1. ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΤΟΥ ΡΥΘΜΟΥ ΜΕΤΑΤΡΟΠΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ
ΚΑΤΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ
Κελεσάκης Δημήτριος
AEM: 7898
Επιβλέποντες:
Αναπληρωτής Καθηγητής κ. Συμεωνίδης Ανδρέας
Μεταδιδακτορικός ερευνητής κ. Βαβλιάκης Κωνσταντίνος

2. 2Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Εισαγωγή
Πληθώρα διαθέσιμων δεδομένων
σχετικά με την αγορά και τους πελάτες
Μεγιστοποίηση των κερδών
Ανάγκη σχεδιασμού νέων στρατηγικών τιμολόγησης
Έντονος ανταγωνισμός μεταξύ των ηλεκτρονικών
καταστημάτων
Ψηφιοποίηση των αγορών και η ραγδαία ανάπτυξη του
ηλεκτρονικού εμπορίου

3. 3Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Σκοπός της διπλωματικής εργασίας
1. Η εφαρμογή τεχνικών δυναμικής τιμολόγησης συναντάται συχνά σε ορισμένους τομείς, όπως οι ταξιδιωτικές
κρατήσεις, αλλά έχει περιορισμένη εφαρμογή στα ηλεκτρονικά καταστήματα λιανικής πώλησης
2. Εστίαση πέρα από τα δεδομένα της αγοράς και στο προφίλ των πελατών, τις προηγούμενες αλληλεπιδράσεις τους
και τις παραγγελίες τους
3. Χρήση μεθόδων μηχανικής μάθησης σε συνδυασμό με τεχνικές ανάλυσης του προφίλ των πελατών
 Ο καθορισμός των τιμών σε συνθήκες σχεδόν πραγματικού
χρόνου με τη μορφή εξατομικευμένων προσφορών
 Η βελτιστοποίηση του ποσοστού μετατροπών (conversion rate)
και η μεγιστοποίηση των κερδών

4. 4Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Γνώσεις που αποκτήθηκαν
I. Αλγόριθμοι τιμολόγησης και τεχνικές ανάλυσης δεδομένων
II. Σχεδιασμός στρατηγικών δυναμικής τιμολόγησης και έλεγχος της αποτελεσματικότητας τους
III. Υλοποίηση προσομοιώσεων αγοράς με διαφορετικές παραμέτρους
IV. Γνώσεις προγραμματισμού σε Java με χρήση του περιβάλλοντος ανάπτυξης IntelliJ IDEA και
της βιβλιοθήκης βαθιάς μάθησης Deeplearning4j

5. 5Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
WTP (willingness to purchase)
 Μια μεταβολή των τιμών κατά 1% οδηγεί σε μέση αύξηση των
κερδών κατά 7.4% (Anthes, 1998)
 oι πελάτες έχουν συγκεκριμένες προσδοκίες σχετικά με την τιμή των
προϊόντων
 συγκρίνουν διαισθητικά την τιμή των προϊόντων με την τιμή που
έχουν στα μυαλό τους γι’ αυτά
 wtp (willingness to purchase): το μέγιστο χρηματικό ποσό
που είναι διατεθειμένος να πληρώσει ο καταναλωτής
 τιμή ≤ wtp προχωράει σε αγορά
 τιμή > wtp δεν προχωράει σε αγορά
 η τιμή μπορεί να εξατομικευτεί με βάση τη wtp του κάθε πελάτη

6. 6Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Μοντέλο RFM
Πρόκειται για ένα εργαλείο:
 ανίχνευσης της αγοραστικής συμπεριφοράς του πελάτη
 εκτίμησης της αξίας του συγκεκριμένου πελάτη για την επιχείρηση
 διατήρησης του πελάτη
• recency: το χρονικό διάστημα από την τελευταία αγορά του
• frequency: η συχνότητα αγορών του
• monetary: η συνολική αξία αγορών
 Υπάρχουν διάφορες παραλλαγές του, με προσθήκη/τροποποίηση μεταβλητών αναλόγως
με το πεδίο όπου εφαρμόζεται
Συγκροτείται από τις μεταβλητές Recency, Frequency και Monetary:

7. 7Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Στρατηγικές δυναμικής τιμολόγησης
• κόστος • διαθέσιμο στοκ • προσφορά και ζήτηση • ανταγωνισμός
 Βασίζονται στην αυτόματη και συνεχή προσαρμογή και έλεγχο των τιμών
Ορισμός
Οι στρατηγικές προσαρμογής της τιμής του προϊόντος ή υπηρεσίας ώστε να παρέχει στη κατάλληλη τιμή
το κατάλληλο προϊόν ή υπηρεσία στο κατάλληλο πελάτη τη κατάλληλη χρονική στιγμή.
 Κίνδυνος αντιδράσεων καταναλωτών
 Πιο αποτελεσματικός τρόπος εφαρμογής: με τη μορφή εξατομικευμένων
προσφορών (προσωπικών κουπονιών)
 Κάνουν μια πολυπαραγοντική ανάλυση της αγοράς που λαμβάνει υπόψη:
• wtp πελατών • προτιμήσεις πελατών • αγοραστική συμπεριφορά
• διάφοροι εξωτερικοί παράγοντες

8. 8Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Μοντελοποίηση προϊόντων και καταστημάτων
Χαρακτηριστικά προϊόντων product-00000001
• τιμή κόστους 13.480
• φήμη / μάρκα προϊόντος 108.7246
• διαθεσιμότητα 1
• τιμή πώλησης 16.85
Χαρακτηριστικά καταστημάτων shop-00000001
• κόστος μεταφορικών 5
• τρόποι πληρωμής 1
• τρόποι αποστολής 0
• χρόνος παράδοσης 2.5
• μέσος όρος κριτικών 5
• αξιοπιστία / φήμη πωλητή 4

9. 9Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Υλοποίηση πελάτη
• Γενικό προφίλ:
o αρχική wtp για κάθε προϊόν
 ακολουθεί κανονική κατανομή μεταξύ των πελατών με:
o οι προσωπικές του απαιτήσεις για τα χαρακτηριστικά/υπηρεσίες
των καταστημάτων
o τελική wtp με βάση πόσες απαιτήσεις του ικανοποιούνται:
 κάθε πελάτης έχει ευαισθησία σε 4 τυχαία χαρακτηριστικά του καταστήματος για καθένα από τα
οποία έχει ένα συγκεκριμένο όριο
 για καθεμιά από αυτές τις απαιτήσεις που ικανοποιείται η wtp του αυξάνεται κατά [0%, 2.5%]
μ = 0.95 * τιμή αναφοράς, σ = 0.10 * τιμή αναφοράς
• Ειδικό προφίλ:
o μεταβλητές RFM (recency, frequency, monetary)
o μεταβλητή 𝒑𝒂𝒈𝒆 𝒗𝒊𝒆𝒘𝒔 𝒑𝒆𝒓 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕 𝒔𝒐𝒍𝒅 =
𝜎𝜐𝜈𝜊𝜆𝜄𝜅ό𝜍 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇ό𝜍 𝜋𝜌𝜊𝛽𝜊𝜆ώ𝜈 𝜎𝜀𝜆𝛿𝜔𝜈
𝜎𝜐𝜈𝜊𝜆𝜄𝜅ό𝜍 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇ό𝜍 𝜋𝜌𝜊𝜄ό𝜈𝜏𝜔𝜈 𝜋𝜊𝜐 𝛼𝛾𝜊𝜌𝜎𝜏𝜂𝜅𝛼𝜈
o μεταβλητή 𝒕𝒊𝒎𝒆 𝒔𝒑𝒆𝒏𝒕 𝒑𝒆𝒓 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒓 =
𝜎𝜐𝜈𝜊𝜆𝜄𝜅ό𝜍 𝜒𝜌ό𝜈𝜊𝜍 𝜋𝛼𝜌𝛼𝜇𝜊𝜈𝛹𝜍 𝜎𝜏𝜊𝜈 𝜄𝜎𝜏ό𝜏𝜊𝜋𝜊
𝜎𝜐𝜈𝜊𝜆𝜄𝜅ό𝜍 𝛼𝜌𝜄𝜃𝜇ό𝜍 𝛼𝛾𝜊𝜌ώ𝜈

10. 10Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Παραδοχές
Προϊόντα
 Η τιμή κόστους είναι σταθερή στο χρόνο
 Εφόσον ένα προϊόν είναι διαθέσιμο ικανοποιείται παραγγελία οποιασδήποτε ποσότητας
Πελάτες
 Η wtp τους μεταβάλλεται χρονικά με τυχαίο τρόπο
 Δεν επηρεάζεται από τις τιμές παρεμφερών προϊόντων
 Επισκέπτονται με τυχαία σειρά τα καταστήματα, χωρίς κάποια προτίμηση
Καταστήματα
 Έχουν πρόσβαση στα χαρακτηριστικά και τις τιμές των ανταγωνιστών μέχρι και τη
χρονική στιγμή t-1
 Δεν έχουν πρόσβαση σε στρατηγικές τιμολόγησης και προφίλ πελατών

