X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente
18 a 21 de setembro de 2011
São João del-Rei - MG - Brasil
ISSN: 217...
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Artigo bode

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Artigo bode

  1. 1. X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente 18 a 21 de setembro de 2011 São João del-Rei - MG - Brasil ISSN: 2175-8905 - Vol. X 785 ESTRAT´EGIA PARA SINTONIA DE CONTROLADORES PID DIGITAIS VIA ALGORITMO GEN´ETICO MULTIOBJETIVO BASEADO NAS ESPECIFICA¸C˜OES DAS MARGENS DE GANHO E FASE Felipe C. Silva, Ginalber L. O. Serra∗ ∗ Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia Departamento de Eletro-Eletrˆonica Laborat´orio de Inteligˆencia Computacional Aplicada Av. Get´ulio Vargas, 04, Monte Castelo, 65030-005, S˜ao Luis, Maranh˜ao, Brasil Email: felipecs.20@hotmail.com, ginalber@ifma.edu.br Abstract— This paper proposes a methodology for digital PID controllers design via multiobjective genetic algorithm based on gain and phase margins specifications to linear plants with time delay. The discrete transfer functions of the PID controller and the linear plant with time delay are obtained, based on Tustin and Pad´e aproximations, to generate analytical formulas for the gain and phase margins in the frequency domain. These formulas are used to develop a multiobjective genetic algorithm so that based on gain and phase margins spec- ifications, the digital PID controller parameters can be obtained. Simulation results in the time and frequency domains show the robustness and the efficience of the proposed methodology compared with others methods available in the literature. Keywords— Digital control, PID controller, genetic algorithm, intelligent control, linear plant, time delay. Resumo— Este artigo prop˜oe uma metodologia para projeto de controladores PID digitais via algoritmo gen´etico multiobjetivo baseada nas especifica¸c˜oes margens de ganho e fase para plantas lineares com atraso de tempo. As fun¸c˜oes de transferˆencia discreta do controlador PID e da planta linear com atraso de tempo s˜ao obtidas com base nas aproxima¸c˜oes de Tustin e Pad´e, para gerar f´ormulas anal´ıticas para as margens de ganho e fase no dom´ınio da freq¨uˆencia. Estas f´ormulas s˜ao usadas para desenvolver um algoritmo gen´etico multiobjetivo, para que com base nas especifica¸c˜oes margens de ganho e fase, os parˆametros do controlador PID digital possam ser obtidos. Os resultados de simula¸c˜ao no dom´ınio do tempo e da freq¨uˆencia mostram a robustez e a eficiˆencia da metodologia proposta em compara¸c˜ao com outros m´etodos dispon´ıveis na literatura. Palavras-chave— Controle digital, controlador PID, algoritmos gen´eticos, controle inteligente, planta linear, atraso de tempo. 