【読書会資料】『StanとRでベイズ統計モデリング』Chapter12：時間や空間を扱うモデル

1. Chapter12：時間や空間を扱うモデル大阪電気通信大学情報通信工学部小森政嗣『StanとRでベイズ統計モデリング』読書会(Osaka.Stan#6)

2. 自己紹介 • 小森政嗣（こもりまさし） • 大阪電気通信大学情報通信工学部情報工学科 • 様々な時系列データを扱ってきた – ラットやサルの電気生理 – 合コン・カウンセリング・授業場面の体の動き – ツイッターの投稿の時間的変化 – 気分障害患者の日内活動量パタン

3. ツイッターでこんなつぶやきを見つけた ※元ツイートは削除されているこんなグラフがあって「XX時には野生型と変異体で差があります」を言いたいときに使う検定がわからなくて時間が溶けてる。各時刻で野生型 vs 変異体のt-testをするのはよくなさそうなのはわかる。グラフは下記サイトから引用二つの時系列データの間に「差」があるか判断するには - StatModeling Memorandum http://statmodeling.hatenablog.com/entry/difference-between-time-courses 野生型変異体

4. ツイッターでこんなつぶやきを見つけた ※元ツイートは削除されている二つの時系列データの間に「差」があるか判断するには - StatModeling Memorandum http://statmodeling.hatenablog.com/entry/difference-between-time-courses より引用野生型変異体 • このつぶやきに関する「Togetterまとめ」から抜粋 – 単に平均値を比較すればいい – 時刻ごとt検定で連続N時刻以上有意で OK みたいなやり方 • ↑多重検定補正が必要だろ • ↑時系列データに対して，多重検定補正はおかしい – 拡張ディッキー–フラー検定の後，変化点検出 – クラスター並べ替え検定 – 変化点検出を組み込んだ状態空間モデル（アヒル本の中の人）こんな単純なデータに対する分析であっても，各々のバックグラウンドによって提案する方法が異なる

5. 時系列解析のモデルを考えるときに必要なこと • 様々な時系列分析手法がある • 手法の違いは，基本的には「自己相関」とどのように向き合うのかの違い – 自己相関と正面から向き合う方法 • 「トレンド」「季節性」などの様々な自己相関を考慮する • 状態空間モデルはここに含まれる – 自己相関を消す方法 • 周波数解析など 12章では時空間的な自己相関を考慮に入れた「状態空間モデル」を扱っている

6. 12章のアウトライン 12.1 状態空間モデルことはじめローカルレベルモデル・ローカル線形トレンドモデル 12.2 季節調整項ダミー変数を使った季節成分の調整 12.3 変化点検出 12.4 その他の拡張方法トレンド項の工夫，時間間隔不等の対処，複数のパラメータ 12.5 時間構造と空間構造の等価性 12.6 1次元の空間構造みんな大好き久保緑本11章のデータでマルコフ場モデル 12.7 2次元の空間構造 12.8 地図を使った空間構造

7. 状態空間モデルことはじめ（概要） • 状態空間モデルでは真の状態𝜇と観測値𝑌を区別する – 真の状態は直接は観測できない – 観測値は時々刻々得られる真の状態𝜇 観測値𝑌 𝜇[1] 𝜇[2] 𝜇[𝑇] 𝑌[2]𝑌[1] 𝑌[𝑇] ⋯ ⋯ システムモデル（状態方程式）「真の状態」の前後の関係式観測モデル（観測方程式）「真の値」は観測値にその都度反映される

8. 状態空間モデルことはじめ（概要） • 一番簡単なローカルレベルモデル（酔歩＋ノイズ）の例 – 12.1.3節■モデル式12−2■（1階差分のトレンド項モデル） 𝜇 𝑡 ~ Normal 𝜇 𝑡 − 1 , 𝜎𝜇 システムモデル（状態方程式) 𝑌 𝑡 ~ Normal 𝜇 𝑡 , 𝜎 𝑌 観測モデル（観測方程式）真の状態𝜇 観測値𝑌 𝜇[1] 𝜇[2] 𝜇[𝑇] 𝑌[2] 𝑌[1] 𝑌[𝑇] ⋯ システムモデル観測モデル ⋯ +𝜀 𝜇1 +𝜀 𝜇2 +𝜀 𝜇𝑇−1 +𝜀 𝑌1 +𝜀 𝑌2 +𝜀 𝑌𝑇 （状態撹乱項）（状態撹乱項）（観測撹乱項）（観測撹乱項）

