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Estudio del arte sobre procesamiento inicial matemático. Por Tracey Tokuhama-Espinosa y Mariana Rivera. Abril 2013

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La investigación solicitada sobre Pensamiento Inicial Numérico parte del planteamiento del Ministerio de Educación de Costa Rica que “está especialmente interesado en encontrar aplicación didáctica de los principios científicos que se derivan de los hallazgos de las neurociencias” (CECC/SICA, 2012a, p.1). Para ello, el Ministerio de Educación ha solicitado a la CECC/SICA “realizar una indagación específica sobre si el fracaso escolar podría estar asociado al hecho de que, al comienzo de la escolaridad, los niños y niñas no han logrado el procesamiento inicial matemático en el nivel adecuado previo al aprendizaje escolar de la matemática” (CECC/SICA, 2012a, p.1). A decir de Daniel Ansari, investigador de la Universidad del Oeste de Ontario y miembro de la directiva del International Mind, Brain, and Education Society (IMBES), el Ministerio de Educación de Costa Rica estaría indagando sobre un “tema fundamental” para entender los factores que influyen en los procesos de aprendizaje (Ansari, 4 de septiembre de 2012, comunicación personal).

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Estudio del arte sobre procesamiento inicial matemático. Por Tracey Tokuhama-Espinosa y Mariana Rivera. Abril 2013

  1. 1. Estudio del arte sobre procesamiento inicial matemático QUITO, 27 DE ABRIL DE 2013 TRACEY TOKUHAMA-ESPINOSA, PH.D GRACIELA MARIANA RIVERA BILBAO, Msc
  2. 2. i TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN............................................................................................................. 1 Antecedentes............................................................................................................... 1 El problema.................................................................................................................. 1 Preguntas de investigación.......................................................................................... 2 Contexto y marco teórico ............................................................................................. 2 El propósito del estudio................................................................................................ 3 El significado del estudio.............................................................................................. 3 Definición de términos.................................................................................................. 3 Presunciones del autor del estudio.............................................................................. 4 Supuestos del estudio.................................................................................................. 4 REVISIÓN DE LA LITERATURA..................................................................................... 4 Géneros de literatura incluidos en la revisión .............................................................. 4 Fuentes .................................................................................................................... 4 Pasos en el proceso de revisión de la literatura....................................................... 5 Temas de la revisión de la literatura......................................................................... 5 El desarrollo infantil temprano .............................................................................. 5 Las matemáticas en el cerebro de niños y niñas 0-3 años ................................... 8 Antecedentes .................................................................................................... 8 El sentido numérico........................................................................................... 9 Las matemáticas en el cerebro de niños y niñas de 3-6 años ............................ 12 Procesamiento numérico................................................................................. 14 Competencias para el aprendizaje de las matemáticas ......................................... 16 1. La habilidad física de ver números y palabras................................................ 16 El reconocimiento visual.................................................................................. 17 2. La habilidad de utilizar funciones ejecutivas y habilidades de pensamiento de orden superior..................................................................................................... 18 3. La habilidad de generalizar en un mismo concepto diferentes símbolos que representan una misma idea .............................................................................. 20 Modelo de Código Triple ................................................................................. 21 Dos redes neurales para la identificación de símbolos ................................... 25 Primera red neuronal para el procesamiento simbólico .................................. 25 Segunda red neuronal para el procesamiento simbólico................................. 25 4. Habilidad de estimar o aproximar cantidades ................................................. 28 5. Habilidad de retener información en la memoria ............................................ 31 6. La habilidad para almacenar y utilizar procedimientos ................................... 33 Línea numérica mental.................................................................................... 34 Elección de la memoria verbal ........................................................................ 37 Elaboración semántica.................................................................................... 37 Uso de la memoria de trabajo ......................................................................... 37
  3. 3. ii Estrategias y planificación de procedimientos matemáticos ........................... 38 7. Habilidad de almacenar conceptos y utilizarlos correctamente ...................... 39 8. Habilidades gráficas........................................................................................ 42 Resumen revisión de la literatura............................................................................... 45 ANÁLISIS ...................................................................................................................... 52 Bases del aprendizaje futuro de las matemáticas...................................................... 52 La facultad primitiva del sentido numérico.............................................................. 52 Orden, ubicación y procesos numéricos: la línea numérica mental........................ 52 Estimación mental: el sistema del número aproximado.......................................... 53 Subáreas................................................................................................................ 54 Procesamiento y operaciones............................................................................. 54 Geometría y espacio........................................................................................... 55 Medición ............................................................................................................. 56 Patrones ............................................................................................................. 57 Representación gráfica de datos ........................................................................ 58 Consideraciones globales en el aprendizaje .......................................................... 59 El factor docente................................................................................................. 60 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES................................................................. 61 Respuestas a las preguntas de investigación............................................................ 61 ¿Hay una edad para alcanzar el procesamiento matemático?............................... 61 ¿Es posible medir el procesamiento inicial matemático? ....................................... 63 ¿Existen programas de intervención escolar que contribuyan a mejorar el pensamiento inicial matemático? ........................................................................... 70 Building Blocks, Pre-K Mathematics, Rightstart.................................................. 70 Herramientas de la mente (Tools of the Mind).................................................... 71 La carrera del número (The Number Race)....................................................... 71 Los mundos del número (The Number Worlds) .................................................. 74 Resumen de las posibles intervenciones ............................................................... 75 Limitaciones del estudio............................................................................................. 75 Recomendaciones para futuros estudios................................................................... 76 Resumen final............................................................................................................ 76 Resumen de los circuitos neuronales relacionados con la matemática ................. 77 REFERENCIAS............................................................................................................. 80
  4. 4. iii FIGURAS Figura 1. Activación neuronal en el procesamiento de cantidad.................................... 10 Figura 2: Esquema mental de la resolución de problemas matemáticos....................... 12 Figura 3. Activación cerebral en el procesamiento numérico ........................................ 15 Figura 4. Redes visuales activadas............................................................................... 17 Figura 5. Circuitos relacionados con la atención en el cerebro ..................................... 19 Figura 6. Esquema del Modelo de Código Triple en el cerebro..................................... 21 Figura 7. Imagen cerebral del Modelo de Código Triple................................................ 22 Figura 8. Regiones activadas en el cerebro al reconocer letras y símbolos.................. 24 Figura 9. Magnitud y cálculo en niños y niñas con discalculia y sin discalculia............. 26 Figura 10. Evidencia neural de la convergencia entre representaciones numéricas simbólicas y no simbólicas ..................................................................................... 27 Figura 11. Aproximación numérica para niños y niñas pequeños ................................. 29 Figura 12. Activación neuronal de respuesta al cambio de número .............................. 29 Figura 13. Activaciones en el cerebro adulto a los cambios en numerosidad ............... 30 Figura 14. Activación cerebral al estimar y comparar.................................................... 31 Figura 15. Memoria de corto a largo plazo .................................................................... 32 Figura 16. Memoria de trabajo....................................................................................... 33 Figura 17. Activaciones cerebrales en el procesamiento de estímulos no simbólicos numéricos............................................................................................................... 34 Figura 18. Representación del número en la línea numérica mental............................. 35 Figura 19. Activación neuronal al realizar diferentes procesos matemáticos ................ 36 Figura 20. Activación de regiones parietales involucradas en el cálculo ....................... 39 Figura 21. Patrón general de la actividad durante cada operación mental.................... 40 Figura 22. Áreas del cerebro involucradas en procesos matemáticos .......................... 41 Figura 23. Activación cerebral al realizar sumas y restas.............................................. 43 Figura 24. Ejemplos del sistema de Singapur ............................................................... 44 Figura 25. Bloques de Cuisenaire Rods y la correspondencia de colores..................... 62 Figura 26. The Number Race ........................................................................................ 73 TABLAS Tabla 1. Sentido numérico............................................................................................. 11 Tabla 2. Habilidades y circuitos neuronales para las matemáticas en niños de 0-6 años ............................................................................................................................... 13 Tabla 3. Resumen de la revisión de literatura ............................................................... 45 Tabla 4. Áreas de contenido para el aprendizaje de las matemáticas y su posible medición................................................................................................................. 63
