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Estrategias PAEV.

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PROBLEMAS DE PAEV.

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Estrategias PAEV.

  1. 1. - ¿Cómo empezar a trabajar los PAEV aditivos? - ¿Hay casos más complejos que otros o dependen de las cantidades que se usen? Revisemos algunos PAEV para determinar su mayor o menor complejidad para los estudiantes. Luis tiene 6 camioncitos y José 8 trompos. ¿Cuántos juguetes tienen los Tipo de PAEV (información para el/la docente) Combinación 1 (conocemos las partes, preguntamos por el todo) Acción a realizar (respuesta que debe brindar el estudiante) Juntar, unir, reunir ¿Qué estrategias puede usar el estudiante?3 • Usar materiales concretos que representen los dos tipos de juguetes. Empezar a contar los trompos (mayor cantidad) y luego realizar el conteo de los camiones (menor cantidad). • Marcar en una hoja palitos o puntos por cada trompo hasta llegar a 8 y seguir haciendo marcas y contando a continuación del 8 hasta completar los 6 camiones. • Empezar el conteo en 8 (cantidad mayor) y contar seguido hasta que sean seis más por los camiones (cantidad menor). • Sumar 8 + 6. dos juntos? José, yo tengo 6 camioncitos. Si los juntamos ¿cuántos juguetes habrá en total? Yo tengo 8 trompos.
  2. 2. 1 Gráficamente se vería así 14 juguetes 8 trompos 6 camiones De acuerdo a lo revisado, hemos descrito en progresión las estrategias que podría utilizar el estudiante. Lo más probable es que si trabajas en segundo grado en estos momentos tus estudiantes ya hayan progresado en el uso de estrategias para la adición, y si aún no muestran progresos es porque necesitan mayor práctica de las estrategias previas (material concreto y recuento). Veamos otro caso y completemos la tabla: Carmen infló 28 globos para una fiesta. Minutos antes de empezar la Docente, ¿qué tipo de PAEV es? Cambio 2 Acción a realizar (propicia esta respuesta en tus estudiantes) Quitar, reducir.
  3. 3. 2 ¿Qué estrategias puede usar el estudiante? • Usar material concreto (estructurado o no estructurado) que represente los 28 globos y quitar el material que represente los globos que se revientan. Contar los que quedan o contar retrocediendo hasta llegar a 21. Responder el problema. • Representar gráficamente los 28 globos (como globos, círculos o puntos) y tachar los globos que se reventaron; finalmente, contar los que quedaron sin tachar, y responder. • Plantear una operación de sustracción (28 – 7) para responder finalmente. Gráficamente se vería así Los casos de combinación 1, cambio 1 y cambio 2 son las estructuras que resultan más sencillas de comprender y resolver para los estudiantes, pues presentan el valor incógnito como resultado final del proceso. Diversas investigaciones corroboran este hecho. Sigamos analizando el grado de complejidad de los PAEV aditivos. Veamos los siguientes casos: Juan tenía 13 figuritas. Su hermano le regaló algunas más, y ahora tiene 34. ¿Cuántas figuritas le regaló su hermano? En el aula hay 27 estudiantes. Doce son niñas. Figura 1 Figura 2 Completemos la tabla: ¿Cuántos niños hay?
  4. 4. 3 Problema Fig. 1 Fig. 2 Docente, ¿qué tipo de PAEV es? Cambio 4 Combinación 2 Acción a realizar (propicia esta respuesta en tus estudiantes) Agregar Separar ¿Qué estrategias puede usar el estudiante? • Simular la situación descrita mediante el uso de material concreto (chapas, papel, etc.) para representar las figuras. • Representar con puntos las 13 cartas y agregar palitos de 5 en 5 hasta completar 34 en total. Contar los agregados y responder. • Plantear la operación: 34 – 13 = 21 • Usar material concreto para representar a los estudiantes e ir descontando de los 27 a las 12 niñas. • Graficar las 12 niñas e ir aumentando con grá- ficos a los niños hasta llegar a 27; luego, contar los gráficos de niños (15) y responder el problema. Gráficamente se vería así: Cambio 4 Gráficamente se vería así: Combinación 2 21 figuritas 1 5 niños
  5. 5. 4 Si se sigue la secuencia de hechos, veremos que el valor incógnito ya no es el final o el total. Este hecho significa para el estudiante un mayor grado de análisis de la situación; por ello, los PAEV aditivos de combinación 2, cambio 3 y cambio 4 son más complejos que los casos precedentes. De igual complejidad para los estudiantes resultan los siguientes casos: Observa el cartel y responde: ¿Cuántos metros más que el molle mide el eucalipto? Docente, ¿qué tipo de PAEV es? Comparación 1 Acción a realizar (propicia esta respuesta en tus estudiantes) Comparar para establecer diferencia. ¿Qué estrategias puede usar el estudiante? • Usar las regletas de Cuisenaire para representar el eucalipto y el molle y contar las unidades que diferencian ambas regletas. • Graficar en su cuaderno líneas o barras que representen la medida de cada árbol (asumiendo una cuadrícula como 1 m) y establecer las cuadrículas que diferencian ambas medidas. • Plantear una sustracción de 10 – 8 = 2. Responder que el eucalipto mide 2 metros más que el molle.
  6. 6. 5 Gráficamente se vería así 10 8 2 Ana tiene 11 fichas y Mariela tiene 6. ¿Cuántas fichas más tiene que ganar Mariela para tener tantas como Ana? Docente, ¿qué tipo de PAEV es? Igualación 1 Acción a realizar (propicia esta respuesta en tus estudiantes) Comparar para igualar. ¿Qué estrategias puede usar el estudiante? • Comparar uno a uno dos filas de botones en representación de las fichas de Ana y de Mariela. Completar con botones uno a uno la fila de Mariela hasta que sea de igual número que la de Ana. Contar los botones que agregó y responder. • Proponer la siguiente operación: 11 – 6 = 5. Responder que Mariela tiene que ganar 5 fichas para tener tantas como Ana. Gráficamente, la primera estrategia se vería de la siguiente manera:
  7. 7. 6 Como hemos visto, los casos de comparación e igualación 1 y 2 son tan complejos para los estudiantes como los casos de combinación 2, cambio 3 y 4. Es preciso mencionar que este orden de complejidad se cumple si los PAEV aditivos se presentan en su formato simple, es decir, casos que se pueden resolver en una sola etapa. Esta gradualidad de la complejidad de los PAEV varía si presentamos problemas de dos o más etapas o si se requiere usar más de una estructura de PAEV en un mismo problema. Recordemos, también, que usar cantidades grandes con estudiantes que aún no consolidan la formalización operativa de adición y sustracción, o incluso la noción de orden del sistema de numeración decimal, puede de por sí ser un obstáculo para su buen desempeño aun en las estructuras simples de los PAEV. Revisemos el caso de Rosa, quien debe planchar las 64 sábanas del hotel en el que trabaja. El lunes planchó 26 sábanas. ¿Cuántas le quedan por planchar el martes? Es muy probable que si realizas esta pregunta a tus estudiantes, ellos, al estar familiarizados con la estructura, te digan que deben quitar las 26 sábanas al total de 64 sábanas, con lo que resulta que para el martes tendrá 38 sábanas por planchar. Hasta aquí, este sería un PAEV aditivo de una etapa, pero veamos el problema formulado de la siguiente manera: Rosa debe planchar las 64 sábanas del hotel en el que trabaja. El lunes planchó 26 sábanas. El martes llegaron 8 sábanas más para planchar. Ese día no pudo planchar. ¿Cuántas sábanas tendrá por planchar el miércoles? Para responder la pregunta que se formula, debemos, primero, descontar el número de sábanas que plancha el lunes (26) y agregar a esa diferencia (38) el Entonces, ¿qué casos son los más complejos de todo el grupo de PAEV ? Los problemas de comparación 3 y 4 Los problemas de cambio 5 y 6 Los problemas de comparación e igualación 5 y 6
  8. 8. 7 número de sábanas que llega el martes (8). Con ello, obtendríamos como respuesta que para el miércoles Rosa tendrá 46 sábanas por planchar. Este problema requirió de dos pasos u operaciones para dar con la respuesta. En casos como este, decimos que estamos ante un PAEV aditivo de dos etapas. Veamos otro caso: Docente, ¿qué tipo de PAEV es? Combinación 1 y comparación 1 Cambio 2 (dos veces) Acción a realizar (propicia esta respuesta en tus estudiantes) Juntar, comparar Quitar, separar ¿Qué estrategias puede usar el estudiante? • Coger 13 cuentas (1.er día) y agregarle 17 más (2.° día). Luego, en el grupo de 50 cuentas, separar 30 (total de páginas leídas). • Esta misma secuencia a nivel operativo: 13 + 17 = 30; 50 – 30 = 20. • Coger 50 cuentas o frijoles y retirar 13 (por el 1. er día) y luego 17 (por el 2.° día). • Esta misma secuencia a nivel operativo: 50 – 13 = 37; 37 – 17 = 20 Fernando está leyendo un libro de 50 páginas. El primer día leyó 13 páginas y el segundo día leyó 17 páginas. ¿Cuántas páginas le faltan leer para terminar el libro?
