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Professor Arthur Moraes Cremonezi 1
Cálculo Diferencial e Integral 3
Coordenadas Esféricas
LEMBRETE - Conversão de Coordenadas
(Cilíndricas - Retangulares)
Para converter de coordenadas cilíndricas para
coordenada...
é o ângulo entre o
eixo positivo e o vetor
.OP
uuur
z
é o mesmo ângulo que
em coordenadas
cilíndricas.
Sistema de Coordena...
Sistema de Coordenadas Esféricas
Conversão de Coordenadas
(Esféricas - Retangulares)
•
θ
P = ( ), ,ρ θ φ
•
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ρ
x
y
z
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P = ( ), ,x y z
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Do triângulo retângulo , temos'OPP
cos
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φ
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sen
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= senr ρ φ=
Do triângulo retângulo , obtemos'QOP
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cossenx ρ φ θ= sen seny ρ φ θ=
também, a distância entre dois nos mostrta que
Para converter de coordenadas esféricas para...
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Exemplo 1:
Encontre uma equação em coordenadas esféricas para a esfera
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Exemplo 2:
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Encontre uma equação em coordenadas esféricas para o cone
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Integral tripla em Coordenadas
Esféricas
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Exemplo 3:
11
Usando Coordenadas esféricas calcule o volume do “sorvete de casquinha”
cortado da esfera sólida e pelo cone...
Exemplo 4:
12
Se um ponto P tem coordenadas esféricas , encontre suas
coordenadas cartesianas.
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



3
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6
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ππ
Exemplo 5:
13
Transforme a equação para coordenadas
cartesianas
θφρ cos2sen=
Exemplo 6:
14
Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido limitado
acima pela esfera e abaixo pelo cone...
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Coordenadas esféricas

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Exercício de integral tripla

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Coordenadas esféricas

  1. 1. Professor Arthur Moraes Cremonezi 1 Cálculo Diferencial e Integral 3 Coordenadas Esféricas
  2. 2. LEMBRETE - Conversão de Coordenadas (Cilíndricas - Retangulares) Para converter de coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares, usamos as equações cosx r θ= sy r enθ= z z= enquanto que para converter de coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas, utilizamos as equações 2 2 2 r x y= + tg y x θ = z z= R é o raio do cilindro em relação ao eixo z.
  3. 3. é o ângulo entre o eixo positivo e o vetor .OP uuur z é o mesmo ângulo que em coordenadas cilíndricas. Sistema de Coordenadas Esféricas • θ P = ( ), ,ρ θ φ • φ onde ρ ρ = x y z O OP uuur θ φ Note que: 0ρ ≥ 0 φ π≤ ≤ È a distância de P até a origem
  4. 4. Sistema de Coordenadas Esféricas
  5. 5. Conversão de Coordenadas (Esféricas - Retangulares) • θ P = ( ), ,ρ θ φ • φ ρ x y z O P = ( ), ,x y z x y ⋅ ⋅ 'P = ( ), ,0x y r z φ Q ⋅
  6. 6. Do triângulo retângulo , temos'OPP cos z φ ρ = cosz ρ φ= sen r φ ρ = senr ρ φ= Do triângulo retângulo , obtemos'QOP ⇒ ⇒ ( )i ( )ii cos x r θ = cosx r θ= sen y r θ = seny r θ= ⇒ ⇒ ( )iii ( )iv
  7. 7. cossenx ρ φ θ= sen seny ρ φ θ= também, a distância entre dois nos mostrta que Para converter de coordenadas esféricas para coordenadas retangulares, substituímos em para encontrar a coordenada e substituímos em para encontrar a coordenada , daí ( )ii ( )iii x ( )ii ( )iv y cosz ρ φ= usamos este resultado para converter de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas. 2 ρ = 2 OP uuur = 2 2 2 x y z+ +
  8. 8. 8 Exemplo 1: Encontre uma equação em coordenadas esféricas para a esfera ( ) 11 222 =−++ zyx
  9. 9. Exemplo 2: 9 Encontre uma equação em coordenadas esféricas para o cone 22 yxz +=
  10. 10. 10 Integral tripla em Coordenadas Esféricas ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ = = = 2 1 2 1 2 1 dd dd ),,( 2 2 θ θ φ φ ρ ρ θφρφρ θφρφρ θφρ dsen dsendV dVf R
  11. 11. Exemplo 3: 11 Usando Coordenadas esféricas calcule o volume do “sorvete de casquinha” cortado da esfera sólida e pelo cone1≤ρ 3 π φ =
  12. 12. Exemplo 4: 12 Se um ponto P tem coordenadas esféricas , encontre suas coordenadas cartesianas.       3 , 6 ,4 ππ
  13. 13. Exemplo 5: 13 Transforme a equação para coordenadas cartesianas θφρ cos2sen=
  14. 14. Exemplo 6: 14 Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone16222 =++ zyx 22 yxz +=

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