  5. 5. 1 INVESTIGACIÓN BIBLIOGRÁFICA SOBRE PENSAMIENTO INICIAL NUMÉRICO PARA CECC/SICA DEL SISTEMA DE INTEGRACIÓN CENTROAMERICANA INTRODUCCIÓN Antecedentes El Proyecto Regional de Educación de la Coordinación Educativa y Cultural Centroamericana (CECC/SICA) propicia actividades de producción y difusión de conocimiento sobre factores relacionados con la enseñanza de la lectura y la matemática que posiblemente se asocien con el fracaso escolar, medido en indicadores de repetición, extra edad y abandono. El CECC/SICA requiere de la elaboración de un estudio del arte sobre Pensamiento Inicial Numérico. La investigación solicitada sobre Pensamiento Inicial Numérico parte del planteamiento del Ministerio de Educación de Costa Rica que “está especialmente interesado en encontrar aplicación didáctica de los principios científicos que se derivan de los hallazgos de las neurociencias” (CECC/SICA, 2012a, p.1). Para ello, el Ministerio de Educación ha solicitado a la CECC/SICA “realizar una indagación específica sobre si el fracaso escolar podría estar asociado al hecho de que, al comienzo de la escolaridad, los niños y niñas no han logrado el procesamiento inicial matemático en el nivel adecuado previo al aprendizaje escolar de la matemática” (CECC/SICA, 2012a, p.1). A decir de Daniel Ansari, investigador de la Universidad del Oeste de Ontario y miembro de la directiva del International Mind, Brain, and Education Society (IMBES), el Ministerio de Educación de Costa Rica estaría indagando sobre un “tema fundamental” para entender los factores que influyen en los procesos de aprendizaje (Ansari, 4 de septiembre de 2012, comunicación personal). Los Términos de Referencia recibidos sostienen que el abandono de la escuela es un proceso que no ocurre repentinamente. Parten de la hipótesis de que el desarrollo del pensamiento inicial numérico contribuye a un mejor aprendizaje de la matemática (CECC/SICA, 2012a). Argumentan que existen señales previas al abandono en el ámbito pedagógico, posibles de identificar por el sistema educativo y factibles de corregir oportunamente. Además, consideran que directivos y docentes que puedan identificar las posibles deficiencias en la adquisición del pensamiento inicial numérico podrían evitar procesos de no aprendizaje, repetición, extra edad y rezago escolar, los que conllevan a una pérdida en la autoestima de los estudiantes y suelen terminar en abandono de la escolaridad (CECC/SICA, 2012a). En este contexto, la CECC/SICA busca una aclaración conceptual basada en un estudio bibliográfico acerca de cuál sería el nivel de desarrollo normal del pensamiento inicial numérico que niños y niñas debieran alcanzar en la etapa preescolar, a fin de que el aprendizaje posterior de las matemáticas se realice con éxito en los aprendizajes escolares. El problema Se sabe que la instrucción temprana en matemáticas es beneficiosa: “Los niños que aprenden los fundamentos de matemáticas en la etapa preescolar y en el kindergarten tienen las mejores posibilidades de logros escolares. Pero con demasiada frecuencia, los niños no reciben la instrucción de calidad necesaria que puede hacer esta diferencia” (Moomaw, 2011; United States Department of Education,
  6. 6. 2 2008). La buena instrucción en matemáticas en edades tempranas es un indicador de logro en esta disciplina en los años posteriores (Jordan, Kaplan, Ramineni, & Locuniak, 2009). También se sabe que hay indicadores tempranos que pueden ayudar a identificar problemas potenciales (Jordan, Kaplan, Ramineni, & Locuniak, 2009; Jordan & Levine, 2009; Locuniak & Jordan, 2008; Mazzocco & Thompson, 2005). Por ejemplo, existen varios estudios longitudinales (desde el comienzo hasta el final del kindergarten) que muestran que los indicadores de conocimiento de números como contar, discriminar la cantidad y nombrar los números son predictores de logros (de medio a muy bueno) en el aprendizaje de las matemáticas en niveles superiores (Clarke, & Shinn, 2004; Geary, 1990; Lembke, Foegen, 2009; Methe, Hintze, & Floyd, 2008 citado en Jordan, 2010). Finalmente, se reconoce que niños y niñas que pueden participar en programas de intervención temprana (prekindergarten) de alta calidad, pueden mejorar las consecuencias de la pobreza a través de una enseñanza de calidad y un buen inicio de la escolaridad (Hindman, Skibbe, Miller, & Zimmerman, 2009; Sarama, Clements, Starkey, Klein, & Wakeley, 2008), y que el conocimiento pedagógico del docente sobre qué, cómo y por qué enseñar ciertos conceptos matemáticos en los momentos precisos es fundamental (Bowman, et al., 2001; Darling-Hammond, 1997). El Ministerio de Educación de Costa Rica supone una relación entre el fracaso escolar y el aprendizaje de las matemáticas, el cual va de la mano de una deficiente adquisición del pensamiento inicial numérico. Argumentan que el fracaso escolar podría estar asociado al hecho de que los niños y niñas, al comienzo de la escolaridad, no han logrado desarrollar destrezas relacionadas con el pensamiento inicial numérico en un nivel adecuado previo al aprendizaje escolar de la matemática (CECC/SICA, 2012b). Los datos proporcionados por la CECC/SICA evidencian que un 17,2% de los niños y niñas de primer grado se encuentran en riesgo de fracaso y abandono escolar. Adicionalmente, se ha identificado que son alrededor de 15.000 niños y niñas que no han logrado aprobar el primer grado de primaria (CECC/SICA, 2012b), sea por abandono o por no haber sido promovidos. De acuerdo con los datos proporcionados por la CECC/SICA, y siendo el Ministerio de Educación de Costa Rica el que se plantea la hipótesis de la relación entre el procesamiento inicial matemático y el aprendizaje de la matemática, este estudio pretende aclarar las posibles relaciones entre estas dos habilidades y su probable influencia sobre el abandono escolar. Preguntas de investigación La pregunta principal de investigación es: ¿Cómo y hasta qué punto la adquisición del pensamiento inicial numérico influye en el aprendizaje de las matemáticas en niños y niñas de primer grado de primaria? Preguntas secundarias incluyen: (a) ¿Hay una edad para alcanzar el pensamiento inicial matemático? (b) ¿Es posible medir la adquisición del pensamiento inicial matemático? y (c) ¿Existen programas de intervención escolar que contribuyan a mejorar el pensamiento inicial matemático? Contexto y marco teórico El marco teórico de este estudio se basa en la ciencia de la Mente, Cerebro y Educación, o la intersección de la neurociencia, psicología cognitiva y la pedagogía. Existen pocos estudios que integran fuentes de información sobre cómo funciona el cerebro respecto a conciencia inicial matemática y su aplicación en las escuelas. Por ende, se utilizarán las aproximaciones más cercanas ofrecidas por Stanislas Dehaene, Brian
  7. 7. 3 Butterworth, Douglas Clements, Julie Sarama, Nancy Jordan y Daniel Ansari, entre otros líderes neurocientíficos, con años de experiencia en la exploración del uso de sus investigaciones en campos educativos. El propósito del estudio El propósito de este estudio del arte es sistematizar los principales hallazgos encontrados en diferentes estudios e investigaciones sobre el desarrollo del pensamiento inicial numérico en función de sus implicaciones y consecuencias para la adquisición de posteriores aprendizajes, particularmente de la matemática. Se busca establecer parámetros dentro de los que el Ministerio de Educación de Costa Rica pueda tomar decisiones sobre intervenciones apropiadas, relacionadas con el aprendizaje de las matemáticas en la etapa escolar inicial. El significado del estudio Los resultados presentados en este estudio permitirán organizar y relacionar importantes aportes conceptuales que contribuirán a identificar posibles factores que se están pasando por alto en el proceso pedagógico de niños y niñas en los primeros años de escolaridad. La identificación de los posibles factores podría derivar en la introducción de medidas iniciales para favorecer los posteriores aprendizajes de las matemáticas. Definición de términos  Cerebro: para efectos de la presente investigación, es la parte más evolucionada y grande del encéfalo. En el cerebro se dan la cognición, el pensamiento, las emociones, la memoria y el lenguaje, entre otras habilidades. Tiene dos hemisferios, cada uno con cuatro lóbulos: frontal, temporal, parietal y occipital. La parte más externa es la corteza cerebral, que tiene unos repliegues que forman circunvoluciones y cisuras (Enciclopedia Salud, 2013).  Ciencia de la Mente, Cerebro y Educación: ciencia transdiciplinaria que emerge de la interrelación de la Psicología (Biosicología, Psicología del Desarrollo y Psicología Cognitiva), las Neurociencias (Neurociencia Cognitiva, Neuroética, Neuropsiquiatría, Neurociencia del Desarrollo, Pediatría) y la Educación (Pedagogía, Educación Especial). Se la nombra con las siglas MCE (Tokuhama-Espinosa, 2011).  Discalculia: trastorno del aprendizaje que se manifiesta con una baja capacidad para el procesamiento numérico y el cálculo (Emerson, 2010).  Mente: para efectos del presente ensayo, se conoce como mente el estudio de los fenómenos cerebrales desde el ámbito psicológico (Tokuhama-Espinosa, 2011).  Vía o red neuronal: el tracto neural que une una parte del sistema nervioso con otra. Por lo general consiste en haces de mielina alargadas, con aislamiento de neuronas, conocidas colectivamente como materia blanca. Las vías neuronales sirven para conectar las zonas relativamente distantes del cerebro o el sistema nervioso, y también sirven como rutas de destrezas distintas en el cerebro (Purves, 2001).
  8. 8. 4  Plasticidad cerebral: se refiere a la habilidad de cambiar la eficacia de la transmisión sináptica, y de las conexiones neuronales en la actividad aferente (Purves, 2001). Presunciones del autor del estudio Se presume que los antecedentes contenidos en los Términos de Referencia enviados por la CECC/SICA reflejan la realidad sobre deserción escolar en Costa Rica. Supuestos del estudio  Se supone que es posible extrapolar a Costa Rica los resultados de los estudios sobre procesamiento inicial matemático realizados en su mayoría en Estados Unidos y Europa, fuera del contexto hispanohablante.  Se supone que existe una relación directa entre una baja adquisición del procesamiento inicial matemático y bajos índices de logro en matemáticas.  Se supone que el aprendizaje de la matemática tiene relación con la adquisición inicial del lenguaje (Denton & West, 2002; Donlan, Cowan, Newton & Lloyd, 2007; Evans, 2008; Miura, 1987; Miura, Kim, Chang & Okamoto, 1988; Park, 2000), y que el aprendizaje de la lectura influye en los logros de otros aprendizajes, como el de las matemáticas, a lo largo de la vida.  Se supone que los resultados del estudio del arte se utilizarán en niños y niñas con cerebros “típicos”, de los que el 95% son sujetos diestros y 70% zurdos, que utilizan el hemisferio izquierdo de acuerdo al idioma que hablan, tal como los individuos de los estudios presentados en este estudio del arte. Cabe resaltar que existe una población importante que NO se refleja en la información contenida en este informe. Por medio de la presente recopilación bibliográfica se pretende contribuir al entendimiento de los procesos cerebrales comprometidos en el aprendizaje de la matemática y el procesamiento numérico bajo el lente de la Ciencia de Mente, Cerebro y Educación (MCE). A continuación una revisión de los estudios más actualizados sobre matemáticas en el campo de MCE. REVISIÓN DE LA LITERATURA Géneros de literatura incluidos en la revisión Fuentes Las fuentes bibliográficas utilizadas se enmarcan en los avances realizados por la Ciencia de Mente, Cerebro y Educación (MCE), de los centros de investigación más avanzados en este campo como el Canada Research Chair in Developmental Cognitive Neuroscience, la American Association for the Advancement of Science; Journal for Research in Mathematics Education, National Council of Teachers of Mathematics (EEUU) y la International Mind, Brain, and Education Society (IMBES), entre otros. Las investigaciones y documentación vienen de las fuentes primarias y contactos personales con los autores e investigadores de dichos centros. Se otorga prioridad a estudios, investigaciones, artículos científicos, publicaciones y otros con no más de diez años de antigüedad. Además se utilizan todos aquellos estudios y publicaciones que son referencia de otros estudios realizados en este siglo, y que por su trascendencia siguen siendo mencionados.
  9. 9. 5 Pasos en el proceso de revisión de la literatura La revisión inicial de la literatura general dio lugar a la elaboración de un mapa conceptual que establece las relaciones requeridas por los Términos de Referencia. La lectura en profundidad de la literatura más especializada registra la información en función del marco conceptual. La etapa analítica refleja tendencias que pudieran existir y sugiere, con la claridad que pueda lograrse, la preferencia de la investigadora por tal o cual tendencia en particular. Se escogió, de manera que quede claramente identificado, lo que puede considerarse un hallazgo conclusivo consolidado de lo que está aún en proceso y debiera someterse a posteriores escrutinios. Temas de la revisión de la literatura Como en cualquier área de aprendizaje, “todas las decisiones relacionadas con las matemáticas, el currículo y las prácticas de enseñanza deben estar fundamentadas en el conocimiento del desarrollo del niño y su capacidad de aprender en todos los ámbitos relacionados –cognitivo, lingüístico, físico y socioemocional” (NAEYC & NCTM, 2002). Aunque se reconoce la gran importancia de los aspectos físicos y socioemocionales, este estudio está limitado a la revisión de literatura sobre el proceso de aprendizaje de conceptos matemáticos en el cerebro y su posible aplicación a diferentes metodologías de enseñanza. La revisión de la literatura está dividida en tres grandes temas: (a) desarrollo infantil temprano; (b) la matemática en el cerebro de niños y niñas de 0-3 años; y (c) las matemáticas en el cerebro de niños y niñas de 3-6 años. El desarrollo infantil temprano El análisis del aprendizaje de la matemática desde el punto de vista de MCE lleva también a enriquecer la comprensión de lo que llamamos “desarrollo infantil temprano” y su influencia en los futuros aprendizajes, así como destacar sugerencias generales para alimentar estos procesos de desarrollo con base en evidencia. El National Scientific Council on the Developing Child de la Universidad de Harvard, utilizando distintas investigaciones basadas en los hallazgos de MCE, políticas públicas y economía, propone prácticas orientadas a promover el desarrollo infantil temprano como base del crecimiento de niños y niñas. En las políticas a nivel mundial ya se han planteado recomendaciones para fortalecer el desarrollo infantil en etapas tempranas. Se ha observado que esto ya es una prioridad nacional a lo largo de las Américas, manifestado en declaraciones en Chile, EEUU, Ecuador y Colombia en 2012 y 2013. Al momento, MCE puede apoyar varias recomendaciones basándose en evidencia científica. Entre las recomendaciones fundamentadas en planteamientos internacionales basados en evidencia, como el caso argentino, Hacia un modelo interdisciplinario: Biología, interacción social y desarrollo infantil temprano (Rolla, Hinton & Shonkof, 2011), encontramos las siguientes:  Invertir en servicios de salud, educación y estimulación de alta calidad en edades tempranas con oportunidades de desarrollo adecuadas, como base de una sociedad sana, próspera y sustentable (Rolla, et al., 2012). Desde el punto de vista económico, la inversión en desarrollo infantil temprano asegura un efecto multiplicador en la edad adulta (Lynch, 2004; Rolla, et al., 2012). Por lo tanto, cultivar habilidades y motivación en etapas tempranas de la vida sirve de andamio para desarrollar estas mismas características en edades adultas (Cunha, Heckman, Lochner, & Masterov, 2006).
