TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN HỌC
NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG
TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM SÁNG TẠO
Bùi Văn Lợi 17S1011071
Email: builoidhsphue@gmail.com
GVHD: Nguyễn Đăng Minh Phúc
Huế , ngày 21 tháng 5 năm 2019

2
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thiện bài tiểu luận về chủ đề “Những sai lầm của học sinh khi xác định
đường tiệm cận” là sự giúp đỡ, hƣớng dẫn của rất nhiều từ những giảng viên, học sinh
và các bạn liên quan:
Xin cảm ơn Thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc đã tận tình giảng dạy cho em kiến thức và
bổ sung kinh nghiệm vốn có của mình để em có thể hoàn thành bài tiểu luận này một
cách thuận lợi.
Cảm ơn các bạn của các Trƣờng THPT Hai Bà Trƣng, THPT Nguyễn Huệ, THPT Cao
Thắng, THPT Thuận Hóa… đã dành một chút thời gian ôn thi của mình để tận tình
giúp đỡ hoàn thành phiếu kiểm tra, góp phần không nhỏ để em hoàn thiện bài tiểu luận
này.
Xin cảm ơn ban quản lý Trung Tâm Học Liệu- Đại học Huế ( 23 Lê Lợi – TP Huế) đã
nhiệt tình tạo điều kiện tốt nhất cho em để em hoàn thành tốt chỉ tiêu phiếu kiểm tra
học sinh ngay tại khu vực.
Xin cảm ơn.

3
LỜI NÓI ĐẦU
“Xin làm đường tiệm cận
Mỗi ngày một gần thêm
Rồi một chiều giông bão sẽ lặng yên
Nơi vô định thuyền hai ta cập bến” ( Sưu tầm )
Nhƣ chúng ta đã biết thì khái niệm đƣờng tiệm cận là hai đƣờng không ngừng đi sát lại gần
nhau nhƣng không bao giờ gặp nhau .Nhƣng cách tìm đƣờng tiệm cận của hàm số ấy liệu có
đơn giản? Trong các bài thi THPT Quốc gia thì các bài toán tìm các đƣờng tiệm cận thuộc
phân khúc dễ lấy điểm nhất nhƣng nếu không hiểu rõ đúng bản chất thì việc sai sót là điều dễ
thấy .Đƣờng tiệm cận của đồ thị liên quan chặt chẽ tới phép tính giới hạn. Nhiều bạn không
nắm đƣợc định nghĩa mà chỉ nhìn vào hình thức của hàm số và suy đoán một cách máy móc
nên dẫn tới sai lầm khi tìm đƣờng tiệm cận, chính vì vậy em mạnh dạn đƣa ra những hiểu
nhầm và sai lầm thƣờng thấy nhất của học sinh khi xác định đƣờng tiệm cận.
Với mục tiêu là xác định đƣợc những sai sót thƣờng gặp nhất của học sinh THPT khi xác định
các bài toán về đƣờng tiệm cận và đề xuất ra các hƣớng giải pháp dễ hiểu qua đó giải quyết
đƣợc bài toán một cách chính xác nhất ngoài ra bài tiểu luận này em cũng xin giới thiệu thêm
một số cách dễ nhớ các phƣơng pháp giải mới cho học sinh dễ dàng áp dụng.
Ở trong bài tiểu luận này , sẽ có 3 phần riêng biệt nhƣ sau :
Phần A : Ở đây em sẽ trình bày lý thuyết nội dung về đƣờng Tiệm cận mà chúng ta đã học ở
chƣơng trình lớp 12 THPT , đƣa ra một số bài toán ví dụ, tiền đề cho phiếu kiểm tra ở phần B.
Phần B : Nhƣ đã nêu ở phần A thì ở phần này em sẽ tóm tắt sơ bộ quá trình kiểm tra đánh giá
để tìm ra kết quả cuối cùng bằng các đồ thị hình cột . Công cụ khảo sát là phiếu kiểm tra (30
học sinh tại TTHL–23 Lê Lợi- Huế ) , xác đinh dạng câu tỉ lệ sai nhiều nhất và tìm ra cách giải
hợp lý, giải các bài tập ví dụ và đƣa ra các câu hỏi vận dụng.
Phần C : Đƣa ra kết luận quá trình, trình bày một số cách giải nhanh , cách dễ nhớ để xác
định tiệm cận.
Hi vọng với một số kiến thức nhỏ này có thể cung cấp những kiến thức thông tin hữu ích cho
các học sinh cũng nhƣ các bạn đọc đề tài này của mình . Trong bài tiểu luận này có thể có một
số lỗi lầm không đáng có, mong các bạn có thể ủng hộ chỉnh sửa và đóng góp giúp mình để
mình có thể hoàn thiện bài làm một cách xuất sắc nhất . Mình xin chân thành cảm ơn .
Bùi Văn Lợi

