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Funciones racionales

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Muestra de algunas páginas de la presentación final. Espero que esta pequeña muestra les ayude con sus dudas. En el Blog del sitio matematicaspr.com hay una publicacion con ejemplos interactivos de este tema. Y no tiene las distorciones que ocurren con la conversión en esta página. Oprimir las frases en azul para ver el material interactivo.

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Funciones racionales

  1. 1. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Funciones Polinómicas y Racionales Funciones Racionales 1
  2. 2. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Objetivos 2
  3. 3. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.  Reconocer una función racional.  . Objetivos 2
  4. 4. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.  Reconocer una función racional.  Hallar el dominio de una función racional.  . Objetivos 2
  5. 5. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.  Reconocer una función racional.  Hallar el dominio de una función racional.  Buscar los huecos de una función racional.  . Objetivos 2
  6. 6. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.  Reconocer una función racional.  Hallar el dominio de una función racional.  Buscar los huecos de una función racional.  Identificar las asíntotas de una función racional.  . Objetivos 2
  7. 7. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.  Reconocer una función racional.  Hallar el dominio de una función racional.  Buscar los huecos de una función racional.  Identificar las asíntotas de una función racional.  Asíntotas Verticales  . Objetivos 2
  8. 8. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.  Reconocer una función racional.  Hallar el dominio de una función racional.  Buscar los huecos de una función racional.  Identificar las asíntotas de una función racional.  Asíntotas Verticales  Asíntotas Horizontales  . Objetivos 2
  9. 9. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.  Reconocer una función racional.  Hallar el dominio de una función racional.  Buscar los huecos de una función racional.  Identificar las asíntotas de una función racional.  Asíntotas Verticales  Asíntotas Horizontales  Asíntotas Oblicuas  . Objetivos 2
  10. 10. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.  Reconocer una función racional.  Hallar el dominio de una función racional.  Buscar los huecos de una función racional.  Identificar las asíntotas de una función racional.  Asíntotas Verticales  Asíntotas Horizontales  Asíntotas Oblicuas  Otras Asíntotas  . Objetivos 2
  11. 11. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.  Reconocer una función racional.  Hallar el dominio de una función racional.  Buscar los huecos de una función racional.  Identificar las asíntotas de una función racional.  Asíntotas Verticales  Asíntotas Horizontales  Asíntotas Oblicuas  Otras Asíntotas  Describir las características de una función racional.  . Objetivos 2
  12. 12. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.  Reconocer una función racional.  Hallar el dominio de una función racional.  Buscar los huecos de una función racional.  Identificar las asíntotas de una función racional.  Asíntotas Verticales  Asíntotas Horizontales  Asíntotas Oblicuas  Otras Asíntotas  Describir las características de una función racional.  Dibujar la gráfica de una función racional. Objetivos 2
  13. 13. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Función Racional 3
  14. 14. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto en su numerador como su denominador. La estructura algebraica para representar este tipo de funciones es : Función Racional 3
  15. 15. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto en su numerador como su denominador. La estructura algebraica para representar este tipo de funciones es : 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏0 Función Racional 3
  16. 16. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto en su numerador como su denominador. La estructura algebraica para representar este tipo de funciones es : 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏0 grado n grado m Función Racional 3
  17. 17. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Una función racional es aquella que tiene polinomios tanto en su numerador como su denominador. La estructura algebraica para representar este tipo de funciones es : El grado del numerador es 𝒏 y el grado de denominador es 𝒎. Por tener variables en su denominador el dominio de la función tiene que excluir los valores que la hacen indefinida. 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏0 grado n grado m Función Racional 3
  18. 18. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 4 Dominio de la Función Racional
  19. 19. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. 4 Dominio de la Función Racional
  20. 20. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto los elementos que hacen cero el denominador. 4 Dominio de la Función Racional
  21. 21. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto los elementos que hacen cero el denominador. Por ejemplo en la función racional 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥+1 𝑥−2 el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el ____ y ____. 4 Dominio de la Función Racional
  22. 22. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto los elementos que hacen cero el denominador. Por ejemplo en la función racional 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥+1 𝑥−2 el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el ____ y ____. −1 2 4 Dominio de la Función Racional
  23. 23. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable 𝑥. El dominio lo forman todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto los elementos que hacen cero el denominador. Por ejemplo en la función racional 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 𝑥+1 𝑥−2 el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el ____ y ____. −1 2 Dominio de 𝑓(𝑥): −∞, −1 ∪ −1, 2 ∪ 2, ∞ 4 Dominio de la Función Racional
  24. 24. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Función Racional 7
  25. 25. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Función Racional 7 La función racional más simple es 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 , su gráfica la conocemos
  26. 26. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 𝑦 𝑥 Función Racional 7 La función racional más simple es 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 , su gráfica la conocemos
  27. 27. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 𝑦 𝑥 Los extremos de su gráfica tienden a pegarse a los ejes pero no los toca, a esto le llamamos comportamiento asintótico, esto se debe a los valores excluidos en el dominio, ℝ − 0 y el alcance, ℝ − 0 . Función Racional 7 La función racional más simple es 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 , su gráfica la conocemos
  28. 28. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. La función racional más simple es 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 , su gráfica la conocemos 𝑦 𝑥 Los extremos de su gráfica tienden a pegarse a los ejes pero no los toca, a esto le llamamos comportamiento asintótico, esto se debe a los valores excluidos en el dominio, ℝ − 0 y el alcance, ℝ − 0 . Nota: Las asíntotas se pintan entrecortadas para diferenciarlas de la curva que forma la gráfica de la función. Al calcular a que valor se acerca la variable 𝑦 en la medida que 𝑥 es cada vez más grande obtenemos 0, lo cual llamamos el limite de 𝑓(𝑥) en los infinitos. Así también el valor de 𝑦 cuando 𝑥 es cada vez más pequeña provoca un número cada vez más grande (tiende a infinito) lo que llamamos el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 se acerca a cero. Función Racional 7
  29. 29. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntotas Función Racional 8
  30. 30. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntotas Función Racional 8 Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tiende al infinito.