  10. 10. 6 Oportunidades de desarrollo adecuadas son la base de una sociedad sana, próspera y autosustentable.  Estimular y exponer a niños y niñas a experiencias que desarrollen bases que contribuyan a la organización cerebral (Fox, Levitt, & Nelson, 2010; Meaney, 2010) procurando involucrar a niños y niñas “en oportunidades futuras de aprendizaje y de salud física y mental” (Rolla, 2012, p. 74). La arquitectura cerebral se organiza en forma continua y jerárquica, desde los circuitos más simples hasta los más complejos. También se sabe que en los primeros años de vida se forman alrededor de 700 conexiones neuronales por segundo. A los siguientes años se les denomina de poda, que es cuando se van debilitando aquellas redes de poco uso (Center on the Developing Child, 2007). A su vez, Knudsen (2004; 2006) propone que la arquitectura cerebral se encuentra organizada de tal manera, que los circuitos más simples son la base de circuitos más complejos. En el caso de la lectura, los circuitos que se desarrollan en el área visual y fonológica utilizados para el lenguaje y la comunicación en los primeros años de infancia van a ser el andamio donde se construirán los procesos de lectoescritura. El aprendizaje de la lectura y escritura al inicio de la etapa escolar se verá favorecido por la estimulación y desarrollo de los circuitos neurales que involucran el lenguaje, así como las áreas de reconocimiento visual y fonológico relacionadas con la matemática.  Promover relaciones de interacción recíproca de ida y vuelta (serve and return en inglés) entre los niños, niñas y sus padres, así como con las diferentes personas que se encargan de su cuidado en la familia y en la comunidad (Rolla, et al., 2012). Las respuestas empáticas que se producen en las relaciones positivas en función de las necesidades emocionales y comunicacionales de los niños y niñas pueden afectar la arquitectura cerebral de los mismos. De esta manera, si es que en la etapa de balbuceo las expresiones faciales, gestos y movimientos corporales de todos aquellos que se relacionan con los niños y niñas son coordinados de manera coherente con las emociones, se asegurará una mejor organización cerebral, la cual servirá de andamiaje para nuevos aprendizajes, como por ejemplo el procesamiento inicial matemático, objeto de esta investigación.  Propender al bienestar emocional, la salud física, las competencias sociales, las aptitudes cognitivas y el desarrollo del lenguaje de niños y niñas. El cumplimiento de este propósito se sustenta en la complejidad cerebral; el cerebro es un órgano integrado y coordinado, de tal manera que el bienestar emocional y el desarrollo de competencias sociales son una base sólida para el surgimiento de habilidades cognitivas y un buen desempeño escolar.  Prevenir los niveles de estrés tóxico para los niños y niñas. El estrés tóxico tiene relación con una activación abrupta, frecuente y prolongada de los sistemas de respuesta al estrés (Rolla et al. 2012). La exposición permanente a estrés tóxico activa respuestas fisiológicas como el incremento del ritmo cardiaco, la presión sanguínea y la acción de hormonas del estrés. Si niños y niñas se encuentran protegidos por relaciones adultas de contención, es más probable una adaptación a los desafíos de la vida y retomar un estado fisiológico normal. Contribuir a la prevención del abandono o abuso y contar con sistemas de protección a la niñez permite un desarrollo cerebral más equilibrado.  Intervenir en edades tempranas para aprovechar la plasticidad cerebral. Desde intervenciones emocionales que brinden un lugar seguro para el crecimiento de niños y niñas, hasta el aprendizaje y desarrollo de habilidades como la identificación y procesamiento de los números, son deseables mientras más rápido se realice la intervención. Si bien es cierto que no existe una sola edad para las
  11. 11. 7 intervenciones, queda claro que en la mayoría de los casos una intervención tan temprana como posible es mucho más efectiva que si es tardía (Rolla, et al., 2012). Estas seis recomendaciones deben estar incorporadas al momento de planificar cualquier política pública respecto a la enseñanza. El primer punto (Invertir en servicios de salud, educación y estimulación de alta calidad en edades tempranas) concierne a oportunidades y acceso a la educación temprana. El segundo punto (Estimular y exponer a niños y niñas a experiencias que desarrollen bases) refiere a la importancia de la calidad de experiencia de los contactos en las edades tempranas. No es igual una “guardería” donde simplemente protejan a los niños de peligros, sino un ambiente que estimule su interés en conceptos básicos de lenguaje y matemáticas. El tercer punto (Promover relaciones de interacción recíproca de ida y vuelta) mejora la calidad de pensamiento de los niños a través de una habituación de procesos de pensamiento en lenguaje y matemáticas. El cuarto punto (Propender al bienestar emocional) destaca la importancia de un ambiente socioemocional positivo dentro del cual el niño puede empezar a relacionar experiencias educativas con interacción motivadora. El quinto punto (Prevenir los niveles de estrés tóxico para los niños y niñas) extiende el punto cuatro para delinear entre experiencias positivas y negativas, y el rol del cuidador de proteger a los niños de amenazas a su desarrollo debido a estrés tóxico causado por las personas o condiciones del ambiente. El sexto punto (Intervenir en edades tempranas para aprovechar la plasticidad cerebral) refleja el hecho de que, aunque el cerebro puede aprender a lo largo de la vida, hay etapas de más plasticidad en las edades tempranas. Independientemente de la materia enseñada –Matemáticas, Lenguaje, Ciencias, Cívica y Cultura, Arte, Educación Física– las condiciones de aprendizaje influyen en el éxito del estudiante. Además de los seis puntos mencionados por el Center on the Developing Child, hay cuatro puntos adicionales identificados por Tokuhama-Espinosa (2011) relacionados con el aprendizaje de las matemáticas: (a) cómo un niño se siente sobre el proceso (autoestima); (b) cómo el aprendizaje influye en su estatus social y relación con pares; (c) la relación estudiante-docente; y (d) su motivación por la materia (Tokuhama-Espinosa, 2011, p.183, traducido por autor). Aunque no es el enfoque del estudio actual, al considerar la enseñanza exitosa de las matemáticas en edades tempranas es importante tener en cuenta no solo los aspectos de matemáticas en el cerebro, sino estas diez condiciones del aprendizaje que acabamos de mencionar. Finalmente, otra área de importancia dentro de MCE es la conexión entre matemáticas y el lenguaje. El aprendizaje de la matemática se relaciona con el lenguaje y la lectura, ya que son sus medios de enseñanza, los cuales a su vez utilizan y comparten circuitos neuronales (Ansari, 2010; Dehaene, 1997; Dehaene, 2011; Devlin 2010). El aprendizaje de las matemáticas desde la perspectiva MCE pone en evidencia la importancia del aprendizaje del lenguaje y el desarrollo de las áreas involucradas en el procesamiento matemático. El lenguaje, a diferencia del sentido numérico innato, en su fase inicial requiere de estimulación de las rutas cerebrales, base para su desarrollo y posterior adquisición de códigos verbales que se emplean en diferentes destrezas, así como en el desarrollo del Modelo de Código Triple, el cual se explicará más adelante. Desde el segundo año de vida el cerebro de los niños y niñas va formando hasta 700 conexiones o redes neuronales por segundo (Center on the Developing Child, 2007), por lo que se debe aprovechar el estímulo y refuerzo de las rutas cerebrales relacionadas con el lenguaje, el sentido numérico, la línea numérica mental y los procesos de aproximación matemática para contribuir a reafirmar las rutas de adquisición del procesamiento verbal y matemático. La estimulación permanente y adecuada a la edad del
  12. 12. 8 niño mencionada anteriormente sentará las bases (neuronalmente hablando) para un futuro aprendizaje del sistema de representación verbal y matemática. Para responder al desarrollo integral de una persona en edades tempranas, las escuelas tienen que tomar en consideración aspectos socioemocionales, cognitivos y de crecimiento físico (Perkins, 2010). Este estudio concierne principalmente el aspecto cognitivo; sin embargo, respuestas provenientes solo de la neurociencia no son la solución a los retos de una mejor educación. Se espera que el aspecto del desarrollo cognitivo en matemáticas sirva como un elemento dentro de todo el rompecabezas de la formación integral de los niños y niñas en la escuela. Las matemáticas en el cerebro de niños y niñas 0-3 años El primer tema, La matemática en el cerebro de niños y niñas de 0-3 años, está subdividido en: (a) antecedentes (b) sentido numérico. Antecedentes ¿Por qué los seres humanos tardaron 25.000 años en desarrollar sistemas simbólicos para la enumeración y los niños han logrado dominarlos en pocos años? Hace 30.000 años, los seres humanos mantuvieron registros de cantidades numéricas haciendo marcas en fragmentos de los huesos. La evolución de un sistema numérico se tardó aproximadamente 25.000 años (por ejemplo, el sumerio cuneiforme). Hoy en día, los niños adquieren el significado de las palabras para contar, los procesos para contar, los números arábigos, números escritos en palabras y los procesos de aritmética básica como sumar y restar en apenas seis años (entre 2 y 8 años de edad). ¿Qué habilidades cognitivas permitieron a nuestros ancestros lograr contar en primer lugar? Además, ¿qué habilidades cognitivas permiten que los niños adquieran conocimientos matemáticos rápidamente mientras nuestros ancestros se demoraron varios miles de años en crearlas? (Cantlon, 2012, p. 10725). Hipótesis del reciclaje neuronal: Dehaene (2009) plantea la hipótesis del reciclaje neuronal afirmando el hecho de que la arquitectura del cerebro humano se rige a marcados contrastes genéticos, y que ciertos circuitos pueden tolerar variaciones. Uno de los sistemas estudiados por Dehaene relacionado con el aprendizaje de la lectura es el visual. Hace miles de años, los seres humanos utilizaban áreas de la corteza occipital para inspeccionar las amplias llanuras e identificar los animales que podrían atacarlos; en la actualidad no hace falta el uso de estas redes visuales, y éstas pueden dedicarse a otras funciones. El sistema visual, ubicado en la región occipito-temporal, es muy plástico y puede sufrir cambios por la influencia del ambiente. Esto ha dado paso a la oportunidad de observar símbolos que permiten desarrollar el sistema de identificación y relación entre los números arábigos, las letras con que se escribe el nombre de dichos números, y los grupos de objetos que pueden representarlos. Por otro lado, el concepto del Efecto de Baldwin (1896) indica que si hay algún factor que pueda ser utilizado para la supervivencia de la especie, éste se transmitirá a los genes de las futuras generaciones. Por ejemplo, se ha identificado en la región occipito-temporal de cerebros humanos, un alargamiento de
  13. 13. 9 esta región, lo que indica un mayor uso en los humanos. El alargamiento de la región occipito-temporal se atribuye a la asociación de regiones de procesamiento de lenguaje y redes semánticas utilizadas en los procesos de aprendizaje en general (inclusive el de las matemáticas), especialmente en los lóbulos temporales anterior y lateral (Dehaene, 2009). La hipótesis del reciclaje neuronal también propone que, para que exista un proceso como el del aprendizaje de las matemáticas, significa que ya existe un nicho de conexiones neuronales propicio para desarrollar esta habilidad (Dehaene, 2009). De acuerdo a la hipótesis del reciclaje neuronal, cuando el hombre de las cavernas hizo las primeras representaciones pictográficas, su cerebro utilizó redes o vías neuronales visuales que identificaban a los animales en las llanuras, y otras redes neuronales conceptuales que elaboraban el acto de cazar estos animales, haciendo que sus capacidades de reconocimiento simbólico se incrementaran (Deacon, 2001; Dehaene, 2008; Mussolin, Mejias, & Noel, 2010; Wolf, 2008). El cerebro de los seres humanos aprendió a conectar áreas visuales con áreas conceptuales que permitieran el entendimiento de símbolos, cantidades y áreas de lenguaje donde emerge una nueva habilidad: la capacidad de leer primero los símbolos pictóricos y después los alfabetos, o los números arábigos, y transmitir una forma escrita de lenguaje, preservada de generación en generación (Wolf, 2008). La importancia de entender el concepto de reciclaje neuronal en el contexto del presente estudio del arte es reconocer que algunos estudios sugieren que, al ser el aprendizaje de la matemática una destreza en continuo desarrollo en el cerebro de los seres humanos, existen más problemas (ej., discalculia) por falta de refinamiento de las redes (Tokuhama-Espinosa, 2011) que por su desarrollo per se. El sentido numérico Uno de los primeros conceptos necesarios para entender los procesos involucrados en el aprendizaje de las matemáticas desde la mirada de la ciencia de MCE es el sentido numérico (o Number Sense en inglés), una facultad primitiva del ser humano. En el año de 1954, el investigador Tobias Dantzing definió el sentido numérico como “la facultad que permite al hombre reconocer que algo se ha modificado en un pequeño grupo de cosas cuando, sin su conocimiento directo, un objeto ha sido eliminado o añadido a dicho grupo” (Dantzing, 2005, p. 1, traducción de la autora). Este sentido numérico es diferente a contar. Según Dantzing (1954), es un proceso más complejo que evolucionó con el tiempo. Algunos conceptos proporcionados por Dantzing (1954) han contribuido al trabajo neurocientífico de investigadores como Stanislas Dehaene y Daniel Ansari, dos de los científicos que han identificado las bases neurocientíficas del aprendizaje de las matemáticas.
