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TEMA 24. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓNPRIMARIA. ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMÉTRICAS EN ELENTO...
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  1. 1. TEMA 24. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓNPRIMARIA. ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMÉTRICAS EN ELENTORNO: CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN. INTERVENCIÓN EDUCATIVA VERSIÓN EXTENDIDA (FUENTES: ASIGNATURA 2º PRIMARIA, BIBLIOGRAFÍA Y DOCUMENTOS) GUIÓN – ESQUEMAI. INTRODUCCIÓNII. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA II.1) El espacio y la percepción espacial II.2) La Geometría: interpretación matemática del espacio II.3) Importancia y utilidad de la Geometría. Valor formativo y funcional II.4) Las nociones geométricas en el currículo de Educación Primaria. Orientacionesoficiales II.5) El aprendizaje y la evolución del pensamiento geométrico: Piaget y niveles de VanHiele de razonamiento geométrico. Complejidad, dificultades y erroresIII. ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO:CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN III.1) Geometría del plano. Elementos y formas planas III.2) Geometría del espacio. Elementos y formas en el espacio de tres dimensiones III.3) Relaciones y transformaciones geométricas. Traslaciones, giros y simetrías III.4) Representación y coordenadas III.5) Proporcionalidad geométrica. Semejanza. EscalasIV. RECURSOS DIDÁCTICOS E INTERVENCIÓN EDUCATIVAV. COMENTARIOS FINALESVI. BIBLIOGRAFÍAVII. REFERENCIAS LEGISLATIVAS
  2. 2. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009VIII. REFERENCIAS WEBI. INTRODUCCIÓNLa finalidad de la Educación Primaria es proporcionar a todos los niños y niñas una educación quepermita afianzar su desarrollo y su propio bienestar, adquirir habilidades culturales básicas relativasa la expresión y comprensión oral, a la lectura, a la escritura y al cálculo, así como desarrollar lashabilidades sociales, los hábitos de trabajo y estudio, el sentido artístico, la creatividad y laafectividad (MEC, 2006); demandas socioculturales e individuales que se pretende satisfacer en laescuela a través del área de Matemáticas y de sus relaciones con otras áreas y con las materiastransversales mediante un proceso educativo de carácter global, interdisciplinar e integrador. Así seestablece, entre otros documentos oficiales, en el artículo 17 de la LOE (MEC, 2006), en el que sehace referencia a la formación matemática: "desarrollar las competencias matemáticas básicas einiciarse en la resolución de problemas . . . así como ser capaces de aplicar las matemáticas a lassituaciones de su vida cotidiana”. No en vano la formación matemática básica proporciona unconjunto de instrumentos para el tratamiento sistemático de la incertidumbre genérica sobremodelos (la información es el elemento central y la resolución de problemas el espacio de juego),un repertorio de posibilidades intelectuales de actuación y desarrollo personal y un modo valiosopara analizar la realidad, comprenderla, valorarla y poder actuar sobre ella.Entre los conocimientos matemáticos elementales imprescindibles en una formación básica, lacultura geométrica, entendida como conjunto de competencias, capacidades y habilidades,vocabulario adecuado, visión global de las aplicaciones actuales, conocimiento de las nocionesgeométricas elementales y sensibilidad por la belleza, el rigor, etc., debe ocupar una buena parte dela formación en Educación Primaria. El objetivo fundamental debe ser la consecución de un buennivel de alfabetización geométrica en el contexto más amplio del desarrollo de las competenciasbásicas y matemáticas específicas, lo que sitúa este tema en un lugar destacado, ocupando, junto alos números, las operaciones aritméticas, el cálculo y la medida de magnitudes, la mayor parte delcurrículo de matemáticas en Primaria.En el presente tema abordaremos, en el primer apartado, la evolución de la percepción espacialdesde el punto de vista geométrico, atendiendo a la importancia de la geometría y el valor de laformación geométrica, las orientaciones didácticas oficiales y el aprendizaje de las nocionesgeométricas elementales tomando como referencia los niveles de Van Hiele de razonamientogeométrico. A continuación, dedicaremos un apartado a los principales elementos, formas yrelaciones geométricas en el plano y en el espacio distinguiendo las transformaciones y lasrepresentaciones así como las relaciones de proporcionalidad geométrica. En los apartadossiguientes haremos una revisión de los recursos didácticos para el tratamiento del tema en Primariapara terminar con algunas observaciones sobre la intervención educativa en esta etapa.II. EVOLUCIÓN DE LA PERCEPCIÓN ESPACIAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIAEl espacio, entorno o medio físico constituye una realidad exterior al sujeto (aunque también sepueden considerar las realidades pensadas o virtuales aunque no tengan una existenciaindependiente del sujeto que las piensa) que es necesario conocer y comprender para adaptarse asus características, actuar sobre él si fuera necesario y, en definitiva, para poder vivir en él. Elindividuo debe aprender, entre otras cosas, a moverse en el espacio, situarse, orientarse y analizarlas formas, representarlas, pensar y trabajar sobre ellas en términos de modelos o ideas y extraerconsecuencias y actuaciones que le permitan desenvolverse en dicho medio. Es por ello que laGonzález Marí, J. L. 2
  3. 3. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009educación de la percepción del espacio es muy importante para el adecuado desarrollo motriz,intelectual o afectivo del alumno, y tendrá una fuerte repercusión en los demás aprendizajesescolares.Pero hablar del espacio es hablar de numerosos aspectos que tienen que ver con el medio natural, elmedio social, la familia, el propio cuerpo y su movimiento, etc. y de distintos tipos de espacio (elcercano o inmediato, el espacio lejano, el espacio pensado o imaginado, el espacio percibido, etc.).Es necesario, por tanto, delimitar lo que entendemos por espacio y por percepción espacial desdedicho punto de vista general y qué partes y aspectos de dicha complejidad corresponden a lainterpretación geométrica del espacio, es decir, al tratamiento del espacio desde el área dematemáticas. Ambos campos son distintos, aunque se encuentran relacionados como veremos acontinuación. La relación es evidente si tenemos en cuenta que el conocimiento geométrico espensado y creado por la misma mente humana que crece, se adapta y se desarrolla en el mediocomplejo y múltiple que estamos denominando espacio. II.1) El espacio y la percepción espacialEl espacioEl concepto más amplio de espacio hace referencia al “medio” en el que vive el sujeto en el sentido másamplio posible. Este “medio” es complejo y difuso y está formado por los conjuntos de elementos,seres, objetos, propiedades, relaciones, experiencias y sensaciones, incluido el propio cuerpo, quedeterminan el proceso constante de desarrollo y adaptación del ser humano al entorno vital.En el concepto de espacio se mezclan aspectos objetivos y subjetivos. Hay una parte objetiva ajena alindividuo y más o menos consensuada (medio o entorno en el sentido más amplio, dimensiones, etc.) yuna parte subjetiva que tiene que ver con la apreciación e interpretación de todo lo que ocurre y sepercibe a través de los sentidos y de la participación en experiencias con el entorno, consigo mismo ycon los demás. Qué duda cabe de que el espacio subjetivo esta condicionado por las percepciones einterpretaciones del espacio objetivo o “exterior al sujeto”, las cuales, a su vez, están determinadas porlas experiencias vitales que en él se producen.Evolución de la percepción espacialSe puede decir que la percepción espacial es la acción y el resultado del intercambio de información dela mente y el cuerpo con el entorno. En dicho intercambio, el sujeto, desde su nacimiento y tomandocomo referencia el propio cuerpo, llega al conocimiento del espacio de manera directa a través de lossentidos mediante la exploración y manipulación de las objetos que en él se encuentran así como através de los movimientos y desplazamientos que realiza. Va distinguiendo los elementos, percibiendo yreconociendo las relaciones y representando mentalmente toda la información en una organizaciónestructurada que va a ir evolucionando muy deprisa en los primeros años de vida.Esta percepción espacial se va desarrollando y perfeccionando con el tiempo y con las experienciasproporcionando una organización de la información y de los esquemas de acción cada vez más completay compleja, resultando fundamental para poder trabajar los elementos, formas y relacionesgeométricas y organizar el espacio.Hasta los 6-7 años, la percepción espacial, favorecida por la visualización, el propio cuerpo y lassensaciones cinestésicas y táctiles, se va perfeccionando en el niño en torno a la capacidad de orientarsey situarse a sí mismo y a los objetos u otros seres vivos en el espacio y entre sí, lo que viene favorecidopor el desarrollo de la lateralidad. Al mismo tiempo, va distinguiendo entre distintos tipos de espacio(físico, social, corporal, inmediato, lejano, etc.) y va tomando conciencia y configurando los esquemasde acción y representación directa sobre el entorno. Paulatinamente, se desarrolla el conocimientoindirecto del espacio a través del lenguaje y se produce una progresiva descentración y desarrollo de lafunción simbólica, lo que favorece una más completa representación mental del espacio y una mejordisposición para trabajar y comprender las nociones geométricas.Esta breve descripción general se completa con más detalle en el apartado II.5 dedicado al aprendizaje ysu evolución según Piaget y Van Hiele.González Marí, J. L. 3
