Tp geometria

1,997 views

Published on

  • Be the first to comment

Tp geometria

  1. 1. Universidad Privada del Guairá Cátedra: Geometría Descriptiva. Profesora : María Diana Chaparro García.
  2. 2. Alumnos: Mariana Troller Mello Claudio
  3. 3. Apuntes: <ul><li>Sistemas de Proyección. </li></ul><ul><li>Punto y Recta en el Plano. </li></ul><ul><li>Posiciones Relativas en una Recta y un Plano. </li></ul><ul><li>Características del Plano. </li></ul><ul><li>Traza del Plano. </li></ul><ul><li>Posiciones Particulares del Plano. </li></ul>
  4. 4. Punto y Recta en el Plano <ul><li>El punto es una « figura geométrica » adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. </li></ul><ul><li>En geometría , el punto es uno de los entes fundamentales , junto con la recta y el plano . Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos , que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. </li></ul>
  5. 5. Representación gráfica <ul><li>En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta , semirrecta o segmento . </li></ul><ul><li>A los puntos se les suele nombrar con una letra minúscula: a, b, c, etc. (a las rectas con letras mayúsculas, y a los ángulos con letras griegas) </li></ul><ul><li>La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo , circunferencia , u otra figura geométrica , presupone que el punto es su centro. </li></ul>
  6. 6. Determinación geométrica <ul><li>Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia: </li></ul>
  7. 7. SISTEMAS DE REFERENCIA <ul><li>coordenadas cartesianas , se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z). </li></ul><ul><li>En coordenadas polares , mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ). </li></ul><ul><li>En coordenadas esféricas , mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ) </li></ul><ul><li>En coordenadas cilíndricas , mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z). </li></ul><ul><li>También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas , parabólicas, esferoidales, toridales, etc. </li></ul>
  8. 8. Algunos postulados y teoremas relacionados con el punto Postulados en geometría euclidiana <ul><li>Por un punto pasan infinitas rectas y planos. </li></ul><ul><li>Dos puntos determinan una recta y sólo una. </li></ul><ul><li>Una recta contiene infinitos puntos. </li></ul><ul><li>Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas. </li></ul><ul><li>El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos. </li></ul><ul><li>Estos postulados se pueden generalizar para espacios de n dimensiones. </li></ul><ul><li>Teoremas en geometría euclidiana </li></ul><ul><li>Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno. </li></ul>
  9. 9. RECTA
  10. 10. Recta <ul><li>En geometría euclidiana , la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos ; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). </li></ul><ul><li>Es uno de los entes geométricos fundamentales , junto al punto y el Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula . </li></ul>
  11. 11. Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta <ul><li>Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1). </li></ul><ul><li>Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quinto postulado ). </li></ul>
  12. 12. <ul><li>PLANO </li></ul>
  13. 13. PLANO <ul><li>En geometría , un plano es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas ; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta </li></ul>
  14. 14. <ul><li>Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares </li></ul><ul><li>Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro. </li></ul>
  15. 15. Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: <ul><li>Tres puntos no alineados. </li></ul><ul><li>Una recta y un punto exterior a ella. </li></ul><ul><li>Dos rectas paralelas . </li></ul><ul><li>Dos rectas que se cortan. </li></ul>Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
  16. 16. Posiciones Particulares del Plano <ul><li>Plano Horizontal </li></ul>
  17. 17. Plano Horizontal <ul><li>es un Plano paralelo al Plano Horizontal de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Horizontal, se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Horizontal del Plano y en su Proyección Vertical se ve como una sucesión de puntos sobre la traza del Plano α. En este Plano α sólo distinguimos una Traza Vertical (TV α), la cual es paralela a la Línea de Tierra y cuyo ángulo α= 0º con el Plano Horizontal de Proyección. El ángulo β= 90º La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa la Cota del Plano Horizontal α. </li></ul>
