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Análisis de decisiones 1

  1. 1. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Apoyo en línea de actividades en ANÁLISIS DE DECISIONES Envíanos un correo a ciencias_help@hotmail.com O visítanos en www.maestronline.com
  2. 2. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Mapa Curricular Clave del curso: HG04002 Nombre del curso: Análisis de decisiones I Este curso pertenece al módulo de certificación Habilidades generales junto con las materias: HG04001 Organización y Dirección HG04002 Análisis de decisiones I HG04003 Análisis de decisiones II HG04004 Auditoria y Consultoría administrativa HG04005 Sistemas de planeación HG04006 Proyecto Integrador de HG Carreras que lo ofrecen: ICA, IDS, LAE, LEM, IPO, IIM Periodo:4to. Temario Módulo 1. La Ciencia Administrativa. Tema 1. Importancia de la Ciencia Administrativa. 1.1. Origen y Evolución de la Ciencia Administrativa. 1.2. Utilidad de la ciencia administrativa en la toma de decisiones. 1.3. Tipos de modelos en la ciencia administrativa. Módulo 2. Programación Lineal. Tema 2. Modelos de programación lineal. 2.1. Conceptos básicos. 2.2. Formulación ( construcción de modelos). 2.3. Solución de modelos de programación lineal, por medio del método gráfico y algebraico. 2.4. Solución de modelos de programación lineal, por medio del método simplex. 2.5. Solución de modelos de programación lineal, por medio del método de las M´s. 2.6. Tipos de soluciones que pueden presentar los modelos de programación lineal ( No factibles, infinitas, degeneradas, múltiples). 2.7. Las relaciones primal – dual. 2.8. Análisis de sensibilidad. 2.9. Software WINQSB para solución de modelos de programación lineal. Módulo 3. Modelo de transporte y sus variantes. Tema 3. Modelo de transporte. 3.1. Formulación del problema. 3.2. Relación entre el modelo de PL y el modelo de transporte. 3.3. Solución inicial. 3.4. Solución inicial con demanda diferente de oferta. 3.5. Determinación de la solución óptima. 3.6. Determinación de una mejor solución si no hay optimalidad. 3.7. Degeneración. Módulo 4. Modelo de trasbordo y de asignación. Tema 4. Modelo de trasbordo. 4.1. Descripción del modelo y formulación. 4.2. Solución del modelo. 4.3. Localización de planta como una aplicación del problema de transporte visto desde el punto de vista de transporte de costos. Tema 5. Modelo de Asignación. 5.1. Descripción del modelo y formulación.
  3. 3. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com 5.2. Solución por el método Húngaro. 5.3. Determinación del modelo más apropiado para una situación real. Bibliografía Te recordamos que es obligatorio contar con tu libro de texto para el desarrollo de tu curso. Los apoyos visuales del curso y la explicación del tema son solamente guías y síntesis de la información que deberás investigar y estudiar para el correcto desarrollo de tus ejercicios. Libro de texto  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Disponible en eBook: http://tecmilenio.libricentro.com/index.php Software requerido: WINQSB A continuación te presentamos una guía de capítulos de los libros y otras fuentes que deberás consultar en cada uno de los temas de este curso: Tema Referencia bibliográfica por tema 1 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 1. Importancia de la ciencia administrativa. 2 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 1. Importancia de la ciencia administrativa. 3 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 2. Modelos de programación lineal. 4 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación.
  4. 4. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com (ISBN: 9702604982) Tema 2. Modelos de programación lineal. 5 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 2. Modelos de programación lineal. 6 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 2. Modelos de programación lineal. 7 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 2. Modelos de programación lineal. 8 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 2. Modelos de programación lineal. 9 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 2. Modelos de programación lineal. 10 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 2. Modelos de programación lineal. 11 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación.