  14. 14. 10 Figura 1. Activación neuronal en el procesamiento de cantidad Fuente: Dehaene, Moiko, Cohen, & Wilson, (2004), Arithmetic and the Brain, (traducido por autoras) Uno de los investigadores de sistemas de representación en el área de lectura y matemáticas, Stanislas Dehaene (2011), retoma el concepto del sentido numérico como parte de la evolución, desarrollado en función de las necesidades de los seres humanos. Los niños y niñas desarrollan el “sentido numérico primario” antes de entrar a la escuela; éste es preverbal (antes de que se expresen por medio del lenguaje) (Dehaene, 1997; Xu, Fei, Spelke & Goddard, 2005) y no requiere de instrucción directa. La representación precisa de números pequeños precede a la de números grandes, y se desarrolla desde una percepción de representaciones aproximadas (Feigenson & Carey, 2003). Después del desarrollo inicial del sentido numérico primario aparece el “sentido numérico secundario” o verbal ( Fiegenson, et al., 2004; Halberda, Mazzocco, & Feigenson, L. (2008Le Corre & Carey, 2007). En esta etapa, alrededor de los tres años de edad, los niños pueden contar y comprender valores simbólicos de los números. La representación precisa de cantidades es evidente en la segunda etapa, y permite a los niños entender que cada número tiene un sucesor único. A diferencia del sentido numérico primario y preverbal, el sentido numérico secundario está relacionado con los símbolos, y su desarrollo depende de la educación (Clements & Samara, 2007).
  15. 15. 11 Tabla 1. Sentido numérico 0-3 años 3 años+ Comprensión de la cantidad Conceptualización de estimación aproximada Valores simbólicos Representación precisa Cada número tiene un sucesor único Cantidad representada por el número final del serie (set) Sentido numérico primario, o pre verbal x X Sentido numérico secundario, o verbal x x x x Fuente: Autoras Aunque el concepto de cantidades es innata, la capacidad de contar, entender símbolos numéricos y aritméticos depende del sentido numérico y de la manera explícita en que lo están enseñando en la escuela (Sarnecka & Carey, 2008). El poder relacionar un símbolo con un valor, entender el orden fijo de cada número en el acto de contar (ej. 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.), así como que el último número indica el total del set, todo eso es el sentido numérico (Gelman & Gallistel, 1978). Este sentido está influenciado por la forma de representar los símbolos (Tang, Zhang, Chen, Feng, Ji, Shen, Reiman & Liu, 2006), basado en el desarrollo de la conceptualización de cantidades en las edades tempranas (0 a 3 años). El sentido numérico es clave en el éxito escolar debido a que los problemas en matemáticas están relacionados con el inadecuado desarrollo de destrezas como contar, reconocer símbolos, comparar valores y entender la transformación de sets de números (Geary, 1990; Mazzocco, & Thompson, 2005). El sentido numérico es vital para establecer los fundamentos de todo aprendizaje matemático (Baroody, Lai, & Mix, 2006; Feigenson, Dehaene, & Spelke, 2004; Jordan, Glutting, Ramineni, & Locuniak, 2009). Desgraciadamente, se ha encontrado que niños y niñas que viven en condiciones socioeconómicas bajas tienen más problemas en desarrollar el sentido numérico (Baroody, Thompson, Eiland, & Thompson, 2009), especialmente si sus padres no participan en su educación (Blevins-Knabe, & Musun-Miller, 1996). Más adelante se explicará sobre la relación entre el sentido numérico y la línea numérica mental. El sentido numérico ayuda construir el concepto de números generando las interacciones entre ellos, es decir, que las operaciones matemáticas se aprenden a partir del sentido numérico (Dantzing, 1954; Dehaene, 1997; Dehaene, 2011; Devlin, 2010). Los circuitos neuronales y los procesos para el aprendizaje
  16. 16. 12 de las matemáticas que los emplean serán descritos a lo largo del presente estudio a través de 13 temas de suma importancia. En niños y niñas de 0 a 3 años de edad es común ver el desarrollo del sentido numérico (la comprensión del número y cantidad) a través del juego visual y concreto. Como el niño ya entiende cantidades en términos de “más” y de “menos” que se dan en las etapas preverbales (Leslie, Gelman & Gastille, 2008), el trabajo en los primeros años de vida es empezar a ayudarle a conectar el concepto de cantidad con el concepto de nombre. Es decir, en vez de “más o “menos” se puede desarrollar un concepto de “uno, dos, tres,” para finalmente conectar los nombres a los símbolos. En esta etapa, las actividades que facilitan la observación y etiquetación de símbolos y después de grupos de símbolos (sets) facilita su futura comprensión de los números. Otras actividades de mucha utilidad en esta etapa son las que involucran secuencias, orden de los números, cantidad y sus relaciones (como pocos y muchos), y el aumento o disminución de cantidades a través de ejercicios en donde se reúnen objetos (sumándolos y restándolos en cajas que permitan visualizar los grupos). Cada ejercicio contribuirá a que niños y niñas rescaten de la memoria primitiva el sentido numérico innato. Las matemáticas en el cerebro de niños y niñas de 3-6 años En su libro Construcción de sentidos y estrategias matemáticas (Construction of Arithmetical Meaning and Strategies), Steffe y Cobb (1998) identificaron subáreas básicas en el aprendizaje de conceptos matemáticos que fueron ratificadas en el año 2002 por investigadores como Clemente, Sarama y DiBiase, las cuales se encuentran en el esquema de la Figura 2. Figura 2: Esquema mental de la resolución de problemas matemático
  17. 17. 13 Fuente: Clemente, Samara y DiBiase, (2002), (traducido por autoras) Se sabe que ciertas destrezas aprendidas en los primeros años escolares son de gran importancia como base para el futuro aprendizaje de las matemáticas, incluyendo tres competencias básicas: (a) estimación de líneas numéricas; (b) agrupación de (sets) de números y; (c) poder contar (Namkung, & Fuchs, 2012). Otra manera de visualizar las subáreas básicas en el aprendizaje de conceptos matemáticos relacionados con diferentes circuitos neuronales es a través de la interpretación de Clements y Samara (2007) citada por el NAYCE (que se encuentra en este documento en la sección de Análisis, con indicadores precisos para su medición). El conjunto de las fuentes mencionadas arriba se resume en la Tabla 2 indicando los conocimientos básicos de los niños de 0-6 años. El sentido numérico más los procesamientos matemáticos son las destrezas fundamentales para el logro de aprendizajes relacionados con las matemáticas en edades tempranas. Tabla 2. Habilidades y circuitos neuronales para las matemáticas en niños de 0-6 años Procesamientos matemáticos Estudios ejemplares en el campo Sentido numérico primaria Sentido numérico secundari a Números y operaciones Geometrí a y espacio Medi da Patrone s/álgebr a Visualiza- ción y análisis de datos Poder contar Agrupa- ción de sets de números Estimació n de líneas numéricas Namkung & Fuchs 2012 x X Clemente, Sarama y DiBiase (2002) x X x x x NAYCE & NCTM (2002); x x x x x Clemente & Sarama 2009 x x x x x Dehaene, 1997; Xu, Fei, Spelke x
  18. 18. 14 & Goddard, 2005 Feigenson, 2004; Le Corre & Carey, 2007 x Fuente: Autora Procesamiento numérico Procesar números y/o cantidades es una actividad humana permanente, desde verificar la hora en el reloj que nos anuncia si estamos a tiempo o no para las actividades diarias, realizar operaciones de compra y venta para suplir las necesidades básicas, hasta poder calcular la distancia a la que se encuentra el vehículo de adelante en el tráfico. Son todos actos de la vida cotidiana que involucran números y su procesamiento. La actividad de procesar números y cantidades es tan importante que nos permite guiar el comportamiento y la toma de decisiones de una manera tal (Ansari, De Smedt, & Grubner, 2012) que la educación le ha asignado una parte importante en el currículo educativo, con la intención de asegurar el éxito en el aprendizaje y en la vida (Ansari, et al., 2012). La incorporación de la enseñanza de las matemáticas en el currículo ha sido alimentada por teorías provenientes del área de la psicología, como es el caso de las teorías de Piaget y su etapa de operaciones concretas. Partiendo de los hallazgos de Piaget (1952) y la etapa de operaciones concretas, una de las primeras recomendaciones didácticas que puede realizarse tiene relación con el paso de lo concreto a lo abstracto. Así, un buen aprestamiento en el aprendizaje de las matemáticas emplea material tangible, físico y palpable antes de iniciar una transición al mundo abstracto. Según Dehaene (2010), el mundo abstracto puede aprenderse a través de una línea matemática mental que esté inicialmente visualizada, ya sea en el aula (a manera de un gran cartel que rodee la clase), ya sea individual para cada estudiante, pero que esté permanentemente visible en los momentos de aprendizaje de números y operaciones. La línea mental permite iniciar una transición de conteo para cada número (cuando la maestra señala en la línea matemática un determinado número, contando para que se vea el aumento de cantidad en la línea), y luego para realizar operaciones matemáticas (utilizando la línea mental contando el primer número para luego sumar o restar el segundo, etc.). Jean Piaget planteaba que la construcción del conocimiento matemático se realiza alrededor de los seis años (Piaget, 1952). Sin embargo, existe evidencia que sostiene que los niños desde los seis meses pueden discriminar la cantidad (Dehaene, 1997; 2010; Gelman & Gallistel, 1978), es decir que utilizando la comparación de dos grupos de elementos (diferentes en cantidad) pueden identificar si hay mayor o menor cantidad de objetos. Estos primeros indicios son la evidencia de una intuición matemática inicial (Gelman & Gallistel, 1978), tema que se desarrollará a lo largo del presente estudio.