1 Introdu¸c˜ao O avan¸co recente na tecnologia de computa- dores tem proporcionado novas dire¸c˜oes para o projeto de controladores, tais como a realiza¸c˜ao de controles adaptativos, auto-ajust´aveis, controle inteligente de processos e controladores realiza- dos a partir de m´etodos de otimiza¸c˜ao probabi- l´ısticos (Kristinsson and Dumont, 1992) e (Mar´ın et al., 1998). Neste patamar, o controlador PID ainda representa a melhor escolha no setor in- dustrial, de forma que muitos m´etodos tˆem sido desenvolvidos para o ajuste de seus parˆametros (Astrom and Hagglund, 1995). Eles surgiram na d´ecada de 30 e eram desenvolvidos inicialmente com dispositivos pneum´aticos e mecˆanicos. Com o advento dos semicondutores, os controladores PID passaram a ser desenvolvidos usando-se dispositi- vos anal´ogicos. Na d´ecada de 60, com o surgi- mento dos circuitos integrados, foram concebidos os sistemas de controle digital (Aguirre, 2007). Fi- nalmente na d´ecada de 80, com a diminui¸c˜ao dos custos dos microcomputadores e microcontrolado- res, os controladores PID digitais se consolidaram nas ind´ustrias. A partir de ent˜ao, o desenvolvi- mento de metodologias para o projeto de controla- dores PID digitais que garantissem estabilidade e robustez tornou-se necess´ario (Ashry et al., 2008), (Keel et al., n.d.) e (Zhang et al., n.d.). M´etodos baseados na resposta em freq¨uˆencia s˜ao ampla- mente utilizados para o projeto de controladores robustos (Ogata, 2011). Nestes, duas medidas im- portantes s˜ao comumente empregadas para se de- terminar a estabilidade relativa dos sistemas em an´alise: as margens de ganho e de fase. Estas especifica¸c˜oes pr´e-definidas e alcan¸cadas no pro- jeto, garantem estabilidade e robustez do sistema de controle, mesmo diante de varia¸c˜oes em al- gum componente da planta que influencie o ganho a malha aberta, constantes de tempo, atraso de tempo etc...(Ogata, 2011) e (Franklin et al., 1986). Contudo, o projeto a partir das margens de ganho e fase ´e normalmente realizado por m´etodos de tentativa e erro baseada nos gr´aficos de Bode. Tais abordagens n˜ao s˜ao muito adequadas para o uso em controle adaptativo e auto-ajust´aveis onde os parˆametros do controlador devem ser calculados on-line. Em especial, no projeto de controladores PID digitais, o tra¸cado do diagrama de bode est´a restrito a limita¸c˜oes do per´ıodo de amostragem es- colhido bem como das aproxima¸c˜oes estabelecidas durante o processo de discretiza¸c˜ao. A fim de de- senvolver uma metodologia de projeto de contro- ladores PID digitais, neste artigo ´e proposta uma metodologia via algoritmo gen´etico multiobjetivo para a sintonia dos parˆametros de controladores
  2. 2. X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente 18 a 21 de setembro de 2011 São João del-Rei - MG - Brasil ISSN: 2175-8905 - Vol. X 786 PID digitais de modo a atender as especifica¸c˜oes das margens de ganho e fase pr´e-estabelecidas. As fun¸c˜oes de transferˆencia discreta do controla- dor PID e da planta linear com atraso de tempo s˜ao obtidas com base na transforma¸c˜ao Tustin e a aproxima¸c˜ao de Pad´e, para gerar f´ormulas anal´ıti- cas para as margens de ganho e fase no dom´ınio da freq¨uˆencia. Estas f´ormulas s˜ao usadas para desen- volver um algoritmo gen´etico multiobjetivo, para que com base nas especifica¸c˜oes margens de ganho e fase, os parˆametros do controlador PID digital possam ser obtidos. Os resultados de simula¸c˜ao no dom´ınio do tempo e da freq¨uˆencia mostram a robustez e a eficiˆencia da metodologia proposta em compara¸c˜ao com outros m´etodos dispon´ıveis na literatura. 