  5. 5. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com (ISBN: 9702604982) Tema 2. Modelos de programación lineal. 12 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 2. Modelos de programación lineal. 13 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 2. Modelos de programación lineal. 14 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 2. Modelos de programación lineal. Otras fuentes de consulta  Software WINQSB 15 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 3. Modelo de Transporte. 16 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 3. Modelo de Transporte. 17 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982)
  6. 6. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Tema 3. Modelo de Transporte. 18 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 4. Modelo de trasbordo y asignación. 19 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 4. Modelo de trasbordo y asignación. 20 Libro de texto:  Taha, H. (2004). Investigación de Operaciones. (7ª Ed.) México.: Pearson Educación. (ISBN: 9702604982) Tema 4. Modelo de trasbordo y asignación. Tema 1. La ciencia administrativa: su origen y evolución
  7. 7. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Conocer el origen y evolución de la ciencia administrativa. Introducción Las primeras actividades formales de investigación de operaciones se dieron en Inglaterra durante la Segunda Guerra Mundial, cuando se encomendó a un equipo de científicos ingleses la toma de decisiones acerca de la mejor utilización de materiales bélicos. Al término de la guerra, las ideas formuladas en operaciones militares fueron adaptadas para mejorar la eficiencia y la productividad en el sector civil. Hoy en día, las Ciencia Administrativa es una herramienta dominante e indispensable para tomar decisiones en las organizaciones. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones: Revisa material de apoyo que se te presenta para esta actividad y toma nota de lo que consideres más importante. Da respuesta a lo siguiente: 1. Define con tus propias palabras Ciencia Administrativa (Investigación de Operaciones). 2. Describe las condiciones en las que se desarrolló la Ciencia Administrativa (Investigación de Operaciones) y comenta porqué continuó su desarrollo después de la Segunda Guerra Mundial. 3. El Ingeniero Martínez acaba de entrar a la compañía "Coca Cola" como gerente de distribución y el director general le indicó que antes de iniciar en su nuevo puesto le sería de gran utilidad conocer la relación que tiene las estrategias militares con la situación actual en las empresas. Por qué crees tú que el director general le hizo esta petición? Fundamenta tu respuesta. 4. Describe las situaciones en las que se desarrolló la Investigación de Operaciones y comenta las diferencias que tienen las decisiones en las organizaciones y las estrategias de la milicia
  8. 8. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com 5. Plantea una situación en una dependencia de gobierno en donde la toma de decisiones te ayude a optimizar el resultado. Establece la situación, las alternativas de solución y las restricciones que encuentres en la situación. 6. Selecciona la solución óptima. Describe los factores que influyeron en tu decisión. Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de reporte. Tema 2. La ciencia administrativa: Su aplicación en la toma de decisiones y los tipos de modelos en la misma Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Analizar situaciones de toma de decisiones en donde la ciencia administrativa puede ser aplicada.  Conocer los diferentes tipos de modelos de la ciencia administrativa. Introducción Los administradores, son personas que toman decisiones. Para lograr las metas de sus organizaciones, los administradores, deben tener un conocimiento de cómo se toman las decisiones y conocer, así mismo, qué herramientas y métodos están disponibles para tomar decisiones. El éxito o fracaso que experimentan las personas y compañías depende, en un alto grado, de la calidad de sus decisiones. Por ejemplo, el administrador que insistió en lanzar el transbordador espacial “Challenger” (que explotó en 1986) no progresó dentro de la NASA. El administrador que encabezó el equipo de diseño del mustang que generó grandes ventas, con el tiempo llegó a ser presidente de Ford y Chrysler. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones: Revisa el material de apoyo que se te presenta para esta actividad y toma nota de lo
  9. 9. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com que consideres más importante. Da respuesta a lo siguiente: 1. Describe 5 áreas de aplicación de la Ciencia Administrativa (Investigación de Operaciones). 2. Menciona las etapas por las que se debe pasar en un estudio completo de Investigación de Operaciones. 3. Menciona qué problemas actuales de nuestro País se te ocurre podrían resolverse vía modelos de investigación de operaciones y porqué. 4. Elabora un mapa resumen donde expliques con tus propias palabras los conceptos vistos en el material de apoyo. 5. El resumen deberá incluir todas las fases del estudio de Investigación de Operaciones, el desarrollo de modelos y la aplicación de técnicas de la Investigación de Operaciones. Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de reporte. Tema 3. Modelo de programación lineal: conceptos básicos Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Comprender el concepto de modelos de programación lineal.  Identificar la estructura y características de los modelos de programación lineal. Introducción Muchas decisiones de los administradores involucran la utilización de los recursos de una organización. Los recursos incluyen generalmente la maquinaria, mano de obra, dinero, tiempo, espacio de almacén y materias primas. Estos recursos pueden ser usados para manufacturar productos (maquinaria, mobiliario, alimentos o ropa) o servicios (programas para embarque o producción, políticas de publicidad o decisiones de inversión). La programación lineal es una técnica matemática ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los administradores en la planeación y toma de decisiones relativas a la negociación necesaria para asignar recursos. En esta sesión se revisarán el concepto de programación lineal así como la estructura y características de un problema de programación lineal. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de
  10. 10. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones: Toma nota del material de apoyo que se te presenta para esta actividad. Da respuesta a las siguientes preguntas: 1. Describe qué es la Programación Lineal. 2. Menciona las características de un modelo matemático general (de programación lineal) y los tres elementos que debe contener todo modelo matemático general (lineal). 3. Explica las suposiciones de un modelo matemático lineal y da un ejemplo real donde no se cumplen cada una de ellas. 4. Considera los siguientes problemas: a. Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogurt de limón necesita para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentación. El costo de producción de un yogurt de limón es de 30 pesos y de 20 pesos para un yogurt de fresa. b. En una granja se preparan dos clases de productos, P y Q, mezclando dos productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q contiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a 300 pesos y cada saco de Q a 800 pesos Si en la granja hay almacenados 80 kg de A y 25 de B, ¿cuántos sacos de cada tipo de pienso deben preparar para obtener los máximos ingresos? 5. Para cada problema planteado, responde: a. Cuáles son las variables de decisión. b. Determina la función objetivo. c. Describe las restricciones involucradas en la toma de decisión. Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de reporte. Tema 4. Construcción de modelos de programación lineal: Mezcla de productos Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Construir modelos de programación lineal mediante el análisis de situaciones reales de
  11. 11. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com “Mezcla de productos”. Introducción La programación lineal ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la programación lineal ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Una de las aplicaciones más comunes de programación lineal es el problema de la mezcla de productos. Generalmente se producen dos o más productos utilizando recursos limitados. La compañía desearía determinar cuántas unidades de cada producto debe producir, para maximizar la utilidad global, dadas sus limitaciones de recursos. En esta sesión revisaremos el procedimiento de construcción de modelos de programación lineal de “mezcla de productos”. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones: Resuelve los problemas que se encuentran en la práctica 1. Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios.
