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                                                       Raíz de un Monomio

   Para simplificar raíces que tienen monomios en el Subradical se utiliza un procedimiento que se
explicará por medio de los siguientes ejemplos.


* Ejemplo: Simplifique al máximo los siguientes radicales:


a)       32x5 y3 =

     Solución: 1) Se factoriza el coeficiente del subradical (en este ejemplo es 32) y se forman
                  potencias de exponente 2 (porque en este caso es una raíz cuadrada).

                     2) Las letras del subradical se separan en potencias que tengan exponente 2 (porque
                        en este caso es una raíz cuadrada).


         32x5 y3 =                                                   32     2   x5 = x2  x2  x
                                                                     16     2
                                                                      8     2
                                                                                y3 = y2  y
         22  22  2  x2  x2  x  y2  y =                         4     2
                                                                      2     2
                                                                      1
     22xxy                  2x y =

              4x2y        2xy




b)   3
         3125m8n6p =                                              3 125     5
                                                                    625     5   m8 = m3  m3  m2
                                                                    125     5
     3
         53  5  5  m3  m3  m2  n3  n3  p =                   25     5   n6 = n 3  n3
                                                                      5     5
                                                                      1         p=p
     5mmnn                  3
                                    5  5  m2  p =


             5m2n2    3
                          25m2p
2

c) 3b4            81a4b3 =
                                                                                   81           3           a4 = a 2  a2
                                                                                   27           3
     3b4          32  32  a2  a2  b2  b =                                      9           3           b3 = b 2  b
                                                                                    3           3
                                                                                    1
     3b4  3  3  a  a  b                    b =

                  27a2b5        b




d) –5u2v              3
                          1080u10 v9 w5 =                                                          1080   2       u10 = u3  u3  u3  u
                                                                                                     540   2
                                                                                                     270   2       v9 = v3  v3  v3
     –5u v    2       3
                          2  5  3  u  u  u  u  v  v  v  w  w =
                            3        3      3     3   3   3       3   3        3    2
                                                                                                     135   5
                                                                                                      27   3       w5 = w3  w2
                                                                                                       9   3
     –5u2v  –2  3  u  u  u  v  v  v  w               3
                                                                  5  u  w2 =                         3   3
                                                                                                       1
                  30u5v4w       3
                                    5uw 2




Práctica: Simplifique al máximo los siguientes radicales:

1) – 4 16x12 =                                                            8)       50x7 =

2) a3     5
              a10 =                                                       9) – 48n


3) –5x y 6 =                                                              10) –6a 45b8 =


4)   3
         64a9 =                                                          11) 5x2w 243x5 y 4 =

5) 3ab2           4
                      625a4b8 =                                           12) 4y3           32y 2 z3 =

6) x3z        5
                  x5 y10 z15 =                                            13) 2c3       3
                                                                                            216a4c 6 =


7) –2ab 121a4b8 =                                                         14) –3h3          3
                                                                                                8000h5 =
3

                                                       Raíz de una Fracción


       Cuando hay una fracción dentro de una raíz primero debe simplificarse la fracción (si se
puede), luego se simplifica por separado la raíz del numerador y la raíz del denominador.

                                                                        n
                                                                  a         a
                                                              n     =
                                                                  b     n
                                                                            b


* Ejemplo: Simplifique al máximo los siguientes radicales


          32x 6 y 2
a)   3              =
           a3 b9


     Solución: En este caso la fracción no se puede simplificar. Por consiguiente, se procede a
     simplificar por separado la raíz del numerador y la del denominador.

     1)     3
                32x 6 y 2 =                             32   2
                                                        16   2      x6 = x3  x3
                                                        8    2
            3
                23  2  2  x3  x3  y2 =             4    2      y2 = y2
                                                        2    2
                                                        1
           2xx           3
                               2  2  y2 =                                        Por lo tanto se obtiene que:


                2x2   3
                          4y 2                                                           32x 6 y 2   2x 2 3 4y 2
                                                                                     3             =
                                                                                          a3 b9         ab3

            3
     2)         a3b9 =

            3
                a3  b3  b3  b3 =           a  b  b  b = ab3




            100x 7 y 9
b)   –                 =
             36x 3 y 3


     Solución: En este caso la fracción sí se puede simplificar. Entonces primero se hace este paso
     antes de simplificar las dos raíces por separado.
4

          100x 7 y 9
     –               =
           36x 3 y 3


          25x 4 y 6
     –              =                        1)   25x 4 y 6 =
            9                                                                             2)        9 =

                                                  52  x2  x2  y2  y2  y2 =                     32 =
            2   3
         5x y
     –
           3                                      5xxyyy=                                     3

                                                          5x2y3




      2a            1000a3c 7
c)              3             =
     5b2c 3           54b6

      2a            500a3c 7                      3
                                                      500a3c 7 =                               3
                                                                                                   27b6 =
                3            =
     5b2c 3          27b6
                                                  3
                                                      53  2  2  a3  c 3  c 3  c =        3
                                                                                                   33  b3  b3 =
                       23
      2a      5ac 4c
                    =
     5b2c 3     3b2                               5acc          3
                                                                       22c =                 3bb =