2 An´alise das margens de ganho e fase no tempo discreto Seja a fun¸c˜ao de transferˆencia de um contro- lador PID convencional dada por: Gc(s) = Kp + Ki s + Kds (1) onde Kp, Ki e Kd s˜ao os ganhos proporcional, integral e derivativo respectivamente, e o opera- dor s representa a transformada de Laplace. A discretiza¸c˜ao deste controlador pode ser realizado por quaisquer m´etodos de discretiza¸c˜ao tais como m´etodo de Euler ou retangular em avan¸co, m´e- todo retangular em atraso, m´etodo trapezoidal ou aproxima¸c˜ao de Tustin ainda conhecido como aproxima¸c˜ao bilinear e m´etodo de mapeamento de p´olos-zeros. Destes, escolheu-se a aproxima¸c˜ao de Tustin, pois esta preserva as condi¸c˜oes de estabili- dade dos sistemas transformados (Tzafestas, n.d.). Deste modo, um sistema est´avel no tempo cont´ı- nuo ´e transformado em outro sistema est´avel no tempo discreto e a mesma rela¸c˜ao sendo v´alida para sistemas inst´aveis. A transforma¸c˜ao ´e ex- pressa pela seguinte rela¸c˜ao: s = 2 T (z − 1) (z + 1) (2) onde T equivale ao per´ıodo de amostragem e o operador z representa a transformada z. Deste modo, o equivalente discreto para o con- trolador PID ´e obtido e representado pela seguinte equa¸c˜ao: Gc(z) = K1z2 + K2z + K3 (z2 − 1) (3) Onde as constantes K1, K2 e K3 representam as seguintes rela¸c˜oes: K1 = Kp + T Ki 2 + 2 Kd T (4) K2 = 2(T Ki 2 − 2 Kd T ) (5) K3 = −Kp + T Ki 2 + 2 Kd T (6) Seja a planta linear de segunda ordem com atraso de tempo dada pela seguinte fun¸c˜ao de transferˆencia: Gp(s) = K s2 + α1s + α2 e−Ls (7) onde K ´e o ganho da planta, α1 e α2 s˜ao os coe- ficientes da equa¸c˜ao caracter´ıstica, e L ´e o atraso de tempo. Nesta an´alise, representou-se o atraso de tempo e−Ls de forma aproximada como uma raz˜ao de polinˆomios em s, como segue: e−Ls ≈ Rn(s) = Qn(−Ls) Qn(Ls) (8) sendo, Qn = n∑ j=0 (n + j)! j!(n − j)! (Ls)(n−j) (9) Deste modo, o atraso de tempo ´e aproximado por uma fun¸c˜ao de transferˆencia de ordem finita, onde, quanto maior a ordem escolhida mais razo´a- vel ser´a a aproxima¸c˜ao. Utilizando uma raz˜ao de polinˆomios de grau dois, o que j´a apresenta resul- tados satisfat´orios, ´e obtida a seguinte fun¸c˜ao de transferˆencia para o atraso de tempo: e−Ls ≈ R2 = (Ls)2 − 6Ls + 12 (Ls)2 + 6Ls + 12 (10) Os equivalentes discretos para planta e para o atraso de tempo, considerando o mesmo proce- dimento realizado para discretizar o controlador PID, s˜ao dados por: Gp(z) = KT2 (z + 1)2 B1z2 + B2z + B3 (11) onde, B1 = (4 + 2α1T + α2T2 ) (12) B2 = (2α2T2 − 8) (13) B3 = (4 − 2α1T + α2T2 ) (14) e R2(z) = D1z2 + Cz + D2 D2z2 + Cz + D1 (15) onde, C = 6T2 − 2L2 (16) D1 = L2 − 3LT + 3T2 (17) D2 = L2 + 3LT + 3T2 (18)