4
Mục lục
LỜI CẢM ƠN ..........................................................................................................................................2
LỜI NÓI ĐẦU .........................................................................................................................................3
Mục lục.....................................................................................................................................................4
A. LÝ THUYẾT ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ......................................................................5
1. Khái niệm tiệm cận hàm số..........................................................................................................5
2. Định nghĩa tiệm cận đứng (TCĐ) và tiệm cận ngang (TCN).......................................................5
a. Tiệm cận ngang (TCN) ............................................................................................................5
b. Tiệm cận đứng (TCĐ)..............................................................................................................6
c. Dấu hiệu nhận biết TCĐ và TCN.............................................................................................7
d. Ví dụ minh họa.........................................................................................................................7
e. Chú ý:.......................................................................................................................................8
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ............................................................................................................8
1) MỤC TIÊU KIỂM TRA ..............................................................................................................8
2) ĐỐI TƢỢNG ...............................................................................................................................8
3) NỘI DUNG CÂU HỎI.................................................................................................................9
4) KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ..........................................................................................................9
5) PHÂN TÍCH VÀ GIẢI ĐÁP .................................................................................................... 11
6) NHẬN XÉT .............................................................................................................................. 16
7) VÍ DỤ TƢƠNG TỰ.................................................................................................................. 16
8) BÀI TẬP TỰ LUYỆN .............................................................................................................. 17
C. KẾT LUẬN................................................................................................................................... 18
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................................................... 20

5
A. LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
1. Khái niệm tiệm cận hàm số
Cho hàm số ( )y f x có đồ thị (C). Điểm M ∈ (C), MH là khoảng cách từ M
đến đƣờng thẳng d.
Đƣờng thẳng d gọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu :
Khoảng cách MH dần về 0 khi x   hoặc 0x x
2. Định nghĩa tiệm cận đứng (TCĐ) và tiệm cận ngang (TCN)
a. Tiệm cận ngang (TCN)
Cho hàm số ( )y f x xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng (a ;
+∞) , (-∞ ; b) hoặc (-∞ ; +∞ ) ). Đƣờng thẳng y = y0 đƣợc gọi là đƣờng tiệm
cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số ( )y f x nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau đƣợc thỏa mãn:
  0lim
x
f x y

 ;   0lim
x
f x y


Hình 1: Hàm số có tiệm cận ngang là 0y y
Chú ý :

6
 Nếu lim ( )
x
f x

 lim ( )
x
f x

 q thì ta có thể viết chung là lim ( )
x
f x q


 Hàm số có TXĐ không phải các dạng sau : (a ; +∞) , (-∞ ; b) hoặc (−∞
; +∞) thì đồ thị không có tiệm cận ngang.
b. Tiệm cận đứng (TCĐ)
Đƣờng thẳng 0x x đƣợc gọi là đƣờng tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận
đứng) của đồ thị hàm số  y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đƣợc
thỏa mãn:
0
lim ( )
x x
f x

  ,
0
lim ( )
x x
f x

  ,
0
lim ( )
x x
f x

  ,
0
lim ( )
x x
f x

 
Hình 2: Hàm số có tiệm cận đứng là 0x x
Chú ý:
 Với đồ thị hàm phân thức dạng
ax b
cx d
y