                                                                  2 3
                                                                                                       3b2
                                                            5ac         4c
         10a2c 2 3 4c
                      =
           15b4c 3

         2a2 3 4c           2a2     3
                        =               4c
          3b4c              3b4 c




         36
d)   4      =
         a8
5

         6xy 4         64x8 v 6 z2
e) –              5                   =
         4uv 2        243u10 y15 x3 v




Práctica: Simplifique al máximo los siguientes radicales:


              64                                                   6x 5
a) –             =                                      i)   3
             289                                                 2000x 5

         100                                                      40m8n3
b)           =                                          j) –
         361                                                      16n3m10

         a12                                                           5x 3
c)   3        =                                         k) –5x      3        =
          64                                                            512

         49k 8                                               4           3w 8
d)             =                                        l)          3           =
         121                                                 w2         8000w 2

             d8h4                                                   96m5
e) –     4        =                                     m) –             =
             6561                                                   54m4

         162y 6                                              7x 4         5z 4
f)              =                                       n)                      =
          450                                                 z          196x 2

             648b6                                          2x         270u9
g) –     3          =                                   o)                        =
              3a3                                            9u5         40u3 x 2

         900w 9                                               a7             1500w 8a4
h)              =                                       p)               3              =
          49w                                                10w 3             6a13 w 5
6

                                                                   Raíz de una Raíz

Hay dos casos:

                 n   m               nm
Caso1:                   a =               a

                                                            nm
Caso2:           n
                     x   m
                             a   =    n    m
                                               a  xm   =         a  xm




*Ejemplos: Simplifique al máximo las siguientes expresiones:

                 3                                                                                3
a)                   5a7 =                                                    d)           4          2 =

             6
                 5a7 =                                                                        3
                                                                                                  2  43 =

             6
                 5  a6  a =                                                         6
                                                                                          2  43 =

       a 6 5a                                                                         6
                                                                                          2  64 =

                                                                                      6
                                                                                          128 =

b)       4
                     256x10 y3 =                                                      6
                                                                                          26  2 =

                                                                                          6
             8
                 256x10 y 3 =                                                         2       2


             8
                 28  x8  x2  y3 =
                                                                              e)           2x3         5x =

       2x        8
                     x 2 y3
                                                                                                  5x  (2x3 )2 =

                                                                                      4
                                                                                          5x  (2x3 )2 =
c)                       m17b8 =
                                                                                      4
                                                                                          5x  4x 6 =

                                                                                      4
         8
             m17b8 =                                                                      20x7 =

         8
             m8  m8  m  b8 =
                                                                                      4
                                                                                          20  x 4  x3 =

       m2b           8
                         m                                                            x   4
                                                                                              20x 3
7



             3
f)                2u2   4
                            32 =

             3     4
                       32u5 w 3  (2u2 )4 =

             12
                  32u5 w 3  16u8 =

             12
                  512u13 w 3 =

             12
                  512  u12  u  w 3 =

                  12
             u         512uw 3




* Práctica: Simplifique al máximo las siguientes expresiones:

         3
a)           a5 =                                    f)        25x6         4x 4 =

                                                                    5
b)           81m7n8 =                                g)       3u2       3u4 =


                                                                   5
                                                                            2
c)       3
                   x15 y 24a11 =                     h)   3            3
                                                                                =


                                                                                3
d)   4
             1024a11x8 =                                            9x 3 
                                                     i) –                         =
                                                                    16u4 
     3
                                                                         
