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Symmetrieerkennung in Theorie und Praxis

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FH Wedel Entwicklung trifft FU Berlin Forschung

Symmetrien sind ästhetisch, eindrucksvoll - und praktisch? Viele alltägliche Produkte weisen Symmetrien auf. Lässt sich diese Eigenschaft beispielsweise für die Qualitätssicherung nutzen? Dazu müsste eine Maschine Symmetrien erkennen. Doch wie erklärt man einem Computer, was er sieht?

Ein solches Erkennungsverfahren wird derzeit an der FH Wedel in Kooperation mit der FU Berlin getestet. Die beiden Studierenden der Informatik stellen auf der einen Seite die praktischen Herausforderungen bei der Implementierung eines solchen Verfahrens vor. Auf der anderen Seite soll aber auch die von der Forschungsgruppe der FU Berlin erarbeitete Theorie nicht zu kurz kommen.

Dieses Projekt erfolgt im Rahmen der langjährigen Kooperation zwischen der FH Wedel und dem Fachbereich Mathematik und Informatik der FU Berlin. Die FU Berlin bietet Masterabsolventen hervorragende Bedingungen für eine Promotion. Im Austausch mit den Professoren der FU Berlin haben diese in Wedel bereits mehrfach Vorlesungen und Vorträge gehalten.
Zu den Referenten:

Marcus Riemer und Timm Hoffmann sind beide Studierende des Masterstudiengangs Informatik an der FH Wedel. Darüber hinaus sind beide als wissenschaftliche Mitarbeiter an der FH tätig.

Published in: Science
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Symmetrieerkennung in Theorie und Praxis