9. 状態空間モデルことはじめ（書き方）ローカルレベルモデルを例に • 本書でのモデルの書き方 𝜇 𝑡 ~ Normal 𝜇 𝑡 − 1 , 𝜎𝜇 𝑌 𝑡 ~ Normal 𝜇 𝑡 , 𝜎 𝑌 • こんな風に書かれることも 𝜇 𝑡 = 𝜇 𝑡−1 + 𝜀 𝜇 𝜀 𝜇~NID(0, 𝜎𝜇) 𝑦𝑡 = 𝜇 𝑡 + 𝜀 𝑌 𝜀 𝑌~NID(0, 𝜎 𝑌) • 一般的には 𝛍t = 𝐓𝐭 𝛍𝐭−𝟏 + 𝐑 𝐭 𝛆 𝛍 𝐲𝐭 = 𝐙𝐭 𝛍𝐭 + 𝛆 𝐘 • Stanでの（スマートな）書き方 model { mu[2:T] ~ normal(mu[1:(T-1)], s_mu); Y ~ normal(mu, s_Y); } • Stanでの（わかりやすい）書き方 model { for( t in 2 : T){ mu[t] ~ normal(mu[t-1], s_mu); } Y ~ normal(mu, s_Y); } システムモデル（状態方程式) 観測モデル（観測方程式）

10. ローカルレベルモデル (「1階差分のトレンド項」を考慮したモデル） • ローカルレベルモデルは「ランダムウォークプラスノイズモデル」とも呼ばれる • 𝜇に正規ノイズ（状態撹乱項）𝜀 𝜇が累積加算されていく過程 𝜇 𝑡 = 𝜇 𝑡 − 1 + 𝜀 𝜇 𝑡 𝜀 𝜇 𝑡 ~Normal 0, 𝜎𝜇 12.1.1 – 12.1.5 pp. 231 - 233 初期値=0, σμ=1 に設定した for (t in 2:N) y[t] <- rnorm(1, y[t-1], sigma) • ランダムウォーク（酔歩）とは？描いてみた

11. ローカルレベルモデル (「 1階差分のトレンド項」を考慮したモデル） • ローカルレベルモデルはランダムウォークに観測撹乱項が加わった観測値𝑌 から，以下のパラメータを推定する • 𝜇[𝑡]，𝜎𝜇，𝜎 𝑌 12.1.1 – 12.1.5 pp. 231 - 233 真の状態𝜇 観測値𝑌 𝜇[1] 𝜇[2] 𝜇[𝑇] 𝑌[2] 𝑌[1] 𝑌[𝑇] ⋯ システムモデル観測モデル ⋯ +𝜀 𝜇1 +𝜀 𝜇2 +𝜀 𝜇𝑇−1 +𝜀 𝑌1 +𝜀 𝑌2 +𝜀 𝑌𝑇 （状態撹乱項）（状態撹乱項）（観測撹乱項）（観測撹乱項） 𝜇 𝑡 ~ Normal 𝜇 𝑡 − 1 , 𝜎𝜇 𝑡 = 2, … , 𝑇 (12.1) 𝑌 𝑡 ~ Normal 𝜇 𝑡 , 𝜎 𝑌 𝑡 = 1, … , 𝑇 (12.2)

12. ローカルレベルモデル (「 1階差分のトレンド項」を考慮したモデル） Stanでやってみよう • イベントの21日分の来場者数データからパラメータを推定 12.1.1 – 12.1.5 pp. 231 - 233 図12.1(右) イベント来場者 data { int T; int T_pred; vector[T] Y; } parameters { vector[T] mu; real<lower=0> s_mu; real<lower=0> s_Y; } model { mu[2:T] ~ normal(mu[1:(T-1)], s_mu); Y ~ normal(mu, s_Y); } model12-2.stan（抜粋）システムモデル（状態方程式) 観測モデル（観測方程式）

