Expresiones Algebraicas <ul><ul><li>Una  expresión algebraica  es una expresión en la que se relacionan valores indetermin...
Tipos de Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas Racionales Irracionales Enteras Fraccionarias
Expresión Algebraica Racional <ul><ul><li>Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación </li></ul>...
Expresión Algebraica Irracional <ul><ul><li>Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación </li></ul...
Expr.Algebraica Racional Entera <ul><ul><li>Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afec...
Expresión Algebraica Racional Fraccionaria <ul><ul><li>Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indete...
Polinomios <ul><ul><li>Son las expresiones algebraicas más usadas. </li></ul></ul><ul><ul><li>Sean a0, a1, a2, …, an númer...
Ejemplos de polinomios A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indetermi...
Términos <ul><ul><li>Monomio : polinomio con un solo término. </li></ul></ul><ul><ul><li>Binomio : polinomio con dos térmi...
Ejemplos El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama  polinomio nulo . Lo simbolizaremos por  Op(x) . No se le asigna grado.
Ejercicio <ul><ul><li>Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar...
Polinomios iguales <ul><ul><li>Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo ...
Suma de Polinomios <ul><ul><li>Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficient...
Propiedades de la Suma <ul><ul><li>Asociativa </li></ul></ul><ul><ul><li>Conmutativa </li></ul></ul><ul><ul><li>Existencia...
Resta de Polinomios <ul><ul><li>Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x). ...
Multiplicación de Polinomios <ul><ul><li>Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por ca...
Propiedades del Producto <ul><ul><li>Asociativa </li></ul></ul><ul><ul><li>Conmutativa </li></ul></ul><ul><ul><li>Existenc...
Algunos productos importantes <ul><ul><li>(x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2 </li></ul></ul><ul><ul><li>(x-a)2 =(x-a)(x-a)=...
Ejercicio <ul><ul><li>Escribir los desarrollos de </li></ul></ul>
Ejercicio : Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubo...
Ejercicio : La expresión x2 - a2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de bino...
División de polinomios <ul><ul><li>Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números e...
División entre números enteros <ul><ul><li>En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d  0 es el divisor, ...
División entre números enteros <ul><ul><li>Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras: </li></ul></ul><ul><ul><ul...
División de polinomios <ul><ul><li>Dados los polinomios </li></ul></ul><ul><li>D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8 </li></ul><ul><li>d...
Ejemplo 6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4 -6x3 + 8x2 2x2 0x3 - 9x2+ 15x - 3x 9x2- 12x 0x2+ 3x - 8 + 1 -3x + 4 0x - 4 6x3-17x2+15...
Ejercicios <ul><ul><li>D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x </li></ul></ul><ul><li>d(x) = x2 – 3x </li></ul><ul><ul><li>D(x) = 16...
División de Polinomios <ul><ul><li>Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)  Op(x), diremos que  d(x) divide a D(x)  si y s...
Ejercicios <ul><ul><li>Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro </li></ul></ul>...
División de un polinomio por otro de la forma (x-a) 3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2 - 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3 4x2 – 5x - 4x2 + 8x ...
División de un polinomio por otro de la forma (x-a) <ul><ul><li>División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2) realizada ...
Raíces de un polinomio <ul><ul><li>Un número real a es  raíz de un polinomio  P(x) si y solo si P(a) = 0 </li></ul></ul><u...
Raíces de un Polinomio <ul><ul><li>Si un polinomio tiene coeficientes enteros y  a  es una raíz entera del polinomio enton...
Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24  <ul><ul><li>Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser...
Ejercicio <ul><ul><li>Calcular las raíces de </li></ul></ul><ul><li>P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8 </li></ul>P(x) = (x-2)2 ...
Resolver la siguiente ecuación
Soluciones de la Ecuación Fraccionaria
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Sesion 01 Expresiones Algebraicas

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Sesion 01 Expresiones Algebraicas