  4. 4. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009 II.2) La Geometría: interpretación matemática del espacioDe todas las facetas y propiedades del espacio, la Geometría es la parte de la Matemática queestudia las idealizaciones del espacio en términos de las propiedades y medidas de las figurasgeométricas. La Geometría no estudia el espacio real en sí, sino objetos ideales (también llamadosmatemáticos o geométricos) (polígono, punto, arista, giro, etc.), sus propiedades, relaciones yteorías, construidos por abstracción de cualidades del espacio real o de otros objetos ideales creadospreviamente (en el espacio real no existen círculos, pentágonos, rectas, puntos o esferas, sinoobjetos con forma de . . . o modelizados por . . .; la realidad física siempre es menos perfecta que larealidad geométrica pensada o ideal).La geometría elemental admite dos puntos de vista o enfoques complementarios y estrechamenterelacionados entre sí:- VISUALIZACIÓN / MODELIZACIÓN GEOMÉTRICA DEL ESPACIO: Métodos, procesos y resultados relacionados con la observación y visualización de la realidad para su modelización y representación mental o gráfica. Es la parte más elemental de la Geometría, previa a la siguiente y en la que se trata de dar forma mental, física, esquemática o simbólico- representativa a los aspectos geométricos de los objetos y situaciones reales del entorno. Constituye la parte de la percepción espacial que sirve como puerta de entrada a la Geometría. A través de los sentidos se memorizan aspectos o imágenes parciales de la realidad y se construyen modelos físicos o representados de los esquemas visuales; en definitiva, se da forma mental (imagen o esquema mental) o física (representación gráfica o modelo físico construido) a lo que se conoce como “configuraciones figurales”, que son las que van a servir de base para el trabajo propiamente geométrico del apartado siguiente.- ANÁLISIS GEOMÉTRICO DE LAS FORMAS: Las configuraciones figurales percibidas a través de la observación y la visualización y construidas y representadas a través de la modelización y el grafismo, constituyen las estructuras geométricas de la forma y son los objetos de estudio de la ciencia del espacio, parte de la Matemática, a la que denominamos Geometría. El estudio geométrico o matemático del espacio se llama también análisis figural o estudio de la forma y abarca los siguientes aspectos: o Forma o “aspecto”1 ideal que tienen o pueden tener los objetos que estructuran el espacio; o Estructuras (elementos y organización: punto, lado, ángulo, vértice, segmento, línea recta, curva, contorno, perímetro, etc.) o Relaciones  Estáticas  (perpendicularidad, paralelismo, relación entre número de caras, vértices y aristas en un poliedro, etc.)  Lugares geométricos  Localización/posición en el espacio (coordenadas, posiciones relativas)  Composiciones con formas y figuras, cubrimientos de planos y espacios, frisos, mosaicos y teselaciones  Dinámicas (transformaciones geométricas)  Transformaciones/Movimientos (traslaciones, giros, simetrías)  homotecias y semejanzas11 No se consideran ni la materia ni la textura ni el color, ni siquiera el tamaño o la dimensión, etc. Se prescinde de la mayor parte de las cualidades perceptibles del objetoGonzález Marí, J. L. 4
  5. 5. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009 o Dimensiones (medidas de longitud, superficie, volumen, amplitud angular, etc.) o Clasificación de elementos, figuras y formas (polígonos según distintos criterios, triángulos, ángulos, etc.) o Terminología (lenguaje, definiciones, etc.) o Representación y Construcción (plano, espacio de tres dimensiones, dibujo, instrumentos (TIC, regla y compás, etc.)) o Razonamiento geométrico y resolución de problemas sobre conceptos, propiedades y relaciones geométricas (Ejemplo: análisis y digitalización de imagen)La unificación de las distintas Geometrías: la Geometría a través de las transformacionesHasta el siglo XVI no se conoce otra Geometría que la de Euclides, pero a partir de entoncesaparecen otras geometrías, tales como la proyectiva (perspectivas, pintura), la descriptiva(arquitectura, planos), la analítica (integración del álgebra y la geometría (ecuaciones querepresentan figuras y elementos geométricos)), la topología, las geometrías no euclideas(Lobachevski, Riemman), etc. La complejidad estaba servida.Fue Félix Klein quien tuvo la genial idea (Programa de Erlangen) de intentar definir un nuevoconcepto unificador de geometría, de manera que todos los adjetivos históricos resultaran casosparticulares. Para ello se fijó en que los conocimientos geométricos se pueden dividir en dosgrandes grupos: los que corresponden a lo que se conoce como “Geometría estática” (figuras,formas, referencias, etc.) y los que se engloban bajo el término “Geometría dinámica”(transformaciones, homotecias, etc.).En dicho Programa, el autor describió la geometría como el estudio de aquellas propiedades de lasfiguras que permanecen invariantes bajo la acción de un grupo concreto de transformaciones.Por lo tanto, cualquier clasificación de los grupos de transformaciones se convierte inmediatamenteen una clasificación de las geometrías:A) La geometría euclídea plana consiste en el estudio de las propiedades de las figuras del plano, incluidas las áreas y longitudes, que permanecen invariantes bajo el grupo de transformaciones generado por las traslaciones y rotaciones en el plano (transformaciones euclídeas o rígidas o también llamadas transformaciones isométricas o isometrías, que conservan las distancias, los ángulos y las áreas, los perímetros y las ideas y conceptos incluidos en la geometría clásica);B) La geometría proyectiva estudia las propiedades que se conservan ante transformaciones proyectivas, que modifican sólo los ángulos y las distancias (perspectivas, ampliaciones, reducciones, fotografía, pintura, secciones de sólidos, etc.);C) La topología estudia las propiedades de las figuras que permanecen inalteradas ante transformaciones topológicas, que son transformaciones que modifican casi todas las propiedades salvo el interior, el exterior y la frontera, la continuidad, el orden, etc. (está todo permitido menos romper y/o pegar) (Ej.: un rectángulo de plastilina se puede estirar tirando de dos vértices opuestos y hacer que los lados se curven desigualmente. Un dibujo en la superficie de un globo desinflado y el mismo dibujo en el globo hinchado. Entre las figuras originales y las figuras resultantes en cada caso, ¿qué propiedades han cambiado y cuáles se mantienen?; han cambiado las longitudes y las formas de los lados, el interior es una superficie más grande, etc.; se mantiene el interior (lo que estaba dentro sigue estando dentro y lo que estaba fuera sigue estando fuera), los bordes o fronteras, el orden, el número y la vecindad de los vértices, etc. Estas se llaman propiedades topológicas del espacio y la parte de la Geometría que estudia estas propiedades se llama Topología.Las transformaciones topológicas son las más permisivas mientras que las euclídeas son las másrestringidas (también se les llama “rígidas”, puesto que aquí solo se puede trasladar o girar lafigura, con lo que se mantiene casi todo).En definitiva, la geometría está determinada por un espacio delimitado por unos objetos idealesGonzález Marí, J. L. 5
  6. 6. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009(punto, recta, plano, figuras, etc) y unas transformaciones (traslaciones, giros, reflexión, simetrías,etc.) que nos permiten clasificar las figuras (serán figuras equivalentes las que puedan pasar de unaa otra mediante una transformación del tipo considerado). Las propiedades o conceptos genuinos decada geometría serán los que se conserven (queden invariantes) por las transformacionescorrespondientes.(Nota del autor: se han dibujado a la derecha varias posibles figuras resultantes de cada tipo detransformación. Cualquiera de ellas serviría como ejemplo).De un donut de plastilina o de arcilla se puede fabricar una taza (ver ilustración). Las figurastridimensionales de ambas piezas son topológicamente equivalentes. Cambia todo excepto laspropiedades topológicas (tener un agujero, una sola superficie, el interior, la frontera, etc.).(le cogemos un pellizco al donut quitando masa de alrededor del boquete, disminuyendo el tamañode este pero manteniéndolo unido a la bola que nos va a servir hacer el hueco de la taza . . . Varia laforma, el tamaño, etc. pero no varian las propiedades topológicas).II.3) Importancia y utilidad de la Geometría. Valor formativo y funcionalLa educación y el desarrollo del pensamiento geométrico elemental constituye una parte esencialdel aprendizaje matemático. De un lado por su valor funcional derivado de su aplicabilidad adiversos campos y situaciones (es elemento fundamental para comprender e interpretaradecuadamente la realidad; no se concibe la vida cotidiana sin las formas y nociones geométricas(volumen del depósito de un vehículo, distancias a recorrer, arquitectura, superficies de viviendas,forma y capacidad de un recipiente, etc.)). No en vano trata sobre ideas, modelos, teorías ypropiedades que tienen que ver con las formas, una parte de las magnitudes y medidas, el orden“geométrico”, las transformaciones y las relaciones entre dichos aspectos, un campo amplísimo ytan potente como para abarcar aplicaciones como las siguientes: - astronomía y mecánica celeste - cartografía, geodesia y triangulaciónGonzález Marí, J. L. 6
  7. 7. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009 - problemas comerciales (envasado, empaquetado, tallas, patrones, etc.) - ingeniería (diseño de piezas) y arquitectura - formas en la creación artística - robótica; movimientos - óptica, fotografía y cine - cálculo de medidas (áreas, volúmenes, ángulos, etc.) - digitalización y manipulación de imágenes -...Por otra parte, es de destacar su valor altamente formativo (se ejercitan constantemente lacomparación, el orden, el manejo de la información, la perspectiva, la visualización, la apreciaciónde la belleza en el arte, la arquitectura, la escultura, la pintura, etc.);Desde el punto de vista curricular, la geometría es importante “... por constituir elementos básicosnecesarios para la construcción de otros conocimientos matemáticos...“ (Junta de Andalucía, 1992),como es el caso de los conocimientos métricos, y por su contribución al desarrollo de lascompetencias básicas y matemáticas específicas.Pero, además, no es un tema matemático aislado; la Educación Artística, la Educación Física, elDibujo y el Diseño, el Conocimiento del Medio Social (edificios, envases, etc.; distancias yrecorridos de eventos, etc.) y del Medio Natural (espacios, formas de envases, capacidades derecipientes, distancias, cartografía, planos, etc.), la Tecnología (aparatos para dibujar, software dediseño gráfico) y las Matemáticas desde distintos bloques temáticos (álgebra, representación enanálisis de datos), se relacionan entre sí en este tema interdisciplinar y con numerosas relacionescon temas transversales (Educación Vial, Educación ambiental, entre otros), campo privilegiadopara el desarrollo de competencias y capacidades básicas diversas.II.4) Las nociones geométricas en el currículo de Educación Primaria. Orientaciones oficialesLas orientaciones oficiales sobre nociones geométricas, formas y figuras y sus propiedades serecogen en los siguientes documentos legislativos oficiales: - LOE, MEC (2006) - Real Decreto 1513/2006 (MEC, 2006) - Orden de 10/08/2007 (Junta de Andalucía) desarrollo del currículo en Educación Primaria.Principios y metas: El alto valor formativo y funcional y su destacada contribución al desarrollo delas competencias básicas y matemáticas, confieren a estos conocimientos un destacado papel en laconsecución de la alfabetización matemática, entendida como la capacidad para utilizar y relacionarlos números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamientomatemático en situaciones reales o simuladas, interpretar y expresar con claridad y precisióninformaciones, datos y argumentaciones con contenido numérico, aritmético, geométrico y métricoe identificar y resolver problemas, seleccionando las estrategias, técnicas e instrumentos adecuados.Capacidades y competencias “La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como objetivo el desarrollo de lassiguientes capacidades: . . 