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The NOSA-ITACA projectCase studiesTorre delle Ore: ν = 0.88Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneri...
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Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale

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Nel seminario verranno presentati due problemi applicativi che nascono nell'ambito dell'ingegneria strutturale e che richiedono la risoluzione di problemi a larga scala: il primo è un problema di ottimizzazione non lineare vincolato legato alla progettazione di strutture aeronautiche, mentre il secondo è un problema agli autovalori vincolato risultante dall'analisi modale di edifici storici in muratura. Verrà analizzata la struttura dei problemi e verranno proposte strategie numeriche ad hoc per la loro risoluzione in grado di gestire sia le grandi dimensioni che i vincoli sulle variabili. Nel primo caso proporremo l'utilizzo di strategie "multilevel" e nel secondo caso sfrutteremo tecniche di algebra lineare per matrici sparse.

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Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale

  1. 1. Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale Margherita Porcelli Seminari di Analisi Numerica Marzo 11, 2013 - Pisa
  2. 2. The NOSA-ITACA project The NOSA-ITACA project (2011-2013, Cultural Heritage) ◮ Partners: ISTI -CNR Research Area of Pisa Department of Constructions and Restoration - UNIFI ◮ Application: to support the activities of safeguarding and strengthening historic masonry constructions. ◮ Numerical analysis: methods for large constrained eigenvalue problems. ◮ Funded by PAR FAS Regione ToscanaMargherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 2 / 18
  3. 3. The NOSA-ITACA projectTools for the modelling and assessment of the structural behaviour of ancientmasonry constructions: the NOSA-ITACA codeMargherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 3 / 18
  4. 4. The NOSA-ITACA projectLarge eigenvalue problemsThe modal analysis ◮ The modal analysis is the study of the dynamic properties of structures under vibrational excitation. Free vibration equilibrium equations with dumping neglected ¨ M U + KU = 0 • U ∈ IRn is the FE displacement vector (time dependent). • K , M ∈ IRn×n are the stiffness and mass matrix of the FE assemblage. • n = total number of degrees of freedom (DOF) of the system.Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 4 / 18
  5. 5. The NOSA-ITACA projectLarge eigenvalue problems ◮ The solution of the equilibrium equation can be postulated to be of the form U = u sin(ω(t − t0 )), ◮ u ∈ I n , t is the time variable, t0 a time constant, R ◮ ω a constant that represents the frequency of vibration (rad/sec) of the vector u. Find the s ≪ n smallest eigenpairs of the generalized eigenproblem (GEP) K u = ω2 M u ◮ The solution of the (GEP) allows to find the various periods at which a structure naturally resonates. ◮ The number of frequencies of interest is mainly related to the geometry of the structure and its mass distribution.Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 5 / 18
  6. 6. The NOSA-ITACA projectLarge eigenvalue problemsConstraints: C u = 0, C ∈ IRm×n , m ≪ n Fixed (single-point) constraints ui = 0, i ∈ IF where ui is the displacement of a single DOF (e.g. imposition Dirichlet boundary conditions). Master-Slave (multi-points) constraints or tying relations There exists a subset IS ⊂ {1, . . . , n} such that us = csm um , s ∈ IS , m ∈ IMs ⊂ {1, . . . , n} IS m∈IMs us is the slave DOF whereas um are the master DOFs. ◮ These constraints are crucial, e.g., in modeling the contact interaction between masonry and reinforcement.Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 6 / 18
