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Derivadas. Teoremas
Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio
luisflorez.matematica@gmail.com

02/01/14

Mg. Luis Alberto Florez ...
Esquema

02/01/14

Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio-luisflorez.matematica@gmail.comcel. 955794944

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Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio - luisflorez.matematica@gmail.com
- cel. 955794944

Tasa de variación media en un inter...
Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo
La evolución en el tiempo del número de afiliados a la Seguridad Social e...
Tasa de variación instantánea
La tasa de variación instantánea TVI(x) o t i(x) , en un punto, es el límite de las tasas
de...
Derivada de una función en un punto
Def: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite.

f(p+h) – f(p...
Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio-luisflorez.matematica@gmail.comcel. 955794944

Interpretación geométrica de la derivada...
Ecuación de la recta tangente

Ecuación de la recta que pasa por un
punto A(a, b) y de pendiente m:
y – b = m (x – a)

t
α...
Ecuación de la recta normal

Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:
y – f(p) = m (x – p)...
Derivadas laterales
La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si
f ( x + h) − f ( x ...
Teorema

Una función derivable en un punto es continua en dicho punto.
Demostración: Queremos llegar al límite de la funci...
Relación continuidad y derivabilidad
Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto.

y = |x| es c...
Función derivada
Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a
cada x del dominio de f(x)...
Consecuencias de la definición de derivada
•

La función derivada no identifica totalmente a la función, pues funciones qu...
Derivadas de operaciones con funciones
Sean f y g dos funciones derivables en un punto x ∈ R y sea c un número real.
Enton...
Demostración de la regla de derivación del cociente

Enunciado: La derivada de un cociente

'
f
f ' ( x)·g ( x) − f ( x)...
Derivada de una función compuesta: regla de la cadena

Se define la composición de una función f con otra función g, y se ...
Regla de la cadena: Demostración
Enunciado: La derivada de la composición de funciones (fog)(x)
es: f ‘(g(x)) · g’(x)
[ f ...
Derivada de la función inversa

• Se denomina función inversa de una función f a una nueva función,
denotada por f–1, cuyo...
Tabla de derivadas de las funciones elementales

Función

Derivada

f(x) = c (constante) f '(x) = 0

Función
f(x) = sen x
...
Obtención de la derivada de la función logaritmo neperiano

Vamos a calcular la derivada de ln( x )

a partir de la funció...
Demostración de la derivada de la función seno

Vamos a calcular la derivada de sen( x)
Usando la definición de derivada:
...
Obtención de la derivada de la función arcoseno

Vamos a calcular la derivada de arcsen( x)

Sean f ( x) = sen( x) y g ( x...
Obtención de la derivada de la función arco tangente

Vamos a calcular la derivada de arctg( x)

Sean f ( x) = tg( x) y g ...
Diferencial de una función

El diferencial de una función en un punto x = a es el incremento de la
tangente al pasar del p...
Una aproximación geométrica al concepto de diferencial

• Supongamos un cuadrado de lado x, al que
incrementamos el lado e...
Máximos y mínimos relativos

Una función f(x) tiene un mínimo (máximo) relativo en x = a si existe un
intervalo abierto (a...
Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica)

Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si...
Teorema de Rolle. Interpretación geométrica
Si una función y = f(x) cumple que:
• Es continua en el intervalo cerrado [a, ...
Teorema de Rolle: Demostración
Si una función y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es
derivabl...
Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944

Teorema del valor medio o de Lagrange. I...
Teorema del valor medio o de Lagrange: Demostración
Si una función y = f(x) cumple que: Es continua [a, b], y es derivable...
Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado
Enunciado: Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en
(a,...
Consecuencias del teorema del valor medio (I)
Expresión del valor de una función en el entorno de x = a
Si f(x) es continu...
Consecuencias del teorema del valor medio (II)
Caracterización de las funciones constantes
Si una función f(x) tiene deriv...
Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944

Consecuencias del teorema del valor medi...
Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944

Regla de L'Hôpital (I)
Indeterminación d...
Regla de L'Hôpital (II)

Indeterminación del tipo:

∞
∞

∞ y que g(x)≠0 en un entorno de u.

