Caderno - Matemática II

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Matemática II - Caderno + Exercícios Resolvidos

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Caderno - Matemática II

  1. 1. CADERNOMatemática II 2º semestre Luan Guerra
  2. 2. FACEBOOK Não curtir? Por quê? SUGESTÕES cadernosppt@gmail.com.br
  3. 3. AvisoEsse material foi criado a partir do cadernode um aluno do curso de administração.Sendo assim, não substituirá nenhuma fontedidática como: livros, artigos científicos, etc.ObservaçãoO objetivo dessa apresentação ésimplesmente ajudar o estudante, nada alémdisso.
  4. 4. LIVROSSUGERIDO • Cálculo: Funções de uma e Várias Variáveis Pedro Alberto Morettin Editora: Saraiva Autor: PEDRO ALBERTO MORETTIN & SAMUEL HAZZAN & WILTON DE OLIVEIRA BUSSAB ISBN: 8502041215
  5. 5. CADERNO +EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
  6. 6. Revisão - 4• 4.Um empresário deseja obter mensalmente um lucro de pelo menos $12.000,00 na produção de um determinado bem. O preço de venda unitário é $4,00 e o break-even point (B.E.P.) se dá quando a produção atinge 4.000 unidades/mês. Qual a produção mensal mínima para que o empresário alcance o lucro pretendido, sabendo que o custo variável unitário de produção é $2,00?
  7. 7. ResoluçãoPreço: $4 L=R-CR=p.x L = 4 . x – (2x + CF)R = 4 .x L = 4 . x – 2 . x - CFC = 2 . x . CF L = 2 . x – CF
  8. 8. ResoluçãoR=C L = 2 . x – CF L = 2 . x – 80004 . 4000 = 2 . 4000 + CF L >= $1200016000 = 8000 + CF 2 . x – 8000 >= 12000CF = $8000 2 . x >= 20000 x >= 10000 unid.
  9. 9. Revisão - 5
  10. 10. ResoluçãoDemanda: Pd = ax + b(0, $40)(100, $0)Oferta: Po = ax + b(0, $20)(80, $35)
  11. 11. ResoluçãoOferta: a = 80/1520 = a . 0 + b b = 20 a = 0,1835 = a . 80 + b (Aproximado) Po = 0,18 . x + 2035 = a 80 + 2015 = a 80
  12. 12. Resolução40 = a . 0 + b b = 400 = a 100 + b0 = a . 100 + 40 Pd = -0,4 . x + 40-40 = a . 100a = -0,4
  13. 13. Revisão 6• .Um fabricante produz determinado produto ao custo variável unitário de $2,00 e os vende a $5,00 cada. Com este preço a demanda mensal do produto é de 4.000 unidades. Quando o fabricante eleva o preço do produto em 20%, deixa de vender 800 unidades mensalmente. a)Expresse o lucro mensal do fabricante em função da quantidade vendida / produzida do produto, supondo que o custo fixo de produção é zero, b)Expresse a função lucro líquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é 20% do lucro.
  14. 14. ResoluçãoPd = - 0,0012 . x + 9,8R = (-0,0012 . x + 9,8) . xR = -0,0012 . x² + 9,8 . xL=R–C
  15. 15. ResoluçãoL = - 0,0012 . x² + 9,8 . x – 2 . xL = - 0,0012 . x² + 7,8 . xL líquido = (100% - 20%)/80% . L L líquido = 0,80 . (-0,0012 . x² + 7,8 . x)
  16. 16. Revisão 77. Certa máquina foi comprada por R$3000,000 e vendida depois de 15 anos por R$750,00. Expresse o valor V da máquina como função do tempo, em anos
  17. 17. ResoluçãoDepreciação linear: V = -150 . t + 3000 t = tempo em anosV = taxa de preciação . t + VaTaxa de depreciação:750-3000/15 = $-150/ano
