4. UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD PPRRIIVVAADDAA DDOOMMIINNGGOO SSAAVVIIOO.. TTAARRIIJJAA IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN DDEE OOPPEERRAACCIIOONNEESS II ((MMAATT –– 331155))
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PROBLEMAS TIPO 5.
Plantear el MPL de los siguientes problemas y resolverlo por el método apropiado (gráfico,
informático: LINGO, QSB, TORA)
5.A. Novak Djocovic decide emplear hasta 50000 € de su patrimonio en la adquisición de acciones de dos
sociedades de inversión: UNIX y GOLDEN.
El precio de cada acción es de 55 € cada una y en ambos casos. UNIX dedica los 35% de su actividad al sector
seguros, el 45% al sector inmobiliario y el 20% al industrial. GOLDEN dedica el 30% de sus recursos al sector
seguros, el 25% al inmobiliario y el 45% al industrial.
Novak no quiere invertir más del 40% de su capital en el sector industrial ni más del 35% en el inmobiliario.
¿Cuántas acciones debe adquirir de cada sociedad si UNIX prevé entregar un dividendo de 1,20 €/acción y
GOLDEN de 1 €/acción?
5.B. A una persona le tocan 10 millones de bolívares en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de
acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más
seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6
millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo
invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio
anual sea máximo?
5.C. Una multinacional farmacéutica desea fabricar un compuesto nutritivo a base de dos productos A y B. El
producto A contiene 30% de proteínas, un 1% de grasas y un 10% de azúcares. El producto B contiene un 5% de
proteínas, un 7% de grasas y un 10% de azúcares.
El compuesto tiene que tener, al menos, 25 g de proteínas, 6 g de grasas y 30g de azúcares.
El coste del producto A es de 0.6 €/g. y el de B es de 0.2 €/g.
¿Cuántos gramos de cada producto debe tener el compuesto para que el coste total sea mínimo?
5.D. La compañía aérea British Airways dispone de dos tipos de aviones: Mc Donnell Douglas (MD) y Embraer 170
(E) para cubrir un determinado trayecto. El avión MD debe hacer más veces el trayecto que el avión E; pero no
debe sobrepasar 120 viajes, además que entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos; pero menos de 200.
En cada vuelo MD consume 900 litros de combustible y E 700, mientras que en cada viaje del avión MD la empresa
gana 30000 $ y 20000 $ por cada viaje del avión E.
a) ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para que British Airways obtenga el máximo de ganancias?
b) ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible de British Airways sea el mínimo?
5.E. En su consumo diario promedio de alimento un animal rapaz necesita 100 unidades del alimento A, 120
unidades del alimento B y 120 del C. Estos requerimientos se satisfacen cazando 2 tipos de especies, es así que
una presa de la especie I suministra 5, 2 y 1 unidades de los alimentos A, B y C respectivamente; mientras que una
presa de la especie II suministra 1, 2 y 4 unidades de los suscritos alimentos.
Además se conoce que capturar y digerir una presa de la especie I requiere 60 calorías de energía en promedio y
mientras que el gasto de energía correspondiente para la especie II es de 40 calorías.
¿Cuántas presas de cada especie deberán capturar el depredador para satisfacer sus necesidades alimenticias
haciendo un gasto mínimo de energía?
5.F. Una constructora debe fabricar casas tipo A cuyo costo es de 13 millones y casas tipo B de costo 8 millones. El
número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el 20 % por lo menos para las viviendas tipo B.
La constructora dispone de 600 millones de pesos para este proyecto y planea que cada casa tipo A se venda a 16
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millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe fabricar la constructora para obtener el
beneficio máximo?
5.G. LACOMME PARIS es una megaempresa transnacional dedicada a la fabricación de artículos y neceseres para
embellecimiento de la mujer actual, así que entre su variada stock fabrica 2 tipos de productos con una alta
demanda, es así que para producir una unidad del producto dirigido al mercado A se necesitan 15 unidades de
materia prima, 20 horas de máquina y 9 horas de mano de obra; mientras que para producir una unidad del
producto dirigido al mercado B se requieren 23 unidades de materia prima, 14 horas de máquina y 4 horas de
mano de obra.
