1) O documento apresenta a correção de uma prova final de matemática do 9o ano, com 18 questões resolvidas. 2) A maioria das questões envolvem cálculos matemáticos como álgebra, geometria e estatística. 3) Algumas questões pedem a identificação de afirmações verdadeiras ou falsas sobre figuras geométricas.
bem estar animal em proteção integrada componente animal
Proposta de Resolução da Prova Final de Matemática 9.º Ano, 1.ª fase, 2019
1. Correção da Prova Final de Matemática 9.º Ano
Caderno 1
(Nota: nas secções assinaladas com ∗ é de esperar o uso da máquina calculadora, sendo que todos os outros
cálculos poderão ser resolvidos de forma autónoma tendo em conta o nível de escolaridade em causa).
1. O intervalo de números reais correspondente à representação dada é [−√250, 3[.
Como √250 ≈ 15,81 ∗, o menor número inteiro pertencente ao intervalo é −15 e, por outro lado, o maior
número inteiro é 2.
2.
2.1. Opção A – Falso, porque a reta 𝐴𝐵 está contida no plano 𝐴𝐵𝐹;
Opção B – Verdadeiro, porque a reta 𝐷𝐹 é perpendicular às retas 𝐸𝐹 e 𝐹𝐵, ambas contidas no plano 𝐴𝐵𝐹;
Opção C – Falso, porque a reta 𝐴𝐶 é concorrente com o plano 𝐴𝐵𝐹, mas não é perpendicular;
Opção D – Falso, porque a reta 𝐶𝐷 é paralela ao plano 𝐴𝐵𝐹.
Opção correta: B.
2.2. Pelo Teorema de Pitágoras tem-se 𝐴𝐵̅̅̅̅2
+ 𝐵𝐶̅̅̅̅2
= 𝐴𝐶̅̅̅̅2
⇔ 62
+ 0,722
= 𝐴𝐶̅̅̅̅2
⇔ 𝐴𝐶̅̅̅̅ = ±√36,5184 e,
como 𝐴𝐶̅̅̅̅ > 0, resulta 𝐴𝐶̅̅̅̅ ≈ 6,04 𝑚 ∗.
3. O conjunto de dados, ordenado por ordem crescente, é
153 159 175 179 184 194 204 210 214 223
Trata-se de um número par de dados, logo a mediana desse conjunto de dados é a média dos números centrais,
184 e 194, ou seja,
184 + 194
2
= 189
Opção correta: C.
4. Comece-se por notar que o número 79 000 000 (79 milhões) é representado, em notação científica, por
7,9 × 107
e, portanto, o valor pedido é (7,9 × 107) × 0,46 = (7,9 × 0,46) × 107
= 3,634 × 107
𝑘𝑔 ∗.
5. Os números que são representados por dízimas infinitas não periódicas são exatamente os números irracionais.
Dos quatro números expostos, os das opções B e D não são, evidentemente, irracionais (estão representados sob
a forma de fração). Agora, o número √64
3
(opção C) é igual a 4 que é um número inteiro. Assim, o único número
irracional é o da opção A.
Opção correta: A.
6. Seja 𝑑 a distância procurada. Tem-se 𝑑 = 𝐴𝐶̅̅̅̅ + 2,8 𝑚, tendo em conta que 𝐴𝐶 ⊥ 𝑠.
Usando fórmulas da trigonometria, vem
sin42° =
𝐴𝐶̅̅̅̅
18
⇔ 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 18 sin42° ≈ 12,044 ∗
Portanto, 𝑑 = 12,044 + 2,8 = 14,8 𝑚.
7. A altura do contentor atual é igual à soma da altura do cilindro com o raio da base do mesmo (que coincide com
o raio da semiesfera do topo). Assim, sendo ℎ essa altura, tem-se ℎ = 7,6 + 2,4 = 10 𝑑𝑚.
Por outro lado, o volume do mesmo contentor, 𝑉𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙, é dado por
𝑉𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 + 𝑉𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 2,42
𝜋 × 7,6 +
2𝜋
3
× 2,43
= 166,47 𝑑𝑚3
∗
Ora, o futuro contentor, com a forma de um prisma reto de bases quadradas, terá a mesma altura e o mesmo
volume em relação ao atual contentor e, sendo 𝑙 a medida da aresta da base do futuro contentor, tem-se
166,47 = 𝑙2
× 10 ⇔ 𝑙 = ±√16,647, donde 𝑙 ≈ 4,1 𝑑𝑚 ∗.
2. Caderno 2
(Sendo impedido o uso da máquina calculadora nesta parte, assume-se que todos os resultados expostos sejam
obtidos com base nas ferramentas de cálculo que um aluno do nível de escolaridade em causa deverá deter).
8.