  19. 19. 15 Figura 3. Activación cerebral en el procesamiento numérico Fuente: Dehaene, Cohen (2007), Cultural Recycling of Cortical Maps, (traducido por autoras) La integración de los procesamientos (números y operaciones; poder contar, agrupar sets de números; estimar líneas numéricas; geometría y espacio; medición; patrones y conceptos de preálgebra; y visualización y análisis de datos) a las habilidades que se describen a continuación muestra los diferentes aspectos del aprendizaje de las matemáticas. En niños y niñas de 3 a 6 años se desarrolla el conocimiento del número y sus operaciones, se aumentan los ejercicios de contar y descontar pero aumentando el número de objetos, además del uso de patrones hasta de seis elementos presentados con objetos concretos o dibujos de los objetos. Los ejercicios son los mismos pero se llega hasta el 10. Luego se encuentra el procesamiento numérico como una actividad que se emplea a lo largo de la vida; por ello su aprendizaje y desarrollo forma parte del currículo. La actividad de procesar números y cantidades es tan importante que nos permite guiar el comportamiento y la toma de decisiones. Por ello, se debe tomar en cuenta la relación existente entre el desarrollo del Procesamiento Numérico y las Funciones Ejecutivas. Las áreas en que se ha dividido el aprendizaje de la matemática (números y operaciones; poder contar, agrupar sets de números; estimar líneas numéricas; geometría y espacio; medición; patrones y conceptos de preálgebra; y visualización y análisis de datos) forman parte de un complejo aprendizaje que envuelve amplias redes y regiones en el cerebro como la de los lóbulos frontales utilizados en procesos cognitivos de orden superior, que se analizarán posteriormente. Para mejorar el aprendizaje de las matemáticas, se han organizado sus áreas a través de habilidades que permiten, por una parte, diagnosticar posibles problemas en el aprendizaje de la matemática, y por otra, mejorar el aprendizaje de la matemática con un claro entendimiento de las varias posibles raíces de los problemas potenciales. Cabe destacar que existen factores sensoriales que pueden impedir el aprendizaje. Por ejemplo, problemas en la percepción sensorial pueden impedir el aprender normalmente. Este estudio solo se
  20. 20. 16 enfoca en las redes neuronales directamente relacionadas con las matemáticas. Por ello, detectar si existen factores sensoriales que impiden el aprendizaje en general, es decir, tomar en cuenta la revisión de vista y oídos como estrategia temprana y general (a todos los estudiantes y en todos los niveles) permitirá evitar dificultades en el aprendizaje que no tienen nada que ver con las habilidades de procesamiento matemático. Para unir estos conceptos en un esquema donde se relacionan con los estudios en neurociencia sobre los procesos cerebrales matemáticos, presentamos en la siguiente parte una resumen de las competencias más destacadas en el desarrollo de las matemáticas en el cerebro. Competencias para el aprendizaje de las matemáticas A pesar de la juventud de la ciencia de MCE, una de sus metas es mejorar la enseñanza de las matemáticas. De manera similar a la lectura, el procesamiento matemático en el cerebro presenta un claro enlace entre las matemáticas, el lenguaje, las habilidades de lógica, y el sistema de pensamiento crítico, según MCE. Con ayuda de la transdisciplinariedad y reconociendo la complejidad del aprendizaje del procesamiento matemático, se han logrado identificar las redes neuronales relativas a los sistemas de enlace como el de lenguaje, y además se han logrado identificar algunos de los mejores métodos basados en evidencia para su aprendizaje. Empleando información proveniente de la literatura proporcionada por MCE se han identificado doce competencias, es decir, una mezcla de conocimientos, destrezas y actitudes que son necesarias para desarrollar el aprendizaje de las matemáticas (Tokuhama-Espinosa, 2011 basado en documentos de los siguientes autores: Ansari, Donlan, & Karmiloff-Smith, 2007; Ansari & Karmiloff-Smith, 2002; Bisanz, Sherman, Rasmussen, & Ho, 2005; Byrnes, 2008; Cohen, Dehaene, Chochon, Lehericy, & Naccahe, 2000; Dehaene, 2008; Dehaene, Moiko, Cohen, & Wilson, 2004; LeFevre, Smith-Chant, Fast, Skwarchuk, Sargla, et al., 2006; Sherman & Bisanz, 2007). A continuación mencionaremos las diferentes competencias para el aprendizaje de las matemáticas. 1. La habilidad física de ver números y palabras El mundo se percibe a través de los sentidos (Aristóteles, 384-322 AC). La capacidad de identificar o ver un número está determinada por el estímulo que entra por los ojos, que actúan como el “scanner” del cuerpo. Existen dos partes importantes para la estimulación visual: la retina, que recibe el estímulo de la luz sobre una página escrita, y la fóvea (Dehaene, 2009). La fóvea es una depresión situada en el centro de la mácula del ojo que constituye el punto de máxima agudeza visual, y es la parte especializada para leer e identificar símbolos. Si existe un daño a nivel de la retina, en la fóvea, una lesión en el córtex visual o un bloqueo en la fóvea, estas actividades resultan imposibles (Dehaene, 2009). El tamaño del estímulo, es decir el número o la letra, juega un papel en su aprendizaje. Siempre será más sencillo leer números y letras grandes, requiriendo más esfuerzo para leer números y letras pequeñas. La razón es que mientras más grandes son, más espacio ocupan en la retina, y la fóvea permitirá tener la precisión máxima en el centro de la misma (Dehaene, 2009; Nieder & Dehaene, 2009). El cerebro utiliza la atención selectiva: atiende más a lo que le llama más la atención.
  21. 21. 17 Figura 4. Redes visuales activadas Fuente: Redes neuronales principalmente en la corteza occipital. Geriniani, D’Agata, Sacco, Duca, Bagshaw & Cavanna (2010) El reconocimiento visual La observación del cerebro de un individuo por medio de resonancia magnética (fMRI) al inicio de la lectura muestra la activación de las áreas visuales en pocos segundos (Hasson, Levy, Behrmann, Hendler, & Malach, 2002) en el área denominada fisura tempo-occipital izquierda, aunque se lea de derecha a izquierda o de izquierda a derecha. En el estudio de las redes involucradas en la visión, se las han categorizado de acuerdo a las formas que identifican (Grill-Spector, Sayres, & Ress, 2006; Tsao, Freiwald, Tootell, & Livingstone, 2006). Existen diversas zonas que identifican caras, objetos, dígitos o letras. A medida que los niños y niñas van creciendo se va incrementando el lenguaje y van organizándose las redes comprometidas con los sistemas visuales en el cerebro. Según algunas investigaciones (Bhatt, Hayden, Reed, Bertin, & Joseph, 2006; Dehaene, 2009; Kraebel, West, & Gerhardstein, 2007; Wang, & Baillargeon, 2008), en los primeros meses de vida el sistema visual permite que niños y niñas tengan la habilidad de distinguir objetos y rastrearlos cuando los mueven; hasta el primer año de vida pueden distinguir texturas con solo mirarlas, diferenciar objetos cóncavos de convexos, y realizar inferencias sobre la tridimensionalidad de los objetos. El desarrollo neuronal dado por la habilidad de diferenciar los objetos es la base de la interpretación visual que se requiere para distinguir los bordes de dicho objeto que satisfagan una forma T, X, O y L, base de la mayoría de los alfabetos en el mundo (Sigman & Gilbert, 2000; Sigman, Pan, Yang, Stern, Silbersweig, & Gilbert, 2005).
  22. 22. 18 La escritura de las palabras en las culturas a nivel mundial se basa en sistemas simbólicos. En occidente, el sistema simbólico entiende el alfabeto como una serie de combinaciones de las uniones curvas o anguladas que utilizan las formas T, X, L y O (Dehaene, 2009, 2011; Shuwuari, Albert, & Johnson, 2007). En el primer año de vida se inicia el desarrollo del reconocimiento de este sistema de formas y uniones curvas o anguladas (Shuwuari, Albert, & Johnson, 2007). En el segundo año, los bebés reconocen escuetas versiones de objetos y caras fuera de contexto, lo que indica que son capaces de abstraer los elementos esenciales de la forma de una imagen (Pascalis, de Haan, & Nelson, 2002; Pastalis, Scott, Kelly, Shannon, Nicholson, Coleman, & Nelson, 2005; Robinson & Pascalis, 2004). Al inicio de la etapa escolar, es decir alrededor de los cinco años, la red neuronal del proceso clave del reconocimiento visual se encuentra en su lugar, aunque mantiene su plasticidad a lo largo de la vida. En este período es factible la adquisición de nuevas formas visuales como letras y palabras (Dehaene, 2009). 2. La habilidad de utilizar funciones ejecutivas y habilidades de pensamiento de orden superior La ciencia de MCE define las funciones ejecutivas (FEs) como un conjunto de funciones neurales que permiten relacionar la metacognición, como un proceso inteligente, con la actividad cerebral que define la toma de decisiones, la planificación y la autorregulación (Puebla, 2009). La intrincada red de funciones ejecutivas realiza procesos neuronales que son la base biológica de diferentes estrategias cognitivas. Las estrategias cognitivas se han desarrollado en el ser humano ante la necesidad de comunicarse. Es así que, a partir del surgimiento del lenguaje, se va planteando la resolución de problemas, formación de conceptos, planificación de tareas y ejecución de trabajos de manera eficiente (Puebla, 2009). Adele Diamond (2013) dice que existen tres FEs centrales: (a) Flexibilidad Cognitiva: incluye el cambio de perspectiva y la posibilidad de ver situaciones, problemas, etc. con otros ojos, alimentados con información nueva y diferente; (b) Control Inhibitorio: que incluye el autocontrol y la disciplina; y (c) Memoria de Trabajo: mantiene la información en la mente y trabaja con ella. Estas tres funciones están relacionadas con diferentes redes neuronales que van desarrollándose a lo largo de la vida del individuo. Además, Diamond se refiere a tres FEs de orden superior: (a) Atención Selectiva: que permite focalizar la atención a pesar de las distracciones; (b) Disciplina: iniciar una actividad y permanecer en ella hasta terminarla; y (c) Autocontrol o autorregulación: inhibirse a actuar impulsivamente y considerar las reacciones o respuestas (Diamond, 2013). Igual que las FEs centrales, las de orden superior están relacionadas con diferentes redes neuronales que se pueden desarrollar por medio de intervenciones, como por ejemplo un andamiaje sencillo en el caso de las matemáticas (Clements, Sarama, Unlu & Layzer, 2012). Las FEs se relacionan con la atención que se presta a lo que se piensa aprender, relacionando nuevos conceptos con los antiguos (Meltzer, Sales & Barzialli, 2007). Además, un proceso de aprendizaje no es solamente cognitivo, involucra emociones, motivaciones y recuerdos (Moran & Gardner, 2007). Es decir, que para atender a lo que se está leyendo o aprendiendo, es necesario el razonamiento cognitivo, así como otras manifestaciones que influyen en la atención como las emociones y la motivación (Moran & Gardner, 2007).