  9. 9. 8 Gráficamentese vería así Descompone para quitar 13, le quedan: Ahora quita 17 (vuelve a descomponer) y le quedan: Hemos concluido con la presentación de los distintos casos de PAEV que puedes trabajar con tus estudiantes. En el siguiente punto, nos centraremos en el estudio de las estrategias que puedes emplear para orientarlos y, principalmente, en aquellas que podrían usar con más frecuencia. Esto te ayudará a responder preguntas como las siguientes: - ¿Qué estrategias metodológicas debo seguir para ayudar a mis estudiantes a resolver PAEV aditivos? - ¿Qué estrategias puede usar el estudiante? - ¿Cuál es la mejor estrategia para resolver PAEV aditivos? Antes de compartir estrategias que podrías usar en el aula con los estudiantes, queremos que ingreses al siguiente enlace: http://rpmatematicasegundoprim.blogspot. pe/2012/01/los-problemas-aritmeticos elementales.html
  10. 10. 9 Según el enfoque de matemática propuesto en Rutas del Aprendizaje y en el nuevo Diseño Curricular, se apuesta por trabajar en el área de Matemática con el Enfoque Centrado en la Resolución de Problemas. Este enfoque permite al estudiante aprender las nociones matemáticas a partir de situaciones que lo problematizan y hacen necesario en él o en ella el aprendizaje de la noción que deseamos que adquieran. En Rutas del Aprendizaje se propone que ante todo problema desarrollemos las siguientes etapas con los estudiantes: comprensión del problema, diseño o adaptación de una estrategia, ejecución de la estrategia y reflexión sobre el proceso de resolución del problema. Veamos cómo seguir estos pasos en el aula mediante el siguiente problema: Observa el cartel y responde: ¿Cuántas gallinas menos que patos hay en la granja? Esta fase es la más importante de todas, pues si el estudiante no logra comprender cuál es la dificultad planteada, qué datos son relevantes para la solución y qué relación existe entre los datos mostrados, no será capazde proponer una estrategia válida. Se sugiere empezar con preguntas como estas: ¿Puedes contarme de qué trata el problema sin leerlo exactamente?; ¿existen datos que no serán necesarios usar en el problema?, ¿por qué?; ¿en qué animales 1. Comprensión del problema Cantidad de animales 1 0 gallina conejo pato cuy 2 3 4 5 6 7 8 Animales Animales de la granja
  11. 11. 10 debemos fijarnos para responder la pregunta del problema?, ¿por qué?; ¿qué animal existe en mayorcantidad?; ¿qué animal existe en menorcantidad?; ¿cuántas gallinas hay?; ¿cómo preguntarías lo mismo pero con otras palabras? 2. Diseño o adaptación de una estrategia Esta fase —si se desarrolló adecuadamente la primera— se puede recoger mediante lluvia de ideas y en dicha participación los estudiantes muestran entusiasmo, pues se sentirán con la confianza de saber cómo pueden resolver el problema, ya que habrán comprendido qué se pide y qué deben hacer. No obstante, si escuchamos alguna estrategia que sabemos no sería correcta, es bueno permitir que el propio estudiante descubra por qué no era adecuada y no decirlo nosotros. En este problema podrían surgir (entre otras) las siguientes estrategias: hacer comparaciones con material concreto, usar el modelo de barras para comparar, efectuar una operación aritmética. 3. Ejecución de la estrategia • Comparaciones con material concreto, haciendo correspondencias uno a • Comparaciones con el modelo de barras: 7 patos 5 Gallinas • Plantear una operación aritmética: 7 – 5 = 2 uno: patos 1 2 Gallinas 2
  12. 12. 11 4 . Reflexión sobre el proceso de resolución del problema En esta fase, además de verificar si la respuesta cumple con las condiciones del problema, se debe redactar la respuesta con las unidades correspondientes y revisar el proceso seguido, procurando encontrar (si es posible) una mejor estrategia que la utilizada. En estudiantes de primero a tercer grado, por lo general, la mejor estrategia se identifica cuando comparan sus procedimientos con los de otros(as) compañeros(as). Sin embargo, recordemos siempre que la mejor estrategia será aquella que el estudiante domine y que tenga sentido para él. Veamos otro caso: problema y qué pide, sin que lo lean. Incluso, podemos sugerirles que hagan una representación de los personajes del problema y así puedan explicar lo que han comprendido: un compañero podría representar a Alberto y otro al papá, y explicar la relación entre las dos estaturas. También, se pueden formular preguntas como estas: ¿Qué personajes nos presenta este problema?, ¿son ambos de la misma talla o estatura?, ¿quién es más alto?; por su estatura, ¿qué edad puede tener Alberto? 2 . Diseño o adaptación de una estrategia Comprendido el problema, es decir, las relaciones que existen entre los datos presentados y qué se debe hallar, es
  13. 13. 12 sencillo proponer estrategias como las siguientes: igualación con modelo de barras y material base 10, igualación en la recta numérica, plantear una operación aritmética. Igualación en la recta numérica: 100 115 125 135 145 155 165 175 • Plantear una operación aritmética: 4 . Reflexión sobre el proceso de resolución del problema En esta fase, el estudiante revisa su proceso y verifica que la respuesta cumpla con las condiciones del problema, además, debe redactarla y acompañarla con las unidades correspondientes. Se debe propiciar la socialización de distintas estrategias, a fin de que los estudiantes descubran aquellas que son más óptimas y que comprendan plenamente. 178 1 7 8 – 1 1 5 6 3
  14. 14. 13 Es importante mencionar que los nombres de estas estructuras aditivas no son materia de información para los estudiantes, es decir, no es pertinente indicar que están trabajando problemas de igualación o de cambio, y si son del tipo 2 o 3. Esta clasificación solo es importante para ti como docente, porque es parte del conocimiento didáctico que debes tener. A continuación, proponemos otros casos en los que te orientamos con modelos de estrategias que podrían usar tus estudiantes. 1. Claudia tenía varios lápices. Regaló 3 a su hermano y ahora tiene 14. ¿Cuántos lápices tenía Claudia? Tipo de PAEV Cambio 6 N.° de etapas Una etapa Secuencia de resolución del problema • Comprensión del problema ¿Conocemos la cantidad inicial de lápices de Claudia? ¿Qué hizo Claudia con los lápices que tenía? ¿Antes tenía más o menos de 14 lápices? • Diseño o adaptación de la estrategia Empezar por el final. • Ejecución de la estrategia Representa los 14 lápices (con material concreto, los dibuja o escribe en cifras) y agrega los 3 lápices que Claudia regaló a su hermano; luego, cuenta el total (si trabajo con material concreto o gráfico) o suma si trabajó con adición. • Reflexión sobre el proceso de solución Revisa su procedimiento y confirma su respuesta: Claudia tenía 17 lápices. Explica su procedimiento a la clase y escucha el de otros(as) compañeros(as). Responde si de las estrategias de sus compañeros(as) hay alguna que le parezca mejor que la que usó. Esquema de la estrategia de empezar por el final, con cubinúmeros:
  15. 15. 14 2. En un establo hay 34 animales, entre gallinas, vacas y cerdos. Si son 15 gallinas y 8 vacas, ¿cuántos cerdos hay? Tipo de PAEV Combinación 2 N.° de etapas Dos etapas Secuencia de resolución del problema • Comprensión del problema ¿Qué tipos de animales hay en el establo? ¿La cantidad de qué animales se conoce? ¿Importa para la solución del problema saber si son más cerdos que gallinas o que vacas? ¿Por qué? • Búsqueda de la estrategia Operaciones aritméticas • Selección de la estrategia Forma a: 15 + 8 = 23; 34 – 23 = 11 Forma b: 34 – 15 = 19; 19 – 8 = 11 Forma c: 34 – (15 + 8) = 34 – 23 = 11 • Visión retrospectiva Redacta su respuesta indicando que hay 11 cerdos en el establo y comprueba que la suma de los tres tipos de animales da 34. Se socializan las tres formas operativas y expresa sus dudas con preguntas en cada caso; quizá opta por la forma c4. Los seres humanos han desarrollado tres sistemas paralelos para procesar la información y para representarla: uno, por medio de la manipulación y de la acción; otro, por medio de la organización perceptual y el manejo de imágenes; y otro, por medio del aparato simbólico. ( Bruner, 1966, p. 28). En esa mismalínea, en las rutas de aprendizaje se expresa lo siguiente: “Las ideas matemáticas adquieren
  16. 16. 15 significado cuando se usan diferentes representaciones y se es capaz de transitar de una representación a otra, de tal forma que se comprende la idea matemática y la función que cumple en diferentes situaciones” (Rutas del aprendizaje 2015: III ciclo, IV ciclo y V ciclo, pág.26). 4 Esta selección dependerá del grado del estudiante (usualmente, 5.° grado o más) y del dominio operativo que posea. Por consiguiente, se debe plantear al estudiante actividades que se inicien con la manipulación y la acción; luego, pasar a las actividades de percepción visual, de graficar; y, finalmente, actividades que lleven a la formulación de operaciones simbólicas. Para el aprendizaje de cada nueva noción matemática, se debe respetar esta secuencia de actividades. Determinar el tiempo que estas deben durar dependerá del desarrollo de los estudiantes. Lo cierto es que la evidencia sostiene que cuanto más se tenga la posibilidad de experimentar y manipular, más rápido se irá transitando de un estadio a otro, pues en la experimentación de un problema se empieza a construir la noción matemática. En esta línea, Castro (1995) refiere los siguientes resultados en los estudios sobre dificultades en la iniciación de la resolución de problemas aditivos: • Para los primeros grados es indispensable presentar los problemas con materiales concretos (estructurados o no estructurados) o mediante dibujos. Recordemos que se encuentran en una fase predominantemente concreta de su aprendizaje. • La extensión del enunciado o la complejidad de su redacción, así como la posición de la pregunta, son variables que explican la dificultad del problema para el estudiante. Se sugieren redacciones cortas de sujeto y predicado, evitando los condicionales en los primeros años de primaria. • El tamaño de los números y la presencia de simbología formal incrementa la dificultad del problema, pues son lenguajes que aún están en construcción para el estudiante.
  17. 17. 16 • La relación entre el orden de aparición de los datos en el enunciado y el orden en que deben ser colocados a la hora de realizar con ellos una operación formal son también un factor de dificultad. Es decir, los estudiantes tienden a operar con los datos en el orden en el que son presentados, lo que además comunica que no hay una comprensión del problema. Pongamos en práctica los criterios revisados y analicemos las actividades que se proponen en el siguiente texto de 4.° grado de primaria. • ¿Qué estructuras aditivas de los PAEV se presentan? - En ambos casos se trata de problemas aditivos de combinación 1. • ¿Cuántas etapas tiene cada actividad? - Ambos problemas son de una etapa, pues aunque en el segundo caso haya tres sumandos, todo puede resolverse con un mismo proceso operativo: la adición. • ¿Dónde consideras que está la complejidad de estas actividades para el estudiante? - Las estructuras que abordan son las más sencillas según lo que reportan las investigaciones. La dificultad no es de los problemas en sí, sino de las cantidades que se deben sumar (son cantidades de varios dígitos). 4. Resuelve las siguientes situaciones. a. De 816Brasil se han importado 734 vacunas contra la Fiebre Amarilla y 184 736 vacunas de Hepatitis B de Estados Unidos. ¿ de estasCuántas vacunas se han importado ? b. Una empresa casta al año S/. 323 670 en pagar salarios. S/. 178 200 en pago de servicios y S/. 250 090 en mantenimiento de la maquinaria. ¿Cuánto gasta en total ?
  18. 18. 17 • ¿Te parecen actividades apropiadas para 4° grado? ¿Por qué? - Considerando que trabajan las estructuras aditivas más simples de comprender y que solo se agrega dificultad por el tamaño de los números que plantean, no son actividades demandantes para estudiantes de 4° grado de primaria, pues no apelan a la comprensión de la estructura aditiva, sino a desarrollar un algoritmo con números grandes. Este tipo de problemas se consideran de baja demanda cognitiva. Analicemos una actividad más, también de un texto de 4.° grado de primaria: • ¿Qué estructuras aditivas de los PAEV se presentan? - Actividad a: Comparación 3 - Actividad b: Comparación 3 - Actividad c: Comparación 4 - Actividad d: Comparación 3 3. Completa los esquemas y resuelve. a. Paola tiene años.24 Ella tiene 13 años más que Hilda. ¿Cuántos años tiene Hilda? a. Renzo tiene años y45 es 30 años mayor que su hijo. ¿Cuántos años tiene su hijo? d. Bruno tiene S/. 5 000, que. son S/. 1 000 mas que los que tiene Diego. ¿Cuánto dinero tiene Diego? Hilda tiene años. Tom tiene S/. . Su hijo tiene años. Diego tiene S/. . 11 13 Hilda Paola c. Liz tiene S/. 800. Tom tiene S/. 200 menos que Liz. ¿Cuánto dinero tiene Tom?
