Analisis segun M.Artigue de como dar proporciones

2014
Ingeniería Didáctica
Las Fases de la Metodología de la Ingeniería
Análisis respecto de una planificación de clases donde el tema a
desarrollar es PROPORCIONES.
Alumna: Boyer Mariela
Profesora: Ammann Susana
Asignatura: Metodología de la Investigación Educativa en
Matemática

1
INGENIERÍA DIDÁCTICA
ANÁLISIS LAS FASES DE LA METODOLOGÍA DE LA INGENIERÍA RESPECTO DE UNA PLANIFICACIÓN DE CLASE:
La planificación, que adjunto a continuación, fue realizada para un grupo de 15 chicos, entre 18 y 23 años, que cursa
Segundo año (turno Noche) de la Modalidad de Economía y Gestión en la EES n° 13 (Comercial de Ballester).
El tema a desarrollar es Proporciones.
1. ANÁLISIS PRELIMINAR:
Dimensión Epistemológica:
La matemática anterior a la griega, en particular la babilónica y la egipcia, habrían de alcanzar un alto grado de
desarrollo de la habilidad operatoria, para abordar todo tipo de problemas de la vida cotidiana, desde la repartición
de una herencia, hasta el cálculo de interés compuesto. La aritmética babilónica funcionaba para hacer cálculos
astronómicos y mercantiles, o lo relacionado con áreas y volúmenes, donde esta último está inmiscuida la
proporción directa (Filloy, 1998).
Hay un libro clásico en la cultura china Chiu ch’ang Sua-shu (Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático) de la
dinastía Han (206 AC – 220 DC) Struik (1986), en el cual aparecen porcentajes y proporciones en el Capítulo II: Mijo y
arroz. Por su parte, en el Capítulo III: Distribución por progresiones, se presentan problemas de aplicación de
impuestos a productos de cualidades diferentes; así como aplicaciones de “la regla de tres” y de progresiones
aritméticas y geométricas. El Capítulo VI: Aplicación imparcial de impuestos, trata del cálculo de tiempos de
transporte y distribución de impuestos por cantidad de población. En el Capítulo VII: Excesos y deficiencias se ocupa
fundamentalmente de la regla de la posición falsa, inventada por los chinos (García, 2000).
La noción de proporcionalidad aparece en ambas culturas, en el cálculo del cobro de impuestos y en aspectos
geométricos en el cálculo de áreas y volúmenes. Por su parte, la noción de linealidad, surge incipientemente desde
que se trabajan las ecuaciones lineales y las progresiones aritméticas, usadas para resolver problemas cotidianos y
contextuales.
En referencia al segundo escenario, la noción de linealidad aparece explícita o implícitamente, cuando Euclides hace
mención de la recta en todos sus postulados. En su conocido libro, Los Elementos, escrito hacia el año 300 AC,
presenta los conocimientos de la Grecia clásica, deduciéndolos a partir de cinco postulados, siendo los referidos a la
recta de manera directa:
1. Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto.
2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente.
5. Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos
rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son
menores que dos rectos.
Euclides emplea el primero de ellos, no sólo en el sentido de que por dos puntos pasa una recta, sino además de que
ésta es única. Por otra parte, emplea la proporcionalidad directa al relacionar el área de un círculo con el cuadrado
de su diámetro, para inferir el área comprendida dentro de la circunferencia (Hofmann, 2002).
En lo que se refiere a razones y proporciones, hacia el año 370 AC Eudoxio de Cnido (408? – 355?) ahonda en las
ideas de Anaxágoras, tomando a la geometría antigua como un caso particular, en el sentido dos magnitudes no
pueden formar una razón si la menor de ellas no puede hacerse más grande que la mayor mediante su multiplicación
por números enteros, definiendo indirectamente la igualdad de dos razones a: b y c: d, exigiendo que al elegir dos
números dados cualesquiera m y n resulte siendo m a menor o mayor o igual a nb, sea m c menor o mayor o igual a
n d. De igual manera, Eudoxio demuestra que la proporcionalidad del volumen de la esfera al cubo de la arista, es
igual al diámetro de aquella y corrobora la exactitud de la determinación del volumen de la pirámide y del cono,
trabajadas anteriormente por Demócrito (Hofmann, 2002). 1
1 http://www.uaeh.edu.mx/investigacion/icbi/LI_EpistCogniIdeasGerm/alberto_acosta/ArticHistEpisLinealidadHPMfeb2008.pdf