( 0, 0c ad bc   ) luôn có tiệm
cận ngang là
a
y
c
 và tiệm cận đứng
d
y
c
 
 Hàm đa thức không có tiệm cận

7
c. Dấu hiệu nhận biết TCĐ và TCN
 Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử thì hàm số
có tiệm cận đứng
 Hàm phân thức mà bậc tử bé hơn hoặc bằng bậc mẫu thì hàm số có tiệm
cận ngang
 Hàm căn thức dạng: ( ) ( ), ( ) ( )...y h x g x y h x g x    có tiệm cận
ngang ( dùng liên hợp để làm những dạng này )
d. Ví dụ minh họa
1, Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
2 3
4
x
y
x



Ta có hình vẽ biểu thị hàm số trên trục tọa độ ( Hình 3 )
Hình 3
Hướng dẫn :
Hàm số xác định với mọi 4x  
2 3
lim lim 2
4x x
x
y
x 

 

=> Đƣờng thẳng 2y  là tiệm cận ngang
4 4
2 3
lim lim
4x x
x
y
x 
 

  

=> Đƣờng thẳng x = -4 là tiệm cận đứng
2, Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1
1
x
y
x



Hướng dẫn :
Hàm số xác định với mọi 0, 1x x 
1 1
1
lim lim
1x x
x
y
x 
 

  

⇒ Đƣờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng

8
1
lim lim 1
1x x
x
y
x 

 

⇒ Đƣờng thẳng y=1 là tiệm cận ngang.
3, Tìm m để hàm số
2
5 3
mx
y
x


 
có tiệm cận ngang là đƣờng thẳng 10.y 
Hướng dẫn :
Để hàm số nhận đƣờng thẳng y=10 làm tiệm cận ngang thì :
2
105
.3 2.( 5) 0
m
m
m


  
   
Vậy với 10m   thì hàm số có tiệm cận ngang là 10.y 
e. Chú ý:
Trƣớc mỗi bài tập xác định tiệm cận, chúng ta cần xác định tập xác định của
hàm số trƣớc. Sau khi dự đoán tiệm cận của bài toán chúng ta cần so sánh lại
xem tiệm cận có thuộc tập xác định không rồi sau đó mới kết luận.
B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1) MỤC TIÊU KIỂM TRA
 Kiểm tra hiểu biết của học sinh khi xét các đƣờng tiệm đồ thị
 Mức độ hiểu biết của học sinh về các dạng bài biện luận ẩn.
 Đánh giá năng lực của học sinh hiểu biết về chủ đề tiệm cận khi kì thi THPT
Quốc Gia đang cận kề
2) ĐỐI TƢỢNG
 Học sinh lớp 12 các trƣờng THPT tại địa bàn TP Huế ( THPT Cao Thắng,
THPT Hai Bà Trƣng, THPT Nguyễn Huệ, THPT Thuận Hóa )
 Địa điểm khảo sát là khu vực Trung tâm học liệu- Đại học Huế, 23 Lê Lợi
Huế

9
3) NỘI DUNG CÂU HỎI
Nhằm phân loại các mức độ câu hỏi để đạt mục điêu đề ra, em xin phân loại phiếu
kiểm tra gồm 3 mức độ tăng dần như sau:
a) Mức độ hiểu biết ( 2 câu ) :
Ở mức này , em sẽ đƣa ra các câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết mức đơn giản nhận
biết nhất, gồm 2 câu hỏi nhận biết .
 Câu 1 :Cho hàm số ( )y f x Nếu  lim
x a
f x