Supongamos que lim f(x) = lim...
Regla de L'Hôpital (III)
Salvando indeterminaciones del tipo .
Supongamos que hemos de calcular:

0 •∞

lim [f (x).g(x)]
x...
Regla de L'Hôpital (IV)

Salvando indeterminaciones del tipo 1 ∞, ∞0, 00
Supongamos que hemos de calcular: lim [f(x)g(x)]
...
Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (I)

ex
ex–x–1
ex–1
1
1.– lim x
= lim x
x
x=
x = lim
2e + xe 2
x(e –1)
e –1 + ...
Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (II)

4.- lim x

1
x-1

x→
1+




1 



1
1/x
 


Lx


x–1) = lim  ...
Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo
Y

Y

f(x+h)
f(x)
f(x+h)

f(x)
[
a

h
x

]
x+h b

Función creciente...
Derivadas y curvatura: concavidad

Y

Y

α1

α2

α2
α1

[
a

x1

x2

]
b

X

[
a x1

x2

]
b

X

tg α1 < tg α2 ⇒ f '(x1) <...
Derivadas y curvatura: convexidad

Y

Y
a2

a1

a2

a1

[
a x1

x2

]
b

X

[
a

x1

x2

]
b

X

tg a1 > tg a2 ⇒ f '(x1) >...
Puntos de inflexión

Son los puntos en los que la función cambia de curvatura
Y

f" < 0

P(a, f(a))
f" > 0
X

f"(a) = 0

0...
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Derivadas. teoremas luis florez

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TEOREMAS SOBRE DERIVADAS

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Derivadas. teoremas luis florez