2
En el siglo III AC, hay referencia a la proporcionalidad en una carta que dirige Arquímedes a Eratóstenes, donde
resalta que ha recogido algunos resultados matemáticos a través de medios mecánicos, para después demostrarlos
geométricamente. Siendo la base de sus demostraciones, la teoría de las razones y proporciones de Euclides.
Arquímedes, añade expresamente el siguiente postulado: De dos magnitudes desiguales, la mayor excede a la menor
en una cantidad tal que, añadida sucesivamente a sí misma, puede exceder a cualquier magnitud determinada del
mismo tipo que las comparadas (Torija, 1999).
En el primer postulado del primer libro, Sobre la esfera y el cilindro, Arquímedes, da la definición más empleada de la
recta hasta nuestros días: La recta es la línea más corta que une sus puntos extremos. Por otra parte, Arquímedes
aplica la proporcionalidad directa entre variables de la misma dimensión, aunque Euclides había probado que la
relación entre los volúmenes de dos esferas depende del cubo de sus diámetros (Tori ja, 1999). Esto es, el volumen
de la esfera es directamente proporcional al diámetro elevado al cubo. En cuanto a la proporcionalidad directa entre
las dos cantidades, el volumen y el cubo del diámetro, existe una dependencia lineal, en el sentido de que s i
aumenta el cubo del diámetro, también hay un incremento del volumen, y el aumento es constante, por ser
magnitudes del mismo tipo, en este caso ambas de dimensión tres: el volumen de la esfera es proporcional al cubo
del diámetro, en forma simbólica, V = k d3.
Otro autor clásico fue Apolonio (siglo III AC), quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola a los lugares
geométricos que hoy conocemos. De algunos escritos de Apolonio se han conservado únicamente las secciones
proporcionales (en traducción árabe). Nos es conocido únicamente por referencias de Pappus (aprox. 320 d. de C.).
La Sección proporcional, la Sección espacial y la Sección determinada, se refieren esencialmente a las propiedades
de series de puntos proyectivos. Las Intercalaciones, se refieren a los problemas de este tipo que se pueden lograr
con regla y compás, tratándose de curvas directrices que se pueden construir con líneas rectas. En el escrito Lugares
geométricos planos, se tratan lugares geométricos rectilíneos y circulares. (Hofmann, 2002).
A partir del análisis de la evolución de las nociones referidas, en este segundo escenario la noción de linealidad,
empieza a tener una estructura más formal, a través de los postulados y demostraciones de teoremas geométricos,
mostrando su desprendimiento en forma incipiente de la noción de proporcionalidad. Además, se puede resaltar
que en el primer escenario, la proporcionalidad tiene un sentido práctico que se manifiesta en la solución de
problemas contextuales y cotidianos, mientras que en la Grecia clásica, se presenta un enfoque de la
proporcionalidad y de la idea naciente de linealidad, con características dirigidas a aspectos científicos relevantes de
aquel momento histórico.2
Dimensión Cognitiva:
En principio pensamos que los problemas y dificultades de comprensión por parte de los alumnos pueden tener un
triple origen. En concreto existen dificultades:
1. Procedentes de la propia dificultad de los conceptos involucrados.
2. Procedentes de deficiencias cognitivas de los propios alumnos.
3. Procedentes de la práctica educativa.
De estas tres opciones, nuestra investigación se va a centrar en la última de ellas, puesto que una mejora de la
práctica educativa necesariamente debería tener como objetivo evitar o suavizar la dificultad de los conceptos
matemáticos implicados; y también debería tratar de solventar las deficiencias cognitivas de los alumnos. No
obstante encontramos que la mayor parte de los trabajos dedicados a la didáctica de la Proporcionalidad Aritmética
se centran principalmente en las dos primeras posibilidades, sin entrar a analizar la práctica educativa tradicional y,
mucho menos, a proponer posibles alternativas.
A continuación vamos a abundar en esta idea y, a modo de ejemplo, presentamos algunos aspectos de la práctica
educativa tradicional; ejemplos que en nuestra opinión, dan lugar a importantes dificultades por parte de los
alumnos:3
2 http://www.uaeh.edu.mx/investigacion/icbi/LI_EpistCogniIdeasGerm/alberto_acosta/ArticHistEpisLinealidadHPMfeb2008.pdf
3https ://www.google.com.ar/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&ved=0CD8QFjAE&url=https%3A%2F%2Fuvadoc.uva.es%2Fbitstre
am%2F10324%2F1118%2F1%2FTESIS196-120828.pdf&ei=f68VVJ6KDcq4ogTCp4D4Bg&usg=AFQjCNF-RRxRASE6jtJc6-QPJJjrDsZJVA