  31. 31. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Si, 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+⋯𝑎0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚+𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1+⋯𝑏0 tenemos que sus asíntotas pueden ser… Asíntotas Función Racional 8 Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tiende al infinito.
  32. 32. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Si, 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+⋯𝑎0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚+𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1+⋯𝑏0 tenemos que sus asíntotas pueden ser… I. Asíntotas Verticales Asíntotas Función Racional 8 Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tiende al infinito. 𝑥 𝑦
  33. 33. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Si, 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+⋯𝑎0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚+𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1+⋯𝑏0 tenemos que sus asíntotas pueden ser… I. Asíntotas Verticales Asíntotas Función Racional 8 Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tiende al infinito. 𝑥 𝑦 II. Asíntotas Horizontales
  34. 34. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Si, 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+⋯𝑎0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚+𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1+⋯𝑏0 tenemos que sus asíntotas pueden ser… I. Asíntotas Verticales Asíntotas Función Racional 8 Las asíntotas son rectas o curvas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (𝑥 o 𝑦) tiende al infinito. 𝑥 𝑦 II. Asíntotas Horizontales III.Asíntotas Oblicuas u Otras
  35. 35. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9 Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca)
  36. 36. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9 Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca) Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥).
  37. 37. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9 Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca) Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥). 𝑥 𝑦 La función 𝑅(𝑥) tiende a (+) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ por la izquierda o la derecha.
  38. 38. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9 Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca) Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥). 𝑥 𝑦 𝑥 = ℎ La función 𝑅(𝑥) tiende a (+) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ por la izquierda o la derecha.
  39. 39. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9 Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca) Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥). 𝑥 𝑦 𝑥 = ℎ 𝑥 𝑦 La función 𝑅(𝑥) tiende a (+) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ por la izquierda o la derecha. La función 𝑅(𝑥) tiende a (−) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ por la izquierda o la derecha.
  40. 40. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9 Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca) Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥). 𝑥 𝑦 𝑥 = ℎ 𝑥 𝑦 𝑥 = ℎ La función 𝑅(𝑥) tiende a (+) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ por la izquierda o la derecha. La función 𝑅(𝑥) tiende a (−) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ por la izquierda o la derecha.
  41. 41. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9 Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca) Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥). 𝑥 𝑦 𝑥 = ℎ 𝑥 𝑦 𝑥 = ℎ La función 𝑅(𝑥) tiende a (+) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ por la izquierda o la derecha. La función 𝑅(𝑥) tiende a (−) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ por la izquierda o la derecha. asíntota vertical
  42. 42. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 9 Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca) Si 𝑥 se acerca a un número real ℎ, y el valor de 𝑅(𝑥) tiende a positivo infinito o negativo infinito, entonces la recta 𝑥 = ℎ es una asíntota vertical de la gráfica de 𝑅(𝑥). 𝑥 𝑦 𝑥 = ℎ 𝑥 𝑦 𝑥 = ℎ La función 𝑅(𝑥) tiende a (+) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ por la izquierda o la derecha. La función 𝑅(𝑥) tiende a (−) infinito según 𝑥 se acerca a un número ℎ por la izquierda o la derecha. asíntota vertical Estas existen en los valores de la variable 𝑥 que hacen cero el denominador. Veamos…
  43. 43. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 10 (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales Teorema de las Asíntotas Verticales
  44. 44. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 10 (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales Teorema de las Asíntotas Verticales Una función racional, 𝑅 𝑥 = 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 , en forma simplificada, tiene una asíntota vertical en 𝑥 = ℎ, si 𝑥 − ℎ es un factor del denominador 𝑞(𝑥).
  45. 45. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 10 (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales Teorema de las Asíntotas Verticales Para que 𝑥 = ℎ sea una asíntota vertical 𝑞(ℎ) = 0 pero 𝑝(ℎ) ≠ 0. Una función racional, 𝑅 𝑥 = 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 , en forma simplificada, tiene una asíntota vertical en 𝑥 = ℎ, si 𝑥 − ℎ es un factor del denominador 𝑞(𝑥).