Se estima que la demanda total del 1º producto no debe exceder las 10 unidades, dado que las políticas de la
empresa son severas se establece que la producción del producto dirigido al mercado A no debe exceder a 12
unidades más 4 veces la producción del producto dirigido al mercado B, además de establece se debe utilizar por
lo menos 36 horas hombre en la producción total de la empresa.
Además se requiere que la producción del producto dirigido al mercado B no exceda a 4 veces la producción del
producto dirigido al mercado A más 12 unidades. La empresa cuenta con un máximo de 345 unidades de materia
prima y con una disponibilidad máxima de 280 horas de máquina. Se sabe que el precio de venta del producto
dirigido al mercado A es de 400 € y que los costos involucrados en la producción de este tipo de producto suman
100 €; mientras que el precio de venta del producto dirigido al mercado B es de 500 € y los costos referidos a la
fabricación de este tipo de producto suman 200 €.
a.) Elabore un plan de producción óptimo para ambos productos, a fin que se cumplan las restricciones y
consideraciones realizadas en cuanto a la fabricación de los productos descritos.
b.) Calcule e intérprete los precios sombra.
5.H. Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca conocida C.
Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a 250 Bs. el litro de aceite C y a 125 Bs. el litro de aceite D siempre y
cuando: 1) Compre en total 6 litros o más, y 2) La cantidad comprada de aceite C esté comprendida entre la mitad
y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si disponemos de un máximo de 3125 Bs, se pide:
a) Representa gráficamente los modos de acogerse a la oferta.
b) Acogiéndonos a la oferta, ¿Cuál es la mínima cantidad de aceite D que podemos comprar? ¿Cuál es la máxima
de C?
5.I. Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un Kilogramo de A contiene 8
gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un Kilogramo de B tiene 4 gramos del primer
elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las
cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos, respectivamente; y la cantidad de A
es como mucho el doble que la de B. Cuantos Kilogramos de A y B que han deben tomarse para que el coste sea
mínimo si un Kilogramo de A vale 2 euros y uno de B 10 euros.
5.J. La húngara Katinka Hosszu (mejor nadadora 2014) dispone de 800000 € que desea invertir ahora para utilizar
lo que se acumule en la compra de un fondo de retiro en 5 años. Después de consultar con su asesor financiero le
ofrecieron 4 tipos de reditúa inversiones de ingreso fijo (A, B, C y D).
Las inversiones A y B están disponibles al principio de cada uno de los 5 años, siendo que cada euro invertido en A
al iniciar el euro 1.40 € (ganancia de 0.40 €) 2 años después (a tiempo para invertir de inmediato), mientras que
cada euro invertido en B al principio de un año ofrece 1.70 € tres años después.
Las inversiones C y D estarán disponibles una sola vez en el futuro, en la cual cada euro invertido en C al principio
del año 2 genera 1.90 € al final del año 5, finalmente cada euro invertido en D al principio del año 5 produce 1.30 €
al final de ese año.
Hosszu desea conocer el plan de inversión que maximiza el volumen financiero acumulado al principio del 6º año.
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5.K. Mario Gotze, Director del Centro de Cómputo de Oxford College, debe programar las horas de trabajo del
personal del centro, siendo que abre de las 8 a.m. hasta la media noche. Gotze estudio el uso del centro en las
diferentes horas del día y determino los siguientes números de asesores en computación necesarios:
Hora Nº mínimo de asesores requeridos
8 a.m. - 12 p.m. 4
12 p.m. - 4 p.m. 8
4 p.m. - 8 p.m. 10
8 p.m. - 12 a.m. 6
Se puede contratar 2 tipos de asesores: de tiempo completo y de tiempo parcial, donde los primeros trabajan 8
horas consecutivas en cualquiera de los siguientes turnos: matutino (8 a.m. – 4 p.m.), vespertino (12 p.m. – 8 p.m.)
y nocturno (4 p.m. – 12 a.m.), estos asesores ganan 14 $US/hora.
Los asesores de tiempo parcial pueden trabajar en cualquiera de los 4 turnos señalados en el cuadro anterior,
ganando para ello 12 $US/hora. El requisito adicional es que durante todos los periodos debe haber al menos 2
asesores de tiempo completo por cada uno de tiempo parcial. El señor Gotze desea determinar cuántos asesores
de tiempo completo y cuantos de tiempo parcial debe haber en cada turno para cumplir los requisitos a un costo
mínimo.