2) Reconocer situaciones en su medio habitual . . ; 3) Apreciar el papelde las matemáticas en la vida cotidiana. . .; 7) Identificar formas geométricas del entorno natural ycultural utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad ydesarrollar nuevas posibilidades de acción.” (MEC, 2006).El tratamiento didáctico de los conocimientos geométricos debe contribuir al desarrollo de lascompetencias básicas (aprender a aprender, a través del razonamiento geométrico y la resolución deproblemas, competencia cultural y artística, a través del dibujo geométrico, el diseño, etc.,competencia digital, autonomía e iniciativa personal, conocimiento del medio natural y social) y delas competencias matemáticas específicas (pensar y razonar geométricamente, resolver y proponerGonzález Marí, J. L. 7
  8. 8. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009problemas geométricos, modelizar, representar, comunicar, argumentar mediante razonamientosgeométricos y utilizar tecnología auxiliar para el estudio de las figuras y sus propiedades).ObjetivosLos objetivos específicos del área de Matemáticas para la etapa de Educación Primaria quedanrecogidos en el Real Decreto 1513/2006. Los objetivos que desarrollan aspectos relacionados con lageometría y la orientación espacial son los siguientes:5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así comoprocedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, encada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados.7. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de suselementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.Los contenidos y criterios de evaluación de este núcleo de conocimientos, procedimientos ydestrezas se sitúan, de acuerdo con el Real Decreto 1513/2006 (MEC, 2006), en el bloque temáticonº 3 “Geometría” y de acuerdo con la Orden de 10 de agosto de 2007 de la Junta de Andalucía, enel bloque disciplinar denominado “Las formas y figuras y sus propiedades” y en la relación de éstecon los tres bloques transversales: “Resolución de problemas”, “TIC” y “Dimensión histórica,social y cultural de las matemáticas”. Por otra parte, dado que entre las magnitudes más importantesse encuentran las magnitudes geométricas (longitud, superficie, volumen, amplitud angular, etc.),también existe una relación especial con el bloque I a través de la medida de magnitudes (veresquema).Se establecen los siguientes contenidos y criterios de evaluación para el Bloque 3. Geometría (RealDecreto 1513/2006 (MEC, 2006)) 2:Primer ciclo: Contenidos:  La situación en el espacio, distancias y giros (posiciones y movimientos, líneas abiertas y cerradas, rectas y curvas; itinerarios);  formas planas y espaciales (figuras y elementos, comparación y clasificación; composición y descomposición de figuras planas);2 En Anexos se incluye una relación detallada de los contenidos y criterios de evaluación recogidos en la normativa legal de los que se hace un resumen a continuación.González Marí, J. L. 8
  9. 9. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009  regularidades y simetrías (relaciones espaciales, resolución de problemas geométricos);  interés, curiosidad y confianza en el trabajo con formas geométricas y sus propiedades.Criterios de evaluación: describir la situación de un objeto del espacio próximo y de undesplazamiento en relación a sí mismo, utilizando los conceptos de izquierda-derecha, delante-detrás, arriba-abajo, cerca-lejos y próximo-lejano (orientación y representación espacial); reconoceren el entorno inmediato objetos y espacios con formas rectangulares, triangulares, circulares,cúbicas y esféricas (reconocimiento de formas geométricas elementales).Segundo ciclo: Contenidos:  La situación en el espacio, distancias, ángulos y giros (representación, planos y maquetas, posiciones y movimientos; líneas rectas y curvas, intersección y rectas paralelas);  formas planas y espaciales (polígonos, lados y vértices; circunferencia y círculo; cuerpos geométricos: cubo, esfera, prisma, cono, etc.; aristas y caras; construcción de figuras planas y cuerpos a partir de su desarrollo; comparación y clasificación de ángulos, figuras y cuerpos geométricos);  regularidades y simetrías (traslaciones y simetrías);  interés, confianza y gusto por la presentación de construcciones geométricas; confianza en las propias posibilidades).Criterios de evaluación: reconocer y describir formas y cuerpos geométricos del espacio(polígonos, círculos, cubo, prismas, cilindros, esferas; propiedades y clasificaciones).Tercer ciclo: Contenidos:  la situación en el plano y en el espacio, distancias, ángulos y giros (ángulos, coordenadas cartesianas, movimientos; representación, escalas y gráficas; utilización de instrumentos de dibujo y programas de informática para construcciones geométricas);  formas planas y espaciales (lados y ángulos de un triángulo; composición y descomposición de figuras);  regularidades y simetrías (figuras simétricas; semejanza: ampliaciones y reducciones);  interés por la precisión y la presentación clara y ordenada de trabajos geométricos y perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas geométricos;Criterios de evaluación: utilizar las nociones geométricas de paralelismo, perpendicularidad,simetría, perímetro y superficie para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana(utilización efectiva en situaciones del entorno en las que hay que aplicar los conocimientosadquiridos).Núcleos de interés en Educación Primaria:1).- Estudiar las características y propiedades de figuras geométricas de dos y tres dimensiones ydesarrollar razonamientos matemáticos sobre relaciones geométricas • reconocer, dar nombre, construir, dibujar, comparar y clasificar figuras de dos y tresdimensiones; • describir los atributos y los elementos de figuras de dos y tres dimensiones; • juntar y separar figuras de dos y tres dimensiones para formar otras figuras.2).- Localizar y describir relaciones espaciales • describir, dar nombre e interpretar posiciones relativas en el espacio y aplicar ideas sobreposición relativa; • encontrar y denominar "lugares" con relaciones simples como "cerca de".González Marí, J. L. 9
  10. 10. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 20093).- Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas • reconocer y aplicar traslaciones, reflexiones y giros; reconocer y crear figuras que tengansimetrías.4).- Utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la modelización geométrica • crear imágenes mentales de figuras geométricas usando la memoria y la visualizaciónespacial; • reconocer y representar figuras desde diferentes perspectivas; • relacionar ideas geométricas con ideas numéricas y de medida (patrones de puntos); • reconocer formas y estructuras geométricas en el entorno.5).- Resolver problemas geométricos elementales6).- Utilización de las TIC y otros recursos y materiales didácticos para la construcción de figuras yformas geométricas, estudio de sus propiedades y la resolución de problemas.7).- En Andalucía, se debe relacionar el aprendizaje de la geometría con los núcleos temáticospaisajes andaluces y el patrimonio de Andalucía del Área de Conocimiento del medio natural,social y culturalPor último, son evidentes las relaciones, que habrá que establecer convenientemente en el diseñode las Unidades Didácticas correspondientes, entre la Geometría elemental y otros ámbitos, “lageometría debe servir para establecer relaciones con otros ámbitos como la naturaleza, el arte, laarquitectura o el diseño, así como la historia y la cultura . . (Junta de Andalucía). II.5) El aprendizaje y la evolución de la percepción espacial y del pensamiento geométrico:Piaget y niveles de Van Hiele de razonamiento geométrico. Complejidad, dificultades y erroresEl aprendizaje de los conceptos, relaciones y propiedades geométricas del espacio depende de laevolución de la percepción espacial, de las características generales del desarrollo de lascapacidades y conocimientos del sujeto, del estado de la función simbólica y el dominio dellenguaje. Entre las distintas teorías y estudios realizados sobre la evolución de las capacidades yconocimientos geométricos vamos a exponer brevemente a continuación las dos que nos parecenmás importantes: las etapas en la construcción de las ideas geométricas del espacio de Jean Piaget(1986) y la evolución del razonamiento geométrico de los esposos Van Hiele (1986).Etapas en la construcción del espacio y de las propiedades geométricas del espacio segúnPiagetA grandes rasgos, la percepción del espacio y la construcción de las nociones, relaciones y propiedadesgeométricas son aspectos solidarios y que evolucionan paralelamente en el individuo. El desarrollo delpensamiento espacial y geométrico pasa por dos etapas acumulativas y de transición gradual y continuaentre ellas:1. El espacio percibido o vivenciado e inicio al espacio representado, fruto de la experiencia inmediata y de la vivencia motriz, con una perspectiva egocéntrica, y en el que se produce un progresivo afianzamiento de las propiedades más generales o topológicas 3 (proximidad, separación, vecindad; abierto, cerrado; continuidad; orden infralógico; etc.) y el comienzo de una percepción espacial más objetiva y funcional y menos egocéntrica (de 0 a 5-6 años); la lateralidad será la responsable por excelencia de la capacidad de orientación en el espacio.2. El espacio pensado / representado / estructurado (a partir de los 6-7 años), cuyos inicios se producen en la etapa de Educación Primaria, en la que se puede observar, gracias al dominio de la función simbólica, un aumento del análisis de las propias percepciones y un perfeccionamiento en el uso de las imágenes mentales. Todo ello va a propiciar un progresivo despegue de la realidad hacia un pensamiento geométrico más evolucionado caracterizado por el dominio y la comprensión en años sucesivos del resto de propiedades matemáticas del espacio (proyectivas y euclideas) 13 Ver apartado siguienteGonzález Marí, J. L. 10