  12. 12. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Tema 5. Construcción de modelos de programación lineal: Mezcla de ingredientes Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Construir modelos de programación lineal mediante el análisis de situaciones reales de “Mezcla de ingredientes”. Introducción Siempre que un administrador deba decidir cómo combinar dos o más recursos para producir uno o más productos se dan problemas de mezclas. Es estas situaciones, los recursos contienen uno o más ingredientes esenciales que deben mezclarse en productos terminados que contendrán porcentajes específicos de cada uno de ellos. En la mayoría de estas aplicaciones, la administración debe decidir cuánto debe adquirir de cada recurso para satisfacer las especificaciones del producto y las demandas del mismo a un costo mínimo. Los problemas de mezcla ocurren con frecuencia en la industria petrolera, la industria química y la industria alimentaria. En esta sesión revisaremos algunos ejemplos de problemas de mezcla para conocer cómo se modelan. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones Resuelve los problemas que se encuentran en la práctica 2. Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios.
  13. 13. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Tema 6. Construcción de modelos de programación lineal: Transporte y asignación Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Construir modelos de programación lineal mediante el análisis de situaciones reales de “Transporte y asignación”. Introducción El problema de transporte frecuentemente se presenta al planear la distribución de bienes y servicios desde varias localizaciones de suministro hacia varias ubicaciones de la demanda. Típicamente, la cantidad de los bienes disponibles en cada localización de suministro es limitada, y la cantidad de los bienes necesarios en cada una de las localizaciones de demanda es conocida. Este tipo de problemas es el que se formulará en esta sesión. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones Resuelve los problemas que se encuentran en la práctica 3. Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Tema 7. El método gráfico como solución de problemas de programación lineal Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Resolver modelos de programación lineal mediante solución gráfica.  Interpretar los resultados que arroja la solución gráfica al modelo de programación lineal”.
  14. 14. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Introducción La forma más fácil para resolver un problema pequeño de programación lineal es el método gráfico. El procedimiento gráfico es útil sólo cuando existen dos variables de decisión en el problema. En esta sesión revisaremos todos los pasos que se deben de llevar a cabo en el método gráfico como solución a los problemas de Programación lineal para problemas pequeños. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones Resuelve por el método gráfico los problemas que se encuentran en la práctica 4 Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Tema 8. El método simplex como solución de problemas de programación lineal (parte I) Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Resolver modelos de programación lineal mediante el método simplex.  Interpretar los resultados que arroja el método simplex, al modelo de programación lineal. Introducción El método gráfico que se revisó en la sesión anterior indica que la solución óptima de un problema lineal siempre está asociado con un punto esquina (vértice) del espacio de soluciones. Este resultado es la clave del método simplex para resolver cualquier problema de programación lineal. La transición de la solución del punto esquina hasta el método simplex implica un procedimiento de cómputo que determina en forma algebraica los puntos esquina.
  15. 15. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Este método es llamado Simplex, el cual revisaremos en esta sesión. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones: 1. Resuelva el siguiente problema de programación lineal por el método simplex. Maximizar Z = 3X1 + 5X2 Sujeto a: X1 <= 4 2X2<= 12 3X1 + 2X2 <=18 En donde: X1, X2 >= 0 2. Resuelva el siguiente problema de PL, por el método simplex. Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios.
  16. 16. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Tema 9. El método simplex como solución de problemas de programación lineal(parte II) Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Resolver modelos de programación lineal mediante el método simplex.  Interpretar los resultados que arroja el método simplex, al modelo de programación lineal. Introducción La sesión anterior se analizaron los pasos a seguir para resolver un problema de programación lineal con el método simplex y se resolvieron algunos problemas sencillos, en esta sesión llevaremos a cabo esos pasos resolviendo algunos problemas de programación lineal más complejos. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones Resuelve por el método simplex los problemas que se encuentran en la práctica 6 Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios.
