedakan atas: lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 adalah 1) Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0 x2 + y2 = r2 4) Persamaan garis singgung dengan gradien m 2) Persamaan lingkaran yang berpusat di M(a, b) terhadap lingkaran x2 + y2 = r2 adalah dan jari-jari r adalah y = mx ± r 1+ m2 (x – a)2 + (y – b) 2 = r2 5) Persamaan garis singgung dengan gradien m 3) Persamaan umum lingkaran adalah terhadap lingkaran (x – a) 2 + (y – b) 2 = r2 x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 adalah di mana titik pusatnya adalah (–A, –B) dan jari- (y − b) = m(x − a) ± r 1 + m2 jarinya adalah r sehingga r = A2 + B 2 − C 48ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 48 11/07/2012 11:17:38
  22. 22. Bab Suku Banyak 11 Kelas XI Semester 2 B. Menentukan Nilai Suku Banyak Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai suku banyak dapat ditentukan dengan dua Menggunakan  Menggunakan cara, yaitu aturan sukubanyak algoritma dalam penyelesaian pembagian 1) Cara subsitusi, dengan ketentuan masalah sukubanyak untuk Nilai suku banyak f(x) = an xn + an–1 xn–1 + an–2 xn–2 menentukan hasil +… + a2 x2 + a1x + a0, untuk x = k dan k suatu bagi dan sisa bilangan real adalah pembagian  Menggunakan teorema sisa dan f(k) = an kn + an–1 kn–1 + an–2 kn–2 +… teorema faktor + a2 k2 + a1k + a0, a0 ≠ 0 dalam pemecahan masalah 3) Cara bagan atau skema. Cara ini merupakan dasar untuk melakukan pembagian suku banyak Pengertian Suku Banyak dengan cara Horner (W.G. Horner 1786–1837). A. Misalkan: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d maka nilai x diperoleh dengan cara Suku banyak adalah bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku. Bentuk umum suku banyak x=k a b c d dalam variabel x berderajat n adalah ak ak + bk 2 ak + bk2 + ck 2 + f(x) = an xn + an–1 xn–1 + an–2 xn–2 +… a ak + b ak2 + bk + c ak3 + bk2 + ck + d + a2 x2 + a1x + a0 = [(ak + b)k + c]k + d berlaku: • an, an–1, … , a1 = koefisien-koefisien suku banyak B. Pembagian Suku Banyak yang merupakan konstanta real dan an ≠ 0. Misalkan f(k) = an kn + an–1 kn–1 + an–2 kn–2 +… + a2 k2 + • a0 = suku tetap yang merupakan konstanta real a1k + a0 dibagi oleh (x – k) maka mendapatkan sisa • n = derajat suku banyak dan n adalah bilangan H(x) sehingga berlaku cacah 49ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 49 11/07/2012 11:17:40
  23. 23. 1) Teorema 1: Sukubanyak f(x) berderajat n dibagi f(x) = (x – k) . H(x) + S (x – k) maka sisanya S = f(k). Keterangan: f(x) = suku banyak H(x) = hasil bagi 2) Teorema 2: Suku banyak P(x) yang berderajat (x – k) = pembagi S = sisa n dibagi dengan (ax+b) maka sisanya adalah P  b Misalkan f(k) = an kn + an–1 kn–1 + an–2 kn–2 +… + a2 −  .  a k2 + a1k + a0 dibagi oleh bentuk kuadrat (ax2 + bx + c; a ≠ 0) maka berlaku 3) Teorema 3: Sukubanyak f(x) berderajat n dibagi (x – a)(x – b) maka sisanya f(x) = (ax + bx + c) · H(x) + (px + q) 2  x − a  x − b S=  f (b ) +  f (a)  b−a  a −b D. Teorema Sisa Sisa pembagian dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut, 50ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 50 11/07/2012 11:17:41
  24. 24. Bab Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 12 Kelas XI Semester 2 B. Fungsi Invers Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Menentukan  Menentukan Rumus untuk invers fungsi komposisi dari komposisi dua komposisi fungsi dari fungsi dan invers dua fungsi suatu fungsi  Menentukan invers (f  g( x ))−1 = ( g −1  f −1( x )) suatu fungsi ( g  f ( x ))−1 = (f −1  g −1( x )) A. Fungsi Komposisi Fungsi komposisi g dan f berlaku (f  g( x )) = f ( g( x )) ( g  f ( x )) = g(f ( x )) 51ringkasan materi matematika un sma ipa.indd 51 11/07/2012 11:17:42

×