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Relación binaria entre conjuntos

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Relación binaria entre conjuntos

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Relación binaria entre conjuntos

  1. 1. ALGEBRA I, LUIS ANTONIO SIZA CARDENAS. RELACIONES BINARIAS ENTRE COJUNTOS
  2. 2. DEFINICION: Relación Binaria: Sean A y B dos conjuntos. Una relación (binaria) R de A en B es un subconjunto de A x B: R ⊂ A x B = {(a; b)/a ∈ A; b ∈ B} Escribiremos a R b para indicar que (a; b) ∈ R y a R b para expresar que (a; b) ∉ R. Si a R b diremos que a está relacionado con b. Si R es una relación de A en sí mismo, i.e., R ⊂ A x A, diremos que es una relación en A.
  3. 3. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS: 1. Reflexividad: R es reflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) ∈ R. 2. Irreflexividad: R es irreflexiva ⇔ ∀x ∈ A : (x, x) ∉ R 3. Simetría: R es simétrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R.
  4. 4. 4. Asimetría: R es asimétrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∉ R. 5. Antisimetría: R es antisimétrica ⇔ ∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y. 6. Transitividad: R es transitiva ⇔ ∀x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R.
  5. 5. DOMINIO DE UNA RELACION. Sea R una relación de A en B. El dominio de R es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a R, en símbolos: DR = Dom(R) = {a ∈ A : (a, b) ∈ R para algún b ∈ B}
  6. 6. RANGO DE UNA RELACION. El rango de R es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que pertence a R, en símbolos: RR = Rgo(R) = {b ∈ B : (a, b) ∈ R para algún a ∈ A}
  7. 7. EJEMPLO DE RELACIONES BINARIAS ENTRE COJUNTOS. Sea A = {huevos, leche, maíz} y B = {vacas, cabras, gallinas}. Escribir la relación R de A a B definida por: (a, b) ∈ R ⇔ a es producido por b Solución: La relación sería: R = {(huevos, gallinas),(leche, vacas),(leche, cabras)}
  8. 8. EJEMPLO DE RELACIONES BINARIAS ENTRE COJUNTOS. Sea A = {1, 2, 3} y R = {(1, 2), (1, 3), (3, 2)}. R es una relación en A ya que es un subconjunto de A × A. Con respecto a esta relación, tendremos que 1R2, 1R3, 3R2, pero 1 R 1, 2 R 1, 2 R 2, 2 R 3, 3 R 1, 3 R 3.

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