13. ローカルレベルモデル (「 1階差分のトレンド項」を考慮したモデル） Stanでやってみよう • 結果 12.1.1 – 12.1.5 pp. 231 - 233 • 推定できた • 真の状態𝜇 𝑡 • 状態撹乱項のパラメータ𝜎𝜇 • 観測撹乱項のパラメータ𝜎 𝑌 図12.3(左；一部改変) ベイズ信頼区間

14. ローカルレベルモデル (「 1階差分のトレンド項」を考慮したモデル）ついでに今後の予測もStanでやってみよう • generated quantitiesで将来の来場者の予測もできる 12.1.1 – 12.1.5 pp. 231 - 233 generated quantities { vector[T+T_pred] mu_all; vector[T_pred] y_pred; mu_all[1:T] = mu; for (t in 1:T_pred) { mu_all[T+t] = normal_rng(mu_all[T+t-1], s_mu); y_pred[t] = normal_rng(mu_all[T+t], s_Y); } } ※もちろんgenerated quantities を使わずにRで乱数を発生させて予測することもできるし，また，将来の値を「欠損値」とみなしてmodel{}内で予測することも可能（「Stanで体重の推移をみつめてみた(状態空間モデル) @kosugittiさん参照）「ガキの使いとちゃうねんぞ」というレベルの予測．もっと減っていきそうなのに… 所詮はランダムウォークモデル．できるのはこの程度ローカルレベルモデルでは流石にモデルが単純すぎるのでは？

15. 2階差分モデル (「 2階差分のトレンド項」を考慮したモデル） • 一つ前の状態だけでなく，2つ前の状態からの変化も考慮できないか？ – 「傾き」を考慮すれば良い • 「傾き」とは？ – 2つ前から１つ前への変化量 – 酔歩するオッサンの例で言えば「オッサンが歩く速度」を考慮することと同じ 12.1.7 pp. 233 - 235 将来はもっと下がっていきそうな気がするさっきやったやつ(model12-2.stan) こんな感じになれば… これからやるやつ(model12-4.stan)

16. 2階差分モデル (「 2階差分のトレンド項」を考慮したモデル） 12.1.7 pp. 233 - 235 • １階差分のトレンド項モデル(model12-2.stan) 𝜇 𝑡 = 𝜇 𝑡 − 1 + 𝜀 𝜇 𝑡 − 1 • 2階差分のトレンド項モデル(model12-4.stan) 𝜇 𝑡 = 𝜇 𝑡 − 1 + 𝜇 𝑡 − 1 − 𝜇 𝑡 − 2 + 𝜀 𝜇 𝑡 − 2 = 2𝜇 𝑡 − 1 − 𝜇 𝑡 − 2 + 𝜀 𝜇 𝑡 − 2 (12.3) 一つ前状態撹乱項一つ前状態撹乱項傾き（単位時間あたりの変化量）２階差分を考えるとなにがうれしいのか？ • 推定された𝜇の変化が滑らかになる（平滑化される） • トレンドを考慮した予測ができる

17. 2階差分モデル (「 2階差分のトレンド項」を考慮したモデル） Stanでやってみよう 12.1.7 pp. 233 - 235 • 確かになめらか • 予測値も自然図12.3(右) ベイズ信頼区間 model12-4.stan（抜粋） ※小森注：この「 2階差分のトレンド項」モデルは実際にはあまり使われないように思います．そのかわり「トレンド方程式」を状態方程式に加えた「ローカル線形トレンドモデル」のほうが用いられるかな． 𝜇 𝑡 ~ Normal 𝜇 𝑡 − 1 + 𝑣[𝑡], 𝜎𝜇 状態方程式（レベル） 𝑣 𝑡 ~ Normal 𝑣 𝑡 − 1 , 𝜎𝑣 状態方程式（トレンド） 𝑌 𝑡 ~ Normal 𝜇 𝑡 , 𝜎 𝑌 観測方程式

18. 季節要素を考慮したモデル 12.2 pp. 235 - 238 • 周期性（単なる変動ではなく）があるデータを分析する場合，「季節調整項」を考慮する • 季節調整項とは？（ガリガリ君最初の1 年間の四半期の売上を考える）図12.4（左；一部改変）某「季節もの」の四半期ごとの販売数．特定のシーズンだけよく売れることがわかるベースライン𝜇=18.3 春夏秋冬 -0.2 5.4 -1.9 -3.3 • ベースラインからの凸凹が「季節調整項」 • 季節調整項を全部足すと −0.2 + 5.4 + −0.9 + (−3.3) ≅ 0 • つまり，春夏秋の３つの季節調整項が与えられれば，冬の季節調整項は自動的に求まる