5.L. Una familia campesina es propietaria de 550 acres y tiene fondos por 85000 $US para invertir. Sus miembros
pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de
junio a mediados de septiembre) y 4000 horas-hombre durante el verano. En caso de que se necesite una parte de
estas horas hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por 5 $US la hora
durante los meses de invierno y por 6 $US la hora en el verano.
Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y 2 tipos de animales de granja: vacas
lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requerirá un desembolso
de 1200 $US y cada gallina costará 9 $US.
Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en el verano; cada
una producirá un ingreso anual neto de 1000 $US para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son
nada de terreno, 0.6 horas-hombre en el invierno, 0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de 5
$US. Caben 3000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de
las horas-hombre y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son:
Descripción Soya Maíz Avena
Horas-hombre en invierno 20 35 10
Horas-hombre en verano 50 75 40
Ingreso neto anual ($US) 600 900 450
La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas vacas y gallinas debe
mantener para maximizar su ingreso neto. Con base a la información presentada, se le solicita elaborar
detalladamente el MPL respectivo.
5.O. Se ha concedido permiso a una empresa de turismo para realizar vuelos hacia Hawai, las islas Canarias y las
regionales entre sí, para ello debe adquirir turbo jets AIRBUS A340 con los que se cubrirá los vuelos hacia Hawai y
las islas Canarias, además de los BOEING 777 y VALKYRIE XB-70, mismos que desarrollaran los vuelos regionales.
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En el cuadro B se describen las operaciones de manufactura para las 2 plantas (los números del cuadro expresan
horas de tiempo de fabricación). El gerente de la planta 1 ha señalado que pueden dedicarse las siguientes horas
de capacidad mensual de producción para la nueva línea de productos: operación A 30000 horas; operación B
10000 horas y operación C 16000 horas. En cada una de las 2 operaciones de la planta 2 existen disponibles 20000
horas de tiempo de producción. El directorio de Leibnitz Co., debe determinar la cantidad de cada uno de los 4
tipos de productos que deben fabricarse cada mes en las dos plantas, de manera que se maximice la contribución
a las utilidades de la compañía.
Cuadro A
Precio de venta y demanda
Producto
No. 1 No. 2 No. 3 No. 4
Precio de venta $200 $300 $250 $280
costos variables: planta 1 $160 $270 $240 $270
Costos variables: planta 2 $220 $300 $200 $220
Demanda (unidades) 1000 3000 4000 6000
Cuadro B
Planta Operación
Producto
No. 1 No. 2 No. 3 No. 4
1
A 6.0 7.2 4.0 7.0
B 18.0 20.0 16.0 18.0
C 2.0 2.0 1.0 1.0
2
X 8.0 8.0 4.0 8.0
Y 10.0 16.0 8.0 6.0
Se le solicita plantear el Modelo de Programación Lineal, resolverlo y analizar las soluciones obtenidas.
5.T. Rolene Strauss tiene a su cargo la compra de mercancías enlatadas para el servicio de alimentos en una gran
universidad. Ella sabe cuál será la demanda durante el transcurso del año académico y ha estimado también los
costos de compra, los cuales se muestran en el cuadro adjunto. Además puede comprar anticipadamente y
almacenar para evitar los aumentos de precios, pero existe un costo de mantener inventario de $ 3 por caja, por
mes, aplicado al inventario en existencia al final del mes. Elabore un MPL que minimice el costo total y que ayude
a Rolene a determinar el momento de sus compras.
Sugerencia: Supóngase que Pt es el número de cajas compradas en el mes t y que It es el número de cajas en
existencias al final del mes t.
Ítem Sep. Oct. Nov. Dic. Ene. Feb. Mar. Abr. May.
Demanda (cajas ) 1000 900 850 500 600 1000 1000 1000 500
Costo ($US/caja) 20 20 20 21 21 21 23 23 23
5.U. CAMBIAZZO Corp., está considerando 6 posibles proyectos de construcción durante los próximos 4 años y
puede emprender cualquiera de los proyectos en parte o en su totalidad.
La ejecución parcial de un proyecto prorrateará proporcionalmente tanto el rendimiento como los desembolsos
de efectivo. Los rendimientos (a valor presente) y los desembolsos de efectivo para los proyectos se describen en
el cuadro adjunto.
