Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Matrices

256 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Matrices

  1. 1. M T ICE AR S
  2. 2. M T ICE AR SPara empezar, un poco de información:Las matrices aparecen en el año 1850, introducidas por J.J. Silvestre. Eldesarrollo inicial de la teoría matricial lo realiza el matemático W.R. Hamiltonen 1853. Luego en 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como unaforma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con nincógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución desistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de lasderivadas parciales(los últimos días son temas de facultad). Se usan en elestudio de sistemas de ecuaciones lineales, en geometría, estadística,economía, etc. La utilización de matrices es esencial en el lenguajes deprogramación, la mayoría de los datos se introducen en los ordenadorescomo tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases dedatos,...
  3. 3. Como vamos a ver, la solución de sistemas de ecuaciones linealespuede hallarse utilizando solamente los coeficientes de las incógnitasasociadas a los sistemas lineales. Este ordenamiento de números seconoce como una matriz. Ejemplos de matrices son: 1  1 2      2 1 π  1 − 3 0 ;     e 0 1 / 2 ; 1  − 4 5  (2 − 1 0 1) ;      0 0 0   1    La dimensión de una matriz de define como el número de filas por elnúmero de columnas. En el ejemplo, la primera matriz es dedimensión 3x2, la segunda es de 3x3, la tercera es de 1x4 y la cuartaes de 4x1. Si una matriz es de dimensión 1xn, como en el tercerejemplo, se llamará un vector fila, mientras que una matriz nx1, comoen el cuarto ejemplo, se llamará un vector columna. En general seusarán las primeras letras mayúsculas del alfabeto para denotar unamatriz, es decir, se escribirán como A, B, C, etc.. Las entradas deuna matriz se denotarán como aij y representarán la entrada que seencuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima.
  4. 4. MA TRIC E S Definición de matriz: Una matriz es un conjunto de elementos, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. En forma general una matriz se anota de la siguiente manera:Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m y j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, elprimero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25será el elemento de la fila 2 y columna 5.
  5. 5. MA TRIC E S Tipos de matrices:Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n. ( a11 a12 a13  a1n )Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1y por tanto es de orden m x 1.  a11     a21  a   31        am1 
  6. 6. MA TRIC E S Tipos de matrices:Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n.  a11 a12 a13  a1n     a21 a22 a23  a2 n  a a32 a33  a3n   31       a an 2 an 3  ann   n1 
  7. 7. MA TRIC E S Tipos de matrices: Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.  −1 4   −1 0 5   −1 0 5   −1 0 2       A=  0 −6 8 ⇒ A =  0 −6 8  T  4 − 2 0 ⇒ A =  0 − 2 TA=  2 5 8 10  5 8 10     0       Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji ∀ i, j. Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji ∀ i, j.
  8. 8. MA TRIC E S Tipos de matrices:Matriz nula: es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos loselementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos dela diagonal iguales Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
  9. 9. MA TRIC E S Tipos de matricesMatriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todoslos elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: - Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 ∀ i < j.  3 −1 −3 A = 0 2 0    0 0 5    - Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 ∀ j < i. 3 0 0  B = 3 2 0    1 0 5   
  10. 10. MA TRIC E S Operaciones con matricesTrasposición de matricesSuma y diferencia de matricesProducto de una matriz por un númeroProducto de matricesMatrices invertibles
  11. 11. MA TRIC E S Operaciones con matricesTrasposición de matricesDada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y serepresenta por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (oviceversa) en la matriz A.Es decir: Ejemplo:  −1 4   −1 0 2   A=  4 − 2 0 ⇒  A =  0 − 2 T   2 0   Propiedades de la trasposición de matrices:1) Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.2) La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A.  (At)t = A.
  12. 12. MA TRIC E S Operaciones con matricesSuma y diferencia Si A = aij  y B = bij  son dos matrices mxn entonces    de matrices definimos la suma de A y B por, A + B = aij  + bij  ≡ aij + bij        La suma de dos matrices: Sean A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij.  1 2 − 4  −1 0 2   0 2 − 2   0 3 − 1  +  1 − 5 − 1 =  1 − 2 − 2             La suma de las matrices A y B se anota A+B. Ejemplo Sin embargo, no se pueden sumar.La diferencia de matrices: A y B se representa por A–B, y se define como: A–B =A + (–B)
  13. 13. Ejemplos:  3 0 −2  5 −3 6  1. Si A =   y B = 0 2 5  entonces  2 −1 4     3 0 −2  5 −3 6   3 + 5 0 − 3 −2 + 6  A+ B =   + 0 2 5  ≡  2 + 0 −1 + 2 4 + 4   2 −1 4       8 −3 4  A+ B ≡   2 1 8  1 2   7 −2  2. Si A = 3 4  y B =  −6 4  entonces     5 6    3 0   1 2   7 −2  1 + 7 2 − 2   8 0  A + B = 3 4  +  −6 4  ≡ 3 − 6 4 + 4  =  −3 8          5 6   3 0   5 + 3 6 + 0   8 6         
  14. 14. MA TRIC E S Operaciones con matricesPropiedades de la suma de matrices1) A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa2) A+B=B+A Propiedad conmutativa3) A + 0 = A (0 es la matriz nula) Matriz Nula4) La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
  15. 15. MA TRIC E S Operaciones con matricesProducto de una matriz por un número El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij. Ejemplo:  1 0 − 2 6  2 0 − 4 12       −2 1 0 0  − 4 2 0 0 2 = 4 3 8 0  8 6 16 0       −1 −1 − 3 0   − 2 − 2 − 6 0     El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número realk se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares pormatrices
  16. 16. MA TRIC E S Operaciones con matricesProducto de una matriz por un número - Propiedades del producto de una matriz por un escalar 1) k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 2) (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 3) k [h A] = (k h) A Propiedad asociativa mixta . 4) 1 · A = A · 1 = A Elemento unidad
  17. 17. MA TRIC E S Operaciones con matrices Producto de matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. Para poder multiplicar dos matrices el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p, Es decir:Ejemplo: no se pueden multiplicar
  18. 18. EJEMPLO:   1  3    [ 6 − 2 8]  5    [ 6 − 2 8]  0      1 3  6 − 2 8    3    7   1. AB =  .  5 0 =   1 4 5   2 7    1  3     1 4 5  5 [ ]  [ 1 4 5]  0         3   7      6 − 10 + 24 18 + 0 + 56  =  1 + 20 + 15 3 + 0 + 35   20 74 =  36 38 
  19. 19.  1 3  9 10 23  5 0   6 − 2 8 BA =    1 4 5 =  30 − 10 40   2 7     19 24 51    1 − 2  −6 7 −1 −2  3 1   2 5 3 0  =  10 14 11 1 2. AB =    4 −1 2 1    0 − 1      − 4 1 − 2 − 1  
  20. 20. MA TRIC E S Operaciones con matrices Producto de matricesPropiedades del producto de matrices A·(B·C) = (A·B)·C (Propiedad asociativa) El producto de matrices en general no es conmutativo. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 . El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C

×