  11. 11. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009 (orientaciones, volúmenes, secciones de cuerpos, perspectivas, escalas, coordenadas y sistemas de referencia, distancias, ángulos, paralelismo y perpendicularidad, longitud, superficie, proporcionalidad geométrica, etc.). La estructuración espacial o capacidad de apreciar y situar objetos en un espacio tridimensional junto a la capacidad para tomar puntos de referencia externos a sí mismo, se basa en dichas relaciones proyectivas y euclidianas.El desarrollo descrito anteriormente parece que continúa y se perfecciona a lo largo de toda la vida,si bien con distintas intensidades y cualidades según la edad y las experiencias y disminuyendo conel paso de los años.El dominio de las propiedades geométricas por parte del sujeto se produce en el orden inverso al deaparición de dichas propiedades en la historia de las matemáticas: 1. Propiedades topológicasSon relaciones y propiedades cualitativas elementales:Vecindad: proximidad de elementos u objetos que se dan en un mismo campo (cerca –lejos).Separación: capacidad de disociar formas u objetos que no se pertenecen unos a otros (junto –separado).Orden o sucesión espacial: relacionar en el campo elementos vecinos (delante - detrás, derecha -izquierda, arriba – abajo).Envolvimiento: abarcar o contener a otros elementos (dentro – fuera).Etc. 2. Propiedades proyectivasLas nociones proyectivas se fundamentan sobre la noción de profundidad, constancia de forma ytamaño del objeto y tienen relación con volúmenes, apreciación de perspectivas, secciones,prolongación de superficies, orientación derecha e izquierda en el espejo y en relación a otrossujetos, etc.. También se pueden incluir las nociones de: delante, detrás, al lado, a la derecha,debajo, etc. Son propiedades que se distinguen especialmente en situaciones que tienen que ver conel aspecto que presenta un objeto visto desde diferentes ángulos o de situar los objetos en relación aotros con una perspectiva dada.Su formación requiere de procesos complejos de representación mental (Ej.: Los niños pequeñosdibujan una cara de perfil pero con dos ojos de frente, lo que se interpreta en el sentido de que nodominan aún las propiedades proyectivas). Se empiezan a formar a partir de los 4 y 5 años (el niñodistingue a esas edades entre un cuadrado y un círculo porque comienza a apreciar y conocer lalínea recta y a distinguirla de la línea curva) y se consolidan a partir de los 7 - 8 años de edad(dibuja bien la perspectiva en situaciones sencillas). 3. Propiedades euclídeas: (6 años o más)Las nociones euclidianas se basan en el hecho de situar los objetos en relación a un sistema dereferencia, lo que implica la necesidad de introducir medidas de longitud, superficie, ángulos,volumen, etc.. (Ej.: el niño distingue el cuadrado del rombo porque es capaz de advertir laexistencia de los ángulos, compararlos y apreciar sus diferencias).Niveles de Van Hiele. Nivel O: Visualización (percepción espacial y pensamiento no geométrico (no matemático))  Las figuras geométricas son reconocidas por su forma total, esto es, por su apariencia física ( es como una ventana, se parece a una rueda, etc… ), como un todo; no por sus partes o propiedades, que no son percibidas ( reconocen triàngulos, cuadrados, rectàngulos, etc., pero no identifican explìcitamente las propiedades de estas figuras ). Los objetos de pensamiento en el nivel O son formas y se conciben según su apariencia. Se agrupan formas con elGonzález Marí, J. L. 11
  12. 12. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009 mismo aspecto (cuadradas). Si el profesor pregunta a los niños en qué se diferencian, por ejemplo, los rombos de los rectángulos, sus respuestas harán énfasis en las diferencias de formas, tamaños, tal vez color, etc. ( “ el rectángulo es más largo “, “ el rombo es más picudo “, ... ); en este nivel no debemos esperar respuestas que se basen en el paralelismo, los àngulos rectos, etc. Nivel 1: Análisis. (inicios del pensamiento geométrico: los alumnos son capaces de descubrir y generalizar propiedades que aún no conocen a partir de la observaciòn y la manipulaciòn).  Los objetos de pensamiento en el nivel 1 son clases de formas en lugar de formas individuales. Se perciben las componentes y propiedades (condiciones necesarias ) de los objetos y figuras. Los alumnos son capaces de pensar sobre lo que hace que un rectángulo sea un rectángulo; se dan cuenta de que las figuras geomètricas están formadas por partes o elementos y de que estàn dotadas de propiedades matemàticas ( geométricas)..  Se perciben propiedades a través de la experimentación, la observación y la repetición, pero dicha percepción es aislada, no se relacionan las propiedades y no se perciben relaciones entre las propiedades y las figuras. Pueden describir las partes que integran una figura y enunciar sus propiedades así como las figuras por sus propiedades, pero no relacionar unas propiedades con otras (paralelismo de lados opuestos con igualdad de lados opuestos ) o unas figuras con otras (un cuadrado es un rombo especial ).  Experimentando con figuras y objetos pueden establecer nuevas propiedades. Sin embargo no realizan clasificaciones de objetos y figuras a partir de sus propiedades.  Los enunciados son informales y las definiciones no son comprendidas. Como muchas definiciones en Geometría se elaboran a partir de propiedades, no pueden elaborar definiciones. La diferencia bàsica con el nivel anterior: los estudiantes han cambiado su forma de mirar las figuras geométricas; ahora son conscientes de que pueden estar formadas por elementos y de que son portadoras de ciertas propiedades. No obstante, la capacidad de razonamiento es limitada, pues usaràn las propiedades de una figura como si fuesen independientes entre sì (por ejemplo, no relacionaràn la existencia de àngulos de 90º con la perpendicularidad o el paralelismo de los lados). Nivel 2: Deducción informal. En este nivel comienza la capacidad de razonamiento formal (matemático) de los estudiantes: ya son capaces de reconocer que unas propiedades se deducen de otras y de descubrir esas implicaciones; en particular, pueden clasificar lógicamente las diferentes familias de figuras a partir de sus propiedades o relaciones ya conocidas. No obstante, sus razonamientos lógicos se siguen apoyando en la manipulación. Pueden entender una demostración explicada por el profesor o desarrollada en el libro de texto, pero no son capaces de construirla por sí mismos. Si la capacidad de razonamiento propia del nivel 1 no permitía a los estudiantes entender que unas propiedades pueden deducirse de otras, al alcanzar el nivel 2 habrán adquirido esta habilidad de conectar lógicamente diversas propiedades de la misma o de diferentes figuras. En el caso del estudio de los cuadrilàteros, los estudiantes de este nivel ya podrán entender que la igualdad de los àngulos opuestos implica el paralelismo de los lados, que la igualdad de lados implica la perpendicularidad de diagonales, etc. . Sin embargo, la capacidad de los estudiantes se limitarà a realizar pequeñas deducciones. Nivel 3: Deducción formal  Los objetos del pensamiento son relaciones entre propiedades de los objetos geométricos. (Un alumno en este nivel puede observar claramente que las diagonales de un rectángulo seGonzález Marí, J. L. 12
  13. 13. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009 cortan en su punto medio).  los estudiantes pueden entender y realizar razonamientos lógicos formales; las demostraciones ( de varios pasos ) ya tienen sentido para ellos y sienten su necesidad como único medio para verificar la verdad de una afirmación.  Los estudiantes aceptan la posibilidad de llegar al mismo resultado desde distintas premisas (es decir, la existencias de demostraciones alternativas del mismo teorema ), la existencia de definiciones equivalentes del mismo concepto, etc. Pueden realizar correctamente actividades como la siguiente: . . . escribe una definición de cuadrado que empiece: a) un cuadrado es un cuadrilátero ..... b) un cuadrado es un paralelogramo ..... c) un cuadrado es un rectángulo ..... d) un cuadrado es un rombo ..... “la mediatriz de la base ( lado desigual ) de un triángulo isósceles siempre pasa por el tercer vértice” ¿porqué? los estudiantes de este nivel podràn hacer demostraciones formales de las propiedades que ya habìan demostrado informalmente con anterioridad, asì como descubrir y demostrar nuevas propiedades màs complejas, y también estaràn en condiciones de relacionar los cuadrilàteros con otras partes de la geometrìa euclidea que han estudiado, de darse cuenta de que hay algunos elementos comunes a todas ellas ( puntos, rectas, paralelismo, … ) y llegaràn a reconocer que las diferentes partes de la geometrìa que conocen, tanto plana como espacial, son en realidad partes de un ùnico sistema formal basado en los postulados de Euclides. Nivel 4: Rigor.  En este nivel el discente puede trabajar sobre una variedad de sistemas axiomáticos, esto es por ejemplo la geometría no-euclidea puede ser estudiada, y los diferentes sistemas pueden ser comparados. La Geometría es vista en abstracto, sin necesidad de ejemplos concretos.  Los objetos de pensamiento del nivel 4 son sistemas axiomáticos para la geometría. Este es el nivel requerido en los cursos universitarios especializados.Los alumnos de Educación Primaria se encuentran en su mayoría entre los niveles 0 y 1, si bien sepueden encontrar alumnos en tercer ciclo que ya han superado ambos niveles y tienen unpensamiento geométrico de las características del nivel 2.DIFICULTADES Y ERRORESLa complejidad de los conocimientos geométricos, como se desprende de lo tratado anteriormente,y las características del proceso educativo ordinario, manifiestamente mejorable y que no sueletener en cuenta la mayor parte de lo mencionado, provoca numerosos errores que constituyen unverdadero reto para los maestros y responsables educativos. Para tratar de disminuir al máximo, oincluso eliminar, dichos errores, es conveniente cuidar especialmente el diseño y el desarrollo delproceso didáctico teniendo en cuenta, entre otros, los aspectos mencionados y las consideracionesque se incluyen en el apartado IV de este tema relativas a la intervención educativa.III. ELEMENTOS, FORMAS Y RELACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO:CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓNEl espacio, en su sentido más amplio, presenta multitud de aspectos analizables desde el punto devista de la Geometría elemental. En este apartado se hace una breve revisión de los principalesGonzález Marí, J. L. 13