  17. 17. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Tema 10. El método de las M´s como solución de problemas de programación lineal Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Resolver modelos de programación lineal mediante el método las M´s.  Interpretar los resultados que arroja el método de las M´s, al modelo de programación lineal. Introducción Hasta la sesión anterior se revisaron problemas de maximización en donde las restricciones eran “mayor que”, por lo que la solución a estos problemas se daba con los métodos que hemos visto, pero ¿qué pasa cuando nuestro problema es de minimización o tiene alguna restricción “menor que” o “igual que”?. En esta sesión revisaremos el modelo de las M´s, el cual nos ayuda a resolver los problemas con alguna de las características mencionadas. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones Resuelve los problemas por medio del método de las M´s que se encuentran en la práctica 7 Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios.
  18. 18. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Tema 11. Tipos de soluciones para los modelos de programación lineal Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Comprender los diferentes tipos de soluciones que se presentan en los modelos de programación lineal. Introducción Hasta la sesión anterior hemos visto que nuestros métodos de solución a los problemas de PL, ya sea el gráfico, simplex o de las M´s, nos han arrojado soluciones, las cuáles no hemos interpretado. Para poder interpretar una solución de un problema de programación lineal, primero se deben de conocer los tipos de soluciones a las que nos podemos enfrentar, por lo que en esta sesión revisaremos los diversos tipos de solución tales como solución óptima, solución óptima múltiple, solución degenerada, solución no-factible y solución no acotada o infinita. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas por el método simplex y define el tipo de solución que tiene cada uno de ellos. Problema 1 Max Z = 2X3 s.a. –2X1 + 3X2– 7X3 >= 5 –X1 + X2– X3 =< 1 3X1 + X2– 10X3 >= 8 X1 , X2 , X3> 0 Problema 2 Min Z = –X1 + X2 s.a. X1– 4X2> 5
  19. 19. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com X1– 3X2< 1 2X1– 5X2< 1 X1 , X2> 0 Problema 3 Problema 4 Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Tema 12. Las relaciones Primal –Dual Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Comprender el concepto de dualidad.  Determinar el modelo dual como una alternativa de solución a los modelos de programación lineal. Introducción El problema dual es una programación lineal definida en forma directa y sistemática a partir del modelo original (o primal) de programación lineal. Los dos problemas están relacionados en forma tan estrecha que la resolución óptima de un problema produce en forma automática la resolución óptima del otro. En esta sesión revisaremos la relación dual – primal de los problemas de programación lineal. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.
  20. 20. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones Define el problema dual de cada problema primal que se encuentran en la práctica 9 Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Tema 13. El análisis de sensibilidad Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Comprender el concepto de Análisis de sensibilidad. Introducción Un modelo de programación lineal es una foto instantánea de una situación real en la que los parámetros del modelo (coeficientes de la función objetivo y de las restricciones) asumen valores estáticos. Para aumentar la aplicación de la programación lineal en la práctica, se necesita agregar una dimensión dinámica que investigue el impacto que tiene hacer cambios en lo parámetros del modelo (coeficientes de la función objetivo y de las restricciones) sobre la solución óptima. A este proceso se le llama Análisis de sensibilidad, por que estudia la sensibilidad de la solución óptima respecto a los cambios que se hagan en el modelo. En esta sesión revisaremos dos casos de análisis de sensibilidad basados en la solución de un problema de programación lineal: 1)Cambios en los coeficientes de la función objetivo. 2)Cambios en el lado derecho de las restricciones. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo
  21. 21. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones: Toma nota del material de apoyo que se te presenta para esta actividad. Da respuesta a las siguientes preguntas: 1. El administrador de producción de una gran empresa de manufactura, una vez hizo la siguiente declaración “Me debería gustar el uso de programación lineal, pero es una técnica que opera bajo condiciones de certidumbre. Mi planta no tiene esa certidumbre; es un mundo de incertidumbre. Así es que la programación lineal no puede ser utilizada aquí”. ¿Crees que esta declaración tiene algún mérito? Explica por qué el administrador lo pudo haber dicho. 2. Lee el siguiente caso 1 y contesta las siguientes preguntas: 3. ¿Cuáles son los pro y los contra asociados con la asignación de productos a las diversas instalaciones de sensibilización? 4. ¿Qué costos están incluidos en la función objetivo del modelo de carga mundial? 5. Describe brevemente el papel del análisis de sensibilidad en esta aplicación. Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de reporte. Tema 14. WINQSB: su uso e interpretación de los resultados Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Conocer el uso del software WINQSB para la solución de modelos de programación lineal.  Resolver problemas de programación lineal por medio del software WINQSB.  Interpretar las tablas de solución que arroja el software. Introducción El método simplex implica cálculos tediosos y voluminosos, lo que hace que la computadora sea una herramienta esencial para resolver problemas de programación lineal. Por consiguiente las reglas computacionales del método simples se adaptan para facilitar el cálculo automático. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.