  18. 18. PLANO FRONTAL
  19. 19. <ul><li>es un Plano paralelo al Plano Vertical de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Vertical, se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Vertical del Plano y en su Proyección Horizontal se ve como una sucesión de puntos sobre la traza del Plano β. En este Plano β sólo distinguimos una Traza Horizontal (TH β), la cual es paralela a la Línea de Tierra y cuyo ángulo β = 0º con el Plano Vertical de Proyección. El ángulo α = 90º La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa el Vuelo del Plano Vertical β. </li></ul>
  20. 20. Plano de Perfil
  21. 21. <ul><li>es un Plano perpendicular a los Planos Vertical y Horizontal de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano de Perfil, se verá confundido sobre las líneas de las Trazas Vertical y Horizontal del Plano ε. se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Lateral del Plano. En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε), las cuales son perpendiculares a la Línea de Tierra y cuyos ángulos α = 90º y β = 90º. La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa el Vuelo del Plano Vertical β. </li></ul>
  22. 22. Plano Proyectante Vertical (de Canto
  23. 23. <ul><li>Plano perpendicular al Plano Vertical de Proyección. El valor del ángulo α oscila entre 0º y 90º. El ángulo β = 90º. </li></ul><ul><li>En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε). Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Vertical, se verá en confundidos sobre la misma Traza como una sucesión de puntos y los elemento dibujado sobre el Plano Horizontal se ven pero no están en Verdadero Tamaño. </li></ul>
  24. 24. Plano Proyectante Horizontal (de pie)
  25. 25. <ul><li>es un Plano perpendicular al Plano Horizontal de Proyección. El valor del ángulo β oscila entre 0º y 90º. El ángulo α= 90º. En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε). Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Horizontal, se verá en confundidos sobre la misma Traza como una sucesión de puntos y los elemento dibujado sobre el Plano Vertical se ven pero no están en Verdadero Tamaño. </li></ul>
  26. 26. Plano Paralelo a la Línea de Tierra
  27. 27. <ul><li>se reconoce como su nombre lo indica por ser paralelo a la Línea de Tierra. Sus Trazas siempre son paralelas a la Línea de Tierra (TV ε y TH ε). </li></ul>
  28. 28. Plano Cualquiera (Oblicuo):
  29. 29. <ul><li>es aquel cuya posición en el espacio no se someta a ninguna relación notable con los Planos de Proyección. Las magnitudes de los ángulos α y β alcanzan valores cualquiera, la posición con respecto a la LT es siempre oblicua, por lo que debe cumplir la relación 180º > α + β <>90. </li></ul>
  30. 30. Posición relativa entre dos planos <ul><li>Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2. </li></ul><ul><li>Sus posiciones relativas pueden ser: </li></ul>
  31. 31. <ul><li>Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2. </li></ul><ul><li>Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2 </li></ul><ul><li>Planos secantes : si los vectores normales no tienen la misma dirección. </li></ul>
  32. 32. TRAZA EN EL PLANO <ul><li>Son las rectas donde el plano se intercepta con los planos principales de proyección. Se denominan Fig.11: </li></ul>
  33. 33. a)      Traza vertical de un plano . Es la intersección (f) del plano (a) con el plano vertical de proyecciónFig.11a .   b)    Traza horizontal de un plano . Es la intersección (h) del plano (a) con el plano horizontal de proyección Fig.11b
  34. 34. DETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE UN PLANO <ul><li>Si una recta (r) está contenida en un plano (a); las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la recta (r), están contenidas en las trazas vertical (f) y horizontal (h) del plano (a), respectivamente (fig.12). Además, como ya se mencionó, las trazas de un plano se cortan en la línea de tierra (Excepto si el plano es paralelo a ella) </li></ul>