  1. 1. Derivadas. Teoremas Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio luisflorez.matematica@gmail.com 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio-luisflorez.matematica@gmail.comcel. 955794944 1
  2. 2. Esquema 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio-luisflorez.matematica@gmail.comcel. 955794944 2
  3. 3. Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio - luisflorez.matematica@gmail.com - cel. 955794944 Tasa de variación media en un intervalo Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b], contenido en el dominio f(x), mediante el cociente: Tm f[a, b] = f(b) – f(a) b–a La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una función, en un intervalo, por unidad de variable independiente. 02/01/14 Pendiente positiva Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- Pendiente negativa 3
  4. 4. Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo La evolución en el tiempo del número de afiliados a la Seguridad Social en España entre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la gráfica, donde x representa el tiempo en años, siendo x = 0 el año 1980, y f(x) representa el número de afiliados expresado en millones. El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre 1980 y 1999 f(19) – f(0) es: 19 = 0,1241 Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el número de afiliados aumentó por término medio, en unas 124000 personas por año. 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio-luisflorez.matematica@gmail.comcel. 955794944 4
  5. 5. Tasa de variación instantánea La tasa de variación instantánea TVI(x) o t i(x) , en un punto, es el límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados se hacen cada vez más pequeños: f ( x +h) − f ( x ) TVI (x) = ti(x) = 02/01/14 lim h→ 0 h Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio-luisflorez.matematica@gmail.comcel. 955794944 5
  6. 6. Derivada de una función en un punto Def: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite. f(p+h) – f(p) lim h h→o Si el límite existe y es finito, la derivada de f(x) en x=p es f(p+h) – f(p) f '(p) = lim h→ h o 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio-luisflorez.matematica@gmail.comcel. 955794944 6
  7. 7. Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio-luisflorez.matematica@gmail.comcel. 955794944 Interpretación geométrica de la derivada Al hacer que h → 0, ocurrirá que • p + h tiende (se acerca) a p • Q recorre la curva acercándose a P • La recta secante a la curva se convierte en la recta tangente • La inclinación de la recta secante tiende a la inclinación de la recta tangente lim h →0 f ( p + h) − f ( p ) = f ′( p ) h Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a 02/01/14 la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p . 7
  8. 8. Ecuación de la recta tangente Ecuación de la recta que pasa por un punto A(a, b) y de pendiente m: y – b = m (x – a) t αt f(a) Entonces: • Pendiente de la tangente: mt = f '(a) αt a 02/01/14 • Ecuación de la recta tangente: t ≡ y – f(a) = f '(a) (x – a) Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 8
  9. 9. Ecuación de la recta normal Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m: y – f(p) = m (x – p) Como la tangente y la normal son perpendiculares sus pendientes son inversas y cambiadas de signo. Entonces: Pendiente de la tangente: mt = f '(p) Ecuación de la recta tangente: y – f(p) = f '(p) (x – a) Pendiente de la normal: mn = –1/f '(p) Ecuación de la normal: y – f(p) = [–1/f '(p)] (x – a) 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 9
  10. 10. Derivadas laterales La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si f ( x + h) − f ( x ) existe, dado por f '(a –) = lim− h→ − 0 h La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe, dado por f '(a+ ) = lim* + h →0 f ( x + h) − f ( x ) h Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha y por la izquierda y las derivadas laterales coinciden. f '(a+) = tg α > 0 f '(a–) = tg β < 0 β α 02/01/14 a Por ser f '(a+) ≠ f '(a–), f(x) no es derivable en el punto a. Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 10
