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Exercícios de poliedros

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Exercícios sobre poliedros

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Exercícios de poliedros

  1. 1. EXERCÍCIOS  DE  POLIEDROS  DO             1)  (PUC  RS)  Um  poliedro  convexo  tem  cinco  faces  triangulares  e  três  pentagonais.  O  número  de   arestas  e  o  número  de  vértices  deste  poliedro  são,  respectivamente,     a) 30  e  40   b) 30  e  24   c) 30  e  8   d) 15  e  25   e) 15  e  9    Resolução:      No  poliedro  temos  que:      5                                    ,  ou  seja  o  número  total  de  faces(F)  =  8    3            Então  devemos  lembrar  que       ,  se  determinamos  o  número  de  arestas  e  o  número  de  faces,            então:               2)  (UFRGS)  Um  poliedro  convexo  de  onze  faces  tem  seis  faces  triangulares  e  cinco  faces   quadrangulares.  O  número  de  arestas  e  vértices  do  poliedro  é,  respectivamente   a) 34,  10   b) 19,  10   c) 34,  20   d) 12,  10   e) 19,  12   Resolução:   F  =  11     6                      ,  se    2.A  =  n.F  ∴  2.A  =  6.3  +  5.4       5                        2.A  =  38  ⇒  A  =  19     V+F  =  A  +  2     V  +  11  =  19  +  2     V  =  10                 www.matematicadegraca.com.br  
  2. 2. 3)  (MACK  –  SP)  Um  poliedro  convexo  tem  3  faces  triangulares,    4  faces  quadrangulares  e  5   pentagonais.  O  número  de  vértices  desse  poliedro  é:   a) 25   b) 12   c) 15   d) 9   e) 13   Resolução:       F  =  3  +  4  +  5  ⇒  F  =  12     2.A  =  n.F  ⇒  2.A  =  3.3  +  4.4  +  5.5  ⇒  2.A  =  50  ⇒  A  =  25     V+F  =  A  +  2  ⇒  V  +  12  =  25  +  2  ⇒  V  =  15         4)  (ITA  –  SP)  Considere  um  prisma  regular  em  que  a  soma  dos  ângulos  internos  de  todas  as  faces  é   7200°.  O  número  de  vértices  deste  prisma  é  igual  a   a) 11   b) 32   c) 10   d) 20   e) 22   Resolução:   Em    um  prisma  regular,  temos  que  suas  faces  laterais  são  quadriláteros,  e  que  as  bases  superior  e  inferior  são     polígonos  com  uma  quantidade  n  de  lados.    Se  sabemos  que  a  soma  dos  ângulos  internos  de  um  polígono  é     dada  por  Si  =  180°.(n-­‐2),  então:           ,  se  o  polígono  da  base  tem  11  lados  tem  11  vértices,                                           logo  11  vértices  na  base  inferior  e  mais  11  vértices  na  base  superior  resultam  em  22  vértices       5)  (PUC-­‐PR)  Se  a  soma  dos  ângulos  das  faces  de  um  poliedro  regular  é  1440°,  então  o  numero  de   arestas  desse  poliedro  é:   a) 12   b) 8   c) 6   d) 20   e) 4   Resolução:          ,  o  poliedro  regular  ou  de  Platão  que  possui    6  vértices,  é  o  octaedro.      Dessa  forma  V+F  =  A+2  ⇒  6  +  8  =  A  +  2  ⇒  A  =  12   www.matematicadegraca.com.br  
  3. 3. 6)  (ITA  –  SP)  Um  poliedro  convexo  tem  13  faces.  De  um  dos  seus  vértices  partem  6  arestas;  de  6   outros  vértices  partem,  de  cada  um,  4  arestas,  e  finalmente,  de  cada  um  dos  vértices  restantes  partem   3  arestas.  O  número  de  arestas  desse  poliedro  é:   a) 13   b) 17   c) 21   d) 24   e) 27   Resolução:      F  =  13    V  =  1  +  6  +  x  ⇒  V  =  7  +  x            Vamos  lembrar  que  2.A  =  p.V,  nesse  caso:                           ,  se  x  =  6  ,  então                         7)  (CEFET  –  PR)  O  número  de  vértices  de  um  poliedro  convexo  de  10  faces  quadrangulares  é:   a) 32   b) 12   c) 20   d) 15   e) 18       F  =  10   Resolução:        e                           www.matematicadegraca.com.br  
  4. 4. 8)    (UFPE)  Em  relação  aos  poliedros  regulares,  podemos  afirmar  que:     01)  São  sempre  poliedros  estrelados.   02)  Possuem  n.(n-­‐3)/2  diagonais,  sendo  n  o  numero  de  arestas  do  poliedro.   04)  Possuem  F  +  V  –  2  arestas,  sendo  (F)  o  número  de  faces,  e  (V)  o  número  de  vértices.   08)  Tem  por  faces:  triângulos  eqüiláteros,  quadrados,  pentágonos  e  hexágonos  regulares.   16)  São  superfícies  limitadas  pelo  mesmo  tipo  de  polígono  regular.   Resolução:                                São    poliedro  regulares  os  chamados  poliedros  de  Platão,  que  são  TETRAEDRO,  HEXAEDRO,  OCTAEDRO,  DODECAEDRO,  E  ICOSAEDRO.     01)FALSA,  pois  esses  poliedros  não  são  estrelados;     02)FALSA,  pois  a  formula  apresentada  refere-­‐se  ao  número  de  diagonais  de  um  polígono;       03)Verdadeiro,  pois  se  V+  F  =  A  +  2  ⇒  A  =  V  +  F  –  2       04)FALSO,  eles  têm  por  faces:  triângulos  eqüiláteros,  quadrados,  pentágonos  regulares     05)Verdadeiro,  suas  superfícies  são  limitadas  por  polígonos  regulares.       9)  (PUC  RS)  Um  poliedro  convexo  possui  duas  faces  pentagonais  e  cinco  quadrangulares.  O  número  de   vértices  desse  poliedro  é:   a) 4   b) 6   c) 8   d) 9   e) 10   Resolução:         2        ,  ou  seja  o  número  total  de  faces(F)     =  7     5           ,  e                     www.matematicadegraca.com.br  
  5. 5. 10)  (CEFET  –  PR)  Um  poliedro  convexo  possui  duas  faces  triangulares,  duas  quadrangulares  e  quatro   pentagonais.  Logo  a  soma  dos  ângulos  internos  de  todas  as  faces  será:   a) 3240°   b) 3640°   c) 3840°   d) 4000°   e) 4060°           Resolução:      2  faces  triangulares,  2  faces  quadrangulares  e  4  faces  pentagonais    ⇒  F  =  8                   Inscreva-­‐se  no  nosso  Canal  no  Youtube   http://www.youtube.com/matematicadegraca   www.matematicadegraca.com.br  

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