  18. 18. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO ∆y f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )f ′( x0 ) = Lim = Lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
  19. 19. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO ∆X Xo Xo + ∆ X
  20. 20. Mudança
  21. 21. Regra do Tombo Pág. 138I – Se f(x) = xn então f(x) = n + xn-1Regra do TomboExemplos:a) f(x) = x5 5x4b) f(x) = x2 2x1
  22. 22. Outros exemplosc) f(x) = x 1x0 =1d) f(x) = x2,5 2,5x1,5e) f(x) = x-2 -2x-3
  23. 23. f (x + ) =?= x² + 2x + ²f (x + ) – f (x)x² + 2x - x² - ²
  24. 24. Resultado= 2x +
  25. 25. ExercíciosSe f ( x ) = k . xn então f’ ( x ) = k . n . xn-1 Exercícios: f ( x ) = 3x5 = 3 . 5 x4 = 15x4f ( x ) = 5x-2 = 5 . -2 x-3 = -10x-3
  26. 26. DERIVADASe f(x) K então f’(x) = 0Exercício 1f(x) = 3f’(x) = 0
  27. 27. DERIVADA• Exercício 2f(x)= 2/3f’(x) = 0
  28. 28. DERIVADA• Exercício 3f(x)=f’(x) = 0
  29. 29. Regra do Tombo• Se f(x) = g(x) + h(x) ou f(x) = g(x) – h(x) então f’(x) = g’(x) – h’(x) ou f(x) = g(x) – h(x).• Exercício 1f(x) = x³ + x²f’(x) = 3x² + 2x
  30. 30. Regra do TomboExercício 2f(x) = 2x³ - 5f’(x) = 2. x² - 0f’(x) = 2x²
  31. 31. Exercícios do livro• Página 139 Exercícios 5 (a ao i, t e u)
  32. 32. Exercício 139 - Resolução• a) f(x) = 10 f’(x) = 0• b) f(x) = x5 f’(x) = 5x4• c) f(x) = 10x5 f’(x) = 10.5x4 = 50x4• d) f(x) = 1/2x² f’(x) = 1/2 . 2x = 1x• e) f(x) = x² + x³ f’(x) = 2x + 3x²• f) f(x) = 10x³ + 5x² f’(x) = 30x² + 10x• g) f(x) = 2x + 1 f’(x) = 2.1x + 0 = 2
  33. 33. Resolução• h) f(t) = 3t² - 6t – 10 f(t) = 3.2.t – 6.t – 0 f(t) = 6t – 6• f(u) = 5u³ - 2u² + 6u + 7 f(u) = 5.3u² - 2.2u + 6.1 + 0 f(u) = 15u² - 4u + 6
  34. 34. Resolução• t) f(x) = x 2/3 f(x) = 2/3x1/3
  35. 35. Função LogarítmicaSe f(x) = lnx então f’(x)= 1/x (x > 0)a) f(x) = 3.ln.x f’(x) = 3.1/x = 3/xb) f(x) = lnx/3 = 1/3lnx f’(x) = 1/3 . 1/x = 1/3x
  36. 36. Função Exponencial Se f(x)= ax então f’(x)=ax. lna (a>0; a diferente 1)a) f(x) = 3x f’(x) = 3x ln3b) f(x) = 2x f’(x) = 2x ln2
  37. 37. Exercíciosa) f(x) = 3x4 + 2.5x – lnx + 10 f’(x) = 3.4x3 + 2.5x ln5 – 1/x + 10 f’(x) = 12x3 + 2.5x ln5 – 1/xb) f(x) = 3x + 4 + x²/5 + lnx/5 + 2.3x f(x) = 3.1 + 0 + 1/5.2x + 1/5.1/x + 2.3xln3 f(x) = 3+2/3x +1/5x + 2. 3xln3
  38. 38. Exercício CasaPágina 139Exercício 5 – j e kPágina 141Exercício 6 – i, j e k
  39. 39. Regra do Produto Se f(x) = g(x) . h(x) entãof’(x) = g’(x). h(x) + g(x) . h’(x)
  40. 40. Exercício – Regra do Produtof(x) = x² . (x + 3)f’(x) = 2x . (x + 3) + x² . 1 + 0 Melhorando...f’(x) = x² + 2x² + 6x f’(x) = 3x² . 6x
  41. 41. Pela regra do tombo...f(x) = x² . (x + 3) realiza a distributiva...f’(x) = x³ + 3x²f’(x) = 3x² + 3.2x f’(x) = 3x² + 6x
  42. 42. Exercíciof’(x) = x² . 3x regra do produto...f’(x) = 2x . 3x + x² . 3x ln 3f’(x) = 2x . 3x + x² . 3x . 1,0986
  43. 43. CUSTO MARGINAL LISTA - MOODLE
  44. 44. Custo MarginalÉ a derivada da fração CUSTOa) C = 0,3x³ - 2,5x² + 20x + 200C = 0,3 . 3x² - 2,5 . 2x² + 20 + 0Cmg = 0.9x² - 5x + 20
  45. 45. Continuaçãob) Cmg (5) = 0,9 . 5² - 5 . 5² + 20Cmg (5) = 0,9 . 25 - 5 . 25 + 20Cmg (5) = $17,50 O custo aproximado deResposta: produção da 6º unidade é $17,50.