  14. 14. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009elementos, formas y relaciones geométricas, las cuales constituyen modelos de objetos ysituaciones del entorno que el ser humano utiliza para crear y organizar o estructurar el medio quele rodea.En los niveles de Educación Primaria se han de tener en cuenta los elementos, formas, estructuras yrelaciones que se incluyen en el apartado II.2, en las orientaciones curriculares oficiales analizadasen el apartado II.4 y que se describen con más detalle en los sucesivos apartados que se desarrollana continuación. III.1) Geometría del plano. Elementos y formas planasComenzar el análisis por la geometría del plano es una mera cuestión de orden, pues donderealmente adquiere todo su significado el plano y sus elementos es en el contexto del espacio de tresdimensiones del que forma parte. No obstante, mantengamos el enfoque tradicional abordando enprimer lugar las nociones, relaciones y características del espacio bidimensional. A) ELEMENTOS BÁSICOSEl punto, la recta y el plano son nociones geométricas básicas relacionadas entre sí y que se definenunos a partir de otros.PUNTO: elemento geométrico primario o primitivo, aunque no simple ni de fácil comprensión. Noes un objeto físico, no tiene dimensiones y se define como el lugar de intersección de dos rectas quese cortan. Se puede decir que el punto es un objeto matemático o idea, pero que si se establece unparalelismo con la realidad física, su “aspecto” no cambia ante ampliaciones o reducciones decualquier tamaño (un punto dibujado en el papel con la punta de un alfiler siempre tendrá la mismaapariencia, tamaño, forma, etc. al observarlo con cualquier lupa o microscopio o al ampliar la zonatodo lo que queramos).RECTA: sucesión ilimitada e infinita de puntos de tal manera que todos los puntos se disponensiempre en la dirección del camino más corto con los demás (la letra no cursiva constituye unadefinición informal). Es la línea ilimitada que une dos puntos por el camino más corto. Por dospuntos pasa una recta y sólo una, por tanto dos puntos determinan una recta y sólo una.INTERSECCIÓN DE LÍNEAS RECTAS. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDADIntersección de líneas rectasGonzález Marí, J. L. 14
  15. 15. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009Dos líneas rectas en el plano pueden ser paralelas (no tienen ningún punto en común), coincidentes(todos sus puntos son comunes) o se pueden cortar (tienen un punto en común). A su vez, las líneasque se cortan pueden ser perpendiculares u oblícuas. Dos líneas rectas son perpendiculares cuandoforman un ángulo entre ellas de 90º.SEGMENTO: zona o parte de la recta comprendida entre dos puntos.SEMIRRECTA: recta limitada por un punto.Un punto en una recta determina dos semirrectas.PLANO: Superficie ilimitada que contiene a dos rectas que se cortan en un punto o que sonparalelas. Tres puntos no alineados también componen un plano.ÁNGULO: Es la región del plano limitada por dos semirrectas que tienen en común el punto quelas define. Dicho punto se llama vértice del ángulo y las semirrectas se llaman lados. Dos rectasque se cortan originan cuatro ángulos iguales dos a dos.Clasificación de los ángulos por su amplitud:  Ángulo llano: sus lados son prolongación uno del otro. Su amplitud es de 180º  Ángulo recto: sus lados son perpendiculares. Su amplitud es de 90º  Ángulo obtuso: su amplitud está entre 90º y 180º.  Ángulo agudo: su amplitud es inferior a 90º• Clasificación de los ángulos por sus posiciones relativas:  Ángulos consecutivos: son los que tienen el vértice y un lado común.  Ángulos adyacentes: son los que tienen un lado común y los lados no comunes son uno prolongación del otro.  Ángulos opuestos por el vértice: los lados de uno son prolongación de los lados del otro.• Clasificación por la suma de amplitudes:  Complementarios: los que suman 90°.  Suplementarios: los que suman 180°.LUGAR GEOMÉTRICO: conjunto de puntos que cumplen una propiedad determinada (Ej. Unacircunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia(radio) de un punto llamado centro de la circunferencia).MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan delos extremos del segmento. Es una recta perpendicular al segmento en su punto medio.BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de loslados del ángulo. Es una recta que divide el ángulo en dos partes iguales (VER FIGURA). B) FORMAS Y FIGURAS PLANASGonzález Marí, J. L. 15
  16. 16. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009LÍNEA POLIGONAL:Conjunto de segmentos unidos secuencialmente por sus extremos. Los segmentos que tienen unpunto en común se llaman consecutivos. Los que sólo tienen un punto en común con otro se llamanextremos.Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas. Una línea poligonal es abierta cuando tieneextremos y es cerrada cuando no los tiene (ver figuras).POLÍGONOSRegión del plano limitada por una línea poligonal cerrada. A los segmentos de la línea se les llamalados del polígono y a los puntos comunes de cada pareja de lados vértices. Los ángulos interioresque forman cada pareja de lados son los ángulos del polígono. Por tanto el número de lados es igualque el número de ángulos.Al ser regiones del plano, los polígonos tienen superficie. El área de las figuras planas es unamedida de la superficie de dichas regiones.Cada lado de un polígono tiene una medida de longitud determinada, que es la misma para todos loslados si el polígono es regular. Se llama perímetro de un polígono a la suma de las medidas delongitud de todos sus lados.Según el número de lados y de ángulos, los polígonos se clasifican en triángulos, cuadriláteros,pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos, etc.Los polígonos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares. TRIÁNGULOSPolígonos de tres lados. La suma de sus ángulos es 180°. Cada lado de un triángulo es mayor que ladiferencia de los otros dos y menor que su suma. Su área es: S = bxh / 2, donde b es la base y h laaltura.Clasificación de triángulos Según sus ángulos: Rectángulos (un ángulo de 90º); Acutángulos (tres ángulos agudos); Obtusángulos (un ángulo obtuso). En los triángulos rectángulos los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el opuesto a dicho ángulo se llama hipotenusa. En todo triángulo rectángulo se cumple que “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” (a2 = b2 + c2) (Teorema de Pitágoras). b c a Según sus lados: equiláteros (tres lados iguales); isósceles (dos lados iguales); escaleno (los tres lados desiguales).González Marí, J. L. 16
  17. 17. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009Rectas y segmentos notables en un triángulo: Mediatriz de cada lado: recta perpendicular al lado en su punto medio. Las mediatrices de todo triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro (centro de la circunferencia circunscrita). Bisectriz de cada ángulo: son también rectas y dividen cada ángulo en dos regiones iguales. Se cortan en un punto llamado incentro (centro de la circunferencia inscrita). Mediana: segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro. Altura: segmento trazado perpendicularmente desde un vértice al lado opuesto o a la prolongación del lado opuesto. Las alturas de todo triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.Relaciones en el triángulo rectángulo: el teorema de PitágorasEn todo triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a lasuma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. CUADRILÁTEROSSon polígonos de cuatro lados. Todos tienen cuatro vértices y dos diagonales. La suma de losángulos interiores es 360º.Pueden ser: CONVEXOS CÓNCAVOSA su vez, los cuadriláteros convexos pueden ser: OTROS POLÍGONOSGonzález Marí, J. L. 17
  18. 18. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009En función de su números de lados: pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, etc. La sumade sus ángulos es tantas veces dos ángulos rectos como lados menos dos (Si tiene n lados. La sumade sus ángulos = 180 (n - 2)).Obsérvese que los triángulos y los cuadriláteros antes descritos cumplen esta expresión general.Los polígonos regulares son los que tienen sus lados y sus ángulos iguales. Los más sencillos son:triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, hexágono regular, octógono regular, dodecágonoregular, etc. Se llama apotema de un polígono regular al segmento que une el centro del polígonocon el punto medio de cada lado. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULOLa circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijollamado centro. A esa distancia se le llama radio. Cualquier segmento que une dos puntos de lacircunferencia se llama cuerda. Las cuerdas de mayor longitud son las que pasan por el centro y sellaman diámetros. Por tanto, un diámetro es dos veces el radio.La longitud de la circunferencia es 2πrPosiciones relativas de una recta y una circunferenciaUna recta puede ser exterior a una circunferencia si no la corta en ningún punto, tangente, si la cortaen un punto y secante si la corta en dos puntosPosiciones relativas de dos circunferenciasDepende de las distancias de sus centros y de la suma y diferencia de sus radios. Pueden ser:exteriores, interiores, secantes, tangentes interiores, tangentes exteriores y concéntricas.La circunferencia que pasa todos los vértices de un polígono se llama circunscrita. La que estangente a todos sus lados se llama inscrita. (circunferencia circunscrita al hexágono regular)El círculo es la región del plano comprendida dentro de una circunferencia. La parte del círculocomprendida entre dos radios y el arco se llama sector circular. La parte del círculo comprendidaentre una cuerda y el arco se llama segmento circular. Por tanto, cada cuerda, en el círculo,determina dos segmentos circulares.El área del circulo de radio r es: A = πr2 III.2) Geometría del espacio. Elementos y formas en el espacio tridimensionalLos elementos son los mismos que los que se han mencionado para la geometría del plano. Lasformas también participan de las formas del plano en el sentido de que dichas formas son parte defiguras y formas que ahora son tridimensionales y que reciben el nombre de cuerpos geométricos o“sólidos”, si bien este adjetivo no se refiere a la naturaleza física (ni a que sea “macizo” o “nohueco”) sino a las características topológicas del cuerpo o figura (posee una superficie ideal cerradaque separa la zona “interior” de la “exterior” sin ninguna consideración adicional sobre lascaracterísticas de ambas zonas. Como siempre, los objetos de la realidad sólo podemos decir que“son de tal o cual forma” o que “su forma se asemeja a la de un . . “; no existen cuerposgeométricos en la realidad.González Marí, J. L. 18