e)       2        2 =

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  • 1. 1 Raíz de un Monomio Para simplificar raíces que tienen monomios en el Subradical se utiliza un procedimiento que se explicará por medio de los siguientes ejemplos. * Ejemplo: Simplifique al máximo los siguientes radicales: a) 32x5 y3 = Solución: 1) Se factoriza el coeficiente del subradical (en este ejemplo es 32) y se forman potencias de exponente 2 (porque en este caso es una raíz cuadrada). 2) Las letras del subradical se separan en potencias que tengan exponente 2 (porque en este caso es una raíz cuadrada). 32x5 y3 = 32 2 x5 = x2  x2  x 16 2 8 2 y3 = y2  y 22  22  2  x2  x2  x  y2  y = 4 2 2 2 1 22xxy 2x y = 4x2y 2xy b) 3 3125m8n6p = 3 125 5 625 5 m8 = m3  m3  m2 125 5 3 53  5  5  m3  m3  m2  n3  n3  p = 25 5 n6 = n 3  n3 5 5 1 p=p 5mmnn 3 5  5  m2  p = 5m2n2 3 25m2p
  • 2. 2 c) 3b4 81a4b3 = 81 3 a4 = a 2  a2 27 3 3b4 32  32  a2  a2  b2  b = 9 3 b3 = b 2  b 3 3 1 3b4  3  3  a  a  b b = 27a2b5 b d) –5u2v 3 1080u10 v9 w5 = 1080 2 u10 = u3  u3  u3  u 540 2 270 2 v9 = v3  v3  v3 –5u v 2 3 2  5  3  u  u  u  u  v  v  v  w  w = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 135 5 27 3 w5 = w3  w2 9 3 –5u2v  –2  3  u  u  u  v  v  v  w 3 5  u  w2 = 3 3 1 30u5v4w 3 5uw 2 Práctica: Simplifique al máximo los siguientes radicales: 1) – 4 16x12 = 8) 50x7 = 2) a3 5 a10 = 9) – 48n 3) –5x y 6 = 10) –6a 45b8 = 4) 3 64a9 = 11) 5x2w 243x5 y 4 = 5) 3ab2 4 625a4b8 = 12) 4y3 32y 2 z3 = 6) x3z 5 x5 y10 z15 = 13) 2c3 3 216a4c 6 = 7) –2ab 121a4b8 = 14) –3h3 3 8000h5 =
  • 3. 3 Raíz de una Fracción Cuando hay una fracción dentro de una raíz primero debe simplificarse la fracción (si se puede), luego se simplifica por separado la raíz del numerador y la raíz del denominador. n a a n = b n b * Ejemplo: Simplifique al máximo los siguientes radicales 32x 6 y 2 a) 3 = a3 b9 Solución: En este caso la fracción no se puede simplificar. Por consiguiente, se procede a simplificar por separado la raíz del numerador y la del denominador. 1) 3 32x 6 y 2 = 32 2 16 2 x6 = x3  x3 8 2 3 23  2  2  x3  x3  y2 = 4 2 y2 = y2 2 2 1 2xx 3 2  2  y2 = Por lo tanto se obtiene que: 2x2 3 4y 2 32x 6 y 2 2x 2 3 4y 2 3 = a3 b9 ab3 3 2) a3b9 = 3 a3  b3  b3  b3 = a  b  b  b = ab3 100x 7 y 9 b) – = 36x 3 y 3 Solución: En este caso la fracción sí se puede simplificar. Entonces primero se hace este paso antes de simplificar las dos raíces por separado.
  • 4. 4 100x 7 y 9 – = 36x 3 y 3 25x 4 y 6 – = 1) 25x 4 y 6 = 9 2) 9 = 52  x2  x2  y2  y2  y2 = 32 = 2 3 5x y – 3 5xxyyy= 3 5x2y3 2a 1000a3c 7 c) 3 = 5b2c 3 54b6 2a 500a3c 7 3 500a3c 7 = 3 27b6 = 3 = 5b2c 3 27b6 3 53  2  2  a3  c 3  c 3  c = 3 33  b3  b3 = 23 2a 5ac 4c  = 5b2c 3 3b2 5acc 3 22c = 3bb = 2 3 3b2 5ac 4c 10a2c 2 3 4c = 15b4c 3 2a2 3 4c 2a2 3 = 4c 3b4c 3b4 c 36 d) 4 = a8
  • 5. 5 6xy 4 64x8 v 6 z2 e) – 5 = 4uv 2 243u10 y15 x3 v Práctica: Simplifique al máximo los siguientes radicales: 64 6x 5 a) – = i) 3 289 2000x 5 100 40m8n3 b) = j) – 361 16n3m10 a12 5x 3 c) 3 = k) –5x 3 = 64 512 49k 8 4 3w 8 d) = l) 3 = 121 w2 8000w 2 d8h4 96m5 e) – 4 = m) – = 6561 54m4 162y 6 7x 4 5z 4 f) = n) = 450 z 196x 2 648b6 2x 270u9 g) – 3 = o) = 3a3 9u5 40u3 x 2 900w 9 a7 1500w 8a4 h) = p) 3 = 49w 10w 3 6a13 w 5
  • 6. 6 Raíz de una Raíz Hay dos casos: n m nm Caso1: a = a nm Caso2: n x m a = n m a  xm = a  xm *Ejemplos: Simplifique al máximo las siguientes expresiones: 3 3 a) 5a7 = d) 4 2 = 6 5a7 = 3 2  43 = 6 5  a6  a = 6 2  43 = a 6 5a 6 2  64 = 6 128 = b) 4 256x10 y3 = 6 26  2 = 6 8 256x10 y 3 = 2 2 8 28  x8  x2  y3 = e) 2x3 5x = 2x 8 x 2 y3 5x  (2x3 )2 = 4 5x  (2x3 )2 = c) m17b8 = 4 5x  4x 6 = 4 8 m17b8 = 20x7 = 8 m8  m8  m  b8 = 4 20  x 4  x3 = m2b 8 m x 4 20x 3
  • 7. 7 3 f) 2u2 4 32 = 3 4 32u5 w 3  (2u2 )4 = 12 32u5 w 3  16u8 = 12 512u13 w 3 = 12 512  u12  u  w 3 = 12 u 512uw 3 * Práctica: Simplifique al máximo las siguientes expresiones: 3 a) a5 = f) 25x6 4x 4 = 5 b) 81m7n8 = g) 3u2 3u4 = 5 2 c) 3 x15 y 24a11 = h) 3  3 = 3 d) 4 1024a11x8 =  9x 3  i) –   =  16u4  3   e) 2 2 =