  46. 46. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 10 (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales Teorema de las Asíntotas Verticales Nota: Si la función racional simplifica, entonces el cero de este factor es un HUECO en la gráfica de la función. Para que 𝑥 = ℎ sea una asíntota vertical 𝑞(ℎ) = 0 pero 𝑝(ℎ) ≠ 0. Una función racional, 𝑅 𝑥 = 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 , en forma simplificada, tiene una asíntota vertical en 𝑥 = ℎ, si 𝑥 − ℎ es un factor del denominador 𝑞(𝑥).
  47. 47. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 11 Asíntotas Verticales (la gráfica nunca las toca o interseca) Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional.
  48. 48. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥2 − 16 11 Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales
  49. 49. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥2 − 16 Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 − 4 11 Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales
  50. 50. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥2 − 16 Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. Después se simplifica si es posible.𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 − 4 11 Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales
  51. 51. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥2 − 16 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 − 4 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 4 Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. Después se simplifica si es posible. 11 Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales
  52. 52. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥2 − 16 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 − 4 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 4 Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. Después se simplifica si es posible. Luego se iguala a cero el denominador para obtener las asíntotas verticales. Si la función simplificó se iguala a cero el factor simplificado para obtener el valor de 𝑥 donde ocurre el hueco. 11 Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales
  53. 53. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥2 − 16 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 − 4 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 4 Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. Después se simplifica si es posible. Luego se iguala a cero el denominador para obtener las asíntotas verticales. Si la función simplificó se iguala a cero el factor simplificado para obtener el valor de 𝑥 donde ocurre el hueco. 𝑥 − 4 = 0 𝑥 = 4 11 Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales
  54. 54. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥2 − 16 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 − 4 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 4 Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. Después se simplifica si es posible. Luego se iguala a cero el denominador para obtener las asíntotas verticales. Si la función simplificó se iguala a cero el factor simplificado para obtener el valor de 𝑥 donde ocurre el hueco. 𝑥 − 4 = 0 𝑥 = 4 𝑥 + 4 = 0 𝑥 = −4 11 Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales
  55. 55. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Mencione las Asíntotas Verticales y huecos (si alguno) de la siguiente función racional. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥2 − 16 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 − 4 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 4 ∴ la gráfica tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 4 y un hueco en 𝑥 = −4. Inicialmente se factoriza el numerador y el denominador de la función. Después se simplifica si es posible. Luego se iguala a cero el denominador para obtener las asíntotas verticales. Si la función simplificó se iguala a cero el factor simplificado para obtener el valor de 𝑥 donde ocurre el hueco. 𝑥 − 4 = 0 𝑥 = 4 𝑥 + 4 = 0 𝑥 = −4 11 (la gráfica nunca las toca o interseca) Asíntotas Verticales
  56. 56. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales
  57. 57. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de 𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥).
  58. 58. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de 𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥). 𝑥 𝑦 La gráfica se acerca por arriba o debajo de la asíntota cuando 𝑥 tiende a (−) infinito.
  59. 59. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de 𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥). 𝑥 𝑦 La gráfica se acerca por arriba o debajo de la asíntota cuando 𝑥 tiende a (−) infinito.
  60. 60. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de 𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥). La gráfica se acerca por arriba o debajo de la asíntota cuando 𝑥 tiende a (−) infinito. 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 La gráfica se acerca por arriba o debajo de la asíntota cuando 𝑥 tiende a (+) infinito.
  61. 61. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de 𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥). La gráfica se acerca por arriba o debajo de la asíntota cuando 𝑥 tiende a (−) infinito. 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 La gráfica se acerca por arriba o debajo de la asíntota cuando 𝑥 tiende a (+) infinito.