  19. 19. 18 • ¿Qué estrategia has estructurado para que sea usada por los estudiantes? - En cada actividad, el estudiante debe usar el modelo de barras como estrategia de solución. • ¿Estas actividades permiten desarrollar las fases de resolución de problemas? ¿Por qué? - Tal como se presenta cada actividad, no da oportunidad para una real comprensión de cada caso, y es más evidente aún que no permite proponer una estrategia de solución al estudiante, pues ya brinda una estructura a seguir. Este es un típico caso en el cual una estrategia no algorítmica, sino heurística, como el modelo de barras, es reducida a un mecanismo, lo que no ayuda a que el estudiante desarrolle su pensamiento matemático ni su capacidad para resolver problemas. • Lo más propicio sería presentar situaciones y problematizarla, como la que muestra el cuaderno de trabajo de cuarto grado: Este es un problema de Igualación 5, el ámbito numérico alcanza hasta las unidades de millar. El cuaderno de trabajo propone: Fiesta del Corpus Christi en Cusco 4 de junio de 2015 Cusco. deun año más en la plaza Armas de Cusco y las personas se fiestacongregaron para celebrar la congregarondel Corpus Christi. Se en la plaza 2 305 personas, pero si se hubieran congregado 1 295 personas más, se habría igualado la cantidad de personas que asistieron el año pasado. ¿Cuántas personas asistieron el año pasado ?
  20. 20. 19 • Antes de la pregunta de los datos, que debe responder el estudiante, es conveniente que ustedes propongan: Que los estudiantes les cuenten la situación descrita sin mencionar ninguna cifra, esto con la intención de destacar que la cantidad que asistió este año es menor a la cantidad que asistió el año pasado, pues se dice que si hubieran asistido una cantidad más de personas, serían tantos como el año anterior. • Si de primera intención no expresan esta relación, intenta con las preguntas: ¿este año asistieron más o menos personas que el año pasado? ¿Cuántas personas asistieron este año? ¿Qué cantidad de personas igualaría los asistentes de este año con los del año pasado? • Luego de esas preguntas, recién podrías pedir que completen lo que solicita el cuaderno de trabajo, pues habrás cumplido con la fase más importante en la solución de problemas: La comprensión. El cuaderno de trabajo sugiere usar el material base 10, con la finalidad de seguir afianzando la construcción del orden en el SND; sin embargo, se sugiere que luego animes a los estudiantes a buscar y usar otra estrategia y socializarlas en clase. Es muy probable que tus estudiantes opten por una estrategia operativa al tratarse de cifras grandes. - ¿Cómo iniciar la noción de división? - ¿Cuándo se inician las tablas de multiplicar? Veamos este problema: a. Comenta, ¿qué datos permiten resolver el problema ? Subráyenlos en la noticia. b. Elaboren un esquema y resuelvan con apoyo del material Base Diez. El año pasado asistieron .
  21. 21. 20 La aproximación que los estudiantes deben realizar a la multiplicación y división siempre debe ir posterior a la construcción de la noción de adición y sustracción, pues estas son la base para la comprensión de las acciones que implica la multiplicación, como “juntar tantas veces, reiterar tantas veces, añadir tantas veces, reunir tantas veces, reiterar, etc.” (Godino, 2004, p. 209), y las acciones propias de la división, como “repartir en partes iguales, hacer grupos iguales, restar reiteradamente, distribuir equitativamente, compartir, fraccionar, trocear, partir, etc.” (Godino, et. al., p. 210). El problema presentado ha sido tomado de uno de los reportes que la UMC (Oficina de Medición de la Calidad de los Aprendizajes) entregó a los docentes luego de la ECE (Evaluación Censal de Estudiantes) de 2.° de primaria. En este grado, si bien los estudiantes trabajan la noción de doble y triple, se espera que la comprendan a partir de sumas reiteradas de la misma cantidad; por ello, este problema podría ser resuelto de la siguiente manera: Con material concreto (por ejemplo, los cubitos del material Base Diez) Gráficamente (por ejemplo, con marcas de seis en seis) Rosario tiene el triple de la cantidad de plumones que hay en una caja ¿Cuántos plumones tiene Rosario ? Tiene 18 plumones
  22. 22. 21 Tiene 18 plumones Operativamente (sumando tres veces 6) 6 + 6 = 12 12 + 6 = 18 Tiene 18 plumones Para llegar a la exitosa solución del problema, previamente, se debe haber trabajado en clase problemas en los cuales se haya tenido que juntar varias veces una misma cantidad. Por ejemplo, se trata de haber propuesto en clases preguntas como estas:
  23. 23. Estas podrían ser algunas de las estrategias usadas por los estudiantes de segundo grado: Otros casos que ayudan a construir la noción multiplicativa, que se inicia en segundo grado de primaria, es de reiterar la misma cantidad varias veces. ¿Cuántos tentáculos habrá entre tres pulpos?
  24. 24. 1 El problema que a continuación se presenta puede ser planteado a estudiantes de segundo grado que evidencian mayor avance, recuerde que es importante Algunos estudiantes de segundo grado podrían desarrollar las siguientes estrategias 1: atender a la diversidad en el aula, veamos: ¿Cuántas patas se contarán si tenemos cinco gatos?
  25. 25. 2 1 Respuestas de estudiantes tomadas de las guías de orientaciones didácticas para la enseñanza de la multiplicación y división en los tres ciclos de la EGB de la Dirección General de Educación Básica de Buenos Aires. En la solución de estos dos últimos ejemplos (problema de los pulpos y de los gatos), un estudiante con estrategias más concretas podría haber usado chapitas o tapitas de plástico para representar las patas del gato o los tentáculos del pulpo, y bolsitas para representar a los animales. Si como docente sugieres esta estrategia a tus estudiantes, recuérdales que deben llenar en cada bolsa 8 tapitas (caso del pulpo) o 4 tapitas (caso del gato); además, podrías preguntarles: ¿Cuántas bolsitas debemos tener? Se espera que respondan que deben tener 3 bolsitas con 8 tapitas de plástico cada una (caso del pulpo) o 5 bolsitas con 4 tapitas de plástico (caso del gato); así, se indica la cantidad de “veces” que deben sumar 8 tentáculos (pulpo) o 4 patas (gato). El procedimiento descrito es una manera concreta e intuitiva de ir trabajando paulatinamente las primeras nociones de la multiplicación. En estos inicios es importante que los estudiantes afronten el problema con sus propios recursos: material concreto, dibujos, conteos, sumas o restas. Es importante que tus estudiantes usen las estrategias utilizando el material concreto o gráficas con facilidad, conviene formular y responder con ellos preguntas como estas: ¿Es necesario realmente dibujar todos los pulpos o todos los gatos? ¿Se puede dibujar solo un animal y contar las patas varias veces (según como señale el problema)? Esta reflexión tiene la finalidad de ayudarlos a darse cuenta de la conveniencia de usar marcas que representen los elementos del problema. Unida a esta opción de usar marcas, conviene dialogar con los estudiantes y hacerles notar la conveniencia de realizarlas ordenadamente, a fin de no confundirse y contar más veces de las necesarias u omitir contar alguna de ellas. Para introducir la noción de mitad o de reparto en tres partes iguales, la dinámica a seguir es similar, solo que en esta ocasión la noción base es la sustracción. Veamos algunos casos que ejemplifican este proceso:
  26. 26. 3 Las posibles estrategias que usarían los estudiantes se muestran a continuación: Con material concreto (por ejemplo, botones que van repartiendo uno a uno en dos filas hasta usar los ocho que tienen) Gráficamente (por ejemplo, con puntos en una tabla, que van colocando uno a uno para cada nieto hasta usar los 8 botones) Nieto 1 Nieto 2 Operativamente (restando varias veces una misma cantidad hasta quedar en cero) Nieto 1: 8 – 2 = 6 4 – 2 = 2 tendrá 4 caramelos
  27. 27. 4 Nieto 2: 6 – 2 = 4 2 – 2 = 0 tendrá 4 caramelos Veamos el siguiente problema que puede ser trabajdo cuando tus estudiantes manifiesten mayor avance: Digamos que entregas en clase a cada estudiante un “album” con cuatro páginas y además les entregas 28 figuritas (o stickers), además les das la consigna de que peguen todas las figuritas en las páginas, cuidando que haya la misma cantidad en cada página. Algunas respuestas1 reales que se obtuvieron de esta actividad se muestran a continuación: Vemos que algunos niños repartieron las 28 figuritas en cada página y llegaron a la conclusión de que si pegaban 7 en cada página no sobraba ninguna. Estos niños y niñas llegaron a esta respuesta porque emplearon el reparto de 1 en 1 o de 2 en 2 hasta agotar las 28 figuritas. En cambio, otros(as) pegaron 6 en cada página y anotaron que les sobraban 4. En casos como este, conviene preguntar a la clase si se pueden seguir repartiendo las figuritas que sobran; esta pregunta motivará a los estudiantes a intervenir hasta que toda la clase concluya que siete figuritas es lo que debe ir en cada página. 1 Dirección general de educación básica de Buenos Aires, op. cit.