19. 季節要素を考慮したモデル 12.2 pp. 235 - 238 • 周期𝐿の周期データであれば𝜀 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡 は小さい値になる 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡 + 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡 − 1 + ⋯ + 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡 − 𝐿 − 1 = 𝜀 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛[𝑡] • ガリガリ君の場合であれば(ただし春= 𝑡とすると） 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 春 + 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 夏 + 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 秋 + 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 冬 = 𝜀 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛[𝑡] • ここで𝜀 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛[𝑡]が正規分布𝒩(0, 𝜎𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 2 ) に従うとすると 𝑙=0 𝐿−1 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡 − 𝑙 = 𝜀 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡 𝜀 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡 ~Normal(0, 𝜎𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛) 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡 = − 𝑙=1 𝐿−1 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡 − 𝑙 + 𝜀 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡 𝜀 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡 ~Normal(0, 𝜎𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛) ※春夏秋冬を全部足した値は平均0の正規分布に従う ※ある季節（春）の季節調整項は残りの季節（夏秋冬）の合計＋𝜀 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛になるこの関係式をStanのモデルに入れてやればいいだけ

20. 季節要素を考慮したモデル Stanでやってみよう 12.2 pp. 235 - 238 model12-6.stan 𝑙=1 𝐿−1 𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡 − 𝑙 modelに「Y ~ normal(mu + season, s_Y);」と書いてtransformed parametersを消しても特に問題ないけど，y_meanを出力するためにこのように書いているのかな？推定されたトレンド項𝜇 𝑡 季節調整項𝑠𝑒𝑎𝑠𝑜𝑛 𝑡

21. 変化点検出 (システムノイズに非ガウス分布がある場合） 12.3 pp. 238 - 240 model12-2.stan（一部改変） NormalをCauchyに変更非常にノイジーなデータなので「裾が重い」 Cauchy分布をシステムノイズに使ってみたら＿人人人人人人人＿＞収束しねえ＜￣Y^Y^Y^Y^Y^Y￣裾の重い部分をのステップサイズがどうしても小さくなってしまう．ヒントはStanマニュアル20 章“Optimizing Stan Code”の “Reparameterizing the Cauchy”にある Normal Cauchy 「裾が重い」とは

22. 変化点検出 (システムノイズに非ガウス分布がある場合） • 再パラメータ化のテクニック • Cauchy 𝑦 𝜇, 𝜎 の累積分布関数の逆関数を使って， Cauchy分布に従う乱数を発生させる 12.3 pp. 238 - 240 model12-7.stan 𝑥~Uniform 0,1 として𝜋(𝑥 − 0.5) 𝐹−1 𝑥 = 𝜇 + 𝜎tan(𝜋(𝑥 − 0.5)) これなら収束する潜在状態の数がアプリオリに決められるのであれば，隠れマルコフモデルでやるのもありなのでは？

23. • グラフを見ると潜在状態が3つぐらいありそうなので，隠れマルコフモデル(HMM）を Stanでやってみた • 「隠れ状態」は離散量なので11章（うなどん氏）のテクニックを使ってみる • Viterbiアルゴリズムでどの状態であったか推定してみる変化点検出 (隠れマルコフモデルで変化点検出やってみた）ソースはこんな感じ赤い線は潜在状態（離散値） Stan User’s Guide and Reference Manualの10.6.節Hidden Markov Models” の”Semisupervised Estimation”と”Predictive Inference”を参考にした

