Distribuciones

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Distribuciones

  1. 1. PROCESOS DE PRODUCCIÓN ÁREA DE MANUFACTURA MATERIA: Probabilidad y estadísticas Unidad # 2 Temas:  Bernoulli  Binomial  Poisson  Log Normal  Gamma  T de Student ALUMNA: Ma. Guadalupe Martínez Vega. GRADO Y SECCION: 2.- “D DOCENTE: Lic. G. Edgar Mata Ortiz Fecha: 18/03/2012
  2. 2. Introducción:El desarrollo de este trabajo nos habla un poco sobrediferentes tipos de distribuciones comúnmente usadas como:A. BernoulliB. BinomialC. PoissonD. Log NormalE. GammaF. T de StudentViene pasos como hacer cada uno se las distribuciones y 5ejemplos de cada uno de ellos, con su definición.
  3. 3. BernoulliLa distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por elmatemático y científicosuizoJakob Bernoulli, es una distribución deprobabilidaddiscreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( ) y valor 0para la probabilidad de fracaso ( ).Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un únicoexperimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que lavariable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .La fórmula será:Su función de probabilidad viene definida por:Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce comoEnsayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos comoensayos repetidos.
  4. 4. Ejemplo"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) seconsiderará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p)= 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", ysólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1(una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos losrequisitos.5 ejercicios:Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero.La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55a) X = 1 si anota X = 0 si no M =? x =?Eventos probabilidad 1 0.55 (p) = 1(0.55) = 0.55 0 0.45 (1-P)= 0(0.45) = 0.00 0.55 Media = 0.55 (1-0.55)² (0.55) = 0.111375 x = 0.247500 (0-0.55)² (0.45) = 0.136125 0.247500
  5. 5. b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos: si lo falla, su equipo no recibe puntos. Sea Y el numero de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no, explique porque. Eventos probabilidad 2 0.55 no, porque siempre tiene que ser 1 y 0 en éxito o fracaso. 0 0.45c) Determina la media y varianza Y Media: Varianza 2(0.55) = 1.1 (2-1.1)² (0.55) = 0.4455 0(0.45) = 0 (0.11)² (0.45) = 0.5445 1.1 0.9900En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es unabebida pequeña, 35% una mediana y 40% una grande. Sea x = 1 si se escogealeatoriamente una orden de una bebida pequeña y x = 0 en cualquier otro caso.Sea y = 1 si la orden es una bebida mediana y Y = 0 en cualquier otro caso.Sea z = 1 si la orden es una bebida pequeña o mediana y z = 0 para cualquierotro caso. a) M = 0.25 b) M= 0.35 c) M = 0.60 d) No es posible solo una de ellas puede ser igual a 1 e) Si f)
  6. 6. Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica 5% es la probabilidadde que se decolore, 20% de que se agriete o ambas. Sea X = 1 su se produce unadecoloración y X = 0 en cualquier otro caso. Y = 1 si hay alguna grieta y Y = 0 encualquier otro caso. Z = 1 si hay decoloración o grieta o ambas y Z = 0 encualquier otro caso. a) 0.05 b) 0.20 c) 0.23 d) Si e) No f) NoSean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = X – Y a) . b) . c) .Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X = 1 si sale cara en lamoneda de 1 centavo y X = 0 en cualquier otro caso, sea Y = 1 si sale cara en lamoneda de 5 centavos y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si sale cara enambas y Z = 0 en cualquier otro caso. a) ½ b) ½ c) ¼ d) Si e) Si
  7. 7. BinomialLa distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide elnúmero de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientesentre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo sonposibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene unaprobabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. Enla distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de formaindependiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número deéxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución deBernoulli.Características analíticasSu función de probabilidad esDondeSiendo las combinaciones de en ( elementos tomadosde en )EjemploSupongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que elnúmero 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y laprobabilidad sería P(X=20):
  8. 8. 5 Ejemplos:Sea x~Bin(8,0.4) Determine:X P0 0.01679616 a) 0.209018881 0.08957952 b) 0.232243202 0.20901888 c) 0.089579523 0.27869184 d) 0.007865324 0.23224320 e) 3.25 0.12386304 f) 1.926 0.041287687 0.007864328 0.00065536 1Si se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual10% de los elementos esta defectuoso.X P0 0.59049a) 0.000011 0.32805 b) 0.072902 0.07290 c)0.590493 0.00810 d) 0.000454 0.000455 0.00001 1
  9. 9. Se lanza una moneda 10 veces.X P0 0.000976562 a) 0.1171875001 0.009765625 b) 52 0.043945312 c) 2.530.117187500 d) 1.574 0.2050781255 0.2460937506 0.2050781257 0.1171875008 0.0439453129 0.00976562510 0.000976562 0.999999997En un cargamento grande de llantas de automóvil, 5% tiene cierta imperfección.Se elige aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvilX P0 0.773780937 a)0.00000593710.162901250 b) 0.1629012502 0.012860625 c) 0.7737809373 0.0004512504 0.000005937 0.999999997En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cada bittiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Supongamos que los valores de los bitsson independientes.
  10. 10. PoissonLa distribución de Poisson es una distribución de probabilidaddiscreta que expresa, apartir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinadonúmero de eventos durante cierto periodo de tiempo.EjemplosSi el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, paraobtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tenganencuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, kes 5 y , λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto,la probabilidad buscada esEste problema también podría resolverse recurriendo a una distribución binomial deparámetros k = 5, n = 400 y =0,02.5 Ejemplos:Si X Poisson (3), calc7ule (X=2), P(X=10), P(X=0), P(X=-1) y P(X=0.5)Cuando se usa la funision de masa de probailiodad (4.9), con =3, se obtiene:P=(X=2)= 0.2240P=(X=10)=0.0008P=(X=0)= 0.0498P=(X=1)= OP(X=O.5)=O
  11. 11. Si X Poisson (4), calcuyle P(X< 2) y P(X>1).P(X< 2)= 0.2381P(X>1)= 0.9084Sea X Poisson(4). Determine: P(X=1)0.0733 P(X=0)0.0183 P(X<2)000916 P(X>1)0.9084Suponga que 0.03% de los contenedores plasticos producidos en cierto procesostiene pequeños agujeros que lso dejan inservibles. X representa el numero decontenedores en una muestra aleatoria de 10000 que tienen este defecto.Determine: P(X=3)0.2240 P(X<3)0.4232 P(1<X<4)0.5974Una ariable aletoria X tiene una distribucion binomial y una variable aleatoria Ytiene una distribucion de Poisson.Tanto X como Y tiene medias iguales a 3. ¿es posible determinar que variablealeatoria tiene la varianza mas grande? Elija una de las siguientes respuestas: a) Si, X tiene la varaianza mas grande. b) Si, Y tiene ka varianza mas grande c) No, se necesita cono cer el numerop de ensayos, n, para X d) No, se necesita conocer la probailidad de éxito, p, para X e) No, se necesita conocel el valor de X para Y
  12. 12. Log normalla distribución log-normal es una distribución de probabilidad de cualquier variablealeatoria con su logaritmonormalmente distribuido (la base de una funciónlogarítmica no es importante, ya que logaX está distribuida normalmente si y sólosi logbX está distribuida normalmente). Si X es una variable aleatoria con unadistribución normal, entonces exp(X) tiene una distribución log-normal.Log-normal también se escribe log normal o lognormal.Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser consideradacomo un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Unejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarsecomo un producto de muchos retornos diarios.La distribución log-normal tiende a la función densidad de probabilidadpara , donde y son la media y la desviación estándar del logaritmo devariable. El valor esperado esy la varianza esEjemploEn un trayecto urbano hay dos semáforos consecutivos de modo que 2.5 minutosdespués de que el primero se ponga verde se pone rojo el segundo. Ambos secierran cada 2 minutos, permaneciendo cerrados 30 segundos.Un conductor se ha detenido en el primero y el tiempo en recorren la distanciaentre ambos semáforos es una U(1,4). ¿Cuál es la probabilidad de que se pare enel segundo?
  13. 13. Del enunciado se deduce que deberá parar si emplea entre 2.5 y 3 minutos en irdel primero al segundo, es decir, p[2.5 < X < 3]= F(3) - F(2.5) = (3-1) / 3 - (2.5-1) / 3 = 0.166.5 ejemplos:
  14. 14. T de studentLa distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problemade estimar la media de una poblaciónnormalmente distribuida cuando el tamaño de lamuestra es pequeño.Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de lasdiferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianzapara la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacióntípica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.
  15. 15. 5 Ejemplos:Cual es la probabilidad de que una variable t de Student de 6 grados de libertaddeja a la izquierda de -1,45:los valores negativos no vienen en la tabla, pero según lo anterior:en la tabla encontramos:por tanto:con lo que obtenemos:Cual es la probabilidad acumulada a la derecha de 2,45, en una variable t deStudent de 15 grados de libertad.según lo anterior:por la tabla tenemos que:que sustituyéndolo en la expresión, resulta:
  16. 16. que da como resultado:Cual es la probabilidad:según lo anterior:buscando el valor en la tabla, tenemos que:Cual es la probabilidad acumulada de una variable t de Student de 25 grados delibertad, se encuentre entre: 0,75 y 1,25.según lo anterior, tenemos:en la tabla las probabilidades, tenemos los valores:sustituyendo tenemos:realizando la operación:Calcular la probabilidad acumulada a la izquierda de 0,87 de una variable tStudent de 10 grados de libertad:
  17. 17. el valor 0,87 no viene en la tabla, pero los valores 0,85 y 0,90 sí:según la expresión:sustituyendo los valores numéricos, tenemos:operando:esto es:dando como resultado:que es la solución al problema planteado:

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