  3. 3. X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente 18 a 21 de setembro de 2011 São João del-Rei - MG - Brasil ISSN: 2175-8905 - Vol. X 787 Uma vez obtidas as fun¸c˜oes de transferˆen- cia para o controlador PID e para planta com atraso no dom´ınio do tempo discreto, no que segue obt´em-se a formula¸c˜ao das equa¸c˜oes para as mar- gens de ganho e de fase no dom´ınio da frequˆencia. 2.1 Equa¸c˜oes no dom´ınio da frequˆencia As equa¸c˜oes no dom´ınio da freq¨uˆencia baseiam-se na seguinte transforma¸c˜ao bilinear, descrita em (Franklin et al., 1986): z = 1 + W T 2 1 − W T 2 (19) onde W ´e uma vari´avel auxiliar a qual ´e equiva- lente a: W = 2 T (z − 1) (z + 1) (20) Substituindo z = ejs na equa¸c˜ao (20) tem-se: W = 2 T esT − 1 esT + 1 = 2 T esT/2 − e−sT/2 esT/2 + e−sT/2 ⇒ W = 2 T tanh(sT/2) (21) Sendo s puramente imagin´ario, ou seja, igual a jw a equa¸c˜ao (21) resulta em: W = 2 T jtan(wT/2) (22) Ainda, para W = jn, onde n representa uma va- ri´avel no dom´ınio de W, tem-se: jn = 2 T jtan(wT/2) (23) Sabe-se que para valores pequenos a tangente de um ˆangulo ´e aproximadamente igual ao seu valor medido em radianos. Para pequenos valores de T em uma determinada faixa de w pode-se con- siderar que o arco ser´a pequeno o bastante para validar a seguinte rela¸c˜ao: T 2 n = w T 2 ⇒ n = w (24) Deste modo, utilizando-se a transforma¸c˜ao bili- near e considerando um per´ıodo de amostragem T pequeno o suficiente para garantir a validade de (24), encontram-se as seguintes equa¸c˜oes na freq¨uˆencia para o controlador: Gc(jw) = 4A2Tw + (A1T2 w2 − 4A3)j 8Tw (25) onde, A1 = K1 − K2 + K3 (26) A2 = K1 − K3 (27) para a planta: A3 = K1 + K2 + K3 (28) Gp(jw) = 16KT2 (β3 − β1T2w2) + β2wj (29) onde, β1 = B1 − B2 + K3 (30) β2 = 4(B1 − B3) (31) β3 = 4(B1 + B2 + B3) (32) e para o atraso de tempo: R2(jw) = σ + γj σ − γj (33) onde, σ = 4(D1 + C + D2) − (D1 + C + D2)T2 w2 (34) γ = 4(D1 − D2)Tw (35) 2.2 Equa¸c˜oes para sintonia do controlador PID digital A partir das equa¸c˜oes no dom´ınio da freq¨uˆen- cia para o controlador, planta e o atraso de tempo pretende-se determinar as equa¸c˜oes de sintonia para o controlador PID digital. Estas equa¸c˜oes, conforme dito anteriormente, ser˜ao baseadas nas especifica¸c˜oes das margens de ganho e fase. As defini¸c˜oes b´asicas de margens de ganho e fase im- plicam em: arg[Gc(jwp)Gp(jwp)R2(jwp)] = −π (36) Am = 1 |Gc(jwp)Gp(jwp)R2(jwp)| (37) |Gc(jwg)Gp(jwg)R2(jwg)| = 1 (38) Pm = arg[Gc(jwg)Gp(jwg)R2(jwg)] (39) Onde a margem de ganho ´e dada pelas equa- ¸c˜oes (36) e (37), e a margem de fase pelas equa- ¸c˜oes (38) e (39). A freq¨uˆencia wp na qual a fase do sistema em malha aberta ´e igual a 180graus ´e conhecida como freq¨uˆencia de cruzamento da fase, e a freq¨uˆencia wg na qual o m´odulo do sistema em malha aberta ´e igual a 0dB (ou seja igual a 1) ´e conhecida como freq¨uˆencia de cruzamento do ga- nho. Substituindo-se as equa¸c˜oes (25), (29) e (33) nas equa¸c˜oes (36)-(39) tem-se: atan( I1 R1 ) − atan( I2 R2 ) + 2atan( 6Lwp L2w2 p − 12 ) = −π (40) Am = √ R2 2 + I2 2 √ R2 1 + I2 1 (41) √ R2 2 + I2 2 √ R2 1 + I2 1 = 1 (42)
  4. 4. X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente 18 a 21 de setembro de 2011 São João del-Rei - MG - Brasil ISSN: 2175-8905 - Vol. X 788 Φm = atan( I1 R1 ) − atan( I2 R2 ) + 2atan( 6Lwg L2w2 g − 12 ) (43) onde, R1 = 16KKpT3 w (44) R2 = 2α2T2 w[8T +T2 w2 −T3 w2 ]−16T3 w3 (45) I1 = Ki(KT5 w2 −12T3 K)+Kd(12KT3 w2 −16TK) (46) I2 = 16α1T3 w2 (47) Estas equa¸c˜oes ser˜ao utilizadas para a sinto- nia do controlador PID digital, onde os ganhos K1, K2 e K3 ser˜ao encontrados de modo que as especifica¸c˜oes das margens de ganho e fase