Ecuacion de la continuidad

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Ecuacion de la continuidad

  1. 1. 1 ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD Tomando como referencia la figura, nos dice que un fluido fluye de la sección 1 a la sección 2 con una rapidez constante. Esto es la cantidad de fluido que pasa por cualquier sección en un cierto tiempo dado que es constante. En este caso decimos que es un flujo constante. Entonces la masa del fluido que pasa por la sección 2 en un tiempo dado, debe ser la misma que la que fluye por la sección 1 en un mismo tiempo. Entonces como se sabe que: Reemplazamos y tenemos: ECUACION DE CONTINUIDAD Si el fluido que circula entre las secciones 1 y 2 es incomprensible, entonces ( ) se le considera como iguales, la ecuación de continuidad se expresa por:
  2. 2. 2 Como se sabe que: Se puede decir que: PROBLEMA: En la figura que se muestra a continuación, el diámetro interior del tuvo en las secciones 1 y 2 es de 50mm y 100mm respectivamente. Esta fluyendo agua a 70°C con una velocidad promedio de 8m/s en la sección 1. Calcule lo siguiente: a) La velocidad en la sección 2. b) La rapidez de flujo de volumen. SOLUCION: El Caudal o gasto (Q) tiene como unidades: (
  3. 3. 3 a) La velocidad en la sección 2. b) La rapidez de flujo de volumen.  => ECUACIÓN DEBERNOULLI El principio de Bernoulli expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:  Cinética:es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
  4. 4. 4  Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea.  Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee. Entonces la cantidad total de energía de estas tres formas que posee el elemento de fluido será la suma representada con E: Ecuación de Energía
  5. 5. 5 Si no se agrega energía al fluido o se pierde entre las secciones 1 y 2, entonces el principio de conservación de la energía requiere que: Ecuación de Bernoulli PROBLEMA: Esta fluyendo un aceite(S=0.84) desde el deposito A, a través de una tubería de 15 cm diámetro y hasta el punto B. ¿Qué presión en tendrá que actuar sobre A para que circulen 13 lps (litros por segundo) de aceite. Si por fricción se pierde una carga igual a 23.5 y en la entrada a la tubería se pierde 0.5 ?
  6. 6. 6 SOLUCION: Ecuación de la Energía entre A y B Resolviendo:
  7. 7. 7 TEOREMA DE TORRICELLI El teorema de Torricelli primero tomamos en cuenta la Ecuación de Bernoulli que nos dice: Ecuación de Bernoulli En este ejemplo clásico, el fluido está fluyendo del lado de un tanque por una boquilla lisa redonda. Para determinar la velocidad del flujo que se obtiene en la boquilla utilizamos la ecuación de Bernoulli entre el punto de referencia en la parte superior del fluido y un punto en el chorro que se obtiene de la boquilla. Pero como: es aproximadamente cero. Entonces resolviendo para la se obtiene: Haciendo h = , tenemos: Ecuación de Torricelli
  8. 8. 8 PROBLEMA: Un cilindro vertical de vidrio tiene un diámetro interior de 150 mm y un agujero taladrado cerca de la base. Se mantiene un nivel constante de agua de 350 mm por encima del agujero del que sale horizontalmente hacia el exterior un chorro de 5 mm de diámetro. ¿Cuál es la velocidad del agua a la salida del chorro? SOLUCIÓN: Del dibujo se observa que  Los puntos A y B están a la misma altura.  prácticamente nula.  En B la presión estática se reduce a la atmosférica yen A la presión es  Aplicando Bernoulli
  9. 9. 9 Consideramos que: Entonces usamos el teorema de Torricelli ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA La ecuación general de la energía, es una expansión de la ecuación de Bernoulli, que hace posible resolver problemas en los que se presenta pérdidas y adiciones de energía. La interpretación lógica se puede ver en la siguiente imagen.
  10. 10. 10 Ecuación de la Energía = Energía añadida o agregada al fluido por una bomba u otro dispositivo. = Energía retirada o removida del fluido mediante un dispositivo mecánico, por ejemplo una turbina. = Perdidas de energía por parte del fluido por efecto de fricción o por presencia de válvulas, conectores, y rugosidad de tuberías. Al igual que con la ecuación de Bernoulli, cada término de la ecuación representa una cantidad de energía por unidad de peso de fluido que fluye en el sistema. Las unidades SI típicas son: N. m/N o metros. Las unidades en el sistema Británico de Unidades son: Lb – pie/Lb o pie. PERDIDAS DE CARGA POR ACCESORIOS Y FRICCIÓN a) PÉRDIDAS DE ENERGÍA Las pérdidas de energía por accesorios se dan por cambios de dirección y velocidad del fluido en válvulas te, codos, aberturas graduales y súbitas entre otros. Las pérdidas por fricción se dan por el contacto del fluido con las paredes de las tuberías y conductos que por lo general son rugosos.