 thì :
Đáp án : x = a là tiệm cận đứng.
 Câu 2: Cho hàm số  
2
x
y f x
x
 

có đồ thị là ( C ). ( C) có đƣờng tiệm
cận là ?
Đáp án : đƣờng thẳng x = 2 là tiệm cận đứng và đƣờng thẳng y = -1 là tiệm
cận ngang của đồ thị hàm số
b) Mức độ vận dụng ( 2 câu )
Sau khi học sinh trả lời ở mức độ đầu tiên thì tới ở mức vận dụng thông thƣờng
.Ở mức này, em sẽ đƣa ra một số câu hỏi trắc nghiệm vận dụng để đánh giá
hiểu biết của các học sinh , trong đó 1 câu vận dụng thấp – dựa trên hiểu biết
thông thƣờng và 1 câu vận dụng thông thƣờng - ở đây sẽ yêu cầu các em thể
hiện mức hiểu bài .
 Câu 3: Cho bảng biến thiên sau, hãy xác định các câu đúng ?
 Câu 4: Cho hàm số   2
1
x
y f x x
x
  

. Hàm số có bao nhiêu đƣờng tiệm
cận đứng và tiệm cận ngang ?
Đáp án : Có 2 tiệm cận đứng , không có tiệm cận ngang
c) Mức độ vận dụng cao ( 2 câu )
Ở đây thì em đƣa ra 2 câu hỏi vận dụng cao , yêu cầu làm tự luận , học sinh cần
suy nghĩ kĩ càng hơn, tƣ duy hơn. Qua đó đánh giá mức hiểu của học sinh . Ở
đây em sẽ giải thích một cách dễ hiểu nhất có thể, giúp học sinh vận dụng vào
những bài vận dụng khác.
 Câu 5: Tìm m để đồ thị
2
2x x
y
x m
 


không có tiệm cận đứng.
 Câu 6 : Biện luận theo m số các tiệm cận của đồ thị hàm số
2 2
2
1
x mx m
y
x
 


4) KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Sau khi khảo sát nhanh với 30 học sinh tại TTHL , thu đƣợc kết quả của 2 mức độ
câu hỏi trắc nghiệm nhƣ sau:

10
 Về mức độ nhận biết, đa số các bạn đều đã có sự hiểu biết của bản thân, đƣa ra
các câu trả lời đúng .
Hình 4
 Về mức độ vận dụng : Bắt đầu ở mức độ này thì dần có sự phân hóa nhìn biểu
đồ ( Hình 5 ) dễ dàng rút ra đƣợc ở câu hỏi quan sát bảng biến thiên ( Câu 2) thì
có sự hiểu nhầm chọn sai đáp án khá cao ( 60%), cụ thể :
Hình 5
 Về mức độ vận dụng cao: Ở đây số lƣợng các bạn thực hiện trả lời câu hỏi là
khá thấp ( chỉ 15/30 phiếu điều tra ), có một số bài sẽ đƣợc chọn để phân tích
sai lầm ở phần dƣới.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Câu 1 Câu 2
Sai
Đúng
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Câu 3 Câu 4
Sai
Đúng

11
5) PHÂN TÍCH VÀ GIẢI ĐÁP
Ở phần này , Câu 2, Câu 5, Câu 6 là 3 câu dễ sai nhất qua đó để cùng phân tích điểm
sai của mỗi bài:
Câu 3: Cho hàm số là hàm số xác định trên R∖{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác
định và có bảng biến thiên nhƣ sau. Mệnh đề nào dƣới đây đúng?
Trong tổng số 18 câu trả lời sai , đa số
các bạn chọn đáp án D: Hàm số có giá
trị lớn nhất bằng 5.
Dự đoán sai lầm :
Khi x dần tới vô cùng thì giá trị tại y
bằng 5 nên Max = 5
Phân tích sai lầm:
Nhìn qua về khái niệm giá trị lớn nhất ta có thể dễ thấy rằng 5 là giá trị lớn nhất của
hàm số khi x   , x không xác định đƣợc, nên chƣa thể kết luận 5 là giá trị lớn nhất
của hàm số.
Học sinh hiểu sai về khái niệm tiệm cận của đồ thị hàm số, hãy cùng nhắc lại về định
nghĩa : lim lim ( )
x x
y f x k
 
  nên y k là tiệm cận ngang.
Vậy, ở trong đáp án này thì do lim 5
x
y

 nên 5y  là tiệm cận ngang nên D chƣa chính
xác hoàn toàn của bài toán.
Lời giải đúng của bài toán là :
Do lim 0
x
y