3
1. Desaparece el significado de las operaciones aritméticas, se sustituye por la utilización de una técnica. En
la figura siguiente, se presenta un ejemplo sacado de Álvarez et al. (2003, pág. 160):
En el ejemplo se muestra un procedimiento para calcular el precio de una barra de pan a partir del precio de seis
barras. En lugar de recurrir al significado de la división pertinente en este contexto, se plantea una técnica similar a
la de la Regla de Tres (pese a que el procedimiento mostrado pretende evitarla). Es interesante observar, además, el
abuso de conectores lógicos que el alumno no entiende.
Lo grave, más allá de las conclusiones que podrían sacarse respecto a los autores del texto, son las consecuencias
que este tipo de argumentos tienen sobre el alumnado. Así, en la figura siguiente se muestra el razonamiento de un
alumno de la Licenciatura en Matemáticas ante la necesidad de comparar la tasa de cambio Euro-Dólar en dos
bancos diferentes:
El resultado de dividir los dólares que se obtienen entre los euros entregados no se hace para calcular los dólares
que se obtienen a cambio de un euro, sino que simplemente es uno de los pasos necesarios para completar el
algoritmo de la Regla de Tres.
2. Como consecuencia directa y natural de este abandono del uso de los significados de las manipulaciones
numéricas y con magnitudes se plantea la resolución de problemas como la aplicación de destrezas
carentes de significado e incluso, a veces, de lógica. En la figura siguiente se presenta un ejemplo extraído
de Cólera y Gaztelu (2008a, pág. 165):4

4
La resolución del problema es una mera sucesión de pasos cuya motivación o significado están ausentes. Al final,
mágicamente, se da un sentido al número obtenido pero no como consecuencia de las operaciones realizadas, sino
porque eso es “lo que nos están pidiendo”. Este texto, como el anterior, muestra gran preocupación por los aspectos
matemáticos pero ningún razonamiento didáctico.
Este tipo de enseñanza produce consecuencias muy claras. Por ejemplo, en la figura siguiente, ver (Gairín y Escolano,
2009), se muestra el intento de resolución de un alumno de 2º de E.S.O. del problema “Cuatro vacas negras y tres
vacas marrones dan tanta leche en cinco días como tres vacas negras y cinco marrones en cuatro días. ¿Qué clase de
vaca es mejor lechera?”:
Ante un enunciado que claramente evoca los problemas “de proporcionalidad compuesta” el alumno trata de
reproducir las técnicas aprendidas. El éxito es imposible, pero el alumno persevera y termina por llevar a cabo una
serie de operaciones que también evocan la aplicación de la Regla de Tres. El objetivo de aplicar de algún modo el
algoritmo aprendido está cumplido aunque los números obtenidos carezcan de sentido.
3. En último lugar encontramos que se produce un abuso de técnicas utilizadas en situaciones inapropiadas.
Nótese que este hecho no deja de ser nuevamente una consecuencia de los dos puntos mencionados
anteriormente. En la figura siguiente, sacada del texto de Becerra et al. (1997, pág. 95), vemos un ejemplo
de este hecho:
Se ha enmarcado la típica caracterización incompleta y, por tanto, incorrecta de la proporcionalidad inversa. La
consecuencia inevitable es el uso de técnicas relacionadas con la proporcionalidad no ya en situaciones donde no
son útiles (como sucedía en el punto anterior), sino en situaciones en las que no tiene sentido hacerlo. Como
ejemplo valga la siguiente producción de un alumno de 1º de E.S.O.:
Este panorama que acabamos de presentar justifica sobradamente la pertinencia de una actuación sobre la práctica
educativa tradicional en lo que la Proporcionalidad Aritmética se refiere. 5