  28. 28. 5 Con el trabajo de las nociones de doble, triple, mitad y tercera parte, que se trabajan en segundo grado, se cubren los preámbulos para iniciar en tercer grado el trabajo de que el estudiante comprenda la multiplicación y el producto como cantidad de elementos o medida resultante de grupos de igual número de elementos, transitar por el concepto de campo ordenado (mediante los arreglos rectangulares: filas y columnas), la escritura convencional, la construcción de la tabla como un todo integrado, la construcción de propiedades; reservando la propiedad distributiva y la del cero para cuarto grado. Todos estos aprendizajes deben construirse a partir de la resolución de problemas. Una de las creencias erróneas que aún existe en nuestras escuelas y hogares es considerar que para multiplicar, primero, se debe aprender las tablas de multiplicar “de memoria”. Por ejemplo: si preguntamos a un estudiante cuánto es 6 × 7 y responde inmediatamente 42, esta respuesta no es evidencia contundente de que comprende qué significa ni los procedimientos que debe seguir para obtenerla. Las tablas de multiplicar deben construirse con los niños y las niñas haciendo que ellos brinden explicaciones descriptivas y deductivas, es decir, establezcan relaciones entre los números para comprender el origen de cada producto y, después, solo después, memorizarlo. La memorización es uno de los actos finales del proceso de aprendizaje, lo primero es asegurar la comprensión de la noción multiplicativa y de las acciones que esta conlleva. Las primeras multiplicaciones que se formalizan son las multiplicaciones por 1 y por 10. Luego, se construye la tabla de multiplicar del 2, la cual se ha construido antes con las soluciones de distintos problemas. Después, la tabla del 5, asociándola a la del 10 y a la noción de mitad, y la tabla del 3. Posteriormente, y a partir de la tabla del 2 y apoyándonos en la propiedad conmutativa, se construye la tabla del 4. La tabla del 6 se construye análogamente a partir de la tabla del 3. Se prosigue con las tablas del 8 y del 9, relacionándolas con las del 2 y del 3, respectivamente, y la noción de triple. Las últimas en completarse son las tablas del 7, del 11 y del 12: hacer notar con ayuda de la propiedad conmutativa que ya se saben varios de estos productos. En el siguiente enlace: http://es.wikihow.com/aprender-las- tablas-de-multiplicar podrás encontrar consejos prácticos para ayudar a tus estudiantes en este necesario aprendizaje. Adicionalmente, es muy importante tener en cuenta lo que Castro y Rico3 (1995) nos recomiendan sobre este punto: Se debe dedicar un curso completo a la construcción de la tabla de multiplicar y a su empleo en la resolución de todo tipo de problemas. No debe importar que los datos numéricos sean pequeños, lo realmente importante es la comprensión
  29. 29. 6 de todas las relaciones que pueden expresarse mediante la estructura multiplicativa y la variedad de significados —variables semánticas—con las que dichas relaciones pueden expresarse. Al igual que con la suma y resta, no existen combinaciones más sencillas para el producto, salvo la regla general que aumenta la dificultad conforme aumentan los factores. Por razones obvias, resultan más fáciles de memorizar las tablas de 5 y 10. 3 Cuando mencionan que se debe dedicar todo un curso, se refieren a trabajar la construcción de las tablas de multiplicar a lo largo de un grado. La tabla de multiplicar, una vez construida, se olvida. Por ello al curso siguiente conviene recordarle al niño de nuevo cuáles son los significados más usuales del producto y cómo se construye la tabla. A partir de ahí debe irse exigiendo cierto grado de memorización en el que se combinen la fijación de algunos datos y el uso de la estructura interna de relaciones entre la totalidad de ellos. Carece de todo sentido el exigir una memorización mecánica total de la tabla. El énfasis no hay que ponerlo en la repetición sino en la comprensión. Aun así, conviene que el alumno recuerde el mayor número posible de resultados o al menos sepa cómo obtenerlos. Castro y Rico. 1995. p. 51 - ¿Cuáles son los PAEV multiplicativos? - Qué estrategias deben usar los estudiantes para resolverlos? - ¿Cuáles son las principales dificultades que tienen los estudiantes en estos problemas? Así como vimos en el módulo anterior que existen problemas aditivos que por su estructura semántica dan origen a cuatro clases de PAEV, en los problemas multiplicativos (que incluyen tanto acciones asociadas a multiplicar como a dividir) la estructura semántica del enunciado origina diferentes clases de problemas: los problemas de razón o proporcionalidad, los problemas de comparación multiplicativa y los problemas de combinatoria o producto cartesiano. A efectos de este módulo, nos dedicaremos solo a los problemas que,
  30. 30. 7 según el nuevo Diseño Curricular y demás documentos oficiales2, corresponden abordar en el IV Ciclo de la EBR: los PAEV multiplicativos de razón o proporcionalidad y los de comparación. Problemas de estructura multiplicativa de una etapa: multiplicación o división Para este caso se desarrollarán dos tipos de problemas: 1. Multiplicación-división- razón Son problemas de proporcionalidad directa Multiplicación-razón 1 Multiplicación-razón 2 Multiplicación-razón 3 División participación-razón División cualición o agrupamiento 3 .° grado 2. Problemas de comparación Multiplicación- Comparación en más División-partitiva-comparación en más. División agrupación comparación en más. 3 .° grado 4 .° grado Como sabemos, en los problemas de razón o de proporcionalidad existe esta relación entre dos magnitudes y son problemas en los cuales uno de los términos es 1, es decir, la razón es referida a la unidad. Veamos con ejemplos cómo se presenta esta estructura multiplicativa. 2 Rutas del Aprendizaje (2015), Cuadernos de trabajo (2015) y Mapas de progreso (2015).
  31. 31. 8 Tipo de PAEV multiplicativo (responde el docente) Proporcionalidad - razón uno (hallar el total) Acción implícita ( responde el estudiante ) Reiterar tantas veces la misma cantidad.
  32. 32. 9 Posibles estrategias de solución • Si el estudiante está aún construyendo la noción multiplicativa, lo más seguro es que opte por una estrategia apoyada en material concreto, como formar tres grupos de cuatro y luego contar todo. Rinde 12 vasos 1 vez 4 2 veces 4 3 veces 4 • Si ya está entrando a una fase de representación gráfica, puede hacer grupos de cuatro aspas o dibujar los vasos e indicar que cada grupo es un litro de leche; finalmente, contará todo desde el inicio o irá contando de corrido a medida que avanza con cada grupo. 1.° jarra = 4 vasos 2.° jarra = 8 vasos 3.° jarra = 12 vasos • Si, en cambio, ya tiene la noción de multiplicación construida, es muy probable que opte por una estrategia operativa y plantee una multiplicación de tres por cuatro. 3 × 4 = 12 Rinden 12 vasos Veamos otros ejemplos de cómo se presentan los PAEV multiplicativos de proporcionalidad. En cada caso, las posibles estrategias que presentaremos ilustrarán las distintas fases de construcción de la noción multiplicativa en la que podrían encontrarse los estudiantes, con la finalidad de que identifiques estas características en los tuyos y les brindes el apoyo que necesitan.
  33. 33. 10 Tipo de PAEV multiplicativo ( responde el docente ) Proporcionalidad - división cuotitiva (hallar el número de unidades) Acción implícita (responde el estudiante) Partir, fraccionar Posibles estrategias de solución • Puede optar (o le puedes sugerir) la estrategia de simulación, en la cual él (o ella) será el estudiante que compra cuadernos. Deberá tener varios carteles con el precio (S/ 5) y colocarlos uno junto al otro hasta llegar a los 20 soles gastados. Luego, en cada cartel de precio asignará un cuaderno, contará los cuadernos y responderá que se compraron 4 cuadernos. S/ 5 S/ 5 S/ 5 S/ 5 Un cuaderno cuesta 5 soles. ¿Cuántos cuadernos compró Mario si gastó 20 soles?
  34. 34. 11 • También puede darse el caso monedas de 5 soles, las cuales cuaderno a la vez, para compró 4 cuadernos. • Una estrategia operativa podrí de repartir graficará finalmente 2 a ser dividir 20 20 ÷ 5 = los 20 soles y asociará responder que 3 entre 5. 4 en con un Mario 4 20 5 4 NUEVOS SOLES S/ 20 # cuadernos 1 NUEVOS SOLES NUEVOS SOLES NUEVOS SOLES
  35. 35. 12
  36. 36. 13 Tipo de PAEV multiplicativo (responde el docente) Proporcionalidad - división partitiva (hallar el valor de la unidad) Acción implícita ( responde el estudiante ) Repartir en partes iguales.
  37. 37. 14 Posibles estrategias de solución • Hace el reparto uno a uno entre tres compañeros (que simulan ser los hijos de Carmen), para finalmente responder que a cada hijo (como a cada compañero) le corresponden 8 lápices. • Puede que empiece a dibujar en una tabla de tres columnas (una por cada hijo) cierta cantidad de lápices (5 u otro valor) y, luego, termine de repartir los que aún tiene hasta que todos los hijos tengan 8 lápices. Hijo 1 Hijo 2 Hijo 3 • Sabe que la cantidad a repartir son los 24 lápices (dividendo) y debe repartirla entre tres personas ( divisor), por lo que propone el algoritmo de la división. 24 ÷ 3 = 8
  38. 38. 15 En estos problemas, una señal de que el estudiante no está comprendiendo la noción multiplicativa y, por lo tanto, requiere más trabajo concreto y mayor apoyo a fin de que no se aleje de lo esperado para el grado, es cuando tiende a sumar o restar los valores dados, por ejemplo3: Este tipo de respuestas claramente comunican que los estudiantes no comprenden qué significan los valores en el problema ni de qué trata o qué acción demanda, a diferencia de las variadas estrategias que hemos visto que pueden usar, donde se evidencia que comprenden la estructura multiplicativa pero que están en niveles distintos de concretización de los procedimientos de multiplicación o división. Dentro de estos tres tipos de problemas de proporcionalidad o razón multiplicativa, el primer caso es el más sencillo para los 3 Imágenes tomadas de una investigación de Mary Poveda, para la Fundación Fumigas, p. 2. 1. ¿Cuántos pedazos de 20 metros se pueden cortar de un rollo de piola de 140 metros? 2. Compré 12 dulces, cada uno a S/ 26 ¿Cuántos pague en total ?
  39. 39. 16 estudiantes, pues fácilmente se asocia a una suma iterativa o a la multiplicación directa; mientras que los casos de división cuotitiva o partitiva, si bien tienen algunos elementos de la multiplicación, estos no son los dos factores, por lo que se debe usar el proceso inverso (noción de división). Te recomendamos revisar las páginas 95 a 99 de las Rutas del Aprendizaje (2015) del IV ciclo antes de continuar. Recordemos ahora la segunda estructura multiplicativa que se propone trabajar con los estudiantes del IV Ciclo de primaria: los PAEV multiplicativos de comparación. En esta estructura se utilizan tres tipos de expresiones comparativas, según refiere Castro (1994) en su tesis doctoral: “comparación de superioridad que se forma incluyendo la expresión ‘más... que’; comparación de igualdad que se forma con ‘tanto... como’ o ‘tan... como’, y la comparación de inferioridad que se forma con ‘menos... que’”. (p. 31). Veamos las comparaciones de aumento y disminución en la tabla que el mismo Enrique Ahora, trabajaremos problemas en los que se presentan estas estructuras y cómo los estudiantes pueden afrontarlas. Al igual que en el caso anterior, presentaremos la secuencia de aproximación a la formalidad operativa de la estructura multiplicativa. Castro presenta: Tabla 1.3. Comparación de aumento y de disminución Referente Comparado c = 6 ∙ r (Comparado = 6 x referente ) A2 A1 Referente Comparado c = 6 : r Comparado = referente : 6)( A2 A1
  40. 40. 17 Tipo de PAEV multiplicativo (responde el docente) Comparación - ampliación de la magnitud (hallar la magnitud amplificada) Acción implícita (responde el estudiante) Reiterar tantas veces la misma cantidad. El tanque del edificio A tiene 22 litros de agua y el tanque del edificio B tiene el triple de agua que A. ¿Cuántos litros de agua hay en el tanque del edificio B?