  19. 19. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009 A) CUERPOS GEOMÉTRICOS. Son los poliedros y los cuerpos redondos o cuerpos de revolución. Regulares o platónicos Semirregulares o arquimedianos otros poliedros:POLIEDROS estrellados irregulares prismas y antiprismas pirámides y troncos de pirámide cilindroCUERPOS DE REVOLUCIÓN cono esfera POLIEDROSLos poliedros son regiones ideales o de un espacio ideal delimitadas por caras planas poligonales.Sus elementos son caras, aristas y vértices. El área de un poliedro es la suma de las áreas de todoslos polígonos que constituyen sus caras. El volumen de un cuerpo poliédrico es una medida delespacio que ocupa dicho cuerpo.FÓRMULA DE EULERLos poliedros pueden ser convexos (se pueden apoyar en todas sus caras en el plano sin que quedenhuecos entre la cara y el plano) y cóncavos (al menos hay una cara o un grupo de caras que noapoyan totalmente en el plano (quedan huecos)). Cóncavos convexosEn todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número devértices es igual al número de aristas más dos: C + V = A + 2POLIEDROS REGULARES O SÓLIDOS PLATÓNICOS:Son aquellos que sus caras son polígonos regulares. Sólo existen cinco poliedros regulares:Tetraedro, cuatro caras, triángulos equiláteros. Octaedro, ocho caras, triángulos equiláteros.Icosaedro, veinte caras, triángulos equiláteros. Hexaedro o cubo, seis caras, cuadrados.González Marí, J. L. 19
  20. 20. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009Dodecaedro, doce caras, pentágonos regulares. Tetraedro hexaedro o cubo Dodecaedro (12 caras) icosaedro (20 caras)POLIEDROS ARQUIMEDIANOS O SEMIRREGULARESSon los que sus caras son polígonos regulares pero tienen al menos dos caras desiguales. Seobtienen cortando adecuadamente los poliedros regulares mediante planos para que los cortes seanpolígonos regulares (ver figuras (dos tipos de caras: triángulos equiláteros y cuadrados ohexágonos)). Sólo hay 13 poliedros arquimedianos.POLIEDROS ESTRELLADOSSon poliedros cóncavos. La figura representa el conocido como erizo de Kepler, formado por 60caras triangulares iguales, 90 aristas y 32 vértices.DESARROLLO DE POLIEDROSSi en un poliedro cortamos por un número suficiente de aristas de forma que quede una sola piezaen la que los polígonos estén unidos por un lado y que pueda ser extendida completamente en elplano, obtenemos un desarrollo del poliedro.PRISMAS Y ANTIPRISMASUn prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases) y tantos paralelogramos(caras laterales) como lados tienen las bases.González Marí, J. L. 20
  21. 21. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009Un prisma se llama recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases y oblicuo encaso contrario. Si los polígonos de la base son regulares, el prisma se llama regular.Prisma rectangular (caras laterales rectángulos) antiprisma hexagonal (caras laterales triángulos)PIRÁMIDE Y TRONCO DE PIRÁMIDECuando cortamos un ángulo poliedro por un plano, se obtiene un cuerpo geométrico llamadopirámide. Los elementos notables de la pirámide son los que se indican en la figura. Si se corta unapirámide por un plano que no corte a la base, obtenemos un tronco de pirámide (figura) CUERPOS REDONDOS O DE REVOLUCIÓNSe llaman cuerpos redondos a los que están limitados, en todo o en parte, por una superficie curva.Se llaman cuerpos de revolución a los que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje.Entre los cuerpos de revolución más importantes están el cilindro, el cono y la esfera.CILINDROCilindro recto: es el cuerpo que se obtiene al girar una vuelta completa (360º) un rectángulo sobreuno de sus lados.Cilindro oblicuo: Si se corta un cilindro recto por planos paralelos no perpendiculares al eje, seobtiene un cilindro inclinado. La base de un cilindro inclinado no es un círculo, sino una elipse.El área lateral del cilindro, será igual al área del rectángulo o sea: S = 2πrg.El área total será igual al área lateral más el área de las dos bases.Área lateral = 2πrg (siendo g la generatriz) Área de cada base = Área de un círculo = πr2 Área total del cilindro recto: 2πrg + 2πr2 = 2πr(g + r) Área total = 2πr(g + r)El volumen del cilindro será V = área de la base por la altura, ya que el cilindro es, en realidad, unprisma con un número ilimitado de caras. Teniendo en cuenta que la base del cilindro es un círculode área r 2 , el volumen del cilindro será: V   r 2 hGonzález Marí, J. L. 21
  22. 22. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009 Base Radio de la base Generatriz Altura Superficie cilíndrica Radio de la base BaseCONOEl cono es el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un triángulo rectángulo sobre uno de suscatetos. Vértice Generatriz Sección del cono Superficie cónica Altura Radio de la base BaseESFERALa esfera es un sólido de revolución que se puede generar haciendo girar un círculo, siendo el ejeun diámetro o haciendo girar un semicírculo, siendo el eje el diámetro de éste.Todos los puntos de la esfera están a una distancia de un punto (centro), menor o igual que unadistancia r (radio).En la superficie de la esfera se pueden considerar diferentes superficies que dan lugar a loscorrespondientes sólidos. Zona esférica. Se obtiene cuando se corta la esfera por dos planos paralelos. El sólidocorrespondiente es el segmento de dos bases, que es la zona esférica limitada por dos círculos. Casquete esférico. Se obtiene cuando se corta la esfera con un plano. El sólidocorrespondiente es el segmento de una base. La base es el círculo que cierrra el casquete. Huso esférico. Se obtiene cuando se corta la esfera por dos planos que pasan por el mismodiámetro de la esfera. El sólido correspondiente está delimitado por el huso y los semicírculos quecomparten diámetro y cada uno de los "lados" del huso, se denomina cuña esférica. El sector esférico es el sólido delimitado por un casquete esférico y un cono que tiene comovértice el centro de la esfera y base la del casquete.. III.3) Transformaciones geométricas isométricas: Traslaciones, giros y simetríasDenominamos transformación geométrica a todo movimiento o relación dinámica (en el sentido decambio de posición o apariencia en el espacio) entre elementos y formas geométricas. De entretodas las posibles transformaciones geométricas, las transformaciones rígidas o isométricas son lasmás importantes en Educación Primaria. Como hemos visto anteriormente, las propiedades de lasfiguras que no cambian ante este tipo de transformaciones se llaman propiedades euclídeas.TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICASGonzález Marí, J. L. 22
  23. 23. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sinvariar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes ygeométricamente se denominan figuras congruentes.La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o lo mismo) y metria (medir), unadefinición cercana es “igual medida”. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y giro orotación. Las tres se pueden dar en el plano o en el espacio. Veremos sólo las transformaciones enel plano.Traslación.La traslación es una isometría que realiza un cambio de posición determinado por un vector. Se llama traslación de vector v a la isometría que a cada punto m del plano le hace corresponder unpunto m´ del mismo plano tal que el vector (m´m) es igual a v.Simetría.Es la correspondencia exacta en la disposición regular y posición de las partes o puntos de uncuerpo o figura con relación a un punto (centro de simetría), una recta (eje de simetría) o un plano.Se denominan, respectivamente: simetría central, axial y especular o bilateral.Simetría centralTransformación en la que a cada punto (llamado original) se le asocia otro punto llamado imagen,que debe cumplir las siguientes condiciones:a) El original y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.b) El original, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.(figura izquierda): Simetría central del punto A. (figura derecha): Simetría central del triánguloABC, respecto del punto O.Según estas defmiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura que con una rotación oun giro de 180 grados.Simetría axialTransformación respecto de un eje de simetría. A cada punto de la figura se asocia a otro puntollamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:a) Las distancias de un punto y su imagen al eje de simetría, son iguales.b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos.GiroTransformación geométrica que implica un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo,elemento o figura. En un giro, un punto cualquiera de la figura permanece siempre a una distanciaGonzález Marí, J. L. 23
  24. 24. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009constante de un punto fijo denominado centro de rotación. Todo giro se caracteriza por un ángulode giro y un sentido de rotación (en el plano, uno de los dos sentidos posibles) III.4) Representación geométrica y coordenadasPara representar puntos en el plano se establece un sistema de referencias formado por dos ejesperpendiculares que se llaman ejes cartesianos y que se cortan en un punto llamado origen decoordenadas. Cada punto del plano viene determinado por sus coordenadas, que no es otra cosa queun par ordenado de números (x, y), donde x representa un valor numérico del “eje de abcisas” o ejehorizontal (distancia desde la proyección del punto sobre el eje de abcisas hasta el origen) e yrepresenta un valor numérico del “eje de ordenadas” o eje vertical (distancia desde la proyeccióndel punto sobre el eje de ordenadas hasta el origen).El sistema de coordenadas cartesianas permite representar, localizar y describir elementos, formas yrelaciones geométricas mediante coordenadas. En los primeros niveles se realizan actividades delocalización y distancias sobre cuadrículas (inicio al sistema de coordenadas cartesianas) y en losniveles intermedios se pueden utilizar a modo de reglas para averiguar áreas. III.5) Proporcionalidad geométrica. Semejanza. EscalasEn el último nivel de Educación Primaria se inicia la semejanza como un nuevo tipo detransformación geométrica que se basa en la ampliación o reducción proporcionada de las figuras,es decir, en el aumento o disminución del tamaño global sin que se modifiquen los ángulos, laforma, etc. Esta iniciación culmina con el teorema de Tales y tiene numerosas aplicaciones: mapasy planos a escala, cálculo de distancias inaccesibles, dibujos a escala, etc..González Marí, J. L. 24