5
Dimensión didáctica:
El razonamiento proporcional se considera como uno de los componentes importante del pensamiento formal
adquirido en la adolescencia. Las nociones de comparación y covariación están en la base subyacente al
razonamiento proporcional, siendo a su vez los soportes conceptuales de la razón y la proporción. El desarrollo
deficiente de estas estructuras conceptuales en los primeros niveles de la adolescencia obstaculiza la comprensión y
el pensamiento cuantitativo en una variedad de disciplina que van desde el álgebra, la geometría y algunos aspectos
de la biología, la física y la química.
Diversas investigaciones han mostrado, sin embargo, que la adquisición de las destrezas de razonamiento
proporcional es insatisfactoria en la población en general. Estas destrezas se desarrollan más lentamente de lo que
se había supuesto; incluso hay evidencias de que una gran parte de las personas nunca las adquieren en absoluto.
Estas cuestiones no se enseñan bien en las escuelas, que con frecuencia sólo estimulan la manipulación de símbolos
y fórmulas carentes de significad.
El esquema de proporción es considerado por Piaget como un componentes básico del razonamiento formal, que
será necesario, entre otros, para adquirir conceptos como el de probabi lidad y correlación. Sin embargo, esto no
quiere decir que los niños no tengan una percepción progresiva de las proporciones. El desarrollo de esta idea,
también sigue las etapas típicas de la teoría de Piaget, quien estudió cómo los niños la usan cuando t ienen que
estimar la probabilidad de un suceso.
Los resultados de diversas investigaciones proporcionan orientaciones sobre cómo ayudar a los niños en el
desarrollo del razonamiento proporcional. Algunas de estas orientaciones son las siguientes:
i. Proporcionar una amplia variedad de tareas sobre razones y proporciones en diversos contextos que pongan
en juego relaciones multiplicativas entre distintas magnitudes.
ii. Estimular la discusión y experimentación en la comparación y predicción de razones. Procurar que los niños
distingan las situaciones de comparación multiplicativa (proporcionalidad) de las no multiplicativas,
proporcionando ejemplos y discutiendo las diferencias entre ellas.
iii. Ayudar a los niños a relacionar el razonamiento proporcional con otros procesos matemáticos. El concepto
de fracción unitaria es muy similar al de tasa unitaria. El uso de tasas unitarias para comparar razones y
resolver proporciones es una de las técnicas más apropiadas.
iv. Reconocer que los métodos mecánicos de manipulación de símbolos, como los esquemas del tipo de “regla
de tres” para resolver problemas de proporcionalidad no son apropiados para desarrollar el razonamiento
proporcional y no se deberían introducir hasta que los alumnos tengan un cierto dominio de otros métodos
intuitivos y con un fundamento matemático consistente. 6
2. ANÁLISIS A PRIORI:
Presentación de la Situación:
El punto de partida de este diálogo es la ampliación de una foto rectangular que mide 4 cm x 2 cm.
Todos saben ampliarla de manera que 4 cm se convierta en 8 cm, duplicando las dimensiones.
Pero si los 4 cm deben convertirse en 7 cm, ¿Qué hay que hacer con las dimensiones?
Los alumnos encuentran estrategias para evitar la multiplicación por
7
4
que no significa demasiado para ellos.
Es porque
7
4
no tiene para ellos la entidad de número, no tiene la entidad de los números enteros.
Algunas soluciones son erróneas, como por ejemplo la que consiste en agregarle 3 cm a dos dimensiones, sobre todo
porque se puede utilizar el hecho que 2 es la mitad de 4.
Pero el docente complica el problema con una nueva foto de 5 cm x 2 cm. En este caso, 5 cm deben ser ampliados a 7
cm.
Algunas estrategias utilizadas para responder a la primera pregunta no son válidas.
El dialogo permite comprender los errores y las trabas, y superarlos.
La profesora prepara otros dos diálogos, uno sobre ecuaciones de la recta, y otro sobre el alineamiento. 7
6 http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/3_Proporcionalidad.pdf
7 “MATEMÁTICA DINÁMICA” Annie Berté. AZ Editora.

