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La_parabola...pptx

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  1. 1. [ La parábola ]
  2. 2.  Cecyte 02 Xicothzinco Geometría Analítica  Alfredo Tovar Peña  Parábola Emilio Santiago Cordero Hernández   30 de Noviembre 2022 1
  3. 3. INTRODUCCIÓN La geometría analítica es una parte de las matemáticas que se encarga de resolver situaciones geométricas mediante procedimientos algebraicos. Es decir, es la unión de la geometría euclidiana con el álgebra, y un tema bastante importante que abarca es la Parábola por eso en este proyecto abarcare mas a fondo este tema aplicando a la vida cotidiana.. 3 2 INDICE Introducción……………………………………….…………..3 Objetivos………………………………….....………………..4 Definición……………………………………........................5 Elementos de una parábola………………………………...6 Tipos de parábola…………………………………………....8 Ecuaciones de la parábola…………………………...........10 Ecuacion reducida o canónica de la parábola……………11 Ecuacion ordinaria de la parábola……………….………...13 Ecuacion general de la parábola…………………………..15 Ejemplo de como hallar el vértice, el foco y la directriz de una parábola a partir de su ecuación……………………...16 Problema aplicado a la vida diaria………………..............20 Conclusión……………………………………………………21 Glosario ………………………………………………………22
  4. 4. Los objetivos de este proyecto son: *Manejar e interpretar sus ecuaciones y propiedades. Identificarlas en diferentes contextos reconocer las importancias de las cónicas en la ciencia y en la tecnología. *Aprender y aplicar las ecuaciones y propiedades de la parábola. *Al terminar los estudiantes deberán saber y obtener las coordenadas de un foco y la ecuación de la directriz de una parábola. OBJETIVOS DEFINICION La parábola es un concepto que tiene significados muy distintos, pero su definición matemática es la siguiente: En matemáticas, una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco) y de una recta fija (denominada directriz). Por lo tanto, cualquier punto de una parábola esta a la misma distancia de su foco y de su directriz. Además, en geometría la parábola es una de las secciones cónicas junto a la circunferencia, la elipse y la hipérbola. Es decir, una parábola se puede obtener a partir de un cono. En particular, la parábola es el resultado de cortar un cono con un plano con un ángulo de inclinación respecto al eje de revolución equivalente al ángulo de la generatriz del cono. En consecuencia, el plano que contiene la parábola es paralelo a la generatriz del cono. 4 5
  5. 5. ELEMENTOS DE UNA PARABOLA Las características de una parábola dependen de los siguientes elementos: •Foco (F): es un punto fijo del interior de la parábola. La distancia de cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia de ese mismo punto a la directriz de la parábola. •Directriz (D): es una recta fija externa a la parábola. Un punto de la parábola tiene la misma distancia a la directriz que al foco de la parábola. •Parámetro (p): es la distancia desde el foco hasta la directriz. •Radio vector (R): es el segmento que une un punto de la parábola con el foco. Su valor coincide con la distancia del punto hasta la directriz. •Eje (E): es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y es el eje de simetría de la parábola, en la gráfica de abajo corresponde al eje de las ordenadas (eje Y). También se dice eje focal. •Vértice (V): es el punto de intersección entre la parábola y su eje. •Distancia focal: es la distancia entre el foco y el vértice, o entre la directriz y el vértice. Su valor siempre es igual a 𝑃 2 6 7
  6. 6. TIPOS DE PARABOLA Parábola horizontal que abre hacia la derecha: Es obtenida cuando la directriz es vertical y el el parámetro ”P” es positivo. Parábola horizontal que se abre hacia la izquierda: Esta parábola es obtenida cuando la directriz es vertical y el parámetro p es negativo. Parábola vertical que se abre hacia arriba: Esta parábola es obtenida cuando la directriz es horizontal y el parámetro p es positivo. Parábola vertical que se abre hacia abajo: Esta parábola es obtenida cuando la directriz es horizontal y el parámetro p es negativo. 9 8
  7. 7. Ecuaciones de la parabola: La ecuación de una parábola es un tipo de función cuadrática porque siempre debe de tener con mínimo 1 término elevado al cuadrado. Además, la ecuación de una parábola depende de si esta está orientada horizontalmente o verticalmente. Así pues, en geometría analítica existen varias maneras de expresar matemáticamente una parábola: la ecuación canónica o reducida, la ecuación ordinaria y la ecuación general de la parábola. Ecuacion reducida o canonica de la parabola Lo que diferencia la ecuación reducida o canónica de las otras ecuaciones parabólicas, es que el vértice de la parábola es el origen de coordenadas, es decir, el punto (0,0). La forma de la ecuación reducida de la parábola depende de si esta es horizontal o vertical. Fíjate en la siguiente representación gráfica donde se muestran las 4 posibles variantes: 10 11
