Relaciones binarias aux

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Relaciones binarias aux

  1. 1. Relaciones binarias Matemática discretaMatemática discreta. Relaciones binarias 1
  2. 2. Relación binaria en A• Dados dos conjuntos A y B, una relación R binaria es cualquier subconjunto de AxB• Dados a∈A y b∈B, a está relacionado con b por R si (a,b)∈R, aRb. Si a no está relacionado con b, es decir, (a,b)∉R, escribimos aRb.• Si B=A, R es una relación binaria en A.Matemática discreta. Relaciones binarias 2
  3. 3. Representación de una relación• Formal: aRb si a y b cumplen una cierta propiedad P.• Diagrama sagital: aRb a b• Matriz de adyacencia: aRb y aRc b c . ⎛ ⎜ . . . ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a . ⎜ ⎜ ⎜ 1 0 . ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎜ . . . ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎝ . . . ⎟ ⎠Matemática discreta. Relaciones binarias 3
  4. 4. Diagrama sagital• Representación gráfica con flechas. – a∈A •a – aRb a• •bejemplo: A={a,b,c,d}R={(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,a),(d,c)} a• •b c• •dMatemática discreta. Relaciones binarias 4
  5. 5. Matriz de adyacencia• Matriz booleana MR=(mij)• A={a1, ..., an} mij=1 si aiRaj mij=0 si aiRajejemplo: A={a,b,c,d}R={(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,a),(d,c)} ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ 0 0 1 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 0 1 ⎟ Suponemos un orden en MR = ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ los elementos de A, en ⎜ ⎜ 1 0 0 0 ⎟ ⎟ este caso el alfabético. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 1 0 ⎟ ⎠Matemática discreta. Relaciones binarias 5
  6. 6. Operaciones con relaciones 1Dadas R1 y R2 sobre A• Unión: R1∪ R2={(a,b) ∈AxA / aR1b ó aR2b}• Composición o producto: R1°R2={(a,b) ∈AxA / ∃c∈A aR1c y cR2b} – En general, R1°R2 ≠ R2°R1 – La composición es asociativa: Rn+1=Rn ° RMatemática discreta. Relaciones binarias 6
  7. 7. Operaciones con relaciones 2• M(R1∪ R2)=MR1 ⊕ MR2• M(R1°R2)=MR1 ⊗ MR2 – ⊕ suma booleana – ⊗ producto booleano ⊕ 0 1 ⊗ 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1Matemática discreta. Relaciones binarias 7
  8. 8. Operaciones con relaciones 3Dada R sobre A={a1,..,an} y MR su matriz de adyacencia:• MR = OR ⇔ R=∅ (matriz nula de orden n)• MR = 1R ⇔ R=AxA (matriz de unos de orden n)• MRm = (MR )m, m ∈Z+ (m-ésima potencia booleana)Rm está formada por los pares de elementos que se pueden conectar mediante un camino de longitud m.Matemática discreta. Relaciones binarias 8
  9. 9. ejemplo a• •b ⎛ 0 1 0 0⎞⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1 0⎟⎟ M = ⎜ ⎜ ⎟ R 0 0 0 1⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ R={(a,b),(b,c),(c,d)} d• •c ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0⎟⎠ a• •b ⎛ 0 0 1 0⎞⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 1⎟⎟M = ⎜ ⎜ ⎟ R 2 0 0 0 0⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ R2={(a,c),(b,d)} d• •c ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0⎟⎠ a• •b ⎛ 0 0 0 1⎞⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟⎟M = ⎜ R ⎜ 3 0 0 0 0⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟ R3={(a,d)} ⎜ ⎟ d• •c ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0⎟⎠Matemática discreta. Relaciones binarias 9
  10. 10. PropiedadesR definida sobre A, con matriz de adyacencia M y Card(A)=n• Reflexiva: [∀x∈A xRx] ⇔ In⊕M=M• Simétrica: [∀x,y∈A xRy ⇒ yRx] ⇔ M=Mt• Transitiva: [∀x,y,z∈A xRy, yRz ⇒ xRz] ⇔ M⊕M2=M• Antisimétrica: [∀x,y∈A xRy , yRx ⇒ x=y] ⇔ en M+Mt no aparece ningún 2 salvo, a lo sumo en la diagonal.Matemática discreta. Relaciones binarias 10