  25. 25. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009IV. INTERVENCIÓN EDUCATIVAEn la Educación Primaria se busca alcanzar una eficaz alfabetización matemática, entendida comola capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y susrelaciones, las permitiendo obtener información efectiva, directamente o a través de lacomparación, la estimación y el cálculo mental o escrito (MEC, 2006). Es evidente que lageometría presenta una estrecha relación con los aspectos mencionados anteriormente.La planificación y el desarrollo didácticos en el aula de matemáticas de Primaria se deben basar enlos siguientes:principios y orientaciones generales:Según el Real Decreto 1513/2006, la intervención educativa tiene que fundamentarse en unosprincipios psicopedagógicos que pueden enmarcarse en la concepción constructivista delaprendizaje escolar, en la formación disciplinar y en el desarrollo de las competencias básicas ymatemáticas, para lo que se han de tener en cuenta, entre otros aspectos:- Partir del nivel de desarrollo del alumnado, de sus conocimientos previos, intereses,curiosidades, ideas previas, estilos de aprendizaje, etc..- Organizar cuidadosa y coherentemente, mediante una planificación previa flexible, loscontenidos y las actividades en un proceso educativo en espiral, bien planificado en lofundamental, con variedad de experiencias y actividades en situaciones diversas, motivador; concontenidos significativamente relacionados y que tenga en cuenta lo que los alumnos ya saben;- Adoptar un enfoque disciplinar en lo instrumental y globalizado e interdisciplinar en lo formativoy funcional, procurando que siempre exista relación entre el trabajo instrumental y la facetafuncional del conocimiento matemático y que adopte la modelización matemática, latransversalidad y la resolución de problemas como ejes centrales del proceso;- los procesos de resolución de problemas (verdaderos problemas y no ejercicios camuflados deproblemas) deben constituir uno de los ejes principales de la actividad escolar en matemáticas,puesto que se utilizan muchas capacidades básicas: leer comprensivamente, reflexionar y razonar,establecer un plan de trabajo que se va revisando y modificando si es necesario, comprobar lasolución, comunicar los resultados, etc..- Un clima adecuado para aprender, una metodología diversificada y la devolución de laresponsabilidad como principios orientadores del trabajo en el aula;- Utilizar distintas metodologías de trabajo en el aula (trabajo individual para el desarrollo dedeterminados aprendizajes (expresión escrita, lectura, ejercicios de cálculo, etc.) y en grupos dedistinto tamaño, equilibrados y diversos en cuanto a las características de sus componentes);- Propiciar en todo momento y siempre que se pueda el aprendizaje significativo y el gusto por eltrabajo bien hecho creando en el aula un ambiente agradable e intelectualmente estimulantemediante experiencias adecuadas a las características e intereses de los alumnos, que constituyanretos y buenas ocasiones para la implicación personal y la generación de actitudes de indagación ydescubrimiento (Goñi (2006));- Es importante el enfoque experiencial en el aula de matemáticas, para lo que se debe prestaratención al trabajo sobre situaciones reales, material didáctico y recursos y actividades lúdicas;- La utilización reiterada de recursos del entorno y materiales didácticos manipulativos favorecenel aprendizaje y son medios interesantes para la atención a la diversidad, pues acercan losconceptos abstractos a la intuición a través de la manipulación y permiten romper la uniformidadde los procedimientos con variantes más adecuadas para algunos alumnos.- Utilizar distintos códigos y modos de expresión fomentando en todo momento la comunicación yla expresión verbal y matemática;Tareas y situaciones didácticas(se centran en la competencia matemática y sus componentes y favorecen la adquisición de lasGonzález Marí, J. L. 25
  26. 26. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009competencias básicas según el contenido y la metodología involucradas)A) Situaciones reales (aplicación directa de las matemáticas a la realidad)Realidad Cívico - Social Realidad Físico - Natural Otrastienen que ver con las competencias básicas correspondientes, la motivación y la comprensiónB) Tareas Lúdicas (Juegos y pasatiempos)C) Tareas Manipulativas (Recursos y Material didáctico)tienen que ver con la motivación y las competencias básicas (comunicación lingüística,comportamientos sociales, etc.)tienen que ver con la motivación y la comprensiónD) Problemas de enunciado verbaltienen que ver con la aplicación matemática, aprender a aprender, aurtonomía e iniciativapersonal)E) Explicaciones. Ejemplos. LecturasF) Tareas instrumentales (Ejercicios, algoritmos, terminología)tienen que ver con las técnicas y prerrequisitosG) Tareas transversales e interdisciplinares (espacio de funcionalidad: proyectos, debates, etc.)A las consideraciones anteriores, válidas con algunos matices para todos los temas, bloques yunidades de matemáticas, hemos de añadir los siguientes principios, reflexiones y orientacionesespecíficas para el caso de las nociones geométricas:orientaciones metodológicas para el desarrollo de los contenidos de geometría desarrolladas en elanexo I de la Orden de 10 de agosto de 2007.Debemos utilizar distintos códigos y modos de expresión, tanto los no convencionales como lospropiamente matemáticos. El proceso de formalización creciente de los conceptos matemáticosexige el conocimiento y uso de códigos de representación progresivamente más abstractos.La observación y manipulación de formas y relaciones en el plano y en el espacio, presentes en lavida cotidiana Juegos, hogar, colegio, etc.) y en nuestro patrimonio cultural, artístico y naturalservirán para desarrollar las capacidades geométricas, siguiendo el modelo de Van Hiele para elreconocimiento de formas, propiedades y relaciones geométricas, invirtiendo el proceso que partede las definiciones y fórmulas para determinar otras características o elementos. Educar a través delentorno facilitará la observación y búsqueda de elementos susceptibles de estudio geométrico, delos que se establecerán clasificaciones, determinarán características, deducirán analogías ydiferencias con otros objetos y figuras.La geometría debe servir para establecer relaciones con otros ámbitos como la naturaleza, el arte, laarquitectura o el diseño, de manera que el alumna do sea capaz de comenzar a reconocer supresencia y valorar su importancia en nuestra historia y en nuestra cultura. Concretamente, lapresencia de mosaicos y frisos en distintos monumentos permitirá descubrir e investigar lageometría de las transformaciones para explorar las características de las reflexiones (geometríadesde el primer ciclo), giros y traslaciones (geometría a partir del segundo ciclo).El reconocimiento, representación y clasificación de figuras y cuerpos geométricos se debe abordara través de la observación y de la manipulación física o virtual. El estudio de formas algo máscomplejas debe abordarse a través del proceso de descomposición en figuras elementales,fomentando el sentido estético y el gusto por el orden.El cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas debe iniciarse por medio dedescomposiciones, desarrollos, etc. y solo al final del proceso es conveniente obtener las fórmulascorrespondientes. El proceso de obtención de la medida es lo que dará significado a esas fórmulas.A) La enseñanza de la Geometría debe contemplar de alguna manera el estudio matemático delespacio como conjunto de conceptos y métodos para visualizar conceptos, procesos y relacionesmatemáticasGonzález Marí, J. L. 26
  27. 27. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009B) Se echa en falta una atención especial en el currículo de matemáticas de Educación Primaria alas siguientes cuestiones: - Relación de la geometría con las materias y temas transversales; - Actividades sobre relaciones entre la superficie y el volumen como conceptos y a las relaciones entre las medidas de superficie y volumen. - Actividades de conocimiento y uso de instrumentos de dibujo; - Reflexiones sobre las graduaciones de los instrumentos de medida y su funcionamiento; - Problemas reales (o relacionado con temas de actualidad) de geometría. Modelización matemática sobre formas y figuras geométricas para diferentes usos; -Hay razones de tipo formativo para dedicar una atención especial a los aspectos mencionados(aprender a gestionar la información; las capacidades para el desarrollo de la autonomía, facilita elrazonamiento, etc.) y de tipo funcional (aprender a medir con instrumentos reales o a elegir elinstrumento adecuado en cada caso influye sobre las habilidades de estimación y aproximación concantidades y medidas, desarrolla las competencias de pensar y razonar o argumentar, entre otras, yfacilita la toma de decisiones en numerosas situaciones cotidianas).B) Es fundamental la Utilización de recursos, instrumentos y materiales manipulativosPara el estudio de la Geometría es conveniente conjugar la experimentación a través de lamanipulación con las posibilidades que ofrece el uso de la tecnología. Es recomendable el uso demateriales manipulables, como geoplanos y mecanos, puzzles, libros de espejos, materiales paraformar poliedros, ete., así como la incorporación de programas de geometría dinámica paraconstruir, investigar y deducir propiedades geométricas. En este sentido, se potenciará el uso deltaller y/o laboratorio de matemáticas.Siguiendo a y a otros autores, los principales medios que se deben utilizar para el desarrollodidáctico del tema son los siguientes: 1) Materiales manipulativos No estructurado: papel (opaco, transparente y cuadriculado), cartulinas, cintas, barras,alambres; Tijeras; Clavos, tuercas, canicas; agua, arena, recipientes de distintas formas y tamaños;Troceado de folios; Didáctico estructurado: Tangrams; Policubos; Regletas encajables y de colores; Sólidospara ensamblar; bloques multibases; geoplanos; Dominós sobre el sistema métrico y unidades;Material para fracciones: Áreas incompletas y sombreado de áreas (la parte rayada representa unafracción del área total de la figura considerada como la unidad); dominós de fracciones; listones querepresentan las principales medidas de longitud submúltiplos del metro; Puntos y tramasisométricas;.TangramsPuzzle o rompecabezas geométrico. Toma esta denominación de un juego chino muy antiguoformado por siete piezas llamadas “tans”: 5 triángulos de diferentes tamaños, un cuadrado y unparalelogramo. Con todas estas figuras geométricas se puede formar un cuadrado. Existen muchostipos de tangrams útiles en Educación Matemática: pitagórico, triangular, etc.Los tangrams favorecen la creatividad por las múltiples posibilidades que ofrecen lascombinaciones de las piezas; pueden utilizarse, en la medida de las posibilidades del niño deInfantil, para:o Reconocimiento de formas geométricas.o Libre composición y descomposición de figuras geométricas.o Realizar giros y desplazamientos de figuras geométricas manipulativamente.González Marí, J. L. 27