  8. 8. Donde “p” es el parámetro característico de la parábola. Como vemos en la imagen anterior, cuando la variable x está elevada al cuadrado la parábola es vertical, en cambio, cuando la variable y está elevada al cuadrado la parábola es horizontal. Por otra parte, el sentido de las ramas de la parábola depende del signo de la ecuación. Ecuacion ordinaria de la parabola Acabamos de ver cómo es la ecuación de la parábola cuando su vértice o centro corresponde al origen de coordenadas (la ecuación reducida o canónica), pero ¿cuál es la ecuación de la parábola si el vértice está fuera del origen? Cuando el vértice de la parábola es un punto cualquiera utilizamos la ecuación ordinaria de la parábola, cuya expresión es: Donde el centro o vértice de la parábola es el punto La ecuación anterior corresponde a la parábola que está orientada de manera vertical, o dicho con otras palabras, el eje focal de la parábola es paralelo al eje Y. V(x_0,y_0). 12 13
  9. 9. Donde el centro o vértice de la parábola es el punto La ecuación anterior corresponde a la parábola que está orientada de manera vertical, o dicho con otras palabras, el eje focal de la parábola es paralelo al eje Y. Donde, al igual que antes, el centro o vértice de la parábola es el punto V(x_0,y_0). Ecuacion general de la parabola: Hasta ahora todas las ecuaciones de las parábolas que hemos analizado sirven para expresar parábolas horizontales o verticales. Pero, evidentemente, una parábola también puede ser oblicua o inclinada. Pues para expresar este tipo de parábolas se usa la ecuación general de la parábola, cuya fórmula es la siguiente: La ecuación anterior se trata de una parábola si, y solo si, los coeficientes A y C no son simultáneamente nulos y, además, se cumple la siguiente condición: 14 15
  10. 10. Ejemplo de como hallar el vertice, el foco y la directriz de una parabola a partir de su ecuacion En muchos ejercicios y problemas de parábolas se pide calcular el vértice, el foco y la directriz de una determinada parábola. ejemplo: •Halla el vértice, el foco y la directriz de la siguiente parábola: Lo fundamental para resolver este tipo de problemas de parábolas es determinar el parámetro p de la parábola. En este caso, la ecuación de la parábola corresponde a la ecuación reducida o canónica (parábola vertical): Por lo tanto, el parámetro p es: Por otro lado, como la parábola sigue la ecuación reducida o canónica, significa que su vértice o centro está en el origen de coordenadas: Una vez sabemos el vértice y el valor del parámetro de la parábola, podemos hallar su foco y directriz fácilmente. 16 17
  11. 11. El término cuadrático de la ecuación es la variable x de manera que el eje de la parábola será paralelo al eje OY y, de hecho, como su vértice es el punto (0,0), el eje de la parábola será el propio eje OY. Entonces, el foco de una parábola siempre está situado en el eje de la parábola y a una distancia de del vértice de la parábola, por lo que sus coordenadas son: Del mismo modo, la recta directriz será la recta horizontal que está a una distancia del vértice de la parábola, que es el origen de coordenadas. Por tanto, la ecuación de la recta directriz será: Reprecentacion: 18 19
  12. 12. PROBLEMA APLICADO A LA VIDA DIARIA Las dos torres de un puente colgante, tienen una separación de 360mts y una altura de 160mts, si el puntal mas corto mide 20mts, determina la altura de un puntal que se encuentra a 80mts del centro del puente. 20 21
  13. 13. CONCLUCION En matemática, la definición original de parábola corresponde a la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz, pero actualmente se define como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se denomina foco. La parábola aparece en muchas de las ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Tiene una gran importancia en Física y que se ajusta a la descripción o a la representación matemática de muchos fenómenos. Gracias a este proyecto pude conocer todas estas definiciones acerca de la parábola. GLOSARIO Equidistan: Se dice que un punto es equidistante de un conjunto de figuras geométricas si las distancias entre ese punto punto y cada figura del conjunto son iguales. iguales. Segmento: En geometría, el segmento es un fragmento de la recta que está comprendido comprendido entre dos puntos, llamados puntos extremos o finales. Simetría: es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y y otros objetos materiales, o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos movimientos o intercambios. Paralelo: Se denomina paralelo al formado por la intersección del geoide terrestre con un plano imaginario perpendicular al eje de de rotación de la Tierra.. 22 23
  14. 14. FIN

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