  11. 11. Cierre de relaciones 1• Cierre reflexivo: CR(R) menor relación reflexiva que contiene a R. – R ⊂ CR(R). − CR(R) es reflexiva – Si S es reflexiva y tal que R⊂S, entonces CR(R) ⊂ S.• Cierre simétrico: CS(R) menor relación simétrica que contiene a R. – R ⊂ CS(R). − CS(R) es simétrica – Si S es simétrica y tal que R⊂S, entonces CS(R) ⊂ S.• Cierre transitivo: CT(R) menor relación transitiva que contiene a R. – R ⊂ CT(R). − CT(R) es transitiva – Si S es transitiva y tal que R⊂S, entonces CT(R) ⊂ S.Matemática discreta. Relaciones binarias 11
  12. 12. Cierre de relaciones 2R definida sobre A={a1,..,an}, con matriz de adyacencia MR .• MCR(R) = MR ⊕ In• MCS(R) = MR ⊕ MtR• MCTR(R) = MR ⊕ M2R ⊕ M3R ⊕... ⊕ MnRMatemática discreta. Relaciones binarias 12
  13. 13. Relaciones de orden Relaciones de orden • Dada una relación binaria R definida sobre A, se dice que R es una relación de orden en A si verifica las propiedades: – reflexiva – antisimétrica – transitiva Se dice entonces que a está ordenado por R o que el par (A,R) es un conjunto ordenado. Matemática discreta. Relaciones binarias 13
  14. 14. Relaciones de orden Notación Utilizaremos el símbolo ≤ para las relaciones de orden. aRb a≤b Se lee a es anterior a b (menor o igual) o bien b es posterior a a (mayor o igual) • Distintas relaciones sobre un mismo conjunto, dan lugar a distintos conjuntos ordenados. • a,b∈A son comparables si aRb o bRa Matemática discreta. Relaciones binarias 14
  15. 15. Relaciones de orden ejemplo En N, a ≤ b ⇔ ∃n ∈N / b=an Es una relación de orden: – reflexiva: a=a1 ∀a∈N – antisimétrica: ∀a,b∈N si a ≤ b y b ≤ a ∃ n,m ∈N / b=an y a=bm, entonces b= [bm]n=bm·n luego m·n=1 y como n,m ∈N m=n=1, así a=b – transitiva: ∀a,b,c∈N si a ≤ b y b ≤ c ∃ n,m ∈N / b=an y c=bm, entonces c= [an]m=an·m luego si k = n·m, ∃ k∈N /c=ak, es decir, a ≤ c Matemática discreta. Relaciones binarias 15
  16. 16. Relaciones de orden Diagrama Hasse 1 • Dada una relación de orden R en A y R1 una relación asociada a R tal que aR1b ⇔ aRb y a ≠ b (a<b ⇔ a ≤ b y a ≠ b) el diagrama Hasse de R es el diagrama sagital de la relación HR=R1-R12 Si Card(A)=n, matricialmente: MH =(MR-In)-(MR-In)2R Matemática discreta. Relaciones binarias 16
  17. 17. Relaciones de orden Diagrama Hasse 2 • Permite asociar a una relación de orden un diagrama más sencillo que el diagrama sagital. • Construcción del diagrama Hasse a partir del diagrama sagital: – eliminar los bucles – eliminar todas las flechas que puedan derivarse de aplicar la propiedad transitiva. Matemática discreta. Relaciones binarias 17
  18. 18. Relaciones de orden ejemplo a• a• •e •e b• •d b• •d •c •c Matemática discreta. Relaciones binarias 18
  19. 19. Relaciones de orden Orden total y parcial • (A, ≤) está totalmente ordenado si cualquier par de elementos son comparables, se dice entonces que ≤ es de orden total. En otro caso, se dice que (A, ≤) está parcialmente ordenado y que ≤ es de orden parcial. • C es una cadena de (A, ≤) si C ⊂ A y (C, ≤) está totalmente ordenado. Matemática discreta. Relaciones binarias 19
  20. 20. Relaciones de orden Elementos notables 1 Dados (A,≤) y C ⊂ A, C≠∅ • a∈A es cota superior de C si ∀c∈C, c≤a. – C está acotado superiormente – La menor de las cotas superiores es el supremo. • a∈A es cota inferior de C si ∀c∈C, a≤c. – C está acotado sinferiormente – La mayor de las cotas inferiores es el ínfimo. • El supremo y el ínfimo, si existen, han de ser comparables con el resto de las cotas superiores o inferiores, respectivamente. Matemática discreta. Relaciones binarias 20