  11. 11. Teorema Una función derivable en un punto es continua en dicho punto. Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto f (a + h) − f ( a ) = f ( a + h) − f (a ) ×h h  f (a + h) − f ( a )  lim ( f (a + h) − f (a ) ) = lim  ×h ÷ h →0 h →0 h   f ( a + h) − f ( a ) = lim ×lim h f ( x) es derivable en x = a h →0 h →0 h = f ′(a ) × = 0 0 lim f (a + h) = f (a ) h →0 02/01/14 f ( x) es continua en x = a Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 11
  12. 12. Relación continuidad y derivabilidad Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto. y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto f(a + h) – f(a) h = lim h = 1 h h → 0+ h → 0+ f'(0+) = lim = tgα f(a + h) – f(a) –h = lim h = –1= tg β h h → 0– h → 0– f'(0–) = lim 02/01/14 Puesto que las derivadas laterales en 0 son diferentes la función no es derivable en dicho punto. Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 12
  13. 13. Función derivada Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista. • Derivada de f(x) = x2 en el punto 3: f(3 + h) – f(3) (3 + h)2 – 32 h (h + 6) f '(3) = lim = lim = lim =6 h h h h→ 0 h→ 0 h→ 0 • Derivada de f(x) = x2 en el punto 2: f(2 + h) – f(2) (2 + h)2 – 22 h (h + 4) f '(2) = lim = lim = lim = 4 h h h h→ 0 h→ 0 h→ 0 Para obtener la derivada en x f(x + h) – f(x) (x + h)2 – x2 h (h + 2x) f '(x) = lim = lim = lim = 2x h h h h→ 0 h→ 0 h→ 0 Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 13
  14. 14. Consecuencias de la definición de derivada • La función derivada no identifica totalmente a la función, pues funciones que se diferencian en una constante, tienen la misma función derivada. Ej. f(x)= g(x) + k siendo k constante ⇒ f’(x) = g’(x) h(x)= g(x) + k’ siendo k’ una constante ⇒ h’(x) = g’(x) Geométricamente, indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen mediante una traslación de vector paralelo al eje Y y módulo k ó k’. Por ello las tangentes a las tres funciones son paralelas. 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 14
  15. 15. Derivadas de operaciones con funciones Sean f y g dos funciones derivables en un punto x ∈ R y sea c un número real. Entonces las funciones c·f, f + g, f·g y f/g (si g(x) ≠ 0) son también derivables en x. • Además se tiene: (cf)'(x) = cf '(x) (f + g) '(x) = f '(x) + g'(x) (f – g) '(x) = f '(x) – g'(x) (fg) '(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x) ' f f ' ( x)·g ( x) − f ( x)·g ' ( x)   ( x) = g g 2 ( x)   02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- 15
  16. 16. Demostración de la regla de derivación del cociente Enunciado: La derivada de un cociente ' f f ' ( x)·g ( x) − f ( x)·g ' ( x)   ( x) = g g 2 ( x)   f f  f ( x + h)   f ( x )    ( x + h) −   ( x )  g g  g ( x + h)  −  g ( x )     f     = lim    =   ( x) = lim g h→ 0 h→ 0 h h   ' f ( x + h) g ( x ) − f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x + h) g ( x ) g ( x + h) = lim = lim h→ 0 h→ 0 h f ( x)·g ( x) + f ( x)·g ( x) − f ( x) g ( x + h) g ( x ) g ( x + h) h = lim 1 f ( x + h) g ( x) − f ( x)·g ( x) f ( x)·g ( x) − f ( x) g ( x + h)   + lim  lim = h→ 0 g ( x ) g ( x + h)  h → 0 h h  = lim = 1 f ( x + h) − f ( x) g ( x ) − g ( x + h)   · g ( x) + lim f ( x)  lim = h→ 0 g ( x ) g ( x + h)  h → 0 h h  h→ 0 h→ 0 f ' ( x)·g ( x) − f ( x)·g ' ( x) = g 2 ( x) 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- 16
  17. 17. Derivada de una función compuesta: regla de la cadena Se define la composición de una función f con otra función g, y se denota por gºf a la nueva función dada por (gºf) (x) = g(f(x)). Ejemplo: La función h(x) = (2x – 1)2 es la composición de dos funciones: f(x) = 2x–1 y g(t) = t2 R x f R g 2x–1 = t x R t2 = (2x–1)2 (2x–1)2 h(x) = g(f(x)) = g(2x–1) = (2x – 1)2 = (g o f)(x) Regla de la cadena: si la función g es derivable en el punto f(a) y la función f es derivable en a, entonces la función gºf es derivable en a y su derivada es: (gºf)'(a) = g'(f(a)) . f '(a) Ejemplo: Como (gºf)(x) = g(f(x)) = (2x – 1)2 ⇒ ⇒ (gºf)'(x) = g'(f(x)) . f '(x) = 2(2x – 1) . (2x – 1)' = 2(2x – 1) . 2 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- 17