24. その他の拡張方法 • 独自のトレンド項を入れる • データの対数をとる • 時刻が不等間隔のとき – 等間隔の目盛りを取って，丸める．データが無いところは欠損値にする • 複数の要因を入れる • 複数の𝜇 𝑡 – 複数回の試行を行う場合や，複数人の被験者を対象にする時など．観測撹乱項，状態撹乱項を工夫すると良いかも 12.4 pp. 240 - 241 𝜇 𝑛, 𝑡 = 𝜇 𝑛, 𝑡 − 1 + 𝜀 𝜇[𝑛, 𝑡 − 1] 𝑌 𝑛, 𝑡 = 𝜇 𝑛, 𝑡 + 𝜀 𝑌[𝑛, 𝑡] 𝜀 𝜇 𝑛, 𝑡 ~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 0, 𝜎𝜇 𝑛 𝜀 𝑌 𝑛, 𝑡 ~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 0, 𝜎 𝑌 ■モデル式12−9■ 状態撹乱項は個人差あり「3階差分を使うのも良いし…」と本にあるが，時系列の場合は2階差分，空間構造の場合は1階差分でいいのでは？スプラインとかカルマンフィルタとかで補完をしたデータを使っちゃダメョ観測撹乱項は被験者間で共通

25. 時間構造と空間構造の等価性 1階差分モデルを例に • DAG（非巡回有向グラフ）で表現される • システムモデル 𝜇 𝑡 = 𝜇 𝑡 − 1 +𝜀 𝜇 [𝑡] 𝜀 𝜇[𝑡]~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 0, 𝜎𝜇 • 条件付き確率 𝑝 𝜇 𝑡 𝜇 𝑡−1 = 1 2𝜋𝑟2 exp(− 1 2𝜎𝜇 2 𝜇 𝑡 − 𝜇 𝑡−1 2 ) • 観測モデルは有向グラフだが，システムモデルは無向グラフ • （1次元空間の場合は）結果は変わらないが，無向グラフであることを明示的に示すため同時確率で表す 12.5 pp. 242 - 244 今まで扱ってきた状態空間モデル 1次元の空間構造（マルコフ場）モデル 𝑝(𝜇1, 𝜇2, … 𝜇 𝑇) ∝ exp − 1 2𝜎𝜇 2 𝑡=2 𝑇 (𝜇 𝑡 − 𝜇 𝑡−1)2 対数事後確率を見れば状態空間モデルとマルコフ場モデルは等価．だけど（多分）2次元モデルになった時に説明が超めんどいのもあってこのような記法にしている（それにそもそもStanでは右の書き方が本質的）

26. 1次元の空間構造みんな大好き久保『緑本』11章 12.6 pp. 244 - 246 • まずは『緑本』11章を振り返ってみる • 1から50までの区画が並んでいて，場所ごとに植物がたくさん生えてたり生えてなかったりする • その植物の密度は滑らかに変化 • 植物が生えている本数はポアソン分布に従うとする「久保拓弥. データ解析のための統計モデリング入門. 岩波書店, 2012.」より 𝜆 • 平均値に比べて分散が大きすぎる⇨過分散 • 大域的パラメータの切片𝛽と場所差𝑟𝑗を考える 𝑝 𝑦𝑗 𝜆𝑗 = 𝜆 𝑦 𝑗 exp −𝜆 𝑦 𝑗! log 𝜆𝑗 = 𝛽 + 𝑟𝑗 • 𝑟𝑗の事前分布をどう与えるか？ • 𝑟𝑗が互いに独立だとするとglmmと同じ • 𝑟𝑗が「隣接するものは互いに似ている」と考えるのがCAR(conditional auto regressive; 条件付き自己回帰）モデル久保緑本の図11.2を一部改変

27. 12.6 pp. 244 - 246 1次元の空間構造久保『緑本』11章とアヒル本12.6節の関係 • 緑本で紹介されているIntrinsic Gaussian CAR model（条件付き自己回帰モデル） 𝑝 𝑟𝑗 𝜇 𝑗, 𝑠 = 𝑛𝑗 2𝜋𝑠2 𝑒𝑥𝑝 − 𝑟𝑗 − 𝜇 𝑗 2 2𝑠2/𝑛𝑗 ただし𝜇 𝑗 = 𝑟 𝑗−1+𝑟 𝑗+1 2 • この式は2階差分になっている 𝑟𝑗 − 𝜇 𝑗 2 = 2𝑟 𝑗−𝑟 𝑗−1−𝑟 𝑗+1 2 2 = 𝑟 𝑗+1−𝑟 𝑗 − 𝑟 𝑗−𝑟 𝑗−1 2 2 • 注意：緑本のこのモデル式は「𝑟𝑗−1や 𝑟𝑗+1が固定されている場合の𝑟𝑗の確率分布」を表す式（full conditionalと呼ばれるらしい）であって条件付き分布とは異なる • 一方アヒル本のモデル式12−11では一階差分（式12.9） 𝑝 𝑟 1 , 𝑟 2 , … , 𝑟 𝐼 ∝ 1 𝜎𝑟 𝐴 exp − 1 2𝜎𝑟 2 𝑖,𝑗 𝑟[𝑖] − 𝑟[𝑖 − 1] 2 • 注意：事後（同時）確率で書かれてて，この式を展開して𝑟[𝑖] について平方完成すれば2階差分になるよね • アヒル本の式から緑本の式は導けるけど，逆はわからんこの2つのモデル（CARモデルと1階差分モデル）は同じものこのあたりの議論は下記に詳しく解説あり伊庭幸人時間・空間を含むベイズモデルのいろいろな表現形式, 岩波データサイエンス vol.1, 96-106.