  22. 22. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones Resuelve con ayuda del WINQSB los problemas que se encuentran en la práctica 10 e interpreta sus resultados, incluyendo el análisis de sensibilidad. Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Tema 15. Modelos de transporte: formulación, solución inicial factible y demanda diferente de la oferta Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Comprender las características de los modelos de transporte.  Resolver problemas de transporte buscando una solución inicial factible por medio de los métodos de: la esquina noroeste y costo mínimo. Introducción Los problemas de transporte corresponden a una clase especial de problemas de programación lineal conocida como problemas de flujo de red. A estos problemas se les ha asignado un módulo por separado por dos razones. Primero, puede modelarse una amplia variedad de aplicaciones, Segundo, estos problemas tienen una estructura matemática que ha permitido que los científicos de la administración desarrollen para su solución eficientes procedimientos especializados; como resultado, incluso problemas grandes pueden resolverse con apenas unos cuantos segundos de tiempo de computadora. El problema de transporte frecuentemente se presenta al planear la distribución de bienes y servicios desde varias localizaciones de suministro hacia varias ubicaciones de la demanda. Típicamente, la cantidad de los bienes disponibles en cada localización de suministro (origen) es limitada, y la cantidad de los bienes necesarios en cada una de las localizaciones de demanda (destino) es conocida. Por lo general, en un problema de transporte el objetivo es minimizar el costo de embarcar los bienes desde los orígenes hasta los destinos. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo
  23. 23. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones Modela los problemas que se encuentran en la práctica 11 Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Avance del Proyecto Final Objetivos  Comprender la importancia de la Ciencia Administrativa (Investigación de operaciones) y la utilidad de la misma en la toma de decisiones.  Construir modelos de la Ciencia Administrativa.  Solucionar los modelos de la Ciencia Administrativa con la técnica de programación lineal.  Proponer recomendaciones de acuerdo a la información obtenida con la solución del modelo de programación lineal y el análisis de sensibilidad. Instrucciones Fase 1: Avance del Proyecto Final Caso a Resolver: Tj´S Elabora tres mezclas de nueces para su venta a cadenas de comestibles, localizadas en le sureste. Las tres mezclas, conocidas como Regular Mix, Deluxe Mix, Holiday Mix y Special Mix, se elaboran mezclando distintos porcentajes de cinco tipos de nueces. En preparación para la estación otoñal, TJ´s acaba de adquirir los siguientes embarques de nueces (en libras) a los precios que se muestran: Tipo de Nuez Monto del embarque Costo por embarque Almendras 3,000 $ 4,700 Brasil 2,500 $ 3,300 Avellanas 3,500 $ 5,000 Pecan 4,000 $ 3,180 Castilla 3,500 $ 5,200 Las diferentes composiciones para formar las tres mezclas se presentan a continuación:
  24. 24. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Tipo de Mezcla Almendras Brasil Avellanas Pecan Castilla Regular Mix 25% 15% 15% 20% 25% Deluxe Mix 20% 20% 20% 10% 30% Holiday Mix 25% 20% 20% 25% 10% Special Mix 10% 20% 30% 20% 20% El contador de TJ´s ha analizado el costo de los materiales de empaque, el precio de venta por libra y otros factores, y ha llegado a la determinación de que la contribución a la utilidad por libra es de $ 1.65 dólares para el Regular Mix, de $ 2 dólares para el Deluxe Mix, de $ 2.25 dólares para el Holiday Mix y de $3.05 dólares para la Special Mix. Estas cifras no incluyen el costo de las nueces especificas de las distintas mezclas, por que dicho costo puede variar de manera importante en los mercados de productos. Los pedidos de clientes (en libras) ya recibidos se resumen a continuación: Tipo de Mezcla Pedidos Regular Mix 9,000 Deluxe Mix 5,000 Holiday Mix 3,000 Special Mix 5,000 Dado que la demanda se mantiene elevada, TJ´s espera recibir muchos más pedidos que los que puede satisfacer. TJ´s está obligado a utilizar durante el otoño las nueces disponibles, a fin de maximizar la contribución a la utilidad total. Las nueces que no se utilicen se regalarán a la Free Store. Incluso aunque no resulte redituable hacerlo, el presidente de TJ´s ha indicado que deberán cumplir con los pedidos ya recibidos. Instrucciones: Se pide lo siguiente: Informe a la administración Lleva a cabo un análisis del problema de mezcla de productos de TJ´s y prepara un informe para el presidente de TJ´s que resuma lo que haya encontrado. Asegúrate de incluir la información y análisis de los elementos que siguen:  El costo por libra de las nueces incluidas en las mezclas Regular, Deluxe y Holiday  La mezcla de productos y la contribución a la utilidad total óptima. Envía tu proyecto final, en formato de desarrollo de proyecto.