6
Diálogo Matemático:
Anne toma una foto de un librito con muchas tarjetas postales y dice:
Anne: aquí tenemos una pequeña foto en un rectángulo de 4 cm X 2 cm. Quiero ampliarla de manera que el largo
que es de 4 cm, se convierta en 7 cm, ¿Cuál será entonces el ancho de la nueva foto?
Cada alumno escribe la respuesta en un papel, dando también una explicación escrita de la misma.
Respuesta de Sophie: Para agrandarla, sumo 3 cm a 4 cm; también debo sumar 3 cm a 2 cm.
el nuevo ancho es: 2 + 3 = 5.
Respuesta de Alice: ¡No sé hacerlo! ¡Es imposible!
Anne le dice en voz baja: Y si pasáramos de 4 cm a 8 cm, ¿sabrías hacerlo?
Respuesta de Alice: Si duplicaos todo, tenemos 4 × 2 = 8 y 2 × 2 = 4. Pero queremos 7 y no 8. Por lo tonta 7 =
8 − 1; le voy a sacar 1 al ancho y tengo: 4 − 1 = 3.
Respuesta de Bouba: Es evidente, porque 4 es la mitad de 8; el ancho debe ser
7
2
= 3,5 푐푚.
Respuesta de Chloé: Voy a hacer el producto en cruz:
4 푥
7 2
, entonces 4 × 2 = 7 × 푥, 푥 =
4×2
7
=
8
7
= 1,1 푐푚.
Dudando, tacha y escribe:
2 4
7 푥
, entonces 푥 =
7×4
2
=
8
7
= 14 푐푚.
Se pone nerviosa, tacha todo y vuelve a escribir:
4 푥
7 2
, entonces 7× 2 = 4푥, entonces 푥 =
2×7
4
=
14
4
= 3,5 푐푚.
Dice: Creo que es así, porque hay que poner enfrente, lo que se corresponde, pero no sé realmente cuál es la razón…
Sophie después de haber escuchado la respuesta de Bouba: ¡Ah! ¡Ahora entiendo por qué está mal lo que hice! En
la foto de 4 cm x 2 cm, es como si hubiera dos cuadrados de 2 cm de lado, yuxtapuestos:
Como mi ampliación, no me resultan dos cuadrados, está completamente deformado porque es demasiado ancho
en relación al largo. Hay que sumarle menos al ancho.
Bouba: Por supuesto, porque el ancho es la mitad del largo. Tenés que agregar solo la mitad.
Sophie: ¡De acuerdo! Si sumo
3
2
= 1,5 푐푚; tengo 2 + 1,5 = 3,5 푐푚.
Alice: ¿Por qué yo tengo 3 entonces?
Sophie: ¡Es la misma idea!, 8 × 2 es una buena ampliación, pero si después le sacas 1 a 8, hay que sacar la mitad de
1 a 4.
Alice: ¡Ah! ¡De acuerdo! Entonces: 4 – 0,5 = 3,5cm.
Anne: ¡Bueno! Supongamos que nuestra primera foto mide 5cm x 2cm. La ampliamos de 5cm x 7cm. Es el mismo
problema ¿Cuál es el ancho de la foto ampliada? 8