 ; lim 5
x
y

 nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là đƣờng thẳng y=0
và y=5.
Do
1
lim
x
y

  nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đƣờng thẳng x=1.
Câu 5: Tìm m để đồ thị
2
2x x
y
x m
 


không có tiệm cận đứng.
Ở đây đa số bài làm của các bạn đều hiểu sai hoặc chƣa nắm bắt rõ nội dung câu hỏi.
Một số bài làm nổi bật của các bạn nhƣ sau:

12
Bài làm của bạn: Hoàng Quốc Việt –THPT Hai Bà Trưng
Dự đoán sai lầm:
Do đồ thị hàm số
2
2x x
y
x m
 


không xác định tại x m nên theo cách hiểu của Việt
thì chỉ tìm m sao cho:
2
lim
2
lim
x k x k
x
A
x
y
x
m 
 


   thì hàm số không có tiệm cận ngang
Theo Việt nhận thấy bậc của tử lớn hơn bậc mẫu ( 2 > 1) nên khi x tiến tới bất kì giá trị
nào thì hàm số luôn có tiệm cận nên không tồn tại m thỏa mãn bài toán.
Phân tích sai lầm:
Việt quên rằng , tử có thể phân tích thành 2
2 ( 1)( 2)x x x x     nên tồn tại m để tử
thanh gọn cho mẫu. Và đa thức thì không có các đƣờng tiệm cận !!!
Sai lầm nhiều bạn ở đây là khi viết lim
x m
y

  nhiều bạn khi tìm đƣờng tiệm cận đứng
của hàm phân thức
( )
( )
u x
y
v x
 thƣờng giải phƣơng trình ( ) 0v x  để tìm x từ đó suy ra
ngay tiệm cận đứng. Đây là sự máy móc không có cơ sở nên rất dễ mắc sai lầm, đặc
biệt ở các câu hỏi trắc nghiệm.

13
Bài làm của bạn: Bùi Thị Mỹ Linh- THPT Cao Thắng có cách giải khác sau:
Ở đây, Linh đã nhận thấy có thể thanh gọn của tử cho mẫu khi m nhận các giá trị:
( 2)( 1)
2
x x
y x
x m
 
  

khi 1m  và 1x khi 2m  
Và đa thức P[x] luôn luôn không có đƣờng tiệm cận.
Nhìn qua thì có vẻ hợp lý và chính xác khi giải theo cách trắc nghiệm nhƣng bạn chƣa
thể biểu đạt đầy đủ các điều kiện của bài toán ( thiếu tập xác định , xét giới hạn )
Lời giải đúng của bài toán:
Tập xác định của hàm số là x m
Do đó do tính liên tục ta có lim ( )
x a
y f a

 với a m
Suy ra các đƣờng thẳng x = a với a m không phải là tiệm cận đứng của đồ thị
Ta có lim
x m
y

  nếu [ 2;1]m   và nếu -2 < m < 1 .
Vậy với 2, 1m m   thì x=gtm là tiệm cận đứng.
Xét m = 1 thì 2y x  với 1x  không có tiệm cận đứng
Xét m = -2 thì 1y x  với 2x   không có tiệm cận đứng
Tóm lại: Đồ thị không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi m = 1 hoặc m = -2
( Đây là hai trƣờng hợp đƣờng Hybebol suy biến thành hai nửa đƣờng thẳng )

14
Câu 6: Biện luận theo m số các tiệm cận của đồ thị
2 2
2
1
x mx m
y
x
 


*Bài làm của bạn: “Giấu tên’’- THPT Nguyễn Huệ
Ở đây , bạn nhanh chóng nhận ra ở trong căn có hằng đẳng thức và thanh gọn dấu căn
kèm theo dấu giá trị tuyệt đối:
 