  62. 62. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de 𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥). La gráfica se acerca por arriba o debajo de la asíntota cuando 𝑥 tiende a (−) infinito. 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 La gráfica se acerca por arriba o debajo de la asíntota cuando 𝑥 tiende a (+) infinito. asíntota horizontal
  63. 63. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 12 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Si 𝑥 tiende a positivo infinito o negativo infinito, y el valor de 𝑅(𝑥) se acerca a un número fijo 𝑘, entonces la recta 𝑦 = 𝑘 es la asíntota horizontal de la gráfica de la función 𝑅(𝑥). Los valores de la variable 𝒚 que se representan como una asíntota horizontal se obtienen al comparar los grados de los polinomios de la función racional, 𝒏 y 𝒎 respectivamente (numerador y denominador) veamos… La gráfica se acerca por arriba o debajo de la asíntota cuando 𝑥 tiende a (−) infinito. 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 La gráfica se acerca por arriba o debajo de la asíntota cuando 𝑥 tiende a (+) infinito. asíntota horizontal
  64. 64. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Criterios Asíntotas horizontales 13 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales
  65. 65. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. i) Si 𝒏 < 𝒎 entonces, 𝑦 = 0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥) Criterios Asíntotas horizontales 13 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales
  66. 66. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. i) Si 𝒏 < 𝒎 entonces, 𝑦 = 0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥) ii) Si 𝒏 = 𝒎 entonces, 𝑦 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑚 es su asíntota horizontal Criterios Asíntotas horizontales 13 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales
  67. 67. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. i) Si 𝒏 < 𝒎 entonces, 𝑦 = 0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥) ii) Si 𝒏 = 𝒎 entonces, 𝑦 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑚 es su asíntota horizontal Criterios Asíntotas horizontales iii) Si 𝒏 > 𝒎 entonces, no existe asíntota horizontal 13 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales
  68. 68. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. i) Si 𝒏 < 𝒎 entonces, 𝑦 = 0 es su asíntota horizontal (el eje de 𝑥) ii) Si 𝒏 = 𝒎 entonces, 𝑦 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑚 es su asíntota horizontal Criterios Asíntotas horizontales iii) Si 𝒏 > 𝒎 entonces, no existe asíntota horizontal 13 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Recordar 𝑅 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎0 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏0 En la función 𝑅(𝑥) el grado del numerador es 𝒏 y el grado de denominador es 𝒎. El coeficiente principal del numerador es 𝑎 𝑛 mientras que el coeficiente principal del denominador es 𝑏 𝑚.
  69. 69. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. a) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 5𝑥−4 14 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Ejemplo: Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes funciones racionales.
  70. 70. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. a) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el grado del numerador (n) y el grado del denominador (m) de la función. b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 5𝑥−4 14 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Ejemplo: Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes funciones racionales.
  71. 71. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. a) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el grado del numerador (n) y el grado del denominador (m) de la función. Después se compara para identificar el criterio que aplica. De acuerdo al criterio que aplica se determina la asíntota horizontal. b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 5𝑥−4 14 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Ejemplo: Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes funciones racionales.
  72. 72. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. a) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el grado del numerador (n) y el grado del denominador (m) de la función. Después se compara para identificar el criterio que aplica. De acuerdo al criterio que aplica se determina la asíntota horizontal. Como 𝑛 es menor que 𝑚 aplica el criterio 𝑖 , por lo tanto la asíntota horizontal es 𝑦 = 0 b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 5𝑥−4 14 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Ejemplo: Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes funciones racionales.
  73. 73. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. a) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el grado del numerador (n) y el grado del denominador (m) de la función. Después se compara para identificar el criterio que aplica. De acuerdo al criterio que aplica se determina la asíntota horizontal. Como 𝑛 es menor que 𝑚 aplica el criterio 𝑖 , por lo tanto la asíntota horizontal es 𝑦 = 0 b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 5𝑥−4 𝑛 = 1 y 𝑚 = 1 14 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales Ejemplo: Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes funciones racionales.
  74. 74. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes funciones racionales. a) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el grado del numerador (n) y el grado del denominador (m) de la función. Después se compara para identificar el criterio que aplica. De acuerdo al criterio que aplica se determina la asíntota horizontal. Como 𝑛 es menor que 𝑚 aplica el criterio 𝑖 , por lo tanto la asíntota horizontal es 𝑦 = 0 b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 5𝑥−4 𝑛 = 1 y 𝑚 = 1 14 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales
  75. 75. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes funciones racionales. a) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el grado del numerador (n) y el grado del denominador (m) de la función. Después se compara para identificar el criterio que aplica. De acuerdo al criterio que aplica se determina la asíntota horizontal. Como 𝑛 es menor que 𝑚 aplica el criterio 𝑖 , por lo tanto la asíntota horizontal es 𝑦 = 0 b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 5𝑥−4 𝑛 = 1 y 𝑚 = 1 Como 𝑛 es igual que 𝑚 aplica el criterio 𝑖𝑖 , por lo tanto la asíntota horizontal es 𝑦 = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑚 . Nota: 𝑎 𝑛 es el coeficiente principal del numerador 𝑏 𝑚 es el coeficiente principal del denominador 14 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales
  76. 76. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Mencione las Asíntotas Horizontales de cada una de las siguientes funciones racionales. a) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑛 = 0 y 𝑚 = 1 Inicialmente se determina el grado del numerador (n) y el grado del denominador (m) de la función. Después se compara para identificar el criterio que aplica. De acuerdo al criterio que aplica se determina la asíntota horizontal. Como 𝑛 es menor que 𝑚 aplica el criterio 𝑖 , por lo tanto la asíntota horizontal es 𝑦 = 0 b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 5𝑥−4 𝑛 = 1 y 𝑚 = 1 Como 𝑛 es igual que 𝑚 aplica el criterio 𝑖𝑖 , por lo tanto la asíntota horizontal es 𝑦 = 2 5 . Nota: 𝑎 𝑛 es el coeficiente principal del numerador 𝑏 𝑚 es el coeficiente principal del denominador 14 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Horizontales
  77. 77. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras
  78. 78. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo infinito o negativo infinito.