7
Sophie y Alice y Bouba no saben que decir. Chloé vuelve a emplear su método, esta vez sin equivocarse.
5 7
2×7
14
, entonces 5푥 = 2 × 7, entonces 푥 =
=
= 2,8 푐푚.
2 푥
5
5
Bouba: Claro… podría ser… pero Chloé hace eso sin saber porque lo hace, y a mí me gustaría entender…
Sophie: A mí me gustaría saber por qué ahora, agregamos 0,8 cm a 2 cm para ampliar.
Bouba: A ver, para pasar de 4 cm a 7 cm, agregamos 3 cm; por lo tanto a cada centímetro le agregamos
3
4
de
centímetro, o sea 0,75 cm.
Entonces, para 2 cm agregamos: 2 ×
3
4
= 2 × 0,75 = 1,5 푐푚.
¡Está bien! Voy a hacer lo mismo para la otra:
Para pasar de 5 cm a 7 cm, agrego de 2 cm. Si por cada centímetro debo agregar
2
5
de centímetros, a 2 cm tengo que
agregarle:
2 ×
2
5
=
4
5
= 0,8 푐푚. Y tengo: 2 + 0,8 = 2,8 푐푚.
Alice: ¡Que complicado es el método de Bouba! Anne me dijo que sabíamos lo que había que hacer para pasar de 4
cm a 8 cm, quiere decir que hay que multiplicar el 4 por algo. Para pasar de 4 a 8 multiplicamos por 2… y entonces,
para pasar de 4 cm a 7 cm, ¿Por cuánto multiplicamos? Y para pasar de 5 cm a 7 cm, multiplicamos, ¿Por cuánto?.
Chloé: ¡Claro! ¡Entendí todo! Para ampliar la foto de 4 x 2, agrego
3
4
de la dimensión, a cada dimensión a resulta:
푎 +
3
4
푎 =
7
4
푎, donde cada dimensión queda multiplicada por
7
4
.
Para la foto, a cada dimensión, se le agrega
2
5
de ella; para pasar de 5 a 7, multiplicamos por:
1 +
2
5
=
7
5
= 1,4 푦 2 × 1,4 = 2,8.
Los planteos que yo hacía, eran justamente eso:
Cuando yo hacia
2×7
4
resulta lo mismo que 2 ×
7
4
y
2×7
5
, lo mismo que 2 ×
7
5
Bouba: ¡Sí! Hubiéramos podido hacer los planteos en sentido contrario, como yo hice al principio:
y
2×7
4
=
2
4
× 7 = 3,5 del mismo modo
2×7
4
=
2×7
5
× 7.
Chloé: ¡Que caradura! No hiciste ningún planteo, y hasta dijiste que yo no entendía con mis planteos.
Bouba: ¡Pero Sí!¡El primero, como dividíamos por dos, era fácil! Lo hice mentalmente…
Por otra parte, lamento si cambiaste de opinión. Te cuento del producto en cruz, ¡no es la multiplicación de
2×7
4
en el
primer problema, ni de
2×7
5
en el segundo! Creo que es otra cosa… 9

8
Anne: ¡Sí! Bouba tiene razón. El razonamiento que Chloé utilizaba con su “receta” de productos en cruz es así: los
rectángulos son proporcionales y las razones de las dimensiones son iguales.
Para el primer problema:
4
7
=
, multiplico los dos miembros de la ecuación por 2푥.
2
푥
4푥 = 7 × 2 y 푥 =
7×2
4
.
Utilizamos las propiedades de la proporción:
푎
푐
=
es equivalente a 푎푑 = 푏푐.
푏
푑
Bouba: ¡Ah! ¡Sí! ¡Hubiera sido mejor trabajar sobre la ecuación en lugar de usar los productos en cruz!
4
7
7
7
=
, entonces 2 =
, y multiplicando por 푥, 2푥 = 7 de esto resulta 푥 =
.
2
푥
푥
2
Cuando entendemos lo que queremos hacer, enseguida tenemos fácilmente el resultado. En definitiva, esos
productos en cruz, no sirven para nada.
Anne: ¡No se peleen, lo importante es que hayan comprendido!
Podemos dibujar los rectángulos de la foto así:
OHAK es la foto pequeña de 4x2.
OMBN es la foto que está bien ampliada.
OMCP es la foto que está mal ampliada, como Sophie dijo al principio.
Miren lo que pasa:
Sophie: ¡Sí! Está bien ampliada, los puntos están alineados, como O, A, B.
Si está mal ampliada, los puntos no están alineados, como O, A, C.
Anne: Está alineado cuando la inclinación es la misma. Cuando la recta “sube ”, llamamos “pendiente” a la razón.
̅퐴̅퐻̅̅
̅푂̅̅퐻̅̅
Que es igual a la razón
̅퐴̅̅퐻̅
̅푂̅̅퐻̅̅ .
La pendiente es la tangente del ángulo 휃 que forma la recta con la horizontal O푥.
Bouba: La pendiente en una ruta… ¿es lo mismo? Si veo un cartel que dice: “pendiente del 1%...”.
Anne: ¡En absoluto! Para los ingenieros, la pendiente no es la tangente del ángulo, sino el seno.
Es
̅퐴̅퐻̅̅
̅푂̅̅퐴̅
, es decir, la diferencia de altura ̅퐴̅̅퐻̅, en relación con la distancia recorrida ̅푂̅̅퐴̅. Por supuesto, para los ángulos
pequeños, es más reducida.
Chloé: ¡Ya entiendo! Para las fotos, la pendiente de (푂̅̅퐴̅̅) →
2
4
= 0,5 y la de (푂̅̅퐵̅̅) →
3,5
7
= 0,5.
Es por eso que los puntos están alineados, porque está “inclinad o de la misma manera”. 10