  18. 18. Regla de la cadena: Demostración Enunciado: La derivada de la composición de funciones (fog)(x) es: f ‘(g(x)) · g’(x) [ f ( g ( x))]' = lim f ( g ( x + h)) − f ( g ( x)) = h→0 h  f ( g ( x + h)) − f ( g ( x)) g ( x + h) − g ( x)  = lim ·  h → 0  g ( x + h) − g ( x) h   = lim h→0 = f ( g ( x + h)) − f ( g ( x)) g ( x + h) − g ( x ) ·lim = h→0 g ( x + h) − g ( x ) h lim g ( x + h )→ g ( x ) f ( g ( x + h)) − f ( g ( x)) g ( x + h) − g ( x ) ·lim = h→0 g ( x + h) − g ( x ) h f ' ( g ( x))·g ' ( x) 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- 18
  19. 19. Derivada de la función inversa • Se denomina función inversa de una función f a una nueva función, denotada por f–1, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f–1(f(x)) = x. • Para que esta función esté bien definida es necesario que f cumpla: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) Las gráficas de f y f–1 son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. Y (f(x), x) • f –1(x) • (x, f(x)) f(x) X Sea f una función definida en un intervalo abierto D en el que admite función inversa siendo f derivable. Entonces se tiene que, para todo punto d el x el dominio de f-1 en–1 que f-1 es derivable y en el que f '(f (x)) ≠ 0 la deri–1 vada de f viene dada por: ( f −1 )' ( x) = 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- 1 f ' ( f −1 ( x)) 19
  20. 20. Tabla de derivadas de las funciones elementales Función Derivada f(x) = c (constante) f '(x) = 0 Función f(x) = sen x f(x) = x n f '(x) = n x n – 1 f(x) = cos x f(x) = e x f '(x) = e x x x f(x) = tan x f(x) = a (a > 0) f '(x) = a ln a f(x) = arcsen x f(x) = ln x 1 f '(x) = x f(x) = arccos x f(x) = logax, (a > 0) f '(x) = 02/01/14 1 x ln a f(x) = arctan x Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- Derivada f '(x) = cos x f '(x) =– sen x 1 f '(x) = Cos 2 x 1 f '(x) = 2 1–x –1 f '(x) = 1–x 2 1 f '(x) = 1+x2 20
  21. 21. Obtención de la derivada de la función logaritmo neperiano Vamos a calcular la derivada de ln( x ) a partir de la función exponencial Sean f ( x ) = e x y g ( x ) = ln( x). 1. ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x. 2. Derivada función recíproca 1 −1 ′( x) = (f ) . −1 f ′( f ( x)) } 1 g ′( x) = ln x e La derivada de ln( x) es 1 x 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 21
  22. 22. Demostración de la derivada de la función seno Vamos a calcular la derivada de sen( x) Usando la definición de derivada: (sen(x))′= lim h→ 0 sen(x + h) − sen(x) = h  h   h   cos x + ·sen   2   2  = = lim h→  0  h   2   Como h  lim cos  x + ÷ = cos( x) h →0 2  h sen  ÷  2  =1 lim h →0 h 2 02/01/14 h  h 2 ×cos  x + ÷×  ÷ sen 2  2 lim h →0 h   h  sen    h   2  = limcos x + · h→  0  h 2    2   La derivada de sen (x) es Cos (x) Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 22
  23. 23. Obtención de la derivada de la función arcoseno Vamos a calcular la derivada de arcsen( x) Sean f ( x) = sen( x) y g ( x) = arcsen( x). 1. ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x. 2. Derivada función recíproca 1 −1 ′( x) = (f ) . −1 f ′( f ( x)) 1 g ′( x) = cos(arcsen( x)) } La derivada es: 1 Como: cos(arcsen x) = 1 − ( sen (arcsen x) ) = 1 − x 2 02/01/14 2 1 − x2 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 23
  24. 24. Obtención de la derivada de la función arco tangente Vamos a calcular la derivada de arctg( x) Sean f ( x) = tg( x) y g ( x) = arctg( x). 1. ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x. 2. Derivada función recíproca 1 −1 ′( x) = (f ) . −1 f ′( f ( x)) } 1 g ′( x) = 1 + tg 2 (arctg( x)) La derivada es: Como: tg (arctg x ) = x 02/01/14 1 1 + x2 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 24