11. 11Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Σύνολα δεδομένων
 Σύνολο δεδομένων προϊόντων: περιλαμβάνει τα χαρακτηριστικά και τις τιμές αναφοράς των προϊόντων
 Σύνολο δεδομένων παραγγελιών: περιλαμβάνει τα δεδομένα των παραγγελιών
 Σύνολο δεδομένων προβολών σελίδων: περιλαμβάνει τα timestamp των προβολών
12.883 προϊόντα
116.132 παραγγελίες
440.707 πωλήσεις προϊόντων
40.369 πελάτες
37.600.000 προβολές σελίδων
Συνολικά έχουν ληφθεί υπόψη:
productId baseCost brandPower referencePrice
product-00000001 13.480 108.7246 16.85
orderId datePurchased customerId productTotal productId
order-00000001 2017-12-31 00:06:22 customer-00000001 90.51 product-00000001
customerId timeStamp
customer-00000001 2017-12-30 14:12:38

12. 12Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Σχεδιασμός προτεινόμενου μοντέλου
NN1 NN2 τελική τιμή =
= προσωπική τιμή
τελική τιμή =
= ανταγωνιστική τιμή
1η
παραγγελία;
ΟΧΙ
ΝΑΙ
 Χρησιμοποιούνται δύο feed-forward νευρωνικά δίκτυα back-propagation
 NN1: καθορισμός μιας ανταγωνιστικής τιμής για κάθε προϊόν με βάση τα χαρακτηριστικά του προϊόντος και του
καταστήματος καθώς και τον ανταγωνισμό
 NN2: προσαρμογή της ανταγωνιστική τιμής σε μια προσωπική τιμή, με βάση το προφίλ του κάθε πελάτη
χαρακτηριστικά
προϊόντος
προφίλ
καταστήματος

13. 13Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Διάταξη νευρωνικών δικτύων
κόστος μεταφορικών
τρόποι πληρωμής
τρόποι αποστολής
χρόνος παράδοσης
μέσος όρος κριτικών
φήμη πωλητή
ανταγωνιστική τιμή
τιμή κόστους
φήμη μάρκας
διαθεσιμότητα
προσωπική
τιμή
recency
frequency
monetary
page views per
product sold
time spent
per orderNN1
NN2

14. 14Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Επιλογή παραμέτρων εκπαίδευσης
Εύρος παραμέτρων που δοκιμάστηκαν
NN1
Κρυφοί κόμβοι: [3, 64]
Epochs: [50, 5000]
Learning rate: [0.0001, 0.1]
Number of samples: [25, 1000]
Batch size: [10, 1000]
NN2
Κρυφοί κόμβοι: [3, 32]
Epochs: [50, 5000]
Learning rate: [0.0001, 0.1]
Number of samples: [25, 1000]
Batch size: [10, 1000]
Βέλτιστες παράμετροι
NN1
Κρυφοί κόμβοι: 24
Epochs: 100
Learning rate: 0.001
Number of samples: 100
Batch size: 15
NN2
Κρυφοί κόμβοι: 13
Epochs: 50
Learning rate: 0.01
Number of samples: 100
Batch size: 15
RMSE = 6.23
RMSE = 5.85

15. 15Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Πείραμα προσομοίωσης αγοράς 10 καταστημάτων
Προδιαγραφές πειράματος:
Για κάθε κατάστημα υπολογίζονται:
 1 κατάστημα που εφαρμόζει δυναμική τιμολόγηση
 9 καταστήματα που εφαρμόζουν πολιτική σταθερών τιμών
 1.000 προϊόντα
 1.000 πελάτες (80% νέοι, 20% παλιοί)
 επισκέπτονται με τυχαία σειρά τα καταστήματα μέχρι:
 να βρουν το συγκεκριμένο προϊόν σε αποδεκτή τιμή γι’ αυτούς
 ταυτόχρονα να ικανοποιηθούν οι προσωπικές τους προτιμήσεις
 οι αριθμοί επισκέψεων, πωλήσεων και το ποσοστό μετατροπών
 η αξία πωλήσεων, τα μικτά και καθαρά κέρδη
 τα λειτουργικά κόστη υπολογίζονται ως ένα ποσοστό Χ επί
της τιμής κόστους των προϊόντων