  79. 79. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo infinito o negativo infinito. La función 𝑅(𝑥) se acerca por arriba o debajo de una recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y 𝑦 tienden a (−) infinito. 𝑥 𝑦
  80. 80. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo infinito o negativo infinito. La función 𝑅(𝑥) se acerca por arriba o debajo de una recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y 𝑦 tienden a (−) infinito. 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
  81. 81. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo infinito o negativo infinito. La función 𝑅(𝑥) se acerca por arriba o debajo de una recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y 𝑦 tienden a (−) infinito. 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑥 𝑦La función 𝑅(𝑥) se acerca por arriba o debajo de una recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y 𝑦 tienden a (+) infinito.
  82. 82. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo infinito o negativo infinito. La función 𝑅(𝑥) se acerca por arriba o debajo de una recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y 𝑦 tienden a (−) infinito. 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 La función 𝑅(𝑥) se acerca por arriba o debajo de una recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y 𝑦 tienden a (+) infinito.
  83. 83. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo infinito o negativo infinito. La función 𝑅(𝑥) se acerca por arriba o debajo de una recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y 𝑦 tienden a (−) infinito. 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 La función 𝑅(𝑥) se acerca por arriba o debajo de una recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y 𝑦 tienden a (+) infinito. asíntota oblicua
  84. 84. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 15 (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras Diremos que una curva es una asíntota oblicua cuando la función se acerca a dicha curva, si 𝑥 y 𝑦 tienden a positivo infinito o negativo infinito. La función 𝑅(𝑥) se acerca por arriba o debajo de una recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y 𝑦 tienden a (−) infinito. 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 La función 𝑅(𝑥) se acerca por arriba o debajo de una recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 según 𝑥 y 𝑦 tienden a (+) infinito. Estas asíntotas se obtienen si no hay asíntota horizontal. El tipo de asíntota depende de la diferencia entre el grado de los polinomios del numerador y denominador, veamos… asíntota oblicua
  85. 85. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 16 Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras
  86. 86. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. a) Si 𝑛 − 𝑚 = 1 hay Asíntota Oblicua Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras 16 Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) (rectas crecientes o decrecientes)
  87. 87. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. a) Si 𝑛 − 𝑚 = 1 hay Asíntota Oblicua b) Si 𝑛 − 𝑚 = 2 hay Asíntota Cuadrática Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras 16 Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) (rectas crecientes o decrecientes) (parábola)
  88. 88. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. a) Si 𝑛 − 𝑚 = 1 hay Asíntota Oblicua b) Si 𝑛 − 𝑚 = 2 hay Asíntota Cuadrática c) Si 𝑛 − 𝑚 = 3 hay Asíntota Cúbica Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras 16 Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) (rectas crecientes o decrecientes) (parábola) (gráfica cúbica)
  89. 89. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. a) Si 𝑛 − 𝑚 = 1 hay Asíntota Oblicua b) Si 𝑛 − 𝑚 = 2 hay Asíntota Cuadrática c) Si 𝑛 − 𝑚 = 3 hay Asíntota Cúbica d)Si 𝑛 − 𝑚 = 4 hay Asíntota Polinómica y así sucesivamente. Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras 16 Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) (rectas crecientes o decrecientes) (parábola) (gráfica cúbica)
  90. 90. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. a) Si 𝑛 − 𝑚 = 1 hay Asíntota Oblicua b) Si 𝑛 − 𝑚 = 2 hay Asíntota Cuadrática c) Si 𝑛 − 𝑚 = 3 hay Asíntota Cúbica d)Si 𝑛 − 𝑚 = 4 hay Asíntota Polinómica y así sucesivamente. Para hallar estas asíntota tenemos que dividir los polinomios como lo indica la función 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 será la asíntota a ser pintada en la gráfica. Recuerde que los polinomios se suelen dividir utilizando la división larga. Criterios Asíntotas Oblicuas y Otras 16 Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) (rectas crecientes o decrecientes) (parábola) (gráfica cúbica)
  91. 91. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 17 Ejemplo: Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 = 2𝑥3−4𝑥 𝑥2−3𝑥−4 . (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras
  92. 92. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Inicialmente se construye la casita de división. 17 Ejemplo: Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 = 2𝑥3−4𝑥 𝑥2−3𝑥−4 . Solución: (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras
  93. 93. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Inicialmente se construye la casita de división. Después se coloca el dividendo y el divisor en la posición correcta. Los términos que faltan en el dividendo se escriben con coeficientes cero. 2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2 − 3𝑥 − 4 17 Ejemplo: Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 = 2𝑥3−4𝑥 𝑥2−3𝑥−4 . Solución: (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras
  94. 94. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Inicialmente se construye la casita de división. Después se coloca el dividendo y el divisor en la posición correcta. Luego se comienza a dividir. Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor.dividido por Igual a 2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2 − 3𝑥 − 4 2𝑥 17 Ejemplo: Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 = 2𝑥3−4𝑥 𝑥2−3𝑥−4 . Solución: (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras
  95. 95. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Inicialmente se construye la casita de división. Después se coloca el dividendo y el divisor en la posición correcta. Luego se comienza a dividir. Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor. Después se multiplica el término del cociente por todos los términos del divisor. 17 2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2 − 3𝑥 − 4 2𝑥 2𝑥3 − 6𝑥2 − 8𝑥 multiplicado por Ejemplo: Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 = 2𝑥3−4𝑥 𝑥2−3𝑥−4 . Solución: (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras
  96. 96. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Inicialmente se construye la casita de división. Después se coloca el dividendo y el divisor en la posición correcta. Luego se comienza a dividir. Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor. Después se multiplica el término del cociente por todos los términos del divisor. Como se resta se busca el opuesto de todos los términos. 2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2 − 3𝑥 − 4 2𝑥 2𝑥3 − 6𝑥2 − 8𝑥− + + 17 Ejemplo: Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 = 2𝑥3−4𝑥 𝑥2−3𝑥−4 . Solución: (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras
  97. 97. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Inicialmente se construye la casita de división. Después se coloca el dividendo y el divisor en la posición correcta. Luego se comienza a dividir. Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor. Después se multiplica el término del cociente por todos los términos del divisor. Como se resta se busca el opuesto de todos los términos. Se suma verticalmente 2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2 − 3𝑥 − 4 2𝑥 2𝑥3− ++ 6𝑥2 − 6𝑥2 − 8𝑥 + 4𝑥 17 Ejemplo: Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 = 2𝑥3−4𝑥 𝑥2−3𝑥−4 . Solución: (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras
  98. 98. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Inicialmente se construye la casita de división. Después se coloca el dividendo y el divisor en la posición correcta. Luego se comienza a dividir. Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor. Después se multiplica el término del cociente por todos los términos del divisor. Como se resta se busca el opuesto de todos los términos. Se suma verticalmente y se vuelve a dividir el primer término de la suma con el primer término del divisor. Se repite el proceso hasta que no se pueda continuar dividiendo. 2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2 − 3𝑥 − 4 2𝑥 2𝑥3− ++ 6𝑥2 6𝑥2− ++ 22𝑥 +6 − 6𝑥2 − 8𝑥 + 4𝑥 − 18𝑥 − 24 + 24 17 Ejemplo: Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 = 2𝑥3−4𝑥 𝑥2−3𝑥−4 . Solución: (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras
  99. 99. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Inicialmente se construye la casita de división. Después se coloca el dividendo y el divisor en la posición correcta. Luego se comienza a dividir. Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor. Después se multiplica el término del cociente por todos los términos del divisor. Como se resta se busca el opuesto de todos los términos. Se suma verticalmente y se vuelve a dividir el primer término de la suma con el primer término del divisor. Se repite el proceso hasta que no se pueda continuar dividiendo. El cociente de la división es la asíntota oblicua u otra dependiendo del grado de este. 2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2 − 3𝑥 − 4 2𝑥 2𝑥3− ++ 6𝑥2 6𝑥2− ++ 22𝑥 +6 − 6𝑥2 − 8𝑥 + 4𝑥 − 18𝑥 − 24 + 24 17 Ejemplo: Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 = 2𝑥3−4𝑥 𝑥2−3𝑥−4 . Solución: (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas) Asíntotas Oblicuas y Otras
  100. 100. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Determine la asíntota oblicua u otra 𝑓 𝑥 = 2𝑥3−4𝑥 𝑥2−3𝑥−4 . La asíntota es oblicua porque el grado del cociente es uno, esta es 𝐲 = 𝟐𝒙 + 𝟔. Inicialmente se construye la casita de división. Después se coloca el dividendo y el divisor en la posición correcta. Luego se comienza a dividir. Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor. Después se multiplica el término del cociente por todos los términos del divisor. Como se resta se busca el opuesto de todos los términos. Se suma verticalmente y se vuelve a dividir el primer término de la suma con el primer término del divisor. Se repite el proceso hasta que no se pueda continuar dividiendo. El cociente de la división es la asíntota oblicua u otra dependiendo del grado de este. Solución: 2𝑥3 + 0𝑥2 − 4𝑥 + 0𝑥2 − 3𝑥 − 4 2𝑥 2𝑥3− ++ 6𝑥2 6𝑥2− ++ 22𝑥 +6 − 6𝑥2 − 8𝑥 + 4𝑥 − 18𝑥 − 24 + 24 17 Asíntotas Oblicuas y Otras (la gráfica si puede tocarlas o intersecarlas)
  101. 101. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntotas Función Racional 18 Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥3−𝑥 𝑥2−𝑥−2
  102. 102. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntotas Función Racional 18 Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥3−𝑥 𝑥2−𝑥−2