  46. 46. Continuaçãoc) Cmg (10) = 0,9 . 10² - 5 . 10 + 20Cmg (10) = 0,9 . 100 - 5 . 10 + 20Cmg (10) = 90 – 50 + 20Cmg (10) = $60 O custo aproximado deResposta: produção da 11º unidade é $60.
  47. 47. ExercícioO custo de fabricação de x canetas é dado por:C(x) = 250 + 50/x + x²/5C(x) = 0 + 50x-1 + 2x/5C(x) = 50 . -1 x-2 + 2x/5C(x) = -50x-2 + 2x/5
  48. 48. ContinuaçãoCmg (10) = -50 10-2 + 2.10/5Cmg (10) = -50.1/100 + 20/5Cmg (10) = -0,5 + 4Cmg (10) = $3,50 O custo aproximado deResposta: produção da 11º unidade é $3,50.
  49. 49. ContinuaçãoCusto Real: ?C(x) = 250 + 50/x + x²/5C(11) = custo total de produção das onze primeiras unidades é:C(11) = 250 + 50/11 + 11²/5 = $278,8C(10) custo total de produção das dez primeiras unidades.C(10) = 250 + 50/11 + 10²/5 = $275
  50. 50. Exercício• O custo de fabricação de x canetas é dado por:C(x) = 40 + 3x + 9 raiz de xC(x) = 0 + 3 + 9 x1/2Cmg(x) = 3 + 4,5x-1/2
  51. 51. Continuação• a)Encontre o custo marginal da 26ª unidade produzida.Cmg(x) = 3 + 4,5x-1/2Cmg(25) = 3 + 4,5 . 25-1/2Cmg(25) = 3 + 4,5 . 0,20Cmg(25) = 3 + 0,9Cmg(25) = 3,9
  52. 52. Continuação• b)Encontre o número de unidades produzidas quando o custo marginal é $4,50?
  53. 53. Exercício1. Seja C(x) = 1000 + 3x + 1/20x² a função custo total associada à produção de um bem, e na qual x representa a quantidade produzida. Determinar:C(x) = 1000 + 3x + 1/20x2C(x) = 0 + 3.1 + 0,05x-2C(x) = 3 + 0,05 . -2 . x-3C(x) = 3 - 0,10.x-3
  54. 54. Continuação• O custo marginal da 21ª unidade.C(20) = 3 - 0,10 20-3C(20) = 3 - 0,10.0,000125C(20) = 3 - 0,000013C(20) = $2,999988 O custo aproximado deResposta: produção da 21º unidade é $2,999988.
  55. 55. Continuação• Os valores de x para os quais o custo marginal é zero, caso existam.
  56. 56. RECEITA MARGINAL Exercícios
  57. 57. Exercício• Dada a função receita total: R(x) = -4x2 + 500x, obtenha:
  58. 58. Continuação– A receita marginal:R(x) = - 4x² + 500xRmg(x) = -4.2x +500.1Rmg(x) = -8x + 500
  59. 59. a)– A receita marginal quando x = 10 e interprete o resultado,– Rmg(10) = -8x + 500– Rmg(10) = -8.10 + 500– Rmg(10) = -80 + 500– Rmg(10) = $420
  60. 60. b) – A receita marginal quando x = 20 e interprete o resultado. – Rmg(20) = -8.20 + 500 – Rmg(20) = -160 + 500 – Rmg(20) = 340 O receita aproximado deResposta: produção da 21º unidade é $340
  61. 61. Exercício• Se a função de demanda for p = 20 – 2x, obtenha a receita marginal para a 5ª unidade vendida.R = pd . xR = (20 – 2x) . XR = 20x – 2x²R = 20 . 1 – 2 . 2xRmg = 20 – 4xRmg = 20 – 16 = $ 4A Receita aproximada obtida com a venda da 5º unidade é de $4.