  1. 1. Symmetrieerkennung in Theorie und Praxis FH Wedel Entwicklung trifft FU Berlin Forschung Timm Hoffmann & Marcus Riemer
  2. 2. “Symmetry is a complexity-reducing concept […]; seek it everywhere” - Alan J. Perlis
  3. 3. EINFÜHRUNG
  4. 4. Symmetrien im Alltag
  5. 5. Symmetrien im Alltag
  6. 6. Symmetrien im Alltag
  7. 7. Symmetrien im Alltag
  8. 8. Wiederholung Analysis Punkt Achse
  9. 9. D1 = Einzelne Achsenspiegelung Achsen- und Rotationssymmetrie Diedergruppe Dn n Spiegelachsen durch den Mittelpunkt Zyklische Gruppe Cn Alle Drehungen um einen Punkt um Vielfache von 360° 𝑛 Dn → Cn C4 = Swastika C3 = Triskele Dn = Regelmäßiges n-Eck C2 = Punktspiegelung C1 = Komplett unsymmetrisches Objekt D2 = Nicht quadratisches Rechteck
  10. 10. Symmetrie Symmetrie ist die Gleichgültigkeit bezüglich einer bestimmten Klasse von Transformationen Spiegelung TranslationRotation Spiegelung Rotation Translation Skalierung
  11. 11. Symmetriegruppe In der mathematischen Gruppentheorie ist die Symmetriegruppe eines geometrischen Objektes die Gruppe, die aus der Menge aller Kongruenzabbildungen besteht, die das Objekt auf sich selbst abbilden, zusammen mit der Verkettung von Abbildungen als Gruppenoperation.
  12. 12. Symmetriegruppe In der mathematischen Gruppentheorie ist die Symmetriegruppe eines geometrischen Objektes die Gruppe, die aus der Menge aller Kongruenzabbildungen besteht, die das Objekt auf sich selbst abbilden, zusammen mit der Verkettung von Abbildungen als Gruppenoperation.
  13. 13. Endliche Symmetriegruppen
  14. 14. Unendliche Symmetriegruppen
  15. 15. Unendliche Symmetriegruppen p1 (Translation) p2gg (2 Rotationszentren + Verschiebung)
  16. 16. Frieze Gruppe Unendlich, aber nur in eine Dimension p1 (Translation) p11g (Translation, Spiegelung) p2mg (Translation, Spiegelung, Rotation)
  17. 17. ANWENDUNG
  18. 18. Fragestellungen 1. Erkennung einer Symmetrie 2. Beschreibung der Symmetrie (Approximation)
  19. 19. Erkennung ● Gegeben: Bild ● Gesucht: Symmetriegruppe D4
  20. 20. Probleme bei der Erkennung ● Bild nicht „mathematisch“ symmetrisch  nur intuitiv erkennbar ● Weiche Erkennung erforderlich
  21. 21. Eingabe für die Erkennung ● Vektorgrafik – Geometrische Beschreibung von Pfaden – Stetige Werte ● Pixelgrafik – (Farb)Wert pro Pixel (Zelle in einem 2D-Raster) ● Punktwolke (reduzierte Vektorgrafik) – „Liste von Koordinaten“
  22. 22. Beispiele für Einsatzbereiche ● Objekterkennung in Bildern ● Astronomische Objekte klassifizieren ● Medizin: Muttermale von Hautkrebs unterscheiden ● Bildkompression
  23. 23. Objekterkennung x y (0|0) Keinerlei Symmetrie im Gesamtbild Quadrat = D4 & C4 Dreieck = D3 & C3
  24. 24. Approximation ● Gegeben: – Bild – Symmetrie-Eigenschaft (z. B. Symmetriegruppe) ● Gesucht: – Symmetrie-Beschreibung (z. B. konkrete Achsen) – Soll vorhandene Symmetrie möglichst genau annähern
  25. 25. Approximation ● NP-schwer für Punkte, die „zu“ nah beisammen liegen ● Ursprünglich von S. Iwanowski in seiner Doktorarbeit bewiesen „Approximate congruence and symmetry detection in the plane“ (1990) ● Verfeinert von C. Dieckmann „Symmetry Detection and Approximation“ (2012)
  26. 26. Beispiel Erkannte Symmetriegruppe: D1
  27. 27. ERKENNUNG (1)
  28. 28. Frieze Patterns Rotation? Nein Spiegelung? Nein Translation? Ja
  29. 29. Frieze Patterns Muster P Gesamtes Rasterbild T
  30. 30. 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Frieze Patterns und String Matching Alphabet Σ = {0, 1} Zeile Ri wobei 1 ≤ i ≤ m und Ri ⊂ Ti ∈ Σ∗ m n