  103. 103. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntotas Función Racional 18 Sus asíntotas son: Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1 Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥3−𝑥 𝑥2−𝑥−2
  104. 104. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntotas Función Racional 18 Asíntota horizontal: 𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑛 − 𝑚 = 1: No hay A. Horizontal Sus asíntotas son: Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1 Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥3−𝑥 𝑥2−𝑥−2
  105. 105. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntotas Función Racional 18 Asíntota Oblicua: 𝑦 = 𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo Asíntota horizontal: 𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑛 − 𝑚 = 1: No hay A. Horizontal Sus asíntotas son: Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1 Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥3−𝑥 𝑥2−𝑥−2
  106. 106. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. División: Asíntotas Función Racional 18 𝑦 = 𝑥 + 1, es el cociente 1 − 1 0 1 1 2 2 2 2 Asíntota Oblicua: 𝑦 = 𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo Asíntota horizontal: 𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑛 − 𝑚 = 1: No hay A. Horizontal Sus asíntotas son: Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1 Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥3−𝑥 𝑥2−𝑥−2
  107. 107. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. División: Asíntotas Función Racional 18 𝑦 = 𝑥 + 1, es el cociente 1 − 1 0 2 2 2 2 Asíntota Oblicua: 𝑦 = 𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo ∴ 𝑙𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 𝑒𝑠 𝑦 = 𝑥 + 1 Asíntota horizontal: 𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑛 − 𝑚 = 1: No hay A. Horizontal Sus asíntotas son: Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1 Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥3−𝑥 𝑥2−𝑥−2 1 1
  108. 108. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Buscar todas las asíntotas de la gráfica de la función 𝑔 𝑥 = 𝑥3−𝑥 𝑥2−𝑥−2 En la gráfica: -1 2 𝑥 𝑦 1 División: Asíntotas Función Racional 18 𝑦 = 𝑥 + 1, es el cociente 1 − 1 0 2 2 2 2 Asíntota Oblicua: 𝑦 = 𝑄(𝑥), hacemos la división obteniendo ∴ 𝑙𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 𝑒𝑠 𝑦 = 𝑥 + 1 Asíntota horizontal: 𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑛 − 𝑚 = 1: No hay A. Horizontal Sus asíntotas son: Asíntota vertical: 𝑥 = 2, hueco 𝑥 = −1 Factorizar y simplificar si es posible 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑔 𝑥 = 𝑥(𝑥−1) (𝑥−2) 1 1
  109. 109. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. 21 Gráfica Función Racional
  110. 110. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional  . 21 Gráfica Función Racional
  111. 111. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional  Factorizar numerador y denominador.  . 21 Gráfica Función Racional
  112. 112. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional  Factorizar numerador y denominador.  Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.  . 21 Gráfica Función Racional
  113. 113. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional  Factorizar numerador y denominador.  Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.  Determine las asíntotas horizontales o de otro tipo.  . 21 Gráfica Función Racional
  114. 114. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional  Factorizar numerador y denominador.  Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.  Determine las asíntotas horizontales o de otro tipo.  Haga una prueba de corte  . 21 Gráfica Función Racional
  115. 115. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional  Factorizar numerador y denominador.  Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.  Determine las asíntotas horizontales o de otro tipo.  Haga una prueba de corte  Hallar las intersecciones en ambos ejes.  . 21 Gráfica Función Racional
  116. 116. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional  Factorizar numerador y denominador.  Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.  Determine las asíntotas horizontales o de otro tipo.  Haga una prueba de corte  Hallar las intersecciones en ambos ejes.  Estudiar los intervalos dónde 𝑓 𝑥 > 0 y dónde 𝑓 𝑥 < 0.  . 21 Gráfica Función Racional
  117. 117. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Procedimiento, trazado de la gráfica de una función racional  Factorizar numerador y denominador.  Simplificar. Hallar las asíntotas verticales y huecos.  Determine las asíntotas horizontales o de otro tipo.  Haga una prueba de corte  Hallar las intersecciones en ambos ejes.  Estudiar los intervalos dónde 𝑓 𝑥 > 0 y dónde 𝑓 𝑥 < 0.  Trazado de la gráfica de la función racional. 21 Gráfica Función Racional
  118. 118. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Gráfica Función Racional 22 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8
  119. 119. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntota vertical: 𝑥 = 8, no hay huecos. Gráfica Función Racional 22 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8 Solución:
  120. 120. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntota vertical: 𝑥 = 8, no hay huecos. Asíntota Horizontal: 𝑦 = 3, no hay otras asíntotas. Gráfica Función Racional 22 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8 Solución:
  121. 121. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntota vertical: 𝑥 = 8, no hay huecos. Asíntota Horizontal: 𝑦 = 3, no hay otras asíntotas. Prueba de corte: La gráfica no corta la asíntota horizontal. Gráfica Función Racional 22 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8 Solución:
  122. 122. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntota vertical: 𝑥 = 8, no hay huecos. Asíntota Horizontal: 𝑦 = 3, no hay otras asíntotas. Prueba de corte: La gráfica no corta la asíntota horizontal. Intersecciones en los ejes: − 1 3 , 0 , 0, − 1 8 Gráfica Función Racional 22 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8 Solución:
  123. 123. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntota vertical: 𝑥 = 8, no hay huecos. Asíntota Horizontal: 𝑦 = 3, no hay otras asíntotas. Prueba de corte: La gráfica no corta la asíntota horizontal. Signos: 𝑓 𝑥 > 0: −∞, − 1 3 ∪ 8, ∞ 𝑓 𝑥 < 0: − 1 3 , 8 Intersecciones en los ejes: − 1 3 , 0 , 0, − 1 8 Gráfica Función Racional 22 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8 Solución:
  124. 124. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntota vertical: 𝑥 = 8, no hay huecos. Asíntota Horizontal: 𝑦 = 3, no hay otras asíntotas. Prueba de corte: La gráfica no corta la asíntota horizontal. Signos: 𝑓 𝑥 > 0: −∞, − 1 3 ∪ 8, ∞ 𝑓 𝑥 < 0: − 1 3 , 8 Intersecciones en los ejes: − 1 3 , 0 , 0, − 1 8 Gráfica Función Racional Gráfica: 𝑥 𝑦 22 Ejemplo: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥+1 𝑥−8 Solución:
  125. 125. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de las páginas 3-5 24
  126. 126. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica: ¿Cuál de las siguientes es la gráfica de 𝑓 𝑥 = 3𝑥2−12 𝑥2−5𝑥+6 ? Explique. a) c) d) 𝑥 𝑦 b) 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Gráfica Función Racional 25
  127. 127. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Gráfica Función Racional 26 Práctica: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = −𝑥2(𝑥−1) (𝑥2−4)
  128. 128. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Gráfica Función Racional 𝑓 𝑥 = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥2−4) = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 26 Solución: Práctica: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = −𝑥2(𝑥−1) (𝑥2−4)
  129. 129. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntota vertical: 𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos Gráfica Función Racional 𝑓 𝑥 = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥2−4) = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 26 Solución: Práctica: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = −𝑥2(𝑥−1) (𝑥2−4)
  130. 130. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Asíntota vertical: 𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos Asíntota Horizontal: No hay asíntota horizontal Hay asíntota oblicua: 𝑦 = −𝑥 + 1 Gráfica Función Racional 𝑓 𝑥 = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥2−4) = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 26 Solución: Práctica: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = −𝑥2(𝑥−1) (𝑥2−4)
  131. 131. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Prueba de corte: 𝑓(𝑥) corta la asíntota oblicua en 𝑥 = 1 Gráfica Función Racional 𝑓 𝑥 = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥2−4) = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 26 Solución: Práctica: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = −𝑥2(𝑥−1) (𝑥2−4) Asíntota vertical: 𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos Asíntota Horizontal: No hay asíntota horizontal Hay asíntota oblicua: 𝑦 = −𝑥 + 1
  132. 132. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Intersecciones en los ejes: 0,0 , 1, 0 Gráfica Función Racional 𝑓 𝑥 = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥2−4) = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 26 Solución: Práctica: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = −𝑥2(𝑥−1) (𝑥2−4) Prueba de corte: 𝑓(𝑥) corta la asíntota oblicua en 𝑥 = 1 Asíntota vertical: 𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos Asíntota Horizontal: No hay asíntota horizontal Hay asíntota oblicua: 𝑦 = −𝑥 + 1
  133. 133. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Signos: 𝑓 𝑥 > 0: −∞, −2 ∪ 1,2 𝑓 𝑥 < 0: −2,0 ∪ 0,1 ∪ 2, ∞ Gráfica Función Racional 𝑓 𝑥 = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥2−4) = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 26 Solución: Práctica: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = −𝑥2(𝑥−1) (𝑥2−4) Intersecciones en los ejes: 0,0 , 1, 0 Prueba de corte: 𝑓(𝑥) corta la asíntota oblicua en 𝑥 = 1 Asíntota vertical: 𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos Asíntota Horizontal: No hay asíntota horizontal Hay asíntota oblicua: 𝑦 = −𝑥 + 1
  134. 134. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Gráfica Función Racional Gráfica: 𝑓 𝑥 = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥2−4) = −𝑥2 (𝑥 − 1) (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) 𝑥 𝑦 26 Práctica: Trace la gráfica de 𝑓 𝑥 = −𝑥2(𝑥−1) (𝑥2−4) Solución: Signos: 𝑓 𝑥 > 0: −∞, −2 ∪ 1,2 𝑓 𝑥 < 0: −2,0 ∪ 0,1 ∪ 2, ∞ Intersecciones en los ejes: 0,0 , 1, 0 Prueba de corte: 𝑓(𝑥) corta la asíntota oblicua en 𝑥 = 1 Asíntota vertical: 𝑥 = −2, 𝑥 = 2 y no hay huecos Asíntota Horizontal: No hay asíntota horizontal Hay asíntota oblicua: 𝑦 = −𝑥 + 1
  135. 135. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Terminar la presentación Comenzar la presentación Regresar a Función racional Dominio función racional Asíntotas función racional Trazado de gráficas de funciones racionales 28 Funciones Racionales

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