  62. 62. ExercícioSe R(x) = 600x – x³/20 é a função receitatotal prevista para a venda de xtelevisores, pede-se:
  63. 63. a)– A função receita marginal,R(x) = 600x – x³/20Rmg(x) = 600 – 3x²/20
  64. 64. b)– A receita marginal quando x = 30,Rmg(30) = 600 – 3 30²/20Rmg(30) = 600 – 3 . 900/20Rmg(30) = 600 – 3 . 45Rmg(30) = 600 – 135Rmg(30) = $465
  65. 65. c)– A receita efetiva da venda do 31º aparelho de televisão.Receita Real ou EfetivaR(x) = 600x – x³/20R(31) = 600.31 – 31³/20R(31) = 18600 – 29791/20R(31) = 18600 – 1489,55R(31) = $17110,45
  66. 66. ContinuaçãoR(x) = 600x – x³/20R(30) = 600.30 – 30³/20R(30) = 18000 – 27000/20R(30) = 18000 – 1350R(30) = $16650,00R(31) – R(30) = x$17110,45 - $16650,00 = xX = $460,45
  67. 67. Exercício• A receita R (em milhões de dólares) da Dairy Queen de 1989 a 1993 admite como modelo R = 1,83t³ – 3,7t² + 37,97t+ 255,4 onde t = o representa 1989 (Fonte: Intenational Dairy Queen).
  68. 68. Função Marginal• R = 1,83t³ – 3,7t² + 37,97t+ 255,4Rmg(x) = 1,83 . 3 t² - 3,7 . 2 t + 37,97 + 0Rmg(x) = 5,49t² - 7,4t + 37,97
  69. 69. a)• Ache a inclinação do gráfico em 1990 (t=1) e em 1992 (t=3),Rmg(1) = 5,49 . 1² - 7,4 . 1 + 37,97Rmg(1) = 5,49 – 7,4 + 37,97Rmg(1) = 36,06 milhões de dólares De 1990 para 1991, a receita da Empresa aumentou aproximadamente em $36,06 milhões de dólares
  70. 70. Continuação• e em 1992 (t=3):Rmg(3) = 5,49 . 3² - 7,4 . 3 + 37,97Rmg(3) = 5,49 . 9 - 7,4 . 3 + 37,97Rmg(3) = 49,41 – 22,23 + 37,97Rmg(3) = 65,15 milhões de dólares
  71. 71. b)• Quais são as unidades de inclinação do gráfico? Interprete essa inclinação no contexto do problema. Unidades: Milhões de dólares/ ano De 1992 para 1993, a receita da Empresa aumentou aproximadamente em $65,15 milhões de dólares
  72. 72. Exercício• Determine, pela definição, a derivada das funções:a) f(x) = x + 5
  73. 73. Resoluçãoa) f(x + Variação x) = x + variação x + 5Taxa Média VariaçãoTMV = Variação y / Variação xTMV = x + variação 0 + 5 – (x +5) / Variação x = 1Portanto:lim Ax = 0 Variação y / Variação x = Lim ax = 0 = 1
  74. 74. b)f(x) = 1/x + 5F(x + variação x) = 1/x + variação x + 5
  75. 75. Exercício 2• Derive usando as regras:F(x) = 3 . 5x + ln x / 5 + 3x . x²F’(x) = 3 . 5x . ln5 + 1 / 5 . 1/x + 3x ln3 . X² + 3x . 2x
  76. 76. Exercícios – 20/09 Obtenha, pela definição, as derivadas das funções:a) f(x) = x + 5TM V = x+ + 5 – (x+5) /
  77. 77. Resolução a)• lim / = 1 =0
  78. 78. b) Obtenha, pela definição, as derivadas das funções:b) f(x) = 1/x + 5
  79. 79. Resoluçãob) f(x + ) = 1/x + 5TMV = 1/x + 1/ + 5 - (1/x + 5) /lim = / =0
  80. 80. Exercício c)c) f(x) = x² + 5TMV = 2x + - (x² + 5)
  81. 81. Regra do Quociente Se f(x) = g(x) / h (x) entãof’(x) = g’(x).h(x) – g(x).h’(x)/[h(x)]²
  82. 82. Exemplo1) f(x) = 3x / x²f’(x) = 3x ln 3. x² - 3x . 2x / (x²)²3x ln 3. x² - 3x . 2x / x4
  83. 83. Exemplo2) f(x) = ln.x / 3x f’(x) = 1/x . 3x - ln.x . 3x ln 3 / (3x)² melhorando... f’(x) = 3x/x - ln.x . 3x ln.3 / 32x
  84. 84. Otimização de funções – Pág. 179(Obter pontos de máximo ou de mínimo)1º passo: Obter f’ (Obter a 1º derivada de f)2º passo: Resolver a equação f’ = 03º passo: Obter f’’ (Obter a 2º derivada de f)4º passo: Substituir a solução obtido no 2º passo em f’’ Se o resultado der + então a solução será ponto mínimo. Se o resultado der - então a solução será ponto máximo. Se o resultado der zero, o critério não se aplica.