  31. 31. Breite des Musters ermitteln Originales Bild T 1) For Ri, Ri' in T, T + T 2) Wi = Calc Second match of Ri in Ri' 3) Pwidth = lcm(Wi,Pwidth) Nur Erkennung von ganzzahligen Wiederholungen
  32. 32. Breite des Musters ermitteln Originales Bild T 1) For Ri, Ri' in T, T + T 2) Wi = Calc Second match of Ri in Ri' 3) Pwidth = lcm(Wi,Pwidth)
  33. 33. Laufzeit des Verfahrens 1) For Ri, Ri' in T, T + T 2) Wi = Calc Second match of Ri in Ri' 3) Pwidth = lcm(Wi,Pwidth) 1) T + T ∈ O(1) #Durchläufe = N (Anzahl der Zeilen) 2) String Matching ∈ O(|T| + |P|) |T| = 2*M (Anzahl der Spalten) |P| = M Insgesamt also O(m) Aufwand 3) gcd ∈ O(log x) wobei x = Anzahl Bits für Parameter O(n * (m + log x))⊆ O(mn)
  34. 34. Umgang mit Graustufen Def eq(l, r) l=r Def eq(l, r, 𝛿) 𝒍 − 𝒓 < 𝛿
  35. 35. Unscharfes Matching 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑒𝑟 𝑗 = 1 𝑚 𝑅 𝑖 − 𝑅′ 𝑖 + 𝑗 𝑚 𝑖=1 Bisher: Lokale Ähnlichkeit, Jetzt: Globale Ähnlichkeit 1) For Ri, Ri' in T, T + T 2) For pos in Ri 3) Ri[pos] = filter(pos) 4) Wi = Second match of Ri in Ri' with 𝛿 5) Pwidth = lcm(Wi,Pwidth) O(n * (m² + m + log x))⊆ O(nm²)
  36. 36. Unscharfes Matching Bisher: Lokale Ähnlichkeit, Jetzt: Globale Ähnlichkeit
  37. 37. Zusammenfassung: Frieze Pattern Matching Rotation? Nein Spiegelung? Nein Translation? Ja
  38. 38. Zusammenfassung: Frieze Pattern Matching Rotation? Ja Spiegelung? Ja Translation? Ja
  39. 39. ERKENNUNG (2)
  40. 40. Hough Transformation
  41. 41. Hough Transformation  Methode von Paul V. C. Hough  US-Patent 3,069,654 (1962) „Method and means for recognizing complex patterns“  allgemeiner Ansatz beliebige, parametrisierbare Formen zu finden
  42. 42. Linienerkennung Hough-Transformation häufig hierfür eingesetzt Binärbild Linie, die möglichst viele Punkte überdeckt
  43. 43. Bildraum  Parameterraum Bildraum (x , y) Parameterraum (m , b) Punkt (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) 𝑏 = −𝑚 ⋅ xi + yi Gerade Gerade 𝑦 = 𝑚𝑗 ⋅ 𝑥 + 𝑏𝑗 (𝑛𝑗 , 𝑏𝑗) Punkt y x b m
  44. 44. Parameterraum  Problem: Beispiele für Parameter einer Linie nicht genau gleich  daher: diskretisieren  Datenstruktur: 2D-Array 1 1 1 3 1 4 6 2 1 1 1 1 1 2
  45. 45. Diskretisierung 8 1 2 3 2 2 3 5 10 7 3 7 2 3 1
  46. 46. Geradenrepräsentation  bisher: 𝑦 = 𝑚 ⋅ 𝑥 + 𝑏  vertikale Geraden?  besser: Hesse'sche Normalform  Winkel, Distanz vom Ursprung (Polarkoordinaten)
  47. 47. Beispiel
  48. 48. Resultat 𝑑 𝛼
  49. 49. Linien → Symmetrie  Diedergruppe beschreibt Symmetrieachsen  Symmetrieachse ist eine Gerade  Suche nach einer „anderen“ Geraden
  50. 50. Berechnung Punkt 2 Punkt 1 Mittelsenkrechte Normale der Mittelsenkrechten 𝛼 𝑑 .
  51. 51. Beispiel 0−𝜋 𝜋 − 𝜋 4 , 0 𝜋 4 , 2 0,1 𝜋 2 , 1
  52. 52. Algorithmus 1) For (p1,p2) in Punkte X Punkte 2) Calc Parameter für Parameterraum (hier: Polarkoordinaten der Mittelsenkrechten) 3) Inc Akkumulationsraum[diskretisierte Parameter] 4) Calc Häufungen im Akkumulationsraum suchen  Laufzeit: 𝑂 𝑛2 𝑛 ≜ #𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒 𝑂 𝑛2 𝑂 1 𝑂 1 𝑂 𝑛2
  53. 53. Kongruenz
  54. 54. Symmetrieerkennung und die Fourier Transformation
  55. 55. MASTER-PROJEKT
  56. 56. Master Projekt Projekt Graustufenbild Keine Symmetrie Keine Symmetrie D6 & C6 Symmetriegruppe
  57. 57. Master Projekt Projekt Graustufenbild Keine Symmetrie Keine Symmetrie D6 & C6 Symmetriegruppe
  58. 58. Die Pipeline Paare bilden, Winkel & Distanz berechnen Korrekte “Box” berechnen Häufungen untersuchen 1) For p1, p2 in Punkte X Punkte 2) gparam = mx + b - y aus (p1, p2) konstruieren 3) gpolar = polarcoord(gparam) 4) Parameterraum += gpolar 5) For p1’, p2’ in Parameterraum 6) DiskreterRaum += interpolated(p1’, p2’) 7) Suchen von Häufungen(DiskreterRaum)