16. 16Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Χαρακτηριστικά καταστημάτων
Κατάστημα 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Κόστος μεταφορικών 5 5.5 6 4.5 5 5 5.5 4 5 5
Τρόποι πληρωμής 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
Τρόποι αποστολής 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0
Χρόνος παράδοσης 2.5 3 2 3.5 4 3 3 5 3 4
Μέσος όρων κριτικών 5 4 4 2 5 5 4 3 5 5
Αξιοπιστία/φήμη πωλητή 4 4 5 3 4 4 5 3 5 5
Στρατηγική τιμολόγησης*
Δυναμική
Τιμολόγηση
+3 +3 +0.5 +0.5 -5 +5 -5 -5 -3
*μέση ποσοστιαία απόκλιση τιμής συγκριτικά με την τιμή αναφοράς

17. 17Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Αποτελέσματα πειράματος (1/2)
 Μεταβολή του συντελεστή λειτουργικών εξόδων Χ
-5,000
0
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
X = 15% X = 18% X = 20%
Καθαρά κέρδη(€)
Σύγκριση καθαρών κερδών καταστημάτων
Κατάστημα 1
Κατάστημα 2
Κατάστημα 3
Κατάστημα 4
Κατάστημα 5
Κατάστημα 6
Κατάστημα 7
Κατάστημα 8
Κατάστημα 9
Κατάστημα 10
 Tα καθαρά κέρδη του καταστήματος #1 είναι αυξημένα κατά μέσο όρο κατά 54% συγκριτικά με το
εκάστοτε 2ο σε κέρδη κατάστημα.

18. 18Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Αποτελέσματα πειράματος (2/2)
 Μετατόπιση της κανονικής κατανομής της wtp των καταναλωτών
-5,000
0
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
30,000
μ = 0.80*referencePrice μ = 0.95*referencePrice μ = 1.10*referencePrice
Καθαρά κέρδη(€)
Σύγκριση καθαρών κερδών καταστημάτων
Κατάστημα 1
Κατάστημα 2
Κατάστημα 3
Κατάστημα 4
Κατάστημα 5
Κατάστημα 6
Κατάστημα 7
Κατάστημα 8
Κατάστημα 9
Κατάστημα 10
 Tα καθαρά κέρδη του καταστήματος #1 είναι αυξημένα κατά μέσο όρο 48% συγκριτικά με το
εκάστοτε 2ο σε κέρδη κατάστημα.

19. 19Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Αλγόριθμος derivative-following (DF)
 πειραματίζεται με διαδοχικές αυξήσεις (ή μειώσεις) της τιμής μέχρι το παρατηρούμενο επίπεδο κερδών να
αρχίσει να πέφτει
 τότε η μεταβολή της τιμής συνεχίζεται στην αντίθετη κατεύθυνση
Περιγράφεται από τη σχέση: 𝑝𝑡+1 = 𝑝𝑡 + 𝛿𝑡 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝜋 𝑡 − 𝜋 𝑡−1 𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑝𝑡 − 𝑝𝑡−1
o 𝒑 𝒕 ∶ η τιμή του προϊόντος τη χρονική στιγμή t
o 𝝅 𝒕 ∶ το κέρδος του πωλητή τη χρονική στιγμή t
o 𝜹 𝒕 ∶ το μέγεθος του βήματος μεταβολής της τιμής τη χρονική στιγμή t, το οποίο είναι
ομοιόμορφα κατανεμημένο στο διάστημα [a, b], (π.χ. [0.01, 0.02])
 στην πώληση σε κάθε βήμα του προϊόντος στην υψηλότερη δυνατή τιμή που συνεχίζει να αποφέρει κέρδη
όπου:

20. 20Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Πείραμα σύγκρισης στρατηγικών τιμολόγησης
Προδιαγραφές πειράματος:
Για κάθε κατάστημα υπολογίζονται:
Κατάστημα 1:
Προτεινόμενη στρατηγική
δυναμικής τιμολόγησης
Κατάστημα 2:
Δυναμική τιμολόγηση
derivative-following
Κατάστημα 3:
Σταθερή τιμολόγηση
~+3% της τιμής αναφοράς
 3 καταστήματα
 100 προϊόντα
 10.000 πελάτες (80% νέοι, 20% παλιοί)
 επισκέπτονται τα καταστήματα με τυχαία σειρά
 οι αριθμοί επισκέψεων, πωλήσεων και το ποσοστό μετατροπών
 η αξία πωλήσεων, τα μικτά και καθαρά κέρδη
 τα λειτουργικά κόστη αντιστοιχούν σ’ ένα ποσοστό Χ επί
της τιμής κόστους των προϊόντων