  85. 85. Pág. 179 – Exemplo 6.10Encontre os pon/2tos de máximo e mínimo da função f(x) = x³/3 – 5/2x² + 4x + 3
  86. 86. Resoluçãof(x) = x³/3 – 5/2x² + 4x + 31º passo: f’ = 3x²/3 – 5/2 . 2x + 4.1 + 0 f’ = x² - 5x + 4
  87. 87. Continuação2º passo: f’ = x² - 5x + 4 x² - 5x + 4 = 0 báskara... x’ = 1 x’’ = 4
  88. 88. Continuação• 3 passo:f’ = x² - 5x + 4 f’’ = 2x – 5 f’’(1) = 2.1 – 5 = -3 f’’(4) = 2.4 – 5= + 3
  89. 89. Definir:4º passo: f’’(1) = 2.1 – 5 = - 3 é ponto de máximo f’’(4) = 2.4 – 5= + 3 é ponto de mínimo OBS: É o inverso...
  90. 90. Pág. 180 - Exemplo 38a) f(x) x² - 4x + 51º f’(x) = 2x - 42º f’’ = 0 2x – 4 = 0 x=23º f’’ = 2 (Não tem x; é uma função constante)4º f’’ (2) = + 2 é ponto de máximo
  91. 91. Ponto de InflexãoAplicação Economia
  92. 92. DefiniçãoO ponto (c; f(c)) é chamado, em economia,de ponto de retorno decrescente. Umainvestimento além deste ponto éconsiderado má aplicação de capital.(O mesmo valor de c quando passa oponto de PI não é tão vantajoso caso elenão ultrapasse esse mesmo ponto)
  93. 93. Exemplo Sejam x o gasto com propaganda (em milhares de dólares) e y as vendas (em milhares de dólares) de um produto, de acordo com o modelo. Y = 1/10000 . (300x² - x³)*com 0 <= x <=200
  94. 94. Ache o ponto de diminuição de resultados:
  95. 95. Resolução1º passo: y’ = 1/10000 . (300 2x - 3x²) y’ = 1/10000 . (600x - 3x²)2º passo y’’ = 1/10000 . (600 - 6x)3º passo: Estudar o sinal de “y”
  96. 96. Resolução 3º passoy’’ = 1/10000 . (600 – 6x) é uma reta descrente, a = -6 < 0Raiz: 1/10000 . (600 – 6x) = 0600 = 6xX = 100
  97. 97. Estudo do Caso
  98. 98. RespostaINVESTIR mais de 100 milhões empropaganda para aumentar as vendas éconsiderado má aplicação de capital.
  99. 99. ExercíciosPara cada função, R é a receita e x é aquantia gasta com propaganda.
  100. 100. A)R = 1/50000 (600x² - x³)0 <= x <=400
  101. 101. Resolução1º passo: R’ = 1/50000 . (600x . 3x²)2º passo: R’ = 1/50000 . (600 . 6x)3º passo: Estudo do sinal “R”
  102. 102. Resolução – 3º passoR’’ = 1/50000 . (600 – 6x)(é uma reta decrescente; a = -6 < 0)Raiz: 1/10000 . (600 – 6x) = 0600 – 6x = 0x = 100
  103. 103. Estudo do Caso
  104. 104. RespostaInvestir mais de 100 milhões empropaganda para aumentar as vendas éconsiderado má aplicação de capital.
  105. 105. b)R’’ = -4/9 (x³ - 9x² - 27)0<= x <=5
  106. 106. Resolução1º passo: R’’ = -4/9 . (3x² - 18x - 0) R’’ = -4/9 . (3x² - 18x)2º passo: R’’ = -4/9 . (6x – 18)3º passo: Estudo do sinal de “R”
  107. 107. Resolução – 3º passoR’’ = -4/9 . (6x – 18)(é uma reta crescente; a = 6 > 0)Raiz: -4/9 . (6x – 18)6x = 18x = 18/6x=3
  108. 108. Estudo do caso
  109. 109. RespostaINVESTIR mais de 3 mil dólares empropaganda dará maior retorno nasvendas.