  59. 59. Software Architektur Backend Frontend Protocol Buffer
  60. 60. Warum C++ und HTML? Harte Vorgaben von der FU Berlin – Kein Haskell  – C++ oder Java Weichere Vorgaben von uns – Viele Experimente mit der Oberfläche ● Strikte Trennung zwischen Berechnung und Visualisierung ● Qt & GTK (C++) bzw. Swing, AWT & JavaFX (Java) sind eher “klassische” UI Bibliotheken – Platformübergreifend (sogar auf mobilen Geräten)
  61. 61. Warum Protocol Buffer? Größe der Nachrichten -- ++ Einfach (C++) • Externe Abhängigkeiten? - (Bibliotheken, eigene Datenstrukturen) + (Offizielle Code Generatoren) Einfach (Javascript) • Externe Abhängigkeiten? ++ (nativ unterstützt) - (Bibliotheken, aber keine nativen Integer) Typisierung • Zahlen bestimmter Größen • Strukturen, Listen • Automatische Validierung - (keine Validierung) ++ JSON Protobuf
  62. 62. Warum Protocol Buffer? message ExactSample { required double angle = 1; required double distance = 2; required Intensity i1 = 3; required Intensity i2 = 4; } message Intensity { repeated int32 channels = 1; } Datentyp Protocol Buffer JSON double 8 Byte 16 ASCII Zeichen int32 (0 – 255) 1 – 2 Byte 1 – 3 ASCII Zeichen Protocol Buffer 𝟏 𝟓 bis 𝟏 𝟐 der Größe + 33% für Base64 Encoding 𝑥 ∗ 1 5 ∗ 13 10 ~0.26𝑥 𝑥 ∗ 1 2 ∗ 13 10 ~0.65𝑥
  63. 63. Parallelisierung mit der Pipeline Gewinne durch die Pipeline eher marginal  – 3 Stufen, also auch maximal 3 Threads – Stufen nicht gleichermaßen aufwändig – Overhead durch Synchronisierung bei naiver Implementierung recht groß – Trotzdem softwaretechnisch eine gute Struktur Paare bilden, Winkel & Distanz berechnen Korrekte “Box” berechnen Häufungen untersuchen
  64. 64. Parallelisierung mit Partitionierung Annahmen ● Erste Pipelinestufe dauert am Längsten ● Statische Partitionierung ist unkritisch 1) partitions = divide(Punkte X Punkte, #Cores) 2) For thread in Threads 3) thread.compute 4) For p1, p2 in partitions[thread.num] 5) gparam = mx + b - y aus (p1, p2) konstruieren 6) gpolar = polarcoord(gparam) 7) thread.Parameterraum += gpolar 8) Parameterraum += thread.Parameterraum 9) Threads.join()
  65. 65. Auswahl von Paaren Alle Paare • 3 Gelb • 2 Blau • 1 Rot Jedes 2. Paar • 2 Gelb • 1 Blau • 0 Rot Zufällige Paare • 1 Gelb • 2 Blau • 1 Rot Leicht zu implementieren, schwierig zu untersuchen
  66. 66. Diskretisieren der Werte 8 1 2 3 2 2 3 5 10 7 3 7 2 3 1
  67. 67. Diskretisieren der Werte 8 1 2 3 2 2 3 5 10 7 3 7 2 3 1
  68. 68. Diskretisieren der Werte 8 1 2 3 2 2 3 5 1 7 3 7 2 3 1 3 3 3
  69. 69. Diskretisieren der Werte Nearest Neighbour Bilinear Bikubisch
  70. 70. Programme der FU
  71. 71. User-Interface Dynamisch einblendbare Optionen Platz für Inhalte Responsive Design Eine Aktion für Berechnung
  72. 72. User - Interface (mobil)
  73. 73. User - Interface Javascript
  74. 74. Visualisierung Potenziell große Datenmenge
  75. 75. Canvas  SVG HTML5 Canvas Scalable Vector Graphic Zeichnen-Beschreibung Canvas Primitive (Funktionen) XML Beschreibung Einbettung HTML Element SVG Namespace Bildformat Rastergrafik Vektorgrafik Interaktion Browserevents des Canvas Element-individuelle Events Manipulation Neuzeichnen DOM-Manipulation Performance Gut Langsamer als Canvas
  76. 76. AUSBLICK UND FAZIT
  77. 77. Ausblick: Störungen Rauschen Verformen
  78. 78. Ausblick: Zu untersuchende Größen ● Störungen ● Generierung der Punktepaare – Einfluss der verschiedenen Methoden der Paarbildung? – Anzahl nötiger Paare für gute Erkennung? ● Diskretisierung – Einfluss der variabel großen Zellen? – Einfluss der verschiedenen Interpolationsmethoden?

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