  35. 35. Por lo tanto, pueden definirse las trazas de un plano (a), definiendo previamente las trazas de dos rectas (a y b) contenidas en el, como se muestra en los ejemplos (a) y (b) de la fig.13
  36. 37. PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR TRAZAS <ul><li>En la figura siguiente, se ilustra como hacer pertenecer un punto (P) a un plano (a) definido por trazas (f y h) (fig.a), utilizando para ello: </li></ul><ul><li>una recta: (r) cualquiera (fig.b1); </li></ul><ul><li>una recta (f1) frontal (fig.b2); </li></ul><ul><li>una recta (h1) horizontal (fig.b3). </li></ul>
  37. 39. Características del Plano <ul><li>CARTESIANO </li></ul>
  38. 40. <ul><li>El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. </li></ul><ul><li>El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las &quot;X&quot; y uno de las &quot;Y&quot;, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como: </li></ul>
  39. 41. P (x, y)
  40. 42. SISTEMAS DE PROYECCION O SISTEMA DE REPRESENTACION <ul><li>Un sistema de proyección permite la representación de una superficie curva sobre un plano.Se aplica para representar un objeto. </li></ul><ul><li>Entonces, dependiendo de la figura sobre la cual se realiza la proyección se tienen: </li></ul>
  41. 43. <ul><li>Proyecciones Cilíndricas </li></ul><ul><li>Proyecciones Cónicas </li></ul><ul><li>Proyecciones Azimutales (sobre un plano). </li></ul>
  42. 44. Sin embargo hay proyecciones que conservan alguna de estas características. <ul><li>Proyecciones equidistantes conservan las distancias. </li></ul><ul><li>Proyecciones conformes conservan los ángulos </li></ul><ul><li>Proyecciones equiáreas conservan las áreas. </li></ul>
  43. 45. Sistemas de Representación SISTEMA AXONOMÉTRICO
  44. 46. Los principales sistemas de representación son: <ul><ul><li>Planos acotados. </li></ul></ul><ul><ul><li>Sistema diédrico. </li></ul></ul><ul><ul><li>Sistema axonométrico. </li></ul></ul><ul><ul><li>Sistema cónico. </li></ul></ul>
  45. 47. <ul><ul><li>Los objetos se representan por medio de proyecciones. </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Proyectar es lanzar en línea recta (denominada rayo proyectante) un punto o la imagen de un objeto sobre una superficie (plano de proyección). </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Clases de proyecciones; Dependiendo de donde esté colocado el centro de proyección pueden ser de dos clases: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Proyección cilíndrica </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>Foco en el infinito </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>Proyección cónica F oco en un punto </li></ul></ul></ul></ul><ul><li>Ortogonal </li></ul><ul><li>Oblicua </li></ul>Cilíndrica ortogonal Cilíndrica oblicua Cónica
  46. 48. Sistema Axonométrico <ul><li>El Sistema Axonométrico es un sistema de representación que utiliza la proyección cilíndrica ortogonal en las que las rectas proyectantes son paralelas entre sí y perpendiculares al plano de proyección. </li></ul>
  47. 49. <ul><li>El Sistema Axonométrico permite dibujar un objeto tridimensional sobre un único plano, tomando como referencia tres ejes (Z, Y y X ) que pueden formar ángulos diferentes entre ellos. </li></ul>Y X Altura Z Anchura Profundidad
  48. 50. Representación de sólidos a partir de sus vistas. <ul><li>Para representar un objeto en sistema axonométrico se parte de las vistas diédricas de la pieza; Alzado, planta y perfil. </li></ul>
  49. 51. Perspectiva caballera <ul><li>Se considera un caso particular de la axonometría, ya que su proyección es cilíndrica en vez de ortogonal. </li></ul>Cilíndrica oblicua Cilíndrica ortogonal
  50. 52. <ul><li>En este sistema de representación los ejes X y Z (alzado) forman siempre un ángulo de 90º y el otro (Z-Y) es libre (normalmente 135º). </li></ul>Altura Z Anchura X Profundidad Y 90º http://www.educacionplastica.net/zirkel/caballera1.html
  51. 53. <ul><li>Al realizar una figura en perspectiva caballera las medidas de altura y profundidad son reales pero a la anchura se le aplica un coeficiente de reducción. </li></ul>
  52. 54. <ul><li>Para representar sólidos en perspectiva caballera se procede de manera similar a la representación en isométrica, teniendo en cuenta el valor de reducción. </li></ul>
  53. 55. <ul><li>MUCHAS GRACIAS </li></ul>

×