  23. 23. 19 Figura 5. Circuitos relacionados con la atención en el cerebro Fuente: Posner, Sheese, Odludas & Tang (2006), (traducido por autoras) Según Michael Posner (1998), hay por lo menos tres circuitos relacionados con la atención en el cerebro: (a) alerta (para llamar la atención de un estímulo); (b) sustento (para mantenerse enfocado) y (c) de funciones ejecutivas. Stanislas Dehaene (1997; 2011) reconoce que el cálculo es un proceso esforzado que requiere intensa concentración, elección de estrategias apropiadas y recuperación de recursos almacenados en la memoria de trabajo. En el cerebro, estos factores se reflejan en una activación muy intensa de la corteza prefrontal, esa extensa área ubicada justo detrás de la frente. La corteza prefrontal es un área del cerebro esencial para desarrollar la capacidad de diseñar y seguir nuevas estrategias rutinarias (Dehaene, 1997; 2011). Además de ser un centro de recursos único que no comparte tareas, la corteza prefrontal es responsable de que no se puedan realizar varias operaciones simultáneamente (Dehaene, 1997; 2011). La corteza prefrontal se encarga de la automatización de las operaciones aritméticas, y cuando los niños y niñas se vuelven más expertos en una tarea, la cantidad de actividad de la corteza prefrontal disminuye (Dehaene, 1997; 2011) y la activación se traslada al sistema cerebral más automático en la parte posterior de la cabeza. Si la automatización no se realiza, el área prefrontal se encuentra absorbida en la mecánica del cálculo, olvidando aspectos importantes como la revisión, la pertinencia de la solución al problema, el significado del problema y la respuesta al mismo (Dehaene, 1997; 2010). Dentro del desarrollo de las FEs se encuentran dos procesos importantes para todo aprendizaje: atención y memoria (Tokuhama-Espinosa, 2011). En el caso de la atención, los estudios refieren que el rango va entre 10 y 20 minutos. En el aula, los docentes pueden aumentar la atención de los estudiantes al cambiar el tema, o el espacio físico o la persona que está hablando, en ese mismo rango de tiempo (de 10-20 minutos) (Tokuhama-Espinosa, 2012). La atención puede desarrollarse a través de ejercicios propuestos
  24. 24. 20 por los docentes, como por ejemplo, que los niños y niñas caminen a lo largo de una línea imaginaria siguiendo a su maestro. Asimismo, la atención se focaliza en aquello que es interesante, importante y tiene valor de supervivencia, personal o emocional para quien recibe la información. Es por eso que el profesor debe tratar de crear ambientes de aprendizaje que tengan orden lógico, sentido y significado para la vida de los estudiantes. También el docente debe recordar el Efecto de Primacía, aquel que evidencia que los estudiantes recuerdan mejor lo que sucede primero y al final de la clase, mientras que recuerdan menos lo que sucede en la mitad (Tokuhama-Espinosa, 2012). Por lo tanto, los docentes deberían utilizar los momentos de mayor atención –al principio y final de la clase–, dando la información más importante y/o en retroalimentar lo aprendido antes, dejando los momentos de la mitad de la clase para realizar actividades enfocadas en los alumnos y mantener su atención (Tokuhama-Espinosa, 2012). La atención selectiva es una función ejecutiva de orden superior. Diamond (2011) realizó un estudio que mostró intervenciones respaldadas por evidencia que contribuyen a desarrollar las FEs, entre ellas la atención. En el estudio de Diamond (2011) se propone incluir diversas actividades para entrenar a niños y niñas mediante ejercicios aeróbicos, artes marciales, yoga, ejercicios de concentración y el uso de la computadora. Estas actividades dentro del currículo escolar podemos encontrarlas en dos programas que comparten similitudes importantes en relación a estos mismos tipos de ejercicios, demostrando así el mejoramiento de las FEs. En relación a las matemáticas, se presume que el mejoramiento de la concentración en los estudiantes mejorará las destrezas en el área de atención y memora. 3. La habilidad de generalizar en un mismo concepto diferentes símbolos que representan una misma idea Una de las bases del logro en matemáticas y una de las grandes metas de la educación se encuentra en las interacciones altamente fluidas y automáticas entre las representaciones de cantidad con otras representaciones, sean éstas lingüísticas o los símbolos arábigos de los números, haciendo que se utilice la memoria. Todo tipo de herramientas se pueden utilizar para mejorar este enlace en el desarrollo de las representaciones mentales; juegos de contar, juegos con el ábaco o simples juegos de mesa (ya existentes o diseñados por los docentes) son estrategias altamente eficientes para entrenar el sistema numérico y las relaciones presentadas en el Modelo de Código Triple. La identificación de símbolos puede producirse por dos rutas: una fonológica u otra del significado. El aprendizaje a través de cualquiera de las dos contribuye al desarrollo del Modelo de Código Triple. La habilidad de generalizar un mismo concepto en diferentes símbolos ocurre en el aprendizaje de la lectura y en el aprendizaje de los números, los cuales pueden ser representados de diferentes maneras. Así, podemos decir “tres” en números arábigos “3” o en números romanos “III” o representándolo por figuras “●●●”; estas representaciones acarrean un concepto semántico y otro numérico (Ansari, 2007; Campbell, 1994; Piazza, Pinel, LeBihan & Dehaene, 2007; Cohen Kadhosh, Cohen Kadosh, Kass, Henik & Goebel, 2007; Tokuhama-Espinosa, 2011). En el área de la matemática, la habilidad de generalizar un mismo concepto en diferentes símbolos se encuentra explicada en el Modelo de Código Triple.
  25. 25. 21 Figura 6. Esquema del Modelo de Código Triple en el cerebro Fuente: OCDE (2003), Brain Research and Learning Sciences, (traducido por autoras) Modelo de Código Triple Dehaene (1997; 2010; 2011) propone que la evolución ha dotado a la humanidad de una competencia suplementaria: la habilidad para crear complejos sistemas de representación. Los sistemas de representación pueden ser de lenguaje hablado o escrito, palabras o símbolos, que permiten separar conceptos de significado cercano, dando al cerebro el derecho de moverse en los límites de la aproximación (Dehaene, 1997; 2010; 2011).
  26. 26. 22 Figura 7. Imagen cerebral del Modelo de Código Triple Fuente: Arsalidou & Taylor (2011), Is 2+2=4? Meta-analyses of Brain Areas Needed for Numbers and Calculations, (traducido por autoras). El Modelo de Código Triple utiliza una de las dos redes de reconocimiento simbólico, sea verbal o arábigo (dependiendo de si el estímulo visto sea un número arábigo, la palabra que lo representa o un set de objetos que muestren la cantidad), escogiendo entre ellas para reconocer e identificar el número. Si el cerebro escoge la red de código verbal, ubicada en las regiones de Broca y Wernicke, utiliza la comprensión oral, la producción y la memorización (Coch, et al., 2007; Dehaene, 1997; 2011; Mussolin, Mejias, & Noel, 2010;). Por ejemplo, al observar el número tres escrito, se activan en el cerebro áreas del hemisferio izquierdo pertenecientes al sistema del lenguaje que involucra lo ortográfico, el léxico y lo fonológico para decodificar la palabra. Al identificar el número tres por medio del sistema alfabético o lingüístico se le asignará una cantidad que lo represente. Si es que la representación visual es con gráficos, códigos u otros sistemas de imagen desarrollados por el ser humano a lo largo de la historia (3, III, ●●●) se realiza el mismo proceso. Por ejemplo, la cultura Maya utilizaba puntos y rayas para
  27. 27. 23 representar los números así: un punto (●) es el uno; dos puntos (●●) es el dos; tres puntos (●●●) es el tres; etc. (Rodríguez, 2011). Si la identificación se realiza a través del código arábigo, el proceso asigna una representación simbólica específica a la cantidad mediante los números del sistema arábigo (Dehaene, 1997; 2011; Mundy, & Gilmore, 2009). A través del proceso histórico, la representación escrita de los números se modificó a un formato universal y análogo empleando los números arábigos, muy diferente a los signos utilizados por las diferentes culturas en el mundo (Verguts & Fias, 2008). En el Modelo de Código Triple, el cerebro procesa un número de la siguiente manera: mira la representación –tres–; la red neuronal de cantidad asigna la cantidad (●●●); y por último, aplica el número arábigo 3. Debe recalcarse que el orden expuesto de las tres redes no significa que el proceso en el cerebro se realice en este orden determinado. El Modelo de Código Triple es un sistema continuo y permanente de procesamiento numérico. El Modelo de Código Triple de Dehaene y Cohen (1995) contiene en sí mismo las tres habilidades para el aprendizaje de las matemáticas:  Habilidad de visualizar el código arábigo  Habilidad analógica de cantidad o de código de magnitud  Habilidad de código verbal El aprendizaje de estas representaciones está basado en la idea de la representación abstracta, y los investigadores han observado que el surco intraparietal se activa al observar representaciones abstractas, por lo que la han establecido como una región importante para la cognición numérica (Libertus, Woldorff, & Brannon, 2007). En esta región se representa el número, independientemente de si la anotación de entrada es simbólico (por ejemplo, número de palabras o símbolos) o no simbólicos (por ejemplo patrones de puntos).