  21. 21. Relaciones de orden Elementos notables 2 Dados (A,≤) y C ⊂ A, C≠∅ • a∈C es elemento maximal de C si ∀c∈C, a≤c ⇒ a=c. • m∈C es máximo de C si ∀c∈C, c≤m. – si existe, es el único elemento maximal de C • a∈C es elemento minimal de C si ∀c∈C, c≤a ⇒ a=c. • m∈C es mínimo de C si ∀c∈C, m≤c – si existe, es el único elemento minimal de C Matemática discreta. Relaciones binarias 21
  22. 22. Relaciones de orden Elementos notables 3 • Pueden existir uno, varios o ningún elemento maximal y minimal. • El máximo (mínimo), cuando existe, es el único elemento maximal (minimal). • Si en C existe supremo (ínfimo) es único. • Si C tiene máximo (mínimo) coincide con el supremo (ínfimo). Matemática discreta. Relaciones binarias 22
  23. 23. Relaciones de orden ejemplo a• •e • {a,b,e} – d es cota superior y supremo – {b,e} son elementos maximales b• •d – no tiene máximo – a es cota inferior, ínfimo, mínimo y el único elemento minimal. •c Matemática discreta. Relaciones binarias 23
  24. 24. Relaciones de equivalencia Relaciones de equivalencia Dada una relación binaria R definida sobre A, se dice que R es una relación de equivalencia en A si verifica las propiedades: – reflexiva – simétrica – transitiva Matemática discreta. Relaciones binarias 24
  25. 25. Relaciones de equivalencia Clase de equivalencia Dada R una relación de equivalencia en A y a∈A, se define la clase de equivalencia de a como [a]={x ∈A / xRa }. • [a] ≠∅ pues a∈[a]. • [a]=[b] ⇔ ∀a,b∈A aRb • [a]∩[b]=∅ ⇔ ∀a,b∈A aRb • ∪a∈A[a]=A • Cualquier elemento de [a] es un representante de la clase. Matemática discreta. Relaciones binarias 25
  26. 26. Relaciones de equivalencia Conjunto cociente • Una partición de un conjunto A es una familia de subconjuntos no vacíos de A, {Ai} disjuntos entre sí y cuya unión es A. ∀ i Ai≠∅; Aj∩Ai=∅ ∀ i≠j; ∪Ai=A • La relación de equivalencia R define en A una partición formada por las clases de equivalencia. • Llamamos conjunto cociente de A por R a A/R={[a]/ a∈A}. • Cada partición de A está asociada a una relación de equivalencia definida en él. Matemática discreta. Relaciones binarias 26
  27. 27. Relaciones de equivalencia ejemplo 1A={palabras de n bits}w(a) el número de unos que contiene a aRb ⇔w(a) ≡ w(b) (mod 2)R es de equivalencia: – Reflexiva: aRa w(a) ≡ w(a)(mod 2) – Simétrica: aRb ⇒ bRa w(a) ≡ w(b)(mod 2) ⇒ w(b)≡w(a)(mod 2) – Transitiva: aRb y bRc ⇒ aRc w(a)≡w(b)(mod 2) y w(b)≡w(c)(mod 2) ⇒ w(a)≡w(c)(mod 2) Matemática discreta. Relaciones binarias 27
  28. 28. Relaciones de equivalencia ejemplo 2 R define en A una partición formada por dos clases de equivalencia, cada una con 2n-1 elementos. [0]={a∈A / a tiene un número par de unos} [1]={a∈A / a tiene un número impar de unos} Para n=3 [0]={000, 011, 101, 110} [1]={001, 010, 100, 111} Matemática discreta. Relaciones binarias 28
  29. 29. Planificación de tareas Planificación de tareas 1 • Tareas entre las que hay relaciones de dependencia, unas han de realizarse antes que otras. • Uno o varios equipos, simultáneamente, realizan las tareas. • Objetivo: distribuir las tareas entre los equipos disponibles, acatando la dependencia entre tareas. • Planificación: asignación ordenada de tareas a cada equipo. Matemática discreta. Relaciones binarias 29
  30. 30. Planificación de tareas Planificación de tareas 2 • A: lista de tareas a realizar. • R relación binaria sobre A aRb ⇔ a es previo a b, es decir, a debe realizarse antes que b. • m∈A es minimal si ∀a∈A, aRm • Eliminar m de (A,R) consiste en suprimir todos los pares de R en los que a parezca m. • A es realizable ⇔ R se puede extender a un orden topológico. Matemática discreta. Relaciones binarias 30