  41. 41. 18 Posibles estrategias de solución • Con el material base 10, formará 22 (tanque del edificio A) y lo reiterará tres veces para formar la cantidad de litros de agua del tanque del edificio B. Luego, reagrupará este total y responderá que en el tanque de B hay 66 litros de agua. • Puede usar la adición reiterada de la misma cantidad para dar la respuesta final. Tanque A: 22 litros Tanque B: 22 litros + 22 litros + 22 litros = 66 litros • Formula una multiplicación de 22 (multiplicando) por 3 ( multiplicador ). En un día de trabajo, el taxista Abel gana 150 soles y el taxista Bruno gana 600. ¿Cuántas veces mayor es la cantidad de dinero que gana Bruno con relación a Abel? Tipo de PAEV multiplicativo (responde el docente) Comparación - división cuotitiva (hallar el factor de comparación) Acción implícita (responde el estudiante) Encajar un número de veces exactas una cantidad en otra. 22 × 3 = 66
  42. 42. 19 Posibles estrategias de solución • Grafica una recta numérica con escala 50 en 50, hasta 600 o más, y cuenta el número de saltos de 150 en 150 que contiene 600. Responde que Bruno gana 4 veces lo que gana Abel. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 • Resta reiteradamente 150 de 600 hasta llegar a cero; luego, cuenta las veces que tuvo que efectuar esa sustracción y responde el problema. 600 – 150 = 450 450 – 150 = 300 300 – 150 = 150 150 – 150 = 0 Bruno gana 4 veces lo que gana Abel. • Formula una división en la que 600 es el dividendo y 150 es el divisor. Concluye que Bruno gana el cuádruple de lo que gana Abel. Alicia tiene 240 puntos en el juego “Saltarines”. Es seis veces el puntaje acumulado por Daniel. ¿Cuántos puntos tiene Daniel? Tipo de PAEV multiplicativo (responde el docente) Comparación - reducción de la magnitud (hallar el valor de la magnitud reducida) Acción implícita (responde el estudiante) Repartir en partes iguales, formar grupos de igual tamaño. 600 150 4 600 ÷ 150 = 4
  43. 43. 20 Posibles estrategias de solución • Arma, con material base diez, seis grupos con una cantidad de puntos (digamos que 20); luego, al ver que sobran puntos, aumenta a cada grupo de 10 en 10 hasta agotar los 240 • Mediante el modelo de barras, compara los puntos de Alicia (barra de seis secciones) con los de Daniel (barra de una sección) y empieza a asignar valores a cada sección hasta decidir que valen 40 puntos, lo que equivale al puntaje de Daniel. Alicia 30 30 30 30 30 30 40 40 40 40 40 40 Daniel Daniel tiene 40 puntos. • Plantea una división entre 240 (magnitud a reducir) y 6 ( factor de comparación ). 240 ÷ 6 = 40 Al igual que en la estructura multiplicativa de proporcionalidad, de estos tres casos de comparación multiplicativa, el primero suele ser el más sencillo para los estudiantes, pues es una aplicación directa de la noción de multiplicación; en los otros dos casos, uno de los factores no es conocido, por lo que se requiere trabajar con estrategias vinculadas a la noción de división. El aprendizaje de la multiplicación y de la división presenta dificultades ya estudiadas por diversos autores. Citaremos a Martínez (1993), quien a su vez es citado por Godino en el texto Didáctica de las Matemáticas para Maestros (2004 , pp. 210-211): a) Vocabulario y conceptos En situaciones de multiplicación, los términos “cada”, “a cada uno”, “para cada uno”, etc., tienen un sentido que, normalmente, no ha sido trabajado por los niños
  44. 44. 21 con anterioridad. Otra dificultad puede ser el empleo de la palabra “producto”. b) Nivel de abstracción En el caso de la multiplicación, el multiplicando es un número que indica la medida de una cantidad de magnitud, es decir, es un estado, mientras que el multiplicador nos dice las veces que se repite la cantidad inicial (es una razón o una comparación). Para calcular el coste de 3 kg de peras a 2 euros el kilo, multiplicamos 3 × 2 = 6 y decimos que el resultado es 6 euros; 3 es la medida de la cantidad de peso de las peras y 2 el precio (medida del valor económico) por unidad de peso, es decir, la razón entre el valor económico y el peso. El resultado también puede ser una cantidad de una naturaleza diferente de los factores (área o volumen; mientras que los factores son longitudes o longitud y área). Todo esto supone un nivel de generalidad o abstracción superior y, por tanto, origen de dificultades en el proceso de estudio. En el caso de la división, debemos tener en cuenta la existencia de dos sentidos bien distintos para esa operación: - según se considere como “resta sucesiva” de una cantidad fija d de otra D y lo que se debe hallar es el número de veces (q) que se puede restar hasta agotar D (la división como agrupamiento) - o bien el sentido de “reparto en partes iguales” de una cantidad D entre un número dado de “sujetos” d, donde lo que se debe hallar es a cuánto tocan (q) (la división como distribución o reparto). c) Dificultades en operaciones La primera dificultad que suele pasar desapercibida es que una simple multiplicación como 123 × 12 es, en realidad, un conjunto variado de multiplicaciones que se escalonan y se combinan de acuerdo con unas reglas específicas. Este proceso queda notablemente oscurecido en el algoritmo habitual al suprimir pasos intermedios, lo que sin duda es una fuente de dificultades y errores. Estas dificultades son mayores incluso en el cálculo de la división donde deben realizarse procesos de tanteo, aparte de aplicar de manera coordinada las operaciones de multiplicación, adición y sustracción. d) Solución de problemas El estudio de la estructura semántica de los problemas multiplicativos y el análisis de los tipos de cantidades que intervienen como factores muestran¬¬ la gran complejidad de este campo conceptual cuyo estudio integral abarca un período bastante dilatado de tiempo. …Parece que resuelven mejor las situaciones multiplicativas de razón que las de comparación (salvo cuando en estas últimas la incógnita está en el primer término de la comparación), resultándoles las de combinación más difíciles de resolver que las otras. Dentro de las situaciones de razón, los problemas de reparto parecen ser más fáciles que los de agrupamiento. Nuestro rol como docentes, ahora que conocemos de manera sistematizada las principales dificultades que significa para los estudiantes afrontar estas estructuras multiplicativas, es apelar siempre a la construcción de la noción paso a paso, priorizando las estrategias de simulación o manipulación de material concreto, de modo que visualicen de qué trata el problema y descubran qué deben hacer. De
  45. 45. 22 esta manera, ellos mismos irán migrando poco a poco a estrategias más gráficas hasta ver la ventaja de las estrategias operativas, especialmente, cuando se trata de cifras grandes. Sin embargo, este es un proceso que no tiene tiempo definido y que debe ser valorado inicialmente en la adecuada selección de la estrategia; posteriormente, con la seguridad que van demostrando los estudiantes, cobra la misma importancia la adecuada solución del problema. En esta estrategia, el estudiante comunica que comprende la situación multiplicativa, aunque está aún en la fase de trabajo aditivo. Convendría hacerlo reflexionar con preguntas como estas: ¿Cuánto es el doble de 8? ¿Cuántas veces usaste el doble de 8 en tu procedimiento? ¿Podrías escribirlo de otra manera? De esta forma, lo podemos aproximar a usar el doble o el triple de un mismo valor, para posteriormente proponerle problemas en los que necesite optimizar su tiempo y recursos, y, así, pueda valerse de la En esta estrategia, se puede apreciar que la noción multiplicativa también está comprendida y el estudiante está un paso adelante en su proceso de formalización respecto del estudiante anterior, pues va duplicando los valores que relaciona hasta dar con la respuesta. Se sugiere ayudar al estudiante a notar el uso de la tabla del 8, pidiéndole que escriba en una tabla de tres columnas el número de botones que va en cada bolsa (primera columna), el número de bolsas Comentemos dos estrategias usadas para resolver el siguiente problema: . Alvaro empacó de a 8 botones en 9 bolsas. ¿Cuántos botones empacó?2 Álvaro empacó, de 8 en 8, botones en 9 bolsas. ¿Cuántos botones empacó?
  46. 46. 23 (segunda columna) y el total de botones en la tercera columna. Así, lo ayudamos a construir la tabla del 8 y a hacerlo consciente de Este estudiante, a pesar de no desarrollar el algoritmo de la multiplicación, claramente comunica que asocia la estructura del problema con la expresión operativa de la multiplicación. Quizá su inconveniente sea que no sabe las tablas de multiplicar, sin embargo, como ha trabajado variadas estrategias en sus procesos previos de solución de problemas, encuentra la manera de resolver el producto de 3 × 450. Cuando trabajemos estas estructuras, recordemos que lo que se debe valorar es el proceso mismo de solución del problema: si lo comprendió, si lo asoció a las estructuras correctas, si la estrategia usada es pertinente (aun cuando no sea la más económica en tiempo) y, finalmente, si lo resolvió; si hay fallas en esta última etapa, quizá sea por error de cálculo o falta de organización en el proceso seguido. Recapitulemos lo visto en este módulo compartiendo soluciones dadas por estudiantes al siguiente problema multiplicativo que se propone en el kit de evaluación de salida de 4.° grado: Todos los estudiantes de un colegio de Bagua realizarán un paseo para conocer la fortaleza de Kuélap. Para esto contratarán buses que pueden llevar hasta 40 personas. Si en total, 316 personas irán de paseo, ¿cuántos buses serán necesarios contratar? Estamos ante un problema multiplicativo de proporcionalidad, del tipo de división cuotitiva. Algunas de las posibles estrategias de solución usadas por los
  47. 47. 24 En ambos casos, las soluciones son correctas. Aun cuando en la segunda estrategia no se diga 8 buses, se señala que se debe contar con un bus adicional a los 7 calculados inicialmente. En estos casos se evidencia comprensión de la estructura multiplicativa y uso de la multiplicación y división. En caso de que el estudiante manifieste una respuesta errada, como responder que se necesitan 7 buses, el docente debe ayudarlo sugiriéndole revisar el problema y usar las siguientes estrategias: Cantidad de buses # personas 1 40 ? falta el cociente 316 Con material concreto: base diez y cajita Mackinder cajitas.
  48. 48. 25 Canjeando las centenas a decenas y haciendo el reparto de personas en la cajita Mackinder, tenemos: Luego, se cuentan los buses representados por las cajitas donde caben 40 personas; también, el de 36, pues es válido según la condición del problema. En total, son 8 buses. Por restas sucesivas: 316 – 40 = 276 196 – 40 = 156 276 – 40 = 236 156 – 40 =116 236 – 40 = 196 116 – 40 =76 76 – 40 = 36 Como siete veces se quita 40, el cociente o resultado hasta ahora es 7 buses, sobrando 36 personas, las cuales pueden entrar en otro bus, ya que según la condición del problema pueden entrar en un bus hasta 40 personas. Por lo tanto, la respuesta es 8 buses. Ahora, veamos una actividad propuesta en la página 61 del Cuaderno de trabajo de 4.° grado:
  49. 49. 26 Recordemos que antes de pedir que los estudiantes desarrollen alguna estrategia de solución, debemos asegurarnos de que comprendan el problema. Tal como se sugirió en el módulo anterior, lo mejor es empezar solicitándoles que cuenten de qué trata el problema, sin leerlo, con sus propias palabras, ayudándolos a resaltar las relaciones que se establecen entre las cantidades mencionadas en la situación propuesta. En este caso, se podría preguntar: ¿Cada integrante debe recibir el mismo número de palitos de chupete? ¿Cuántos palitos se deben repartir? ¿Entre cuántos estudiantes se deben repartir los palitos? ¿Qué nos preguntan? Para ayudarlos a ubicar la estrategia (aunque está sugerida ya en el Cuaderno de trabajo), podemos pedir que asocien este caso con otro similar trabajado en clase: ¿Hemos visto algún caso similar en clase? ¿Qué hicimos en ese caso? ¿Resultará esa estrategia en este problema? También es válido sugerir, después de desarrolladas las estrategias planteadas en el Cuaderno, solicitar otras formas de solución y compartir aquellas innovadoras, e incluso las erróneas, para hacer la corrección entre toda la clase. Como recomendación final de este módulo, les compartimos la secuenciación que propone Godino (2004, pp. 209-210) para el trabajo con la multiplicación y el procedimiento operativo de la división: Los 6 integrantes del equipo 1 recibirán palitos de chupete para armar barquitos. Si Manuel les debe repartir 42 palitos equitativamente, ¿cuántos palitos recibirá cada integrante? a. Dibuja los palitor de chupete que recibirá cada estudiante. b. Expresa el reparto con una división. Cada integrante recibirá =
  50. 50. 27 En un principio, las situaciones problemáticas deben resolverse tanto con la suma como con la multiplicación, hasta que el alumno observe que con la multiplicación y más con el uso de las tablas, es más rápido y seguro. Los dos términos de la multiplicación desempeñan funciones diferentes: uno de ellos es la cantidad que se repite (multiplicando). El otro factor nos dice las veces que se repite la cantidad inicial (el multiplicador); se refiere a un “objeto” (número de veces que se repite la acción) de naturaleza diferente que el multiplicando. En cuanto al aprendizaje de las técnicas operatorias, habría que comenzar por el producto de un dígito por un dígito, respetando las fases manipulativas, gráficas ( figurativas), esquemáticas y simbólicas. … El aprendizaje del cálculo de la división requerirá también tener en cuenta las fases manipulativa, gráfica (figurativa) y simbólica, y la siguiente secuenciación: • Una cifra en el dividendo y una en el divisor. • Dos cifras en el dividendo y una en el divisor: ab : c, distinguiendo los casos, a > c, y a < c. Se pueden presentar dificultades cuando exista un cero en el cociente. • Tres o más cifras en el dividendo y dos cifras en el divisor: abc entre d. Los casos en que pueden surgir dificultades son: - Cuando hay que tomar tres cifras en el dividendo. Estrategias para resolver problemas relacionados con fracciones A. ¿Qué conocimientos básicos habrá que tener en cuenta? Las fracciones, históricamente, aparecen asociadas a la necesidad de medir, pero en el lenguaje cotidiano la idea de fracción como “la mitad”, “la cuarta parte”, o “la quinta parte” de un todo se relaciona con el proceso de dividir o repartir. Por ejemplo, para calcular longitudes, usamos como unidad de medida el metro (m); pero la medida de las longitudes de los objetos no miden metros completos, por lo que también es posible y necesario medirlos en centímetros (cm) o milímetros (mm). Para este fin, dividiremos la unidad en partes más pequeñas, lo cual nos lleva a la idea de fracción.
  51. 51. 28 Cuando se parte una unidad en un número entero de partes iguales y se toma un número entero de esas partes, posiblemente mayor que el número de partes contenidas en la unidad, se obtiene una fracción. La fracción 2/5 da cuenta de la partición de una unidad en cinco partes iguales, de las cuales se han tomado dos de esas partes, es decir, dos veces un quinto 2 (1/5) = 2/5, a la que llamamos “dos quintos”. Cuando se parte una unidad por un número de unidades (2, 3, 4...) y tomamos un número de estas partes, se habla de fracción: 2/5, 5/4, 3/10, etc. Cuando se parte una unidad por un número de unidades igual a una potencia de 10 (10, 100, 1000...), la fracción obtenida se llama fracción decimal: 4/10, 54/10, 4/100, 3 /1000… Las fracciones en un inicio están vinculadas a los repartos o particiones físicas de las cuales dan cuenta, pero poco a poco se van desligando cuando se comparan, se ordenan, se ubican en una semirrecta graduada o se opera con ellas. A estos números, que podemos escribir bajo la forma de una fracción, se les llama números racionales4. Por tanto, la fracción es una representación del número racional. La construcción del número racional es un proceso de “largo aliento” cuyas primeras nociones empiezan en el nivel primario y continúan en los siguientes niveles. En general, en el nivel de primaria, se trabaja solo con números racionales que a se pueden representar como el cociente indicado de dos números naturales , b donde b es diferente de cero. Los estudiantes de cuarto grado resuelven problemas relacionados con las particiones de una unidad, las fracciones usuales5 y las equivalencias entre fracciones. B. ¿Cómo construyen los estudiantes el concepto de fracción? En este módulo, las fracciones se incorporan al estudio de los números con nuevas representaciones y nuevos procedimientos que amplían el sentido numérico. La estimación que se realice con algunas unidades del sistema métrico decimal, tales 4 Eduscol.education.fr/ressources-2016-Ministere de l education nationale, de l´enseignement superieur et de la recherche. Mars 2016 5 Con denominadores 2, 4, 8, 3, 6, 5 y 10.
  52. 52. 29 como centímetros, metros, kilogramos, litros, así como la ubicación y visualización en segmentos y formas geométricas, serán experiencias necesarias para facilitar las equivalencias con estas unidades, además de enriquecer los problemas con más elementos del entorno físico y social del estudiante. Si bien se recomienda que debe predominar lo intuitivo y sensorial en estos grados, a la vez, se tiene que representar las relaciones que se establecen y encuentran en estas experiencias con expresiones numéricas, para avanzar en el desarrollo de las capacidades cognitivas de los estudiantes y en el lenguaje matemático.
  53. 53. 30 Algunos de los estudios recientes acerca de las fracciones6, que destacan lo cognitivo, son los estudios de Kieren (1983), quien propone dos tipos de herramientas o mecanismos mentales para la construcción del conocimiento del número fraccionario, unos de desarrollo y otros constructivos. Los de desarrollo están vinculados con la experiencia, se identifican con la conservación del todo y el razonamiento proporcional; los constructivos se relacionan con la partición, la equivalencia cuantitativa y la generación de unidades divisibles. Los significados y sus correspondientes “mecanismos” se encuentran ligados a aplicaciones espe¬cíficas y forman parte de lo que se ha denominado matemática intuitiva. Al respecto, Piaget, Inheler y Szeminska (Dickson y otros; 1991) puntualizan siete subconceptos para comprender las nociones básicas de la fracción. Estos subconceptos o criterios se condicen con los mecanismos de formación (la partición, la equivalencia cuantitativa y la generación de unidades divisibles) y son transversales a todos los significados de la fracción, los cuales son los siguientes: 1. Considerar divisible el “todo” (región o colección), potencialmente compuesto por elementos separables. 2. El mismo “todo” se puede dividir, cortarse o partir en diferente número de partes “iguales” (congruentes) o equivalentes, según se solicite, y podemos elegir el número de partes. 3. La subdivisión debe ser exhaustiva. 4. Centrar la equivalencia de las partes en su tamaño. 5. Distinguir entre número de cortes y número de partes (el número de cortes y el número de partes no son necesariamente iguales). 6. Comprender la relación inversa entre el número de partes equivalentes y el valor de cada parte (a mayor número de partes, menor extensión de las mismas). 7. Admitir la construcción del todo como suma de las partes, es decir, el “todo” se conserva aunque sea dividido en partes. Asimismo, para que los estudiantes construyan el concepto de fracción, es importante que los docentes los ayuden a establecer todas las posibles relaciones entre las propias fracciones, entre estas, las equivalencias, la división, la medida, la proporcionalidad y otras. 6 Perera, P.; Valdemoros M. (abril, 2009). Enseñanza experimental de las fracciones en cuarto grado en Educación Matemática. Scielo. 21(1), pp. 29-61
  54. 54. 31 Muchos de nuestros estudiantes presentan dificultades de comprensión de este importante concepto y ello es debido, según varios autores, a sus diversas concepciones, interpretaciones, acepciones y representaciones. C. ¿Qué estrategias se pueden utilizar para superar dificultades en la construcción de esta noción? Para que nuestros estudiantes puedan aprender de sus errores, veamos cuáles son sus mayores dificultades. Con base en estas, se proponen actividades que se han experimentado en aula o proceden de otros estudios realizados en diferentes contextos. El propósito de esta actividad es que los niños y las niñas establezcan la relación entre la parte y el todo, pues, generalmente, se centran solo en el conteo de las partes. Veamos: Con todos los estudiantes del aula se inicia una exploración de cubrimiento de superficies usando piezas circulares de fracciones. Luego, comienzan a familiarizarse con los colores y relaciones entre estas piezas de colores azules, marrones y amarillas, y el círculo negro que representa el todo o la unidad: Luego, en grupos pequeños de 3 estudiantes o en parejas, los estudiantes continúan esta exploración usando estos materiales circulares: El/la docente formula estas preguntas: - ¿Cuántas piezas azules cubren el círculo negro ? - ¿Cuántas marrones cubren el círculo negro ? - ¿Cuál es más grande: 1 marrón o 1 azul ? - ¿Cuántas piezas azules cubren 1 círculo amarillo ? - ¿Cuál es más grande: 1 marrón o 2 azules ? - ¿Cuántas azules cubren 1 círculo amarillo ? 1. Cubriendo el círculo
  55. 55. 32 Los sectores circulares rosados son octavos del círculo y el gris es un sexto. Los sectores rojos son novenos. 1. marrones son iguales a 1 círculo unidad. 2. 1 círculo es igual a azules. 3. amarillos son iguales a 1 círculo unidad. 4. azules son iguales a 1 amarillo. 5. 1círculo unidad es igual a 1 marrón rojos. 6. 1 marrón es (menor que, igual a, mayor que) 1 rosado. 7. 1 es rojo es (menor que, igual a, mayor que) 1 marrón. 8. 1 amarillo es (menor que, igual a, mayor que) 1 marrón. 9. 1 amarillo y 1 marrón y 1 es igual a 1 círculo unidad. 10. 1 amarillo y 1 marrón es igual a 1 marrón y 2 . 11. 4 rosados y 1 equivalen a 1 círculo conjunto. 12. rosados y 1 azul y 1 amarillo es igual a 1 círculo unidad. 13. 2 rosados y 1 azul son iguales a grises. 14. 1 marrón es igual a rojos. 15. 4 son iguales a 1 amarillo. A cada grupo se le entrega la siguiente lista, para que la complete según la exploración realizada. Cada grupo dispone del material necesario.