21. 21Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Αποτελέσματα πειράματος
0
100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
0.8 0.95 1.1
Μέση τιμή κανονικής κατανομής wtp συναρτήσει της τιμής αναφοράς
Σύγκριση καθαρών κερδών καταστημάτων
Κατάστημα 1
Κατάστημα 2
Κατάστημα 3
 Ο αλγόριθμος DF δίνει καλύτερα
αποτελέσματα για βήμα στο διάστημα τιμών
[0.03, 0.06]
 Το προτεινόμενο μοντέλο συνεχίζει να οδηγεί
σε υψηλότερα καθαρά κέρδη ανεξαρτήτως
διαστήματος τιμών του βήματος του
αλγορίθμου DF και κατανομής της wtp
 Tα καθαρά κέρδη του καταστήματος #1 είναι αυξημένα κατά:
 16% συγκριτικά με το κατάστημα #2
 146% συγκριτικά με το κατάστημα #3

22. 22Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Συμπεράσματα-Ανοιχτά θέματα
 Το προτεινόμενο μοντέλο λειτούργησε αποτελεσματικά οδηγώντας σε αύξηση των καθαρών κερδών
 κατά 51% συγκριτικά με τη τιμολόγηση σταθερών τιμών και κατά 16% συγκριτικά με τον αλγόριθμο DF
Βελτιώσεις
 Η wtp μπορεί να προσδιοριστεί πιο ρεαλιστικά μέσω μιας πιθανοτικής κατανομής
 Προσθήκη/αντικατάσταση χαρακτηριστικών προϊόντων, καταστημάτων και πελατών
 Χρήση άλλων μεθόδων βαθιάς μάθησης στη θέση των νευρωνικών δικτύων
 Σύγκριση και με άλλους αλγορίθμους δυναμικής τιμολόγησης
 Πλεονεκτήματα μοντέλου:
 προσαρμόζεται εύκολα σ’ ένα μεγάλο εύρος δεδομένων και σεναρίων αγοράς
 ενισχύει την ικανοποίηση των πελατών προσφέροντας τους το προϊόν σε μια προσωπική τιμή

23. 23Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Ευχαριστίες
Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους επιβλέποντες της διπλωματικής μου
εργασίας, τον Αναπληρωτή καθηγητή κ. Ανδρέα Συμεωνίδη και το
μεταδιδακτορικό ερευνητή κ. Κωνσταντίνο Βαβλιάκη για τη βοήθεια
και τη καθοδήγηση που μου προσέφεραν καθ’ όλη τη διάρκεια
εκπόνησής της.

24. 24Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Ερωτήσεις
Ευχαριστώ για τη προσοχή σας!

25. 25Οκτώβριος 2019 Κελεσάκης Δημήτριος
Προεπεξεργασία δεδομένων & εκπαίδευση
όπου:
o α1,j: η τιμή της j εισόδου του νευρωνικού δικτύου πριν την κανονικοποίηση
o αn1,j: η τιμή της j εισόδου του 1ου νευρωνικού δικτύου μετά την κανονικοποίηση
 Υπολογίζεται η έξοδος του νευρωνικού δικτύου από τον τύπο:
o η αρχικοποίηση των βαρών γίνεται με τη μέθοδο relu
o ως συνάρτηση ενεργοποίησης στο επίπεδο εισόδου χρησιμοποιείται η relu,
ενώ στο κρυφό επίπεδο δε χρησιμοποιείται συνάρτηση ενεργοποίησης
o ως συνάρτηση απωλειών χρησιμοποιείται η MSE
 Αποκανονικοποιείται η έξοδος και ελέγχεται αν η τιμή ανήκει στο διάστημα [1.1*τιμή κόστους, 2*τιμή κόστους],
ειδάλλως εξισώνεται με το πλησιέστερο άκρο του
𝑎 𝑛1,𝑗 =
𝑎1,𝑗
ma x( 𝑎1,𝑗
𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 𝑛,1 = 𝑓 𝑊𝑗,𝑖 𝛼 𝑛1,𝑗
𝑖−1
𝑗=0
 Οι είσοδοι και η έξοδος κάθε νευρωνικού δικτύου
κανονικοποιούνται στο διάστημα [0, 1] με χρήση του τύπου: