Modul riset operasional

3,988 views

Published on

  • Be the first to comment

Modul riset operasional

  1. 1. Modul Mata KuliahRISET OPERASIONAL Disusun oleh: Lukmanulhakim Almamalik Politeknik PIKSI Ganesha Bandung 2011
  2. 2. Kata PengantarPuji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, karena dengan karunia-Nya modul matakuliah Riset Operasional ini dapat kami selesaikan dan sajikan.Modul mata kuliah Riset Operasional ini dimaksudkan sebagai salah satu media belajarbagai mahasiswa Politeknik Piksi Ganesha dalam mata kuliah Riset Operasional, sehinggadiharapkan mahasiswa bisa lebih memahami materi Riset Operasional yang diberikandosen di dalam kelas.Modul ini terbagi menjadi 11 bab, dimana urutan per bab disesuaikan dengan sistematikasilabus Riset Operasional yang diberikan kepada mahasiswa.Penulis mengucapkan terima kasih kepada rekan-rekan pengajar di Politeknik PiksiGanesha, yang telah memberikan dorongan sehingga modul Riset Operasional ini selesaidibuat. Penulis menyadari bahwa isi modul ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itusaran dan kritik untuk perbaikan modul ini akan penulis terima dengan senang hati.Akhir kata, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi yang mempelajarinya.
  3. 3. Daftar Isi Hal1. Pengantar Riset Operasional2. Programa Linier 93. Programa Linier: Solusi Grafik 164. Programa Linier: Solusi Simplex 245. Programa Linier: Solusi Simplex Minimasi dan 37 Tipe Programa Linier Iregular 6. Analisis Post Optimal 46 7. Programa Linier: Metode Transportasi 52 8. Programa Linier: Masalah Penugasan 65 9. Teknik Perencanaan dan Jaringan Kerja: Teori Jaringan Kerja 7210. Teknik Perencanaan dan Jaringan Kerja: Critical Path Method 76 (CPM)11. Teknik Perencanaan dan Jaringan Kerja: PERT 84 2
  4. 4. 1Pengantar Riset OperasionalA. Tujuan Kompetensi Khusus Menjelaskan sejarah dan falsafah Riset Operasional dan hubungannya dengan pengambilan keputusan.B. Uraian Materi1. Sejarah dan Latar Belakang Singkat Riset Operasional• Pada masa Perang Dunia II, angkatan perang Inggris membentuk suatu tim yang terdiri dari para ilmuan dan ahli militer untuk mempelajari strategi memenangkan perang melawan Jerman. Tim yang dibentuk bertujuan menentukan penggunaan sumber daya kemiliteran yang terbatas untuk dapat bekerja paling efektif. Dalam bekerjanya tim melakukan riset menggunakan pengetahuan ilmiah untuk menentukan penggunaan sumber-sumber yang terbatas tersebut.• Setelah perang selesai, potensi komersialnya segera disadari oleh kalangan industri. Pengembangannya telah menyebar dengan cepat, terutama di belahan benua Amerika, terutama di Amerika Serikat.• Sedemikian pesat perkembangannya sampai saat ini, Riset Operasional telah digunakan dalam hampir seluruh kegiatan, baik di perguruan tinggi, dunia usaha, pemerintahan, program kesehatan, maupun organisasi jasa.• Dalam literatur manajemen, Riset Operasional sering juga dinamakan dengan Management Science.2. Riset Operasional Sebagai Senit dan Imu• Riset Operasional adalah suatu teknik pemecahan masalah yang berusaha menetapkan arah tindakan terbaik (optimum) dari sebuah masalah keputusan dalam kondisi sumber daya yang terbatas.• Istilah Riset Operasional seringkali diasosiasikan hampir secara ekslusif dengan penggunaan teknik-teknik matematika untuk membuat model dan menganalisis masalah keputusan.• Walaupun teknik dan model matematis merupakan inti dari Riset Operasional, akan tetapi pemecahan masalah tidaklah hanya sekedar pengembangan dan pemecahan model-model matematis.• Secara khusus, masalah-masalah keputusan biasanya mencakup faktor-faktor penting yang tidak terwujud (intagible) dan tidak dapat diterjemahkan secara langsung dalam bentuk model matematis. Faktor yang paling utama dari faktor-faktor tersebut adalah kehadiran unsur manusia sebagai si pengambil keputusan.• Sebagai sebuah teknik pemecahan masalah, Riset Operasional dapat dipandang sebagai seni dan ilmu. 3
  5. 5. • Aspek ilmu terletak pada penyediaan teknik-teknik matematik dan algoritma untuk memecahkan masalah yang dihadapi, sedangkan sebagai seni, keberhasilan dari solusi model matematis ini sangat bergantung pada kreativitas dan kemampuan seseorang sebagai pengambil keputusan untuk memecahkan masalah tersebut.• Jadi pengumpulan data dalam pengembangan model, penentuan keabsahan model, dan penerapan dari pemecahan yang diperoleh akan bergantung pada kemampuan kelompok peneliti Riset Operasional yang bersangkutan untuk membentuk komunikasi yang baik dengan sumber-sumber informasi maupun dengan individu-individu yang bertanggung jawab atas solusi yang disarankan.3. Komponen Model Keputusan• Dalam menyelesaikan suatu permasalahan yang berkaitan dengan pengambilan keputusan ini, yang terlebih dahulu harus diidentifikasi adalah komponen-komponen utamanya, yaitu: a. Tujuan (objective). b. Variabel-variabel keputusan.• Tujuan adalah hasil akhir yang hendak dicapai yang dilakukan dengan cara memilih suatu tindakan yang paling tepat dari suatu sistem (permasalahan) yang dipelajari. Dalam bidang bisnis (atau perusahaan), tujuan diartikan sebagai usaha untuk memaksimumkan profit atau meminimumkan biaya atau ongkos. Sementara itu dalam bidang-bidang lain yang sifatnya non profit, tujuan tersebut dapat berupa pemberian kualitas pelayanan kepada para langganan.• Ketika tujuan telah didefinisikan, tahap selanjutnya yang harus dilakukan adalah pemilihan tindakan terbaik yang dapat mencapai tujuan tersebut. Dalam hal ini, kualitas pemilihan tindakan tersebut akan sangat bergantung pada apakah si pengambil keputusan mengetahui seluruh pilihan tindakan atau tidak.• Untuk dapat menentukan tindakan-tindakan yang mungkin dilakukan, haruslah diidentifikasi variabel-variabel sistem yang dapat dikendalikan oleh pengambil keputusan. Tentu saja tingkat keberhasilan dalam mengidentifikasi variabel-variabel ini pun akan sangat bergantung pada kemampuan si pengambil keputusan.4. Model Dalam Riset Operasional• Sebuah model keputusan semata-mata merupakan alat untuk ”meringkaskan” sebuah masalah keputusan dengan cara yang memungkinkan identifikasi dan evaluasi yang sistematis terhadap semua pilihan keputusan dari suatu masalah.• Model adalah gambaran ideal dari suatu situasi (dunia) nyata, sehingga sifatnya yang kompleks dapat disederhanakan. Jenis-jenis model yang biasa digunakan: a. Model-model ikonis/fisik Penggambaran fisik dari suatu sistem, baik dalam bentuk ideal maupun dalam skala yang berbeda. Contoh 1.1: foto, peta, mainan anak-anak, maket, histogram. b. Model analog/diagramatis Model-model ini dapat menggambarkan situasi-situasi yang dinamis, dan model ini lebih banyak digunakan daripada model-model ikonis karena sifatnya yang dapat dijadikan analogi bagi karakteristik sesuatu yang 4
  6. 6. dipelajari. Contoh 1.2: kurva distribusi frekuensi pada statistik, flow chart, peta dengan bermacam-macam warna untuk menggambarkan kondisi sebenarnya. c. Model simbolis/matematika Penggambaran dunia nyata melalui simbol-simbol matematis. Model ini menggunakan seperangkat simbol matematik untuk menunjukkan komponen- komponen dari sistem nyata. Namun demikian, sistem nyata tidak selalu dapat diekspresikan dalam rumusan matematik. Model matematik dapat dibedakan menjadi dua kelompok, yaitu: deterministik dan probabilistik. Model deterministik dibentuk dalam situasi penuh kepastian, sedangkan model probabilistik meliputi kasus-kasus dimana diasumsikan penuh ketidakpastian. Contoh 1.3: Persamaan garis lurus y = ax + b; persamaan linier z = x1+x2+x3 d. Model simulasi Model-model yang meniru tingkah laku sistem dengan mempelajari interaksi komponen-komponennya. Karena tidak memerlukan fungsi-fungsi matematis secara eksplisit untuk merealisasikan variabel-variabel sistem, maka model-model simulasi ini dapat digunakan untuk memecahkan sistem kompleks yang tidak dapat diselesaikan secara matematis. Namun model-model ini tidak dapat memberikan solusi yang benar-benar optimum. Contoh 1.4: Simulator pesawat, simulator bisnis. e. Model heuristik Kadang-kadang formulasi matematis bersifat sangat kompleks untuk dapat memberikan suatu solusi yang pasti, atau mungkin suatu solusi optimum dapat diperoleh, akan tetapi memerlukan proses perhitungan yang sangat panjang dan tidak praktis. Untuk mengatasi kasus seperti ini dapat digunakan metode heuristik, yaitu suatu metode pencarian yang didasarkan atas intuisi atau aturan-aturan empiris untuk memperoleh solusi yang lebih baik daripada solusi-solusi yang telah dipelajari sebelumnya.• Pembentukan model adalah esensi dari pendekatan Riset Operasi karena solusi dari pendekatan ini tergantung pada ketepatan model yang dibuat. Dalam Riset Operasi, model yang paling banyak digunakan adalah model matematis/simbolis, disamping banyak juga digunakan model-model simulasi dan heuristik.5. Metodologi Riset Operasional• Pembentukan model yang cocok hanyalah salah satu tahap dari aplikasi Riset Operasional. Pola dasar penerapan Riset Operasional terhadap suatu masalah dapat dipisahkan menjadi beberapa tahap. Berikut adalah tahapan-tahapan untuk memecahkan persoalan dalam riset operasional. a. Merumuskan Masalah Sebelum solusi terhadap suatu permasalahan dipikirkan, pertama kali yang harus dilakukan adalah mendefinisikan atau merumuskan permasalahan dengan baik. Definisi masalah yang tidak baik akan menyebabkan tidak diperolehnya penyelesaian atas suatu masalah atau penyelesaian yang tidak tepat. Dalam perumusan masalah ini ada tiga pertanyaan penting yang harus dijawab, terutama dikaitkan dengan Riset Operasional: 5
  7. 7. 1) Variabel keputusan, yaitu unsur-unsur dalam persoalan yang dapat dikendalikan oleh pengambil keputusan. Ia sering disebut sebagai instrumen. 2) Tujuan. Penetapan tujuan membantu pengambil keputusan memusatkan perhatian pada persoalan dan pengaruhnya terhadap organisasi. Tujuan ini diekspresikan dalam variabel keputusan. 3) Kendala adalah pembatas-pembatas terhadap alternatif tindakan yang tersedia. b. Pembentukan Model Sesuai dengan definisi permasalahannya, kelompok peneliti Riset Operasional tersebut harus menentukan model yang paling cocok untuk mewakili sistem yang bersangkutan. Model tersebut harus merupakan ekspresi kuantitatif dari tujuan dan batasan-batasan persoalan dalam bentuk variabel keputusan. Dalam memformulasikan permasalahan, biasanya digunakan model analitik, yaitu model matematik yang menghasilkan persamaan. Jika pada suatu situasi yang sangat rumit tidak diperoleh model analitik, maka perlu dikembangkan suatu model simulasi. c. Pemecahan Model Pada tahap ini, bermacam-macam teknik dan metode solusi kuantitatif yang merupakan bagian utama dari Riset Operasional memasuki proses. Penyelesaian masalah sesungguhnya merupakan penerapan satu atau lebih teknik-teknik ini terhadap model. Seringkali, solusi terhadap model berarti nilai-nilai variabel keputusan yang mengoptimumkan salah satu fungsi tujuan dengan nilai fungsi tujuan lain yang dapat diterima. Disamping solusi model, perlu juga mendapat informasi tambahan mengenai tingkah laku solusi yang disebabkan karena perubahan parameter sistem. Ini biasanya dinamakan sebagai Analisis Sensitivitas. Analisis ini terutama diperlukan jika parameter sistem tak dapat diduga secara tepat. d. Validasi Model Sebuah model adalah absah jika, walaupun tidak secara pasti mewakili sistem tersebut dan dapat memberikan prediksi yang wajar dari kinerja sistem tersebut. Suatu metode yang biasa digunakan untuk menguji validitas model adalah dengan membandingkan kinerjanya dengan data masa lalu yang tersedia. Model dikatakan valid jika dengan kondisi input yang serupa dapat menghasilkan kembali kinerja seperti masa lampau. Masalahnya adalah bahwa tidak ada yang menjamin kinerja masa depan akan berlanjut meniru cerita lama. e. Implementasi hasil akhir Tahap terakhir adalah menerapkan hasil model yang telah diuji. Hal ini membutuhkan suatu penjelasan yang hati-hati tentang solusi yang digunakan dan hubungannya dengan realitas. Suatu hal yang kritis pada tahap ini adalah mempertemukan ahli Riset Operasional dengan mereka yang bertanggung jawab terhadap pelaksanaan sistem.• Penyelesaian kelima langkah yang dijelaskan di atas bukan berarti proses ini telah selesai. Hasil model dan keputusan hasil yang tersedia memberikan umpan balik pada model awal. 6
  8. 8. 6. Metode-Metode Umum Mencari Solusi• Pada umumnya, terdapat tiga metode untuk mencari solusi terhadap model Riset Operasi, yaitu: a. Metode analitis, b. Metode numerik, dan c. Metode Monte Carlo.• Pendekatan analitik. Metode analitik memerlukan perwujudan model dengan solusi grafik atau perhitungan matematik. Jenis matematik yang digunakan tergantung dari sifat-sifat model.• Pendekatan Numerik. Metode numerik berhubungan dengan perulangan atau coba- coba dari prosedur-prosedur kesalahan, melalui perhitungan numerik pada setiap tahap. Metode numerik digunakan jika metode analitik gagal untuk mencari solusi. Urutannya dimulai dengan solusi awal dan diteruskan dengan seperangkat aturan- aturan untuk perbaikan menuju optimum. Solusi awal kemudian diganti dengan solusi yang diperbaiki dan proses itu diulang sampai tidak mungkin adanya perbaikan lagi atau biaya perhitungan lebih lanjut tidak dapat diterima.• Metode Monte Carlo. Metode ini memerlukan konsep probabilistik dan sampling. Metode Monte-Carlo pada dasarnya adalah suatu teknik simulasi dimana fungsi distribusi statistik dibuat melalui seperangkat bilangan random.7. Teknik-Teknik Riset Operasional• Banyak model Riset Operasional yang sudah dikembangkan dan digunakan terhadap permasalahan-permasalahan bidang bisnis. Mereka itu dapat dikelompokkan ke dalam beberapa jenis, seperti dapat dilihat pada tabel 1.1. Tabel 1.1 Model-model Riset Operasional Program Linier Matematika Model Programa Linier, Analisis Grafik, Metode Simplex, Model Minimasi, Post Optimasi, Transportasi dan Penugasan, Program Linier Integer Program Linier Sasaran Teknik Probabilistik Probabilitas, Teori Permainan, Analisis Keputusan Analisis Markov, Antrian, Simulasi, Peramalan Teknik Persediaan Permintaan pasti, Permintaan tak pasti Teknik Jaringan Arus Jaringan, CPM/PERT Teknik Non-Linier lainnya Program Dinamis, Analisis Titik Impas Teknik Solusi berdasarkan Kalkulus8. Ciri-Ciri Riset Operasional • Terdapat beberapa ciri Riset Operasional yang menonjol diantaranya adalah: a. Riset Operasional merupakan pendekatan kelompok antar disiplin untuk mencari hasil optimum. b. Riset Operasional menggunakan teknik penelitian ilmiah untuk mendapatkan solusi optimum. c. Riset Operasional membuka permasalahan-permasalahan baru untuk dipelajari.9. Keterbatasan Riset Operasional 7
  9. 9. • Riset Operasi berbeda dengan optimisasi klasik (kalkulus klasik). Dalam metode optimisasi klasik tidak dapat menangani kendala pertidaksamaan maupun persamaan secara serempak. • Dengan kendala yang lebih bebas ini, metoda optimisasi non klasik ini (Riset Operasional) menjadi lebih menarik dan lebih realistis. Akan tetapi ini membutuhkan metode solusi yang baru karena kendala pertidaksamaan tak dapat ditangani dengan teknik kalkulus klasik. • Seperti metode lainnya, Riset Operasional bukan tanpa kelemahan. Beberapa kelemahan dalam Riset Operasional diantaranya adalah: Perumusan masalah dalam suatu program Riset Operasional adalah suatu tugas yang sulit. Jika suatu organisasi mempunyai beberapa tujuan yang bertentangan, maka akan mengakibatkan terjadinya sub-optimum, yaitu kondisi yang tak dapat menolong seluruh organisasi mencapai yang terbaik secara serentak. Suatu hubungan non-linier yang diubah menjadi linier untuk disesuaikan dengan program linier dapat mengganggu solusi yang disarankan.2Programa LinierA. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan permasalahan alokasi sumber daya terbatas ke dalam pemodelan Programa Linier.B. Uraian Materi1. Pendahuluan• Masalah keputusan yang sering dihadapi seorang manajer perusahaan adalah permasalahan optimasi alokasi sumber daya yang langka dan terbatas. 8
  10. 10. • Sumber daya tersebut dapat berupa bahan baku, peralatan dan mesin, ruang, waktu, dana, dan tenaga kerja; atau dapat juga berupa batasan pedoman atau aturan, seperti resep untuk membuat kue atau spesifikasi teknis suatu peralatan.• Pada umumnya tujuan perusahaan yang paling sering terjadi adalah sedapat mungkin memaksimumkan laba. Tujuan lain dari unit organisasi yang merupakan bagian dari suatu organisasi biasanya berupa meminimumkan biaya.• Salah satu metoda analisis yang paling luas dan paling baik digunakan untuk menyelesaikan permasalahan alokasi sumber daya adalah metoda programa linier atau dikenal dengan Linear Programming (Programa Linier).• Terdapat tiga hal yang harus diperhatikan untuk menggunakan teknik programa linier untuk memecahkan permasalahan alokasi sumber daya. 1) Pertama, permasalahan harus dapat diidentifikasikan sebagai sesuatu yang dapat diselesaikan dengan programa linier. 2) Kedua, permasalahan yang tidak terstruktur harus dapat dirumuskan dengan model matematika, sehingga menjadi terstruktur. 3) Ketiga, model harus diselesaikan dengan teknik matematika yang telah dibuat.• Teknik programa linier menggambarkan bahwa hubungan fungsi linier dalam model matematika adalah linier dan teknik pemecahan masalah terdiri dari langkah-langkah matematika yang telah ditetapkan disebut program. Dengan kata lain, sifat ’linier’ di sini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi yang linier, sedangkan kata program dapat diartikan sebagai perencanaan.• Model program linier terdiri dari komponen dan karakteristik tertentu.2. Formulasi Model Programa Linier• Setelah masalah diidentifikasi, tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya adalah memformulasikan model matematik yang meliputi tiga hal berikut: a. Menentukan variabel keputusan, b. Membentuk fungsi tujuan, dan c. Menentukan semua batasan model. a. Variabel keputusan • Variabel keputusan berupa simbol matematik yang menggambarkan tingkatan aktivitas perusahaan. Contoh 2.1: Perusahaan elektronika ingin menjual sebanyak x1 buah radio, x2 buah televisi, dan x3 buah lemari es, dimana x1, x2, dan x3 adalah lambang yang menunjukkan jumlah variabel setiap item yang tidak diketahui. Nilai akhir dari x1, x2, dan x3 sesuai dengan pengarahan perusahaan, dan merupakan keputusan. b. Fungsi Tujuan • Fungsi Tujuan merupakan hubungan matematika linier yang menjelaskan fungsi tujuan dalam terminologi variabel keputusan. • Fungsi tujuan selalu mempunyai salah satu target, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan suatu nilai (misalkan untuk kasus perusahaan adalah memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya produksi). c. Batasan Model • Batasan Model merupakan hubungan linier dari variabel-variabel keputusan, menunjukkan keterbatasan sumber daya permasalahan tersebut. 9
  11. 11. Contoh 2.2: Besarnya biaya maksimum yang dikeluarkan oleh PT. XYZ untuk kegiatan pemasaran pada tahun ini adalah Rp 15.000.000,00. Tenaga kerja yang tersedia untuk memproduksi kue dan roti di perusahaan ini hanya 100 jam tenaga kerja per minggu.• Berikut adalah contoh permasalahan formulasi model programa linier.Contoh 2.3 Kombinasi ProdukPerusahaan Tembikar PT. XYZ memproduksi dua macam produk setiap hari, yaitu:genteng dan bata. Perusahaan mempunyai 2 (dua) sumber daya yang terbatas jumlahnyayang digunakan untuk memproduksi kedua produk tersebut, yaitu: tenaga kerja dan tanahliat. Dengan keterbatasan sumber daya yang dimilikinya, perusahaan ingin mengetahuiberapa jumlah genteng dan bata yang akan diproduksi setiap harinya dalam rangkamemaksimumkan laba. Kedua produk tersebut mempunyai kebutuhan sumber daya untukproduksi serta laba per item sebagai berikut: Kebutuhan Sumber Daya Produk Tenaga Kerja Tanah liat Laba (jam/unit) (kg/unit) (Rp/unit) Genteng 1 4 4 Bata 2 3 5Sebagai tambahan informasi: tersedia 40 jam tenaga kerja dan 120 kg tanah liat setiap hariuntuk produksi. Masalah ini akan dirumuskan sebagai model program linier denganmendefinisikan secara terpisah setiap komponen model dan menggabungkan komponen-komponen tersebut dalam satu model.Penyelesaian:Langkah 1: Mengenali Variabel Keputusan• Keputusan yang dihadapi manajemen dalam masalah ini adalah berapa jumlah genteng dan jumlah bata yang harus diproduksi setiap hari. Ada dua variabel keputusan yang dicari yaitu jumlah genteng dan jumlah bata. Untuk itu, kita dapat menyatakannya dengan memisalkan bahwa x1 adalah jumlah genteng dan x2 adalah jumlah bata yang diproduksi setiap hari. x1 = jumlah genteng yang diproduksi x2 = jumlah bata yang diproduksiLangkah 2: Memformulasikan fungsi tujuan• Tujuan perusahaan adalah ingin memaksimumkan laba. Laba perusahaan adalah jumlah total dari laba setiap genteng dan setiap bata.• Laba dari genteng ditentukan oleh perkalian antara laba setiap genteng, Rp 4/unit, dengan jumlah genteng yang diproduksi, yaitu x1. Begitu pula dengan laba dari bata ditentukan oleh perkalian antara laba setiap bata, Rp 5/unit, dengan jumlah bata yang diproduksi, x2.• Dengan demikian, total laba adalah dalam pemodelan ini dilambangkan dengan Z, dapat dijelaskan secara matematika sebagai berikut. Z = Rp (4x1+5x2). 10
  12. 12. • Dengan menempatkan terminologi memaksimumkan laba di depan fungsi laba, penggambaran tujuan perusahaan untuk memaksimumkan laba dapat ditulisakan sebagai berikut: Memaksimumkan Z = 4x1+5 x2 dimana Z merupakan total laba tiap hari (Rp) 4x1 = laba dari genteng (dalam Rp) 5x2 = laba dari bata (dalam Rp)Langkah 3: Menetapkan Batasan Model• Dari masalah di atas, terdapat 2 (dua) sumber daya yang digunakan dalam produksi, yaitu tenaga kerja dan tanah liat yang jumlah persediaan keduanya terbatas. Produksi genteng dan bata memerlukan kedua sumber daya, baik tenaga kerja dan tanah liat.Batasan Tenaga Kerja• Untuk setiap genteng yang diproduksi memerlukan 1 jam tenaga kerja, sehingga jam tenaga kerja yang diperlukan untuk memproduksi semua genteng adalah 1.x1.• Untuk setiap bata yang diproduksi memerlukan 2 jam tenaga kerja, sehingga jam tenaga kerja yang diperlukan untuk memproduksi semua bata adalah 2.x2.• Total tenaga kerja yang digunakan oleh perusahaan adalah penjumlahan dari tenaga kerja yang digunakan oleh setiap produk, yaitu: 1x1 + 2x2• Jumlah tenaga kerja sebesar 1x1 + 2x2 dibatasi sampai dengan 40 jam per hari (jumlah jam maksimum tenaga kerja yang dimiliki perusahaan), sehingga batasan tenaga kerja sekarang 1x1 + 2x2 ≤ 40 jam.• Ketidaksamaan atau ‘kurang dari atau sama dengan’ (≤) digunakan dalam model ini, bukan persamaan (=), karena 40 jam tenaga kerja adalah maksimum sumber daya yang dapat digunakan, dan bukan jumlah yang harus digunakan.• Batasan ini mempunyai fleksibilitas. Artinya perusahaan tidak diharuskan menggunakan semua kapasitas 40 jam, akan tetapi dapat menggunakan jumlah masukan ke produksi yang dapat memaksimumkan laba sampai dengan dan termasuk 40 jam tenaga kerja. Berarti perusahaan mungkin saja mempunyai kapasitas yang tidak terpakai (misalnya sebagian waktu dari 40 jam yang tidak digunakan oleh perusahaan).Batasan Tanah Liat• Batasan untuk tanah liat dirumuskan sama dengan batasan tenaga kerja.• Karena setiap genteng yang diproduksi memerlukan 4 kg tanah liat, maka jumlah tanah liat yang diperlukan untuk memproduksi semua genteng adalah 4.x1.• Karena setiap bata yang diproduksi memerlukan 3 kg tanah liat, maka jumlah tanah liat yang diperlukan untuk memproduksi semua bata adalah 3.x2.• Total tanah liat yang digunakan oleh perusahaan adalah penjumlahan dari tanah liat yang digunakan oleh setiap produk, yaitu: 4x1 + 3x2.• Akan tetapi jumlah tanah sebesar 4x1 + 3x2 dibatasi sampai dengan 120 kg per hari, sehingga batasan tanah liat menjadi: 4x1 + 3x2 ≤ 120 kgBatasan yang non negatif.• Batasan akhir adalah bahwa jumlah genteng dan jumlah bata yang diproduksi bernilai nol atau positif, karena tidak mungkin mempunyai jumlah produksi yang negatif. 11
  13. 13. • Batasan ini disebut batasan non negatif dan dinyatakan dalam matematika sebagai berikut x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0• Dengan demikian, maka Formulasi Model Program Linier yang lengkap untuk masalah ini adalah: Memaksimumkan Z = 4x1+5 x2 terbatas pada 1x1 + 2x2 ≤ 40 4x1 + 3x2 ≤ 120 x1 , x2 ≥ 0Contoh 2.4 Formulasi Model Kasus MinimasiPerusahaan PT. ABC memproduksi campuran ”kue” dengan sekali produksi adalah 1000kg. Campuran ”kue” tersebut terbuat dari tiga bahan, yaitu: daging ayam, daging sapi, dancereal dengan harga masing-masing bahan adalah sebagai berikut: Bahan Biaya per kg (Rupiah) Daging ayam 3.000 Dagingn sapi 5.000 Cereal 2.000Berdasarkan resep yang ada, campuran ”kue” tersebut harus terdiri dari paling sedikit 200kg daging ayam, paling sedikit 400 kg daging sapi, dan tidak lebih dari 300 kg cereal.Perusahaan ingin mengetahui pencampuran optimal dari bahan-bahan yang dapatmeminimumkan biaya. Formulasikan model program linier untuk masalah ini.Penyelesaian:Langkah 1: Mengenali Variabel Keputusan• Untuk mengidentifikasi setiap bagian dari model secara terpisah, mulai dengan variabel keputusan. (Variabel keputusannya adalah ingin mengetahui banyaknya masing-masing bahan campuran ”kue”). x1 = jumlah kg daging ayam x2 = jumlah kg daging sapi x3 = jumlah kg cerealLangkah 2: Memformulasikan Fungsi Tujuan• Tujuan perusahaan adalah ingin meminimumkan biaya, sehingga fungsi tujuannya adalah: Meminimumkan Z = Rp (3.000 x1 + 5.000 x2 + 2.000 x3) dimana Z merupakan biaya per 1000 kg untuk sekali produksi 3.000 x1 = biaya daging ayam. 5.000 x2 = biaya daging sapi. 2.000 x3 = biaya cereal.Langkah 3: Menetapkan Batasan Model.• Batasan-batasan masalah ini terdapat dalam batasan resep dan fakta bahwa setiap sekali produksi harus berisi 1000 kg campuran. 12
  14. 14. x1 + x2 + x3 = 1000 (sekali produksi sama dengan 1000 kg) x1 ≥ 200 (paling sedikit 200 kg) x2 ≥ 400 (paling sedikit 4000 kg) x3 ≤ 300 (tidak boleh lebih dari 300 kg) dan Batasan non-negativitas x1, x2 , x3 ≥ 0 (batasan non negatif)Dengan demikian formulasi model permasalahan tersebut menjadi: Meminimumkan Z = 3000x1 + 5000x2 + 2000x3 terbatas pada x1 + x2 + x3 = 1000 x1 ≥ 200 x2 ≥ 400 x3 ≤ 300 x1, x2 , x3 ≥ 0C. Tugas Kerjakan latihan-latihan soal di bawah ini! 1) Dua produk dihasilkan menggunakan tiga mesin. Waktu masing-masing mesin yang digunakan untuk menghasilkan kedua produk dibatasi hanya 10 jam per hari. Waktu produksi dan keuntungan per unit masing-masing produk ditunjukkan tabel di bawah ini : Produk Waktu produksi (menit) Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Mesin 4 1 10 6 8 2 2 5 20 15 3 a. Mengenali variabel keputusan b. Memformulasikan fungsi tujuan c. Menetapkan batasan model d. Formulasi Modelnya adalah 2) Perusahaan ABCD akan memproduksi dua macam benda, yaitu Produk I dan Produk II. Untuk memproduksi setiap unit produk I diperlukan bahan baku A sebanyak 40 kg dan bahan baku B sebanyak 25 kg serta bahan baku C sebanyak 80 kg. Sedangkan untuk memproduksi setiap unit produk II diperlukan bahan baku A sebanyak 30 kg dan bahan baku B sebanyak 40 kg serta bahan baku C sebanyak 50 kg. Jumlah bahan baku yang disediakan perusahaan masing-masing adalah bahan baku A sebanyak 3000 kg dan bahan baku B sebanyak 1500 kg serta bahan baku C sebanyak 3600 kg. Sumbangan terhadap laba dan biaya tetap (yang dihitung dengan harga jual persatuan dikurangi biaya variabel per satuan) setiap unit produk I sebesar Rp 150,00 dan setiap unit produk II Rp 120,00. Buat Formulasi Model dari permasalahan di atas. Agar masalah dapat dipahami a. Susunlah dalam bentuk tabel berikut. 13
  15. 15. Bahan Kebutuhan Bahan Baku/unit Kapasitas Baku Produk I Produk II A B C Laba b. Mengenali variabel keputusan c. Memformulasikan fungsi tujuan d. Menetapkan batasan model e. Formulasi Modelnya adalah3) Sebuah perusahaan ingin menentukan berapa banyak masing-masing dari tiga produk yang berbeda yang akan dihasilkan dengan tersedianya sumber daya yang terbatas agar diperoleh keuntungan maksimum. Kebutuhan tenaga kerja dan bahan baku serta sumbangan keuntungan masing-masing produk adalah sebagai berikut: Kebutuhan sumber daya Tenaga kerja Bahan (kg/unit) Keuntungan (jam/unit) (Rp/unit) Produk 1 5 4 3 Produk 2 2 6 5 Produk 3 4 3 2 Tersedia 240 jam kerja dan bahan mentah sebanyak 400 kg. Buat formulasi model program linier untuk permasalahan ini!4) Perusahaan makanan ternak merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu makanan A dan makanan B. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Makanan A paling sedikit diproduksi 2 unit dan makanan B paling sedikit diproduksi 1 unit. Kebutuhan sumber daya Jenis Makanan Vitamin Protein Biaya per unit (unit) (unit) (x Rp 1000) Makanan A 2 2 100 Makanan B 1 3 80 Minimum Kebutuhan 8 12 Formulasikan model programa linier tersebut!5) PT Kue Enak memproduksi tiga jenis roti kering, yaitu pia, bolukismis dan coklatkeju dengan keuntungan tiap jenis produk masing-masing Rp 150, Rp 400 dan Rp 600. Setiap minggu ditetapkan minimum produksi roti pia 25 unit, bolu kismis 130 unit dan coklat keju 55 unit. Ketiga jenis roti memerlukan pemrosesan tiga kali yaitu penyiapan bahan, peracikan dan pengovenan seperti terlihat pada tabel berikut: Pemrosesan Jenis Roti Penyediaan 14
  16. 16. Pia Bolu kismis Coklat keju Maksimum (jam) Penyiapan bahan 4 2 6 130 Peracikan 3 4 9 170 Pengovenan 1 2 4 52 Formulasikan model programa linier tersebut! 3. Programa Linier: Solusi GrafikA. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami danmenyelesaikan permasalahan programa linier menggunakan metode grafikB. Uraian Materi1. Pendahuluan 15
  17. 17. • Pada dasarnya, metode-metode yang dikembangkan untuk memecahkan model Programa linier adalah ditujukan untuk mencari solusi dari beberapa pilihan solusi yang dibentuk oleh persamaan pembatas, sehingga diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum.• Ada dua cara yang biasa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan Programa Linier (PL), yaitu dengan 1) metode grafik dan 2) metode simpleks.• Pada bab ini akan dipelajari solusi grafik programa linier.2. Solusi Grafik• Persoalan Programa Linier dapat diilustrasikan dan dipecahkan secara grafik jika persoalan ini hanya memiliki dua variabel keputusan.• Model Programa Linier dengan tiga variabel penggambarannya sangat sulit, sedangkan untuk model yang lebih dari tiga variabel tidak bisa dibuat grafik sama sekali.• Meskipun permasalahan dengan dua variabel jarang terjadi dalam dunia nyata, akan tetapi penafsiran geometris dari metode grafik ini sangat bermanfaat untuk memahami metode pemecahan yang umum melalui algoritma simpleks yang akan dibicarakan kemudian.2.1 Solusi Grafik Kasus MaksimasiBerikut adalah contoh solusi grafik untuk kasus Programa Linier Maksimasi.Contoh 3.1 Solusi Grafik Programa Linier Kasus MaksimasiBerikut adalah ilustrasi pemecahan persoalan Programa Linier dengan menggunakanmetode grafik dengan mengambil contoh permasalahan sebelumnya, yaitu permasalahanperusahaan Tembikar PT. XYZ pada bab 2. Berikut dituliskan kembali model ProgramaLinier perusahaan PT XYZ. Memaksimumkan Z = $ (4x1 +5x2) terbatas pada x1 + 2x2 ≤ 40 jam tenaga kerja 4x1 + 3x2 ≤ 120 kg tanah liat x1 , x2 ≥ 0 dimana x1 = jumlah genteng yang diproduksi x2 = jumlah bata yang diproduksi• Selanjutnya mohon diingat bahwa: Koefisien nilai 4 dan 5 dalam fungsi tujuan adalah keuntungan genteng dan bata; Koefisien nilai 1 dan 2 pada batasan pertama masing-masing adalah merupakan jumlah jam tenaga kerja yang diperlukan untuk memproduksi setiap genteng dan bata; koefisien nilai 4 dan 3 pada batasan kedua menunjukkan jumlah kg tanah liat yang diperlukan untuk memproduksi setiap genteng dan bata.Langkah Pemecahan Solusi Grafika. Membuat sumbu koordinat kartesius 16
  18. 18. • Gambar 3.1 adalah satu kumpulan koordinat untuk variabel-variabel keputusan x1 dan x2, tempat grafik dari model matematik akan digambarkan. Hanya kuadran yang positif yang akan digambarkan, yaitu kuadran tempat x1 dan x2 akan selalu positif ( x1 ≥ 0 dan x2 ≥ 0). x2 40 30 20 10 0 10 20 30 40 x1 Gambar 3.1 Koordinat untuk analisis grafikb. Menggambar grafik • Langkah pertama dalam menggambar grafik untuk model Programa Linier adalah memperlihatkan batasan-batasan dalam grafik. Kedua batasan digambarkan sebagai garis lurus dan masing-masing garis dibuat dalam grafik. x2 x2 50 50 40 40 30 30 20 x1 + 2x2 = 40 20 4x1 + 3x2 = 120 10 10 0 0 10 20 30 40 50 x1 10 20 30 40 50 x1 a. b. Gambar 3.2 a. Grafik dari batasan tenaga kerja b. Grafik dari batasan untuk tanah liat • Prosedur yang paling mudah untuk menggambarkan garis lurus ini adalah dengan cara menentukan dua titik pada garis dan menarik garis lurus melalui titik-titik tersebut. • Untuk persamaan batasan tenaga kerja, x1 + 2x2 = 40 (gambar 3.2a), satu titik akan diperoleh jika salah satu titiknya bernilai 0. Untuk itu: jika x1 = 0, kita masukkan (substitusikan) nilai x1 = 0 ke dalam persamaan x1 + 2x2 = 40, sehingga akan dihasilkan nilai x2 = 20, dan titik ini berpotongan dengan sumbu x2. 17
  19. 19. jika x2 = 0, kita masukkan (substitusikan) nilai x2 = 0 ke dalam persamaan x1 + 2x2 = 40, sehingga akan dihasilkan nilai x1 = 40, dan titik ini berpotongan dengan sumbu x1. • Untuk persamaan: 4x1 + 3x2 = 120 , untuk batasan tanah liat (gambar 3.2b). jika x1 = 0, maka x2 = 40 , berpotongan dengan sumbu x2. jika x2 = 0, maka x1 = 30 , berpotongan dengan sumbu x1. • Garis pada grafik gambar 3.2 menunjukkan grafik kedua persamaan ini. Akan tetapi garis pada grafik 3.2 tersebut masih berupa garis sebuah batasan dan tidak menunjukkan seluruh batasan seperti gambar 3.3. x2 x2 50 50 40 40 B 30 30 4x1 + 3x2 ≤120 20 x1 + 2x2 ≤ 40 20 10 10 A 0 0 10 20 30 40 50 x1 10 20 30 40 50 x1 a b Gambar 3.3 Grafik dengan daerah batasanc. Menentukan daerah solusi yang layak (Solusi Fisibel) • Untuk menguji ketepatan dari daerah batasan, cek setiap satu titik yang berada di dalam dan di luar daerah. Sebagai contoh, ambil dua buah titik A dan B, masing masing berada di dalam dan di luar daerah, seperti dapat dilihat pada gambar 3.3a. Titik uji A pada gambar 3.3a, yang merupakan perpotongan dari x1 = 10 dan x2 = 10. Masukkan nilai-nilai ini ke dalam batasan tenaga kerja, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. 10 + 2x (10) ≤ 40 30 ≤ 40 • Hasil ini menunjukkan bahwa ternyata titik A berada di dalam daerah batasan karena nilainya lebih kecil (30) dari 40. • Berikutnya adalah titik uji B yang berada pada x1 = 40 dan x2 = 30. Hasilnya adalah 40 + 2 x (30) ≤ 40 100 ≤ 40 • Titik B jelas berada di luar daerah batasan karena nilai x1 dan x2 menghasilkan kuantitas 100, yang melebihi 40. Hal yang sama juga dapat dilakukan pada gambar 3.3b, sehingga kombinasi dari kedua garis tersebut dapat dilihat pada grafik 3.4. 18
  20. 20. x2 50 40 30 Daerah batasan kedua model grafik 20 10 0 10 20 30 40 50 x1 Gambar 3.4 Daerah batasan dari kedua persamaan • Sekarang perhatikan gambar 3.5. Daerah di dalam garis tebal pada gambar 3.5 merupakan daerah yang berlaku untuk batasan kedua model karena daerah ini merupakan satu-satunya daerah dalam grafik yang berisi nilai-nilai yang dapat memenuhi kedua batasan secara simultan (daerah solusi yang layak). • Beberapa titik dalam daerah solusi yang layak akan menghasilkan laba maksimum bagi perusahaan tersebut. x2 50 40 30 Daerah solusi fisibel 20 10 0 10 20 30 40 50 x1 Gambar 3.5 Daerah fisibeld. Mencari Titik Solusi. Langkah berikutnya adalah menentukan titik dalam daerah solusi yang layak yang menghasilkan laba terbesar. • Untuk memulai menganalisis solusi, garis fungsi tujuan disiapkan secara acak berdasarkan tingkatan laba yang dipilih. Sebagai contoh, jika laba Z adalah 80, fungsi tujuannya adalah sebagai berikut. 80 = 4x1+5 x2 • Seperti halnya garis batasan, persamaan ini juga digambarkan sebagai garis seperti pada gambar 3.6. 19
  21. 21. x2 50 40 30 garis 20 80 = 4x1+5 x2 10 0 10 20 30 40 50 x1 Gambar 3.6 Mencari solusi dengan menggunakan persamaan garis fungsi tujuan• Selanjutnya geser garis tersebut menjauhi titik origin (0,0). Laba meningkat jika fungsi tujuan menjauhi titik (0,0). Laba maksimum yang akan dicapai adalah pada titik dimana garis fungsi tujuan merupakan yang terjauh dari titik pangkal dan masih menyentuh suatu titik dalam daerah solusi yang layak.• Dari gambar 3.6 didapatkan bahwa solusi optimal dicapai di titik B. x2 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 x1 Gambar 3.7 Garis bantu digeser menjauhi titik orijin untuk mencari solusi optimumLangkah ketiga dalam pendekatan solusi grafik adalah mencari nilai x1 dan x2 ketikatitik solusi optimal diperoleh. Koordinat x1 dan x2 dapat langsung diperoleh dari grafikseperti gambar 3.8 adalah x1 =24 dan x2 = 8. Dengan demikian fungsi tujuan Z= 4 x 24 + 5 x 8 = 136. 20
  22. 22. x2 50 40 30 20 B 10 0 10 20 30 40 50 x1 Gambar 3.8 Titik solusi optimum2.2 Solusi Grafik Masalah Minimasi• Secara umum, solusi grafik masalah minimasi mempunyai cara yang sama dengan masalah maksimasi, kecuali untuk sedikit perbedaan. Contoh 3.2 Pemecahan Masalah Minimasi Programa Linier dengan Metode Grafik. Formulasi Model Minimasi Meminimkan Z = 6x1 + 3x2 terbatas pada 2 x1 + 4 x2 ≥ 16 4 x1 + 3 x2 ≥ 24 x1 , x2 ≥ 0• Untuk menyelesaikan model Programa linier dengan metode grafik: Langkah pertama adalah menggambarkan persamaan dari dua model batasan (lihat Gambar 3.9). x2 10 2 x1 + 4 x2 = 16 8 6 4 2 4 x1 + 3 x2 = 24 0 2 4 6 8 12 x1 Gambar 3.9 Garis batasan untuk model minimasi 21
  23. 23. • Menentukan daerah solusi fisibel. Berikut adalah daerah solusi yang layak dipilih yang menggambarkan ketidaksamaan ≥ pada batasan-batasan tersebut (Gambar 3.10). x2 10 8 6 Daerah solusi yang layak 4 2 0 2 4 6 8 12 x1 Gambar 3.10 Daerah solusi yang layak• Langkah berikutnya adalah menentukan titik optimal. Solusi optimal untuk masalah minimasi adalah juga pada batasan daerah solusi yang layak, akan tetapi batas daerah solusi terdiri dari titik-titik terdekat dari titik pangkal (titik orijin).• Solusi optimal terdapat pada salah satu titik yang terekstrim pada batas daerah solusi. Dalam hal ini titik sudut yang menunjukkan tingkat ekstrim pada batas solusi yang terdekat pada titik pangkal, tiga titik sudut A, B, dan C dan garis fungsi tujuan.• Pada saat fungsi tujuan bergeser mengarah ke titik pangkal, titik terakhir yang tersentuh dalam daerah solusi adalah titik yang layak. Hal ini menunjukkan bahwa nilai terendah telah dicapai. x2 10 8 A 6 4 B 2 C 0 2 4 6 8 12 x1 Gambar 3.11 Titik Solusi Optimal• Langkah terakhir dalam pendekatan solusi secara grafik adalah mencari nilai x1 dan x2 pada titik A.• Solusi optimalnya adalah dengan mensubstitusikan nilai A pada fungsi tujuan Z = 6x1 + 3x2 (Coba Anda hitung sendiri!) 22
  24. 24. C. Tugas Kerjakan latihan-latihan soal di bawah menggunakan solusi grafik ! 1. memaksimumkan Z = 4 x1 + 5 x2 terbatas pada x1 + 2 x2 ≤ 10 6 x1 + 6 x2 ≤ 36 x2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0 2. memaksimumkan Z = 5 x1 + x2 terbatas pada 3x1 + 4 x2 = 24 x1 ≤ 8 x1 + 3x2 ≤ 12 x1 , x2 ≥ 0 3. meminimumkan Z = 8 x1 + 6 x2 terbatas pada 4x1 + 2x2 ≤ 20 -6x2 + 4x2 ≤ 12 x1 + x2 ≥ 6 x1 , x2 ≥ 0 4. meminimumkan Z = 5 x1 + 2 x2 terbatas pada 6 x1 + x2 ≥ 6 4 x1 + 3 x2 ≥ 2 x1 + 2 x2 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0 23
  25. 25. 4. Programa Linier: Solusi SimplexA. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami dan mampu menyelesaikan permasalahan menggunakan metode simplex.B. Uraian Materi1. Pendahuluan• Tidak semua permasalahan Programa Linier dapat diselesaikan secara grafik.• Untuk mengatasinya akan diperkenalkan sebuah metode dengan menggunakan pendekatan matematis yaitu: Metode Simplex.• Metode Simplex merupakan suatu prosedur ulang yang bergerak dari satu jawab layak basis ke jawab berikutnya sedemikian rupa sehingga harga fungsi tujuan terus menaik (dalam persoalan maksimasi) atau fungsi tujuan menurun (dalam kasus minimasi). Proses ini akan terus berkelanjutan sampai dicapai jawab optimal (jika ada) yang memberi harga maksimum (minimum).• Dalam pemecahan metode simplex model Programa Linier diubah ke dalam bentuk sebuah tabel, dinamakan tabel simplex, kemudian dilakukan langkah-langkah matematis pada tabel tersebut.• Langkah-langkah matematis ini pada dasarnya merupakan replikasi proses pemindahan dari suatu titik ekstrim ke titik ekstrim lainnya pada batas daerah solusi.• Tidak seperti metode grafik dimana dengan mudah titik terbaik dapat dicari diantara semua titik-titik solusi, metode simplex bergerak dari satu solusi ke solusi lain yang lebih baik sampai pada akhirnya solusi yang terbaik didapat.2. Solusi Metode Simplex• Langkah pertama untuk memecahkan Programa Linier dengan metode simplex adalah mengubah batasan-batasan model ke dalam bentuk persamaan yang merupakan persyaratan untuk pemecahan secara simultan.• Metode simplex memberikan suatu prosedur standar untuk mentransformasikan batasan pertidaksamaan berjenis ≤ ke dalam bentuk persamaan (=).• Transformasi ini dicapai dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan dengan variabel slack (variabel pengurang), diberi notasi s, dari sisi kiri batasan (untuk kasus maksimasi).Contoh 4.1 : Penambahan Variabel Slack x1 + 2x2 ≤ 40 diubah menjadi x1 + 2x2 + s1 = 40, dimana s1 ≥ 0 Tanda pertidaksamaan variabel slack tanda persamaan 24
  26. 26. Contoh 4.2 Formulasi Model Programa Linier Dengan Penambahan Variabel SlackKembali pada contoh permasalahan sebelumnya, kasus Perusahaan Tembikar PT. XYZdengan formulasi model berikut: memaksimumkan Z = Rp (4x1 + 5x2) terbatas pada x1 + 2x2 ≤ 40 jam tenaga kerja 4x1 + 3x2 ≤ 120 kg tanah liat x1 , x2 ≥ 0Mengubah batasan model.• Penambahan suatu variabel pengurang (s) pada setiap pertidaksamaan batasan di atas akan menghasilkan persamaan-persamaan berikut: x1 + 2x2 + s1 = 40 jam tenaga kerja 4x1 + 3x2 + s2 = 120 kg tanah liat• Apa yang dimaksud dengan variabel slack? Variabel slack, s1 dan s2 , merupakan suatu nilai sebarang yang diperlukan, sehingga nilai sisi kiri dari tanda persamaan akan bernilai sama dengan nilai sisi kanannya.• Sebagai contoh, misalkan suatu solusi hipotetis dari x1 = 5 dan x2 = 10. Substitusikan nilai-nilai tersebut (x1 = 5 dan x2 = 10) ke dalam persamaan-persamaan batasan pada ilustrasi 4.2, sehingga akan menghasilkan nilai: x1 + 2 x2 + s1 = 40 jam tenaga kerja 5 + 2.(10) + s1 = 40 jam tenaga kerja s1 = 15 jam tenaga kerja dan 4x1 + 3x2 + s2 = 120 kg tanah liat 4.(5) + 3. (10) + s2 = 120 kg tanah liat s2 = 70 kg tanah liat• Dari contoh di atas, x1 = 5 genteng dan, x2 = 10 bata mencerminkan suatu solusi yang belum menggunakan seluruh jumlah jam tenaga kerja dan tanah liat.• Untuk membuat 5 genteng dan 10 bata hanya memerlukan 25 jam tenaga kerja. Hal ini berarti masih ada 15 jam tenaga kerja yang belum terpakai. Begitu juga dengan tanah liat yang digunakan untuk memproduksi 5 genteng dan 10 bata masih menyisakan 70 kg tanah liat.• Dengan demikian, secara umum suatu variabel slack mencerminkan sumber-sumber daya yang tidak terpakai.• Dalam contoh di atas, s1 mencerminkan jumlah jam tenaga kerja yang belum terpakai, sedangkan s2 mencerminkan jumlah kg tanah liat yang belum terpakai.• Sumber-sumber yang tidak terpakai secara penuh akan muncul pada saat x1 = 0 dan x2 = 0 (di titik orijin (0,0). Dengan demikian jika nilai x1 = 0 dan x2 = 0 tersebut disubstitusikan ke persamaan batasan model, maka hasilnya adalah x1 + 2x2 + s1 = 40 0 + 2.(0) + s1 = 40 4x1 + 3x2 + s2 = 120 4.(0) + 3. (0) + s2 = 120 25
  27. 27. • Karena tidak ada produksi pada titik orijin (titik asal (0,0)), berarti semua sumber- sumber daya tersebut tidak terpakai, jadi variabel pengurang sama dengan jumlah total tiap sumber yang tersedia, yaitu: s1 = 40, s2 = 120.Efek pada fungsi tujuan.Pertimbangan berikutnya adalah efek dari variabel-variabel pengurang yang baru initerhadap fungsi tujuan. Fungsi tujuan dalam contoh tersebut adalah: Z = Rp (4x1+5 x2)• Koefisien 4 dan 5 merupakan masing-masing merupakan kontribusi laba untuk tiap genteng dan bata. Lalu apa kontribusi dari variabel slack s1 dan s2?• Variabel slack tersebut tidak memberikan kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan karena mereka mencerminkan sumber yang tidak terpakai.• Laba baru akan diperoleh hanya jika sumber-sumber digunakan untuk menghasilkan genteng dan bata.• Dengan menggunakan variabel pengurang, fungsi tujuan dapat dituliskan sebagai berikut: Memaksimumkan Z = 4x1 + 5 x2 + 0.s1 + 0.s2Batasan yang non negatif.Seperti pada variabel keputusan (x1 dan x2), variabel slack juga hanya dapat memiliki nilainon negatif karena sumber yang bernilai negatif adalah tidak mungkin.• Dengan demikian maka untuk formulasi model ini, non negatifnya adalah: x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0• Formulasi model Programa Linier sekarang untuk kasus contoh di atas adalah memaksimumkan Z = 4x1+5 x2 + 0s1 + 0s2 terbatas pada x1 + 2x2 + s1 = 40 4x1 + 3x2 + s2 = 120 x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 03. Solusi Untuk Persamaan Simultan• Setelah kedua batasan ini diubah ke dalam bentuk persamaan, maka untuk menentukan nilai dari variabel pada tiap titik solusi persamaan-persamaan batasan dapat dipecahkan secara simultan.• Pada contoh tersebut, terdapat dua persamaan dengan empat variabel yang tidak diketahui (yaitu: dua variabel keputusan (x1 dan x2) dan dua variabel pengurang (s1 , s2)), suatu situasi yang membuat solusi simultan secara langsung tidak memungkinkan. Perhatikan kembali kedua persamaan batasan contoh di atas. x1 + 2x2 + s1 = 40 4x1 + 3x2 + s2 = 120• Metode simplex memudahkan permasalahan ini dengan memberikan nilai nol untuk beberapa variabel.• Jumlah variabel yang diberi nilai nol adalah n-m, dimana n sama dengan jumlah variabel sedangkan m sama dengan jumlah batasan (tidak termasuk batasan nonnegatif). 26
  28. 28. • Untuk contoh model ini berarti n = 4 variabel dan m = 2 batasan, sehingga dua dari empat variabel tersebut diberi nilai nol (yaitu, 4 – 2 = 2).• Sebagai contoh, misalkan x1 = 0 dan s1 = 0, maka kedua persamaan batasan tersebut akan menghasilkan seperti di bawah ini. x1 + 2x2 + s1 = 40 0 + 2x2 + 0 = 40 x2 = 40 dan 4 x1 + 3 x2 + s2 = 120 4.(0) + 3 (40) + s2 = 120 s2 = 60• Solusi ini berhubungan dengan titik A pada gambar 4.1. Grafik pada gambar 4.1 memperlihatkan bahwa pada titik A, dimana x1 = 0, x2 = 20, s1 = 0, dan s2 = 60 adalah solusi yang diperoleh jika diselesaikan dengan memecahkan persamaan simultan.• Solusi ini nyata sebagai suatu solusi fisibel dasar. x2 4 x1 + 3 x2 + s2 = 120 50 x1 = 0 x2 =20 x1 = 24 s1 = 0 40 x2 = 8 s2 = 60 s1 = 0 30 s2 = 0 x1 = 30 x2 = 0 20 A s1 = 10 x1 + 2x2 + s1 = 40 s2 = 0 B x1 = 0 10 x2 = 0 s1 = 40 0 10 20 30 40 50 x1 s2 = 120 D C Gambar 4.1 Solusi pada titik-titik A, B, C, dan D• Suatu solusi fisibel dasar adalah solusi yang memenuhi batasan model.• Suatu solusi fisibel dasar memenuhi batasan-batasannya dan terdiri dari variabel dengan nilai non negatif dan n-m variabel yang diberi nilai nol.• Biasanya, sebanyak m variabel mempunyai nilai solusi yang positif, namun, bila satu dari m variabel mempunyai nilai nol, solusi fisibel dasar dinyatakan mengalami degenerasi.4. Metode Simplex Menggunakan Tabel Simplex• Langkah-langkah metode simplex dilakukan dalam suatu kerangka tabel, atau disebut dengan tabel simplex.• Tabel simplex adalah tabel yang memuat semua keterangan yang perlu bagi jawab layak basis dari suatu permasalahan Programa linier.• Tabel ini juga mengatur model ke dalam suatu bentuk yang memungkinkan untuk penerapan langkah-langkah matematis menjadi lebih mudah.• Bentuk umum tabel simplex awal dengan judul kolom dan baris diperlihatkan pada tabel 4.1. 27
  29. 29. Tabel 4.1 Tabel Awal (Secara Umum) cj Variabel Kuantitas x1 ... xn ... s1 ... sn dasar (solusi) zj cj - zjContoh 4.3 Solusi Metode Simplex dengan Tabel SimplexBerikut adalah langkah-langkah penyelesaian permasalahan Programa linier menggunakanmetode simplex dengan tabel simplex dengan contoh persoalan Perusahaan Tembikar PT.XYZ. Kita tuliskan kembali model matematikanyamemaksimumkan Z = $ (4x1+5 x2) terbatas pada x1 + 2x2 ≤ 40 jam tenaga kerja 4x1 + 3x2 ≤ 120 kg tanah liat x1 , x2 ≥ 0Langkah 1: mengubah bentuk batasan model pertidaksamaan menjadi persamaan. Untuk persoalan Perusahaan Tembikar PT. XYZ, hasil transformasi modelnya adalah sebagai berikut. (lihat contoh 4.2) memaksimumkan Z = 4x1+5 x2 + 0s1 + 0s2 terbatas pada x1 + 2x2 + s1 = 40 4x1 + 3x2 + s2 = 120 x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0Langkah 2: Siapkan tabel awal untuk solusi fisibel dasar pada titik orijin dengan jumlahkolom sebanyak jumlah variabel ditambah tiga dan jumlah baris sebanyak jumlahbatasan ditambah empat.• Tabel simplex awal untuk model Perusahaan Tembikar PT. XYZ, dengan berbagai judul kolom dan baris diperlihatkan pada tabel 4.2.Langkah 3: Isi kolom-kolom dan baris tabel simplex untuk solusi fisibel dasar di titikorijin. 28
  30. 30. Tabel 4.2 Tabel Simplex cj Variabel Kuantitas dasar (solusi) x1 x2 s1 s2 variabel-variabel model sepanjang baris kedua dari atas, yaitu x1 , x2 , s1 , s2 zj cj - zj1) Tahap pertama dalam mengisi tabel 4.2 adalah menuliskan variabel-variabel model sepanjang baris kedua dari atas. Kedua variabel keputusan ditulis terlebih dahulu dengan mengikuti urutan besarnya subskripnya, diikuti dengan variabel pengurang yang juga ditulis mengikuti urutan besarnya subskripnya. Langkah ini menghasilkan suatu baris berisi x1 , x2 , s1 , s2 dalam tabel 4.2.2) Tahap berikutnya adalah menentukan suatu solusi fisibel dasar. Dengan kata lain, dua variabel manakah yang akan membentuk solusi fisibel dasar dan variabel mana yang akan diberi nilai nol?Tabel 4.3 Solusi Fisibel Dasar cj Variabel Kuantitas dasar (solusi) x1 x2 s1 s2 s1 40 s2 120 variabel-variabel dasar dan nilainya di zj titik orijin. cj - zj s1 = 40 dan s2 = 120• Metode simplex memilih titik orijin sebagai awal dari solusi fisibel dasar karena nilai variabel keputusan pada titik orijin selalu dapat diketahui dalam semua Programa linier.• Pada titik orijin tersebut (x1 = 0 dan x2 = 0), yang merupakan variabel-variabel dalam solusi fisibel dasar untuk kasus ini adalah s1 dan s2. Dengan demikian, jika nilai x1 = 0 dan x2 = 0, maka kita substitusikan nilai-nilai tersebut pada kedua persamaan batas, hasilnya adalah x1 + 2x2 + s1 = 40 0 + 2.(0) + s1 = 40 s1 = 40 jam 4x1 + 3x2 + s2 = 120 4.(0) + 3. (0) + s2 = 120 s2 = 120 kg• Dengan kata lain, pada titik orijin, dimana tidak ada produksi, semua sumber-sumber tersebut tidak terpakai, dan variabel s1 dan s2, yang membentuk solusi fisibel dasar.• Dalam tabel 4.3 ditulis di bawah kolom variabel dasar dengan nilai-nilainya masing- masing 40 dan 120 ditulis di bawah kolom kuantitas (solusi). 29
  31. 31. • Karena tabel simplex awal selalu dimulai dengan solusi pada titik orijin, maka variabel-variabel dasar pada titik orijin adalah variabel pengurang, s1 dan s2.• Variabel dasar adalah variabel yang nilainya tidak sama dengan nol; sedangkan variabel non-dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan nol.Tabel 4.4 Tabel Simplex dengan nilai-nilai cj cj 4 5 0 0 Variabel Kuantitas dasar (solusi) x1 x2 s1 s2 Nilai cj koefisien fungsi tujuan 0 s1 40 Z = 4x1+5 x2 + 0s1 + 0s2 0 s2 120 zj cj - zj• Selanjutnya isi nilai cj, yaitu: koefisien-koefisien fungsi tujuan, yang mencerminkan kontribusi pada keuntungan (atau biaya) untuk setiap variabel xj atau sj pada fungsi tujuan. Sepanjang baris teratas dimasukkan nilai-nilai cj , yaitu 4, 5, 0, dan 0 untuk setiap variabel, seperti ditunjukkan pada tabel 4.4.• Nilai-nilai cj pada sisi kiri tabel adalah kontribusi keuntungan dari variabel-variabel yang termasuk pada solusi fisibel dasar, dalam hal ini s1 dan s2. Variabel-variabel ini dituliskan pada sisi kiri tabel dengan tujuan digunakan untuk menghitung nilai pada baris zj.• Kolom-kolom di bawah tiap variabel (x1 , x2 , s1 , s2) mengikuti koefisien variabel keputusan dan variabel pengurang dalam persamaan batasan model, dan hasilnya dapat dilihat pada tabel 4.5.Tabel 4.5 Tabel Simplex dengan Koefisien Batasan Model cj 4 5 0 0 Variabel Kuantitas dasar (solusi) x1 x2 s1 s2 0 s1 40 1 2 1 0 Kolom-kolom di bawah tiap variabel 0 s2 120 4 3 0 1 (x1 , x2 , s1 , s2) zj cj - zj• Sampai di sini proses pengisian tabel simplex awal telah lengkap.• Nilai-nilai yang harus diisi pada baris zj dan cj – zj, seperti juga nilai-nilai tabel selanjutnya diperoleh dari hasil perhitungan matematis yang menggunakan formula- formula simplex.Menghitung zj dan Baris cj-zj• Langkah 4 : Menghitung nilai zj dan baris cj-zjMenghitung zj• Nilai pada baris zj dihitung dengan jalan mengalikan tiap nilai kolom cj (pada sisi kiri) dengan tiap kolom variabel (di bawah x1, x2, s1, dan s2), dan kemudian menjumlahkan tiap set nilai-nilai ini satu persatu. Nilai zj ini ditunjukkan dalam tabel 4.6. 30
  32. 32. Tabel 4.6 Tabel Simplex dengan nilai-nilai cj cj 4 5 0 0 Variabel Kuantitas dasar x1 x2 s1 s2 0 s1 40 1 2 1 0 0 s2 120 4 3 0 1 zj 0 0 0 0 0 cj - zj Nilai zjContoh perhitunganNilai baris zj di bawah kolom kuantitas; nilai baris zj di bawah kolom x1 cj kuantitas cj x1 0 X 40 =0 0 x 1 =0 0 X 120 =0 0 x 4 =0 zq =0 zq =0Menghitung baris cj-zj• Baris cj-zj dihitung dengan jalan mengurangkan nilai baris zj dari nilai-nilai baris (teratas) cj. Sebagai contoh, pada kolom x1, nilai cj-zj dihitung sebagai 4 – 0 = 4. Nilai ini seperti juga nilai cj-zj lainnya ditunjukkan pada tabel 4.7.Tabel 4.7 Tabel Simplex Awal Lengkap cj 4 5 0 0 Variabel Kuantitas dasar x1 x2 s1 s2 0 s1 40 1 2 1 0 0 s2 120 4 3 0 1 zj 0 0 0 0 0 cj - zj 4 5 0 0• Tabel 4.7 adalah tabel simplex awal yang lengkap dengan semua nilai yang telah terisi. Tabel 4.7 mencerminkan solusi pada titik orijin, dengan nilai x1 = 0, x2 = 0, s1 = 40 dan s2 = 120.• Solusi ini jelas tidak optimal karena tidak ada keuntungan yang diperoleh. Jadi kita ingin berpindah ke suatu titik solusi yang akan memberikan solusi lebih baik. Dengan kata lain, kita ingin memproduksi salah satu dari beberapa genteng (x1) atau beberapa bata (x2).Variabel Non-Dasar yang masuk.• Pada umumnya, nilai pada baris cj-zj mencerminkan kenaikan bersih per unit variabel non dasar yang masuk ke dalam solusi dasar.• Secara alamiah, kita ingin memperoleh sebanyak mungkin keuntungan, mengingat tujuan utamanya adalah memaksimumkan laba. 31
  33. 33. • Dengan demikian, kita memasukkan variabel yang akan memberikan kenaikan bersih terbesar terhadap laba per unit.• Pada tabel 4.8 kita memilih variabel x2 sebagai variabel dasar yang memasuki solusi karena variabel tersebut memiliki kenaikan bersih terbesar terhadap laba per unit, dan merupakan nilai positif tertinggi pada baris cj-zj.• Variabel non dasar yang masuk menjadi variabel dasar ditentukan dengan cara mencari nilai pada baris cj-zj yang terbesar.Tabel 4.8 Pemilihan Variabel Dasar yang masuk cj 4 5 0 0 Variabel Kuantitas dasar x1 x2 s1 s2 0 s1 40 1 2 1 0 0 s2 120 4 3 0 1 zj 0 0 0 0 0 cj - zj 4 5 0 0 variabel x2• Kolom x2 yang diberi garis terang pada tabel 4.8 disebut kolom pemutar (pivot column).Variabel Dasar yang Keluar• Dalam contoh permasalahan ini, setiap solusi fisibel dasar hanya terdiri dari dua variabel yang diberi nilai nol, dan satu dari dua variabel dasar yang ada, s1 atau s2 akan meninggalkan solusi dan menjadi nol.• Untuk menentukan variabel dasar mana yang harus keluar menjadi variabel non-dasar dalam metode ini, caranya adalah dengan mencari nilai non-negatif terkecil dari hasil pembagian antara nilai kuantitas dari variabel solusi dasar terhadap nilai koefisien dari kolom pemutar.• Dengan demikian maka, variabel dasar yang keluar pada tabel 4.8 adalah variabel s1. Baris s1 yang diarsir terang pada tabel 4.8 dinyatakan sebagai baris pemutar (pivot row).• Variabel dasar yang keluar menjadi variabel non-dasar ditentukan dengan cara mencari nilai terbesar dari hasil perhitungan pembagian antara nilai kuantitas dari variabel solusi dasar terhadap nilai variabel pada kolom pemutar.Membentuk Tabel Baru Tabel 4.9 memperlihatkan tabel simplex ke dua dari variabel solusi dasar fisibel yang baru, yaitu x2 dan s2 berikut koefisien cj yang berhubungan.Tabel 4.9 Variabel Dasar dan nilai cj untuk tabel Simplex Kedua cj 4 5 0 0 Variabel Kuantitas Dasar x1 x2 s1 s2 5 x2 0 s2 32
  34. 34. zj cj - zj• Nilai baris yang beragam dalam tabel kedua dihitung menggunakan beberapa formula simplex. 1. Untuk baris x2 yang disebut baris pemutar tabel baru, dihitung dengan membagi tiap nilai dalam baris pemutar pada tabel pertama terhadap angka pemutar. nilai baris pemutar = (nilai baris pemutar tabel lama /angka pemutar) tabel baruTabel 4.10 Perhitungan Nilai Baris Pemutar yang Baru cj Variabel Kuantitas 4 5 0 0 Dasar x1 x2 s1 s2 5 x2 20 1/2 1 1/2 0 0 s2 zj cj - zj 2. Untuk menghitung nilai baris lainnya (dalam hal ini hanya ada satu baris) digunakan formula yang berbeda. Koefisien kolom Nilai baris pemutar Nilai baris = Nilai baris - pemutar yang x tabel baru yang tabel baru tabel lama berhubungan behubungan Perhitungan Nilai Baris s2 yang baru Kolom Nilai baris Koefisien Nilai baris Nilai tabel lama - kolom pemutar x pemutar tabel = baris yang baru yang Lama berhubungan behubungan Kuantitas 120 - ( 3 x 20 ) = 60 x1 4 - ( 3 x ½ ) = 5/2 x2 3 - ( 3 x 1 ) = 0 s1 0 - ( 3 x ½ ) = -3/2 s2 1 - ( 3 x 0 ) = 1 Tabel simplex kedua diselesaikan dan dilengkapi dengan jalan menghitung baris zj dan cj – zj sama seperti perhitungan pada tabel pertama. Baris zj dihitung dengan jalan menjumlahkan hasil kali nilai kolom cj dengan semua nilai kolom lainnya. Kolom kuantitas zq = (5) . (20) + (0) . (60) = 100 x1 z1 = (5) . (1/2) + (0) . (5/2) = 5/2 x2 z2 = (5) . (1) + (0) . (0) = 5 33
  35. 35. s1 z3 = (5) . (1/2) + (0) . (-3/2) = 5/2 s2 z4 = (5) . (0) + (0) . (1) = 0 Nilai baris zj dan nilai baris cj-zj dimasukkan ke dalam tabel untuk melengkapi tabel simplex kedua yang ditunjukkan dalam tabel 4.11.Tabel 4.11 Tabel Simplex kedua yang lengkap. cj Variabel Kuantitas 4 5 0 0 dasar x1 x2 s1 s2 5 x2 20 1/2 1 1/2 0 0 s2 60 5/2 0 -3/2 1 zj 100 5/2 5 5/2 0 cj - zj 3/2 0 -5/2 0Tabel 4.11 di atas masih belum memberikan solusi optimal. Untuk mendapatkan tabelsimplex solusi optimal, langkah-langkah seperti sebelumnya perlu dilakukan.Tabel Siplex Optimal• Untuk menentukan variabel non dasar yang masuk menjadi variabel dasar dan variabel dasar yang keluar menjadi variabel non dasar, dilakukan perhitungan seperti sebelumnya. 1. Menentukan variabel yang masuk Variabel non dasar yang masuk ditentukan dengan cara mencari nilai baris cj-zj yang tertinggi, seperti dapat dilihat pada tabel 4.12. 2. Variabel yang keluar Variabel dasar yang keluar ditentukan dengan cara membagi nilai kuantitas dari variabel solusi dasar terhadap nilai kolom pemutar. Dan variabel dasar yang keluar adalah variabel yang mempunyai hasil bagi nonnegatif terkecil, seperti dapat dilihat pada tabel 4.12.Tabel 4.12 Kolom Pemutar, Baris Pemutar, dan angka pemutar. cj Variabel Kuantitas 4 5 0 0 dasar x1 x2 s1 s2 5 x2 20 1/2 1 1/2 0 0 s2 60 5/2 0 -3/2 1 zj 100 5/2 5 5/2 0 cj - zj 3/2 0 -5/2 0 Baris pemutar tabel baru (x1) dalam tabel simplex ketiga dihitung dengan menggunakan formula yang sama seperti sebelumnya. Jadi semua nilai-nilai baris pemutar lama dibagi dengan 5/2 sebagai angka pemutar, hasilnya dapat dilihat pada tabel 4.13.Tabel 4.13 Nilai-nilai baris pemutar lama cj Variabel Kuantitas 4 5 0 0 34
  36. 36. dasar x1 x2 s1 s2 5 x2 4 x1 24 1 0 -3/5 2/5 zj cj - zjNilai-nilai baris lainnya (x2) dihitung seperti yang diperlihatkan pada tabel .Perhitungan Nilai Baris x2 yang Baru Koefisien Nilai baris Nilai Nilai baris - kolom pemutar x pemutar tabel = baris kolom tabel lama yang baru yang Lama berhubungan behubunganKuantitas 20 - (½ x 24 ) = 8 x1 ½ - (½ x 1 ) = 0 x2 1 - (½ x 0 ) = 1 s1 ½ - (½ x -3/5 ) = 4/5 s2 0 - (½ x 2/5 ) = -1/5Nilai-nilai yang baru ini, seperti baris zj dan nilai baris cj-zj yang baru, diperlihatkan dalamtabel ke tiga yang lengkap dalam tabel 4.14.Tabel 4.14 Tabel Simplex lengkap cj Variabel Kuantitas 4 5 0 0 dasar x1 x2 s1 s2 5 x2 8 0 1 4/5 -1/5 4 x1 24 1 0 -3/5 2/5 zj 136 4 5 8/5 3/5 cj - zj 0 0 -8/5 -3/5• Untuk menentukan variabel yang masuk berdasarkan pengamatan pada baris cj-zj, kita lihat bahwa suatu variabel non-dasar tidak akan menghasilkan kenaikan bersih positif terhadap laba dimana semua nilai baris cj-zj pada saat itu nol atau negatif. Ini berarti solusi optimal telah tercapai. Jadi solusinya adalah x1 = 24 genteng x2 = 8 bata Z = Rp 136C. Tugas Kerjakan latihan-latihan soal di bawah menggunakan solusi simplex! 1. memaksimumkan Z = 4 x1 + 5 x2 terbatas pada x1 + 2 x2 ≤ 10 6 x1 + 6 x2 ≤ 36 x2 ≤ 4 35
  37. 37. x1 , x2 ≥ 02. Memaksimumkan Z = 2x1 + 3x2 terbatas pada x1 + 3x2 ≤ 6 3x1 + 2x2 ≤ 6 x1 , x2 ≥ 01. Perusahaan XYZ menghasilkan dua macam jenis barang, yaitu Produk I dan Produk II. Untuk memproduksi setiap unit Produk I diperlukan bahan baku A sebanyak 1 satuan, bahan baku B sebanyak 2 satuan. Sedangkan untuk memproduksi setiap unit Produk II diperlukan bahan baku A sebanyak 1 satuan, bahan baku B sebanyak 1 satuan. Jumlah bahan baku yang disediakan perusahaan masing-masing sebanyak 600 satuan untuk bahan baku A dan sebanyak 1000 satuan untuk bahan baku B. Harga jual setiap produk masing-masing adalah Produk I sebesar 150 satuan dan Produk II sebesar 100 satuan. Anda diminta bantuan untuk memecahkan permasalahan tersebut.2. Memaksimumkan Z = 4x1 + 2x2 Terbatas pada 1x1 + 2x2 ≤ 40 4x1 + 3x2 ≤ 120 x1 , x2 ≥ 0 36
  38. 38. 5. Programa Linier: Solusi Simplex Minimasi dan Tipe Programa Linier IregularA. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami dan mampu menyelesaikan permasalahan menggunakan metode simplex.B. Uraian Materi1. Pendahuluan• Secara umum, langkah-langkah metode simplex yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya digunakan untuk semua tipe masalah programa linier.• Untuk masalah minimasi, diperlukan sedikit perubahan dalam proses simplex yang normal.2. Masalah Minimasi Program LinierContoh 5.1 Penyelesaian masalah minimasi progama linier menggunakan metode simplex.Diketahui formulasi model Programa Linier minimasi sebagai berikut. Meminimumkan Z = 6x1 + 3x2 terbatas pada 2 x1 + 4 x2 ≥ 16 4 x1 + 3 x2 ≥ 24 x1 , x2 ≥ 0Cari solusinya menggunakan Metode SimpleksPenyelesaian:Langkah pertama dari proses simplex adalah mengubah semua batasan pertidaksamaan ≥ke bentuk persamaan (=) dengan mengurangi suatu variabel penambah (variabel surplus)dan ditambahkan variabel artifisial A. 2x1 + 4x2 ≥ 16 diubah menjadi 2x1 + 4x2 - s1 + A1 = 16, dimana s1 ≥ 0 4x1 + 3x2 ≥ 24 diubah menjadi 4x1 + 3x2 - s2 + A2 = 24, dimana s2 ≥ 0 Tanda pertidaksamaan variabel surplus tanda persamaan• Variabel penambah diberi simbol s dan harus nonnegatif (≥ 0 ). 37