2
2 2
2
1 1 1
x m x mx mx m
y
x x x
  
  
  
Dự đoán sai lầm:
Do nhận thấy hàm số có giá trị tuyệt đối ,bạn đã đƣa ra xét theo 2 trƣờng hợp một cách
máy móc và sai lầm. Xin phép đƣợc trình bày lại bài làm của bạn nhƣ sau:
1
x m
y
x



Nếu 0x m x m x m      và lim 1
1x
x m
x



Nên 1y  là tiệm cận ngang
Nếu 0x m x m x m       và lim 1
1x
x m
x
 
 

Nên 1y   là tiệm cận ngang
Phân tích sai lầm:
Ở đây học sinh đã hiểu sai đề ra của bài toán, bạn chỉ có mục đích là tìm các đƣờng
tiệm cận của hàm số nhƣng chƣa thể biện luận tại các giá trị m. Nhìn chung thì đáp án
bạn đƣa ra cuối cùng rất chính xác theo sự lựa chọn. Nhƣng đối với một bài biện luận
theo m thì chƣa đạt đƣợc yêu cầu.

15
*Bài làm của bạn: “Giấu tên” - THPT Hai Bà Trưng
Ở đây bạn lại có cách giải khác tìm đƣợc 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang, xin
đƣợc viết lại bài của bạn nhƣ sau:
Do
1
lim
x
y

  nên 1x  là tiệm cận đứng
Do
2
2
2
1
lim lim 1
1
1
x x
m m
x xy
x
 
 
 

nên 1y  là tiệm cận ngang.
Dự đoán sai lầm:
Về xác định đƣờng tiệm cận đứng thì bạn đã xác định chính xác theo cách hiểu của
bản thân, còn khi xác định đƣờng tiệm cận ngang thì bạn đã liên tƣởng đến cách tìm
giới hạn của bậc trong căn thức khi một số dần về vô cùng. Hiển nhiên bạn đã vô tình
chấp nhận với mọi m thỏa mãn. Đó là một sai lầm.
Phân tích sai lầm:
Ở lời giải trên khi tính lim
x
y

đã đƣa số hạng x vào trong dấu căn bậc hai mà không xét
tới dấu của x nên đã sai lầm.
Lời giải đúng của bài toán:
Do
 
2
2 2
2
1 1 1
x m x mx mx m
y
x x x
  
  
  
, do đó với 1m   thì
1
lim 1
x
y

 và
1
lim 1
x
y

  . Vậy khi 1m   thì đồ thị không có tiệm cận đứng.

16
Với 1m  thì
1
lim
x
y

  và
1
lim
x
y

  nên đồ thị có tiệm cận đứng x = 1
Ngoài ra lim 1
x
y

 và lim 1
x
y

  nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang 1y  
Kết luận: Với mọi 1m  thì hàm số có 1 đƣờng tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang
6) NHẬN XÉT
Nhìn chung tất cả các bài làm của bạn đã đạt đƣợc yêu cầu về đáp án và sự chính xác
đặc biệt là ở trong 4 câu hỏi trắc nghiệm- đa số các bạn đã có kiến thức về đƣờng tiệm
cận, hiểu khái niệm và cách xác định đƣờng tiệm cận. Tuy nhiên, vẫn có sự sai sót
nhầm lẫn trong sự lựa chọn đáp án của các bạn. Một phần xuất phát về sự chƣa hiểu rõ
đề hay chƣa chịu quan sát kĩ bài làm mà vội khoanh đáp án. Tuy đây là bài kiểm tra
nhỏ chƣa biểu hiện hết độ khó nhƣng với những sự sai sót này thì trong các bài kiểm
tra lớn các bạn sẽ dễ dẫn tới nhầm lẫn sau này.
Về 2 câu hỏi tự luận, ở đây mình chọn các câu hỏi biện luận về ẩn trong các dạng bài,
quả thực trong 2 câu này đã làm khó cho một số bạn. Có thể do một số hoàn cảnh các
bạn không thể giải các bài tự luận về toán đƣợc, đặc biệt là các bài toán về đƣờng tiệm
cận – một trong những phần dễ nhất trong các đề thi THPT. Một số bạn vẫn chƣa hiểu
cách giải bài toán biện luận, chỉ nhắm tới kết quả cuối cùng. Hi vọng các bạn sẽ hiểu
và nắm bắt các dạng bài toán về xác định đƣờng tiệm cận.
7) VÍ DỤ TƢƠNG TỰ
Dƣới đây là một số ví dụ tƣơng tự và cách giải hợp lý:
Ví dụ 7.1: Tìm các đƣờng tiệm cận của đƣờng 2
3
1
y
x