  28. 28. 24 Figura 8. Regiones activadas en el cerebro al reconocer letras y símbolos Fuente: Bach, Richardson, Brandeis, Martin & Brem (2011) Con respecto al reconocimiento del símbolo representado por números y letras, el cerebro activa una pequeña parte perteneciente a la vía visual ventral de la corteza, empleada para la identificación de las formas, objetos, lugares o rostros (Dehaene, 2009; 2011). Mediante estimulación controlada (Szwed, Cohen, & Dehaene, 2009) se ha evidenciado la activación de la corteza visual durante la identificación de número y letras, el área donde las palabras van inscribiéndose naturalmente debido a que este lugar se encuentra preadaptado a las formas que tienen las letras y los símbolos arábigos (Dehaene, 2011). Según Bach, Richardson, Brandeis, Martin y Brem (2011), la detección de símbolos en el preescolar predice la calidad de destrezas de lectura en segundo grado, tanto como el reconocimiento de las habilidades numéricas y matemáticas es predictor del logro de aprendizaje de las matemáticas y del éxito en las habilidades de alfabetismo (Ansari, 2010; Bynner & Parson, 1997; De Smedt, Verschaffel & Ghesquiere, 2009; Duncan, Dowsett, Classens, Magnuson, Huston, Klebanov, et al., 2007). Los dos últimos siglos han arrojado abundante información acerca de las redes neuronales para la identificación de símbolos. Algunos autores dan cuenta de la existencia de una sola ruta para su procesamiento (letras, en el caso de la lectura y números escritos y símbolos para la matemática) (Dejerine, 1892 en Dehaene, 2009; Geschwind, 1965 en Dehaene, 2009). Actualmente, la ciencia de MCE se ha valido de los puntos de vista de la psicología, la pedagogía y las neurociencias, con especial apoyo de la tecnología de escáner cerebral, para la observación directa del funcionamiento del cerebro, su arquitectura, la identificación de modelos de redes neuronales en diferentes procesos, y el funcionamiento de las mismas. De dichos estudios e investigaciones se ha obtenido importante evidencia. Es así como distintos grupos científicos (Coltheart, Rastle, Perry, Langdon, & Ziegel, 2001; Dehaene, 2009; Harm &
  29. 29. 25 Seigdenberg, 2004; Perry, Ziegel, & Zorzi, 2007) reportan por lo menos dos redes neuronales utilizadas al momento de identificar símbolos (letras y números). Dos redes neurales para la identificación de símbolos Las dos redes neuronales encargadas de identificar los símbolos utilizan dos distintas rutas correspondientes a dos distintos circuitos en áreas neuronales del cerebro, según Dehaene (2009). El funcionamiento de los dos circuitos inicia de la misma manera, a través de un estímulo visual de identificación que se realiza en la región occipito-temporal. Luego del reconocimiento del estímulo, éste puede dirigirse por la primera ruta o circuito de acceso al significado, que utiliza el giro temporal medio, la región temporal basal y el giro frontal inferior (Jobard, Crivello, & Tzourio-Mazoyer, 2003; Zamarian, Ischebeck & Delazer, 2009). La segunda ruta o circuito es la denominada ruta de conversión al sonido hablado, que emplea el giro temporal superior, el giro temporal medio, el giro supramarginal y el giro temporal inferior (Jobard, Crivello, & Tzourio-Mazoyer, 2003; Zamarian, Ischebeck & Delazer, 2009). Las dos redes neuronales de procesamiento de símbolos se relacionan por la forma en la que el cerebro procesa lo que ve. En este caso, letras y números, las dos redes cohabitan (Dehaene, 2009). Primera red neuronal para el procesamiento simbólico La primera red o ruta llamada ruta indirecta o fonológica se utiliza cuando el cerebro identifica las palabras raras (neologismos) o regulares, buscando su significado a través del sonido, es decir, utilizando una ruta fonológica que descifra las letras y las convierte en pronunciación (Dehaene, 2009). La ruta indirecta o fonológica emplea la decodificación de letras en sonidos e involucra las regiones superiores del lóbulo temporal, donde las “figuras” o letras inicialmente se conocen con los sonidos (Dehaene, 2009; van Atteveldt, Formisano, Goebel, & Blomert, 2004). Es en la zona denominada plano temporal izquierdo del cerebro donde se discriminan los sonidos en la mayoría de los seres humanos. Dicha zona del cerebro, temporal izquierda, se define al final del primer año de vida en momentos en que se está aprendiendo a hablar e identificar los sonidos del lenguaje cotidiano. En el caso del aprendizaje de las matemáticas, los símbolos arábigos se escriben con letras (3, tres). La ruta fonológica se emplea al identificar el sonido de la palabra “tres”. Segunda red neuronal para el procesamiento simbólico La segunda ruta, denominada directa o del significado, se emplea con las palabras más usuales, por ejemplo las que nombran los números, y con aquellas que tienen un sonido excepcional (Dehaene, 2009). Por ejemplo, para encontrar el significado del símbolo “3” el cerebro pone en movimiento un amplio conjunto de regiones, las cuales se activan inmediatamente cuando los conceptos (la cantidad ••• y cómo se escribe el número “tres”) convergen en palabras habladas o en imágenes (Binder, Frost, Hammake, Bellgowan, Springer, Kaufman, & Possing, 2000; Dehaene, 2009; Kotz, Cappa, von Cramon, & Friederich, 2002).
  30. 30. 26 Figura 9. Magnitud y cálculo en niños y niñas con discalculia y sin discalculia Fuente: Kucian, Loenneker, Dietrich, Dosch, Martin, & von Aster, (2006) Las redes de identificación de símbolos realizan un trabajo de doble ruta con las áreas del cerebro que codifican el significado. Las redes del significado no se limitan a procesar palabras. Por ejemplo, el Área de Broca y de Wernicke (ubicadas en la región frontal y parietal respectivamente) se encargan de la combinación del significado de palabras para formar una oración (Dehaene, 2009; Lee, Lim, Yeong, Venkatraman & Chee, 2007; Vandenberghe, Norbre, & Price, 2002). En el caso de las matemáticas y, desde el punto de vista de MCE, se explica cómo el cerebro es capaz de comprender el concepto de número y cómo puede entender sus diferentes representaciones simbólicas (3, tres, III, •••) ya mencionadas anteriormente. Entender las redes neuronales que intervienen en la comprensión de las distintas representaciones simbólicas forma parte del aprendizaje de las matemáticas.
  31. 31. 27 Figura 10. Evidencia neural de la convergencia entre representaciones numéricas simbólicas y no simbólicas Fuente: Piazza (2010). Neurocognitive Star-up Tools for Symbolic Number, (traducido por autoras) Manuela Piazza (2010) realiza un estudio en el que explica que el asignar un significado a los símbolos arbitrarios (palabras) es un proceso complejo y prolongado. Para el caso de los números, sugiere que este proceso se basa en dos sistemas preverbales para la cuantificación numérica: el sistema de número aproximado (ANS), y el sistema de seguimiento de objetos (OTS), con los que los niños y niñas están equipados antes de iniciar el aprendizaje simbólico. Cada sistema se basa en circuitos neuronales específicos y cada uno se somete a una trayectoria de desarrollo por separado.
  32. 32. 28 Además, pruebas complementarias con neuroimagen evidencian que el cerebro asigna un código de cantidad a los símbolos de los números, mostrando una respuesta en la región parietal ante la cantidad numérica (Piazza, 2010). En primer lugar, las mismas regiones parietales del cerebro y las respuestas similares en ERP (Event-Related Potential) son moduladas por los efectos de la distancia y la magnitud, tanto de los dígitos arábigos como de las cantidades numéricas no simbólicas (Piazza, 2010). Segundo, y más importante aún, evidencia la cantidad de respuestas relacionadas con la transferencia de la corteza media intraparietal a través de formatos simbólicos y no simbólicos (Mussolin, Mejias, & Noel, 2010). Así, en un paradigma de adaptación, la respuesta a la cantidad es proporcional a la relación numérica entre cantidades nuevas y repetidas, incluso cuando están representadas en diferentes formatos (Mundy & Gilmore, 2009; Piazza, 2010). Curiosamente, este efecto no es totalmente bidireccional (especialmente en el hemisferio izquierdo): aunque la adaptación a los puntos se extiende a los dígitos arábigos, lo contrario no ocurre. Un efecto asimétrico similar fue reportado por el estudio de "descodificación", con fMRI, en el que se utilizó un clasificador de patrones multi-voxel, entrenado en la activación de la corteza parietal para predecir los números arábigos (Piazza, 2010). La numerosidad de patrones de puntos también fue correctamente clasificada, pero no al revés. Estos datos son consistentes con la idea de que el código de cantidad símbolica es más preciso que el de cantidad no-simbólica, incluso aunque le falte claridad y comprensión a la numerosidad (Piazza, 2010). 4. Habilidad de estimar o aproximar cantidades Otro concepto importante es el de “aproximación numérica” (approximate number en inglés). La aproximación numérica se relaciona con los números esperados e inesperados, es decir, encontrar un número que pueda representar la respuesta más cercana a lo que queremos obtener. La aproximación es una habilidad innata que da a los niños y niñas la intuición de cómo resolver un problema a pesar de no tener experiencia previa en el aprendizaje formal de la matemática (Brannon, 2006; Dehaene, 2010; 2011). Por ejemplo, los niños pequeños que inician su escolaridad (3-4 años) perciben que hay una mayor o menor cantidad de objetos observando si están agrupados (hay menos) si están separados (hay más) a pesar de ser la misma cantidad de objetos.
  33. 33. 29 Figura 11. Aproximación numérica para niños y niñas pequeños Fuente: Bressan, Merlo de Rivas, & Scheuer, Los conocimientos numéricos en niños que inician su escolaridad, (2009) La precisión en la aproximación se va refinando a lo largo del tiempo (si es estimulada) y juega un papel fundamental en el desarrollo del procesamiento numérico (Brannon, 2006; Dehaene, 2010; 2011; Rivera, Reiss, Eckert & Menon, 2005). La aproximación es lo más cercano al sentido numérico, y va evolucionando a medida que los niños y niñas crecen (Dehaene, 2010; 2011). Se ha encontrado que “en ausencia de otro impedimento sensorial o cognitivo, aquellos niños y niñas con dificultades de aprendizaje de por vida en la aritmética muestran una precisión drásticamente alterada en el sistema de número aproximado” (Dehaene, 2010, p. 182). Figura 12. Activación neuronal de respuesta al cambio de número Fuente: Piazza, Izard, Pinel, Le Bihan, & Dehaene (2004), Tuning Curves for Approximate Numerosity in the Human Intraparietal Sulcus, (traducido por autoras)
  34. 34. 30 Por otro lado, algunos investigadores como Daniel Ansari (2008) aseguran que la capacidad básica para discriminar cantidades numéricas no puede explicar completamente toda la extensión de las habilidades numéricas y matemáticas. La evolución humana ha puesto en evidencia un gran conjunto de habilidades que han proporcionado la capacidad de procesar símbolos numéricos abstractos (como nombres de números y números arábigos) y de realizar cálculos usando nuevas "herramientas mentales" (Ansari, 2008). Figura 13. Activaciones en el cerebro adulto a los cambios en numerosidad Fuente: Brannon, (2006) Pasando del proceso de aproximación al entendimiento sobre el número exacto, las investigaciones dicen que entender un número exacto no es un acto espontáneo, más bien es un ejercicio que depende de la educación. Por ejemplo, investigaciones en tribus amazónicas (Brannon, 2006; Pica, Lemer, Izard, & Dehaene, 2004) evidencian la importancia de la aproximación y de la influencia del aprendizaje para la identificación de la cantidad con su representación simbólica (número) en niños y adultos alejados del contacto escolar. Por lo tanto, al igual que en las tribus amazónicas, los niños y niñas que inician su aprendizaje en matemáticas pueden rápidamente superar las limitaciones presentadas por la falta de identificación de la cantidad con un número, y pasar a un sistema exacto de número ayudados de la aproximación y exponiéndolos a un sistema de conteo (Dehaene, 2010). La transición desde la aproximación hasta la construcción de un número exacto (con su símbolo), ocurre lentamente desde los dos años y medio hasta los cuatro años (Dehaene, 2010) con ayuda de una rutina de conteo. Entender la importancia de la aproximación y la habilidad de juzgar cantidades permite utilizarla en el aula como estrategia de enseñanza de operaciones formales (suma, resta, multiplicación y división). Por ejemplo, operaciones en la mente donde se aproxime al resultado con números enteros o múltiplos de cinco (si la pregunta es 23 x 5, se aproxima el 23 a 25 y se multiplica por 5 para tener el resultado). Es un tipo de operación que utiliza la memoria, el razonamiento y la aproximación.