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Proyecto
Desembolso de efectivo (miles $US) Rendimiento
(miles $US)Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
A 10,50 14,40 2,20 2,40 32,40
B 8,30 12,60 9,50 3,10 35,80
C 10,20 14,20 5,60 4,20 17,75
D 7,20 10,50 7,50 5,00 14,80
E 12,30 10,10 8,30 6,30 18,20
F 9,20 7,80 6,90 5,10 12,35
Fondos disponibles
(miles $US)
60,00 70,00 35,00 20,00
Formule el MPL respectivo y determine la combinación óptima de proyectos que maximice el rendimiento total de
los proyectos (Omite el valor del dinero en el tiempo).
5.V. SNAKE STEEL SHADOW explota dos minas para obtener mineral de hierro, el cual se envía a una de dos
instalaciones de almacenamiento y cuando se necesita se manda a la planta de acero de la compañía.
El diagrama adjunto describe la red de distribución, donde M1 y M2 son las dos minas, S1 y S2 los dos almacenes
y P es la planta de acero. Así también se muestra las cantidades producidas en las minas, el costo de envío y la
,cantidad máxima que se puede enviar al mes por cada vía. Además la Planta (P) requiere 100 toneladas de hierro.
La administración de SNAKE STEEL SHADOW desea determinar el plan óptimo de envío del mineral de las minas a
la planta, aplicando la programación lineal.
5.W. Las facturas en una casa se reciben mensualmente (por ejemplo, servicios e hipoteca de la casa),
trimestralmente (pagos de impuestos estimados), semestralmente (como los seguros), o anualmente
(renovaciones y pagos vencidos de suscripciones). La siguiente tabla presenta las facturas mensuales durante el
próximo año.
Mes Ene Feb Marz Abr May Jun Jul Agost Sept Oct Nov Dic Total
Monto ($US) 800 1200 400 700 600 900 1500 1000 900 1100 1300 1600 12000
11. UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD PPRRIIVVAADDAA DDOOMMIINNGGOO SSAAVVIIOO.. TTAARRIIJJAA IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN DDEE OOPPEERRAACCIIOONNEESS II ((MMAATT –– 331155))
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A fin de solventar estos gastos, la familia aparta 1000 $US cada mes, cantidad que es el promedio del total dividido
entre 12 meses. Si el dinero se deposita en una cuenta de ahorros convencional, puede ganar un interés anual de
4%, siempre que permanezca en la cuenta por lo menos 1 mes. El banco también ofrece certificados de depósito a
3 y 6 meses que pueden ganar el 5.5% y 7% de interés anual, respectivamente.
Estableciendo las suposiciones y requerimientos necesarios para llegar a una solución factible, desarrolle un
programa de inversión de 12 meses que maximizará la ganancia total de la familia durante el año.
5.X. Dick y Jane son propietarios de una guardería y deben decidir que dar a los niños en el almuerzo, según sus
políticas desean mantener los costos bajos; pero también deben cumplir con los requerimientos nutritivos de los
niños. Es así que ya decidieron darles sandwichs de mantequilla de maní, mermelada y alguna combinación de
galletas, leche y jugo de naranja. El contenido nutritivo de cada alimento y su costo se presenta en el siguiente
cuadro.
Alimentos Unidad
Calorías de
grasa
Calorías
totales
Vitamina C
(mg)
Proteínas
(g)
Costo
($US)
Pan 1 rebanada 10 70 0 3 5
Mantequilla de maní 1 cucharilla 75 100 0 4 4
Mermelada de fresa 1 cucharilla 0 50 3 0 7
Galletas 1 pieza 20 60 0 1 8
Leche 1 taza 70 150 2 8 15
Jugo 1 taza 0 100 120 1 35
Los requerimientos nutritivos son los siguientes: cada niño debe recibir de 400 a 600 calorías, no más del 30% de
las calorías totales deben provenir de las grasas, cada niño debe consumir al menos 60 mg de vitamina C y 12 g de
proteína. Todavía más, por razones prácticas cada niño necesita 2 rebanadas de pan (para un sandwich), al menos
el doble de mantequilla de maní que de mermelada y al menos una taza de liquido (leche y/o jugo de naranja).
Dick y Jane desean seleccionar las opciones de alimento para cada niño que minimice el costo mientras cumple
con los requerimientos establecidos.