  39. 39. • Suatu variabel pengurang yang ditambahkan pada batasan ≤ mencerminkan sumber yang tidak terpakai, sedangkan variabel penambah yang dikurangkan pada batasan ≥ mencerminkan kelebihan di atas batas minimal sumber yang diperlukan.• Variabel artifisial (A) tidak memberikan arti seperti halnya variabel pengurang atau variabel penambah. Variabel Artifisial diselipkan ke dalam persamaan hanya untuk memberikan solusi positif pada titik pangkal (titik orijin).• Variabel artifisial analog dengan roket booster yang tujuannya adalah untuk mengangkat pesawat dari permukaan bumi, tetapi sekali pesawat terangkat, roket tersebut tidak ada gunanya lagi sehingga roket tersebut lalu dibuang.Langkah kedua adalah mengubah persamaan fungsi tujuan dengan menambahkan variabelbig M. Z = 6x1 + 3x2 + 0. s1 + 0. s2 + M.A1 + M. A2• Seperti variabel pengurang, variabel penambah tidak mempunyai dampak menaikkan atau menurunkan biaya pada fungsi tujuan.• Dengan demikian transformasi model masalah minimasi secara lengkapnya adalah: meminimumkan Z = 6x1 + 3x2 + 0. s1 + 0. s2 + M.A1 + M. A2 terbatas pada 2x1 + 4x2 - s1 + A1 = 16 4x1 + 3x2 - s2 + A2 = 24 x1 , x2 , s1 , s2 , A1, A2 ≥ 03. Tabel Simplex Minimasi• Pembentukan tabel simplex awal untuk model minimasi dilakukan dengan cara yang sama seperti untuk model maksimasi, kecuali untuk satu perbedaan kecil.• Pada baris akhir tabel simplex, tidak lagi menghitung cj – zj , melainkan menghitung zj – cj, yang mencerminkan penurunan biaya per unit bersih, dan kemudian dipilih nilai positif terbesar untuk penentuan variabel yang masuk dan kolom pemutar.• Pilihan lain, kita tetap dapat menghitung cj – zj dan tetap kita memilih nilai negatif terbesar sebagai kolom pemutar.• Namun agar tetap konsisten dalam aturan untuk memilih kolom pemutar, kita akan tetap menggunakan zj – cj.Tabel Simplex Awal• Tabel simplex awal model minimasi di atas ditunjukkan pada tabel 5.1. (Catatan: lihat cara memasukkan parameter-parameter seperti contoh pada bab 4 sebelumnya)Tabel 5.1 Tabel Simplex Awal Model Minimasi cj Variabel Kuantitas 6 3 0 0 M M dasar (solusi) x1 x2 s1 s2 A1 A2 M A1 16 2 4 -1 0 1 0 M A2 24 4 3 0 -1 0 1 38
  40. 40. zj 40 M 6M 7M -M -M M M zj - cj 6M-6 7M-3 -M -M 0 0• Pada tabel 5.1, kolom x2 dipilih sebagai kolom pemutar karena 7M-3 adalah nilai positif terbesar pada baris zj – cj, (x2 sebagai variabel yang masuk).• A1 dipilih sebagai variabel dasar yang keluar (baris pemutar) karena hasil bagi sebesar (16/4) = 4 untuk baris ini merupakan nilai positif terendah. (A1 sebagai variabel yang keluar)Tabel Simplex Kedua• Tabel simplex kedua dibentuk menggunakan formula simplex yang telah diperkenalkan pada bab 4, ditunjukkan pada tabel 5.2.Tabel 5.2 Tabel Simplex Kedua cj Variabel Kuantitas 6 3 0 0 M dasar (solusi) x1 x2 s1 s2 A2 3 x2 4 1/2 1 -1/4 0 0 M A2 12 5/2 0 3/4 -1 1 zj 12 M + 12 5M/2 + 3/2 3 -3/4 + 3M/4 -M M zj - cj 5M/2 - 9/2 0 -3/4 + 3M/4 -M 0• Perhatikan bahwa kolom A1 telah dihilangkan pada tabel simplex kedua.• Begitu variabel artifisial meninggalkan solusi fisibel dasar, variabel tersebut tidak akan pernah kembali, mengingat biayanya yang tinggi, yaitu M.• Pada tabel 5.2, kolom x1 dipilih sebagai kolom pemutar karena 5M/2 - 9/2 adalah nilai positif terbesar pada baris zj – cj.• A2 dipilih sebagai variabel dasar yang keluar (baris pemutar) karena hasil bagi sebesar (24/5) untuk baris ini merupakan nilai positif terendah.Tabel Simplex Ketiga• Pada tabel 5.3 tabel simplex ketiga, x1 menggantikan A2.• Kedua kolom A1 dan A2 telah dihilangkan karena kedua variabel artifisial tersebut telah meninggalkan solusi.Tabel 5.3 Tabel Simplex Ketiga cj Variabel Kuantitas 6 3 0 0 Dasar (solusi) x1 x2 s1 s2 3 x2 8/5 0 1 -2/5 1/5 6 x1 24/5 1 0 3/10 -2/5 zj 168/5 6 3 3/5 -9/5 zj - cj 0 0 3/5 -9/5• Sampai di sini (tabel 5.3) solusi optimal belum dipenuhi, karena pada baris zj – cj masih ada yang bernilai positif. (solusi optimal terpenuhi jika nilai (zj – cj) semuanya nol atau negatif. 39
  41. 41. • Pada tabel 5.3, kolom s1 dipilih sebagai kolom pemutar karena 3/5 adalah nilai positif terbesar pada baris zj – cj.• x1 dipilih sebagai variabel dasar yang keluar (baris pemutar) karena baris tersebut memiliki rasio positif terkecil sebesar 16.• Dalam pemilihan baris ini, nilai -4 untuk baris x2 tidak diperhitungkan karena yang dipilih adalah nilai positif atau nol. Jika yang dipilih baris x2 hal ini akan menyebabkan s1 memiliki nilai kuantitas yang negaitf pada tabel keempat, dan nilai ini tidak layak.Tabel Simplex OptimalTabel 5.4 Tabel Simplex Optimal cj Variabel Kuantitas 6 3 0 0 Dasar (solusi) x1 x2 s1 s2 3 x2 8 4/3 1 0 -1/3 0 s1 16 10/3 0 1 -4/3 zj 24 4 3 0 -1 zj - cj -2 0 0 -1• Tabel 5.4 merupakan tabel simplex yang optimal, dimana tidak satupun terdapat nilai positif pada baris zj – cj. Solusi optimalnya adalah x1 = 0 s1 = 16 x2 = 8 s2 = 0 Z = 24Penyesuaian Tabel Simplex Untuk Suatu Model Minimasi: 1. Mengubah semua batasan ≥ ke dalam bentuk persamaan dengan cara mengurangkan suatu variabel penambah dan menambahkan suatu variabel artifisial. 2. Memberikan nilai cj sebesar M untuk semua variabel artifisial pada fungsi tujuan. 3. Mengubah baris cj – zj menjadi zj – cj .4. Masalah Batasan Campuran• Sebelumnya telah dipelajari permasalahan maksimasi dengan pertidaksamaan batasan ≤ saja dan permasalahan minimasi dengan persamaan batasan ≥ saja.• Bagaimana dengan penyelesaian permasalahan dengan batasan campuran, yaitu terdiri dari batasan yang mempunyai bentuk ≤, ≥ dan =.Contoh 5.2 Permasalahan Programa Linier untuk Masalah Batasan Campuran.Formulasi Model Permasalahan Batasan Campuran Memaksimumkan Z = 400 x1 + 200 x2 terbatas pada x1 + x2 = 30 40
  42. 42. 2x1 + 8x2 ≥ 80 x1 ≤ 20 x1 , x2 ≥ 0Langkah pertama metode simplex adalah mengubah pertidaksamaan ke dalam bentukpersamaan.• Batasan Pertama, yaitu: x1 + x2 = 30 sudah berbentuk persamaan. Untuk batasan yang pada awalnya berbentuk persamaan, karena itu tidak perlu menambah variabel pengurang.• Meskipun persamaan batasan pertama ini nampaknya dalam bentuk yang telah sesuai solusi simplex, kita perlu menguji apakah telah sesuai dengan solusi simplex. Uji dilakukan di titik orijin (titik pangkal (0,0)). x1 + x2 = 30 0 + 0 = 30 0 ≠ 30 (karena 0 tidak sama dengan 30, batasan ini tidak fisibel)• Batasan yang berbentuk persamaan perlu ditambah variabel artifisial (A). Uji di titik pangkal, dimana x1 =0 dan x2 =0. x1 + x2 + A1 = 30 0 + 0 + A1 = 30• Batasan Kedua, yaitu persamaan 2x1 + 8x2 ≥ 80 adalah suatu pertidaksamaan (≥), diubah ke dalam bentuk persamaan (=) dengan mengurangkan suatu variabel penambah dan menambahkan suatu variabel artifisial. 2x1 + 8x2 – s1 + A2 = 80• Batasan ketiga, adalah pertidaksamaan (≤) dan diubah ke bentuk persamaan (=) dengan menambahkan variabel pengurang (slack). x1 + s2 = 20Mengubah fungsi tujuan Memaksimumkan Z = 400 x1 + 200 x2 + 0. s1 + 0.s2 – M.A1 –M.A2Batasan nonnegatif x1 , x2 , s1 , s2 , A1, A2 ≥ 0• Perubahan masalah program linier di atas secara lengkapnya adalah: Memaksimumkan Z = 400 x1 + 200 x2 + 0. s1 + 0.s2 – M.A1 –M.A2 terbatas pada x1 + x2 + A1 = 30 2x1 + 8x2 – s1 + A2 = 80 x1 + s2 = 20 x1 , x2 , s1 , s2 , A1, A2 ≥ 0Langkah Kedua membuat tabel simplex awal. Tabel 5.5 merupakan tabel simplex awal.Tabel 5.5 Tabel Simplex Awal model minimasi cj Variabel Kuantitas 400 200 0 0 -M -M dasar (solusi) x1 x2 s1 s2 A1 A2 -M A1 30 1 1 0 0 1 0 -M A2 80 2 8 -1 0 0 1 41
  43. 43. 0 s2 20 1 0 0 1 0 0 zj -110 M -3M -9M M 0 -M -M cj - zj 400 + 3M 200 + 9M -M 0 0 0 • x2 adalah variabel yang masuk (nilai cj – zj nya paling besar); A2 adalah variabel yang keluar (perbandingan antara kuantitas/koefisien kolom pemutar yang berhubungan paling kecil; 80/8=10). • Tabel 5.6 adalah tabel simplex kedua.Tabel 5.6 Simplex Kedua cj Variabel Kuantitas 400 200 0 0 -M dasar (solusi) x1 x2 s1 s2 A1 -M A1 20 ¾ 0 1/8 0 1 200 x2 10 ¼ 1 -1/8 0 0 0 s2 20 1 0 0 1 0 zj 2000 - 20 M 50 - 3M/4 200 -25 – M/8 0 -M cj - zj 350 + 3M/4 0 25 +M/8 0 0 • x1 adalah variabel yang masuk (nilai cj – zj nya paling besar) ; s2 adalah variabel yang keluar (perbandingan antara kuantitas/koefisien kolom pemutar yang berhubungan paling kecil; 20/1). • Tabel 5.7 adalah tabel simplex ketiga.Tabel 5.7 Tabel Simplex Ketiga cj Variabel Kuantitas 400 200 0 0 -M Dasar (solusi) x1 X2 s1 s2 A1 -M A1 5 0 0 1/8 -3/4 1 200 x2 5 0 1 -1/8 -1/4 0 400 x1 20 1 0 0 1 0 zj 9000-5M 400 200 -25 – M/8 350+3M/4 -M cj - zj 0 0 25 +M/8 -350-3M/4 0 • s1 adalah variabel yang masuk (nilai cj – zj nya paling besar); A1 adalah variabel yang keluar (perbandingan antara kuantitas/koefisien kolom pemutar yang berhubungan paling kecil; 5/(1/8)). • Tabel 5.8 adalah tabel simplex optimal.Tabel 5.8 Simplex Optimal cj Variabel Kuantitas 400 200 0 0 Dasar (solusi) X1 x2 s1 s2 0 s1 40 0 0 1 -6 200 x2 10 0 1 0 -1 400 x1 20 1 0 0 1 zj 10000 400 200 0 200 cj - zj 0 0 0 -200 42

×