sejam atendidas. As equa¸c˜oes (40) e (42) determinam as freq¨uˆencias de cruzamento de fase e ganho que, por sua vez, s˜ao aplicadas as equa¸c˜oes (41) e (43) para se determinar os valores das margens de ga- nho e fase. Especificando-se valores de margens de ganho e fase de modo a garantir a estabilidade do sistema, mesmo a poss´ıveis varia¸c˜oes do processo controlado, pode-se determinar os parˆametros do controlador PID digital e por fim projetar um con- trolador robusto e de f´acil realiza¸c˜ao. Por´em, de- vido `a complexidade das equa¸c˜oes (40)-(43), m´e- todos anal´ıticos n˜ao s˜ao pratic´aveis e, portanto, neste artigo ´e proposta uma estrat´egia de sintonia via algoritmo gen´etico multiobjetivo. 3 Estrat´egia de sintonia multiobjetiva Nesta se¸c˜ao, uma estrat´egia baseada em algo- ritmo gen´etico multiobjetivo para a sintonia dos controladores PID digitais, a partir das especifica- ¸c˜oes das margens de ganho e fase e das frequˆen- cias de cruzamento de ganho e fase, ser´a apresen- tada. A fun¸c˜ao de custo foi definida utilizando-se as equa¸c˜oes (40), (41), (42) e (43). Cada cromos- somo ´e constitu´ıdo por trˆes genes, onde cada gene representa um parˆametro do controlador PID di- gital. A fun¸c˜ao avaliativa ou de custo toma o con- junto de valores de cada cromossomo e pelas equa- ¸c˜oes (41) e (43) determina as margens de ganho e fase. Estas, por sua vez, s˜ao comparadas com as margens de ganho e fase especificadas inicialmente no projeto. Neste artigo, pretende-se que os valo- res das margens de ganho e fase calculados sejam t˜ao pr´oximos quanto poss´ıvel dos valores especi- ficados, de forma a minimizar a fun¸c˜ao de custo, como segue: Custo = Vespecificado − Vcalculado (48) onde Vespecificado e Vcalculado s˜ao os valores das margens de ganho e fase especificados e calcula- dos, respectivamente. Se o valor da margem calculada for negativo esta ser´a somada com o valor especificado aumen- tando o custo. Caso contr´ario, quando positiva ser´a subtra´ıda deste e minimizar´a o custo. Even- tualmente se o valor da margem calculada for po- sitivo e maior que o especificado o valor de custo ser´a negativo. Para se obter valores pr´oximos aos especificados toma-se o m´odulo da diferen¸ca en- tre o valor especificado e o calculado. Fazendo isso o menor custo poss´ıvel ser´a zero e n˜ao mais um valor negativo. Assim o algoritmo procura os valores dos ganhos que proporcionem margens de ganho e fase pr´oximas aquelas especificadas. Ou- tro problema que deve ser levado em conta ´e o da equivalˆencia das freq¨uˆencias de cruzamento de ga- nho e fase. Estas s˜ao especificadas na fun¸c˜ao de custo para o c´alculo das margens, por´em podem n˜ao corresponder a verdadeiras freq¨uˆencias de cru- zamento. Quando isto ocorre os valores calculados das margens de ganho e de fase s˜ao equivocados visto que foram calculados em rela¸c˜ao a freq¨uˆen- cias que n˜ao representam as verdadeiras freq¨uˆen- cias de cruzamento. Para evitar que o algoritmo convirja erroneamente introduz-se outra etapa no c´alculo de custo, a an´alise das freq¨uˆencias espe- cificadas como freq¨uˆencias de cruzamento. Para isto utiliza-se as equa¸c˜oes (40) e (42) e