  25. 25. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Tema 16. Determinación de una mejor solución si no hay optimalidad Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Resolver problemas de transporte a partir de una solución inicial factible para encontrar la solución óptima, por medio del método del cruce del arroyo.  Interpretar la solución a los problemas de transporte. Introducción Si la demanda es mayor que la oferta, el modelo de transporte no tiene solución factible. A menudo el suministro total no es igual a la demanda total. Si el suministro total mayor a la demanda total no es necesaria ninguna modificación a la formulación del problema de transporte. Si el suministro total es inferior a la demanda total, el modelo de programación lineal de un problema de transporte no tendrá una solución factible. En este caso modificaremos la representación agregando un origen ficticio, con un suministro igual a la diferencia entre la demanda total y el suministro total. Al agregar el origen ficticio, el modelo de transporte tendrá una solución factible. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones Modela los problemas que se encuentran en la práctica 12. Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Tema 17. Degeneración en los problemas de transporte Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:
  26. 26. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com  Resolver problemas de transporte cuando existe degeneración. Introducción Un problema de transporte es degenerado cuando el número de casillas que tiene asignaciones es menor que la cantidad M+N-1, en donde M es la cantidad de orígenes y N cantidad de destinos. Para corregir la situación, elegimos celdas de asignación artificial con valor de cero. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas: 1. A partir de la tabla siguiente, resuelve el problema de transporte llegando a la solución óptima por medio del método del cruce del arroyo o escalón (NOTA, el problema es degenerado). Hacia Desde Seattle Denver Nueva Orleans Nueva York Totales de fábricas Miami $1.20 $0.70 $0.50 $0.60 x c $5,000 $5,000 x x 10,000 Chicago $0.70 $0.50 $0.50 $0.60 x x x 5,000 10,000 5,000 20,000 San Diego $0.50 $0.70 $0.80 $1.20 x x x x x 15,000 15,000 Totales de almacenes 5,000 10,000 10,000 20,000 x 2. La empresa Ryan Electronics produce artículos electrónicos en sus instalaciones de Denver y Atlanta. Lo producido se envía a los almacenes regionales ubicados en Kansas City y Louisville, de donde abastece sus expendios en Detroit, Miami, Dallas y Nueva Orleáns. Los costos de transporte
  27. 27. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com por unidad aparecen en las siguientes tablas. Almacenes Plantas Kansas City Louisville Producción Denver $ 5 $ 3 750 Atlanta $ 3 $ 6 450 Expendios de venta Almacenes Detroit Miami Dallas Nevada Kansas City $ 4 $ 3 $ 8 $ 5 Louisville $ 5 $ 8 $ 4 $ 9 Demanda 300 250 150 500 Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Tema 18. Modelo de trasbordo: descripción, formulación y solución. Localización de planta Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Comprender las características de los modelos de trasbordo.  Resolver problemas de trasbordo.  Interpretar la solución de los problemas de trasbordo. Introducción En el modelo de trasbordo se reconoce que puede ser más económico el transporte pasando por nodos intermedios o transitorios antes de llegar al destino final. Este concepto es más general que el del modelo normal de transporte, en el que solo se permiten envíos directos entre una fuente y un destino. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema.
  28. 28. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Ejercicio Instrucciones Resuelve los problemas que se encuentran en la práctica 14 Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Tema 19. Modelo de asignación: descripción formulación y solución Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Comprender las características de los modelos de asignación.  Resolver problemas de asignación por medio del método Húngaro.  Interpretar la solución de los problemas de asignación. Introducción “La mejor persona para el puesto” es una buena descripción el modelo de asignación. El caso se puede ilustrar con la asignación de trabajadores de diversos niveles de capacitación a los puestos. Un puesto que coincide con los conocimientos de un trabajador cuesta menos que uno en que el trabajador no es tan hábil. El objetivo del modelo es determinar la asignación óptima (de costo mínimo) de trabajadores a puestos. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones Resuelve los problemas que se encuentran en la práctica 15 Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Tema 20. Determinación de un modelo para una situación real
  29. 29. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Objetivos del tema Al finalizar el tema, serás capaz de:  Explicar la propuesta de un proyecto de diseño de instalaciones industriales. Introducción Porque los proyectos son tareas únicas, involucraran cierto nivel de incertidumbre. Las organizaciones ejecutaras de proyectos generalmente dividirán cada proyecto en fases del proyecto para poder administrar mejor los enlaces apropiados con las operaciones de la organización ejecutara. De manera colectiva, estas fases se conocen como el ciclo de vida del proyecto. Características de las fases del proyecto Cada fase del proyecto es marcada por la terminación de una o más entregas. Una entrega es un tangible, un producto de trabajo verificable tal como un estudio de factibilidad, un detalle de diseño, o un prototipo que trabaje. Las entregas, y por tanto las fases, son parte generalmente de una secuencia lógica diseñada para asegurar una definición apropiada del producto del proyecto. La conclusión de una fase de proyecto es generalmente marcada por la revisión de tanto las entregas como del desempeño del proyecto para poder (a) determinar si el proyecto