Dự đoán sai lầm : Một số bạn khi gặp các hàm số dạng
( )
( )
u x
y
v x
 thì xét ( ) 0v x  để tìm
tiệm cận đứng . Đó là một sai lầm, các bạn chƣa hiểu rõ và làm một cách máy móc rất
nguy hiểm. Ở đây sai lầm là với 1x   thì 2
1 0x  nên có
1
lim
x
y

  vậy đồ thị có 2
đƣờng tiệm cận đứng là 1x  
Do TXĐ của hàm số là (-1;1) nên lim
x
y

không tồn tại , suy ra đồ thị không có tiệm
cận ngang

17
Phân tích sai lầm: Vì tập xác định là (-1;1) nên chỉ có
1
lim
x
y

  và
1
lim
x
y

  . Do
đó không viết
1
lim
x
y

 
Ví dụ 7.2: Số đƣờng tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị
2 2
2
4 1 3 2x x
y
x x
  


Dự đoán sai lầm: Mẫu có nghiệm là 0x  và 1x  nên đa số học sinh sẽ kết luận ngay
đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng. Đó là bẫy bài toán !!!
Phân tích sai lầm: Trƣớc tiên thì cần xác định TXĐ của hàm số. Ta có
TXĐ D =
1 1
( ; ] ;1 (1; )
2 2
  
    
và ta thấy 0x D  nên 0x  không phải là tiệm
cận đứng. Ta xét :
2 2
2
1 1
4 1 3 2
lim lim
x x
x x
y
x x 
 
  
  

và
2 2
2
1 1
4 1 3 2
lim lim
x x
x x
y
x x 
 
  
  

Suy ra x = 1 là tiệm cận đứng của hàm số.
Xác định tiệm cận ngang:
2 2
2
4 1 3 2
lim lim 3
x x
x x
y
x x 
  
 

và
2 2
2
4 1 3 2
lim lim 3
x x
x x
y
x x 
  
 

Suy ra y = 3 là tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đƣờng tiệm cận ( 1 TCĐ và 1TCN )
Ví dụ 7.3: Tìm điều kiện của m để hàm số
2
4
2
mx
y
x



có 3 đƣờng tiệm cận
Giả sử tồn tại m để hàm số có 3 đƣờng tiệm cận
Nhìn qua ta có thể dễ dàng xác định đƣợc đồ thị có 1 tiệm cận đứng là x = -2 , do bậc
tử bằng bậc mẫu nên đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên. Vậy hàm số phải có 2
đƣờng tiệm cận ngang
Ta có
2 2
4
4
lim lim
2 2x x
x m
mx x m
x x 


  
 
. Nên để có 2 tiệm cận ngang thì m > 0
8) BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 8.1: Tìm các đƣờng tiệm cận của đồ thị:
a, 2
1y x x   b,
2
2
2
2 3
x x
y
x x
 

 

18
c, 2
1
3
x
y
x



d,
sinx
y
x

Bài 8.2: Biện luận số tiệm cận của đồ thị
a, 2
1
4
x
y
x x m


 
b,
2
4
3
x x m
y
x
 


Bài 8.3: Tìm các đƣờng tiệm cận của đồ thị
a, 2
log( 3 2)y x x  
b,
4
2
2 2
x
y
x x