  35. 35. 31 Figura 14. Activación cerebral al estimar y comparar Fuente: Heim, Amunts, Drai, Eickhoff, Hautvast & Grodzinsky, 2012 5. Habilidad de retener información en la memoria La habilidad de retener información en la memoria, o conocimiento declarativo, es la que se encarga de almacenar los “hechos matemáticos” (LeFevre, DeStefano, Coleman & Shanahan, 2005), como por ejemplo las tablas de multiplicar. Según autores como Devlin (2010), el aprendizaje de las tablas de multiplicar es esencialmente una actividad lingüística, cuando niños y niñas repiten las tablas sin comprender el concepto que existe detrás de la multiplicación. Niños y niñas que repiten la tabla de multiplicar sin comprender cómo y por qué se llega a ese resultado están ejercitando la memoria: repitiendo la operación y su resultado hasta que queda grabado en la misma (4 x 3 = 12). La memoria es fundamental para el aprendizaje (Levine, 2001; Tokuhama-Espinosa, 2011) y su función en el cerebro es permitir codificar, almacenar y recuperar la información utilizando conexiones sinápticas, que con el tiempo crean redes neuronales que mantienen la información relativamente estable (Baddeley, 2001). El problema con la memoria en las matemáticas es que es posible memorizar fórmulas y el orden de los procesos, sin necesariamente comprenderlos. Existen diferentes tipos de memoria y distintas clasificaciones. Para el presente estudio se toma en cuenta la clasificación dada por Atkinson & Shiffrin (1968) y utilizada por Baddeley (2003). Para estos autores, la memoria puede ser de largo plazo, es decir, abarca una serie de procesos para retener la información incluso días, meses y años. La memoria de largo plazo incluye la memoria implícita o procedimental (habilidades sensomotoras) y la declarativa (detalles autobiográficos, hechos, semántica). También se encuentra la memoria de trabajo, una forma de memoria de corto plazo que sirve para cumplir procesos, como por ejemplo recordar la fórmula escrita en la pizarra para procesar el problema en que puede emplearse dicha fórmula y realizar el proceso en un papel (Tokuhama-Espinosa, 2011). La memoria también es de corto plazo: un sistema de almacenamiento temporal que se basa en la capacidad de pensar del individuo (Baddeley, 2003). La memoria de trabajo difiere de la memoria de corto plazo en que la
  36. 36. 32 memoria de corto plazo tiene que ver con el recuerdo de 7 ± 2 ítems, mientras la memoria de trabajo tiene que ver con procesos. Por ejemplo, recordar un número de teléfono hasta llegar a marcarlo en el celular es de corto plazo, mientras que poder acordarse de una fórmula de matemáticas que está en la pizarra hasta seguir los pasos en el propio papel es memoria de trabajo. Atkinson y Shiffrin (1968) proponen un sistema de procesamiento de información en la memoria. Un sistema de procesamiento de información en la memoria permite comprender cómo se la recupera cuando se encuentra almacenada en la memoria de largo plazo, conectando con ella la recién integrada. La información que recogen los sentidos ingresa al cerebro como impulsos eléctricos, que son procesados por el tálamo (memoria sensorial), la parte del cerebro encargada de filtrar o seleccionar permanentemente la información recibida, eliminándola, si no es relevante. La información recopilada pasa a la corteza cerebral y, dependiendo de la persona y sus experiencias, la información se retiene o elimina, en función de la importancia que se le conceda. También se ha identificado (Miller, 1956) que el procesamiento de información en la memoria de corto plazo tiene un límite en términos de unidades numéricas que pueden ser procesadas en cualquier momento. Miller (1956) determinó que el número de unidades que procesa la memoria es de 7 ± 2, a pesar de que se deben tomar en cuenta las particularidades de cada persona, por lo que existen estudiantes que pueden procesar 5 ± 2 y hasta 3 ± 2 unidades o pedazos de información (Huitt, 2003). Figura 15. Memoria de corto a largo plazo Fuente: Atkinson & Shiffrin, (1968), (traducido por la autora) La memoria es un sistema complejo y de vital importancia para el aprendizaje. La información
se
 almacena
y
se
recupera
de
varias
maneras,
implicando
que
los educadores
deberían
variar
sus
 métodos
de
enseñanza
para
crear
una
diversidad de vías a través de las cuales se puede recuperar información, facilitanto así el proceso de recordar. Si bien es cierto que al momento existe escasa información de los sistemas de memoria en el aula bajo criterios de MCE, es posible plantear un sistema de memoria como el de la Figura 15. La memoria a largo plazo es la que almacena la información por mayor tiempo, y la información que llegue ahí debe cumplir tres requisitos: (a) tener valor de supervivencia, (b) ser fácil de relacionar con conocimientos previos (c) y tener valor personal o emocional (Sousa, 2002, citado en Tokuhama-Espinosa, 2010).
  37. 37. 33 La educación constructivista muchas veces ha desmerecido la importancia de la memorización frente al razonamiento. Lo que se debe recalcar es que el uso de la memoria es tan importante como razonar y ser crítico en los aprendizajes. Existen estrategias para recordar la información almacenada en la memoria de largo plazo que el docente debe tomar en cuenta, como por ejemplo la predicción, asociación con conocimientos previos o aprendizajes recientes, la repetición simple o acumulativa, entre otras. De ahí la importancia de que el aprendizaje de la matemática debe establecerse por medio de diferentes estímulos y vías sensoriales. Se ha especulado que muchos problemas de matemáticas son realmente déficits de memoria de trabajo y no de la comprensión de matemáticas en sí (Wilson & Swanson, 2001). En muchos casos, se sospecha que al mejorar la memoria, es posible mejorar los procesos matemáticos. Figura 16. Memoria de trabajo Fuente: http://teresadejesus.files.wordpress.com/2009 /12/semiologia-figura2.jpg?w=497 Fuente: http://usablealgebra.landmark.edu/wp- content/uploads/2008/12/working-memory-2.gif 6. La habilidad para almacenar y utilizar procedimientos En el aprendizaje de las matemáticas es necesaria la intervención de los tres factores que participan en el Modelo de Código Triple: (a) la habilidad de visualizar el código de números arábigos, (b) la de atribuir una cantidad o código de magnitud, y (c) la de visualizar el código verbal (Tokuhama-Espinosa, 2011). Además es importante el uso de la memoria y de los procesos cerebrales involucrados en cómo se desarrollan los procedimientos y la conceptualización en matemáticas. Una aclaración se puede lograr mediante la introducción de una distinción entre los niveles de complejidad en las tareas de cálculo, teniendo en cuenta los diferentes procesos que pueden contribuir a dicho proceso (Dehaene, & Cohen, 1995; Halberda, Mazzocco & Feigenson, 2008).
  38. 38. 34 Para poder procesar fórmulas matemáticas hay que tener un entendimiento claro de la relación entre los números. El desarrollo de una línea mental numérica juega esa función Rivera, S.M., A.L. Reiss, M.A. Eckert, & Menon, V. (2005. Figura 17. Activaciones cerebrales en el procesamiento de estímulos no simbólicos numéricos Fuente: Kaufmann, Vogel, Wood, Kremser, Schocke, Zimmerhackl & Koten, 2008 Línea numérica mental En la introducción de la revisión de la literatura se había dicho que el sentido numérico emplea una línea numérica mental que permite “acomodar” los números en las redes neuronales, así como la codificación de los mismos. La habilidad de utilizar la línea numérica mental se ha denominado analógica de cantidad o de código de magnitud (Ashkenazi, Mark-Zigdon & Henik; 2009; Tokuhama-Espinosa, 2011). El sistema de codificación numérica se denomina “codificación por puesto” (Place Coding en inglés) (Dehaene & Changeux, 1993; Dehaene, 2011). En la codificación por puesto o lugar, cada número activa un conjunto específico de neuronas en el cerebro (un puesto o lugar). En el caso de dos números cercanos uno del otro, o de dos puestos, se activan parcialmente conjuntos superpuestos de neuronas. En el caso de la representación de un número más pequeño, no está contenida en la representación de un número mayor. Cada sistema de codificación se asemeja a una recta numérica mental. Cabe recalcar que no se debe confundir este término (recta numérica mental) con el modelo específico de codificación por puesto. El cerebro identifica este modelo como se ve en la Figura 18.
  39. 39. 35 Figura 18. Representación del número en la línea numérica mental Fuente: Vergus & Fias, 2008 Piazza, Izard, Pinel, Le Bihan y Dehaene (2004) pudieron confirmar la codificación por puesto utilizando fMRI (Imagen de Resonancia Magnética funcional), donde los resultados obtenidos sirvieron para identificar las representaciones no simbólicas en el cerebro. Piazza, Pinel, Le Bihan y Dehaene (2007) obtuvieron los mismos resultados en un diseño similar con las representaciones simbólicas. Estos procesos, señalan los investigadores, emplean áreas del surco intraparietal (IPS) y representan el número, independientemente de si la notación de entrada es simbólica (tres, 3) o no simbólica (●●●), e independientemente de si los estímulos se presentan visual o auditivamente (Ansari, 2008; Dehaene, Piazza, Pinel & Cohen, 2003).
  40. 40. 36 Figura 19. Activación neuronal al realizar diferentes procesos matemáticos Fuente: Arsalidou & Taylor (2011), Is 2+2=4? Meta-analyses of Brain Areas Needed for Numbers and Calculations (traducido por autoras) La organización proporcionada por el Modelo de Código Triple permite entender el desarrollo numérico en el cerebro humano. Su funcionamiento se ha identificado a través de la activación de la zona intraparietal, desde los tres meses de edad, durante simple identificación numérica (Dehaene, 2010). La evidencia proporcionada en la investigación por Dehaene sustenta la idea de que el sentido numérico se encuentra definido en la genética básica humana (Dantzing, 1954), mientras que los sistemas de codificación verbal y de números arábigos son una invención cultural reciente que es necesario que otro la enseñe (Dantzing, 1954). Teniendo en cuenta estas dos posibilidades, el desarrollo numérico en el cerebro consiste en establecer conexiones de forma permanente, eficiente y automatizada. Establecer las representaciones de los números en varias formas es una labor permanente en la educación. En los niños, las conexiones neuronales son mucho menos eficientes y tardan años en automatizarse (Dehaene, 2011). Estas conexiones ya han sido identificadas a través de los métodos de imagen; por ejemplo, la activación de la región intraparietal izquierda indica que la formación aritmética desarrolla el sistema de cantidad aproximada, además de las otras representaciones simbólicas de números que reconocen sus formas verbales (Ansari, 2008; Dehaene, 2011). Estas investigaciones sugieren ciertas recomendaciones que serán analizadas posteriormente.

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