calcula-se o m´odulo do sistema em wg especificado e a fase em wp especificado. Depois disto comparam-se os valores de m´odulo e fase calculados com os valores ideais, ou seja, o m´odulo igual a 1 (ou 0 dB) e fase igual a -180 graus. Utiliza-se ent˜ao o mesmo artif´ı- cio mencionado anteriormente e toma-se o m´odulo da diferen¸ca entre o valor especificado e o calcu- lado, ou seja, o algoritmo concentra-se em encon- trar uma solu¸c˜ao na qual as freq¨uˆencias wp e wg estejam o mais pr´oximo poss´ıvel das reais freq¨uˆen- cias de cruzamento de ganho e fase. A equa¸c˜ao final de custo multiobjetivo ´e dada a seguir: Custo1 = Amesp − Amcalc + Pmesp − Pmcalc Custo2 = Amwg − Amcalc + Pmwp − Pmcalc Custototal = Custo1 + Custo2 (49) O algoritmo trabalha com uma popula¸c˜ao de 100 cromossomos e com um crit´erio de convergˆencia estipulado sobre o um n´umero limite de gera¸c˜oes. Cada itera¸c˜ao do algoritmo representa uma ge- ra¸c˜ao; ent˜ao, evidentemente, o algoritmo executa durante as n itera¸c˜oes especificadas e ap´os mostra a melhor solu¸c˜ao encontrada. Escolheu-se traba- lhar com um n´umero m´aximo de 1000 gera¸c˜oes. O algoritmo inicia gerando aleatoriamente uma po- pula¸c˜ao com 100 cromossomos. Estes s˜ao avali- ados pela fun¸c˜ao de custo (49) e classificados de acordo com o seu custo. A seguir ocorrem as eta- pas de sele¸c˜ao e cruzamento de cromossomos. A
  5. 5. X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente 18 a 21 de setembro de 2011 São João del-Rei - MG - Brasil ISSN: 2175-8905 - Vol. X 789 sele¸c˜ao de parceiros para o cruzamento ´e feita pelo m´etodo de emparelhamento randˆomico com pon- dera¸c˜ao de custo (Haupt and Haupt, 2004), o qual ´e aplicado sobre os 50 melhores cromossomos de cada gera¸c˜ao. Neste m´etodo os cromossomos com menor custo tem maior possibilidade de serem es- colhidos para cruzamento. O cruzamento entre dois cromossomos gera dois novos descendentes e ´e realizado por um operador de crossover simples o qual realiza uma soma ponderada entre os genes dos pais a fim de gerar dois novos descendentes, ilustrado a seguir: cromossomo1 = [pm1, pm2, pm3, ..., pmn] cromossomo2 = [pp1, pp2, pp3, ..., ppn] dnew1 = β ∗ pmn + (1 − β) ∗ ppn dnew2 = β ∗ ppn + (1 − β) ∗ pmn (50) onde os termos pmn e ppn representam os n genes do cromossomo m˜ae (cromossomo1)e do cromos- somo pai (cromossomo2) respectivamente, dnew os novos descendentes gerados a partir dos dois cromossomos e β um operador de pondera¸c˜ao que pode assumir qualquer valor entre 0 e 1. Os 50 cro- mossomos pais geram 50 novos indiv´ıduos e estes formam a metade da nova popula¸c˜ao que ser´a ava- liada na pr´oxima gera¸c˜ao. O melhor cromossomo da gera¸c˜ao anterior ´e mantido para pr´oxima gera- ¸c˜ao totalizando assim os 51 cromossomos sobrevi- ventes. Ainda sobre os descendentes ´e aplicado o operador de muta¸c˜ao que aleatoriamente ir´a sele- cionar um gene e alterar seu valor para qualquer outro valor dentro da faixa da vari´avel. No fim de cada gera¸c˜ao s˜ao criados aleatoriamente mais 49 novos cromossomos formando por fim a nova po- pula¸c˜ao de 100 cromossomos para a pr´oxima gera- ¸c˜ao. As etapas de avalia¸c˜ao, classifica¸c˜ao, sele¸c˜ao