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1. [ La parábola ]

2.  Cecyte 02 Xicothzinco
Geometría Analítica
 Alfredo Tovar Peña
 Parábola
Emilio Santiago
Cordero Hernández 
 30 de Noviembre 2022 1

3. INTRODUCCIÓN
La geometría analítica es una parte de las
matemáticas que se encarga de resolver
situaciones geométricas mediante
procedimientos algebraicos. Es decir, es la
unión de la geometría euclidiana con el
álgebra, y un tema bastante importante que
abarca es la Parábola por eso en este
proyecto abarcare mas a fondo este tema
aplicando a la vida cotidiana..
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INDICE
Introducción……………………………………….…………..3
Objetivos………………………………….....………………..4
Definición……………………………………........................5
Elementos de una parábola………………………………...6
Tipos de parábola…………………………………………....8
Ecuaciones de la parábola…………………………...........10
Ecuacion reducida o canónica de la parábola……………11
Ecuacion ordinaria de la parábola……………….………...13
Ecuacion general de la parábola…………………………..15
Ejemplo de como hallar el vértice, el foco y la directriz de
una parábola a partir de su ecuación……………………...16
Problema aplicado a la vida diaria………………..............20
Conclusión……………………………………………………21
Glosario ………………………………………………………22

4. Los objetivos de este proyecto son:
*Manejar e interpretar sus ecuaciones y
propiedades. Identificarlas en diferentes
contextos reconocer las importancias de
las cónicas en la ciencia y en la
tecnología.
*Aprender y aplicar las ecuaciones y
propiedades de la parábola.
*Al terminar los estudiantes deberán
saber y obtener las coordenadas de un
foco y la ecuación de la directriz de una
parábola.
OBJETIVOS
DEFINICION
La parábola es un concepto que tiene
significados muy distintos, pero su
definición matemática es la siguiente:
En matemáticas, una parábola es el lugar
geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo (llamado foco) y
de una recta fija (denominada directriz).
Por lo tanto, cualquier punto de una
parábola esta a la misma distancia de su
foco y de su directriz.
Además, en geometría la parábola es una de
las secciones cónicas junto a la
circunferencia, la elipse y la hipérbola. Es
decir, una parábola se puede obtener a
partir de un cono.
En particular, la parábola es el resultado de
cortar un cono con un plano con un ángulo
de inclinación respecto al eje de revolución
equivalente al ángulo de la generatriz del
cono. En consecuencia, el plano que
contiene la parábola es paralelo a la
generatriz del cono.
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5. ELEMENTOS DE UNA
PARABOLA
Las características de una parábola dependen
de los siguientes elementos:
•Foco (F): es un punto fijo del interior de la
parábola. La distancia de cualquier punto de la
parábola al foco es igual a la distancia de ese
mismo punto a la directriz de la parábola.
•Directriz (D): es una recta fija externa a la
parábola. Un punto de la parábola tiene la
misma distancia a la directriz que al foco de la
parábola.
•Parámetro (p): es la distancia desde el foco
hasta la directriz.
•Radio vector (R): es el segmento que une un
punto de la parábola con el foco. Su valor
coincide con la distancia del punto hasta la
directriz.
•Eje (E): es la recta perpendicular a la directriz
que pasa por el foco y es el eje de simetría de la
parábola, en la gráfica de abajo corresponde al
eje de las ordenadas (eje Y). También se dice eje
focal.
•Vértice (V): es el punto de intersección entre
la parábola y su eje.
•Distancia focal: es la distancia entre el foco y
el vértice, o entre la directriz y el vértice. Su
valor siempre es igual a
𝑃
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6. TIPOS DE PARABOLA
Parábola horizontal que abre hacia la derecha:
Es obtenida cuando la directriz es vertical y el
el parámetro ”P” es positivo.
Parábola horizontal que se abre hacia la
izquierda:
Esta parábola es obtenida cuando la directriz
es vertical y el parámetro p es negativo.
Parábola vertical que se abre hacia arriba:
Esta parábola es obtenida cuando la directriz
es horizontal y el parámetro p es positivo.
Parábola vertical que se abre hacia abajo:
Esta parábola es obtenida cuando la directriz
es horizontal y el parámetro p es negativo.
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7. Ecuaciones de la
parabola:
La ecuación de una parábola es un tipo
de función cuadrática porque siempre
debe de tener con mínimo 1 término
elevado al cuadrado. Además, la
ecuación de una parábola depende de si
esta está orientada horizontalmente o
verticalmente.
Así pues, en geometría analítica existen
varias maneras de expresar
matemáticamente una parábola:
la ecuación canónica o reducida,
la ecuación ordinaria y la ecuación
general de la parábola.
Ecuacion reducida o
canonica de la parabola
Lo que diferencia la ecuación reducida
o canónica de las otras ecuaciones
parabólicas, es que el vértice de la
parábola es el origen de coordenadas,
es decir, el punto (0,0).
La forma de la ecuación reducida de la
parábola depende de si esta es
horizontal o vertical. Fíjate en la
siguiente representación gráfica donde
se muestran las 4 posibles variantes:
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8. Donde “p” es el parámetro característico
de la parábola.
Como vemos en la imagen anterior,
cuando la variable x está elevada al
cuadrado la parábola es vertical, en
cambio, cuando la variable y está
elevada al cuadrado la parábola es
horizontal. Por otra parte, el sentido de
las ramas de la parábola depende del
signo de la ecuación.
Ecuacion ordinaria de la
parabola
Acabamos de ver cómo es la ecuación
de la parábola cuando su vértice o
centro corresponde al origen de
coordenadas (la ecuación reducida o
canónica), pero ¿cuál es la ecuación
de la parábola si el vértice está fuera
del origen?
Cuando el vértice de la parábola es
un punto cualquiera utilizamos la
ecuación ordinaria de la parábola,
cuya expresión es:
Donde el centro o vértice de la parábola es el
punto
La ecuación anterior corresponde a la
parábola que está orientada de manera
vertical, o dicho con otras palabras, el eje
focal de la parábola es paralelo al eje Y.
V(x_0,y_0).
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9. Donde el centro o vértice de la parábola
es el punto
La ecuación anterior corresponde a la
parábola que está orientada de manera
vertical, o dicho con otras palabras, el eje
focal de la parábola es paralelo al eje Y.
Donde, al igual que antes, el centro o
vértice de la parábola es el punto
V(x_0,y_0).
Ecuacion general de la
parabola:
Hasta ahora todas las ecuaciones de
las parábolas que hemos analizado
sirven para expresar parábolas
horizontales o verticales. Pero,
evidentemente, una parábola también
puede ser oblicua o inclinada.
Pues para expresar este tipo de
parábolas se usa la ecuación general
de la parábola, cuya fórmula es la
siguiente:
La ecuación anterior se trata de
una parábola si, y solo si, los
coeficientes A y C no son
simultáneamente nulos y, además,
se cumple la siguiente condición:
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10. Ejemplo de como hallar el
vertice, el foco y la directriz de
una parabola a partir de su
ecuacion
En muchos ejercicios y problemas de
parábolas se pide calcular el vértice, el
foco y la directriz de una determinada
parábola.
ejemplo:
•Halla el vértice, el foco y la directriz de
la siguiente parábola:
Lo fundamental para resolver este tipo
de problemas de parábolas es
determinar el parámetro p de la
parábola. En este caso, la ecuación de
la parábola corresponde a la ecuación
reducida o canónica (parábola
vertical):
Por lo tanto, el
parámetro p es:
Por otro lado, como la parábola sigue la
ecuación reducida o canónica, significa
que su vértice o centro está en el origen
de coordenadas:
Una vez sabemos el vértice y el valor del
parámetro de la parábola, podemos
hallar su foco y directriz fácilmente.
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11. El término cuadrático de la ecuación es la
variable x de manera que el eje de la
parábola será paralelo al eje OY y, de hecho,
como su vértice es el punto (0,0), el eje de la
parábola será el propio eje OY. Entonces, el
foco de una parábola siempre está situado
en el eje de la parábola y a una distancia
de del vértice de la parábola, por lo que
sus coordenadas son:
Del mismo modo, la recta directriz
será la recta horizontal que está a una
distancia del vértice de la parábola,
que es el origen de coordenadas. Por
tanto, la ecuación de la recta directriz
será:
Reprecentacion:
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12. PROBLEMA APLICADO A
LA VIDA DIARIA
Las dos torres de un puente colgante,
tienen una separación de 360mts y
una altura de 160mts, si el puntal
mas corto mide 20mts, determina la
altura de un puntal que se encuentra
a 80mts del centro del puente.
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13. CONCLUCION
En matemática, la definición original de parábola
corresponde a la sección cónica resultante de
cortar un cono recto con un plano paralelo a su
generatriz, pero actualmente se define como el
lugar geométrico de los puntos equidistantes de
una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo
que se denomina foco. La parábola aparece en
muchas de las ramas de las ciencias aplicadas,
debido a que las gráficas de ecuaciones
cuadráticas son parábolas. Tiene una gran
importancia en Física y que se ajusta a la
descripción o a la representación matemática de
muchos fenómenos. Gracias a este proyecto
pude conocer todas estas definiciones acerca de
la parábola.
GLOSARIO
Equidistan: Se dice que un punto es
equidistante de un conjunto de figuras
geométricas si las distancias entre ese punto
punto y cada figura del conjunto son iguales.
iguales.
Segmento: En geometría, el segmento es un
fragmento de la recta que está comprendido
comprendido entre dos puntos, llamados
puntos extremos o finales.
Simetría: es un rasgo característico de
formas geométricas, sistemas, ecuaciones y
y otros objetos materiales, o entidades
abstractas, relacionada con su invariancia
bajo ciertas transformaciones, movimientos
movimientos o intercambios.
Paralelo: Se denomina paralelo al formado
por la intersección del geoide terrestre con
un plano imaginario perpendicular al eje de
de rotación de la Tierra..
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14. FIN