debe continuar a su próxima fase y (b) detectar y corregir errores de manera eficiente. Estas revisiones de final de fase generalmente se llaman salidas de fase, puertas de fase o puntos muertos. Cada fase de proyecto normalmente incluye una serie definida de productos de trabajo diseñados para establecer el nivel deseado de control administrativo. La mayoría de estos ítems están relacionados con la entrega de la fase primaria, y las fases típicamente toman sus nombres de estos ítems: requerimientos, diseño, construcción, texto, comienzo, entrega, y otros como sea apropiado. Características del ciclo de vida del proyecto El ciclo de vida del proyecto sirve para definir el comienzo y el final de un proyecto. Por ejemplo, cuando una organización identifica una oportunidad a la que le gustaría responder, autorizará un estudio de factibilidad para determinar si debe adoptar el proyecto. La definición del ciclo de vida del proyecto determinará si el estudio de factibilidad es tratado como la primera fase de vida del proyecto o como un proyecto independiente. La definición de ciclo de vida del proyecto determinará también que acciones de transición se incluirán al final del proyecto y cuales no. De esta manera, la determinación del ciclo de vida del proyecto puede ser usado para enlazar el proyecto a operaciones sucesivas de la organización ejecutora. La secuencia de fase definida por la mayoría de los ciclos de vida del proyecto generalmente involucra algún tipo de transferencia en tecnología o intercambios tales como los requerimientos para diseñar, construcción para operaciones o diseño para manufactura. Entregas de la fase precedente son usualmente aprobadas antes que comience el trabajo en la fase siguiente. Sin embargo, una fase subsiguiente es a
  30. 30. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com veces comenzada antes de la aprobación de las entregas de la fase anterior cuando los riesgos involucrados se tornan aceptables. Esta táctica de traslapo de fases muchas veces es llamada “Fast Tracking”. Los ciclos de vida del proyecto generalmente definen:  Qué trabajo técnico debe ser hecho en cada fase (e.g. ¿Es el trabajo del arquitecto parte de la fase de definición o de la fase de ejecución?).  Quién debe estar involucrado en cada fase (e.g. ingeniería concurrente requiere que los implementores estén involucrados con los requerimientos y los diseños). Las descripciones de los ciclos de vida del proyecto pueden ser o muy generales o muy detallados. Las descripciones altamente detalladas tienen muchas formas, tablas y lista de chequeo para proveer estructura y consistencia. Tales aproximaciones de detalle son llamadas a veces metodologías de administración de proyectos. La mayoría de las descripciones de ciclo de vida del proyecto comparten un número de características comunes:  Los niveles de empleados y costos son bajos al comienzo, más altos hacia el final, y caen rápidamente a medida que se llega a la finalización  La probabilidad de completar exitosamente el proyecto es más bajo, y por lo tanto el riesgo e incertidumbre son altos, al comienzo del proyecto. La probabilidad de completar exitosamente generalmente se vuelve progresivamente más grande a medida que el proyecto continúa.  La habilidad de los partidos interesados para influenciar las características finales del producto del proyecto y su costo final son más altas al comienzo y se vuelven progresivamente más bajas a medida que el proyecto continúa. La contribución más grande de este fenómeno es que los costos de cambio y de corrección de errores generalmente se incrementan a medida que el proyecto continúa. Contenido  Explicación del tema Información sobre los contenidos principales del tema.  Bibliografía Referencia bibliográfica que debes consultar para este tema en la página de bibliografía.  Recursos de apoyo Concentrado de ideas generales del tema. Ejercicio Instrucciones Resuelve el siguiente caso 2.
  31. 31. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Envía el ejercicio a tu tutor, en formato de práctica de ejercicios. Caso 2. MARFIL S.A. Caso a resolver MARFIL S.A. La empresa Marfil S.A. se dedica a la producción de desodorantes y debe optar, a fin de definir su plan de producción para el próximo mes, entre fabricar desodorantes en aerosol o en barra. Cada uno de estos productos pueden ser comercializados en dos fragancias distintas: lavanda y marina. La contribución marginal unitaria de estos productos es la siguiente: Producto Lavanda Marina Aerosol $12 $10 En Barra $11 $9 El Departamento de Ventas considera que, en caso de decidir la producción de desodorantes en aerosol, la demanda máxima será de 200 000 unidades para la fragancia lavanda y 150 000 para la fragancia marina, no excediendo, en conjunto, las 320 000 unidades. Para los desodorantes en barra, en cambio, se estima una demanda máxima para los dos tipos de 400 000 unidades -en conjunto. Sólo existiría, en este caso, restricción para la venta de la fragancia lavanda, con un máximo de 250 000 unidades. La oficina de compras estimó que, en función de las dificultades existentes para la importación de extractos, durante el período a considerar sólo podrán obtenerse las siguientes cantidades de dichos productos:  Extracto Lavanda: 2,900 litros  Extracto Marina: 2,200 litros Los desodorantes en aerosol requieren 15 mililitros de extracto, en tanto que barras necesitan 17 mililitros de extracto. Los tiempos unitarios de producción son los siguientes: Producto Lavanda Marina Aerosol 15 minutos 14 minutos En Barra 12 minutos 10 minutos El departamento productivo estimó que se dispondrá de 45 000 horas de producción, cifra que se podría ampliar a 50 000 horas, de ponerse en funcionamiento una nueva máquina, ya adquirida por la empresa. En conversaciones mantenidas con el proveedor de dicha máquina, éste acordó adelantar la fecha de instalación, pero exigiendo por ello un adicional de $ 250 000 en concepto de mayores costos por horas extras.