  56. 56. 33 El trabajo en los grupos pequeños es pausado y verificado, esto da lugar a discusiones y razonamientos que deben ser compartidos. La sesión se prolonga a una nueva sesión si es necesario. Pueden hacer más anotaciones y nuevas propuestas de cubrimientos de unas partes con otras, de manera que, en ocasiones, la unidad círculo negro ya no sea la unidad, sino una de las partes pase a ser la unidad de otras partes. Cierre de sesión Se puede plantear la siguiente situación como cierre de sesión: La figura de la izquierda representa el círculo que se desea cubrir. A la derecha están las partes de círculo que serán escogidas para cubrir el círculo propuesto. Los estudiantes tienen que determinar qué combinación de partes cubrirán la forma del círculo de la izquierda. Con respecto al material, las piezas seleccionadas no tienen que ser del mismo color. En sesiones siguientes, los estudiantes explorarán las relaciones entre las piezas (partes) del círculo (todo), así como la nomenclatura oral de las fracciones para la unidad: un medio, un tercio, un cuarto, un sexto, un octavo, un noveno. Nótese que 1 pieza gris es un tercio de la pieza amarilla; 1 gris también es un medio de la pieza marrón. Al evaluar, tanto lo que diga Sofía como Nicolás será correcto, una vez que se sepa con qué unidad se está comparando la pieza gris.
  57. 57. 34 Otra manera de evaluar la respuesta a la pregunta del caso es colocando sobre una mesa una pieza de cada color: amarillo, azul, rosa, gris y, luego, plantear lo siguiente: “Aquí tienen todas estas piezas que se llaman ‘un medio’ o ‘una mitad’, pero son de diferentes tamaños. ¿Cómo es esto posible?”. La siguiente alternativa de caso fue propuesta por una docente: “Encuentra tres maneras diferentes de cubrir 1 pieza amarilla. Encuentra tres diferentes formas de cubrir 1 pieza marrón”. Sería muy interesante que pudieran reemplazar el material de los círculos con las regletas de colores4, a fin de que sea más fácil la representación concreta, pictórica, gráfica y simbólica de medios, tercios, cuartos, sextos, quintos, novenos y décimos, como parte de un todo y como fracciones usuales 6 cativas del Minedu. 5 Minedu. (1997). Aprendemos Matemática. Guía y cuaderno de trabajo de 4.° grado, pp. 150 y 152. Minedu. (2015). Cuaderno de trabajo Matemática 4.° grado, p. 83. 6 Minedu. (2015). Cuaderno de trabajo Matemática 4.° grado, p. 83. Una vez realizada la actividad exploratoria con las regletas, se les propone hacer una alfombra usando regletas a partir de una regleta como referencia. Si equivalentes5 . 4 Regletas de Cuisenaire, que forman parte de la dotación de materiales educativos de las instituciones edu que representanRegletas lo que comió Lola. Comí dos pedazos de mi barra. Regleta que representa el chocolate entero. Regletas que representan lo que comió Paco. Regleta que representa el chocolate entero. Lola comió . Paco comió . Comí tres pedazos de mi barra.
  58. 58. 35 Se aclaró a los estudiantes que una alfombra bonita sería aquella que usara solo regletas del mismo color en cada fila. Entonces, ellos determinaron lo En una de las aulas, la docente decidió escribir con acierto las relaciones que encontraron los estudiantes: 8 = 4 × 2 y 2 es 1/4 de 8; ¼ × 8 = 2; 2/4 × 8 = 4 (regleta rosada); ¾ × 8 = 6 (regleta verde oscura) y 4/4 × 8 = 8 - Niña: La naranja equivale a 5 rojas. - Docente (escribe en la pizarra): 5 /4 × 8 = 10 - Niña: No entiendo por qué ¾ × 8 es la regleta verde oscura. - Docente (indica la resolución): Vamos a retomar la alfombra para verificar que la regleta verde oscura recubre exactamente 3 regletas rojas; es decir, ¾ de 8 es 6. También, esta regleta recubre 3/2 de una rosada: 3/2 × 4 = 6. 2. Plegando tiras de papel El propósito de esta actividad es representar diferentes fracciones en una misma unidad, pues los niños y las niñas, generalmente, representan solo una fracción en cada unidad. Veamos: escogemos la marrón: Reconocieron valores de laslos regletas que ya conocían: • La marrón vale 8 y es una regleta. • dos rosadas, una regletaHay es /2 de la marrón.1 • Las regletas son losblancas octavos. • La regleta roja es un cuarto de la regleta marrón. siguiente:
  59. 59. 36 Luego, colorean la mitad de una tira. 1 de 2 partes iguales es azul, es decir, de la tira es azul. Posteriormente, doblan la tira de nuevo por la mitad. ¿Qué partes están coloreadas? 2 de 4 partes iguales son azules: de la tira es azul. Con base en la tira trabajada, la doblan por tercera vez por la mitad. ¿Qué partes están coloreadas? 1 2 4 4 de 8 partes iguales son azules: de la tira son azules. = = 2 4 8 1 2 4 Entonces: , y son fracciones equivalentes. 2 4 8 ¿Cómo son los numeradores de estas fracciones? ¿Y los denominadores? 1 2 4 , y 2 4 8 - Los numeradores van de 1, 2, 4. Es decir, se duplican. - Los denominadores 2, 4, 8. También se duplican. Los estudiantes forman grupos de tres o cuatro integrantes y usan tiras de papel del mismo tamaño. La idea es que encuentren fracciones equivalentes a ¼ y ¾. Los estudiantes reciben varias tiras de papel para doblarlas por la mitad.
  60. 60. 37 En la dotación de los cuadernos de trabajo7 existe una versión de los rectángulos de colores que puede usarse adecuadamente para aprovechar la búsqueda de nuevas fracciones equivalentes. ¿Y qué son fracciones equivalentes? • Ejemplo: Julio dibuja en su cuaderno una figura cuadrangular, como la de la derecha. Según esta situación, responde la siguiente pregunta: - ¿Crees que la fracción que representa la región sombreada en la figura de Julio es ? ¿ Por qué? Julio siguió dibujando e hizo estas dos figuras: 12 4 - ¿La fracción que Julio representó es o ? Justifica tu respuesta. 18 6 Ahora, analiza este nuevo ejemplo: ¿Cómo están divididos los tres rectángulos? El primer rectángulo está dividido en 8 partes iguales y 4 de las partes están coloreadas. La fracción representa la parte coloreada del entero. El segundo rectángulo tiene el mismo tamaño que el primero, pero está dividido en 4 partes iguales. La fracción representa la parte coloreada de la unidad. Como representan la misma parte de la unidad, se escribe: 7 Minedu. (2016). Matemática 4. Cuaderno de trabajo de 4.° grado, p. 129. Recordemos que una misma fracción se puede escribir y representar de múltiples formas.
  61. 61. 38 El tercer rectángulo tiene el mismo tamaño que los otros dos rectángulos, pero está dividido en 2 partes iguales. representa la parte coloreada de la unidad. Aplica el criterio conocido y verifica si la fracción es equivalente a la fracción 4/8. El propósito de esta actividad es que los estudiantes tengan en cuenta que la unidad es toda la colección de flores, conformada por las 12 flores. Esto da lugar a establecer el todo de las flores chicas y el todo de las flores grandes. Los niños y las niñas deben darse cuenta de que el “todo” es una colección porque se trata de cantidades que pueden contar (cantidades discretas) y, como colección, es divisible en un número finito de veces con igual cantidad de elementos. Sin embargo, como unidad, es decir, una persona, un animal o una cosa —en este caso una flor— no es divisible; o sea, no se puede dividir a un niño por la mitad, a un perro en tres partes, una moto en cinco partes o una flor en cuatro partes “iguales”, respectivamente. Veamos el siguiente ejemplo: Nathalia entregó a cada uno de sus estudiantes esta lámina de flores y les pidió que la recortaran para trabajar según sus colores y formas: Ellos, mientras recortaban las figuras, observaron las flores, buscaron similitudes entre ellas y les asignaron nombres, pues en la zona donde vivían había muchas Para verificar si dos fracciones son equivalentes, se multiplica el numerador de una fracción por el denominador de la otra y ambos productos deben ser iguales: conocidoEste criterio muy define la equivalencia de 4/8 y 2/4.4 × 4 = 8 × 2 4 8 2 4 – 3. Flores y colores
  62. 62. 39 flores parecidas a las de las figuras que recortaron. Concluidas estas actividades, Nathalia les hizo estas preguntas: - ¿Cuántas flores hay? ¿Todas las flores son azules? - ¿Es cierto que la mitad de las flores son amarillas? - ¿Qué hay más: flores azules o flores grandes? ¿Por qué? - ¿Será correcto afirmar que un tercio de las flores son azules? ¿Por qué? - ¿Cómo sabremos que los dos girasoles son un sexto de las flores? (Varios estudiantes dijeron que un girasol era un sexto y no dos girasoles). - ¿Puedo partir una flor roja? ¿Cómo lo harían? Como docentes, ¿qué propondrían para ayudar a Nathalia? ¿Trabajarían con las doce flores? ¿Por qué? El propósito de esta actividad es trabajar la conservación del “todo”, a partir de la construcción y reconstrucción de la unidad o el “todo” (en el caso de las naranjas será una cantidad discreta) como suma de las partes, es decir, los estudiantes comprenden que el total se conserva aunque sea dividido en partes. Veamos el siguiente ejemplo: Con el fin de resolver el caso, los estudiantes representan 12 naranjas. Algunos sacan sus tarjetas y otros no. Los que tienen tarjetas representan 12 así: La profesora Daniela entra al aula y plantea este caso: Sofía ha recogido 12 naranjas en una canasta y separadoha 1/3 de esas naranjas para regalarlas a su primo Nicolás. ¿Cómo encontraremos 1/3 de 12 ? 4. Repartiendo naranjas
  63. 63. 40 La docente indica que representen 12, pero formando grupos de 3 en las casillas: Luego, plantea esta pregunta: ¿Cómo representaremos 1/3 de cada grupo en las tarjetas? Los estudiantes dejan un tercio de cada tres y lo representan así: Todos responden que hay 4. La docente precisa que “1/3 de 12 es 4” y se escribe así: “1/3 de 12 = 4”. Cabe resaltar que algunos estudiantes han utilizado semillas para representar las 12 naranjas y formado grupos de 3: 12 naranjas en grupos de 3 (Dibujo de 12 círculos representando a las naranjas en grupos de 3) La docente aprovecha esta idea y les pide representar las naranjas en una hoja de papel, de esta manera: 000 000 000 000 Posteriormente, señala que representen 1/3 de cada grupo de naranjas y las pinten: 000 000 000 000 Continúa preguntando: ¿Cuántas naranjas pintadas? 4 Entonces, escribe en la pizarra: 4 es 1/3 de 12. La docente propicia la resolución con el grupo clase; para ello, propone calcular mentalmente. Luego, pregunta: Si 4 es 1/3 de 12 naranjas, ¿cuántas naranjas son “dos tercios de 12 naranjas”?
