Metodo de cramer

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Metodo de cramer

  1. 1. ALGEBRA LINEAL<br />METODO DE CRAMER<br />
  2. 2. PRESENTADOR POR:<br />LINA MARCELA SARRIA – 135408 <br />MICHAEL GERMAN APRAEZ – 135418<br />
  3. 3. Ejercicios resueltos por el: METODO DE CRAMER<br />a) x-2y+z = 5 Se cambia el sistema de 1 -2 1 5<br />2x-y-2z = -1 ecuaciones de 3x3 a la 2 -1 2 -1<br /> x+3y+z = 0 matriz de coeficientes 1 3 1 0<br />El siguiente paso es hallarlos valores de X, Y y Z: para eso sacamos 4 determinantes:<br />Determinantes del sistema = det (A)<br />Determinante de X = det ( A1)<br />Determinante de Y = det (A2)<br />Determinante de Z = det (A3)<br />
  4. 4. Para obtener el determinante del sistema se toma la matriz y le aumentamos dos filas mas con los coeficiente de las primeras dos filas y comenzamos a multiplicar :<br />Det (A) X Y Z<br />1 -2 1 Se multiplica en diagonal de derecha <br />2 -1 -2 a izquierda y viceversa<br />1 3 1<br /> 1 -2 1 = [-1 + 6 + 4] – [-1 - 6 - 4]<br /> 2 -1 -2 = [9] – [-11]<br /> = 9 + 11<br /> = 20<br />El siguiente paso es sacar los determinantes de las variables:<br />Det (A1)<br /> X Y Z<br /> 5 -2 1Para sacar el determinante de X remplazamos los <br />-1 -1 -2 coeficientes de la columna de X por los terminos <br /> 0 3 1 independientes:<br />5-2 1<br /> -1 -1 -2<br />
  5. 5. Determinante (A1)<br /> X Y Z<br /> 5 -2 1 Para hallar el Determinante de (A1) se hace <br /> -1 -1 -2 igual que al Determinante (A):<br /> 0 3 1 <br /> 5 -2 1 = [-5 -3 + 0] – [0 -30 + 2]<br /> -1 -1 -2 = [-8] – [-28]<br /> = -8 + 28<br /> = 20<br />Determinante (A2)<br /> X Y Z<br /> 1 5 1 Para obtener el determinante de Y remplazamos los <br /> 2 -1 - 1 coeficientes de la columna de Y por los valores de <br /> 1 0de igualación, como en el determinante anterior:<br /> 1 5 1 <br />2 -1 -2<br />
  6. 6. Determinante (A2)<br /> X Y Z<br /> 1 5 1 = [-1 +0 -10] – [-1 +0 +10] <br /> 2 -1 -2 = [-11]-[9] <br /> 1 0 1 = -11 - 9<br /> 1 5 1 = -20<br /> 2 -1 -2<br />Determinante (A3)<br /> X Y Z Para hallar el determinante de Z se <br /> 1 -2 5 remplaza la columna de Z por los coeficiente<br /> 2 -1 -1 de igualacion como lo hemos hecho<br /> 1 3 0 anteriormente:<br /> 1 -2 5 <br /> 2 -1 -1<br /> X Y Z <br /> 1 -2 5 = [0 +30 +2] - [-5 -3 +0]<br /> 2 -1 -1 = [32] – [-8] <br /> 1 3 0 = 32 + 8<br /> 1 -2 5 = 40<br /> 2 -1 -1<br />
  7. 7. Utilizamos la formula :<br />X = Det (A1) Y = Det (A2) Z = Det (A3)<br /> Det (A) Det (A) Det (A)<br />X = 20/20 =1 Y = -20/20 =-1 Z = 40/20 =2<br />Los valores de las variables son:<br />X = 1 Y = -1 Z= 2<br />
  8. 8. 3x -4y +6z = 7 Este sistema de ecuaciones de 3x3 se resulve de la misma<br /> 5x +2y -4z = 5forma que el primer ejercicio.<br /> x +3y -5z =3<br />X Y Z TI<br /> 3 -4 6 7 Se obtiene el determinante del sistemas <br /> 5 2 -4 5<br /> 1 3 -5 3<br />X Y Z<br /> 3 -4 6 = [-30 +90 +16] - [12 -36 +100]<br /> 5 2 -4 = [76] – [76]<br /> 1 3 -5 = 76 - 76<br />3 -4 6 = 0<br /> 5 2 -4 <br />Este sistema de ecuaciones lineales de 3x3 no tiene solucion por que el determinante del sistema da 0<br />
  9. 9. X +3y +z = 0 1 3 1 0 <br />2x +y -3z = 5 2 1 -3 5<br />-x +7y +9z = a -1 7 9 a<br />Se obtieneel determinante del sistema<br />Determinante (A)<br /> 1 3 1 = [9 + 14 +9] – [-1 -21 +54]<br /> 2 1 -3 = [32] – [-32]<br />-1 7 9 = 32 +32<br /> 1 3 1 = 64<br /> 2 1 -3<br />Det (A1) <br /> X Y Z<br /> 0 3 1 = [0 +35 +9a] – [a – 0 +135]<br />5 1 -3 = [35 – 9a] – [a + 135]<br /> a 7 9 = 35 – 9a - a - 135 <br /> 1 3 1 = -100 -10a <br /> 2 1 -3<br />
  10. 10. Determinante (A2)<br /> X Y Z<br /> 1 0 1 = [45 + 2a +0] – [-5 -3a +0]<br /> 2 5 -3 = [45 + 2a ] – [-5 - 3a ]<br />-1 a 9 = 45 + 2a + 5 + 3a<br /> 1 3 1 = 50 + 5a <br /> 2 1 -3<br />Determinante (A3)<br />X Y Z<br /> 1 3 0 = [a + 0 -15] – [0+ 35 +6a ]<br />2 1 5 = [a – 15 ] – [35 + 6a ]<br />-1 7 a = a – 15 – 35 – 6a <br /> 1 3 1 = -50 -5a <br /> 2 1 -3<br />X= -100 -10a0/64 = -3205a/32 Y=50+5a/64=3250a/64 Z=-50 –5a/64=-3250a/64 <br />

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