  32. 32. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com En función de los datos mencionados, se solicita que indique cuál es la mejor decisión que puede tomar la empresa respecto a:  Producir desodorantes en aerosol o en barra.  Abonar o no la suma adicional al proveedor de la nueva máquina.  El mejor plan de producción en función de las decisiones que se recomiendan.  Si la decisión tomada en el punto 2 varía en caso de modificarse la alternativa elegida en el punto 1. En un apéndice de su informe incluya una copia de su modelo de programación lineal. Proyecto Final Objetivos  Comprender la importancia de la Ciencia Administrativa (Investigación de operaciones) y la utilidad de la misma en la toma de decisiones.  Construir modelos de la Ciencia Administrativa.  Solucionar los modelos de la Ciencia Administrativa con la técnica de programación lineal.  Proponer recomendaciones de acuerdo a la información obtenida con la solución del modelo de programación lineal y el análisis de sensibilidad. Instrucciones Fase 2: Entrega del Proyecto Final Caso a Resolver: Tj´S Elabora tres mezclas de nueces para su venta a cadenas de comestibles, localizadas en le sureste. Las tres mezclas, conocidas como Regular Mix, Deluxe Mix y Holiday Mix, se elaboran mezclando distintos porcentajes de cinco tipos de nueces. En preparación para la estación otoñal, TJ´s acaba de adquirir los siguientes embarques de nueces (en libras) a los precios que se muestran: Tipo de Nuez Monto del embarque Costo por embarque Almendras 3,000 $ 4,700 Brasil 2,500 $ 3,300 Avellanas 3,500 $ 5,000 Pecan 4,000 $ 3,180 Castilla 3,500 $ 5,200
  33. 33. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com Las diferentes composiciones para formar las tres mezclas se presentan a continuación: Tipo de Mezcla Almendras Brasil Avellanas Pecan Castilla Regular Mix 25% 15% 15% 20% 25% Deluxe Mix 20% 20% 20% 10% 30% Holiday Mix 25% 20% 20% 25% 10% Special Mix 10% 20% 30% 20% 20% El contador de TJ´s ha analizado el costo de los materiales de empaque, el precio de venta por libra y otros factores, y ha llegado a la determinación de que la contribución a la utilidad por libra es de $ 1.65 dólares para el Regular Mix, de $ 2 dólares para el Deluxe Mix, de $ 2.25 dólares para el Holiday Mix y de $3.05 dólares para la Special Mix. Estas cifras no incluyen el costo de las nueces especificas de las distintas mezclas, por que dicho costo puede variar de manera importante en los mercados de productos. Los pedidos de clientes (en libras) ya recibidos se resumen a continuación: Tipo de Mezcla Pedidos Regular Mix 9,000 Deluxe Mix 5,000 Holiday Mix 3,000 Special Mix 5,000 Dado que la demanda se mantiene elevada, TJ´s espera recibir muchos más pedidos que los que puede satisfacer. TJ´s está obligado a utilizar durante el otoño las nueces disponibles, a fin de maximizar la contribución a la utilidad total. Las nueces que no se utilicen se regalarán a la Free Store. Incluso aunque no resulte redituable hacerlo, el presidente de TJ´s ha indicado que deberán cumplir con los pedidos ya recibidos. Instrucciones: Se pide lo siguiente: Informe a la administración Lleva a cabo un análisis del problema de mezcla de productos de TJ´s y prepara un informe para el presidente de TJ´s que resuma lo que haya encontrado. Asegúrate de incluir la información y análisis de los elementos que siguen:  Recomendaciones sobre cómo se puede incrementar la contribución a la utilidad total, si se pueden adquirir nueces en cantidades adicionales.  Una recomendación en relación con la posibilidad de que TJ´s debiera o no adquirir 1,000 libras adicionales de almendra, con un valor de 1,000 dólares,
  34. 34. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com de un proveedor que se excedió en sus compras.  Recomendaciones sobre la forma en que se puede incrementar la contribución a la utilidad (si es posible) si TJ´s no satisface todos los pedidos existentes. Envía tu proyecto final, en formato de desarrollo de proyecto.
  35. 35. www.maestronline.com ciencias_help@hotmail.com

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