  11. 11. 11 Pérdidas de energía debido a la fricción Es dada por la ecuación de Darcy (utilizada para flujo laminar y turbulento) Dónde: = Longitud de la tubería = Diámetro nominal del conducto = Velocidad de flujo = Coeficiente de fricción (adimensional) Como obtener el coeficiente de fricción Para calcular el coeficiente de fricción “f” se usa el diagrama de Moody, o las siguientes ecuaciones. El diagrama de Moody muestra el factor de fricción , graficado contra el número de Reynolds , con una serie de curvas paramétricas relacionadas con la rugosidad relativa Para flujo laminar y tuberías sin rugosidad f= 64/ Re Para flujo turbulento usar mejor la ecuación de P.K. SWANCE y A.K. JAIN.
  12. 12. 12 Pérdidas de energía por fricción en conductos no circulares Reemplazar en la ecuación de Darcy D=4R Se obtiene entonces Pérdidas por accesorios Dónde: = perdida menores = coeficiente de resistencia = velocidad promedio = El coeficiente de resistencia es medido experimentalmente y depende del tipo de accesorio y de la velocidad promedio.
  13. 13. 13 Accesorios Típicos Coeficiente de pérdida para componentes de tubería
  14. 14. 14 Pérdidas Menores: Válvulas Las válvulas controlan el caudal por medio de un mecanismo para ajustar el coeficiente de pérdida global del sistema al valor deseado. Al abrir la válvula se reduce K, produciendo el caudal deseado. Pérdidas Menores: Condiciones de flujo de entrada Cuando un fluido pasa desde un estanque o depósito hacia una tubería, se generan pérdidas que dependen de la forma como se conecta la tubería al depósito (condiciones de entrada):
  15. 15. 15 Pérdidas Menores: Condiciones de flujo de salida Una pérdida de carga (la pérdida de salida) se produce cuando un fluido pasa desde una tubería hacia un depósito. PROBLEMA: De un recipiente grande fluye agua con una rapidez de 1.20pie³/s a través de un sistema de conductos como el que se muestra en la figura. Calcule la cantidad total de energía perdida del sistema debido a la presencia de la válvula, los codos, la entrada del tubo y la fricción del fluido. 2 1 1 1
  16. 16. 16 SOLUCION: Entonces utilizamos la Ecuación de la energía: Q= 1.20 pie³/s Superficie del recipiente expuesta a la atmosfera. Corriente libre del fluido expuesta a la atmosfera. El agua en el depósito se encuentra en reposo. No hay dispositivos mecánicos en el sistema. Despejamos y tenemos:
  17. 17. 17 Reemplazamos los valores hallados lo reemplazamos y tenemos: NÚMERO DE REYNOLDS El número de Reynolds ( ) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos, diseño de reactores y fenómenos de transporte para caracterizar el movimiento de un fluido. Este número recibe su nombre en honor de Osborne Reynolds (1842-1912), quien lo describió en 1883. El número de Reynolds relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión típica de un flujo en una expresión adimensional, que interviene en numerosos problemas de dinámica de fluidos. El número de Reynolds es un indicador para determinar si un flujo es laminar(número de Reynolds pequeño) o turbulento (número de Reynolds grande). Para un fluido que circula por el interior de una tubería circular recta, el número de Reynolds viene dado por:
  18. 18. 18 O equivalentemente por: si se sabe que Dónde: : Densidad del fluido : Velocidad característica del fluido : Diámetro de la tubería a través de la cual circula el fluido o longitud característica del sistema : Viscosidad dinámica del fluido : Viscosidad cinemática del fluido Rangos de Importancia del : Para aplicaciones prácticas en tuberías, si el Re es mayor a 4.000, el flujo será turbulento, en tanto que si el Re es menor a 2.000, el flujo será laminar. En el rango entre 2.000 y 4.000 es imposible predecir qué flujo existe y a esta zona se le llama Zona Crítica. Números críticos de Reynolds Para flujo en conductos, el número de Reynolds adopta la primera de las expresiones anteriores. Normalmente se trabaja con los siguientes rangos: Si Re es menor o igual a 2000 entonces Flujo LAMINAR Si Re es mayor o igual a 4000 entonces Flujo TURBULENTO
  19. 19. 19 Si 2000 < Re < 4000 Región CRÍTICA (no es posible predecir el régimen del flujo). Número crítico inferior de Reynolds: Valor del Reynolds por debajo del cual el régimen es necesariamente laminar. Cualquier perturbación es amortiguada por la viscosidad. Uso del Diagrama de Moody El diagrama de Moody se utiliza para ayudar a determinar el valor del factor de fricción para el turbulento. Debe conocerse el valor del número de Reynolds y la rugosidad relativa. Por tanto, los datos básicos que se requieren son el diámetro interior de la tubería, el material de que esta hecho, la velocidad del flujo y el tipo del fluido y su temperatura, a partir de los cuales se determina la viscosidad. PROBLEMA: Se tiene un sistema de tubería de 4 pulgadas por donde circula un aceite de densidad 58,9 , y una viscosidad de 1,5 centipoises, si la velocidad media es . Determine su número de Reynolds.