8.1. Seja 𝑃 a probabilidade pedida:
𝑃 =
𝑛. º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑛. º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
=
1
5
8.2. O conjunto dos casos possíveis é
{
(𝐴𝑛𝑎, 𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜), (𝐴𝑛𝑎, 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎), (𝐴𝑛𝑎, 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑), (𝐴𝑛𝑎, 𝐸𝑙𝑠𝑎), (𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜, 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎), (𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜, 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑),
(𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜, 𝐸𝑙𝑠𝑎), (𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎, 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑), (𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎, 𝐸𝑙𝑠𝑎), (𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑, 𝐸𝑙𝑠𝑎)
}
Assim, o conjunto de casos favoráveis é
{(𝐴𝑛𝑎, 𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜), (𝐴𝑛𝑎, 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑), (𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜, 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎), (𝐵𝑟𝑢𝑛𝑜, 𝐸𝑙𝑠𝑎), (𝐶𝑎𝑟𝑙𝑎, 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑), (𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑, 𝐸𝑙𝑠𝑎)}
A probabilidade pedida é:
𝑃 =
𝑛. º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑛. º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
=
6
10
=
3
5
9.
9.1. Por observação do gráfico, a distância é 2,5 𝑘𝑚.
9.2. Usando os pontos de coordenadas (0; 7,5) e (1,5; 0), o declive da reta que contém o gráfico é
𝑎 =
0 − 7,5
1,5 − 0
= −5
Assim, a reta é definida por 𝑑 = −5𝑡 + 7,5 (a ordenada na origem é evidente por observação do gráfico).
Opção correta: B.
10. (𝑥 − 3) 𝟐
− 𝑥2
= 𝑥2
− 6𝑥 + 9 − 𝑥2
= −6𝑥 + 9
Opção correta: D.
11.
2 + 𝑥
3
> 2(𝑥 − 1) ⇔
2 + 𝑥
3
> 2𝑥 − 2 ⇔ 2 + 𝑥 > 6𝑥 − 6 ⇔ 5𝑥 < 8 ⇔ 𝑥 <
8
5
𝐶. 𝑆. = ]−∞,
8
5
[
12.
10𝑥2
+ 𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 =
−1 ± √1 − 4 × 10 × (−2)
20
⇔ 𝑥 =
−1 ± √81
20
⇔ 𝑥 =
−1 ± 9
20
⇔ 𝑥 = −
1
2
∨
𝑥 =
2
5
𝐶. 𝑆. = {−
1
2
,
2
5
}
13. A constante de proporcionalidade inversa, 𝑘, é 𝑘 = 10 × 9 = 90 = 15𝑎, donde resulta 𝑎 = 6.
14. O número de círculos do termo da sequência de ordem 𝑛 é dado por 5 + 4(𝑛 − 1).
Esta expressão é facilmente entendida através do seguinte esquema
1.º termo 2.º termo 3.º termo n.º termo
5 +4 ⟶1 9 +4 ⟶2 13 … +4 ⟶ 𝑛−1 5 + 4(𝑛 − 1)
Portanto, o problema resume-se a resolver a equação
5 + 4(𝑛 − 1) = 4021 ⇔ 4𝑛 − 4 = 4016 ⇔ 4𝑛 = 4020 ⇔ 𝑛 = 1005.
Logo, o termo de ordem 1005 tem 4021 círculos.
3. 15. {
𝑥 + 𝑦 = 51
𝑥 + 7 = 2(𝑦 − 4)
16. Tem-se
𝐶𝐵̂ 𝐷 =
𝐶𝐷̂
2
=
110°
2
= 55°
Ora, o triângulo [𝐶𝐵𝐷] é retângulo em 𝐶 ([𝐵𝐷] é um diâmetro da circunferência) e, portanto:
𝐶𝐷̂ 𝐵 = 90° − 55° = 35°. Portanto, a amplitude do ângulo pedido é 35 × 2 = 70°.
17. Opção correta: C.
18. Queremos obter 𝐴𝐵̅̅̅̅. Tem-se 𝐷Â𝐸 = 𝐶Â𝐵 (ângulos verticalmente opostos) e, dado que os triângulos são
retângulos, conclui-se que são semelhantes. Assim, podemos escrever
𝐴𝐷̅̅̅̅
𝐴𝐵̅̅̅̅
=
𝐷𝐸̅̅̅̅
𝐵𝐶̅̅̅̅
⇔
𝑎 − 𝐴𝐵̅̅̅̅
𝐴𝐵̅̅̅̅
=
2
4
⇔ 4𝑎 − 4𝐴𝐵̅̅̅̅ = 2𝐴𝐵̅̅̅̅ ⇔ 6𝐴𝐵̅̅̅̅ = 4𝑎 ⇔ 𝐴𝐵̅̅̅̅ =
2
3
𝑎