  25. 25. Diferencial de una función El diferencial de una función en un punto x = a es el incremento de la tangente al pasar del punto x = a al punto x = a + h Tangente a la curva en (a, f(a)): su pendiente es mt = f '(a) = tg at f(a + h) f(a) • at f '(a) . dx • ∆x = dx Para valores de h = ∆x = dx pequeños ∆y ≈ f '(a) . ∆x Por tanto: ∆y ≈ dy = f '(a) . dx h = ∆x a ∆y = f(a + h) – f(a) a+h Y para un x cualquiera: dy = f '(x) . dx 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- 25
  26. 26. Una aproximación geométrica al concepto de diferencial • Supongamos un cuadrado de lado x, al que incrementamos el lado en una cierta cantidad h. Su superficie se incrementará en: ∆f = (x + h)2 – x2 = 2xh + h2 • Si h es muy pequeño, h2 es mucho más pequeño. • Entonces: 2xh = 2x dx es el diferencial de la función f(x) = x2 y se ve que ∆f ≈ 2x dx = f '(x) dx 02/01/14 El error que se comete al aproximar el incremento por la diferencial es h2. Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- 26
  27. 27. Máximos y mínimos relativos Una función f(x) tiene un mínimo (máximo) relativo en x = a si existe un intervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)<f(a)) para todo x perteneciente al intervalo. • La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo relativo en el punto m(3, -1). No tiene máximos relativos. • La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tiene máximo absoluto en su dominio. 1 5 • m(3, -1) • La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En ese mismo intervalo tiene un máximo absoluto en el punto (1, 3). • La función y = x2 – 6x + 8 no tiene máximos ni mínimos en el intervalo (4, 5). 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- 27
  28. 28. Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica) Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo o mínimo en un punto c ∈ (a, b) y es derivable en él, entonces f '(c) = 0 f '(c) = 0 f '(c) = 0 f '(c) = 0 Si la función es constante entonces f '(c) = 0 02/01/14 Si A es máximo, la tangente en x = c es horizontal. Su pendiente es 0 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- Si A es mínimo, la tangente en x = c es horizontal. Su pendiente es 0 28
  29. 29. Teorema de Rolle. Interpretación geométrica Si una función y = f(x) cumple que: • Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. • Es derivable en su interior (a, b). • f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f '(c) = 0. Geométricamente este teorema expresa que una función que cumpla las hipótesis anteriores va a tener, al menos, un punto (c, f(c)) en el que la tangente es horizontal. f '(c) = 0 f '(c) = 0 f '(c) = 0 f(a) = f(b) f(a) = f(b) a 02/01/14 c b f(a) = f(b) a c b Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- a c b 29
  30. 30. Teorema de Rolle: Demostración Si una función y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es derivable en su interior (a, b), y f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f '(c) = 0. • • Demostración: f es continua en [a,b] => por Teor. de Weierstrass f tiene máximo absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b]. ∀ x ∈ [a,b] m ≤ f(x) ≤ M. ∃ x2 ∈ [a,b] ∋ f(x2)=m. ∀ ∃ x1 ∈ [a,b] ∋ f(x1)=M. • Si m = M => ∀ x ∈ [a,b] f(x) = M (la función es constante) => f'(x) = 0 • Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo m= f(x2) => (a,b) se comporta como un entorno de x2. Se cumple que ∀ x ∈ (a,b) f(x2) ≤ f(x) por lo que f presenta un mínimo relativo en x2. (1) • • f es derivable por hipótesis. (2) De 1) y 2), por la condición necesaria para la existencia de mínimos relativos f'(x2)=0 como queríamos demostrar 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio- 30