 
Bài 8.4: Tìm điều kiện của m để hàm số 2
2 1
4
x
y
mx



có 4 tiệm cận?
C. KẾT LUẬN
Trong các đề thi vào Đại học có nhiều dạng toán mà trong chƣơng trình sách giáo khoa
không đƣợc giới thiệu, trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân trong quá trình học
tập, em xin mạnh dạn đƣa ra một số bài tập của Đƣờng tiệm cận hàm số ( Phần B mục
8 ) và một số cách giải dễ nhớ, nhanh chóng nhƣng vẫn hƣớng tới cho học sinh hiểu về
phần này, đặc biệt trong các kì thi THPT Quốc Gia luôn xuất hiện những câu hỏi về
đƣờng tiệm cận để giành lấy số điểm tối đa .
Một số cách xác định đường tiệm cận nhanh chóng và chính xác nhất:
*Tiệm cận của đồ thị hàm phân thức
( )
( )
u x
y
v x
 có tập xác định là D
Xác định tiệm cận đứng:
Muốn biết hàm số có tồn tại tiệm cận hay không , hãy giải phƣơng trình ( ) 0v x  để tìm
nghiệm. Nên nhớ đây là nghiệm chứ không phải là tiệm cận !!! Sau khi tìm đƣợc
nghiệm 0x x thì xem xét nghiệm 0x có phải là nghiệm của tử ( )u x hay không.
Nếu 0x không là nghiệm của ( )u x thì đồ thị hàm số nhận 0x x làm tiệm cận đứng
Nếu 0x là nghiệm của đa thức ( )u x thì ta phân tích tử thành nhân tử :
0
0
( ) . ( )( )
( ) ( ) . ( )
m
n
x x h xu x
v x x x g x




19
Nếu m n thì nhận 0x x làm tiệm cận đứng còn nếu m n thì 0x x không làm tiệm
cận hàm số
Xác định tiệm cận ngang:
Để tồn tại tiệm cận ngang thì trƣớc tiên tập xác định D phải chứa và  . Nếu D
có dạng [ ; ]a b , ( ; )a b , ( ; ]a b hay [ ; )a b thì hàm số không có tiệm cận ngang
D đủ điều kiện thì ta xét bậc của tử và mẫu : “ Nếu bậc của tử lớn hơn bậc mẫu thì hàm
số không có tiệm cận ngang, nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì hàm số có 1 tiệm
cận ngang là 0y  . Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì tiệm cận ngang xác định là tỉ số giữa
hệ số cao nhất của tử với hệ số cao nhất của mẫu”
*Hàm đa thức P[x] : không có tiệm cận “ Ví dụ: 2
3y x  , 2019
2019y x  , 5y x  ”
*Hàm có dạng
0( )m
k
y
x x


có 2 đƣờng tiệm cận đó là 0x x là tiệm cận đứng và 0y 
là tiệm cận ngang.
Tóm lại: Vậy bài tiểu luận này em đã hoàn thành xong mục tiêu mà mình đề ra :
- Xác định lỗi sai thƣờng gặp nhất khi xác định các đƣờng tiệm cận
- Phân tích và giải đáp về những sai lầm mà học sinh thƣờng mắc phải
- Đƣa ra một số cách giải nhanh, hiệu quả qua đó giúp đỡ cho học sinh có thể
củng cố vững chắc kiến thức trƣớc kì thi THPT Quốc Gia sắp tới.
Hi vọng với một số kiến thức nhỏ này có thể giúp ích cho các bạn, cảm ơn đã quan
tâm.
Sinh Viên: Bùi Văn Lợi

20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2009), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo
dục.
2) Admin,(7-2017), Lý thuyết và bài tập tiệm cận của đồ thị hàm số, toanpt.com
3) Phạm Trọng Thƣ, (2012), Tuyển chọn 36 đề thử sức Đại học môn Toán, Nhà
xuất bản Đại Học Sƣ Phạm.
4) Trần Phƣơng, (09/2014), Những Sai Lầm Trong Giải Toán Phổ Thông, NXB
Đại Học Quốc Gia Hà Nội.