de parceiros, cruzamento, muta¸c˜ao e forma¸c˜ao da nova popula¸c˜ao s˜ao repetidos a cada itera¸c˜ao. 4 Resultados Para testar o algoritmo desenvolvido foi esco- lhida uma planta conforme em (7) com K = 2, α2 = 3, α3 = 2 e L = 0.5. Os valores de margem de ganho e fase s˜ao especificados em 9 dB e 60 graus o que garantem uma boa mar- gem de estabilidade para o sistema. Se a frequˆen- cia de cruzamento de ganho for especificada como wg = 1 rad/s e considerando um decaimento de 20 dB/d´ecada nesta regi˜ao tem-se que o valor de -9 dB ocorrer´a por volta da frequˆencia de 2.82 rad/s, ent˜ao o valor da frequˆencia de cruzamento de fase ´e especificado como wp = 3 rad/s. A frequˆencia wg representa uma estimativa para lar- gura de banda do sistema a qual est´a relacionada de modo inverso com o tempo de subida e de as- sentamento do sistema, e a margem de fase est´a diretamente relacionada com o amortecimento do sistema (Ogata, 2011). Assim, wg e Pm podem ser especificados para garantir valores razo´aveis de tempo de subida e pico de resposta para o sis- tema em malha fechada. O algoritmo trabalha em cima de valores de K1, K2 e K3 afim de determi- nar o conjunto que mais se aproxima dos valores especificados para margens de ganho e fase. Este ´e executado conforme definido na se¸c˜ao anterior e com uma taxa de muta¸c˜ao de 10%, o resultado en- contrado pode ser visto nas figuras a seguir, onde foram plotadas a resposta em frequˆencia para o sistema em malha aberta (Figura 1) e a resposta ao degrau do sistema em malha fechada (Figura 2a). Para a mesma planta foi projetado outro controlador PID baseado no m´etodo de Ziegler- Nichols (Franklin et al., 1986) e juntamente com a planta fora discretizado pelo m´etodo descrito na se¸c˜ao 2. Este apresentou uma resposta altamente oscilat´oria e com tempo de acomoda¸c˜ao relativa- mente alto, comparado com os controladores PID digitais obtidos pela metodologia proposta, apre- sentados na Figura 2a. Aplicou-se ainda o algo- ritmo a outros sistemas os quais s˜ao apresentados na Tabela 1 e seus resultados na Tabela 2. A Figura 2b mostra o impacto sobre a resposta no tempo, para uma mesma planta, devido a varia- ¸c˜oes de wg e Pm. Tabela 1: Especifica¸c˜oes dos parˆametros e modelos para teste do algoritmo. ref. Modelo Am Pm (wg; wp) Cont´ınuo (dB) (◦ ) (rad/s) 1 2e−0.5s s2+3s+2 9 60◦ (1.0; 3.0) 2 e−1.58s s2+2s+1 9 45◦ (0.4; 1.0) 3 0.28e−1.73s s2+1.06s+0.28 8 45◦ (0.4; 1.0) 4 2e−1.0s s2+3s+2 6 45◦ (0.7; 1.4) 5 Conclus˜oes Uma estrat´egia de sintonia para controladores PID digitais via margens de ganho e fase foi pro- posta neste artigo. Esta possibilitou a obten¸c˜ao dos ganhos para os controladores especificando os valores das margens de ganho e fase desejadas, bem como das frequˆencias de cruzamento de ga- nho e fase, por meio do algoritmo gen´etico mul- tiobjetivo. Para as plantas de segunda ordem se- lecionadas para teste, o algoritmo gen´etico multi- objetivo desenvolvido conseguiu encontrar valores para os ganhos do controladores PID digitais que possibilitaram margens de ganho e fase, bem como as freq¨uˆencias de cruzamento, pr´oximas das espe- cificadas, validando a metodologia proposta.