  64. 64. 41 • 2/3 de 12 es 1/3 y 1/3 • “1/3 y otro 1/3 es 4 y 4, o sea, 8” Formula esta interrogante a sus estudiantes: ¿Cómo lo representaríamos? Seguidamente, guía la resolución: • ¡Dibujen y coloreen las naranjas! 12 naranjas en grupos de 3: 000 000 000 000 2/3 de cada grupo: 000 000 000 000 • ¿Cuántas naranjas pintadas? 8 • Escribe en la pizarra: 2/3 de 12 es 8 • ¿Cuántas naranjas serían 3/3 de 12 naranjas? 12 naranjas en grupos de 3: 000 000 000 000 Se representa 3/3 de cada grupo: 000 000 000 000 • ¿Cuántas naranjas pintadas? 12 • Escribe: 12 es 3/3 de 12 • La docente motiva a los estudiantes mencionando “Hoy están trabajando muy bien”. Luego, propone esta pregunta: ¿Podrían encontrar 5/3 de 12? Algunos(as) niños(as) responden que 5/3 son 5 veces un tercio y que no alcanzarán las naranjas. La docente indaga por qué respondieron que no alcanzarían las naranjas: • 3/3 son 12 y no hay más naranjas. • Imaginemos que hay más naranjas8. Ya encontramos 1/3, que es 4, entonces, es más de 12. • 2 /3 es 8 (no dicen 2/3 de 12). • 12 y 8 son 20 naranjas. • Sofía tenía solo 12; no puede ser, hay algo raro. • Hemos imaginado que tiene más naranjas. 8 Nuevamente, la reflexión de Fandiño Pinilla en torno a las fracciones como parte de la unidad-todo.
  65. 65. 42 • Entonces, es otra historia. En este momento, se hace necesario demostrar lo encontrado y verbalizado por algunos de los estudiantes. Es muy posible que no todos hayan seguido el mismo razonamiento ni coincidido con las respuestas a las preguntas de la docente. Resulta necesario compartir y aclarar estos hallazgos que se dan en el aula. La docente intenta, con ayuda de los estudiantes participantes, dar esta explicación y lo escribe simbólicamente en la pizarra. Los cálculos que surgieron como una prolongación del problema de las naranjas fueron los siguientes: Finalmente, la docente y sus estudiantes registraron en sus cuadernos el problema y los cálculos realizados ese día. El propósito de esta actividad es que los niños y las niñas puedan relacionar la posición de los puntos de la recta y la división de la longitud unidad (recorrido- cantidad continua) en partes “iguales” y, luego, comunicar a sus compañeros(as) estas posiciones. Esta actividad permite introducir la notación de fracción como respuesta a un problema: el sentido del numerador y denominador, pues estos dan información para colocar el punto en la posición correcta. Además, hace posible visualizar las fracciones impropias. Asimismo, la ampliación de esta actividad implica superar errores como “1/5 > 1/3”, que devienen de la comparación entre números naturales (5 > 3). Veamos este ejemplo: 5/3 de 12 (Se les pidió encontrar) 3/3 2/3 (Andrés separó 5/3 en 3/3 y 2/3) 1/3 + 1/3 12 4 4 (Joaquín recordó que 3/3 es 12 y que si 1/3 es 4, entonces, 2/3 es 8) 20 (Julio dijo: “Si sumamos 12 + 4 + 4, se obtiene 20”) Entonces, 20/3 de 12 es5 . 5. Corremos y ganamos
  66. 66. 43 Al finalizar una sesión en el patio, los estudiantes entraron a su aula y encontraron esta figura: Pista de carreras PARTIDA META 0 1 Los estudiantes se preguntaban si la docente había estado con ellos en el patio. Por su parte, ella les explica lo que significa la imagen. Con este fin, menciona: “¿Ven esta pista de carreras? En ella encontrarán a algunos niños corriendo y que, por un momento, se quedarán inmóviles, para que ustedes los encuentren”. Luego, presenta la siguiente historia en un papelote: Andrés se encuentra a un tercio de la meta, Julio está en la mitad del recorrido, Joaquín se ha desplazado en dos tercios, Nicolás recorrió un sexto y David está en los cinco sextos. Sergio está en un tercio del recorrido. A partir de la presentación del caso, pregunta: • ¿Dónde se encuentran esos niños? ¿Quién está más cerca de la meta? • ¿Quiénes se encuentran en el mismo lugar del recorrido? • ¿Quién está más lejos de la meta? La docente indica que se formen en grupos de tres y a cada grupo le entrega una copia de la figura en una hoja de papel. Seguidamente, brinda algunas acotaciones y escucha las preguntas y los comentarios de los estudiantes: • Van a leer con atención el caso, para ubicar a cada niño en un lugar de esa pista de carreras y, luego, escribirán los nombres una vez que estén seguros que allí se encuentran.
  67. 67. 44 • “Necesitamos reglas para medir” (Comentan algunos estudiantes) • “¿Podemos doblar la hoja?” (El segmento de recta les recuerda a las tiras de papel a las que les hicieron dobleces y que usaron en una sesión anterior). • “¿Para qué son esas rayitas?” (Repara una niña en las marcas) • “Solo hay tercios y sextos” (Menciona otra niña que leyó reiteradamente el enunciado e hizo preguntas sobre “partida” y “meta”) La mayoría de los grupos encuentra primero a Julio, pues les ha sido fácil ubicarlo a la mitad del segmento. Varios estudiantes ubican a Andrés en un tercio del recorrido y no a un tercio de la meta; además, dicen que Sergio y Andrés están juntos. Aquí, el “todo” es el segmento de recta y las partes no son partes de una tira. La docente les sugiere hacer dobleces en el papel: • Pueden usar las tiras de papel, pero pongan atención a las “rayitas”, pues son marcas que presenta la pista de carrera. Estas nos dan una idea para ubicar a los niños que están corriendo. Uno de los grupos señaló que la pista tenía 60 cm, esto dio lugar a que los demás grupos sacaran sus reglas o pidieran a la docente las cintas métricas para realizar mediciones. • “Julio ha recorrido 30 centímetros” • “Cada rayita está en 10, 20, 30...” La docente reiteró algunas orientaciones y, finalmente, realizó el cierre de esta sesión: • Muy bien por hacer esas mediciones en el segmento. • ¿De qué trataba el problema? ¿Qué decía? ¿Qué han encontrado? El caso planteado en esta sesión se prolongó a dos sesiones más, pues luego de encontrar a los niños corredores, tuvieron que teatralizar tanto la situación como los roles de los diferentes niños, para convencer a los demás que una ubicación era “estar a 1/3 de la meta” y otra “haber recorrido un tercio” de la pista; así como explicar por qué Andrés y Joaquín estaban en el mismo lugar. Cabe señalar que, también, encontraron relaciones como “30 era la mitad de 60”, “20 era la tercia de 60”, “10 era un sexto de 60” y otras como “10 era un décimo de 100”. Por ello, fue necesario orientar las preguntas y dirigirlas a las mediciones usando segmentos graduados como el siguiente:
  68. 68. 45 1 2 3 4 2 2 2 2 A B C 1 1 0 1 1 2 3 3 4 5 6 2 2 1 2 3 4 5 6 3 3 3 3 3 3 D E F 0 1 2 3 4 5 6 A partir de este segmento, se pudo ubicar fracciones llamadas “impropias” y “números mixtos”, además, trabajar con metros (m) y centímetros (cm) y establecer las relaciones decimales que se daban en las mediciones de segmentos y la escritura de esas fracciones decimales. ¿Qué otras preguntas pudo haber planteado la docente? ¿Por qué? Una de las aulas vecinas, además de trabajar estas situaciones, planteó este problema: Julio es carpintero y trabaja haciendo marcos de cuadros, por eso, necesita cortar varillas de madera en trozos más pequeños. Él ha cortado una varilla de de 5 m de largo en trozos de 25 centímetros. ¿Cuántos trozos obtuvo Julio después de cortar toda la varilla? La varilla es un todo, pero de 5 m de longitud, y las partes serán trozos de 25 cm de longitud. Los docentes de estas aulas no estaban muy convencidos de trabajar la equivalencia de las unidades de longitud, porque este tema estaba previsto para el 4.° bimestre, sin embargo, luego de la experiencia, decidieron que una vez a la semana trabajarían estas actividades de medición. ¿Por qué crees que pudo haber ocurrido esto?
  69. 69. 46 6. Figuras y partes en un Tangrama El propósito de esta actividad es que los niños diferencien una parte del todo, además reconstituyan la unidad a partir de una de sus partes. Veamos: En otra aula de cuarto grado, los estudiantes habían trabajado con los tangrama para reconocer diferentes figuras poligonales y establecer algunas equivalencias y congruencias entre algunas de las 7 piezas. Desde luego también habían construido interesantes figuras usando todas las piezas del • ¿Cuántas piezas tiene el tangrama? • ¿Será cierto que si todo el tangrama vale 1, la pieza cuadrada azul vale 1/7 del tangrama? ¿cómo lo saben? ¿por qué es así? O ¿por qué no lo es? tangrama. El docente les propuso entonces lo siguiente: Hoy vamos a trabajar con los tangrama. Que bueno voy a formar un zorro” “yo voy a hacer un triángulo grande con todas las piezas” “ya hice el paralelogramo” Escuchen, pueden hacer las construcciones, pero esta vez hay un nuevo reto, van a encontrar cuánto vale cada pieza del tangrama si todo el diagrama vale 1. Tangrama
  70. 70. 47

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