  110. 110. ExercíciosOtimizaçãoPág. 18038 a) ao e)51 a)5254 ao 63Ponto de inflexãoPág 18264
  111. 111. ExercícioFunção custoC = 0,1x² + 5x + 20Função demandaPd = 10 – x/20 Determine x para que o lucro seja máximo e o valor do lucro máximo.
  112. 112. ResoluçãoR = pd . XR = (10 – 0,05x).x = 10x – 0,05x²L=R–CL = 10x – 0,05x² - (0,1x² + 5x + 20)L = 10x – 0,05x² - 0,1x² - 5x – 20 L = 5x – 0,15x² - 20
  113. 113. Passos1º passo: L’ = 5 – 0,3x2º passo:5 – 0,3x-0,3x = -50,3x = 5x = 5/0,3 = 16,6
  114. 114. Passos3º passo: L’’ = - 0,3 (Função constante)4º passo: L’’(16,6) = -0,3 = -x= 16,6 unidades maximiza o lucroValor do lucro máximo: L= 5.16,6 – 0,15 . 16,6² - 20 = $ 21,67
  115. 115. Construção de Gráfico com auxílio das derivadasEsboce o gráfico de f(x) = x4 – x31º passo: Obter as raízes de f(x)x4 – x3 = 0x3 (x – 1) = 0x3 = 0x=0x - 1= 0x=1
  116. 116. 2º passo:Obter os P.M. e F.M. de f(x)[isto é, otimizar f(x)]f’ = 4x³ - 3x²4x³ - 3x² = 0x² (4x – 3) = 0x² = 0x=0ou4x – 3 = 0x = ¾ = 0,75
  117. 117. Continuaçãof’’ = 12x² - 6xf’’(0) = 12 . 0² - 6.0 = 0 nada podemos afirmar sobre x = 0f’’(0,75) = 12 .0,75² - 6 . 0,75 = + 2,25 = +X = 0,75 é P.M.
  118. 118. Continuaçãof’’ = 12x² - 6x12x² - 6x = 0x . (12x – 6) = 0x=0 ou12x – 6=0X=6/12 =x = 0,5
  119. 119. P.I.
  120. 120. Último passo4º passo:Construção do gráfico
  121. 121. Gráfico
  122. 122. Exercício 2F(x) = x4 – 2x²
  123. 123. Resolução1º passo: Raízesx4 – 2x² = 0x² . (x² - 2) = 0x² = 0Oux² - 2 = 0x² = +- 1,41
  124. 124. 2º passo: OTIMIZARf’ = 4x³ - 4x4x³ - 4x = 0x . (4x² - 4) = 0x=0oux = +- 1
  125. 125. f’’ = 12x² - 4f’’ (0) = -4 = - x=0 é P.M.f’’ (1) = 8 = + x=1 é P.M.f’’ (1) = 8 = + x = -1 é P.M.
  126. 126. 3º passo: PIf’’ = 12x² - 412x² - 4 = 012x² = 4x² = 1/3x = +- 0,57
  127. 127. Gráfico
  128. 128. Explicação
  129. 129. 4º passo (Estudo do sinais)
  130. 130. GráficoFinal
  131. 131. Exercício 3F(x) = x³ + 3x² - 9x + 5Sabendo-se que:F(x) = (x-1)² . (x+5)
  132. 132. 1º passo(x-1)² . (x+5)(x – 1)² = 0(x – 1) = 0x =1oux+5=0X = -5
  133. 133. 2º passo OTIMIZARf’ = 3x² + 6x – 93x² + 6x – 9Báskarax = -6 + 12/ 2x’ = 1x’’ = -3
  134. 134. 3º passo PIf’’ = 6x + 66x + 6 = 0x = -1f’’ = 6x + 6f’’ (1) = + x = 1 é PIMf’’ (3) = - x = -3 é PIM
  135. 135. 3º passof’’ = 6x + 66x + 6 = 0x = -1
  136. 136. PI
  137. 137. 4º passo Estudo do Sinal
  138. 138. Gráfico
  139. 139. Exercício 4F(x) = -3x5 + 5x³
  140. 140. Cap. 7 – Integrais pág. 186• Integral indefinidaChamamos de integral indefinida de g(x), e indicamos pelo símbolo. g(x) dx, a uma função f(x) adicionada a uma constante c