  31. 31. Planificación de tareas Orden topológico 1 • Un orden topológico < es una extensión de un orden parcial ≤ sobre un conjunto A si se verifica que: si a≤b entonces a<b. Matemática discreta. Relaciones binarias 31
  32. 32. Planificación de tareas Orden topológico 2 1 Iniciar T=[] 2 Mientras A≠∅ – si ∃ m∈A minimal Incluir m en T Eliminar m de (A,R) Volver a (2) – En otro caso, A no es realizable. Salir 3 Salida T orden topológico. Matemática discreta. Relaciones binarias 32
  33. 33. Planificación de tareas Planificación correcta 1 Iniciar T=[] 2 Mientras A≠∅ – si ∃ m∈A minimal y primera tarea de un equipo E Incluir m en T Eliminar m de (A,R) y de E Volver a (2) – En otro caso, P no es correcta. Salir 3 Salida T orden topológico. Matemática discreta. Relaciones binarias 33
  34. 34. Planificación de tareas Tiempo de realización de tareas • coste de m, w(m), es el tiempo que se necesita para realizar la tarea m, una vez terminadas las tareas previas a m. • t(m) tiempo que se necesita para la realización de la tarea m, incluido el tiempo de espera necesario para que se realicen las tareas previas a m. t(m)=w(m) + max{t(ai) / aiRm} • t(R)=max{t(a) / a∈A } es el tiempo mínimo en el que se pueden realizar las tareas de A. Matemática discreta. Relaciones binarias 34
  35. 35. Planificación de tareas Tiempo mínimo para la realización de tareas 1 Mientras existan tareas no marcadas en A – si existe m∈A minimal no marcado Calcular t(m)=w(m)+max{t(b) / bRm} Marcar m Volver a (1) – En otro caso, A no es realizable. Salir 2 Salida t(R)=max{t(a) / a∈A} Matemática discreta. Relaciones binarias 35
  36. 36. Planificación de tareas Tiempo para la realización de planificaciones 1 • tp(m) tiempo que se necesita para la realización de la tarea m en la planificación P, incluido el tiempo de espera necesario para que se realicen las tareas previas a m y las anteriores a m en su equipo. tp(m)=w(m) + max{tp(ai) / aiRm ó ai es anterior a m en su equipo} • tp(R)=max{tp(a) / a∈A } es el tiempo mínimo en el que se pueden realizar las tareas de A en la planificación P. Matemática discreta. Relaciones binarias 36
  37. 37. Planificación de tareas Tiempo para la realización de planificaciones 2 1 Mientras existan tareas no marcadas en A – si existe m∈A minimal no marcado y primera tarea no marcada de un equipo. Calcular tp(m)=w(m)+max{tp(b) / bRm ó b es el anterior a m en su equipo} Marcar m Volver a (1) – En otro caso, P no es correcta. Salir 2 Salida tp(R)=max{tp(a) / a∈A} Matemática discreta. Relaciones binarias 37
  38. 38. Planificación de tareas Optimización del número de equipos equipos 1 • W=Σw(a), a∈A • A conjunto de n tareas • Si P es una planificación con n equipos, se verifica W≤ n·t(R) ⇒ n ≥ W/t(R). Esto nos da una cota inferior para el número de equipos necesarios para ejecutar las tareas en el menor tiempo t(R). Matemática discreta. Relaciones binarias 38
  39. 39. Planificación de tareas Optimización del número de equipos equipos 21 Iniciar los equipos Ei=[] y los tiempo ti=0, 1≤ i≤n2 ∀ m∈A minimal – Encontrar el menor k / tk=0 ; xk= m ; tk= w(m) ; incluir m en Ek3 Mientras existan tareas no marcadas en A – Si ∃ Ei / ti ≠0 ∀ j / tj = min{ti /ti ≠0}, marcar xj (último elemento de Ej) ; tj’= tj ; tj=0 ∀a / xjRa y todos sus previos están marcados • Encontrar el menor k / tk=0 ; xk=a ; tk= tj’+ w(a) ; incluir a en Ek Volver a (3) – R no es realizable. Salir4 Salida P={Ei / Ei ≠[]} Matemática discreta. Relaciones binarias 39

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