  31. 31. Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 Teorema del valor medio o de Lagrange. Interpretación geométrica Si una función y = f(x) cumple que: • Es continua [a, b]. • Es derivable (a, b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que: f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c). Es decir: f’( c) = f (b) − f ( a ) b −a • Geométricamente: si una función que cumple las hipótesis anteriores va a a tener al menos un punto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela a la secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). • Analíticamente: si una función cumple las hipótesis anteriores, en algún punto c ∈(a,b) la razón incremental o tasa de variación media (f(b) – f(a)) / (b – a), es igual a la derivada en dicho punto. f(b) – f(a) Pendiente de AB: • f(b) – f(a) • 02/01/14 c b–a c' f '(c) = f '(c') = b–a c y c' son los puntos que verifican el teorema 31
  32. 32. Teorema del valor medio o de Lagrange: Demostración Si una función y = f(x) cumple que: Es continua [a, b], y es derivable (a, b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c). • Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + h·x, h ∈ R. • g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas. g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables. • Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle => f(a) + h·a = f(b) + h·b => f(a) - f(b) = h·b – h·a = h·(b - a) • h= • Por definición de g(x); g’(x) = f ‘(x) +h, g’(c) =f ‘(c) +h =0 luego f ‘(c ) = – h f (a ) − f (b) => por el teorema de Rolle, existe c ∈ (a,b) tal g'(c) = 0 b−a y por tanto: 02/01/14 f ' (c ) = − h = f (b) − f (a ) b−a Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 32
  33. 33. Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado Enunciado: Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que: f (b) − f ( a ) f ' (c ) = si g(b) ≠ g(a) y g' (c) ≠ 0 g (b) − g ( a ) g ' (c ) Demostración: Sea h(x) = f(x) + kg(x) • 1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b]. • 2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b). • 3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle. f(a)+kg(a)=f(b)+kg(b), k(g(a)-g(b))=f(b)-f(a) k= f (b) − f (a ) g ( a) − g (b) De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle ∃ c ∈(a,b) tal que h'(c) = 0. • h'(x)=f'(x)+kg'(x) h'(c)=f'(c)+kg'(c)=0 f'(c)/g'(c) = -k f (b) − f ( a ) f ' (c ) = g (b) − g ( a ) g ' (c ) 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 33
  34. 34. Consecuencias del teorema del valor medio (I) Expresión del valor de una función en el entorno de x = a Si f(x) es continua en [a – h, a + h] y derivable en su interior entonces: f(a + h) = f(a) + h · f '(a + θh) con θ ∈ (0, 1). • Si f(x) cumple las hipótesis del teorema de Lagrange en [a, b]: • f(a) = f(b) + (b – a) . f '(c) con c ∈ (a, b). • Si b = a + h, entonces c = a + θh con θ ∈ (0, 1). c a + θh 02/01/14 a+h Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 34
  35. 35. Consecuencias del teorema del valor medio (II) Caracterización de las funciones constantes Si una función f(x) tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es constante en dicho intervalo. • f(x) es derivable en (a, b). • f(x) tiene derivada nula en (a, b). En consecuencia: f(x) = k en (a, b). • Aunque f(x) tiene derivada nula en los puntos de (a, b) en los que es derivable (en c no es derivable). • No es constante en (a, b). 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 35
  36. 36. Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 Consecuencias del teorema del valor medio (III) Relación entre funciones con igual derivada Si dos funciones f(x) y g(x) tienen igual derivada en todos los puntos de un intervalo abierto, entonces difieren en una constante en ese mismo intervalo. • En el intervalo (0, 2Π) las fi(x) son derivables y tienen igual derivada. • Entonces se diferencian en una constante, lo que significa que cada una se obtiene de la 02/01/14 otra trasladándola paralelamente al eje OY. 36
  37. 37. Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 Regla de L'Hôpital (I) Indeterminación del tipo 0 0 Supongamos que lim f(x) = lim g(x) = 0 y que g(x) ≠ 0 en un entorno de u. x→u x→u f ( x) f ' ( x) También existe (puede ser finito o infinito). lim x→ a g ( x) g ' ( x) f ' ( x) f ( x) lim lim = x→a se verifica que: x→ a g ' ( x) g ( x) Entonces, si existe lim x→ a Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞}. Una aproximación geométrica al teorema: f(C) CA CA' f '(a) ≈ g(C) = CB CB' = g '(a) 02/01/14 37