  141. 141. Exemplo g(x) . dx = f(x) + cTal que f’(x) = g(x)
  142. 142. 1 - Exercícios2x dx = x² + c 2 derivada
  143. 143. 2 - Exercícios3x² dx = x³ + c 3x² derivada
  144. 144. 3 - Exercícios5dx = 5x + c 5 derivada
  145. 145. Regrasxn dx = xn + 1 / n + 1 + c n diferente de 11/x dx = ln x + c[f(x) +- g(x)] dx = f(x) dx +- g(x) dxK . f(x) dx = K . f(x) dx
  146. 146. 1º regra Pág. 188a) 2x³ dx 2 . x³ dx 2 . x4 / 4 + c x4 / 2 + c
  147. 147. 1º regra b)(x² + 3x) dx x³/3 + 3 . x²/2 + c
  148. 148. 1º regra c)(x³ - 3x) dx x³/3 – 3.x²/2 + x
  149. 149. 2º regra g)5/x dx 5 . Ln x + c
  150. 150. p)2 ex dx 2 . ex + c
  151. 151. d) (5 – x) dx5x – x²/2 + c
  152. 152. e) 5 dx5x + c
  153. 153. f) (3x³ - 2x² + 8x – 6) dx3x4 / 4 – 2.x³ / 3 + 84 . x²/2 – 6x + c
  154. 154. h) (x² + 6/x) dxx³ / 3 + 6 . Ln x + c
  155. 155. j) (x-3 + x² - 5x) dxx-2 / 2 + x³ / 3 - 5x² / 2 + c
  156. 156. k) x dxx1,5 / 1,5 + c
  157. 157. L) 3 5 x dx5 . x1/3 / 1/3 + 1 + c5 . x1/3 / 4/3 + c15.x4/3 / 4 + c
  158. 158. m) 5 + 3 dxx1,5 / 1,5 + x4/3 / 4/3 + c
  159. 159. n) (x² - 3x + 5/ x²) dx (1 – 3/x + 5/x²) dxx – 3lnx + 5.x-1/ 1 + cx – 3lnx - 5.x-1/ 1 + c
  160. 160. q) (3ex + x³) dx3 ex + x4/4 + c
  161. 161. Integral Derivada 10/11
  162. 162. Exemplo5 5 x² dx = x³/3 + c2 2
  163. 163. 5X=55³/3 + c = 125/3 + c
  164. 164. 2X=52³/3 + c = 8/3 + c
  165. 165. Resultado (125/3 + c) - (8/3 + c) = 117/3*sempre será um número!
  166. 166. AplicaçãoCálculo das áreas
  167. 167. Exemplo
  168. 168. Área 2Área = (2x - x²) dx 0
  169. 169. Resolução 2Área = 2 x²/2 – x³/3 + c 0 2Área = x² – x³/3 + c 0
  170. 170. 2X=22² - 2³/3 + c = 4 - 8/3 + c = 12 – 8/3 + c Resultado... 4/3 + c
  171. 171. 0X=00² - 0³/3 + c Resultado... =0+c
  172. 172. Resultado (4/3 + c) - (0 + c) = $4/3*sempre será um número!
  173. 173. Demanda x Oferta
  174. 174. Aplicação econômica: Excedente do Consumidor e do Produtor E.C. E.P.Página 202
  175. 175. 1º E.C. - pág. 201 X equiEC = (Pd – Pequilíbrio) . dx 0
  176. 176. 2º E.P. - pág. 202 X equiEC = (Pequilíbrio - Po) . dx 0
  177. 177. Exemplo
  178. 178. Determine E.C.Resolução:Obter o equilíbrio de mercado:Po = Pdx² + 10 = 30 – xx² + 10 – 30 + x = 0
  179. 179. x² + x - 20 X’ = - 5 (Descartar) X’’ = 4
  180. 180. Substituirx = 4 em Po ou em PEPd = 30 – xPd = 30 – 26Pd = $26Po = x² + 10Po = 4² + 10Po = $26
  181. 181. E.C. 4E.C. = (30 – x – 26) dx 0Resolução... 4= (4 - x) dx 0 4= 4. x – x²/2 + x 0
  182. 182. 4X=44.4 – 4²/2 + c = 16 - 8 + c = Resultado... 8+c
  183. 183. 0X=04.0 – 0²/2 + c Resultado... =0+c
  184. 184. Resultado (8 + c) - (0 + c) = $8*sempre será um número!