28. 1次元の空間構造 • 観測モデルについて – こちらは有向グラフで表現できるので通常の書き方 • 結果 12.6 pp. 244 - 246 model12-11.stan（1階差分モデル） model12-12.stan（2階差分モデル；抜粋） r[2,I] ~ normal(r[1:(T-1)],s_r); と同じ結果になる 1階差分モデル 2階差分モデル緑本と同じ結果対数リンク関数とセットになった poisson_log()がいろいろ便利らしい

29. 2次元の空間構造 2次元格子状の空間データの扱い方 • データ – 2次元格子状（16×24）のプレート上で計測を行った – 96種類の処理を各々4回ずつ処理して繰り返し数4のデータを得た • 目的 – プレートの位置の影響を除去 – プレートの位置の影響を知る 12.7 pp. 246 - 251 バイオアッセイで用いられる「384プレート」 24列 16行図12.8 プレートの穴の配置 (𝑖, 𝑗) と観測値𝑌 (𝑖, 𝑗)

30. • 縦横ともに2階差分モデルで考える • 𝑌 𝑖, 𝑗 = 𝑟 𝑖, 𝑗 + 𝛽[𝑇𝐼𝐷 𝑖, 𝑗 ] • 𝑝 𝑟 1,1 , 𝑟 1,2 , … , 𝑟 16,24 ∝ 1 𝜎𝑟 𝐴 exp − 1 2𝜎𝑟 2 𝑖,𝑗 𝑟[𝑖, 𝑗] − 2𝑟[𝑖, 𝑗 − 1] + 𝑟[𝑖, 𝑗 − 2] 2 2次元の空間構造 2次元格子状の空間データの扱い方 12.7 pp. 246 - 251 model12-13.stan

31. 2次元の空間構造 2次元格子状の空間データの扱い方 12.7 pp. 246 - 251 • 初期値を与えるテクニック – 局所解に陥らないようだいたいのあたりをつけた初期値を使うまずLOESS（局所回帰）をやってる LOESSの結果を初期値として投入 run-model12-13.R（抜粋）図12.9（左）𝑟[𝑖, 𝑗]の中央値図12.9（右）単純な平均値と推定結果の関係(95%信頼区間)

32. 地図を使った空間構造格子状じゃないときの空間データ 12.8 pp. 251 - 254 • 各県の平均気温データを，隣接関係をもとに平滑化 • 1階差分モデルで考える地理的隣接関係を非巡回有向グラフ（DAG)で表現したもの（ 𝐹𝑟𝑜𝑚 < 𝑇𝑜）．データファイル12.4（data-map-neighbor.txt）を{igraph}パッケージで描画してみた model12-13.stan 一階差分モデル観測モデルのs_Yにかなり厳し目の事前分布を用いている（平滑化しすぎないようにするため）.ゆるくすると全国ほぼ同じ気温だと推定される

33. 地図を使った空間構造格子状じゃないときの空間データ 12.8 pp. 251 - 254 図12.10(左)観測値，(右)推定された𝑟[𝑛] の中央値平均気温マルコフ場モデルにより平滑化した気温図12.11 実測値と予測値図12.11 𝑌 𝑛 − 𝑟 𝑛 のMAP推定値のヒストグラムと密度関数 ※ 本書のソースにある事前分布 s_Y ~ normal(0, 0.1); だと本の図の通りの結果にはならない 𝜎 = 0.08ぐらいにすればいいかも？

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