  6. 6. X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente 18 a 21 de setembro de 2011 São João del-Rei - MG - Brasil ISSN: 2175-8905 - Vol. X 790 Tabela 2: Resultados obtidos pelo algoritmo ap´os 1000 gera¸c˜oes. *Parˆametros do controlador projetado pelo m´etodo de Ziegler-Nichols. ref. PID digital Am Pm (wg; wp) (K1; K2; K3) (dB) (◦ ) (rad/s) 1 (10.85; -18.3; 7.65) 9.48 58.8 (1.07; 2.97) 2 (9.17; -16.76; 7.67) 8.53 50.6 (0.40; 1) 3 (35.98; -69.15; 33.26) 7.92 46.3 (0.38; 1) 4 (7.44; -12.73; 5.44) 7.09 44.8 (0.71; 1.5) ZN* (27.5; -47.7; 20.7) 1.5 11.5 (2.5; 2.93) −200 −150 −100 −50 0 50 Módulo(dB) 10 −1 10 0 10 1 10 2 −90 0 90 180 270 Fase(°) Am = 9.48 dB (at 2.97 rad/sec) , Pm = 58.8 deg (at 1.07 rad/sec) Frequência (rad/sec) −200 −150 −100 −50 0 50 Módulo(dB) 10 −1 10 0 10 1 10 2 −1440 −1080 −720 −360 0 Fase(°) Am = 1.5 dB (at 2.93 rad/sec) , Pm = 11.5 deg (at 2.5 rad/sec) Frequência (rad/sec) PID−genético (1) PID Ziegler−Nichols Figura 1: An´alise de desempenho no dom´ınio da frequˆencia do controlador PID obtido via Algoritmo gen´etico e do controlador PID obtido via m´etodo de Ziegler-Nichols. Agradecimentos Os autores gostariam de agradecer ao CNPq pelo suporte financeiro. Referˆencias Aguirre, L. A. (2007). Introdu¸c˜ao `a Identifica¸c˜ao de Sistemas, 3 edn, Belo Horizonte: UFMG. Ashry, M., Kamalova, Z. and Breikin, T. (2008). Tuning of Digital PID Controller Parameters Using Local Optimal Control, 16th Mediter- ranean Conference on Control and Automa- tion, pp. 587-592. Astrom, K. J. and Hagglund, T. (1995). PID Con- trollers: Theory, Desing and Tuning, ISA, Research Trinagle Park, North Carolina. 0 2 4 6 8 10 12 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Resposta ao degrau (b) Tempo (segundos) (seconds) Amplitude 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.5 1 1.5 Resposta ao degrau (a) Tempo (segundos) (seconds) Amplitude Zn 1 4 3 2 b 1 : w g = 1.50 rad/s; P M = 44.9°; b 2 : w g = 1.07 rad/s; P M = 58.8°; b3 : wg = 0.50 rad/s; PM = 73.4°; b 1 b 3 b 2 Figura 2: (a) An´alise de desempenho no dom´ınio do tempo dos controladores PID digitais obtidos via algo- ritmo gen´etico 1-4 e m´etodo Ziegler-Nichols Zn. (b) An´alise de desempenho no dom´ınio do tempo dos con- troladores obtidos pelo algoritmo gen´etico para dife- rentes valores de wg e Pm controlando a planta 1. Franklin, G. F., Emami-Naeini, A. and Powell, J. D. (1986). Feedback Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley, Reading, MA. Haupt, R. L. and Haupt, S. E. (2004). Prac- tical Genetic Algorithms, 2 edn, Wiley- Interscience. Keel, L. H., Rego, J. I. and Bhattacharyya, S. P. (n.d.). A New Approach to Digital PID Con- troller Design, IEEE Transactions on Auto- matic Control, Vol. 48, No. 04, pp. 687-692, April, 2003. Kristinsson, K. and Dumont, G. A. (1992). Sys- tem Identification and Control Using Genetic Algorithms, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 22, pp.1033-1046. Mar´ın, E., Costa, R. and Hsu, L. (1998). Auto-Sintonia Robusta de Controladores PID usando Algoritmos Gen´eticos, Proc. XII Bra- zilian Automatic Control Conference - XII CBA Vol.I, pp. 369-374 - MG, Brasil. Ogata, K. (2011). Engenharia de Controle Mo- derno, 5 edn, Prentice-Hal, S˜ao Paulo. Tzafestas, G. S. (n.d.). Applied Digital Control, North-Holland Systems and Control Series, Vol. 7, 1985. Zhang, Y., Shieh, L. S., Akujuobi, C. M. and Ali, W. (n.d.). Digital PID Controller Design for Delayed Multivariable Systems, Asian Jour- nal of Control, Asian Journal of Control, Vol. 06, No. 04, pp. 483-495, December, 2004.

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