  185. 185. E.P. 4E.P. = [26 – (x² + 10) dx] 0Resolução... 4= (16 – x²) dx dx = xn+1/n+1 0 4= 16 . x – x³/3 + x 0
  186. 186. 4X=416.4 – 4³/3 + c = Resultado... 128 + c
  187. 187. 0X=016.0 – 0³/3 + c Resultado... =0+c
  188. 188. Resultado (126/3 + c) - (0 + c) = $126/3O RESULTADO É QUANDO O PRODUTOR GANHA NO EQUILÍBRIO DEMERCADO*sempre será um número!
  189. 189. Exercícios Revisão
  190. 190. As funções Demanda e Custo para um bem são:• Pd = 75 – x• C = 0,5x² = 62x + 125
  191. 191. 1)Determine o E.C. e E.P. Pd = 10 – 0,00001x² e Po = 5 + 0,005x
  192. 192. 1) ResoluçãoEquilíbrio de Mercado: Pd = Po10 – 0,00001x² = 5 + 0,005x- 0,00001x² - 0,005x + 50,000025 + 0,00020,000225
  193. 193. Continução+ 0,005 +- 0,015 / - 0,00002x’ = - 1000 (Descatar)x’’ = +500 unidades
  194. 194. SubstituirPo = 5 + 0,005 xPo = 5 + 0,005 . 500Po = 5 + 2,5Po = $7,5
  195. 195. E.C. 500E.C. = Pd – Pequilíbrio 0E.C. = (10 – 0,00001x² - 7,5) dx= (-0,00001x² – 2,5)dx 500= -0,00001x³/3 – 2,5x + c 0
  196. 196. Continuação= - 0,00001 . 500³/3 + 2,5. 500= - 0,00001 . 125.000.000/3 + 1250= - 0,00001 . 41.666.666,7 + 1250= - 416,667 + 1250= + $833,33
  197. 197. E.P.E.P. = (Pequílbrio – Po)E.P. = [7,5 – (5 + 0,005x)] dxE.P. = 2,5x – 0,005x²/2E.P. = 2,5 . 500 – 0,005 . 500²/2 = $625
  198. 198. 2) Questõesa) b)Que nível de Que nível deprodução (x) produção (x)proporcionará lucro proporcionará customáximo? médio mínimo?
  199. 199. 2) Resoluçãoa) R = pd . XR = (75 – x) . x = 75x – x²L=R–CL = 75x – x² - (0,5x² + 62x + 125)L = -1,5x² + 13x - 125
  200. 200. ContinuaçãoL = -1,5x² + 13x – 1251º passo: Otimizar o LucroL’ = -3x + 132º passo:L’ = 13/3L’ = 4,33 unidades
  201. 201. Continuação3º passo:L’’ = -3 Função Constante4º passo:L’’(4,33) = -(Negativo, logo x = 4,33 unidade maximizará o lucro.)
  202. 202. 2) Resoluçãob) Custo MédioCusto Médio / xCMédio = 0,5x² + 62x + 125 / xCMédio = 0,5x + 62 + 125 / x
  203. 203. Continuação1º passo:Otimizar o custo médio:1º passo: C’Médio = 0,5 – 125 x-22º passo: 0,5 – 125 / x²
  204. 204. Continuação0,5 – 125 / x² = 00,5x² = 125x=x = +- 15,81
  205. 205. Continuação3º passo:C’Médio = - 125 . -2-3C’Médio = 250x-3C’Médio (15,81) = 250 . 15,81-34º passo:C’Médio (15,81) = +(Portanto, logo x = 15,81 minimizará o Custo Médio)
  206. 206. 3) Questão
  207. 207. Determine o limite?lim f(x) = + infinitoX – 5+
  208. 208. b)lim f(x) = - infinitoX – 5-
  209. 209. c)lim f(x) = não existeX–5
  210. 210. OBS:Só existiria se:Lim f(x) = lim f(x)X – 5- X – 5+
  211. 211. d)lim f(x) = 0X + infinitoTende para o zero!
  212. 212. e)lim f(x) = 0X - infinitoTende para o zero!
  213. 213. 3) Questão - Derivea) f(x) = 3x . x² + x³ . ln x Regra do Produtof’(x) = (3x . ln 3 . x² + 3x . 2x) + (3x². ln x + x³. 1/x) = (3x . ln 3 . x² + 3x . 2x + 3x². ln x + x²)
  214. 214. b)f(x) = 3x / x² + x³ / ln x Regra do Quocientef’(x) = 3x ln 3 - 3x. 2x / x4 + 3.x² . ln x – x³ . 1/x/ (ln x)² f’(x) = 3x ln 3 - 3x. 2x / x4 + 3.x² . ln x – x² / (ln x)²

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