  28. 28. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009o Desarrollar la percepción mediante la copia de figuras y reconocimiento de formasgeométricas simples en una figura compleja.o composición de formas figurativas e incluso escenas.Polígonos y poliedros: Los polígonos son figuras cerradas y planas de distintos materiales parajugar con ellas, combinarlas, construir nuevos polígonos mediante la combinación de dos o másfiguras, etc., (Mecano con varillas articuladas; Polígonos y círculos en piezas). Los poliedros sepresentan en forma de juegos de figuras cerradas en tres dimensiones, limitadas por caras planas yaristas o juegos para la construcción de modelos que simulan poliedros.Interés didáctico: Formas básicas. Polígonos. Tipos de polígonos. Lados, vértices. Perímetro y área.Mosaicos, frisos y teselaciones: composiciones planas utilizando figuras geométricas y ciertasregularidades; las teselaciones son cubrimientos totales del plano sin superposiciones mediantefiguras geométricas. También se conoce como “pavimentado” del plano.Interés didáctico: Generación de mosaicos (cualquier triángulo, cuadrilátero...). Polígonos concapacidad de teselar y generar mosaicos. Propiedades. Polígonos que no teselan el plano. Polígonosgenerados por piezas de mosaico. Tipos de frisos y mosaicos. Iniciación al concepto de ángulo;comparación de ángulos.Geoplanos: Tableros planos rígidos en los que se dispone una trama de clavos o pivotes quesobresalen y que se encuentran dispuestos a una distancia fija entre ellos y/o formando unadistribución regular. Los más usuales son el geoplano cuadrado y el geoplano circular. También seutilizan, aunque en menor medida, los geoplanos triangular y rectangular.Interés didáctico: Los siguientes aspectos se tratarán a nivel de iniciación.- Transformaciones geométricas. Isometrías planas, traslaciones, giros y simetrías axiales.- Propiedades de figuras geométricas.- Formas geométricas planas. Polígono y poligonal. Formas abiertas y cerradas.- PoIígonos: Construcción, lados, vértices. Descomposiciones de polígonos.- Tipos de polígonos.- Geometría del geoplano.- Circunferencia, círculo. Polígonos inscritos.Geoplanos cuadrados y tramas cuadradas- Segmentos. Posiciones relativas de segmentos. Comparación, suma y diferencia desegmentos.- Perpendicularidad y paralelismo.- Ángulos. Comparación, ordenación y medida de ángulos.- Perimetro. Área. Equivalencia de perímetros. Equivalencia de áreas.- Transformaciones geométricas. Isometrías planas, traslaciones, giros respecto a un punto ysimetrías axiales. Congruencia de polígonos. Simetrías y semejanzas.- Propiedades de figuras geométricas. Comprobaciones del teorema de Pitágoras.- Formas geométricas planas. Polígono y poligonal. Formas abiertas y cerradas.- PoIígonos: Construcción, clasificación y estudio. lados, vértices, ángulos. Clasificaciónsegún el número de lados, igualdad de lados, igualdad de ángulos, tipo de ángulos, paralelismos delados, número de diagonales, longitud de lados, longitud de las diagonales. Descomposiciones depolígonos. etc.- Tipos de polígonos. Concavidad y convexidad. Polígonos regulares e irregulares. Polígonosestrellados. Polígonos semejantes. Suma de los ángulos interiores. Relación entre perímetros depolígonos semejantes. Relación entre áreas de polígonos semejantes. (Para este apartado es precisousar geoplanos de 25 pivotes o más.).- Geometría del geoplano: una geometría con un número finito de puntos, de longitudes, deGonzález Marí, J. L. 28
  29. 29. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009ángulos y de polígonos. Profundizar en las limitaciones de la estructura del geoplano: imposibilidadde obtener triángulos equiláteros, ángulos de una cierta amplitud, un máximo número de lados paraun polígono. Algoritmo para el cálculo del área en función del número de clavos que abarca elpolígono.- Circunferencia, círculo, radios, diámetros, cuerdas, tangentes, secantes. Ángulos en unacircunferencia: centrales, inscritos, semiinscritos. Polígonos inscritos, circunscritos y estrellados.- Cálculo de áreas, volúmenes y perímetros de forma directa. Cálculo de medidas utilizandounidades diferentes a las habituales. Relación entre perímetro y área de polígonos semejantes.- Facciones y Números irracionales.Geoplanos circulares- Circunferencia y círculo.- Radio, diámetro, cuerda tangente, secante, sector circular, corona circular.- Elementos de la circunferencia y el círculo.- Ángulos en la circunferencia: centrales inscritos, semiinscritos.- Construcción y clasificación de polígonos tomando el círculo como referencia. Polígonosinscritos y circunscritos- Polígonos estrellados.Espejos y libro de espejosLos recursos más utilizados son: el espejo o MIRA (metacrilato) y el libro de espejos, formado pordos espejos iguales unidos por uno de sus lados para que se puede abrir y cerrar a voluntad.Utilidad didáctica: Ángulos, creación de polígonos regulares, circunferencia y circulo, paralelismoy perpendicularidad, división de segmentos y ángulos, simetrías, relaciones entre ángulos, ejes desimetría y números de lados. Resolución de problemas geométricos y métricos elementales. 3) Recursos didácticosEl ordenador, el video, el microscopio; la fotografía (estimación de volúmenes, distancias, etc.);VI. COMENTARIOS FINALESLa presente área se debe enmarcar en un enfoque pluridisciplinar y globalizado e integrador contodas las áreas del currículo. El área de matemáticas siempre ha sido y seguirá siendo, una de lasáreas con más solidez en el sistema educativo, dada su importancia para resolver problemas de lavida diaria, representar la realidad, formar en autonomía y espíritu crítico a los ciudadanos, facilitarla comprensión y la manipulación de la realidad, etc. Pero su principal característica es que utilizaun lenguaje común a todos los seres humanos en el que las magnitudes, la medida de magnitudes,las unidades y los instrumentos de medida constituyen parte del patrimonio compartido de toda lahumanidad.Además, las matemáticas proporcionan una manera común de comprender y organizar la realidad através de la modelización matemática y la resolución de problemas, los significados del lenguajematemático o el modo de hacer conjeturas y razonamientos, lo que capacitará a los alumnos/as paraanalizar la realidad, producir ideas y conocimientos nuevos y comunicarlos, entender situacionesnuevas y acomodarse a contextos cambiantes.Pero el reto en el área de Matemáticas en Educación Primaria consistirá más que en “facilitar elaprendizaje / enseñar” al alumnado las magnitudes y las medidas, el uso de los instrumentos demedida adecuados o el sistema métrico decimal, en enseñarles a pensar matemáticamente: abstraery aplicar ideas matemáticas en un amplio abanico de situaciones, desarrollar las competenciasbásicas y matemáticas específicas e iniciarse en la resolución de problemas como fundamento parauna formación personal, laboral y social de calidad y como garantía para el desarrollo de laautonomía e iniciativa personal y la continuación independiente del proceso permanente deGonzález Marí, J. L. 29
  30. 30. Oposiciones Primaria Tema 24 La Geometría en Educación Primaria 2009aprendizaje en el futuro. Se trata, evidentemente, de un proceso lento cuyos resultados se iránviendo de forma progresiva a lo largo de toda la Educación Primaria.VII. BIBLIOGRAFÍAAlsina, C. y otros (1986).- Invitación a la geometría. Madrid: SíntesisAlsina, C. y otros (1991).- Materiales para construir la geometría. Madrid: SíntesisCascallán, M T. (2002) "Iniciación a las matemáticas. Materiales y recursos didácticos. Madrid.Aula XXI. Santillana.Castro, E. (Ed.) (2001).- Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid: Síntesis.Coriat, M (2001). Materiales didácticos y recursos. En E. Castro "Didáctica de laChamorro, C. (coord..) (2003).- El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida. Cap. 8 en:Didáctica de las Matemáticas. Madrid: Prentice-Hall.Dickson y Brown. (1991). El aprendizaje de las Matemáticas. Barcelona: Labor.Goñi, J. M. (2006) "Matemáticas e interculturalidad". Barcelona: Graó.Hernán, F. (1988).- Recursos en el aula de Matemáticas. Madrid: Síntesis.Holloway, G.E.T. (1986).- Concepción de la geometría en el niño según Piaget. Madrid: PaidósIbérica.Juegos y pasatiempos de la Colección Matemáticas, cultura y aprendizaje de la Editorial Síntesis.Van Hiele, P. (1986).- Structure and insight: a theory of mathematics education. Academic Press.VIII. REFERENCIAS LEGISLATIVASJUNTA DE ANDALUCÍA:Orden de 10/08/2007 de la Junta de AndalucíaLey 17/2007, de 10 de diciembre, de Educación. Junta de Andalucía.MEC:MEC (2006 a) Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo de 2006, de Educación.MEC (2006, b) Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzasmínimas de la Educación Primaria.Ley Orgánica de Educación 2/2006 de 3 de mayo (LOE). MECDecretos 230 y 231 de 2007, de 31 de julio, sobre ordenación y enseñanzas correspondientes a laEducación Primaria y Secundaria Obligatoria.IX. REFERENCIAS WEB- ares.cnice.mec.es/matematicasep/index.html (proyecto cifras. Recurso didáctico que incorporaactividades específicas estructuradas por ciclos y bloques de cotenidos.- escolar.comlmenumate.htm (página con recursos sobre cómo abordar contenidos en el área dematemáticas como fracciones, números decimales, números enteros ... )- juntadeandalucia.es/averroes/recursos/area-matematica.php3 (Página de Averroes, Red telemáticaEducativa de Andalucía. Recursos para el área de matemáticas.- matematicas.net/ (Página para laexposición de recursos matemáticos sirviendo de punto de unión entre profesores)- Thesaurus.maths.org (Enciclopedia de Matemáticas con numerosos enlaces)- Jgodino/edumat-maestros/welcome (Godino, J. (2004); matemáticas y su didáctica para maestros:fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, sistemas numéricos,proporcionalidad, geometría, magnitudes, etc.- Wikipedia.org/wiki/Matem% (Enciclopedia digital sobre matemáticas con numerosos enlaces).González Marí, J. L. 30

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