  7. 7. The NOSA-ITACA projectLarge eigenvalue problemsThe constrained eigenvalue problem K u = λM u subject to C u = 0 K , M ∈ IRn×n pos. semidef. sparse and symmetric, C ∈ IRm×n full row rank and K is pos. def. on the Null (C ). Unconstrained reformulations ◮ Condensed problem: let Z ∈ IRn×(n−m) be an orthonormal matrix whose columns span null(C ), (Z T KZ ) v = λ (Z T MZ ) v , v = Z T u ∈ IR(n−m) [Hitziger,Mackens,Voss 1995] ◮ Augmented problem: K CT u M 0 u =λ , y ∈ IRm . C 0 y 0 0 y [Baker, Lehoucq 2007]Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 7 / 18
  8. 8. The NOSA-ITACA projectLarge eigenvalue problemsForming a basis for null (C ) Lemma Let C ∈ IRm×n a full row rank matrix and let C = GH a rank-retaining factorization, i.e. let G ∈ IRm×m , H ∈ IRm×n with rank(G ) = rank(H) = m. Moreover, let H be partitioned as H = [Hm Hn−m ] Hm ∈ IRm×m non singular and Hn−m ∈ IRm×(n−m) . Then, the columns of the matrix Z ∈ IRn×(n−m) given by −1 −Hm Hn−m Z = In−m form a basis for null (C ).Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 8 / 18
  9. 9. The NOSA-ITACA projectLarge eigenvalue problemsResults for Master-Slave constraints Let the columns of C be ordered so that C = [CIF CIS CIM CIU ], then C = GH, with G = Im , H = C is a rank-retaining factorization and Hm = [CIF CIS ] and Hn−m = [CIM 0]. Then −[CIM 0] Z= In−m ◮ If K , M are sparse ⇒ the projected matrices Z T KZ , Z T MZ are sparse (m ≪ n).Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 9 / 18
  10. 10. The NOSA-ITACA projectLarge eigenvalue problemsResults for Master-Slave constraints Let the columns of C be ordered so that C = [CIF CIS CIM CIU ], then C = GH, with G = Im , H = C is a rank-retaining factorization and Hm = [CIF CIS ] and Hn−m = [CIM 0]. Then −[CIM 0] Z= In−m ◮ If K , M are sparse ⇒ the projected matrices Z T KZ , Z T MZ are sparse (m ≪ n).Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 9 / 18
  11. 11. The NOSA-ITACA projectLarge eigenvalue problemsSparsity pattern of the (left) and of its projection (right) ofa walls-roof structure Stiffness matrix K Projected stiffness matrix Z T KZMargherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 10 / 18
  12. 12. The NOSA-ITACA projectOpen-source software to be embedded in NOSA-ITACA ◮ Performed CPU time competitive with MARC (MSC software). ◮ In progress: comparison with DACG [Gambolati, Bergamaschi, Pini 1997] and JD [Sleijpen, Van der Vost, Bai 1999]Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 11 / 18
  13. 13. The NOSA-ITACA projectCase studiesCase studies ◮ Torre delle Ore (Lucca): Fixed constraints ◮ S. Francesco (Lucca): Fixed and Master-Slave constraints of the form us = um , s ∈ IS , m ∈ IM n |IF | |IS | |IM | TdO 46164 320 0 0 SF 61881 2662 54 54 m = |IF | + |IS | N = n−m bandwidth TdO 320 45844 1239 SF 2716 59165 11769Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 12 / 18
  14. 14. The NOSA-ITACA projectCase studiesTorre delle OreMargherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 13 / 18
  15. 15. The NOSA-ITACA projectCase studiesTorre delle Ore: ν = 0.67Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 14 / 18
  16. 16. The NOSA-ITACA projectCase studiesTorre delle Ore: ν = 0.88Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 15 / 18
  17. 17. The NOSA-ITACA projectCase studiesS. FrancescoMargherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 16 / 18
  18. 18. The NOSA-ITACA projectCase studiesS. Francesco: ν1 = 0.552Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 17 / 18
  19. 19. The NOSA-ITACA projectCase studiesS. Francesco: ν = 2.245Margherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 18 / 18
  20. 20. The NOSA-ITACA projectCase studies Thanks for your attentionMargherita Porcelli - Analisi numerica di problemi di ingegneria strutturale 19 / 18

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