  20. 20. 20 SOLUCION: Los valores de las variables son: = = = = Aplicando la fórmula: Nota: se observa que las dimensiones se cancelan, de forma que el número de Reynolds es adimensional.
  21. 21. 21 ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO E IMPULSO Ecuación de la Fuerza: Siempre que la magnitud o dirección de la velocidad de un cuerpo cambie, se requiere una fuerza para llevar a cabo dicho cambio. La segunda ley de Newton del movimiento se utiliza con frecuencia para expresar este concepto en forma matemática; la manera más común es: En la ecuación es apropiada para la utilización con cuerpos sólidos. Puesto que la masa permanece constante y la aceleración del cuerpo completo se puede determinar. El problema de flujo de fluidos, un flujo continuo provoca que se presente una aceleración, por lo que es apropiada una forma diferente de la ecuación de Newton. Eltérmino puede interpretarse como la velocidad de flujo de masa, esto es, la cantidad de masa fluyendo en un determinado lapso. Donde, M se relaciona con la velocidad del flujo de masa Q por la relación:
  22. 22. 22 Donde es la densidad del fluido. Por consiguiente se puede decir que: Ecuación de la Fuerza Ecuación de Impulso – Movimiento: La ecuación de fuerza se relaciona con otro principio de la dinámica de fluidos, la ecuación impulso – momento. El impulso se define como la fuerza que actúa sobre un cuerpo en un periodo y se indica por: La cual depende del cambio total en tiempo es apropiada cuando se este tratando con condiciones del flujo estacionario. Cuando cambien las condiciones, se utiliza: Donde es la cantidad de cambio en tiempo expresada en forma diferencial. El momento se define como el producto de la masa de un cuerpo y su velocidad. El cambio de momento es : En un sentido instantaneo:
  23. 23. 23 En donde se puede agrupar con la ecuación de la energía: Con eso se demuestra la ecuación impulso – momento para condiciones de flujo estacionario. PROBLEMA: Un chorro de agua de una pulgada de diámetro que tiene una velocidad de 20 pies/s se deflecta por medio de una paleta curvada a 90°, como se muestra en la figura. El chorro fluye libremente en la atmosfera sobre un plano horizontal. Calcule las fuerzas x e y que ejerce la paleta sobre el agua. Chorro de agua
  24. 24. 24 SOLUCION:  Por consiguiente: Suponiendo que  Para la dirección “y”, suponiendo que , la fuerza es: V 1 V 2 Rx +x +y
  25. 25. 25 CAPA LÍMITE En el proceso del movimiento de un fluido aparecen las siguientesfuerzas sobre el volumen de control del sistema a) Fuerzas de presión, normales a la superficie de control debido a la diferencia de presión. b) Fuerza gravitatoria, por efecto del campo gravitatorio sobre la masadel fluido. c) Fuerza viscosa, debida a los efectos viscosos producidos durante el movimiento del fluido en las proximidades de la superficie de control. La fricción del fluido viscoso sobre la superficie del sólido provoca una tensión de cizalladura proporcional al gradiente vertical de velocidades. La distribución de velocidades va desde cero en el contacto con la superficie hasta la velocidad máxima para las zonas alejadas de la superficie. La región comprendida entre ambos estados se denomina capa límite superficial.
  26. 26. 26 , es la viscosidad que en el caso de fluidos newtonianos es constante.  Según la geometría de la capa límite en el interior del volumen de control, los procesos pueden ser de flujo externo o flujo interno.

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