  1. 1. Expresiones Algebraicas <ul><ul><li>Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ejemplos </li></ul></ul>
  2. 2. Tipos de Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas Racionales Irracionales Enteras Fraccionarias
  3. 3. Expresión Algebraica Racional <ul><ul><li>Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación </li></ul></ul><ul><ul><li>Ejemplo </li></ul></ul>
  4. 4. Expresión Algebraica Irracional <ul><ul><li>Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación </li></ul></ul><ul><ul><li>Ejemplo </li></ul></ul>
  5. 5. Expr.Algebraica Racional Entera <ul><ul><li>Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ejemplo </li></ul></ul>
  6. 6. Expresión Algebraica Racional Fraccionaria <ul><ul><li>Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ejemplo </li></ul></ul>
  7. 7. Polinomios <ul><ul><li>Son las expresiones algebraicas más usadas. </li></ul></ul><ul><ul><li>Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma: </li></ul></ul><ul><li>a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn </li></ul>
  8. 8. Ejemplos de polinomios A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
  9. 9. Términos <ul><ul><li>Monomio : polinomio con un solo término. </li></ul></ul><ul><ul><li>Binomio : polinomio con dos términos. </li></ul></ul><ul><ul><li>Trinomio : polinomio con tres términos. </li></ul></ul><ul><ul><li>Cada monomio aixi se llama término . </li></ul></ul><ul><ul><li>El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es anxn con an  0. </li></ul></ul><ul><ul><li>A a0 se lo llama término independiente . </li></ul></ul><ul><ul><li>A an se lo llama término principal . </li></ul></ul>
  10. 10. Ejemplos El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama polinomio nulo . Lo simbolizaremos por Op(x) . No se le asigna grado.
  11. 11. Ejercicio <ul><ul><li>Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado. </li></ul></ul>
  12. 12. Polinomios iguales <ul><ul><li>Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x) </li></ul></ul>
  13. 13. Suma de Polinomios <ul><ul><li>Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios </li></ul></ul><ul><li>P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1 </li></ul><ul><li>Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2 </li></ul>
  14. 14. Propiedades de la Suma <ul><ul><li>Asociativa </li></ul></ul><ul><ul><li>Conmutativa </li></ul></ul><ul><ul><li>Existencia de elemento neutro </li></ul></ul><ul><ul><li>Existencia de elemento opuesto </li></ul></ul>
  15. 15. Resta de Polinomios <ul><ul><li>Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x). </li></ul></ul><ul><li>P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ] </li></ul><ul><ul><li>Ejemplo: Restar los siguientes polinomios </li></ul></ul><ul><li>P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1 </li></ul><ul><li>Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2 </li></ul>
  16. 16. Multiplicación de Polinomios <ul><ul><li>Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios </li></ul></ul><ul><li>P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1 </li></ul><ul><li>Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2 </li></ul><ul><li>P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2) </li></ul>
  17. 17. Propiedades del Producto <ul><ul><li>Asociativa </li></ul></ul><ul><ul><li>Conmutativa </li></ul></ul><ul><ul><li>Existencia de elemento neutro. </li></ul></ul>
  18. 18. Algunos productos importantes <ul><ul><li>(x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2 </li></ul></ul><ul><ul><li>(x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2 </li></ul></ul><ul><ul><li>(x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3 </li></ul></ul><ul><ul><li>(x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3 </li></ul></ul><ul><ul><li>(x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2 </li></ul></ul>
  19. 19. Ejercicio <ul><ul><li>Escribir los desarrollos de </li></ul></ul>
  20. 20. Ejercicio : Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.
  21. 21. Ejercicio : La expresión x2 - a2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.
  22. 22. División de polinomios <ul><ul><li>Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros. </li></ul></ul><ul><ul><li>Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros. </li></ul></ul>
  23. 23. División entre números enteros <ul><ul><li>En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d  0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que </li></ul></ul><ul><li>D = d . C + r 0 ≤ r < |d| </li></ul><ul><ul><li>Si r=0 se dice que D es divisible por d. </li></ul></ul>
  24. 24. División entre números enteros <ul><ul><li>Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras: </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6 </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6| </li></ul></ul></ul>¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?
  25. 25. División de polinomios <ul><ul><li>Dados los polinomios </li></ul></ul><ul><li>D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8 </li></ul><ul><li>d(x) = 3x – 4 </li></ul><ul><li>determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que </li></ul><ul><li>D(x) = d(x). C(x) + r(x) </li></ul><ul><li>de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x) </li></ul>
  26. 26. Ejemplo 6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4 -6x3 + 8x2 2x2 0x3 - 9x2+ 15x - 3x 9x2- 12x 0x2+ 3x - 8 + 1 -3x + 4 0x - 4 6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4
  27. 27. Ejercicios <ul><ul><li>D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x </li></ul></ul><ul><li>d(x) = x2 – 3x </li></ul><ul><ul><li>D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4 </li></ul></ul><ul><li>d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2 </li></ul><ul><ul><li>D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2 </li></ul></ul><ul><li>d(x) = x-2 </li></ul>
  28. 28. División de Polinomios <ul><ul><li>Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)  Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que </li></ul></ul><ul><li>D(x) = d(x) . c(x) </li></ul>
  29. 29. Ejercicios <ul><ul><li>Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro </li></ul></ul><ul><ul><li>P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1 </li></ul></ul><ul><li>Q(x) = x3 + x2 + x + 1 </li></ul><ul><ul><li>P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16 </li></ul></ul><ul><li>Q(x) = x5 - 32 </li></ul>
  30. 30. División de un polinomio por otro de la forma (x-a) 3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2 - 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3 4x2 – 5x - 4x2 + 8x 3x – 9 -3x + 6 -3 Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 2 -3 3 6 4 8 3 6 3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)
  31. 31. División de un polinomio por otro de la forma (x-a) <ul><ul><li>División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini </li></ul></ul><ul><li>3 -2 -5 -9 </li></ul><ul><li>2 6 8 6 </li></ul><ul><li>3 4 3 -3 </li></ul><ul><li>1º operación : 3.2 -2 = 4 </li></ul><ul><li>2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3 </li></ul><ul><li>3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3 </li></ul><ul><li>Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3 </li></ul>
  32. 32. Raíces de un polinomio <ul><ul><li>Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>Ejercicio: </li></ul></ul><ul><li>Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x2 + 2x – 5 </li></ul>
  33. 33. Raíces de un Polinomio <ul><ul><li>Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ejercicio: Calcular las raíces de </li></ul></ul><ul><li>P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24 </li></ul>
  34. 34. Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24 <ul><ul><li>Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24. </li></ul></ul><ul><ul><li>Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x) </li></ul></ul>2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12) Ver x=2 también es raíz de 2x2 + 2x -12 2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)
  35. 35. Ejercicio <ul><ul><li>Calcular las raíces de </li></ul></ul><ul><li>P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8 </li></ul>P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)
  36. 36. Resolver la siguiente ecuación
  37. 37. Soluciones de la Ecuación Fraccionaria

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