  38. 38. Regla de L'Hôpital (II) Indeterminación del tipo: ∞ ∞ ∞ y que g(x)≠0 en un entorno de u. Supongamos que lim f(x) = lim g(x) = x→u x→u f ( x) f ' ( x) También existe (puede ser finito o infinito). lim x→ a g ( x) g ' ( x) f ' ( x) f ( x) lim lim = x→a se verifica que: x→ a g ' ( x) g ( x) Entonces, si existe lim x→ a Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞} 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 38
  39. 39. Regla de L'Hôpital (III) Salvando indeterminaciones del tipo . Supongamos que hemos de calcular: 0 •∞ lim [f (x).g(x)] x→ u ↓ Indeterminación del tipo ↓ 0 ·∞ Podemos convertir esa expresión en una 0/0 o en una ∞/∞ lim[ f ( x)·g ( x)] = lim x →u x →u f ( x) = lim 1 x →u g ( x) 0 es 0 g ( x) 1 f ( x) ∞ es ∞ Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞} 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 39
  40. 40. Regla de L'Hôpital (IV) Salvando indeterminaciones del tipo 1 ∞, ∞0, 00 Supongamos que hemos de calcular: lim [f(x)g(x)] x→ u Y que este límite es indeterminado de cualquiera de los tipos 1 ∞ ó ∞ 0 ó 0 0. A = lim [f(x)g(x)] Tomando neperianos: L A = L(lim [f(x)g(x)]). x→u x→u De donde: L A = lim L [f (x)g(x)], por ser la función logaritmo continua x→ u Y por las propiedades de los logaritmos L A =lim [g(x) . L f(x)] x→u Este límite es indeterminado 0 .∞ y se puede calcular por L'Hôpital. Sea M su valor Tendremos: L A = M ⇒ A = eM. Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +∞, –∞} 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 40
  41. 41. Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (I) ex ex–x–1 ex–1 1 1.– lim x = lim x x x= x = lim 2e + xe 2 x(e –1) e –1 + xe x→ 0 x→ 0 x→ 0 0 0 L'Hôpital L'Hôpital Indet Indet 0 0 1 x x cos sen 2 2 2 x 2.– lim [sen . ctg x] = lim tg x = lim 1+tg2x = 1 2 x→ 0 x→ 0 x→ 0 2 0 L'Hôpital Indet Indet 0.∞ 0  r2erx r2 rerx – r r r 3.– lim – 2x(erx + 1) = lim 4xerx + 4x = lim 4erx + 4xrerx + 4 = 8  4x  x→ 0 x→ 0 x→0 0 L'Hôpital r>0 Indet 0 Indet ∞ –∞     02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 41
  42. 42. Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (II) 4.- lim x 1 x-1 x→ 1+   1   1 1/x     Lx   x–1) = lim   x–1  = lim  lim =1 = L x  LA lim = A⇒= L  (x     x–1 x→+ 1 x→ 1+ 1 1+ x→  1+  x→ Indet 1∞ 0 Indet 0 Si LA = 1 ⇒ A = e1 = e L'Hôpital   1 x x   1   1 x L LA lim =  = A ⇒ = L   x lim   x  = 5.- lim  sen   sen    sen  x   0+ x→  0+  x→ x→ 0+ 0 Indet ∞ – L sen x = lim = x→ 1/x 0+ ∞ L'Hôpital Indet ∞ Si LA = 0 ⇒ A = e0 = 1 02/01/14 2x x2 ctg x lim = lim = lim tg x = 1 + tg2x 0 1/x2 x→ 0+ x 0+ x→+ 0 → Indet 0 0 L'Hôpital Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 42
  43. 43. Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo Y Y f(x+h) f(x) f(x+h) f(x) [ a h x ] x+h b Función creciente en [a, b] f(x) < f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0 02/01/14 f ’(x) >0 X [ a h x x+h ] b X Función decreciente en [a, b] f(x) > f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0 f ‘ (x) < 0 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 43
  44. 44. Derivadas y curvatura: concavidad Y Y α1 α2 α2 α1 [ a x1 x2 ] b X [ a x1 x2 ] b X tg α1 < tg α2 ⇒ f '(x1) < f '(x2) Las pendientes de las tangentes aumentan ⇒ f ' es creciente ⇒ su derivada que es f “ debe ser f”(x) > 0 ⇒ función concava 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 44
  45. 45. Derivadas y curvatura: convexidad Y Y a2 a1 a2 a1 [ a x1 x2 ] b X [ a x1 x2 ] b X tg a1 > tg a2 ⇒ f '(x1) > f '(x2) Las pendientes de las tangentes disminuyen ⇒ f ' es decreciente ⇒ su derivada que es f " debe ser negativa f” (x) < 0 ⇒ función cónvexa 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 45
  46. 46. Puntos de inflexión Son los puntos en los que la función cambia de curvatura Y f" < 0 P(a, f(a)) f" > 0 X f"(a) = 0 02/01/14 Mg. Luis Alberto Florez Del Carpioluisflorez.matematica@gmail.com-cel. 955794944 46

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