9
Anne: ¡Sí!, y lo que sumamos para ampliar el rectángulo, es decir 3 y 1,5, deben estar en la misma relación.
Pendiente de (̅퐴̅̅퐵̅) 1,5
3
= 1
2
Pendiente de (̅퐴̅̅퐶̅) 3
3
= 1.
En matemática se representa así:
푥 푦
4
2
Δ푥 = 3 Δ푦 = 1,5
7 3,5
Sophie: Voy a resumir ara mí lo que acaban de decir:
2
4
No es igual a
2+3
4+3
=
5
7
Cuando escribimos
2+3
4+3
, no podemos “simplificar” por 3. Esta mal tachar el 3.
Anne: ¡Muy bien, chicos! Para no tachar el 3, basta con recordar la foto ampliada.
Bouba: En este momento, hay otra cosa que me preocupa. Me parece que en las cosas de fotografía, los formatos
estándares de las fotos son: 13x18 ó 18x24. ¿Está bien ampliado de esta manera?
Los demás se miran desorientados.
Alice: ¡No es así! Los formatos son 13x17 y 18x24.
Chloé que no escuchó a Alice: ¡Bueno! Habría que ver ahora que habíamos estudiado. Para pasar de 13 a 18,
multiplico por
18
13
; entonces
18푥18
13
“debería ser” 24.
Bouba: No parece demasiado proporcional esa cuenta.
18
3
3
=
y 18 ×
= 13,5 y no 13.
24
4
4
Falta medio centímetro; el formato tendría que ser: 13,5 por 18.
Alice: A lo mejor con 17 está bien.
Chloé: finalmente dudamos sobre el largo de la foto pequeña.
Escriben…
13 18
푥 24
No se termina nunca, pero estamos más cerca de 17 que de 18…
Alice: ¡Y terminemos!
Anne: Los Formatos de ampliación de las fotos son bastantes variables, y las dimensiones de las fotos ampliadas no
son exactamente proporcionales a las fotos iniciales. Es así, porque al ampliar la foto, el fotógrafo encuadra la foto.
Cambia los márgenes, por lo tanto hay variaciones en los bordes. La proporcionalidad exacta de las dimensiones no
es el objetivo del fotógrafo.
Alice: Pero si cortamos un rectangulito en el medio de la foto y miramos solo la ampliación de ese rectangulito, es
exactamente proporcional.
Anne: ¡Sí! Por otra parte es lo que hice con la foto pequeña y su ampliación, las dos figuras que les mostré al
principio.
Bouba: ¡Bueno, ya aprendimos algo!11
푥 =
13 × 24
18
=
13 × 4
3
=
53
3
푥 = 17,3 …
Δy
Δx
=
1,5
3
=
1
2
= Pendiente de la recta.

1
0
BIBLIOGRAFÍA
 “MATEMÁTICA DINÁMICA” Annie Berté. AZ Editora.
 http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/3_Proporcionalidad.pdf
 https ://www.google.com.ar/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&ved=0CD8QFjAE&url=https%3A%2F%2Fuvadoc.uva.es%
2Fbi tstream%2F10324%2F1118%2F1%2FTESIS196-120828.pdf&ei=f68VVJ6KDcq4ogTCp4D4Bg&usg=AFQjCNF-RRxRASE6jtJc6-
QPJJjrDsZJVA
 http://www.uaeh.edu.mx/investigacion/icbi/LI_EpistCogniIdeasGerm/alberto_acosta/ArticHistEpisLinealidadHPMfeb2008.pdf

Analisis segun M.Artigue de como dar proporciones

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (18)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Analisis segun M.Artigue de como dar proporciones

Similar a Analisis segun M.Artigue de como dar proporciones (20)

Último

Último (20)

Analisis segun M.Artigue de como dar proporciones